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Día 16. 9:30 – 11:00 Clase 2: Métodos aproximados: temperamentos + introducción a la lógica fuzzy

Facu

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de C

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xact

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Nat

ural

es!

Buenos Aires, noviembre de 2016

“La música crea orden en el caos; el ritmo impone unanimidad en la divergencia, la melodía impone continuidad en lo discontinuo,

y la armonía impone compatibilidad en lo incongruente.” Yehudi Menuhin (1916 – 1999)

Sistemas de afinación y lógica borrosa Universidad de Buenos Aires

SISTEMAS AFINACIÓN

Afinaciones

Temperamentos

Justa entonación

S. Pitagórico ⇒ ∞ notas Sistema de Ptolomeo

. . . Sistema de Zarlino Sistema de Delezenne ⇒ ∞ notas

... ⇒ ∞ notas

⇒ 31 notas ⇒ 19 notas ⇒ 50 notas

Hölder ⇒ 53 notas Iguales ⇒ 12, 24, ... , 12 k notas

Irregulares ...

⇒ 12 notas

Regulares Mesotónicos

comma sint. comma sint.

2 / 7 1 / 3 Mesotónicos

comma sint. 1 / 4

comma sint. 1 / 4 Cíclicos comma sint. 1 / 3

comma sint. 2 / 7

Werckmeister, 1/4 de comma Werckmeister, 1/3 de comma Vallotti, 1/6 de comma


Temperamentos Número irracionales

Do Sol

Re

La

Fa# Do# Sol#

Mib

Sib Fa

Mi Si

“Buen Temperamento” 12 partes iguales ⇒ x12 = 2 ⇒ x = 2 1/12 = 1.05946

1 2 x x 2

x.x.x. … x 1 = 2 ⇒ xn = 2

Temperamento de Hölder 53 partes iguales ⇒ x53 = 2 ⇒ x = 2 1/53 = 1.013164

William Hölder (1614- 1697)


Do Reb Do# Re Mib Re# Mi Fa Solb Fa# Sol Lab Sol# La Sib La# Si

Sistema de afinación

260,7407274,6898 278,4375293,3333 309,0261 313,2422 330 347,6543 366,2531 371,25 391,1111 412,0347 417,6562 440 463,5391 469,8633495

260,7716274,7764 278,3936293,3449 309,0991 313,1681 329,9870 347,7091 366,3830 371,2061391,1419 412,1484 417,5739 440 463,6304 469,7337494,9610

264 275 285,12 297 309,375 316,8 330 352 366,6667 380,16 396 412,5 422,4 440 458,3 475, 2 495

261,6256 277,1826293,6648 311,1270 329,6275 349,2282 369,9944 391,9954 415,3047 440 466,1638 493,8833

Pitagórico de Zarlino Temperado (12) Hölder


Juan Bermudo o Fray Juan Bermudo (1510 – 1565) es un teórico musical y compositor español que, en su Declaración de instrumentos musicales, publicada en Osuna en 1555, propone un temperamento para las siete cuerdas de la vihuela. Utiliza la geometría ya usada por Grammateus para hacer una división complicada del círculo de quintas

Temperamento de Bermudo

quinta justa-1/6 c. s.= 32

[-] 16

×"# $%8180

= 32

: 8180

6 ≈1,49689


[-] 12

×"# $%8180

= 32

: 8180

2 =32

: 34

2452

= 32

: 32

22

15

2 =2 52

3≈1,49071


Temperamento de Bermudo


[-] 16

×"# $%8180

= 32

: 8180

6 ≈1,49689


[-] 12

×"# $%8180

= 32

: 8180

2 =32

: 34

2452

= 32

: 32

22

15

2 =2 52

3≈1,49071

Nota Frecuencia (Hz) Nota Frecuencia (Hz) Nota Frecuencia (Hz) Do 264,5472 Mi 329,3175 Sol# 415,9304 Do# 277,2869 Fa 352,7295 La 440 Re 297 Fa# 369,7159 Sib 470,3061 Mib 313,5374 Sol 397 Si 493,9762


Giovanni Maria Artusi (c. 1540 –1613), en su Seconda parte dell’Artusi ovvero delle imperfecttioni della moderna musica, publicada en Venecia en 1603, propone un temperamento mesotónico para el laúd. Es una forma de afinar consistente en la modificación del temperamento mesotónico de un cuarto de comma en el que, según sus palabras, hay intervalos que resultan falsos en el canto pero no en el laúd.

