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Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemticas

APUNTES DE NIVEL BSICO

Unidad 11

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Dr. ALBERTO GUTIERREZ BORDA

ICA-PER

Aplicaciones de la Derivada BSICO: UNIDAD 11

Alberto Gutirrez Borda Facultad de Ciencias-Matemticas Pgina 2

INDICE

11.1. Introduccin . 03

11.2. Valores Mximos y Mnimos .. 03

11.3. Extremos absolutos .. 09

11.4. Criterio de la primera derivada .. 10

11.5. Teorema de Rolle y teorema de Valor Medio .. 10

11.6. Concavidad y punto de inflexin .... 16

11.7. Anlisis de trazado de curvas .. 19

11.8. Problemas de aplicacin de mximos y mnimos .. 20

11.9. Variables ligadas razones afines . 31

11.10.Mtodo de Newton . 39

11.11.La diferencial . 44

11.12.Problemas resueltos . 49

11.13. Problemas propuestos .. 64



11.1. INTRODUCCIN

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del clculo

infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos estn relacionados

por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del

clculo estn basados en el concepto de lmite, el cual separa las matemticas previas,

como el lgebra, la Trigonometra o la Geometra Analtica, del Clculo. Quiz la

derivada es el concepto ms importante del Clculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene mltiples aplicaciones. Se aplica en aquellos

casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de

una magnitud. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica,

Qumica, y Biologa, o en ciencias sociales como la Economa y la Sociologa. Por

ejemplo, cuando se refiere a la grfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada

como la pendiente de la recta tangente del grfico en el punto x. Se puede aproximar la

pendiente de esta tangente como el lmite cuando la distancia entre los dos puntos que

determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en

una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades

geomtricas de los grficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por

ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente

vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de

las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica es

una curva suave, por lo que es susceptible de derivacin.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),

son aproximables linealmente. En matemticas, una aproximacin lineal es una

aproximacin de una funcin cualquiera usando una transformacin lineal. Por ejemplo,

dada una funcin diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en

el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

donde E es el error. La aproximacin se obtiene desechando el error.

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresin derecha es la de la

recta tangente a la grfica de f en a. Por esta razn tambin se llama aproximacin de

la recta tangente.

11.2. VALORES MXIMOS Y MNIMOS

Se ha visto que la existencia de la derivada de una funcin en un punto c, significa

geomtricamente que la curva y = f(x) tiene una recta tangente en el punto y



adems . Este hecho, permite determinar entre otros, aquellos puntos de la

curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuacin: .

Una mirada atenta a la figura 11.1, permite visualizar de manera intuitiva los elementos

que son objeto de estudio en esta primera parte como son los siguientes.

es el mayor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que contiene a c1.

Se dice entonces que es un mximo relativo de f (x).

Ntese adems, que en el punto , la pendiente de la recta tangente a la

curva es cero, esto es .

Igualmente, es el mayor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que

contiene a c3. As que es otro mximo relativo de f (x).

Figura 11.1. Grfica de f.

Sin embargo, en el punto , la derivada de f (x) no existe (se presenta un

pico), lo cual indica que en un punto mximo relativo no necesariamente debe anularse

la derivada.

es el menor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que contiene a c2.

Se dice, entonces que es un mnimo relativo de f (x). De la misma manera que

en el caso anterior en el punto , .

Si se comparan ahora, todos los valores que toma la funcin f (x) en el intervalo

[a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que es el mayor



valor. f(a) y se llaman respectivamente el mnimo absoluto y el mximo

absoluto de f (x) en [a, b].

Los conceptos antes mencionados, sern presentados aqu en forma rigurosa, as

como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos.

Al final, se enunciar un teorema y se dar un procedimiento para determinar los

extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado.

Definiciones:

Sea f una funcin de variable real y sea c Df (Dominio de f). Entonces:

f(c) es un VALOR MXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo

abierto I que contiene a c tal que:

para todo x I.

f(c) es un VALOR MNIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que

contiene a c tal que:

para todo x I

f(c) es un VALOR MXIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:

para todo x I

f(c) es un VALOR MNIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:

para todo x I .

A los valores mximos y mnimos relativos de una funcin se les llama: EXTREMOS

RELATIVOS.

A los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin se les llama: EXTREMOS

ABSOLUTOS.

Observaciones:

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultneamente extremo relativo como

sucede por ejemplo con en la figura 11.1.

El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final de la seccin, garantiza

la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en un intervalo cerrado

[a, b]. A pesar de que estos valores son nicos, la funcin puede tomarlos en diferentes

puntos del intervalo.

Extremos relativos



El siguiente teorema establece una condicin necesaria para que una funcin tenga un

extremo relativo en un punto en el cual f es derivable.

TEOREMA 1. (CONDICIN NECESARIA PARA EXTREMOS RELATIVOS)

Sea f una funcin que tiene un extremo relativo en c para el cual existe.

Entonces,

Demostracin:

Caso 1. Si f es la funcin constante, el teorema es evidente.

Caso 2. Supngase que f no es constante y que adems f tiene un mximo

relativo en c.

Como existe, entonces de acuerdo a la observacin hecha anteriormente,

existe y adems,

(1)

Siendo un mximo relativo, existe un intervalo que contiene al

punto c y tal que:

si , entonces, .

As que:

(2)

Igualmente,

si , entonces, .



As que:

(3)

De (2) y (3) se concluye que .

Caso 3. Supngase que f no es constante y que adems f tiene un mnimo

relativo en c. (se deja como ejercicio).

Observaciones:

El teorema anterior, significa geomtricamente que si una funcin f tiene un extremo

relativo en c, y existe, entonces, la recta tangente a la curva en el punto

es horizontal (figura 11.2.(a)).

Figura 11.2.(a). Tangente horizontal

(b) (c)

Figura 11.2. (a) (b). No hay mximos ni mnimos.



El recproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una funcin se puede

cumplir que para algn punto c de su dominio, y sin embargo, f no

presentar extremos relativos en c; como sucede por ejemplo, con la

funcin (figura 11.2 (b)).

Note que , pero, la funcin no presenta ni mximos ni

mnimos relativos en el origen; puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la

derecha es positiva.

Mas an, una funcin puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser

derivable all, como sucede por ejemplo con la funcin , que tiene un

mnimo relativo en x = 0, pero no existe.

Definicin:

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto I. Un punto c I se llama punto

crtico de f si no existe.

As por ejemplo, para la funcin:

, se tiene:

Los puntos crticos de f son entonces x = 0 y x = 1/6 (Porqu?).

