ASIGNATURA DE ÁREA I TI-2001 - Industrial- · que debe realizar el alumno, como tareas de...

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SEDE DEL LITORAL

CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA

ASIGNATURA DE ÁREA I TI-2001

- Industrial-

ENERO-MARZO 2011

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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR SEDE DEL LITORAL

CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA 1.- DATOS GENERALES:

Asignatura: Asignatura de Área I

Código: TI - 2001

Departamento: Tecnología de Servicios

Unidades Créditos: 03 Créditos

Horas Semanales: 3 horas Trimestre: Enero-Marzo 2011

Autor: Prof. Asdrúbal Aguilera

2.- INTRODUCCIÓN – JUSTIFICACIÓN:

El presente texto se ofrece como una guía que aunada a las experiencias del Profesor,

facilitará la obtención de los objetivos propuestos, además de las actividades de estudio

que debe realizar el alumno, como tareas de investigación y lectura de textos alusivos,

resolución de problemas y observación de situaciones prácticas. De esta forma el

participante recibirá una gran contribución al desarrollo de sus habilidades y destrezas.

3.- OBJETIVOS: Al finalizar la Asignatura de Área I, el estudiante estará en capacidad de: 1. Conocer las magnitudes escalares y las operaciones vectoriales 2. Analizar lo relacionado a la Cinemática. 3. Analizar la Dinámica y las Leyes de Newton. 4. Aplicar los conceptos de trabajo y energía en las consideraciones energéticas. 5. Analizar los movimientos de rotación y la óptica geométrica.

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4.- CONTENIDO PROGRÁMÁTICO:

Unidades Contenidos

I. – VECTORES

Magnitudes escalares y vectoriales. Representación matemática. Operaciones vectoriales unarias. Operaciones Binarias. Ejercicios.

II.- CINEMÁTICA

Cinemática. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Ejercicios. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Problemas

III.- DINÁMICA Leyes de newton. Resolución de problemas. Diagrama de cuerpo libre.

IV.- CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS

Trabajo. Trabajo conservativo. Potencia. Energía. Conceptos previos. Energía cinética. Potencial. Conservación de la energía. Rozamiento. Impulso y movimiento lineal. Colisiones. Problemas.

V.- MOVIMIENTO DE ROTACION

Cantidades angulares. Problemas.

VI.- ÓPTICA GEOMÉTRICA

Propagación de la luz y camino óptico. Reflexión y refracción de rayos paralelos en superficies planas. Formación de imágenes. Formación de imágenes en espejos planos. Espejos esféricos. Lentes delgadas: convergentes y divergentes. Problemas.

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Capítulo 1: VECTORES

Magnitudes Escalares y Vectoriales.

Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar.

Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar ``algo más que un sólo número''. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc...Este tipo de magnitudes se denominan vectores. Un vector es un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene un origen y un extremo.

Elementos de un vector: - Magnitud o módulo es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector - Dirección o línea de acción: es la dirección de la recta que contiene a dicho vector. La dirección puede ser horizontal, vertical e inclinada. - El punto de aplicación o de origen es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector está representando - Sentido: está indicado por la unta de la flecha colocada en el extremo

Representación Matemática.

Matemáticamente un escalar se representa con un único número y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.

Así un vector v

se representa como

ˆ ˆ, ,x y z x y zv v v v v i v j v k

siendo xv , yv y zv las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los

ejes X, Y y Z. A su vez i , j y k son los vectores unitarios en las direcciones de los

ejes X, Y y Z respectivamente.

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Operaciones Vectoriales Unarias.

Se llama módulo de un vector a lo que éste ``mide''. Se calcula como:

2 2 2

x y zv v v v v

Proyección de un vector sobre un eje es ''la sombra'' de dicho vector sobre el eje si la luz que proyecta dicha sombra cayera justo perpendicularmente. Así las

proyecciones de un vector v

sobre los ejes X, Y y Z serán xv , yv y zv

respectivamente. El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.

, ,x y zv v v v

Operaciones Vectoriales Binarias.

Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las más conocidas son:

Equivalencia.

Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir:

, , x x y y z za b a b a b a b

Suma y Resta.

La suma de varios vectores también se denomina resultante de dichos

vectores. Para sumar un vector a

a otro b

se suma componente a componente, es decir:


Para restar un vector a

de otro b

se suma el inverso del vectorb

, es decir:


La resta de dos vectores iguales es el vector cero o nulo.

0a a

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Producto Escalar.

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica

su nombre. Para multiplicar así escalarmente un vector a

por otro b

se opera de la siguiente forma:

cosa b a b

Siendo el ángulo que forman los vectores a

y b

entre ellos.

El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar también sabiendo que:

x x y y z za b a b a b a b

Propiedades del producto escalar:

Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo. Es nulo si los dos vectores son perpendiculares.

Para proyectar un vector a

sobre un eje marcado por un vector b

basta con realizar la operación:

b

a bproy a

b

Dados dos vectores se puede calcular el ángulo que forma entre ellos usando la relación

2 2 2 2 2 2

cos

x x y y z z

x y z x y z

a b a b a ba b

a b a a a b b b

Producto Vectorial.

El producto vectorial, representado como a b

o bien como a b

, tiene las siguientes propiedades:

Es perpendicular tanto a a

como a b

. Es decir, a b a

y a b b

.

Su módulo es: a b absen

, siendo el ángulo que forman entre ellos.

Su sentido está dado por la regla de la mano derecha (entre otras).

Para hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con

saber que si ˆˆ ˆx y za a i a j a k

y ˆˆ ˆ

x y zb b i b j b k

, entonces:

7

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆx y z y z z y z x x z x y y x

x y z

i j k

a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k

b b b

EJERCICIOS

1. Sean los vectores 5, 2A

, 3, 3B

y 1

,12

C

hallar:

a) A

b) Dirección de B

c) A B

d) BA

e) 3A

f) A B

g) A B

h) 3A B A C

2. Sean los vectores ˆ ˆ3 2a i j

y ˆ ˆ4b i j

calcular:

a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. c) El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido

de c.

3. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: 1 5F N

y 2 7F N , que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60º y

30º respectivamente. Calcular: a) La fuerza resultante. b) Su módulo. c) Ángulo que forma con el eje OX.

4. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: 1 6F N , 2 3F N y

3 4F N , que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45º, 30º

y 60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la fuerza resultante y el coseno del ángulo que forma con el eje OX. 5. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto

1,2,0O y de extremo 3, 1,2P . Calcular:

a) Componentes del vector OP. b) Módulos y cosenos directores. c) Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.

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6. Dados los vectores 2, 4,6a

y 1, 2,3b

. Calcular:

a) El vector suma a b

, su módulo y cosenos directores.

b) El vector diferencia a b

y el vector unitario que define su dirección y sentido.

7. Dados los vectores 1, 1, 2a

y 1,3,4b

. Calcular:

a) El producto escalar de ambos vectores. b) El ángulo que forman entre sí.

c) La proyección de b

sobre a

.

8. Dados dos vectores 2, 1,0a

, 3, 2,1b

y 0, 2,1c

. Calcular:

a) a b c

b) a b c

c) a b c

producto mixto.

d) a b c

e) a b c

doble producto vectorial.

9. Si el producto vectorial de dos vectores es ˆˆ ˆ3 6 2a b i j k

y sus módulos

son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.

10. Sea W el trabajo realizado sobre un cuerpo, por una fuerza F

que genera un

desplazamiento D

de dicho cuerpo, definido como W F D

. Calcule el trabajo

realizado por una fuerza de módulo 100 N aplicada con un ángulo de 6

radianes

respecto de la horizontal de modo que produce un desplazamiento de 2 3 m en

dirección del eje de las abscisas. Sol: 300W Nm .

11. Suponga que el vector velocidad v

de un cuerpo que describe una

trayectoria curvilínea durante su movimiento, está definido por la siguiente ecuación:

v w r

. Donde w

representa el vector velocidad angular de dicho cuerpo y r

es el vector de posición móvil. Hallar la velocidad de un cuerpo si su velocidad angular es

ˆ2w k

y su vector posición es 3 3ˆ ˆ8 10

r i j

. Sol:

3 3ˆ ˆ5 4

v i j

.

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12. Calcule el módulo y la dirección de la fuerza magnética F

, sabiendo que

F v B

; representando estos vectores la velocidad (40 m/s) y el campo magnético (104 Tesla) respectivamente. 13. Si tenemos tres vectores perpendiculares entre sí de módulos a, b, c. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

a) a b c

es un vector de magnitud nula.

b) a b c

es un escalar de magnitud nula.

c) a b c es un escalar de magnitud nula.

d)

a b

c a b

es un vector de magnitud 1

c.

14. Hallar la suma de los siguientes vectores mostrados en la siguiente figura (todos los vectores tienen el mismo módulo):

a) ˆ ˆai aj

b) ˆ ˆ0ai j

c) ˆ ˆ0 0i j

d) ˆ ˆ0i aj

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Capítulo 2: CINEMÁTICA

La mecánica es la parte de la física encargada de estudiar el movimiento y el reposo de los cuerpos, haciendo un análisis de sus propias causas, Para su estudio la mecánica se divide en tres ramas: cinemática, estática y dinámica.

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que producen dicho movimiento. La dinámica es la rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos analizando las causas que determinan dicho movimiento. La estática es la rama encargada de estudiar el equilibrio de los cuerpos.

Elementos del movimiento.

El móvil o partícula, la trayectoria, la posición, punto de referencia, el tiempo, desplazamiento, distancia recorrida. Velocidad y Rapidez.

Rapidez y Velocidad son palabras que con frecuencia se utilizan en el lenguaje cotidiano. En física se hace la distinción entre ellas. La rapidez se refiere a que tan lejos viaja un objeto en un intervalo determinado de tiempo. Si un automóvil viaja a 180 kilómetros (km) en 3 horas, decimos que su rapidez promedio es de 60 km/h. en general, la rapidez media de un objeto se define como “la distancia recorrida dividida entre el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia”:

Esta definición podemos escribirla como:

En la cual representa la distancia, el tiempo transcurrido y la rapidez media o

promedio. Cambio de Unidades.