Temperamento de Artusi


[-] 14

×"# $%8180

= 32

: 8180

4 =

= 32

: 34

2454 =

32

: 32

15

4 = 54 ≈1,49535

quinta justa+1/4 c.s.-1/2 c.p.= 32×

34

2454"

#$$

%

&''

5

: 312

219=

= 3⋅35 ⋅29 ⋅ 226 ⋅5⋅ 54 ⋅36

=23 ⋅ 25⋅ 54

≈1,5132


Temperamento de Artusi Nota Frecuencia (Hz) Nota Frecuencia (Hz) Nota Frecuencia (Hz) Do 263,1814 Mi 328,9767 Sol# 416,1263 Do# 556,5609 Fa 352 La 440 Re 294,2457 Fa# 372,1947 Sib 465,2434 Mib 311,1270 Sol 393,5480 Si 491,9349

10× −14

c.s.#

$%

&

'(+ 2× 5

4 c.s.- 1

2 c.p.

#

$%

&

'(= −1 c.p.

Cierra el círculo de quintas, porque


Silvestro Ganassi dal Fontego (1492 – 1550) fue un compositor, intérprete y constructor de instrumentos musicales italiano que en su tratado Regola Rubertina, publicada en Venecia en 1543, propone un temperamento para laúd y viola da gamba.

Temperamento de Ganassi

•  la cuarta justa Do-‐Fa se divide en cinco partes: Do-‐Do#-‐Re-‐Mib-‐Mi-‐Fa, •  el tono Fa-‐Sol se divide en dos partes, Fa-‐Fa#-‐Sol. •  la tercera menor La-‐Do se divide en tres partes La-‐Sib-‐Si-‐Do. •  el Sol# ocupa el lugar intermedio entre el Sol y el La.

Los semitonos cromáticos se consiguen mediante la división de las consonancias anteriores en proporciones superparticulares, es decir las que son de la forma (n+1)/n Hace las siguientes particiones:


Do− Fa = n +1n

⋅ nn −1

⋅n −1n − 2

⋅ n − 2n −3

⋅n −3n − 4

= n +1n − 4

43

= n +1n − 4

⇒ 4(n − 4) = 3(n +1)⇒ n =19

La −Do = n +1n

⋅ nn −1

⋅n −1n − 2

= n +1n − 2

65

= n +1n − 2

⇒ 6(n − 2) = 5(n +1)⇒ n =17

Dividimos la cuarta Do-‐Fa = 4/3 en cinco partes:

Do− Fa = 2019

⋅1918⋅1817⋅1716⋅1615

= 43

Dividimos la tercera menor La-‐Do = 6/5 en tres partes:

La −Do = 1817

⋅1716⋅1615

= 65

Fa −Sol = n +1n

⋅ nn −1

= n +1n −1

98

= n +1n −1

⇒ 9 n −1( ) = 8 n +1( )⇒ n =17 Fa −Sol = 1817

⋅1716

= 98

Dividimos la cuarta Fa-‐Sol = 9/8 en dos partes:


Nota Frecuencia (Hz) Nota Frecuencia (Hz) Do 264 Fa# 372,7059 Do# 277,8947 Sol 396 Re 293,3333 Sol# 461,8421 Mib 310,5882 La 440 Mi 330 Sib 465,8824 Fa 352 Si 495

Nota Do Do# Re Mib Mi Fa Fa# Factor 20/19 19/18 18/17 17/16 16/15 18/17 17/16 cents 0 89 182 281 386 498 597 Nota Sol Lab La Sib Si Do Factor 20/19 19/18 18/17 17/16 16/15 cents 702 791 884 983 1088 1200


La =440 Hz

Distancia (en cents) con el temperamento igual de 12 notas


€

zn =3a(n)5b(n)

3E[log2 3a (n )+5b (n )]

, n ∈ Z

€

a(n) = n −1− 4 E n7( ) + E n+3

7( )( ), b(n) = E n7( ) + E n+3

7( )

Generados por dos o más intervalo α1, α2, ..., ακ, que tienen la forma

, donde para cada i, fi: Z →Z es una función.