11.3. EXTREMOS ABSOLUTOS

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostracin, es de gran importancia en la

teora de extremos de una funcin, aunque tiene una fcil interpretacin geomtrica,

exige para su demostracin elementos de clculo avanzado que estn ms all del

alcance de estas notas.

TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS)

Toda funcin continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mnimo

absoluto y mximo absoluto).



El alumno puede verificar grficamente el teorema 2 intentando dibujar la grfica de

una funcin que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b].

Cada intento lo llevar a la conviccin de que la propiedad enunciada en el teorema,

siempre se cumple.

Observacin:

El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en

un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que

un extremo absoluto que no sea simultneamente extremo relativo, se tiene que

presentar en los extremos a o b del intervalo.

Una regla prctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una funcin

continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

1. Se determinan los puntos crticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo , o

donde no existe).

2. Se calcula f(a) y f(b) .

2. Mximo absoluto de f = mx

Mnimo absoluto de f = mn

11.4. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

La primera derivada no slo es til en el trazado de curvas para determinar los extremos

relativos, sino, tambin, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva.

Figura 11.3. Intervalos de crecimiento



Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la funcin cuya grfica aparece en

la figura 11.3 se puede notar que:

1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, , en

sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que

la funcin es creciente en el intervalo [a, b], y entre b y c la curva es descendente,

en cuyo caso se dice que la funcin es decreciente en el intervalo [b, c].

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los

tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta

tangente es horizontal.

3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta

tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en

el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo

tanto, la primera derivada es negativa.

Estas ideas que se acaban de comentar, estn justificadas por medio de las definiciones

y teoremas dados a continuacin. En primer lugar, se presentan dos teoremas: El

Teorema de Rolle, y su generalizacin, conocido como el Teorema del Valor

Medio (T.V.M.) que tienen gran importancia terica y prctica.

11.5. TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

En la fig. 11.4 se puede apreciar la grfica de una funcin que es continua en el

intervalo cerrado [a, b], y adems existe (no tiene picos) en

todos los puntos del intervalo < a, b >.

Figura 11.4. Grfica sin puntos picos.



Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva de

abscisa centre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela el

eje x).

Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se

enuncia sin demostracin.

TEOREMA 3 (TEOREMA DE ROLLE)

Sea f una funcin de variable real que satisface las siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii. f es derivable en el intervalo abierto < a, b >.

iii. .

Entonces, existe por lo menos un punto c < a, b >. tal que: .

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuacin, es una

generalizacin del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor

medio para derivadas.

TEOREMA 4 (T.V.M.)

Sea f una funcin de variable real que satisface las siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii. f es derivable en el intervalo abierto < a, b >.

Entonces, existe por lo menos un punto c < a, b >. tal que: .

Antes de ver la demostracin del teorema, analice su significado geomtrico.

En la fig. 11.5 se muestra la grfica de una funcin que satisface las hiptesis del

T.V.M.



Figura 11.5. Grfica que cumple Teorema de valor medio.

El trmino es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por

los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geomtricamente el teorema as:

Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, donde c < a, b >. tal que la recta

tangente a la curva en P cuya pendiente es , es paralela a la recta secante .

Demostracin:

Usando la forma: dos puntos de la ecuacin de la recta, se deduce para la recta

secante, la ecuacin:

De donde,

Defnase ahora la funcin F (x) como la funcin distancia vertical entre cada punto (x,

f(x)) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante . (segmento d. de la

figura 11.5) .

As que:



Esto es, (1)

La funcin F (x) as definida satisface las hiptesis del Teorema de Rolle en el intervalo

[a, b]. En efecto:

i. F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]. (porqu?)

ii. F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (porqu?)

Adems, (2)

iii. Finalmente,

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle, existe por lo menos un punto c < a,

b> tal que

Pero, de acuerdo a (2)

Luego, eso implica, que era lo que se

quera demostrar.

Como aplicacin inmediata del T.V.M., se prueba otro teorema que permite determinar

los intervalos donde crece y decrece una curva conociendo el signo de su primera

derivada.

TEOREMA 5 (CRITERIO PARA CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO)

Sea f una funcin de variable real continua en [a, b] y derivable en < a, b >.

i. Si para todo entonces f es creciente en [a, b].

ii. Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].

Demostracin:

i. Sean dos puntos de [a, b] tales que .



Evidentemente, f es continua en , f es derivable en , luego por el

T.V.M., existe por lo menos un punto tal que:

(1)

De , se deduce que y como por hiptesis , se deduce

de (1) que:

Luego, y f es creciente en [a, b].

ii. Se demuestra de manera similar.

Observacin:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva, coincide con el signo de la primera

derivada. As:

Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.

(derivada negativa), f(x) es decreciente.

El siguiente teorema, permite clasificar los extremos relativos (mximos y mnimos) de

una funcin, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

TEOREMA 6 (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS

RELATIVOS)

Sea f una funcin continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a < c <

b y c un punto crtico de f (es decir (f (c) = 0 o f ( c) no existe).

Entonces:

i. Si para todo x en < a, c > y para todo x en < c, b >,

entonces, f(c)es un mximo relativo. (figura 11.6. (a), figura 11.6. (b)).

ii. Si para todo x en < a, c > y para todo x en < c, b >,

entonces, f(c)es un mnimo relativo. (figura 11.6 (d), figura 11.6 (e)).

iii. Si para todo x en < a, c > y para todo x en < c, b >,

entonces, f(c)no es un extremo relativo. (figura 11.6 (c)).

iv. Si para todo x en < a, c > y



para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (figura 11.6 (f)).

(c) (d)

(e) (f)

Figura 11.6.

Demostracin:

i. Si f (x) > 0 en < a, c >, se tiene por el Teorema 5 que f es creciente, luego para

todo x tal que

a < x < c, se tiene: f(x) < f(c) (1)

Ahora, como f (x) < 0 en < c, b >, entonces f es decreciente (Teorema 5) y de

esta forma, para todo x tal que c < x < b, se cumple:

f (c) > f (x) (2)



De (1) y (2) se concluye que f (c) es un mximo relativo.

ii. Similar a la parte i.

iii. Si f (x) > 0 en < a, c > y f (x) > 0 en < c, b >, entonces por el Teorema 5 se

tiene que

f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en < c, b >; de lo

cual se concluye que f (c) no puede ser ni mximo ni mnimo relativo.

iv. Similar a la parte iii.

Observacin:

En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema 6, se expresan respectivamente, en

la siguiente forma:

Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crtico corresponde a

un mximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crtico

corresponde a un mnimo relativo.

11.6. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIN DE UNA CURVA

As como los puntos mximos y mnimos de una curva se caracterizan por ser puntos en

los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos

de inflexin de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en

la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definicin precisa de concavidad, se harn algunas observaciones

de tipo intuitivo.