Con frecuencia se necesita pasar de un conjunto de unidades a otro. Por ejemplo, muchas veces es preferible la rapidez de un auto en m/s, y no en km/h, como cuando se miden distancias de frenado, ya que los tiempos y distancias que intervienen son en general segundos y metros, en lugar de horas y kilómetros. También, a veces se debe pasar de unidades métricas a inglesas o viceversa.

Para determinar que velocidad, en m/s, son 80 km/h, se procede de la siguiente forma: en 1 km hay 1000 m y en 1 h hay 3600 s. Así:

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Note que en el primer renglón hemos multiplicado el número original (80 km/h) por los factores de conversión: 1000 m/1 km = 1 y 1 h/3600s. Ambos factores de conversión son iguales a uno, y por lo tanto, la ecuación no cambia. Las unidades horas y kilómetros se simplifican y con ello obtenemos m/s.

Al cambiar unidades, con frecuencia es un problema decir si el factor de conversión va en el numerador o en el denominador. El modo más fácil de asegurarse es comprobar si las unidades se simplifican como en el ejemplo anterior.

Los cambios entre unidades métricas e inglesas se pueden efectuar del mismo modo. Velocidad Instantánea.

Si se conduce un auto por una carretera recta de 200 km en 2 h, la magnitud de la velocidad media es de 100 km/h. sin embargo, no es posible que en todo el trayecto la velocidad haya sido 100 km/h. para manejar este caso se necesita el concepto de velocidad instantánea, que es la velocidad en cualquier momento. La velocidad instantánea en cualquier momento se define como la velocidad media en un intervalo de tiempo infinitamente corto. Aceleración.

Se dice que un objeto acelera cuando varía su velocidad. Un auto cuya velocidad aumenta de 0 a 100 km/h esta acelerando. Si un auto hace ese cambio de velocidad en menos tiempo que otro, se dice que su aceleración es mayor. La aceleración media se define como la rapidez de cambio de la velocidad, o el cambio de velocidad dividido entre el tiempo que tomo en hacer ese cambio.

En símbolos, la aceleración media, , sobre un intervalo de tiempo ∆t = t2 – t1, cuando la velocidad cambia ∆v = v2 – v1, se define como:

En esta ecuación ∆v representa el cambio infinitamente pequeño de la velocidad

durante el intervalo de tiempo infinitamente corto .

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Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

El MRU se caracteriza por:

El Movimiento que se realiza sobre una línea recta. La Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Aceleración nula.

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.

0 0x x v t t 0 = constantev v 0a

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan:

Figura N 2.1: Representación gráfica de la posición y la velocidad versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniforme.

EJERCICIOS

1. Un móvil A inicia su movimiento con una rapidez constante de 10 m/s y 4 s después sale del mismo punto y en el mismo sentido un móvil B con rapidez constante 15 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida alcanza el móvil B al A y qué tiempo tarda en alcanzarlo? 2. Una recta paralela al eje de los tiempos en una gráfica X vs. t de un M.R.U. significa que el móvil:

a) Tiene rapidez constante. b) Tiene aceleración constante. c) Está detenido.

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d) Recorre distancias iguales en tiempos desiguales. e) Ninguna de las anteriores.

3. La aguja del velocímetro de un automóvil nos mide: a) La rapidez del móvil. b) La velocidad del móvil. c) El desplazamiento realizado del móvil. d) El tiempo de movimiento del móvil. e) Ninguna de las anteriores.

4. Cuando decimos que el móvil tiene una rapidez de 150 m/s significa que el recorre:

a) 150 m en 150 s b) 150 m en 1 s c) 15 m en 10 s d) 1 m en 150 s e) Ninguna de las anteriores.

5. En una gráfica X vs. t del M.R.U. el valor de la pendiente de la recta representa:

a) La distancia recorrida por una partícula. b) El tiempo de movimiento de una partícula. c) La rapidez que tiene una partícula. d) La distancia y el tiempo. e) Ninguna de las anteriores.

6. El cambio neto de posición experimentado por un cuerpo al pasar de un punto a otro se le llama:

a) Movimiento. b) Rapidez. c) Desplazamiento. d) Distancia recorrida. e) Ninguna de las anteriores.

7. La rapidez es una magnitud:

a) Escalar b) Vectorial c) Escalar - Vectorial d) Fundamental e) Ninguna de las anteriores.

8. Jesús está trotando a una velocidad constante de 4 km/h y está a un kilómetro por detrás de María, quien corre a una velocidad constante de 3 km/h en la misma dirección que Jesús. ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanzará Jesús a María?

a) ¼ hora. b) ½ hora. c) ¾ hora. d) 1 hora. e) 1 hora y media.

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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración en función del tiempo podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente (área del rectángulo sombreado en la

Figura N 2.2).

0 0v v a t t

Figura N 2.2: Gráfica de la aceleración versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Dada la velocidad en función del tiempo,

obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área del trapecio

sombreado en la Figura N 2.3), o integrando.

2

0 0 0 0

1

2x x v t t a t t

Figura N 2.3: Gráfica de la velocidad versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniforme.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de la siguiente manera:

2

0 0

1

2x x v t at 0v v at constantea

Despejando el tiempo t de la ecuación de velocidad y sustituyendo en la ecuación de posición se obtiene la siguiente relación:

2 2

0 02v v a x x

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Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento uniformemente variado (MRUV) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.

2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.

3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

EJERCICIOS

9. Analice la siguiente gráfica y responda a las preguntas.

Calcule la rapidez en los segmentos AB, BC, CD y EF. a) ¿En qué segmento queda

representado el momento en el cual el móvil está detenido?.

b) ¿A qué distancia del punto de partida está a los 4 s?.

c) ¿En qué intervalo de tiempo la rapidez ha sido mayor?.

d) ¿Cuántos metros recorre en los 3s?.

e) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el móvil?.

f) ¿Cuál es el desplazamiento total?.

g) ¿Cuánto tiempo estuvo en movimiento?.

h) ¿Se podría construir a partir de los datos de este gráfico un gráfico velocidad versus tiempo? En caso afirmativo, explique cómo.

10. La siguiente gráfica representa tres móviles:

a) ¿Cuál de las rectas representa el móvil de mayor rapidez?.

b) Si las rectas B y C son paralelas, ¿qué se puede decir con respecto a estos móviles?.

c) ¿Cuáles móviles parten al mismo tiempo?. d) ¿Cuáles móviles parten del mismo punto?.

GRÁFICO POSICIÓN vs. TIEMPO

0

6

12

18

24

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

X (

m)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultante

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n

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11. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 735 m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo llegará al suelo?. Sol: t=150 s 12. Un cuerpo fue lanzado hacia arriba y tardó 20 segundos para regresar al suelo. Calcular la rapidez con que fue lanzado y la altura alcanzada. Sol: v0 = 98 m/s y ymax.= 490 m. 13. Un móvil que en un momento dado se desplaza a 20 m/s inicia un M.U.A., el cual mantiene durante 8 s., al final de los cuales tiene una velocidad de 32 m/s. A partir de este momento se desplaza durante 12 s. con velocidad constante. ¿Cuál es el desplazamiento total?. Sol: 592 m. 14. Un coche viaja de noche a 72 km/h y de repente encuentra un camión estacionado a 30 metros de distancia. Frena con la máxima aceleración negativa de 5 m/s2. Calcular el tiempo que tarda en detenerse y determinar si llega a chocar con el camión. Sol: t = 4 s. Sí choca. 15. ¿Con qué velocidad debe ser lanzada verticalmente hacia arriba una pelota para alcanzar un altura máxima de 15,3 m?.

16. El vector de posición de una partícula P es 2 ˆˆ ˆ3 8r ti t j k

en unidades del

Sistema Internacional (S.I.). Hallar: a) La velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) Las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 s. Sol: v = 240m/s; a t= 1,6 m/s2, an = 1,2 m/s2. 17. Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s2 durante un minuto. En ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula libre. Tomando g como constante. Calcular: a) La altura máxima alcanzada; b) El tiempo que está el cohete en el aire. Sol: ymax = 109,5 km; t = 331 s. 18. Un ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s. Cuando se encuentra a 10 m sobre el nivel del suelo los cables se rompen. Prescindiendo del rozamiento, calcular: a) La máxima altura a que llega la cabina. b) Si los frenos de seguridad actúan automáticamente cuando la velocidad del descenso alcanza el valor de 4 m/s, determinar la altura en la que se activan los frenos. Sol: ymax = 10,2 m; y = 9,38 m.

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19. Una grúa eleva un objeto pesado a velocidad constante de 10 ms-1. cuando el objeto se encuentra a 5 m sobre el suelo se rompe el cable quedando éste en libertad. Calcular: a)¿Hasta qué altura seguirá subiendo el objeto?. b)¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se rompió la cuerda? Sol: ymax = 10 m; t = 2 min 41 s. 20. En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de 200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la distancia mínima entre los adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada. Sol: xmax=101 m. 21. Cuando la aceleración de un movimiento es cero, se dice que el movimiento es:

a) Acelerado. b) Retardado. c) Uniforme. d) Rectilíneo. e) Ninguna de las anteriores.

22. El valor numérico del área de la figura encerrada bajo la curva en una gráfica velocidad versus tiempo representa:

a) La rapidez del móvil. b) La aceleración. c) La distancia recorrida. d) El tiempo de movimiento. e) Ninguna de las anteriores.

23. El lanzamiento vertical ascendente representa un movimiento:

a) Uniforme sin velocidad inicial. b) Uniformemente retardado. c) Uniforme. d) Uniformemente acelerado. e) Ninguna de las anteriores.