€

Sα1,α2,...,αk

f1, f2,..., fk = 2cn :cn = αi fi (n)i=1

k∑ − E αi fi (n)

i=1

k∑%

& '

(

) * , n ∈ Z

, - .

/ 0 1

J. M. Barbour (1948), Music and ternary continued fractions, The American Mathematical Monthly, 55, 545–555.


€

αi−piq

< ε, i = 1, 2,..., k

€

αi−piq

<cq2, i = 1, 2,..., k

€

Min cs.a q2αi − qpi ≤ c 1≤ i ≤ k

q, pi ≥ 0 1≤ i ≤ kq, pi ∈ Z 1≤ i ≤ k


€

αi−piq

<1

q1+1/k, i = 1, 2,..., k

€

piq≈αi , i = 1, 2,..., k

Si α1, α2, … , αk son números reales tales que al menos uno es irracional, entonces hay infinitas maneras de elegir un denominador q y numeradores p1, p2, … pk de manera que las aproximaciones

Teorema (Dirichlet)


PASO 1: Determinar las funciones fi(n)

PASO 2: Resolver el programa

donde lo, uo son cotas de los números mínimo y máximo de notas por octava.

PASO 3: Sustituir los valores de αi por pi/q i=1,2, …, k

PASO 4: Obtener un temperamento cíclico

p1, p2, … pk de manera que las aproximaciones

€

Min cs.a q2αi − qpi ≤ c 1≤ i ≤ k

q, pi ≥ 0 1≤ i ≤ kq, pi ∈ Z 1≤ i ≤ k



Quintas

Terceras

¿Cuántos cents tiene cada parte en la que se divide la octava?

Día 16. 9:30 – 11:00 Clase 2: Métodos aproximados: temperamentos + introducción a la lógica fuzzy

““Tal vez sea la música la matemática del sentimiento y la matemática la música de la razón”.

Pedro Puig Adam (1900-1960)

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Buenos Aires, noviembre de 2016

Origen •  El origen de la lógica difusa podría haberse fijado en 1922 cuando

Lukasiewicz (1878 -‐ 1956) cuestionó la lógica booleana y propuso una lógica plurivalente, incluyendo tres valores de verdad.

•  En los años treinta aparecieron lógicas multivaluadas para un número cualquiera de valores ciertos (> 2), identificados mediante números racionales en el intervalo [0, 1].

•  Max Black (1909 -‐ 1989), publicó en 1937 el artículo "Vagueness: An exercise in Logical Analysis" y en los años 1942 y 1951, Karl Menger (1902 -‐ 1985), publicó “Statistical Metrics" y “Ensembles Flous et Fonctions Aléatoires”, dos artículos sobre relaciones difusas de indistinguibilidad.

•  El origen comúnmente aceptado de lógica difusa está en el trabajo Fuzzy Sets que Lotfi A. Zadeh (Azerbaiyán, 1921) publicó en 1965.

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

ORIGEN


Objetivos

•  El objetivo de la lógica difusa es proporcionar las bases del razonamiento aproximado utilizando premisas imprecisas como instrumento para formular el conocimiento.

•  La idea principal es que el pensamiento humano utiliza etiquetas lingüísticas que permiten que los objetos puedan pertenecer a una clase y a otra de forma suave y flexible.

•  Las personas utilizamos valores de verdad que no necesariamente son tan rígidos como “verdadero” o “falso”.


X= {a, e, i, o, u}

A= {a, i, u}

a i u

e o

X

A

χA (x) =0, si x no pertenece a A1, si x pertenece a A

!"#

Función característica

Función de pertenencia

χΑ(a) = 1, χΑ(e) = 0, χΑ(i) = 1, χΑ(o) = 0, χΑ(u) = 1

A es equivalente a

{(a,1), (e,0), (i,1), (o,0), (u,1)}

µA (x) : X [ 0, 1] a µA (a)


X= {a, e, i, o, u}

A= {a, i, u}

a i u

e o

X

A

Función de pertenencia

µA (x) : X [ 0, 1] a µA (a)

= {(a, 0.7), (e,0), (i,1), (o,0), (u,1)} Ã

Al conjunto se le llama conjunto o subconjunto fuzzy (borroso o difuso).