Considere la funcin f cuya grfica aparece en la figura 11.7 Note en primer lugar que la

curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

Figura 11.7. Concavidad de una curva.



Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se

encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva

es cncava hacia abajo en el punto x1.

Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva

se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es

cncava hacia arriba en el punto x2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el

nombre de punto de inflexin de la curva.

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones:

Sea f una funcin derivable en un punto c.

i. f es cncava hacia arriba en c o cncava positiva en c, si existe un intervalo

abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), se cumple

que:

(figura 11.8 (a))

yc : y de la curva ; yt: y de la tangente

(a) (b)

Figura 11.8. Concavidades

ii. f es cncava hacia abajo en c o cncava negativa en c, si existe un intervalo

abierto < a, b > al cual pertenece c, tal que para todo x de < a, b >,



se cumple que:

(figura 11.8 (b))

iii. f es cncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexin, si existe un intervalo

abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los

subintervalos: < a, c > y < c, b >.

Se usar el smbolo: , para denotar que una curva es cncava hacia arriba o cncava

positiva.

Igualmente, se emplea el smbolo , para denotar que una curva es cncava hacia

abajo o cncava negativa.

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostracin establece una condicin

suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

TEOREMA 7 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA

CONCAVIDAD)

Sea f una funcin dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I.

Entonces:

i. Si para todo x I, entonces, f es cncava hacia arriba en I.

ii. Si para todo x I, entonces, f es cncava hacia abajo en I.

Observacin:

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin

existir punto de inflexin, en este caso, simplemente se dice que "hay inflexin" sin

existir punto de inflexin. La grfica indica esta posibilidad. All se muestra

inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexin. En

c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexin.

Como es de suponer, los puntos para los cuales f (x) = 0 o f (x) no existe, son

"candidatos" viables para ser puntos de inflexin. Puede suceder que para un valor

de c del dominio de una funcin, se cumpla que f (c) = 0 y sin embargo, el punto P (c,

f (c)) no es punto de inflexin.

Considere por ejemplo, la funcin definida por: f (x) = x4 y cuya grfica aparece en la

figura 11.9.



Figura 11.9. Grfica de f(x) = x4.

Como f (x) = x4, f (x) = 4x

3, f (x) =12 x

2

Para c = 0, se tiene: sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0)

no corresponde a un punto de inflexin, puesto que para valores de x anteriores y

posteriores ax = 0, y no cambia la concavidad de la curva.

11.7. ANLISIS DE TRAZADO DE CURVAS

El objetivo bsico es proporcionar los elementos tericos necesarios para el anlisis y el

trazado de la curva asociada a una funcin. Esto se reduce generalmente a la

determinacin de los siguientes elementos:

Dominio natural de definicin de la funcin y = f (x).

Posibles puntos de discontinuidad.

Interceptos de la curva con los ejes coordenados:

a. Interceptos con el eje x: Se hace en la ecuacin y = 0 y se resuelve para x.

b. Interceptos con el eje y: Se hace en la ecuacin x = 0 y se resuelve para y.

Asntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas.

Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, mediante el signo de

f (x).

Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexin mediante el signo de f (x).



Este anlisis permite construir la grfica de la funcin. (A veces resulta conveniente

trazar los elementos de la grfica simultneamente con el anlisis).

Observaciones:

Si la curva que se desea analizar y trazar, corresponde a una funcin par, es decir, f (x)

= f (-x), y la curva es simtrica con respecto al eje y. En consecuencia, solo es

suficiente analizar la funcin y construir su grfica solo para valores positivos de la

variable x, pertenecientes al dominio de la funcin.

Si la curva corresponde a una funcin impar, es decir, f (-x) = -f (x), ser suficiente

analizar la funcin para los valores positivos de la variable x. La grfica de una funcin

impar es simtrica con respecto al origen de coordenadas.

11.8. PROBLEMAS DE APLICACIN DE MXIMOS Y MNIMOS

En esta seccin se muestra como usar la primera y segunda derivada de una funcin en

la bsqueda de valores extremos en los llamados: "problemas de aplicaciones" o

"problemas de optimizacin". Aunque los ejemplos son esencialmente geomtricos,

ellos ilustran un procedimiento general.

Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen

extremos absolutos, se enuncia sin demostracin, un teorema, conocido como el criterio

de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera

mas fcil, si un punto crtico.

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

Sea f una funcin dos veces derivable en un intervalo abierto I, sea c un punto de I, tal

que f '(c)= 0. Entonces:

i. Si f ''(c)< 0, entonces, f presenta un mximo relativo en c.

ii. Si , entonces, f presenta un mnimo relativo en c.

Observacin:

Si f ''(c) = 0, entonces, la naturaleza del punto crtico c no queda determinada, como lo

ilustran los siguientes casos:

La funcin, f (x) = x4, satisface: f (0) = 0 y f (0) = 0. Sin embargo , f (x) presenta un

mnimo relativo en x = 0 (figura 11.10. (a)).



Figura 11.10.

Igualmente, la funcin: g (x) = - x4, satisface: g (0) = 0 y g (0) = 0. Sin embargo,

g (x) presenta un mximo relativo en x = 0 (figura 11.10 (b)).

Tambin, la funcin, h (x) = x3, satisface: h (0) = 0 y h (0) = 0, pero h (x) es

creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0. (fig. 9.26. (c)).

En lo que sigue se considerarn algunos problemas cuya solucin es un extremo

absoluto de una funcin definida en un intervalo cerrado. Se hace uso del (Teorema de

los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor mximo absoluto y de

un valor mnimo absoluto de una funcin continua en un intervalo cerrado.

Se enumeran a continuacin algunos pasos que son tiles al abordar un

problema de esta naturaleza.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en

el problema.

2. Determinar la funcin a maximizar o minimizar as como el intervalo en el cual est

definida.

3. Utilizar la informacin del problema para expresar la funcin obtenida en el paso 2.,

en trminos de una sola variable.



4. Utilizar la regla prctica dada en la observacin al teorema 2 de la seccin 9.9.3. para

encontrar extremos absolutos.

Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

EJEMPLO 1

Los puntos A y B estn situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de

300 metros de ancho. El punto D est a 600 m. de B y en su misma orilla. (figura

11.11). Una compaa de telfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo

por metro de cable es el 25% ms caro bajo el agua que por tierra. Cmo se debe

tender el cable, para que el costo total sea mnimo?.

Figura 11.11

SOLUCIN

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de

cable bajo el agua.

Se puede definir ahora las constantes y variables del problema:

x: distancia de B a Q;

y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua).

