Apuntes Mat. Aplicada

Matemáticas Aplicadas

MATEMÁTICAS APLICADAS

OBJETIVO;_

Aplicar conceptos básicos de matemáticas en elTratamiento con profundidad de problemas sociales,Políticos, económicos y de la ciencia y tecnología.

PROGRAMA.-

I.- APLICACIONES DE LA DERIVADA.-

1.- REPASO DE LA DERIVADA2.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)3.- RAPIDEZ DE CAMBIO

II.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL.-

1.- INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL2.- INTEGRALES INMEDIATAS3.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN4.- INTEGRALES DEFINIDAS5.- ÁREAS BAJO LA CURVA6.- SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

El curso será calificado con tres evaluaciones, las cuales deben de ser aprobadas todas para promediar la calificación final. En caso de no ser así, al final del curso deberán recuperarse las evaluaciones reprobadas y así finalmente promediar con calificación satisfactoria.

En la primera evaluación se verá el contenido de la primera unidad, es decir, las “Aplicaciones de la derivada”. El contenido de la segunda unidad, “Aplicaciones de la integral” será dividido para calificar la segunda y tercera evaluación, de manera que los puntos 1,2 y 3 son material para la segunda y 4, 5 y 6 para la tercera.

Se calificarán todas las actividades (tareas, trabajos, proyectos etc.) las cuales conformarán el 50% de la calificación de cada evaluación. El otro 50% será calificado por medio de exámenes.

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APLICACIONES DEL CÁLCULO

El cálculo es una de las principales puertas para las carreras técnicas y profesionales para un gran número de estudiantes en un rango cada vez mayor de currícula. A donde volteemos (en las empresas, el gobierno, la ciencia y la tecnología), casi todo el aspecto del trabajo profesional está relacionado con las matemáticas.

Desde el punto de vista de las aplicaciones de las matemáticas, puede decirse que los métodos tradicionalmente agrupados bajo los nombres de Cálculo diferencial y de Cálculo Integral tienen por objeto resolver los problemas de cambio y movimiento. El cálculo diferencial y con mayor veracidad el cálculo integral, son dominio de las matemáticas de indudable refinamiento y que a veces plantean dificultades de cierta delicadeza en cuanto a su tratamiento.

El empleo de las matemáticas en la resolución de problemas de optimización se inició hace cerca de 25 siglos. Al principio no hubo un enfoque único en su solución. Fue sólo hasta hace cerca de 300 años cuando se creó un método general que permitió resolver cuestiones de optimización de la más diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron científicos de todas las épocas, como Euclides, Arquímedes, Apolonio, Herón, Tartaglia, Torricelli, Johann y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Leibnitz y muchos otros. Este método general, complementado con los conceptos que le sirven de sustento, se constituyó una rama del conocimiento matemático a la que se le ha dado el nombre de Cálculo Diferencial.El método del cálculo resultó ser una poderosa herramienta para la resolución de problemas de optimización de las más variadas ramas de la ciencia y de la técnica.La determinación del área bajo una curva es un ejemplo clásico del uso del Cálculo integral.

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS Industrial y de Servicios No.

DIAGNÓSTICOPara la asignatura de

MATEMÁTICAS APLICADASIng. Estela Margarita Terán B.

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Nombre:______________________________________________________Grupo________________

I.- Escribe la palabra correcta en cada espacio vacío.

1.- El cálculo es una rama de las _________________ que se divide en

_____partes: ________________________ y _____________________________________________.

II.- Contesta las siguientes preguntas:

1.- ¿Qué utilidad tiene el cálculo diferencial?__________________________________________

____________________________________________________________________________________

2.- ¿Qué es una ecuación? ___________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

3.- Matemáticamente, ¿qué es una función? __________________________________________

_____________________________________________________________________________________ 4.- ¿Qué es una variable?.- ___________________________________________________________

5.- ¿Qué es una constante?.-_________________________________________________________

6.- ¿Qué es un rango de valores?.-____________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

7.- ¿Qué se entiende por límite?.-____________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

8.- ¿Cuál es el límite de una variable.-________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

9.- ¿Sabes calcular el límite de una función?.-______________.