= {(x, ), x X } Ã µA (x) ∈


Ejemplo 2: Consideramos X={1,2,3,4,5,6,7,8} el número de habitaciones de de una casa Ã1 = “ser confortable para una familia de 4 miembros”

= {(1, 0), (2,0.3), (3,0.5), (4, 1), (5,1), (6, 0.7), (7, 0.4), (8,0)} Ã1

Ã2 = “ser grande”

= {(1, 0), (2,0), (3,0.2), (4,0.5), (5,0.9), (6, 1), (7, 1), (8,1)} Ã2


Ejemplo 3: Números próximos al 10.

µA (x)

x

= {(x, ) | = 1/(1+(x-10)2), x IR } Ã µA (x) µA (x) ∈

El concepto de conjunto de nivel (umbral), grado de presunción o - corte α

A = {x X | > } ∈ µA (x) α α


Funciones de pertenencia

µ(x ) =max min x −ab −a

,c − xc −b

"

#$

%

&',0

"

#$

%

&'

µ(x ) =max min x −ab −a

,1,d − xd −c

"

#$

%

&',0

"

#$

%

&'µ(x ) = 1

1+ x −cb

2b

µ(x ) = e−12x−cσ

"

#$

%

&'2


A = {(a, 1), (e,0), (i,1), (o,0), (u,1)}

Ejemplo 1: ¿Cuáles son los cardinales de A y de ? Ã

= {(a, 0.7), (e,0), (i,1), (o,0), (u,1)} Ã

Card A = χΑ (x) = 3 Σ x X ∈

µA (x) Card = = 2.7 Σ Ã

x X ∈

a i u

e o

X

A


Ejemplo 2: Consideramos X={1,2,3,4,5,6,7,8} el número de habitaciones de de una casa Ã1 = “ser confortable para una familia de 4 miembros”

= {(1, 0), (2,0.3), (3,0.5), (4, 1), (5,1), (6, 0.7), (7, 0.4), (8,0)} Ã1

Ã2 = “ser grande”

= {(1, 0), (2,0), (3,0.2), (4,0.5), (5,0.9), (6, 1), (7, 1), (8,1)} Ã2

Ã1 ∩ Ã2 = {(1, 0), (2,0), (3,0.2), (4,0.5), (5,0.9), (6, 0.7), (7, 0.4), (8,0)}

Ã1 Ã2 = {(1, 0), (2,0.3), (3,0.5), (4,1), (5,1), (6, 1), (7, 1), (8,1)} ∩

= {(1, 1), (2, 0), (3, 0.8), (4,0.5), (5,0.1), (6, 0), (7, 0), (8, 0)} Ã2 c


¿Qué necesitamos para tomar decisiones?…

•  Medir

•  Ordenar alternativas

•  Calcular distancias


• El ritmo es muy marcado y se ejecuta con palmas que marcan el patrón rítmico. • Se suelen utilizar compases ternarios de 12/8 (en cada compás caben 12 corcheas). • Se tocan 12 palmas por compás y hay algunas que suenan más fuerte que las otras.

Flamenco

DÍAZ BÁÑEZ, J. M, FARIGU, G., GÓMEZ, F., RAPPAPORT, D., TOUSSAINT, G. T.(2005): “Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión en la matemáticacomputacional”, La Gaceta de la RSME, 8, pp. 490 - 509.

Árbol filogenético


La representación cronotónica En 1983, K. Gustafson propone expresar los intervalos mediante cuadrados en los que el lado representa su longitud temporal. La soleá, X=(0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1), se tienen los intervalos: [0,0], [1,0,0], [1,0], [1,0], [1,0], [1], que se representarán con cuadrados 2x2, 3x3, 2x2 y 1x1.


La distancia cronotónica

Soleá Bulería Seguiriya Guajira Fandango

Soleá 0 6 8 4 10 Bulería 6 0 12 8 14 Seguiriya 8 12 0 8 6 Guajira 4 8 8 0 6 Fandango 10 14 6 6 0 SUMA 28 40 34 26 36


¿Qué pasa con la polirritmia?