600 x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra).

k (const): costo por metro de cable por tierra.

k (const): costo por metro de cable por agua.



P: costo total (funcin a minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitgoras, (1)

Ahora, la funcin costo total viene dada por:

(2)

Sustituyendo (1) en (2), la funcin costo total puede escribirse en trminos solamente de

la variable x as:

; con (dominio

de C (x)).

(3)

Como C (x) es una funcin continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor

mximo y un valor mnimo en [0, 600].

Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los puntos crticos:

. De donde x = 400.

As que x = 400 es el nico punto crtico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada,

corresponde a un mnimo relativo (verifquelo). En consecuencia, el mnimo absoluto es

el menor entre los siguientes valores:

(0), C (400) y C (600).



Esto significa geomtricamente, que el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y

desde B hasta D por tierra, implicando un gasto de 975 k pesos. (figura 11.12 (a)).

(a) (b) (c)

Figura 11.12.

. Esto indica

geomtricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende

directamente desde A hasta D por agua, demandando un gasto total

de pesos.. (figura 11.12 (b)).

. Esto significa que si el

punto Q est a 400 m. de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra

desde Q hasta D, demandara un gasto de 825 k pesos, menor, para la compaa que los

dos anteriores. (figura 11.12 (c)).

EJEMPLO 2

Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un

crculo y con la otra un cuadrado. Cmo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las reas de las dos figuras sea mxima.

b. La suma de las reas de las dos figuras sea mnima.

SOLUCIN

Supngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos.



Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 x es el permetro del cuadrado.

(Figura 11.13)

Figura 11.13.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es y el lado del cuadrado es .

Si A (x) es la funcin que representa la suma de ambas reas, se tiene entonces:

; (1)

Puesto que A (x) es una funcin continua en el intervalo [0, 100], entonces, existe un

valor mximo y un valor mnimo de A (x) en [0, 100].

Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos crticos. En efecto:

es el nico punto crtico y pertenece al

intervalo [0, 100] (Porqu?).

Adems, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mnimo

relativo.

Ahora, los valores mximo y mnimo de A (x) est entre los valores: A (0), A (100)

y .

Pero,



Como , entonces, y de esta ltima

desigualdad, se deduce que:

.

De esta forma, la ltima desigualdad indica que el rea mxima se obtiene para x =

100, o sea, no partiendo el alambre y formando con el una circunferencia, mientras que

el rea mnima se obtiene partiendo el alambre a una distancia de uno de sus

extremos, y, formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte

restante un cuadrado.

EJEMPLO 3

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa

recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Cul debe ser la

longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

mximo? Cul es el volumen de la caja?.

SOLUCIN

Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (figura

11.14 (a)), donde .

(a) (b)

Figura 11.14. Caja sin tapa



Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la figura

11.14 (b).

Ahora, volumen de la caja = rea de la base x altura. Esto es,

; (1)

Puesto que V (x) (funcin a maximizar) es una funcin continua en el intervalo ,

entonces V (x) alcanza un valor mximo y un valor mnimo en dicho intervalo.

Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos crticos. En efecto:

puntos crticos .

Para analizar la naturaleza de los puntos crticos, se usa el criterio de la segunda

derivada.

As,

, lo cual indica que corresponde a un

mnimo relativo. (interprete geomtricamente el resultado).

, lo cual indica que corresponde a

un mximo relativo.

En consecuencia, el volumen mximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene

dado por:

.



EJEMPLO 4

Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho estn unidos en ngulo recto (Ver figura 11.15).

Encuentre la longitud de la barra recta ms larga que puede pasarse horizontalmente de

un pasillo a otro por una esquina.

SOLUCIN

Supngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando est en la posicin como

aparece en la figura adjunta.

Figura 11.15. Barra inclinada

Si (radianes) denota el ngulo que forma la barra con el pasillo menor,

entonces ser el ngulo que forma con el pasillo mayor.

La longitud deseada es la longitud L mnima de la barra.

(1).

En el tringulo APB se tiene: (2)

En el tringulo BQC se tiene: (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la funcin a maximizar:



(4)

Note que cuando (analizar)

Luego,

(5)

que (Rad.)

Ahora, el signo de solo depende del signo del factor .

Para ello, considere la grfica de la funcin tangente (figura 11.16 (a)) y en la cual se ha

sealado el valor de para .

(a) (b)

Figura 11.16.



A la izquierda de , , con lo

cual, .

A la derecha de , , con lo cual,

.

Del anlisis anterior, se deduce que (Rad.) corresponde a un mnimo relativo

de L( ) y cuya grfica se parece a la de la figura 11.16 (b).

Esto significa que el valor mnimo absoluto de L (y por lo tanto, la longitud mxima de

la varilla en cuestin) es:

Un procedimiento algebraico, para obtener el valor exacto de L es el siguiente:

Como,

y,

Se tiene que:

(factor comn)

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del

problema.



11.9. VARIABLES LIGADAS O RAZONES AFINES

Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones, se aplican tambin a

funciones que varan con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces,

se llama: razn de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una

distancia, se llama velocidad.

Nuestro inters est centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto

al tiempo: La razn con la que el agua fluye en un depsito, la razn con la cual crece o

decrece su altura, la razn en la cual se separan dos mviles, despus de pasar por un

punto especfico P, etc...

Cuando la variable y est dada en trminos de t, basta con derivar y calcular luego el

valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero, en la mayora de los casos, la

variable y est ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razn

de cambio.

Estos problemas donde intervienen derivadas de variables relacionadas entre s, se

llaman: problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones

afines y es tpico en ellos que:

a. Ciertas variables estn relacionadas en una forma determinada para todos los valores

de t que se consideran en el problema;

b. Se conocen los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para

un instante dado;

c. Se pide hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.

Las variables que intervienen en un problema dado, pueden considerarse como

funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las

igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales estn relacionadas las derivadas de

estas variables.

De acuerdo con lo anterior, se pueden sealar en la solucin de este tipo de problemas

los siguientes pasos:

1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situacin propuesta. La figura que se

traza debe indicar la situacin en cualquier instante t y no precisamente en el instante

particular.

2. Determinar cuales son las variables que intervienen en el problema y representarlas

por medio de letras como x, y, z, h, etc...



3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre s la diferentes variables que

intervienen en el problema.

4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantneas de

cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3.

5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y

despejar las variables o derivadas que interesan.

Todo lo anterior, se ilustra con los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 1

A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio

y 16 Metros de altura entra agua a una razn de 50 cm3/s.

A qu velocidad est subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 metros.

de altura?

A qu velocidad est cambiando el radio en ese mismo instante?.