24. La distancia recorrida y el desplazamiento son tales que:

a) Ambos son vectoriales. b) Siempre coinciden. c) El desplazamiento es magnitud vectorial y la distancia es escalar. d) Coinciden con la trayectoria. e) Ninguna de las anteriores.

25. La razón entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente se llama:

a) Velocidad instantánea. b) Aceleración media. c) Velocidad media. d) Rapidez media.

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e) Ninguna de las anteriores.

26. Un móvil que se desplaza a 12 m/s inicia un M.U.A. con aceleración de 1,2 m/s2. Al recorrer 100 m tendrá una rapidez de:

a) 19,59 m/s. b) 384 m/s. c) 15,49 m/s. d) 132 m/s. e) Ninguna de las anteriores.

27. El cambio de dirección de la recta en una gráfica velocidad versus tiempo significa que:

a) El móvil varió de dirección. b) Hubo cambio de aceleración. c) El móvil cambió de trayectoria. d) El móvil cambió el sentido del movimiento. e) Ninguna de las anteriores.

28. Un cuerpo que se lanza hacia arriba con una rapidez de 4,9 m/s, dura en el aire:

a) 2 s. b) ½ s. c) 1 s. d) ¼ s. e) Ninguna de las anteriores.

29. La gravedad es una aceleración: a) Igual en todo el universo. b) Siempre positiva. c) Es la misma para cualquier cuerpo en un mismo lugar. d) Que depende del cuerpo. e) Ninguna de las anteriores.

30. Un móvil parte del reposo, con una aceleración de 10 m/s2. El tiempo que demora en alcanzar una velocidad de 72 km/h es:

a) 2 s. b) 4 s. c) 6 s. d) 20 s. e) Ninguna de las anteriores.

31. Un automóvil debe tomar una curva a 36 km/h para no volcarse, si tiene una velocidad de 144 km/h. Hallar la aceleración que debe aplicarse si se quiere disminuir la velocidad en 3 s.

a) 10 km/h2. b) 100 m/s2. c) 10 m/s2. d) 1 m/s2. e) Ninguna de las anteriores.

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32. Una esfera es lanzada horizontalmente desde el borde de una mesa con una velocidad de 24,4 m/s llegando al suelo 2,5 s. después. Calcular: a)¿Cuánto ha descendido en ese tiempo?, b) ¿cuánto ha avanzado en sentido horizontal?, c)¿cuánto valen las componentes horizontal y vertical de la velocidad en el momento de tocar el suelo?. Sol: x = 31,25 m. Vx = 24,4 m/s , Vy = 25 m/s.

33. En el lanzamiento parabólico el movimiento horizontal es: a) Con aceleración variable. b) Uniformemente retardado. c) Uniformemente acelerado. d) Uniforme. e) Ninguna de las anteriores.

34. En una feria existe un juego muy conocido que se trata de tumbar tres frascos colocados en forma de pirámide con una pelota. Claudia quiere regalarle un peluche a su hijita y la única forma es que tumbe los frascos con un sólo tiro. Si la distancia desde el sitio de lanzamiento hasta los frascos es de 8 m., la altura al centro de los tres frascos es de 70 cm y la altura a la que lanza la pelota es de 1,7 m; ¿A qué velocidad debe lanzar la pelota para dar en el blanco?

a) 40 5 m/s .

b) 8 m/s5

.

c) 8 5 m/s .

d) 5 m/s5

.

e) Ninguna de las anteriores. 35. Un bateador conecta un home run imprimiéndole a la pelota una velocidad inicial de módulo 50 m/s con un ángulo de inclinación de 30° con respecto a la horizontal y es atrapada por un fanático que se encuentra en el estacionamiento. Suponiendo que el bateador y el fanático se encuentran a la misma altura. Hallar la distancia que los separa.

a) 250 3 m .

b) 250 m .

c) 125 m .

d) 125 3 m .


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Capítulo 3: DINÁMICA

Así como la cinemática se encarga de la descripción del movimiento de los cuerpos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a éstos, la dinámica estudia precisamente por qué se mueven los cuerpos, es decir, cuáles son las causas que crean la variación de su estado de movimiento.

Leyes de Newton.

Primera Ley de Newton. Ley de la Inercia.

La ley de la inercia se podría enunciar como: Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta o no equilibrada. Donde la fuerza neta sería la suma vectorial de todas las fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.

Ésta es la razón por la cual es tan peligroso para los astronautas en el espacio separarse de la nave sin un cordón que los una a ella, ya que si chocan con algo y salen impulsados, como la fuerza neta es casi nula sobre ellos, seguirán desplazándose uniformemente y separándose de la nave sin posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequeño impulsor).

Segunda Ley de Newton.

Esta ley es la más importante en cuanto nos permite establecer una relación numérica entre las magnitudes fuerza y aceleración. Se podría enunciar como: La aceleración que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta externa que se le aplica. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, por lo cual:

F ma

Esta expresión nos relaciona F

, m y a

de una forma unívoca. Básicamente nos

dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho cuerpo se acelere en la misma dirección y sentido que la suma de las fuerzas que le son aplicadas y con una intensidad o módulo que será la misma que la resultante de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.

Así pues un cuerpo experimenta una aceleración mientras está siendo sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo adquiriría un movimiento rectilíneo uniforme o se quedaría en reposo, según el caso.

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Tercera ley de Newton.

La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: éstas siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como: Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercerá sobre A una fuerza igual en módulo y dirección, pero de sentido contrario.

Gracias a esta ley se pueden entender fenómenos como que, para saltar hacia arriba ¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra también ejerce esta misma fuerza sobre nosotros, pero con sentido contrario (es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparación con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve apreciablemente.

Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario ¿no deberían anularse las fuerzas y nada se podría mover?. Pues no es así, porque las fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. Así en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.

En el desarrollo de problemas físicos se presentan comúnmente ciertas fuerzas de acción y reacción de gran interés, algunas de ellas son:

La Fuerza Normal:

Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo que se le sitúa encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se ''hundiría'' en la superficie. Ésta es, por tanto, la fuerza de reacción que, obediente al tercer principio de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima, hace sobre ella.

Esta fuerza es siempre normal a la superficie, es decir, perpendicular a ésta. Para calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que tomemos como referencia, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma en que sea necesario.

Como ejemplo calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10 kg. si el cuerpo está en reposo sobre ella. Si el cuerpo está en reposo significa que su aceleración total es nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que

0F ma N P

donde hemos supuesto que la mesa está perfectamente horizontal y por tanto la normal tendrá sólo una componente en el eje Y. Así despejando se tiene que N P ,

siendo P el peso del cuerpo, por consiguiente: N mg .

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La Fuerza de Roce:

El rozamiento entre superficies se expresa como:

rF N

siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede ''demostrar'' porque se trata de un resultado empírico, es decir, fruto de la experimentación.

El coeficiente de rozamiento es adimensional y expresa así la relación entre la

normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la superficie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa de este empuje. Puede haber dos tipos de coeficiente de rozamiento. Un estático,

que se aplica cuando el cuerpo está quieto y que así, utilizado en la expresión anterior, nos va a ofrecer la fuerza máxima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un cuerpo que está quieto, y un dinámico que, aplicado en la

misma expresión, nos dice la fuerza que el rozamiento está realizando contra un movimiento.

Por ejemplo, considérese un cuerpo de 4 kg. que se está deslizando por una superficie plana y horizontal con coeficiente de rozamiento (dinámico) 0,25 . Si

sobre este cuerpo no actúan más fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qué aceleración se mueve el cuerpo?. Aplicando la ecuación de Newton al eje Y del movimiento obtenemos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto:

y y yF ma N P ma

Como 0ya (un cuerpo sobre una superficie no va ''rebotando'' sobre ella, su

altura, medida sobre la superficie, es siempre cero) tendremos que N mg .

Aplicando ahora x xF ma tenemos que la única fuerza en el eje X es la de roce, y

por tanto:

x r xF F N ma

sustituyendo el valor de la normal se obtiene: xa g , de donde 22,5xma

s. El

signo negativo se debe a que, como estamos suponiendo implícitamente que el cuerpo avanza hacia el signo positivo del eje X, el rozamiento se opondrá al avance y tendrá, por lo tanto, signo negativo.

La Fuerza de Tensión:

En problemas que intervienen cuerdas la tensión es la fuerza que liga unos cuerpos y otros a través de la cuerda. La tensión en cada extremo de una misma cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensión supera un cierto valor crítico la cuerda se rompería.

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La Fuerza Elástica:

Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. A las fuerzas de restauración, originadas en la parte interna del material, que tienden a regresar el cuerpo a su posición original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman fuerzas elásticas. Esta fuerza puede ser calculada a través de la ley de Hooke, es decir:

F kx

donde k es la constante de elasticidad y x es la deformación o desplazamiento

medido desde el punto inicial.

Resolución de problemas

Diagrama de Cuerpo Libre

Un diagrama de cuerpo libre no es más que una representación a través de vectores de todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre un determinado cuerpo.

Planos Inclinados.

Es común en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos habrá que tener en cuenta que, así como la gravedad siempre se presenta vertical, la normal será perpendicular al plano inclinado, por lo que ningún sistema de coordenadas ortogonal tendrá exactamente comprendidas las fuerzas en acción sobre sus ejes. Esta pequeña dificultad se soslaya de una manera simple, proyectándose las fuerzas sobre los ejes que se utilicen como referencia.

Una buena elección suele ser tomar el eje Y en la normal al plano inclinado, y el eje X acorde con su superficie de deslizamiento. De esta forma la normal estará totalmente comprendida en el eje Y, y sólo habrá que considerar las proyecciones de la gravedad usuales; g.cosα para la normal y g.senα la componente de la gravedad que hace desplazarse el vehículo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se

puede ver en la figura N 3.1.

24

Figura N 3.1: Diagrama de cuerpo libre para un bloque ubicado en un plano inclinado.