Son (3-2) Son (2-3) Rumba Danzón Chachachá

Son (3-2) 0 8 1 6 10Son (2-3) 8 0 7 8 8Rumba 1 7 0 7 9Danzón 6 8 7 0 4Chachachá 10 8 9 4 0SUMA 25 31 24 25 31

Son

Rumba


En S, si<sj si y sólo si i < j

s-4=extremadamente malo s-3=muy malo s-2= malo s-1=ligeramente malo

s1=ligeramente bueno s2=bueno s3= muy bueno s4=extremadamente bueno

s0= justo S

= { sα | α [-t, t ] } S’ ∈ términos lingüísticos virtuales

sα + sβ = sα+β sα , sβ S’

Aritmética

λ sα = sλα

∈

sα S’, ∈ λ IR ∈


Zeshui Xu Linguistic Decision Making Theory and Methods Springer-Verlag, 2011

Persona 1 = (malo, bueno, muy bueno, ligeramente bueno) Persona 2 = (ligeramente malo, bueno, bueno, muy malo)

P1 = (s-2, s2, s3, s1) P2 = (s-1, s2, s2, s-3) Val Pj = Σ si

i ¼

Val P1= s1

Val P2= s0 P1 P2 ϒ

s-4=extremadamente malo s-3=muy malo s-2= malo s-1=ligeramente malo

s1=ligeramente bueno s2=bueno s3= muy bueno s4=extremadamente bueno

s0= justo S


Conjuntos fuzzy Un conjunto es una colección bien definida de elementos en la que es posible determinar para un objeto cualquiera, en un universo dado, si éste pertenece o no al conjunto. Par;mos de la idea de subconjunto de la lógica clásica (booleana o en este contexto también llamada crisp). Consideramos X un conjunto no vacío (al que llamaremos universo), cuyos elementos se denotan como x. En la teoría clásica de conjuntos, un conjunto C se define sobre X mediante la función caracterís;ca de C como:

fC (x ) = 1, si x ∈C0, si x ∉C .

#$%

&%


Supongamos que el universo de discurso, X, es el conjunto de los números reales y que C= ]37, 38[. Calcular la función caracterís;ca de cualquier número real no ;ene dificultad. Por ejemplo,

fC(30) = 0, fC(37) = 0, fC(37.2) = 1, fC(37.5) = 1, fC(37.9) = 0, fC(38) = 0.

Si tuviésemos que decidir si un paciente ;ene febrícula o no, nuestra intención es que la lógica que u;licemos sirva para tomar decisiones, por tanto debemos poder reflejar la idea anterior: “parece que el 36.9 pertenece más al intervalo ]37, 38[ que el número 30”. Para ello, hay que generalizar la función caracterís;ca fC, de modo que pueda tomar más valores que el 0 y el 1.

La no pertenencia de 30 al intervalo ]37, 38[ no parece la misma que la no pertenencia de 36.9 a ]37, 38[


Hablamos de febrícula cuando la temperatura supera los 37°C pero es inferior a los 38°C durante un máximo de 24 horas.

Es una extensión del concepto de función caracterís;ca al de función de pertenencia, μA, para que los valores asignados a los elementos del conjunto caigan en un rango par;cular, y así indicar el grado de pertenencia de los elementos a ese conjunto. Formalmente, la función μA que caracteriza el conjunto difuso AF es μA: X [0, 1]


µC (30) = 0, µC (37) = 0.7,

µC (37.5) =1, µC (39) = 0,

•  Se generaliza a grado de pertenencia de elemento x al conjunto. Un grado de pertenencia nula se entiende como la no pertenencia, 1 como pertenencia en el sentido de Boole, y los números intermedios implican que la pertenencia es incierta.

conjunto referencia Función de pertenencia

€

˜ A = x , µ ˜ A (x)( ) , x ∈X{ }


Un número fuzzy es un conjunto fuzzy cuya función de pertenencia es continua a trozos y convexa y existe un valor cuyo grado pertenencia es igual 1.

Números fuzzy •  Un número fuzzy se dice que es L-‐R, si su función de

pertenencia es de la forma:

•  L, R son las funciones de referencia. •  Si L, R son lineales: números trapezoidales fuzzy. • Definidos por 4 números reales.

Valores menores que y superiores que no se aceptan.

€

aR +αR

€

aL −αL


A = a L ,a R ; α L ,α R( )

1 0

L R

aL-‐αL aL aR aR+αR

Números LR-‐fuzzy

• Si L, R son lineales: números trapezoidales fuzzy. • Definidos por 4 números reales.


A = a L ,a R ,α L ,α R( )

• Si L, R son lineales y aL=aR números triangulares fuzzy. • Definidos por 3 números reales.