SOLUCIN

En la figura 11.17 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porcin del

volumen en cualquier instante t.

Figura 11.17. Cono invertido

Desgnese por:

V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (segundos).

x: radio (en cm.) de la seccin del cono al nivel del lquido en el instante t.



y: altura del agua (en cm.) en el instante t

Datos:

El volumen del agua en el instante t viene dado por:

(1)

De la semejanza de los tringulos ODE y OBC, se deduce que:

Puede formularse la pregunta as:

cuando y = 4 metros = 400 cm.

Una manera simple de calcular consiste en expresar V en (1) en trminos

nicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t.

As,

De donde

De acuerdo a las condiciones del problema:



(5)

indicando con esto que la altura crece a esa velocidad.

b. Puede formularse la pregunta as:

cuando y = 4 metros. = 400 cm. x = 100 cm.

Una manera sencilla de encontrar la solucin, consiste en derivar ambos miembros de

(3) con respecto a t.

As, (6)

Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad.

Otra manera de obtener la solucin, consiste en expresar V en (1) en trminos

nicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t.

(justifica).

EJEMPLO 2

Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un

bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. Con qu rapidez

cambia el ngulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a

300 pies de la base del faro?.

SOLUCIN

En la figura 11.18 (a) aparecen las variables que intervienen en el problema.

x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t.

: ngulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.



Ntese que cuando "B se acerca a P" , entonces es de esperar

que tambin decrece.

(a) (b)

Figura 11.18.

(1)

Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se

tiene:

De donde, (2)

En el caso particular que interesa, x = 300

As que (figura 11.18 (b)).

Usando la identidad trigonomtrica: , se puede escribir en este

caso:

(3)



De otro lado: (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente:

Lo cual indica que el ngulo decrece (como era de esperar) a una velocidad de

aprox. 0.0327 Rad/segundos.

EJEMPLO 3

Un puente est construido perpendicularmente a la direccin de un ro recto y a una

altura de 5 metros sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el

centro C del puente (fig. 9.35.) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante una

lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s, dista 100 m. del

punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera

contina perpendicular al ro, cul es la velocidad a la cual se estn separando la lancha

y el auto 8 segundos despus de que aquella pas por el punto P?.

SOLUCIN

En primer lugar se definen las variables que varan con el tiempo.

x: distancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el punto C.

y: distancia que recorre el auto desde el momento en que pasa por C.

w: distancia de P a D.

z: distancia que separa la lancha del auto.

Como los tringulos BPD y PCD son rectngulos en P y C respectivamente, se tiene de

acuerdo a la relacin pitagrica:

(1)

Tambin, (2)

De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s, el auto est

en el punto D y la lancha en el punto B. As que x = 160 m. e y= 96 m.

La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma:



cuando

Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto

al tiempo. Esto es:

Ahora,

Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:

Lo que indica que la lancha y el auto se estn separando a una velocidad de

aproximadamente 20.75 m/s.

EJEMPLO 4

Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 11.19, tiene agua hasta 4 pies

de profundidad en el extremo ms hondo.

a. Qu porcentaje de la piscina est llena?.

b. Si se echa agua en ella a razn de 10 pies3/min. a qu ritmo sube el nivel del agua en

el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?.

Figura 11.19



SOLUCIN

a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Este corresponde al

volumen de un slido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor:

9 p, base menor: 4 p; y cuyo espesor es de 20 pies.

Luego: Vp = (rea de la base) . (espesor)

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del slido que aparece

indicado en la figura 11.20.

Figura 11.20.

Vll = (rea de la base) . (espesor)

Como los tringulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporcin:

As que Usando una regla de tres simple se establece:

Si corresponde al 100%

corresponde



b. Supngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena

corresponde al volumen del slido que aparece en la figura 11.21 en el cual, y (nivel

vertical) y x (nivel horizontal) estn creciendo con respecto al tiempo.

Figura 11.21.

Se tiene entonces: (1)

Pero, (2)

Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir:

V = 80 y2 (3)

Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene:

De donde,

Como y y = 4 pies, se tiene finalmente:

de

Esta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante.

Puede verificarse fcilmente (verifique!) que el nivel horizontal x, tambin est

creciendo en ese mismo instante a una razn

11.10. METEDO DE NEWTON (PARA CLCULO DE RAICES)



El llamado MTODO DE NEWTON es un procedimiento iterativo para calcular

valores aproximados de una raz o un cero de la ecuacin f (x) = 0, partiendo de

un punto conocido y cercano a la raz buscada.

MTODO DE NEWTON

Sea r una raz de f (x) = 0 situada en el intervalo < a, b> y supngase que f (x) existe en

< a, b >. La recta tangente a la curva en el punto P(a, f(a)) de abscisa a (valor que se

toma como la aproximacin inicial de r) viene dada por:

(1) (punto pendiente)

Figura 11.22.

Para determinar el punto de interseccin de esta recta con el eje x, que se llamar a1 y

que se considera como la siguiente aproximacin de r, se hace y = 0 en (1), de lo cual se

obtiene:

con

En muchas ocasiones a1es una aproximacin a r mejor que a; en tales casos se repite de

nuevo el procedimiento reemplazando el punto a por a1. La recta tangente a la curva en

el punto P1(a1, f(a1)) y de pendiente viene dada por:

(2)

El intercepto de esta recta con el eje x, que se llamar a2 y que se considera la siguiente

aproximacin de r, se obtiene al hacer y = 0 en la ecuacin (2), y asi se obtiene:

;

El procedimiento se contina de esta manera utilizando la siguiente frmula de

recurrencia:



;

Son muchos los casos en los cuales la frmula anterior proporciona una sucesin de

valores an que progresivamente se van acercando a la raz exacta.

Observaciones:

i. Hay casos en los cuales el procedimiento efectuado no proporciona una raz que

se acerca a la raz buscada. Este hecho se reconoce al notar que la sucesin de

valores an no se estabiliza por ms que se aumente el nmero de iteraciones.

ii. La eleccin de la primera aproximacin puede ser fundamental. Si se hubiese

elegido el punto b de la figura 11.22 como valor inicial, la aproximacin

siguiente b1 sera peor que b. Puede demostrarse aunque aqu no se har, que se

debe elegir el extremo del intervalo < a, b > en donde f y f coincidan en el

signo. En la funcin de la figura 11.22, por ejemplo, en el extremo a se cumple

que f (a) y f (a)(cncava hacia arriba) son positivas; en el extremo b por el

contrario, f (b) < 0, y, f (b) > 0

iii. Una manera prctica de utilizar el algoritmo o mtodo de Newton consiste en

repetir el procedimiento hasta que ciertos dgitos del resultado se estabilicen.