Por ejemplo, considérese un cuerpo que desliza por una rampa inclinada 30° y con un coeficiente de rozamiento 0,2 . Calcular la aceleración con la que

desciende dicho cuerpo suponiendo que 29,8mgs

. Tomemos para enfocar este

problema el gráfico representado en la figura anterior. Habremos de aplicar la

ecuación de Newton F ma

para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar

como ejes unos tales que el eje X presente la misma inclinación que la rampa. De

esta forma planteando la ecuación primero para el eje Y se obtiene: y yF ma , y

como las fuerzas en el eje Y son la normal (componente positiva) y la proyección sobre este eje Y del peso (componente negativa) tendremos que:

cos30 yN mg ma

Ahora hay que darse cuenta que, en el eje Y el cuerpo no se acelera porque, como en ningún momento se despega de la superficie, siempre su posición Y es la

misma y, por consiguiente, 0ya . Así se tiene que que:

cos30 0 cos30N mg N mg

Para el eje X tenemos dos fuerzas, la proyección sobre el eje X del peso y la fuerza de rozamiento. Así pues:

30x x xF ma mgsen N ma

y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar xa , que es la aceleración

del cuerpo:

230 cos30 3,2 xma gsen g

s

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Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo análisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensión que ejercen las cuerdas y dándose cuenta de que la aceleración será la misma para todos los cuerpos unidos entre sí por la cuerda, puesto que su movimiento será solidario.

EJERCICIOS

1. Si se tienen dos cuerpos, que se pueden mover libremente, de diferentes masas y les aplicamos la misma fuerza, entonces la mayor aceleración la tendrá:

a) El cuerpo de menor masa.

b) El cuerpo de mayor masa.

c) El cuerpo que se desplace más lento.

d) El cuerpo que no se mueva.


2. La fuerza que un plano ejerce sobre un bloque colocado sobre él, recibe el nombre de:

a) Tensión.

b) Normal.

c) Roce.

d) Peso.


3. La fuerza necesaria para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante es:

a) Proporcional a su masa.

b) Proporcional a su peso.

c) Nula.

d) Proporcional a su aceleración.


4. Las fuerzas de acción y reacción:

a) Son aspectos parciales de una interacción.

b) No originan movimiento.

c) Actúan simultáneamente.

d) Están aplicadas sobre cuerpos diferentes.


26

5. Sobre un cuerpo, apoyado sobre una superficie horizontal, actúan dos fuerzas: la normal y el peso, ellas son:

a) De igual magnitud y sentido.

b) Perpendiculares entre sí.

c) Actúan simultáneamente.

d) De diferente magnitud y sentidos opuestos.


6. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 12 N. y 5 N., formando entre sí un ángulo de 90°. El módulo de la fuerza resultante que actúa sobre él es:

a) 7 N.

b) 17 N.

c) 60 N.

d) 13 N.


7. En el plano inclinado, cuando un cuerpo está apoyado sobre él, la dirección del vector peso del cuerpo es:

a) Perpendicular al plano inclinado.

b) Paralelo al plano inclinado.

c) Perpendicular al plano horizontal.

d) De sentido opuesto a la normal.


8. La dirección de la fuerza de roce es:

a) Perpendicular a la superficie de contacto.

b) Paralela a la superficie de contacto.

c) Paralela a la dirección normal.

d) Perpendicular a la dirección del desplazamiento.


9. La ley de inercia o primera ley de Newton se cumple para:

a) Los cuerpos en reposo únicamente.

b) Todos los cuerpos independientemente de su estado de reposo o de movimiento.

c) Los cuerpos solo en movimiento

d) Los cuerpos referidos a un sistema de coordenadas.

27


10. Si llamamos F

a la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo y

además 0F

, se cumple que:

a) La única posibilidad es que el cuerpo esté en reposo.

b) La única posibilidad es que el cuerpo se mueva con velocidad constante.

c) El cuerpo posee aceleración constante.

d) El cuerpo está en reposo o se mueve a velocidad constante.


11. Si llevamos una balanza en equilibrio, con una masa m colocada en uno de los platillos equilibrada esta con una masa patrón en el otro, al planeta Venus, podemos afirmar que:

a) Seguirá en equilibrio ya que no se está pesando sino midiendo la relación de masas.

b) Modificará su posición de equilibrio, ya que la aceleración de gravedad de Venus es diferente a la de la Tierra.

c) Se modificará la lectura de la escala ya que la masa patrón aumenta.

d) Se modificará la lectura de la escala, ya que la masa patrón disminuye.

e) No se puede afirmar nada ya que nadie ha estado en Venus.

12. Si un cuerpo viaja a velocidad constante, entonces:

a) Sobre él no actúa ninguna fuerza.

b) Actúa una fuerza constante sobre él.

c) La fuerza resultante que actúa es nula.

d) Existe una fuerza variable que produce el movimiento.


13. Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo se incrementa un 50%, la aceleración del cuerpo:

a) Se incrementa en un 50 %.

b) Se incrementa en un 100%.

c) Se reduce en un 50%.

d) Se reduce en un 100%.


28

14. Si un cuerpo se desliza sobre un plano inclinado de 30° sin rozamiento, la

aceleración del cuerpo es: (considere 29,8mgs

)

a) 29,8 ms

.

b) 24,9 ms

.

c) 213,2 ms

d) 28,6 ms


15. Sobre un cuerpo de masa m, actúa una fuerza de 4 N, produciéndose en él una aceleración de 2 m/s2. La fuerza que se debe ejercer sobre el mismo cuerpo para producir una aceleración de 6 m/s2 es:

a) 2 N

b) 4 N

c) 6 N

d) 12 N


16. Si una fuerza F, al actuar sobre un cuerpo de masa m, produce una aceleración a, la misma fuerza al actuar sobre otro cuerpo de masa 2m, produce una aceleración:

a) a

b) 2a

c) 4a

d) 2

a


17. En la figura se tienen dos fuerzas aplicadas sobre un cuerpo de masa 4 Kg. La aceleración del cuerpo es:

a) 28 ms

.

29

b) 20,5 ms

.

c) 20,5 ms

dirección horizontal y hacia la izquierda.

d) 20,5 ms

dirección horizontal y hacia la derecha.


18. Un bloque de masa 1 4 m Kg . Se encuentra sobre una superficie horizontal

sin rozamiento. De este objeto se amarra una cuerda que pasa por una polea y se

cuelga otro bloque de masa 2 2 m Kg . Tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la

tensión de la cuerda?

a) 12 N. b) 20 N.

c) 13,3 N.

d) No se puede determinar.


30

Capítulo 4: Consideraciones Energéticas

Los conceptos de trabajo y energía son de gran importancia en física, y también

son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea física, por lo que habrá que tratar la intuición con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que intervienen el trabajo y la energía.

Trabajo

La palabra trabajo tiene diversos significados en el lenguaje cotidiano. En física, se le da un significado muy específico para describir lo que se logra mediante la acción de una fuerza, cuando hace que un objeto se mueva cierta distancia. En forma especifica, el trabajo efectuado por una fuerza constante, tanto en magnitud como en dirección, se define como el producto de la magnitud del desplazamiento por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. En forma de ecuación lo anterior es:

.W F r

La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un N.m. Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que

cosW F r F r

en donde es el ángulo que existe entre la línea de aplicación de la fuerza y el

desplazamiento del cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o nulo. Cuando el trabajo realizado por la fuerza es nulo se dice que la fuerza no realiza trabajo. Se tiene así que una fuerza aplicada perpendicularmente a un desplazamiento no produce trabajo. Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. ¿Cómo se puede entender esto intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra trabajo con ``cansancio'' y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa debería producir trabajo físico, porque cansa. Para entender esta situación podemos pensar que realmente no es necesario sujetar personalmente la bolsa a cierta distancia del suelo, puesto que esta misma acción puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el trabajo auténtico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas que se oponen a él, como podría ser en este caso el rozamiento del soporte con el suelo. Pregunta:

¿Cuánto es el trabajo que produce la normal sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento sobre una superficie cualesquiera?

Ninguno, porque la fuerza normal siempre es perpendicular al desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo (producido por la normal) será nulo.

31

Ahora bien. ¿Cómo podemos definir el trabajo si la fuerza es variable, o si la trayectoria es curva?.En ese caso suponemos válida la definición de trabajo para una trayectoria muy pequeña (infinitésima) y sumamos (integramos) a todos los ’’pequeños trozos de trayectoria’’. Es decir:

2

2 1

1 1

.n

i i

i

W W F r F drF dr

Pregunta:

Un niño arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira de una cuerda

con una fuerza de 80 Newton formando un ángulo con el suelo de 30 . ¿Cuál es el trabajo producido?

Utilizando la fórmula cosW F r tenemos simplemente que:

80 100 cos30 4000 3 W J

Trabajo Conservativo

Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino sólo de los puntos inicial y final, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la acción de una fuerza conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será el mismo independientemente del itinerario del cuerpo.

Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede definir una magnitud denominada energía potencial. Ejemplos de fuerzas conservativas son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional). Trabajo conservativo es aquél que sólo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria.

Potencia.

La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir:

WP

t

donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como:

WP

t

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y si la fuerza es constante se puede decir que:

P F v

La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. ( ). Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo. La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presión que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la fórmula la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la velocidad es constante. ¿Qué podemos explicar con esto?. Supongamos que un automóvil está ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente del peso que ``tira de él hacia atrás''. El conductor se ve obligado a ir en una marcha corta, lo cual significa que la relación entre la fuerza y la velocidad va a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, únicamente para vencer los rozamientos. Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia verá como, efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.

EJEMPLO Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros. Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua. Usando la fórmula para fuerzas constantes y notando que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de módulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que:

41000 9,8 cos0 9,8 10 W F d J

Aplicando ahora la ecuación de la potencia W

Pt

se tiene que:

439,8 10

1,6 10 60

P W

33

Energía.

Se considera tácitamente la energía como la capacidad para hacer un trabajo, o bien el trabajo ''acumulado'' por un cuerpo.