10.- ¿Conoces las fórmulas de derivación? __________, ¿Cuáles?________________________

____________________________________________________________________________________

11.- ¿Conoces las fórmulas de integración? __________, ¿Cuáles? ______________________

_____________________________________________________________________________________

12.- ¿Qué se entiende por optimización?.-____________________________________________

III.- Resuelve las siguientes operaciones.-

3


1.- Operación con fracciones

13+ 5

2

(1−34

)2=

2.- Suma de monomios

3 x+2xy− y−6 x+xy+5 y=

3.- Resta de polinomios

(2a−3a2+a3 )−(a+a2+a3 )=

4.- División de polinomio entre monomio

2 x3+4 x2+6 x2 x

=

5.- División de polinomios

2 x3+4 x2+6 xx+1

=

6.- Suma de fracciones Algebraicas

2 x3+4 x2+6 xx3+1

+ x3+2 x2+xx3+1

=

7.- Cuadrado de un binomio

( x+1)2=

8.- Factorización de un Trinomio cuadrado perf.

x2−2x+1=

9.- Pendiente de una recta

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A(5,1) y B(-2,6)

10.- Identidad Trigonométrica Simplifique la sig. Expresión:

sen2 x+cos2 xsen2 x

=

REGISTRO: MODULO (Mate. Aplicada)

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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS

Industrial y de Servicios No. 86

Febrero – Agosto 2011Ing. Estela MARGARITA Terán B.

DATOS PERSONALES:

NOMBRE:___________________________________grupo_______________

DIRECCIÓN:____________________________________________________

TEL. ________:___________________ CEL:__________________________

E-MAIL:_________________________________________________________

FOTO

A QUE DEDICO MIS TIEMPOS LIBRES:

POR LAS TARDES:___________________________________________________________________

LOS SÁBADOS:______________________________________________________________________

LOS DOMINGOS:____________________________________________________________________

QUE PIENSO ACERCA DE LOS VALORES:

LA FAMILIA:________________________________________________________________________

RESPETO A MIS PADRES_____________________________________________________________

RESPETO A MIS MAESTROS__________________________________________________________

PROTECCIÓN DEL MEDIO AMBIENTE:_________________________________________________

LA HONESTIDAD:___________________________________________________________________

LA AMISTAD:_______________________________________________________________________

SUPERACIÓN:_______________________________________________________________________

PROYECTO DE VIDA:¿Cuál es mi proyecto de vida para el próximo año ?_________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

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¿Qué estoy dispuesta o dispuesto a hacer para aprobar el módulo de

MATEMÁTICAS APLICADAS ?________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

YO SOY

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Repaso de la Derivada Ejercicios de la secuencia No. 1

Matemáticas aplicadasIng. Estela Margarita Terán

INSTRUCCIONES:Por medio de fórmulas (tablas de derivadas) hallar la derivada de las siguientes funciones.