A = 37.5; 1.5, 1( )

µC (30) = 0, µC (37) = 0.7,

µC (37.5) =1, µC (39) = 0,

Febrícula0.75 = x ∈ R : µ(x) ≥ 0.75{ },

Si observamos la Figura, para un grado de pertenencia mayor o igual que 0.75, se ;ene es decir que en el intervalo [37.125, 37.75] consideramos que ;ene, al menos, febrícula en un grado 0.75. Este intervalo con;ene toda la información necesaria para el nivel 0.75.


Esto se generaliza al concepto de α -corte, con α ∈ [0, 1] , de un conjunto difuso AF arbitrario sobre un conjunto universal X, de la forma forma siguiente:

(AF )α = x ∈ X : µ(x) ≥α{ }= [a1(α), a2 (α)].

Está claro que

AF = [a1(α), a2 (α)]α∈[0, 1] .

En la práctica, suele fijarse un nivel de exigencia o grado de verdad α ∈ [0, 1] y en lugar de trabajarse con todo el conjunto difuso se trabaja en un intervalo.


Dados dos números difusos AF, BF, los podemos describir mediante sus α -cortes, para todoα ∈ [0, 1] :

AF = [a1(α), a2 (α)]α∈[0, 1] ,

BF = [b1(α), b2 (α)]

α∈[0, 1]

Para calcular la distancia entre ellos, calcularemos la “diferencia” entre ellos:

d (AF ,BF ) = a1(α)−b1(α) d α +α=0

1∫ a2 (α)−b2 (α) d αα=0

1∫ .

Distancia entre conjuntos difusos


Distancia entre conjuntos difusos

AF = [6α −5, −3α + 4]α∈[0, 1] ,

BF = [2α − 4, − 4α + 2]

α∈[0, 1] ,

Para calcular la distancia usando la fórmula anterior, debemos obtener

a1(α)−b1(α) d α = α=0

1∫ 6α −5− (2α − 4) d α =

α=0

1∫ 4α −1d α

α=0

1∫

a2 (α)−b2 (α) d α = α=0

1∫ −3α + 4− (−4α + 2) d α =

α=0

1∫ α + 2 d α

α=0

1∫

Y calculamos estas dos integrales:

• 4α −1d α =α=0

1∫ (1− 4α)d α +

α=0

1/4∫ (4α −1)d α

α=1/4

1∫ =α − 2α 2#

$0

1/4+ 2α 2 −α#$1/4

1=18+98=54

• α + 2 d α =

α=0

1∫ (α + 2)d α

α=0

1∫ =

12α 2 + 2α"#0

1=52

Por lo tanto,

d (AF,BF ) =54+52=154.


Distancia entre intervalos

Si en lugar de dos conjuntos difusos consideramos dos intervalos A=[a1, a2], B=[b1, b2] (que podrían ser dos alfa-cortes concretos de un conjunto difuso), se define la distancia Manhattan, de Hamming o taxi-cab como

dM (A,B) = a1 −b1 + a2 −b2 .

Y para poder comparar distancias entre intervalos de diferentes magnitudes, se suelen normalizar tanto los intervalos como las distancias, es decir partiremos de A=[a1, a2], B=[b1, b2] contenidos en [0, 1] y definimos la distancia

d (A,B) = 12a1 −b1 + a2 −b2( ).


Distancia entre intervalos Cuando no trabajamos con intervalos sino con n-uplas en las que cada coordenada es un intervalo contenido en [0, 1],

A = [a11,a2

1 ], [a12 ,a2

2 ], ... , [a1n ,a2

n ]( ), B = [b11,b2

1 ], [b12 ,b2

2 ], ... , [b1n ,b2

n ]( ),

para calcular la distancia hacemos:

d (A,B) = 12n

a1i −b1

i + a2i −b2

i( )i =1

n

∑ .

Por ejempo, dados A=([0.1, 0.3], [0.2, 0.5], [0.9, 1]) y B=(0.3, [0.4, 0.5], [0.7, 0.9]), la distancia entre ellos es

d (A,B) = 12 ⋅3

(|0.1-0.3|+|0.3-0.3|+|0.2-0.4|+|0.5-0.5|+|0.9-0.7|+|1-0.9|) = 0.11667.


Ordenación de números difusos

Dados n números difusos A1F, A2F, …, AnF, para ordenarlos actuamos de la forma siguiente:

Paso 1: Construimos MF, el número difuso máximo de todos ellos. Paso 2: Medimos la distancia de cada AiF a MF. Paso 3: AiF es mayor que AjF, A!" ≻ !!A!", si y sólo d(AiF, MF) > d(AjF, MF).