El concepto de energía es uno de los más fructíferos de toda la física, pero también es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos definir unos conceptos previos.

Conceptos Previos.

Energía Cinética.

Energía cinética es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velocidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo de energía, pero no tenemos más que pensar que efectivamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformación, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energía.

Se puede demostrar la existencia de la energía cinética de varias formas. Una manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se está aplicando una fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton F m a , tendremos un cuerpo sometido a una aceleración constante y, usando las

ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que será m a x con la velocidad, el trabajo ''se acumula'' en forma de energía cinética, la cual es la energía que tiene un cuerpo por desplazarse con cierta velocidad y su valor es:

21

2cE mv

Es más correcto expresarlo como:

2 2

2 1 2 1

1 1

2 2W W mv mv

éste es el llamado teorema de las fuerzas vivas.

Para resolver un problema utilizando este teorema habrá que elegir unos instantes 1 y 2 y, calculando el trabajo y la energía en cada uno de estos instantes, el teorema nos permitirá relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir

34

convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, además, intentar que el máximo número de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el cálculo.

EJEMPLO Se aplica una fuerza horizontal de 100 N a un cuerpo de 2 kg. que está inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se moverá al cabo de 20 metros?

Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas a este problema y tendremos que:

0fW Ec Ec

siendo 0 y f los instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que, en este caso,

0Ec es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo será, como la fuerza

es paralela al desplazamiento, 100 20 2000 W F d J . Tendremos entonces que:

212000

2mv

y por tanto:

20002 20 5

2

J mv

Kg s

Potencial.

La energía potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se define la energía potencial en un punto de tal forma que se cumpla:

AB A BW Ep Ep

El trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminución de la

energía potencial W Ep , donde hemos llamado 2 1Ep Ep Ep . Es muy

importante darse cuenta de la aparición del signo en la fórmula. Otra notación para la energía potencial es, en vez de llamarla Ep, denominarla U. Intuitivamente la energía potencial es la que tiene un cuerpo por el mero hecho de ocupar una determinada posición en el espacio. Así por ejemplo, veremos más adelante que un cuerpo que se encuentre a una cierta altura h sobre la superficie terrestre presenta, sólo por este hecho, una energía potencial. Podemos entender esto dándonos cuenta de que, efectivamente, un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energía, puesto que puede caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo durante su caída.

Gravitatoria en la Superficie Terrestre.

Aplicando la definición de potencial indicada en tendremos que:

Ep mgy

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siendo y la altura sobre el suelo o el nivel 0.

La energía potencial cuando el valor de g se puede tomar constante es Ep mgh .

Gravitatoria General.

Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza que se rige por la ley de

Newton de la gravitación universal, es decir, que el módulo de la fuerza de atracción

es 2

.M mF G

r en donde el signo “ “ informa de que el sentido siempre es de

atracción.

Así pues para calcular la energía potencial que un cuerpo de masa m tiene por

estar a una distancia r de otro de masa M no habrá más que calcular .

p

M mE G

r.

Energía potencial gravitatoria (en el caso general) es .

p

M mE G

r.

En esta fórmula como en la fórmula un análisis del significado estas expresiones y, más concretamente, de la presencia de una r en el denominador, nos indica que, para estas dos fórmulas, el origen de las energías se toma en el infinito, es decir, que la energía potencial de un planeta (por ejemplo) es nula, cuando este planeta está totalmente aislado, es decir, infinitamente alejado, del otro.

Elástica.

Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan F k r

se tiene que,

(tomando una única dimensión) 21

2Ep K x , obedeciendo así a la Ley de Hook.

Electrostática.

Dadas dos partículas con cargas q y Q, el módulo de la fuerza de atracción entre

ambas cargas es 2

QqF K

r siendo r la distancia que existe entre ambas cargas. De

esta forma se puede extraer fácilmente que la energía potencial electrostática será:

p

QqE F dr K

r

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Conservación de la Energía.

Cuando en un sistema sólo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que se cumple el siguiente teorema de conservación de la energía:

A A B BEp Ec Ep Ec

Siendo A y B dos momentos cualesquiera en la evolución de la partícula, y AEp y

BEp la suma de todas las energías potenciales que tenga el cuerpo en los puntos A y

B. Este teorema es muy útil para la resolución de ciertos aspectos de los problemas,

sobre todo los relacionados con la obtención de la velocidad en determinados instantes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en superficie, particularizando se tiene:

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2mv mgy mv mgy

de donde podremos despejar fácilmente la velocidad en uno y otro instante según los datos que conozcamos. El teorema de conservación de la energía dice que la energía total en todos los instantes es la misma, siendo la energía total la suma de las energías cinéticas más las potenciales. EJEMPLO Un cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. ¿A qué velocidad estará cuando se encuentre tan sólo a un metro sobre el suelo? Llamemos A al instante inicial, en que encuentra parado y a siete metros, y B al segundo instante, cuando viaja a una velocidad y se encuentra a tan sólo 1 metro. Tendremos entonces que:

A A B BEp Ec Ep Ec

en donde 7AEp mg y 1BEp mg , como parte del reposo 0AEc porque 0Av y

denominando Bv a la velocidad cuando pasa por el punto B tendremos que

21

2B BEc mv . Tendremos entonces que:

217 1 2 7 1 2 30

2B

mmg mg mv v g

s

37

Rozamiento.

En el caso de que exista rozamiento u otras pérdidas de energía no conservativas podremos aún seguir usando las mismas fórmulas siempre que tengamos la precaución de introducir esta energía pérdida por rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo si tenemos un problema en el cual aparece la energía potencial en la superficie terrestre mgh y también una fuerza de rozamiento podríamos plantear la ecuación de conservación de la energía entre los instantes 1 y 2 como:

2 2 *

1 1 2 2

1 1

2 2mv mgy mv mgy E

donde se ha representado por *E la energía que se ha perdido entre dichos instantes. Cuando aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas los puedes poner como:

*

A A B BEp Ec Ep Ec E

donde *E es el trabajo no conservativo.

A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que

cosW Fd y que 180 porque el rozamiento siempre se opone al

desplazamiento. De esta forma se tendría que W Ngs pero, como el término *E

se sitúa en el miembro derecho de la ecuación con valor positivo, simplemente *E Ns donde N es la normal y s es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo,

es decir, la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento.

Impulso y Momento Lineal.

El impulso surge de integrar (sumar) la fuerza respecto al tiempo I F t

. O lo que es lo mismo:

2 1 2 1p p p I I F t

donde P es momento lineal.

Una forma intuitiva de comprender el momento lineal p es como una forma de medir la dificultad de llevar una partícula hasta el reposo. Así es claro que, cuanto más masivo sea un cuerpo y más velocidad tenga, tanto más nos costará ``parar'' el movimiento de dicho cuerpo.

Colisiones.

Otra forma que las partículas cambian su movimiento es por colisiones directas con otras partículas. En las colisiones entre dos cuerpos es útil distinguir las colisiones elásticas en las cuales los cuerpos emergen de la interacción inalterados, de las colisiones inelásticas en las cuales los cuerpos se deforman. Las fuerzas que

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intervienen en las colisiones en ambos casos cumplen el principio de acción y reacción. En el caso de las colisiones elásticas, las fuerzas pueden considerarse conservativas durante el breve tiempo que actúan. En tales interacciones por lo tanto la energía cinética se conserva, pues antes y después de la interacción la energía potencial es cero. Por el contrario, en las colisiones inelásticas, la energía cinética no se conserva.

Veamos que además, en todas las colisiones el momento lineal se conserva

(trabajamos en el caso de movimiento unidimensional). Si 12F es la fuerza que la

partícula uno ejerce sobre la partícula dos y 21F la fuerza que la partícula dos ejerce

sobre la partícula uno, el principio de acción y reacción dice que 12 21F F . Usando la

segunda ley de Newton para cada partícula y sumando, tenemos:

1 1 2 2 12 21 0m a m a F F

Entonces para cada intervalo de tiempo t , se tiene:

1 21 2 1 1 2 20 0

v vm m m v m v

t t

Como este resultado es cierto para cada intervalo Δt también es válido para todo intervalo transcurrido durante la interacción. Definiendo el momentum lineal total del sistema por:

1 1 2 2P m v m v

Podemos decir que el momento lineal se conserva en la interacción y escribir:

1 01 2 02 0f fP P P P P

EJERCICIOS

1. En física, el trabajo mecánico es lo mismo que:

a) Esfuerzo.

b) Desplazamiento.

c) Fuerza.

d) Variación de energía.


2. En física decimos que la potencia mecánica es:

a) Capacidad de realizar trabajo mecánico.

b) Trabajo mecánico realizado.

c) Capacidad de realizar trabajo en función del tiempo.

d) Todas las anteriores.


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3. Cuando decimos que una máquina A tiene más potencia que una maquina B, queremos decir que:

a) La máquina A puede realizar mas trabajo que la B.

b) La máquina A tarda más tiempo que B en realizar el mismo trabajo.

c) En el mismo tiempo la máquina B efectuará menos trabajo que A

d) La máquina A es más lenta que la B.


4. Decimos que una fuerza es conservativa cuando:

a) Conserva la energía mecánica sobre el que actúa.

b) Su trabajo depende solo de las posiciones inicial y final.

c) Conserva la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el que actúa.

d) Su trabajo es independiente de la distancia entre las posiciones inicial y final..


5. En un lanzamiento vertical hacia arriba afirmamos:

a) La energía cinética inicial es el doble de la energía potencial gravitacional a la mitad de la altura.

b) La energía mecánica es mayor que la energía cinética inicial.

c) La energía cinética inicial nunca es igual a la energía potencial.

d) La energía potencial nunca es igual a la energía mecánica.


6. La energía mecánica de un cuerpo se conserva siempre que:

a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo varíen con la distancia.

b) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean disipativas.

c) El trabajo de las fuerzas depende únicamente de las posiciones inicial y final.

d) El trabajo de las fuerzas entre dos puntos cualesquiera sea constante.