1.- y=3 x3+2 x2−7 x+2 23.-

y=5 x4+2 x3−6 x+1 45.- y=1

3x3+1

2x2−7

2x+ 1

2

2.- y=ax3−bx 2+cx 24.- y=ax2−bx+c46.-

y=1a

x3−1b

x2+ 1c

x

3.- y=√x 25.- y=3√x 47.- y=√x5

4.- y= 1

√ x26.-

y= 1

√ x3 48.- y= 1

√2x

5.- y=8√x5

27.- y=5√x4

49.- y=83√x5

6.- y= x3

3√ x2−5 x2

3√x4+√x3

28.- y= x3

3√ x− 5 x

4√ x3+√x

50.- y=2 x3

3√ x4− x2

3√ x7+√ x

7.- y= 1

2 ax 29.- y= 2

ax 51.- y= 1

2 x

8.- y=( x2+a2)530.- y=( x3+a

13 )4

52.- y=(a3+x3 )6

9.- y=√3−x231.- y=√3−x3

53.- y=3√3+x

10.- y=3√2−x3

32.- y=3√a−xa

54.- y=4√2+x3

11.- y=a

x− b

x2+ 1

x333.-

y=2ax

−3b

x2+ 2

x355.-

y= a2 x

− b

2 x2+ 1

3 x3

12.- y=2

x− 1

x2+ a

2 x 34.- y=1

x− 1

x2+ 1

2 x 56.- y= 2

3 x− 1

3 x2+ a

2

13.- y=3√x2+b 35.- y=

4√x3+2a 57.- y=a3√x2+b

14.- y=5√x3+b3

36.- y=3√x5+b

53 58.- y=6

5√x3+2b3

15.- y=√2 x

a+ a

√2 x 37.- y=√2 x

3+ 4

√2 x 59.- y=√ax

2+ 2

√ax

16.- y=3√8−16 x 38- y=5√b−ax 60.- y=3√8−16 x2

17.- y= 1

√4+x239.-

y= 1

√9+x361.-

y= 2

√4+x2

7


18.- y=(4−2

x)2

40.- y=(3−

1x)1

2

62.- y=(4−2

x)3

19.- y=(5 x2+1)√3 x2+2 41.- y=(2 x2 )√2 x2+3 63.- y=( x )√x2+1

20.- y= 1+x2

√1−x242.-

y=√1+x2

1−x 64.- y= x2+1

√ x2−1

21.- y=√1−ax

√1+ax 43.- y=

3√2+3 x3√2−3 x 65.-

y=√ax−1√ax+1

Aplicaciones de la derivada Contextualización de la secuencia No. 2


Introducción.

Es muy común encontrarse en la vida cotidiana con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible. Por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas pérdidas de material.

Al estudiar los métodos de derivación vimos que la primera derivada nos da la pendiente de una curva en cualquier punto (donde la función dada es diferenciable). Si esta primera derivada se iguala a cero, se pueden conocer los puntos en donde la curva tiene puntos máximos o mínimos relativos. Se puede utilizar este método para resolver problemas de optimización, es decir, aquellos donde interesa encontrar precisamente los puntos máximos o mínimos de cierta función.

Es posible encontrar formas óptimas de hacer las cosas. ¡Imagine el poder de un ejecutivo que puede encontrar cómo minimizar los costos y maximizar las utilidades de su empresa!. ¡Imagine la importancia de maximizar la calidad de salud; de minimizar el deterioro del medio ambiente o de optimizar el consumo de combustible!.

Probablemente la mayor dificultad al resolver problemas de optimización consiste en el planteamiento de éstos. Casi siempre se requiere un diagrama, identificar las variables, y establecer la relación entre dichas variables. Cuando lo anterior se ha logrado, la igualación a cero de la primera derivada nos llevará a la solución óptima.

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Actividad No. 1

Instrucciones

1.- Investigar por lo menos en tres fuentes diferentes (libros de cálculo, revistas científicas, direcciones electrónicas, enciclopedias, etc.) Aplicaciones de la derivada. Y elabora la ficha bibliográfica.

2.- Investigar el significado de las siguientes palabras: Cálculo, Función, variable, dominio, rango, gráfica, tabla, geometría, área, volumen, números reales, máximo, mínimo, recta tangente, derivada de una función y optimización.

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Aplicaciones de la derivada Investigación de la secuencia No. 2


Aplicaciones de la derivada:___________________________________________________

CONCEPTO SIGNIFICADO, (matematicamente hablando)Cálculo

Función

Variable

Domínio

Rango

Gráfica

Tabla

Geometria

Área

Volumen

Números reales

Máximo

10


Mínimo

Recta tangente

Derivada de uma función

Representación

Protótipo

Optimización

Actividad No. 2

La siguiente figura muestra un ejemplo de aplicación de la derivada. A continuación se le entregará a cada equipo una hoja de cartoncillo y deberán realizar las siguientes indicaciones.

a. Medir el largo y el ancho de la hoja y anotarlo en las líneas de acotación del dibujo.

b. Hacer unos cortes en forma de cuadrado en cada una de las cuatro esquinas. Cada equipo decidirá el tamaño del corte, de manera que la caja que se forme al hacer los dobleces tenga el mayor volumen posible.

c. Anotar en los dibujos la magnitud del corte que se realizó y las dimensiones de la caja.

d. Calcular el volumen de la caja.

e. En la siguiente tabla anotar la dimensión del corte y el volumen de cada uno de los equipos discutir los resultados y anotar las concluciones.