En muchas ocasiones, como veremos en el ejemplo siguiente, no es necesario calcular el máximo, sino que es suficiente con elegir un número auxiliar que sea mayor que todos ellos y medir la distancia de cada número al auxiliar.



d (AF ,CF ) =11+52

+5+22

=11.5 d (BF ,CF ) =

10+82

+8+42

=15

Por lo tanto, como CF es mayor que los otros dos conjuntos y AF dista menos de él que BF, se tiene la siguiente ordenación:

CF AF BF.


Caso particular: Ordenación de números difusos Existen muchos métodos para ordenar intervalos, pero siguiendo a Canós y Liern (2008), en nuestro trabajo usaremos el siguiente: Dados dos intervalos A = [a1, a2], y B = [b1, b2] ⊂ R, decimos que A es mayor que B, si y sólo si

A B⇔k1a1+ k2a2 > k1b1+ k2b2, k1a1+k2a2≠ k1b1+k2b2

a1>b1, k1a1+k2a2= k1b1+k2b2

"#$

%$

donde k1 y k2 son dos constantes positivas pre-establecidas que suelen sumar 1. Ejemplo: Dados A=[0.3, 0.5] y B=[0.1, 0.6], vamos a ordenar los intervalos considerando que el extremo inferior es para nosotros el triple de importante que el otro. Esto significa que k1=0.75 y k2=0.25



Ejemplo: Dados A=[0.3, 0.5] y B=[0.1, 0.6], vamos a ordenar los intervalos considerando que el extremo inferior es para nosotros el triple de importante que el otro. Esto significa que k1=0.75 y k2=0.25

k1a1+ k2a2 = 0.75×0.3+0.25×0.5= 0.225+0.125= 0.35,

k1b1+ k2b2 = 0.75×0.1+0.25×0.6 = 0.075+0.15= 0.225

Por lo tanto A > B.


Números fuzzy •  Un número fuzzy es un conjunto fuzzy cuya función de pertenencia

es continua a trozos y convexa y existe un valor cuyo grado pertenencia es igual 1.

•  Un número fuzzy se dice que es L-‐R, si su función de pertenencia es de la forma:

•  L, R son las funciones de referencia. •  Si L, R son lineales: números trapezoidales fuzzy. •  Definidos por 4 números reales.

€

µ ˜ M (x) =

L mL − xαL

$

% & &

'

( ) ) , x < mL

1 mL ≤ x ≤mR

R x −mR

αR

$

% & &

'

( ) ) , x > mR

+

,

- - -

.

- - -

Valores menores que y superiores que no se aceptan.

€

aR +αR

€

aL −αL


A = a L ,a R ,α L ,α R( )

Definición 1. (Yager, 1988): Un operador OWA (Ordered Weighted Averaging) es una aplicación que tiene asociado un vector de pesos no negativos W=(w1, w2, …, wn) con w1 + w2 + …. + wn = 1, tal que siendo bj el j-‐ésimo mayor elemento de la colección a1, a2, …, an.


f : R n → R

f (a1,a2 ,,an ) = w jbjj =1

n

∑ ,

orness(W ) = 1n −1

(n − i ) wii =1

n

∑

Ejemplos: a)  orness (1, 0,…, 0) = 1 Máximo b) orness (0, 0,…, 1) = 0 Mínimo c) orness (1/n, 1/n, …, 1/n) = 0.5

Definición 1. (Yager, 1988): Un operador OWA (Ordered Weighted Averaging) es una aplicación que tiene asociado un vector de pesos no negativos W=(w1, w2, …, wn) con w1 + w2 + …. + wn = 1, tal que siendo bj el j-‐ésimo mayor elemento de la colección a1, a2, …, an.


f : R n → R

f (a1,a2 ,,an ) = w jbjj =1

n

∑ ,

orness(W ) = 1n −1

(n − i ) wii =1

n

∑

Proposición 1. Dados W=(w1, w2, …, wn) y W’=(w’1, w’2, …, w’n) con orness(W)=α y orness(W’)=β, para cualquier , se tiene

λ ∈ [0, 1]

orness(λW + (1−λ)W ') = λα + (1−λ)β

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