7. Cuando se eleva verticalmente un cuerpo a velocidad constante hasta una altura h, el trabajo realizado por la fuerza de atracción gravitatoria es:

a) Nulo.

b) Igual y de signo contrario al realizado por la fuerza externa que aplica el agente exterior.

40

c) Igual y de signo contrario al realizado por la fuerza resultante.

d) Dependiente del valor de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo.


8. Cuando un cuerpo se mueve en círculo a velocidad constante, la fuerza que realiza su aceleración realiza trabajo:

a) Máximo.

b) Nulo.

c) Mínimo.

d) Negativo.


9. Dos cuerpos A y B tienen masa “m” y “2m” respectivamente e idéntica cantidad de movimiento, entonces:

a) A posee mayor energía cinética.

b) B posee mayor energía cinética.

c) Posee idéntica energía cinética.

d) No se pueden comparar las energías cinéticas.


10. En un choque elástico:

a) Se conserva únicamente la cantidad de movimiento.

b) Se conserva únicamente la energía cinética.

c) Se conservan simultáneamente las dos anteriores.

d) El coeficiente de restitución es cero.


11. Dos cuerpos A y B tienen masas “m” y “2m” respectivamente e idéntica cantidad de movimiento, entonces:

a) A posee mayor energía cinética.

b) B posee mayor energía cinética.

c) Poseen idéntica energía cinética.

d) No se pueden comparar las energías cinéticas.


12. ¿A qué altura habrá sido elevado un cuerpo de masa 10 Kg. Si el trabajo empleado fue de 500 J?

a) 5 m.

b) 50 m.

c) 0,5 m.

41

d) 0,2 m.


13. El carro de un funicular tiene un peso mg y sube hasta una altura h. ¿Cuál es el trabajo total realizado por el peso en un viaje de ida y vuelta?

a) mgh.

b) Cero.

c) 2mgh.

d) Depende del ángulo formado por el cable del funicular con la horizontal.


14. En un movimiento parabólico el trabajo realizado por la fuerza de atracción gravitatoria sería:

a) xmg.

b) Cero.

c) 2.hmax.mg.

d) (La longitud de la parábola).mg.


15. Una grúa puede elevar 2000 Kg de material a una altura de 50 m en 20 s¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor que accionó la grúa?

a) 20000 J.

b) 2000 J.

c) 50 KJ.

d) 500 KJ.


16. Dos cuerpos de masas 1m y 2m tales que 1 24m m , con velocidades 1v y 2v

respectivamente, poseen igual energía cinética si:

a) 1 2v v .

b) 1 2

1

2v v .

c) 1 22v v .

d) 1 24v v .


42

17. Una pelota de masa m choca contra una pared y al rebotar invierte su movimiento de forma que su velocidad después del choque, es igual en magnitud y dirección, pero de sentido contrario al que tenía antes del choque. La variación de la energía cinética es:

a) 21

2mv .

b) 21

2mv .

c) 2mv .

d) Cero.


18. Una fuerza de 12 N actúa sobre un cuerpo moviéndolo 7 m. Calcular el trabajo cuando: a) se mueve en la misma dirección de la fuerza b) se mueve en la dirección opuesta c) la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento forman un ángulo de 30° y 90° respectivamente. Sol: 84 J , -84 J, 72,74 J, 0 J.

19. Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20,4 m/s, para detenerlo en 2 s? b) ¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se detiene?. Sol: a) 40N, b) –816 J.

20. Por un plano inclinado de 3 m de alto y 4 m de base, se traslada con velocidad constante un bloque de 100 kg, mediante una fuerza paralela al desplazamiento (no hay fricción). a) ¿Qué trabajo se habrá realizado cuando el bloque llegue al final del plano inclinado?. b) ¿Con qué fuerza se ha empujado el bloque? c) ¿Cuál ha sido la ventaja de usar el plano inclinado, en vez de elevarlo verticalmente?. Sol: a) 2940 J, b) 588N, c) La fuerza aplicada es menor.

21. Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s: a) Calcular la energía cinética del proyectil a la salida del cañón. b) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil mientras está en el cañón es de F = 360 - 720x, determinar la longitud del cañón. Sol: a) 90J, b) 0,5 m.

22. Un motor de 800 W trabaja durante 2 horas y media ¿Qué trabajo realiza en J y Kwh? (1Kwh=36.105J) Sol: a) 72.105 J , b) 2 Kwh

23. Un automóvil de masa 2000 Kg realiza un desplazamiento de 200 m para variar su rapidez de 14 m/s a 22 m/s. Calcular a) el trabajo que realiza la fuerza no equilibrada que dio origen al cambio de rapidez, b) el módulo de la fuerza aplicada. Sol: a) 288000 J, b) 1440 N.

43

24. Un caballo va por la orilla de un río y tira de una barcaza con la fuerza de 400 N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 37º con la dirección del río. Determinar el trabajo que realiza al recorrer 200 m. Sol: 64000 J.

25. Un alpinista de 75 kg trepa 400 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía potencial gravitatoria gana en una ascensión de dos horas? Sol: 588 J.

26. Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ángulo de 37º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el rozamiento con el aire. Sol: 123 m/s.

27. En la cima de unas montañas rusas un vehículo está a una altura de 40 m sobre el suelo y avanza a 5 m/s. Calcular la energía cinética del vehículo cuando está en una segunda cima situada a 20 m sobre el suelo, si se desprecian los rozamientos. La masa del vehículo con sus ocupantes es de 1.000 kg. Sol: 208,5 J.

28. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué cantidad de energía ha perdido? Sol: 0,0196 J.

29. Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el punto A del rizo. Calcular: a) Velocidad del cuerpo en el punto C, b) Fuerza que ejerce la vía sobre el cuerpo en

dicho punto. Sol: a) Rg , b)

7mg

30. Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 6 m/s; sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,3, calcúlese el tiempo que tarda en detenerse y el espacio recorrido. Sol: 6,12 m, 2,04 s.

44

31. Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º con

una 0 9,8 /v m s . Se observa que recorre una distancia de 6 m sobre la superficie

inclinada del plano y después desliza hacia abajo hasta el punto de partida. a) Calcular la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. b) Hallar la velocidad del cuerpo cuando vuelve a la posición inicial. Sol: a) 15,5 N, b) 4,6 m/s.

32. Un bloque de 35,6 N de peso avanza a 1,22 m/s sobre una mesa horizontal (sin rozamiento). Si en su camino se encuentra con un resorte cuya constante elástica es 3,63 N/m. ¿Cuál es la máxima compresión del resorte? Sol: 1,22 m

45

CAPITULO 5: MOVIMIENTO DE ROTACION.

En este capítulo trataremos el movimiento de rotación. Nos ocuparemos principalmente de los cuerpos rígidos. Por cuerpo rígido se entiende un cuerpo con forma definida que no cambia, de modo que las partículas que lo componen permanecen en posiciones fijas entre sí. Sin embargo, cualquier cuerpo real es capaz de vibrar o deformarse cuando se ejerce una fuerza sobre él. Pero con frecuencia esos efectos son muy pequeños, por eso el concepto de cuerpo rígido ideal es muy útil como buena aproximación al caso real.

El movimiento de un cuerpo rígido, se puede analizar como el movimiento de traslación de su centro de masa, más el movimiento de rotación con respecto a su centro de masa. Por movimiento rotacional se entiende aquel donde todos los puntos de un cuerpo se mueven describiendo círculos.

CANTIDADES ANGULARES.

Para describir el movimiento de rotación se emplean cantidades angulares, como la velocidad y la aceleración angular.

Todo punto de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo se mueve en un círculo cuyo centro está en el eje y cuyo radio es r, la distancia l perpendicular de ese punto al eje de rotación. Una línea perpendicular trazada desde el eje hasta cualquier punto barre el mismo ángulo θ en el mismo tiempo. Para indicar la posición del cuerpo, o hasta donde ha girado, se especifica el ángulo θ de alguna línea determinada del cuerpo con respecto de alguna línea de referencia (x) un punto del cuerpo (P), se mueve en ángulo θ cuando recorre la distancia l medida a lo largo de la circunferencia de su trayectoria circular.

x

En general los ángulos se miden en grados, en el movimiento circular es más fácil emplear el radian como medida angular. Un radian (rad) se define como el ángulo formado por el arco cuya longitud es igual a la del radio. Por ejemplo en la figura anterior, el punto P esta a una distancia r del eje de rotación y se ha movido una distancia l a lo largo del arco del círculo. Si l = r, entonces θ es exactamente igual a 1 rad. En general, cualquier ángulo esta especificado por:

θ

l

o

r P

46

En la cual r es el radio del círculo y l es la longitud del arco formado por el ángulo θ especificado en radianes. Los radianes se pueden relacionar con los grados, de la manera siguiente:

1 circulo = 360° Longitud del arco a la circunferencia del círculo:

Si = para un círculo completo, entonces:

360° = rad. Por lo tanto:

1 rad = 360°/2*3,14 = 360°/6,28 = 57,3°

La velocidad angular se define en analogía con la velocidad lineal ordinaria. En lugar de distancia recorrida empleamos la distancia angular θ. Así, la velocidad angular media, que se representa por w, se define como:

Donde θ es el ángulo que ha girado el cuerpo en el tiempo t. la velocidad angular instantánea se define como el ángulo pequeño, ∆θ, que gira el ángulo en un intervalo muy corto de tiempo ∆t:

La velocidad angular se mide en radianes por segundo, esto es consecuencia de que toda posición en el cuerpo se mueve el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo.

La aceleración angular, en analogía con la aceleración lineal ordinaria, se define como el cambio de velocidad angular dividido entre el tiempo necesario para ese cambio. La aceleración angular media se representa mediante la letra griega alfa α y se define como:

Donde es la velocidad angular inicial y la velocidad angular después de

haber transcurrido el tiempo . La aceleración angular instantánea se define como:

47

Como es la misma para todos los puntos de un cuerpo en rotación será

también la misma para todos los puntos. Así, y son propiedades del cuerpo

giratorio en su totalidad. se mide en radianes por segundo y t en segundos, α se expresara en radianes por segundo al cuadrado (rad/seg2).