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No de equipo

Nombre del equipo Valor del corte

xVolumen de la cajav=l∗a∗h l=l argo a=ancho h=altura

Conclusiones.-______________________________________________________________

______________________________________________________________

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MÉTODO DE LA PRIMER DERIVADA PARA CALCULARLOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.

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1. Se halla la derivada de la función dada.

2. La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante, determinándose así los valores críticos de la variable.

3. Con el fin de hallar los signos de las pendientes (tangentes) antes y después, de cada uno de los puntos críticos, se sustituye para cada


PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS ANTES Y DESPUES DELOS PUNTOS CRITICOS

m (-)

m (+)

m(-) m (+)

PENDIENTES IGUALES A CEROVALORES CRÍTICOS.

m (0)

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1. Se halla la derivada de la función dada.

2. La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante, determinándose así los valores críticos de la variable.

3. Con el fin de hallar los signos de las pendientes (tangentes) antes y después, de cada uno de los puntos críticos, se sustituye para cada


m (0)

EJEMPLO

Calcular los máximos y mínimos de la función y=2 x3+3 x2−12 xSOLUCIÓN1.- Se halla la derivada.

y=2 x3+3 x2−12 xy '=6 x2+6 x−12

2.- Se iguala a cero y se determinan los valores críticos.

por factorizacióno por fórmula generalx2+x−2=0( x+2)( x−1 )=0valores críti cosx=−2x=1

3.- Se determina cuáles valores críticos son máximos o mínimos.

Para x=−2un valor un poco menor un valor un poco mayorx=−3 x=-1y '=x2+x−2 { y '=x2+x−2

¿ y '=(−3 )2+(−3 )−2 { y ¿'=(−1 )2+(−1)−2 ¿ y '=9−3−2=4 { y¿ '=1−1−2=−2 ¿ y '=(+) { y ¿'=(−) ¿ primero (+) y luego (−) ¿ máximo ¿¿

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6 x2+6 x−12=06 (x2+ x−2)=0

x2+x−2=06

x2+x−2=0


Para x=1unvalor un poco menor un valor un poco mayorx=0 x =2y '=x2+x−2 { y '=x2+x−2

¿ y'=(0 )2+(0 )−2 { y ¿'=(2)2+(2)−2 ¿ y '=0+0−2=−2 { y ¿'=4+2−2=4 ¿ y'=(−) { y ¿'=(+) ¿ primero(−) y luego(+) ¿ mínimo ¿¿

Actividad No. 3

Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones:(Incluir Gráfica).

1.- 3+4 x−2 x2 puntos críti cos :

2.- x2−8 x puntos críti cos :

3.- 2 x3+3 x2+12 x−4 puntos críti cos :

4.- x3−6 x2+15 puntos críti cos :

5.- x2+8 x+10 puntos críti cos :

6.- 10+12 x−3 x2−2 x3 puntos críti cos :

7.- x3+2 x2−15 x−20 puntos críti cos :

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓNSOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Hasta el momento, los problemas los que has estudiado en cálculo se han presentado en forma de ecuaciones, pero en los problemas de optimización tú habrás de formular la ecuación para después seguir un planteamiento que indique el proceso de solución.Existen varios pasos a considerar en la solución de este tipo de problemas, por ejemplo: La representación gráfica que interprete el problema dado, la simbología literal para las cantidades conocidas y para las cantidades por determinar; hacer el planteamiento matemático en términos de una variable independiente, hacer la sustitución en la ecuación de los valores conocidos y los desconocidos, realizar las operaciones y obtener los resultados requeridos.