As, si se desean dos cifras decimales exactas, se repite el procedimiento hasta

que la tercera cifra decimal se empiece a repetir y las dos primeras estn

completamente estabilizadas.

En los dos ejemplos siguientes se ilustra la manera de usar el mtodo de Newton

teniendo en cuenta las observaciones mencionadas anteriormente.

EJEMPLO 1

Usar el mtodo de Newton para resolver la ecuacin: , con tres cifras

decimales exactas

SOLUCIN

La ecuacin: , puede escribirse en la forma:

x > 0.

Por simple inspeccin se encuentra que las races de f (x) deben estar en el intervalo

< 1; 10 >, ya que f (1) = 5 < 0 y f (10) = 10Ln10-5 > 0, indicando con esto que f



(x) cambia de signo en dicho intervalo; adems, en < 0, 1] la funcin es siempre

negativa, y, en [10, ) es siempre positiva.

Adems, f (x) = Ln x +1 > 0 en el intervalo [1, 10], f es creciente all, y por lo tanto solo

existe una raz entre 1 y 10.

Ahora, .

As que f (1) = 5, y,

, y,

En consecuencia, de acuerdo a la observacin ii. se elige el punto 10 como

aproximacin inicial.

Sea a = 10, el primer valor, entonces:

Ahora, se repite el procedimiento a partir del punto y se obtiene:

Continuando el proceso, se tiene:

En este punto se observa que las tres primeras cifras decimales se han estabilizado (el 7

que ocupa la cuarta cifra decimal en a3 y a4 se han obtenido por redondeo, as que su

estabilidad puede ser aparente), con lo cual se puede considerar resuelto el problema.



EJEMPLO 2

Usar el mtodo de Newton, para calcular con tres cifras decimales exactos.

SOLUCIN

El problema propuesto es equivalente a resolver la ecuacin:

Como f (2) = 3, y, f (3) = 2, entonces la raz buscada est en el intervalo (2, 3). Ms

an, como f (x) es creciente en el intervalo < 2, 3 >, solo existe una raz all.

Ahora, ;

As que f (2) = 3, y,

, y,

De acuerdo a la observacin ii) se debe elegir el punto a = 3 como aproximacin inicial

ya que en l la funcin y su segunda derivada tienen el mismo signo.

La forma particular de la frmula de recurrencia puede escribirse as:

Iniciando las iteraciones con a = 3, se tiene:

En la calculadora con siete cifras decimales exactas; luego, dos

aplicaciones del mtodo (hasta a2) bastaron para obtener tres cifras decimales exactas.



11.11. LA DIFERENCIAL

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una funcin y con respecto a x, la notacin

de Leibniz como un smbolo y no como el cociente del smbolo dy (diferencial de

la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

Se define en esta seccin el concepto de la diferencial, que nos permite representar la

derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variacin de una funcin

alrededor de un punto.

La definicin est motivada por el siguiente razonamiento geomtrico.

Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la grfica de y = f (x) (figura 11.23 (a)).

Figura 11.23.

Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas

cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P, pasa por el

origen y en consecuencia, su ecuacin es bastante simple, a saber dy = mdx, donde m es

la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del

antiguo, esto es m = f (x), se tiene entonces: dy = f (x) dx

Lo anterior nos permite dar la definicin formal de las diferenciales. Se

llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento ;

esto es .

Si y = f (x) es una funcin derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada

por dy, se define como , o tambin, dy= f '(x) dx.

Interpretacin geomtrica de la diferencial



Sea f una funcin derivable en x. En el tringulo PRQ, se tiene: , en

donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P (figura 11.23), y por

tanto, m = f (x0).

As que: (1)

Adems, (2)

Se puede observar entonces que:

: es el incremento en y medido sobre la curva; y,

dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente.

Observaciones:

i) Si la ecuacin y = f (x) corresponde a una lnea recta, entonces para

cualquier x del dominio.

ii) Puesto que , si , entonces al dividir ambos miembros de la

ltima igualdad por dx, se tiene: y se puede de esta forma interpretar la

derivada de una funcin como el cociente de dos diferenciales.

iii) De acuerdo a la observacin ii. todas las reglas de diferenciales se deducen de las

reglas de derivacin, multiplicando ambos miembros de estas ltimas por dx. En la

tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las

correspondientes reglas de derivacin.

Regla de la derivada Regla de la diferencial

R.D.1

R.d.1.

R.D.9.

R.d.9.

R.D.3.,4.

R.d.3.,4 .



R.D.5.

R.d.5.

R.D.7. R.d.7.

R.D.10. R.d.10.

As por ejemplo, si , entonces, la

derivada viene dada por:

Es decir,

Multiplicando ambos miembros de la ltima igualdad por , se obtiene

finalmente:

dy =

iv) Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencial se

expresa as:

Aproximaciones:

Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello,

supngase que la grfica de y = f (x) corresponde a la de la figura 11.24.



Figura 11.24.

Cuando se da a x un incremento la variable y, recibe un incremento , que

puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por lo tanto, el valor aproximado

de es: (1)

As por ejemplo, supngase que se quiere calcular (usando diferenciales), un valor

aproximado de .

En primer lugar, ntese que puede escribirse como y puesto

que , se puede pensar en la funcin: y hallar dy conx = 125

y = -3.

Esto es, .

Pero,

, con lo cual, .

En consecuencia, usando (1) se puede escribir:



Estimacin de errores:

Un problema caracterstico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta

variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud . El valor x0 se

usa despus para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor

de y0 queda supeditado al error de x, pero con que magnitud?. El procedimiento regular

consiste en estimar el error por medio de diferenciales.

EJEMPLO 1

Por ejemplo, un tanque cilndrico tiene un radio de 5 metros y una altura de 10 metros

Se desea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 metros de

espesor. Hallar:

SOLUCIN

Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura 11.25)

Figura 11.25.

El volumen viene dado por la funcin: .

La diferencial de V en x = 5, ser el valor

aproximado: .

ser el valor exacto, es decir,



11.12. PROBLEMA RESUELTOS

1. Determine, si existen los extremos absolutos (mx. y mn.) de la

funcin: en el intervalo [-3,2]

SOLUCIN

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de mximo y mnimo absoluto

est garantizada por el teorema. Para determinarlos, se aplica la regla prctica dada en la

observacin del mismo teorema.

Considere los puntos crticos por medio de la derivada.

son los nicos puntos crticos.

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

.

Mximo absoluto de f en es

Mnimo absoluto de f en es



2. Determine, si existen los extremos absolutos de la funcin: en el intervalo [-5,4].

SOLUCIN

La continuidad de f en el intervalo , garantiza la existencia de extremos absolutos

de f en dicho intervalo.