En ocasiones es útil relacionar la velocidad angular con la frecuencia, la cual, se define como el número de revoluciones completas (rev) por segundo. Una revolución o vuelta, por ejemplo de una rueda, corresponde a un ángulo de 2π radianes, por lo tanto 1 rev/seg = 2π rad/seg. Por lo tanto, la frecuencia f se relaciona

con la velocidad angular mediante:

Es decir,

El tiempo necesario para una revolución completa se denomina periodo, T y se relaciona con la frecuencia mediante:

Por ejemplo si una partícula gira a una frecuencia de seis revoluciones por segundo, entonces cada revolución tarda 1/6 s.

EJERCICIOS VERDADERO Y FALSO.

Responda verdadero o falso, y por qué.

a) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad angular. ___ b) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad lineal. ___ c) El momento de inercia depende de la situación del eje de rotación. ____ d) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, el

momento angular es cero. _____ e) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, la velocidad

angular no cambia. _____ f) Si la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es cero este cuerpo tiene momento

angular cero. _____

48

EJERCICIOS.

1. Pasar los siguientes ángulos a radianes. a) 30°, b) 90° y c) 420°. Dar la

respuesta en valores numéricos y en fracciones de π.

2. Una rueda de esmeril gira a 2500 rpm. Calcule la velocidad angular en rad/s.

3. Una rueda de 70 cm de diámetro girando a 1200 rpm se frena hasta el

descanso en 15 s. calcula su aceleración angular.

4. Una bicicleta de 68 cm viaja 7 km. ¿Cuántas revoluciones dan sus ruedas?

5. Un motor de automóvil desacelera desde 3600 rpm hasta 1000 rpm en 5 s.

calcule: a) aceleración angular, la cual se supone uniforme, b) el número total

de revoluciones que da el motor en ese tiempo.

6. Una rueda de 70 cm de diámetro acelera uniformemente desde 180 rpm hasta

300 rpm en 5,5 s. ¿Qué distancia habrá recorrido un punto en la orilla de la

rueda en ese tiempo?

7. Los neumáticos de un automóvil efectúan 70 revoluciones para que la

velocidad se reduzca de 90 km/h a 50 km/h. los neumáticos tienen un

diámetro de 1 m. a) ¿Cuál fue la aceleración angular?, b) si el automóvil

continua desacelerando a esa rapidez ¿Cuánto tiempo necesita para que se

detenga?

8. Una centrifuga acelera desde el reposo hasta 10.000 rpm en 270 s ¿Cuántas

veces dio vuelta en ese tiempo?

9. Un rayo laser se dirige hacia la luna, la cual está a 380.000 km de la tierra. El

rayo diverge en ángulo igual a 1,8 x 10 -5 rad. ¿de qué tamaño será el círculo

que haga en la luna?

10. ¿Cuál es el torque máximo que ejerce una persona de 60 kg, que va en

bicicleta, cuando recarga todo su peso en cada pedal al trepar una cuesta?

Los pedales giran en círculo de 18 cm de radio.

11. El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2

m del suelo. La polea (I=½mr2) es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5

kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: a)

La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. b) La velocidad

angular de la polea en ese instante. c) Las tensiones de la cuerda. d) El

tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.

49

12. Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que

pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con

velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la

masa de la polea es despreciable. Calcular: a) ¿Cuánto vale el momento que

ejerce el cable sobre el tambor del torno? b) ¿Cuánto vale la velocidad angular

del tambor del torno? c) ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?

d)Calcular el trabajo realizado durante 10 s.

13. El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de

longitud y una lenteja de forma esférica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal

como se indica en la figura. El punto de suspensión O está a 10 cm del

extremo de la varilla. Calcular: la distancia al centro de masas medida desde

O. El momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la varilla y que

pasa por O. El péndulo se desvía 60º de la posición de equilibrio. Calcular la

velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

Varilla, I=mL2/12, esfera I=2MR2/5.

14. Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40

cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes

8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se haya suspendido de un eje

perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es

desviado 65º de la posición de equilibrio estable. Determinar la velocidad

50

angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de

equilibrio estable

15. Dos cuerpos de 3 y 5 Kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea

en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre

planos inclinados de 30º y 45º. Los coeficientes de rozamiento entre los

cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcular: a) la

aceleración del sistema, b) las tensiones de la cuerda, c) la velocidad que

adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos

inclinados respectivos, partiendo del reposo.

16. Un disco de 2 kg. de masa y radio 30 cm rueda sin deslizar a lo largo de un

plano horizontal, una cuerda arrollada a una hendidura hecha en el disco, de

radio 15 cm está unida a través de una polea en forma de disco de masa 0.5

kg a un bloque de 10 kg, que pende del extremo de la misma tal como se

indica en la figura. Calcular: a) La aceleración del bloque, del centro de masas

del disco y la(s) tensión(es) de la cuerda. b) La velocidad del bloque una vez

que haya descendido 5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos

de cálculo para este apartado, comprobando que salen los mismos

resultados).

51

17. Sobre un plano horizontal y que presenta una resistencia al deslizamiento de

coeficiente m=0.2, desliza un bloque de 3 Kg. de masa unido a una cuerda

que se enrolla en la periferia de una polea formada por un disco 5 Kg. y 0.3 m

de radio que tiene una hendidura de 0.1 m tal como se ve en la figura. De la

cuerda enrollada en la hendidura pende un bloque de 10 Kg. de peso.

Calcular: a) Las tensiones de las cuerdas. b) La aceleración de cada cuerpo.

El bloque de 10 Kg. desciende 2 m partiendo del reposo, calcular la velocidad

de cada uno de los bloques. Dato: momento de inercia de un disco mR2/2.

52

Capítulo 6: ÓPTICA GEOMÉTRICA

Propagación de la Luz y Camino Óptico.

Cuando una onda de cualquier tipo alcanza la frontera de dos medios distintos,

una parte de su energía se transmite al segundo medio, dando lugar en el segundo medio a otra onda de características semejantes las de la onda incidente y que recibe el nombre de onda transmitida. Otra parte de la energía se emplea en generar otra onda que se propaga hacia atrás en el primer medio y que se llama onda reflejada.

En este proceso se conserva la frecuencia de la onda, lo que implica que la

longitud de onda t de la onda transmitida es diferente de la longitud de onda i de la onda incidente, pues también cambia la velocidad de la onda en cada medio. Para el caso de una onda luminosa:

2

1

1

2

1

2

12

n

n

c

c

ff

i

t

it

siendo f la frecuencia, y n1 y n2 los índices de refracción de cada medio. El índice de refracción de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c=3.108 m/s) y la velocidad de la luz en ese medio. No tiene unidades y siempre es mayor o igual que 1.

La luz es el agente físico que hace visibles los objetos. Es la claridad que irradian los cuerpos en combustión, ignición o incandescencia. En términos físicos, la luz es una onda electromagnética cuya frecuencia determina el color. En términos generales, el espectro electromagnético abarca, según un orden creciente de frecuencia: las ondas de radio, las microondas, el infrarrojo, la luz visible, la radiación ultravioleta, los rayos X y, finalmente, los rayos gamma.

Figura N 1: Espectro Electromagnético.

53

La luz se propaga en línea recta en un medio homogéneo, es decir, aquel medio que posee las mismas propiedades en todas las direcciones. La presente hipótesis de propagación rectilínea de la luz explica fenómenos tales como:

a. Si en un recinto lleno de humo se hace pasar un rayo de luz se podrá observar que el rayo posee borde definido, el cual es una línea recta.

b. Cuando se coloca una fuente luminosa en el centro de un cuarto ésta es capaz de iluminar todos los objetos opacos, generándose de estos últimos sus respectivas sombras ya que los espacios detrás de los objetos son inaccesibles a la luz.

Reflexión y Refracción de Rayos Paralelos en Superficies Planas.

Cuando un rayo luminoso incide sobre una superficie que separa dos medios distintos, en general, sucede que una fracción del haz que se refleja (permanece en el mismo medio) y la otra se refracta (se propaga por el otro medio)

Leyes de la Refracción

Al otro lado de la superficie de separación los rayos no conservan la misma dirección que los de la onda incidente:

1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda transmitida forman un plano que contiene a la recta normal a la superficie de separación de los dos medios.

2. El ángulo que forma el rayo refractado con la normal (ángulo de refracción) está

relacionado con el ángulo de incidencia de tal manera que: ri sennsenn 21 .

Siendo el cociente entre el ángulo de incidencia y el refractado una constante:

.cttesen

sen

r

i

Figura N 2: Refracción de la luz.

54

Cuando la luz pasa de un medio a otro cuyo índice de refracción es mayor, por ejemplo del aire al agua, los rayos refractados se acercan a la normal. Si el índice de refracción del segundo medio es menor los rayos refractados se alejan de la normal.

Figura N 3: Refracción a través de varios medios diferentes.

En este caso si consideramos que n1>n2 y aumentamos el ángulo de incidencia, llega un momento en que el ángulo de refracción se hace igual a 90º , lo que significa que desaparece el rayo refractado. Como el seno de 90º es uno el ángulo de incidencia para el cual ocurre este fenómeno viene dado por c =n2/ n1.

Este ángulo de incidencia, c recibe el nombre de ángulo crítico, ya que si aumenta más el ángulo de incidencia, la luz comienza a reflejarse íntegramente, fenómeno que se conoce como reflexión total.

Figura N 4: Refracción y ángulo crítico

Leyes de la Reflexión

1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda reflejada forman un plano perpendicular al plano de separación de los medios.

2. El ángulo que forma el rayo incidente con la recta normal a la frontera (ángulo de incidencia) es igual al ángulo de esta normal con el rayo reflejado (ángulo de reflexión).