EJEMPLO

De una pieza cuadrada de hojalata cuyo lado mide 64 pulgadas, se desea construir una caja, abierta por arriba, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuánto debe medir por lado el cuadrado que se recorta y cuál es el volumen máximo?.

SOLUCIÓN

Construyendo una gráfica del problema

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Si “x ” es la longitud del lado del cuadrado pequeño, es decir, la altura o profundidad de la

caja, entonces: “64−2 x ” es la longitud del lado del cuadrado que forma el fondo o la base de la caja. Entonces el volumen se determina por la ecuación:

volumen=lado por lado por alturav=( l )(l )( x )como ( l)=64−2 xentonces v=(64−2 x )(64−2 x )(x )v=x (64−2x )2

aplicando elmétodo para calcular máximos y mínimosDerivando el volumen :

v '=(64−2 x )2+ x (2 )(64−2x )(−2 )v '=(64−2 x )2−4 x (64−2x )v '=4096−256 x+4 x2−256 x+8 x2

v '=12 x2−512 x+4096

resolviendo laecuación por medio de factorización o por fórmula generalencontramoslos valoresde x( puntos críti cos ).12 x2−512 x+4096=0( x−32)(12 x−128 )=0x−32=0 ; 12 x−128=0x1=32

x2=12812

=323

=10 .667

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Para x1=32un valor un pocomenor un valor un pocomayorx=31 x=33v '=12 x2−512 x+4096 { v

'

=12 x2−512 x+4096 ¿v '=12(31 )2−512(31 )+4096 { v¿'=12(33 )2−512(33)+4096 ¿ v '=11532−15872+4096 { v¿'=13668−16896+4096 ¿v '=−244 { v ¿'=268 ¿ v '=(−) { v ¿'=(+) ¿ primero(−) y luego (+) ¿ mínimo ¿¿

Para x1=10. 667un valor un poco menor un valor un poco mayorx=10 x=11v '=12 x2−512 x+4096 { v

'

=12 x2−512 x+4096 ¿v '=12(10 )2−512 (10 )+4096 { v ¿'=12(11)2−512(11)+4096 ¿ v'=1200−5120+4096 { v ¿'=1452−5632+4096 ¿v '=176 { v¿'=−84 ¿v '=(+) { v¿ '=(−) ¿ primero(+) y luego (−) ¿ volúmen máximo ¿Por lo tanto, el valor del corte deverá ser de 10 . 6666 cm . por lado ¿ para que el volúmen de la caja sea máximo ¿¿

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Actividad No. 4

Aplicando el método de máximos y mínimos y observando el ejemplo anterior, resuelve el problema de la actividad No. 2

Actividad No. 5

Resuelve los siguientes problemas de optimización.

1.- Determine dos números reales positivos x y y tales que su suma sea 50 y su producto sea lo más grande posible.

2.- Determine el área máxima posible de un rectángulo de perímetro 200 metros.

3.- Un granjero tiene 600 mts. De cerca, con lo que quiere acotar un corral rectangular adyacente a una larga pared ya existente. Usará la pared como un lado del corral y la cerca disponible para los otros tres lados. ¿Cuál es el área máxima que puede encerrar esta forma?

4.- Un rectángulo de perímetro fijo 36 se gira en torno de uno de sus lados, con lo que se barre una figura con la forma de un cilindro circular recto, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen máximo posible de ese cilindro?.

5.- Un granjero tiene 600 yardas de cerca, con lo que quiere construir un corral rectangular. Parte de la cerca se usará para construir dos cercas internas de división, paralelas a los mismos dos lados del corral, ¿Cuál es el área total máxima de dicho corral?6.- Una caja rectangular tiene una base cuadrada con aristas de al menos 1 cm.

De largo. Si el área total de su superficie es de 600 cm2 ¿Cual es el volumen

máximo posible de dicha caja?

7.- Tres cuadros grandes de metal, cada uno con lados de 1 metros, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadros. Los 12 cuadros pequeños resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y soldan para formar para formar cajas sin tapa, y los 12 cuadros pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿ Como hacer esto para maximizar el volumen total de las 5 cajas?