Se debe determinar primero los puntos crticos por medio de la

derivada. .

El nico punto crtico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que no

tiene solucin).

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:



3. Considere la funcin f definida por:

Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3].

SOLUCIN

La funcin es continua en todos los puntos del intervalo (verifique). Por el

teorema, f (x) posee mximo y mnimo absoluto en el intervalo considerado. Para

determinarlos, se consideran primero los puntos crticos de f:



Puesto que y , la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto

corresponde a un punto crtico de f.

De otro lado, la derivada no se anula en ningn punto del intervalo. En consecuencia, el

nico punto crtico es x = 1.

Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:



4. Analizar si satisface las hiptesis del T.V.M. para derivadas

en el intervalo y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen

la conclusin.

SOLUCIN

i. es continua en Porqu?

ii. es derivable en Porqu?

Como f cumple la hiptesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C, tal

que:

Pero,



As que:

Por lo tanto,

De donde,

De estos dos valores, el nico que pertenece al intervalo (1, 3) es que es la

nica solucin buscada.

5. Para la funcin , estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el intervalo [-2, 2].

SOLUCIN

i. Claramente la funcin es continua en [-2, 2].

ii. , no existe en el punto x = 0.

Luego, no se cumple la condicin ii. del teorema, y en consecuencia, no puede

garantizarse la existencia del punto C.

Ahora, y como no se anula para ningn

valor real de x, entonces la igualdad: no se cumplir en

ningn C en < -2, 2 >.

6. a. Demostrar que si la derivada de una funcin es 0 en un intervalo, entonces, la funcin es constante en dicho intervalo.

b. Use la parte a. para demostrar que: es constante. Hllese el

valor de dicha constante.

SOLUCIN

a. Note en primer lugar que f satisface las hiptesis del T.V.M. (Porqu?).

Ahora, sean dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la funcin.

Para probar la parte a. es suficiente probar que , lo cual obliga a que la

funcin sea constante.



Segn el T.V.M., existe un nmero C entre y tal que:

y como , se concluye entonces que .

b. (TEOREMA)

.

Como , se sigue de la parte a. que es una funcin constante.

Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la funcin en algn nmero especfico,

el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo .

Se tiene entonces, .

Luego, para todo x. (x en el dominio comn de la secante y la

tangente). Este resultado no debe sorprender puesto que , es una

identidad trigonomtrica conocida.

7. Trazar la curva correspondiente a la funcin:

SOLUCIN

Determinemos los elementos fundamentales de la curva como son:

1. Dominio natural de f (x).

Los nicos valores de x para los cuales no existe la funcin son y

(valores de x que anulan el denominador). De esta forma: .

2.Interceptos:

i. Con el eje x (se hace y = o en (1)):

Esta ltima ecuacin no tiene Solucin real, indicando con esto que la curva no corta al



eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = o en (1)): Asi que, la curva corta al

eje y en el punto .

3. Asntotas:

i. Verticales: son aquellos valores de x que anulen el denominador de (1). En este caso,

las rectas verticales x = 2 y x = 2 son asntotas verticales de la curva.

Adems,

ii. Horizontales:

Como: , se deduce que y = 1 es una asntota

horizontal de la curva. De otro lado, como, , se deduce

entonces que los valores de la funcin para valores grandes de x en valor absoluto, son

mayores que 1, indicando con esto que la curva siempre est por encima de la curva.

En la figura 11.26 se indica el intercepto de la curva con el eje y, el comportamiento de

la curva cerca de las asntotas.



Figura 11.26.

iii. Oblicuas: No tiene. Porqu?.

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.

Para ello, se hace el anlisis de la primera derivada.

Como (positivo), el signo de la derivada, solo depende del signo del

factor (14 x). Asi:

Signo de (14 x) Signo de f (x) +++++++++++++++| - - - - - - - - - - - - - - -

0

El diagrama indica que: f (x) es creciente en

f (x) es decreciente en

En consecuencia, x = 0, corresponde a la abscisa de un punto mximo

relativo. .

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexin.

Para ello, se hace uso de la segunda derivada.

Si



Como (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de

los factores del denominador.

Signo de (x 2)3- - - - - - - - - - - - - - - | +++++++++++++++

2

Signo de (x + 2)3- - - - - - -| ++++++++ +++++++++++++++

-2

Signo de f (x) +++++++++| - - - - - - - |+++++++++++++++

-2 2

El signo de la segunda derivada indica que:

f (x) es cncava hacia arriba (+) en

f (x) es cncava hacia abajo (-) en < -.2 2 >

En los puntos x = 2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, indicando con esto que hay

"inflexin" pero, no existe punto de inflexin (Porqu?).

La figura 11.27 recoge toda la informacin obtenida y proporciona una muy buena

aproximacin a la grfica de la funcin dada.

Figura 11.27.

8. Trazar la curva correspondiente a la funcin:

(1)

SOLUCIN



1. Dominio natural de f(x):

El nico valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el

denominador). As que la funcin es continua para

todo , por ser el cociente de dos polinomios.

3. Intercepto:

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): . Luego el

punto es el intercepto de la curva con el eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): . Luego el punto es el

intercepto de la curva con el eje y.

3. Asntotas:

i. Verticales: El nico valor de x que anula el denominador es x = 1 y esta es la nica

asntota vertical de la curva.

De otro lado:

ii. Horizontales: No tiene (Porqu?).

iii. Oblicuas: Como el grado del numerador es 3, una unidad ms que el grado del

denominador que es 2, la curva tiene una asntota oblicua de la forma y = mx + b.

Para determinarla, se efecta la divisin entre el numerador y el denominador y se

obtiene:



As que es la asntota oblicua de la curva.

Para estudiar el comportamiento de la curva "cerca" de la asntota se estudia la

diferencia: , para un mismo valor de x.

Donde : la ordenada de la curva y : ordenada de la asntota.

Esto es, Si x >0,

entonces, , indicando con esto, que para valores grandes de x (positivos), la

curva est por encima de la asntota.

Si x < 0, entonces, , lo cual indica que para valores grandes

de x (negativos), la curva est por debajo de la asntota.

En la figura 11.28 se ilustra los intercepto de la curva con los ejes coordenados, as

como tambin el comportamiento de la curva "cerca" de las asntotas.

Figura 11.28.

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.

Para ello se hace el anlisis del signo de la primera derivada.



El signo de f (x) depende de los signos que poseen los factores (x 5) y (x 1)3, puesto

que (x + 1)2

es siempre positivo.

Signo de (x 5)

Signo de (x - 1)3

Signo de f (x)

El signo de f (x) indica:

f crece en los intervalos y

f decrece en el intervalo

x = 1 corresponde a un mximo relativo.

x = 5 corresponde a un mnimo relativo.