55

Figura N 5: Reflexión de la luz

La reflexión total es el fenómeno que ocurre cuando un rayo de luz incide desde un medio más denso a uno menos denso con un ángulo superior al ángulo crítico. Una aplicación de la reflexión total es la fibra óptica, que es una fibra de vidrio, larga y fina en la que la luz en su interior choca con las paredes en un ángulo superior al crítico de manera que la energía se transmite sin apenas perdida. También los espejismos son un fenómeno de reflexión total.

Formación de Imágenes

La imagen es un punto de intersección de distintos rayos luminosos. Dependiendo de como se cruzan los rayos luminosos, las imágenes se clasifican en reales o virtuales. En una imagen real los rayos luminosos convergen en un punto, en una imagen virtual, el punto de intersección se forma por la prolongación de rayos divergentes.

Formación de Imágenes en Espejos Planos

Los espejos son superficies muy pulimentadas, con una capacidad reflectora del

95% o superior de la intensidad de la luz incidente.

En un espejo plano el haz incidente se refleja completamente y para el estudio del comportamiento solo se usan las dos primeras leyes de Snell. En la figura se muestra una imagen F formada a partir del objeto A luego de la reflexión de los rayos en un espejo plano. Como se observa en la figura Nº 6 los rayos incidentes divergen.

Consideremos un rayo de luz que se refracta desde un medio de índice n a otro hipotético de índice de refracción –n. Aplicando la ley de Snell:

n sen i = -n sen r

De donde se deduce que: i = -r

Un ángulo de refracción negativo equivale a una inversión en el sentido del rayo. En un espejo plano las posiciones x y x´ de un objeto y su imagen están relacionadas: x = x´. La imagen es virtual, pues se forma con las prolongaciones de los rayos.

56

Figura N 6: Reflexión en un espejo plano. Generación de la imagen.

Espejos Esféricos. Un espejo esférico está caracterizado por su radio de curvatura R. En el caso de

los espejos esféricos solo existe un punto focal F=F´=R/2 cuya posición coincide con el punto medio entre el centro del espejo y el vértice del mismo. Se encontrará a la izquierda del vértice para los espejos cóncavos y a la derecha para los espejos convexos.

El aumento del espejo será A =y´/y, es decir, la longitud de la imagen entre la longitud del objeto y dependerá de la curvatura del espejo y de la posición del objeto.

a

b

Figura N 7: Espejos esféricos. a Espejo cóncavo. b Espejo convexo.

Algunas definiciones de gran utilidad para este tipo de espejos son las siguientes:

Centro de curvatura de un espejo curvo esférico: es el centro de la esfera que describe el espejo.

Eje óptico: el diámetro horizontal de la esfera.

Foco: el punto del eje óptico donde convergen los rayos que inciden paralelos al eje óptico

Distancia focal: la mínima distancia que hay desde el espejo al foco. Vale la mitad del radio de curvatura.

57

Convenio de Signos:

Las distancias entre la fuente de luz y el espejo se consideran negativas cuando el objeto se encuentre a la izquierda del espejo y se consideran positivas cuando el objeto de encuentre a la derecha del espejo.

La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la misma dirección ya que el ángulo de incidencia es igual a cero.

Lentes Delgadas: Convergentes y Divergentes.

Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas. Una onda incidente sufre dos refracciones al pasar a través de la lente. Hay dos tipos de lentes: convergentes y divergentes. En la lentes convergentes el foco imagen está a la derecha de la lente, f´ > 0. En la lentes divergentes el foco imagen está a la izquierda de la lente, f´ < 0. Las lentes convergentes son más gruesas por el centro que por los extremos, mientras que las divergentes son más gruesas por los extremos que por el centro.

Se define además la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen P=1/f´ y mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes, a mayor potencia mayor convergencia de los rayos. La unidad de potencia de una lente es la dioptría, que se define como la potencia de una lente cuya distancia focal es de un metro.

La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

- Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

- Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

- Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la mismas

58

Lentes Convergentes.

Son más gruesas en el centro que en los extremos. Se representan esquemáticamente con una línea con dos puntas de flecha en los extremos. Según el valor de los radios de las caras pueden ser: biconvexas (1), plano convexas (2) y menisco convergente (3).

Figura N 8: Lentes convergentes.

Lentes Divergentes

Son más delgadas en la parte central que en los extremos. Se representan esquemáticamente por una línea recta acabada en dos puntas de flecha invertidas.

Según el valor de los radios de las caras (que son dioptrios) pueden ser: bicóncavas (4), plano cóncavas (5) y menisco divergente (6).

Figura N 9: Lentes divergentes.

Elementos de las lentes

Una lente está compuesta por dos superficies esféricas, cada una con su centro de curvatura. La línea que une los centros de curvatura se llama eje principal.

59

Figura N 10: Elementos de las lentes.

El centro geométrico de la lente es el Centro óptico, O.

Centro de curvatura, C y C', son los centros de las superficies que forman sus caras.

Todas las rectas que pasan por el Centro óptico son ejes secundarios.

Figura N 11: Elementos de las lentes.

Foco principal imagen en las lentes convergentes es el punto situado sobre el eje en el que inciden los rayos que vienen paralelos al eje principal.

En las lentes divergentes es el punto del eje del que parecen diverger los rayos que vienen del infinito después de atravesarla.

Existe un foco objeto y un foco imagen. Las distancias focales son las distancias entre el foco principal y el centro óptico. EJERCICIOS 1. Cuando un rayo de luz pasa del aire al agua no cambia la:

a) Velocidad de propagación.

b) Frecuencia.

c) Longitud de onda.

d) Su dirección.


60

2. Para afeitarse, una persona necesita ver su imagen derecha y del mayor tamaño posible. ¿Qué clase de espejo debe usar?.

a) Plano.

b) Cóncavo.

c) Convexo.

d) Opaco.


3. Cuando la luz pasa de un medio a otro de distinto índice de refracción, el ángulo de refracción es:

a) Siempre mayor que el de incidencia.

b) Siempre menor que el de incidencia.

c) Depende de los índices de refracción.

d) Se frena bruscamente.


4. En las lentes divergentes la imagen siempre es:

a) Derecha, menor y virtual.

b) Derecha, mayor y real.

c) Derecha, menor y real.

d) Invertida virtual.


5. En las lentes convergentes la imagen es:

a) Derecha, menor y virtual.

b) Derecha mayor y real.

c) Depende de la posición del objeto.

d) Invertida virtual.


6. Disponemos de un espejo convexo de radio de curvatura 1 m. ¿Cómo es la imagen de un objeto real?

a) Real, invertida y de menor tamaño.

b) Virtual, invertida y de mayor tamaño.

c) Virtual, derecha y de menor tamaño.

d) Real, derecha y de mayor tamaño.


61

7. ¿Qué tipo de características de la luz pone de manifiesto el efecto fotoeléctrico?

a) Su carácter corpuscular.

b) Su carácter ondulatorio.

c) Ni su carácter corpuscular ni su carácter ondulatorio.

d) Su carácter galáctico.


8. Colocamos un objeto a 15 cm de distancia de una lente convergente de 30 cm de distancia focal. La imagen formada es:

a) Real, invertida y aumentada.

b) Virtual, derecha y aumentada.

c) Real, derecha y reducida.

d) Retorcida e imaginaria.


9. En los autobuses urbanos se coloca un espejo sobre la puerta para que el conductor pueda observar el interior del autobús en su totalidad. ¿Cómo es el espejo?.

a) Cóncavo.

b) Convexo.

c) Plano.

d) Opaco.


10. Los anteojos de corrección de la miopía usan lentes que son:

a) Convergentes.

b) Divergentes.

c) Opacos.

d) Negros y opacos.


11. Queremos hacer pasar un rayo de luz a través de un vidrio sin que se desvíe. Entonces tendremos que utilizar:

a) Una lente plana paralela, en cualquier posición.

b) No se puede hacer.

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c) Cualquier lente, atravesándola por el eje óptico.

d) Una lente convergente.

12. Dos rayos de luz inicialmente paralelos se cruzan después de atravesar una lente. Esto puede ocurrir en el caso de que tengamos:

a) Una lente de vidrio cóncava en el aire.

b) Un hueco cóncavo lleno de aire en el interior de una masa de vidrio.

c) Con otra disposición diferente de las anteriores.

d) Sin ningún tipo de lente.

e) Todas las anteriores.

13. El ángulo formado por el rayo incidente y el rayo reflejado en un espejo es . Si el espejo rota un ángulo en un eje perpendicular al formado por los dos rayos anteriores, el nuevo ángulo que formarán entre ellos es:

a) a + b

b) a + 2b

c) a – b

d) 2a – b


14. Un rayo incide con un ángulo i, por la cara de un prisma y sale por la cara opuesta en forma rasante. El ángulo que forman las caras del prisma es de 90°. Si el ángulo de incidencia es conocido, determinar el índice de refracción del prisma. 15. Determinar el índice de refracción de un medio en el cual la luz viaja a una velocidad de 225.000.000 m/s. 16. ¿A que velocidad ciaja la luz en un medio con índice de refracción absoluto de

a=2,4?. 17. Un rayo luminoso incide en la superficie de separación de dos medios con

índices de refracción de 1 y 2. Si el rayo se origina en el medio 1 y se refleja completamente. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) El medio 2 es más denso.

b) 1> 2.

c) 2> 1.

d) 1= 2.

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e) No se puede determinar la relación entre 1 y 2 sin conocer el ángulo de incidencia.

18. Un rayo luminoso incide desde un medio 1 con índice de refracción 1, en la

superficie de separación con el medio 2 (de índice de refracción de 2), se produce un rayo reflejado y uno refractado, ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?.

a) Si 1> 2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al rayo incidente.

b) Si 1> 2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al rayo incidente

c) Si 1< 2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al rayo incidente.

d) No se puede determinar el comportamiento del rayo refractado sin conocer el ángulo de incidencia.


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http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/fisicaInteractiva/OptGeometrica

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