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8.- Un alambre de 100 cm. De longitud se corta en dos partes. Una parte se forma para formar un círculo y la otra para un cuadrado. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximisar la suma de las áreas del cuadrado y del círculo? ¿Para minimizar dicha suma?

9.- Un ranchero necesita hacer un corral para encerrar su ganado. Para ello dispone de suficiente material para construir 171 metros lineales de cerco. ¿Cuanto deberán medir los lados de un corral rectangular que contenga la mayor superficie posible (que utilice en su construcción los 171 metros lineales de cerco). Con el objeto de poder encerrar la mayor cantidad de ganado.

10.- Un fabricante desea hacer cajas sin tapa para envasar su producto, hará uso de piezas rectangulares de cartón de 50 por 30 centímetros, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los sobrantes. Encuentra la longitud por lado de los cuadrados que serán cortados en cada esquina, si se quiere obtener una caja que encierre el mayor volumen posible.

11.- Un fabricante desea construir latas de forma cilíndrica y sin tapa para envasar su producto. Encuentra las dimensiones para que la lata resulte lo mas económica posible, es decir, para que el área de hojalata empleada en cada bote sea mínima, sabiendo que el volumen de cada lata será de 1 decímetro cúbico.

12.- Una compañía usa latas de forma cilíndrica para envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata, (es decir, el área mínima de hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos.

13.- Se pretende empacar harina en cajas con tapadera, las cuales se fabricarán usando láminas de cartón rectangulares de 40 centímetros de largo por 24 de ancho, cortando en ellas 6 cuadrados iguales y doblándolas como se muestra en la siguiente figura. ¿ Qué magnitud deberán tener por lado los seis cuadrados

14.- Una compañía fabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de 1 litro de capacidad para envasar su producto. Encuentra las dimensiones que debe tener la lata que requiera la mínima cantidad de material en su construcción.

15.- Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 900 pies cuadrados de área, . ¿Cuanto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

16.- Un ranchero quiere bardear tres corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 900 pies cuadrados de área, ¿Cuanto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

17.- Un matrimonio dispone de alambre suficiente para construir una valla de 100 pies. Ellos desean usarlo para cercar tres lados de un jardín rectangular, cuyo

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cuarto lado bordea un edificio, ¿Cuales deberían ser las medidas del jardín para que la valla abarque el área máxima.

18.- Si se cortan cuatro cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado, y se doblan sus cuatro sobrantes, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo?

19.- De todos los metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 100 pulgadas cúbicas. ¿Cuál de ellos requiere la menor cantidad de material?

20.- Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 100 pulgadas cúbicas de volumen. ¿Cual requiere menos material?

21.- Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 1000 pulgadas cúbicas de volumen, ¿En cuál se usa menos material?

22.- Entre todas las cajas rectangulares sin tapa con bases cuadradas y de 1000 pulgadas cúbicas de volumen. ¿En cual se usa menos material?

23.- ¿Cómo deberían elegirse dos números no negativos cuya suma sea 1 para maximizar la suma de sus cuadrados?, ¿y para minimizar la suma de sus cuadrados?

24.- Una ventana tiene la forma que se indica en la figura. ¿Cuales deberán ser sus dimensiones para que entre el máximo de luz, considerando que la moldura de la ventana es un perímetro de 10 metros?

25.- Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

26.- Hallar el volumen de la caja abierta de base cuadrada y volumen máximo que se pueda hacer a partir de una pieza cuadrada de hojalata de 18 cm. De lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.

27.- Se desea cercar un lote rectangular que tenga 4000 decímetros cuadrados de superficie, con uno de sus lados a lo largo de un río recto. Si no se necesita cerca para el lado que da al río, ¿Qué dimensiones requieren la menor cantidad de cerca?

28.- Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada, disponiendo de 300 decímetros cuadrados de material. Halle las dimensiones para que el volumen sea máximo.

29.- Determine dos números naturales cuya suma sea 100 y su producto sea máximo.

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30.- Un fabricante produce vasos cilíndricos con una capacidad de 16 centímetros cúbicos. Si en su construcción utiliza una capacidad mínima de material, ¿de qué dimensiones los fabrica ?