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexin

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f(x).

El signo de f(x) solo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y

son siempre positivos.

Signo de (x + 1)

El signo de f (x) indica:

f(x) es cncava hacia abajo en



f(x) es cncava hacia arriba en .

El punto corresponde a un punto de inflexin, es decir en la

curva cambia de concavidad.

En la figura 11.29 se traza la curva con todos los elementos as obtenidos

Figura 11.29.

9. Trazar la grfica de la funcin: (1), para x en

SOLUCIN

Como solo interesa la parte de la grfica correspondiente al intervalo , solo se

tiene en cuenta para su anlisis los siguientes elementos:

1. Continuidad:

La funcin es continua en el intervalo por ser suma de funciones continuas

2. Intercepto:

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)) y se resuelve para x.



Al resolver la ltima ecuacin reducible a cuadrtica, se obtiene por la frmula

general:

La ecuacin , carece de solucin (Porqu?).

Si , entonces y

Luego, los intercepto de la curva con el eje x, son los puntos:

y

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). As .

3. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos

Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f(x).

El signo de la derivada depende del signo de los factores y en el

intervalo .

es positivo, si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,

si , es negativo, si x pertenece al segundo o al tercer

cuadrante, es decir, si .

Ahora, como siempre que , se deduce que

si si .

Tambin, siempre que , as que

si .



Al llevar esta informacin al diagrama adjunto se puede escribir:

Signo de ( 2 cos x) en el intervalo

Signo de en el intervalo

Signo de en el intervalo

El signo de indica que es creciente en los intervalos:

y,

es decreciente en los intervalos: y, .

Del diagrama anterior, se puede concluir tambin que:

corresponde a un mximo relativo, es decir, es un punto mximo de la

curva corresponde a un mximo relativo, es decir, es un punto

mximo de la curva corresponde a un mnimo relativo, es decir, es un

punto mnimo de la curva.

Finalmente, corresponde a un mnimo relativo, es decir, es un

punto mnimo de la curva.

4. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexin



Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: .

(2)

Para hallar los posibles puntos de inflexin, se resuelve la ecuacin: .Es

decir,

Resolviendo esta ltima ecuacin reducible a cuadrtica, se obtiene:

(3)

Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonomtricas, se pueden obtener

los siguientes valores aproximados de x:

y

Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexin, se

hace necesario analizar el signo de la segunda derivada

Los valores dados en (1), permiten escribir as:

Mediante consideraciones similares a la hechas para , se puede obtener la

informacin que aparece en el diagrama siguiente:

Signo de

Signo de

Signo de



El signo de indica que:

es cncava negativa en:

es cncava positiva en:

Adems, se obtienen los siguientes puntos de inflexin:

; ; y

Con la informacin dada en los cuatro puntos anteriores, se puede trazar una buena

aproximacin a la curva correspondiente, como aparece en la figura 11.30.

Figura 11.30.

11.13. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Para las funciones dadas a continuacin, encontrar los mximos y mnimos relativos,

los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva.

a. b.

c. d.

e. f.



g. h.

2. Determine el valor de las constantes a y b para que la funcin definida

por , tenga un extremo relativo en < 2, 3 >.

3. Para cada una de las funciones dadas a continuacin, determine los extremos

absolutos de f en el intervalo dado.

a. en

b. en

c. en

d. en

e. en

f. en

4. Para las funciones dadas a continuacin verifique las condiciones del Teorema de

Rolle y encuentre el punto C que satisface la conclusin del teorema.

a. en

b. en

c. en

d. en

5. Para las funciones dadas a continuacin verifique las condiciones del Teorema del

Valor Medio (T.V.M.) y encuentre el punto C que satisface la conclusin.



a. en

b. en

c. en

d. en

e. en

f. en

6. Sea . Demostrar que no existe ningn punto C en < 1; 2> que satisfaga

la conclusin del T.V.M. Dibuje la grfica de la funcin y seale la parte de la

hiptesis que falla en este caso.

7. Sea . Demuestre usando el Teorema de Rolle, que la

ecuacin: tiene al menos una raz real en el intervalo (0; 1).

8. Sea una funcin continua en [ a, b ] y tal que para todo x en

< a, b >. Probar que: para todo x en [ a, b ].

9. Juan viaj 125 Km. en 2 horas y asegur que en su recorrido nunca excedi el lmite

de 60 Km. por hora. Use el Teorema del Valor Medio para demostrar que minti

(ayuda: Sea la distancia recorrida en el tiempo t.)

10. Sean y dos funciones que satisfacen la siguiente

condicin: para todo x de < a, b > . Demostrar que existe una

constante C tal que: para todo x de < a, b >

11. Demostrar que si para todo x de < a, b > , entonces, existe una

constante C tal que para todo x de < a, b > . (Ayuda: Sea y

aplique el ejercicio 10).



12. Supngase que lo nico que se sabe a cerca de las funciones y es lo

siguiente: , , y Demostrar

que:

(Ayuda: Sea y use el problema 11).

13. En cada uno de los literales siguientes, determine el valor de que satisface la

definicin de lmites al infinito, conociendo , L y .

a. ; L = 3; = 0.005

b. ; L = 0; = 0.02

c. ; L= -2; = 0.001

d. ; L= 1; = 0.01

13. Trazar las grficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: Dominio,

intercepto, asntotas, crecimiento, decrecimiento, mx.-mn., intervalos de

concavidad, posibles puntos de inflexin.

a. b.

c. d.

e. f.

14. Dibuje la grfica de una posible funcin f que satisfaga las siguientes condiciones:

a. f es continua en todo el eje real.

b. ,



c. para

d. para

15. Dibuje la grfica de una posible funcin g que cumple las siguientes propiedades:

a. g es continua en todo el eje real.

b. ,

c. para

d. para ; para para x > 3

16. Sea f una funcin continua en todo el eje real y derivable en todo . La figura

adjunta es el grfico de la funcin derivada no de , elaborar grafico.

Responda las siguientes preguntas acerca de (no de ):

a. Dnde es creciente? y decreciente?.

Dnde es cncava hacia arriba? y hacia abajo?

Cules son sus puntos crticos? Dnde ocurren los extremos relativos?

b. En el supuesto que , dibujar una funcin que verifique las condiciones

expuestas..

11.14. EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE

MXIMOS Y MNIMOS. VARIABLES RELACIONADAS

1. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin

tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. Cul debe

ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja

sea mximo?.

2. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm. de lado, tienen recortados de

sus esquinas cuatro pequeos cuadrados. Los doce pequeos cuadra

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