31.- Descomponer el número 100 en dos partes, tales que el producto de una, multiplicada por el cuadrado de la otra sea máximo.

32.- Dividir el número 100 en dos partes, tales que su producto sea máximo

33.- De todos los rectángulos de perímetro igual a 100 cm. ¿Cuál es el de área máxima?

34.- De una lámina cuadrada de 20 cm. Por lado se recorta en cada esquina un pequeño cuadro de lado x y luego se doblan las pártes salientes para formar una caja, sin tapa. ¿cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados que se recortan, para que la capacidad de la caja resulte máxima.

35.- El área total de una caja de base cuadrada es de 12 metros cuadrados. ¿ Qué dimensiones debe tener para que el volumen sea máximo?

36.- La suma de dos números positivos es 20. Hallar cuales son estos dos números si su producto es máximo.

37.- La suma de dos números positivos es 20. Hallar cuales son estos dos números si la suma de sus cuadrados es mínima.

38.- El producto de dos números es 16. Hallar cuales son estos dos números si su suma es mínima.

39.- El producto de dos números es 16. Hallar cuales son estos dos números si la suma de uno con el cuadrado del otro es mínima.

40.- Un rectángulo tiene un perímetro de 900 metros, ¿Cuáles deberán se sus dimensiones para que su área sea máxima?

41.- Hayar dos números cuya suma sea 120 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

42.- Hallar dos números positivos cuya suma sea 220 y su producto sea máximo.

43.- El producto de dos números positivos es 192. ¿Qué números se habrían de elegir para que la suma del primero con tres veces el segundo fuera un mínimo.

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Integrales algebraicas Ejercicios de la secuencia No. 3


INSTRUCCIONES:Por medio de fórmulas (tablas de integrales) hallar la integral, dadas las siguientes diferenciales.

1.- ∫2 x5 . dx 1.- ∫3 x4 . dx 1.- ∫ 4 x3 . dx

2.- ∫ x3 .dx 2.- ∫ x7 . dx 2.- ∫ x2 . dx

3.- ∫− . dx 3.- ∫2 dx3.-

∫ 12

dx

4.- ∫−x 4 .dx 4.- ∫−x5 .dx 4.- −∫ x3 .dx

5.- ∫ x−2 . dx 5.- ∫ x−8 . dx 5.- ∫ x−3 . dx

6.- ∫ x . dx 6.- ∫3 t .dt6.-

−∫ 13

x .dx

7.- ∫−x . dx 7.- −∫6 x .dx 7.- ∫−3 . dx

8.- ∫−x−3 . dx 8.- ∫−x−6 .dx 8.- −∫−x−2 .dx

9.- ∫ x32 . dx 9.- ∫ x

23 . dx 9.- ∫ x

53 . dx

10.- ∫ 4 x43 .dx 10.- ∫ 4 x

45 .dx 10.- ∫ 4 x

34 .dx

11.- ∫3 x−3

2 . dx 11.- ∫3 x−2

3 . dx11.-

∫ 23

x−3

2 . dx

12.- ∫ dx

x 12.- ∫2

dxx 12.-

∫ dx2 x

13.- ∫ dx

x513.-

∫ dx

x313.-

∫ dx

x5

14.- ∫ dx

√ x 14.- ∫2

dx

√x 14.- ∫ dx

3√ x

15.- ∫ 2

x3.dx

15.- ∫ 3

x2.dx

15.- ∫ 1

2 x3. dx

16.- ∫ 1

3 x4.dx

16.- ∫ 3

x3.dx

16.- ∫ 1

2 x5.dx

17.- ∫ 3

√ x. dx

17.- ∫ 3

3√ x.dx

17.- ∫ 1

√ x. dx

23


18.- ∫ 5 . dx

33√x 18.-

∫ 3 . dx

45√x 18.-

∫ 25√x

. dx

Integrales algebraicas Ejercicios de la secuencia No. 3


INSTRUCCIONES:Por medio de fórmulas (tablas de integrales) hallar la integral, dadas las siguientes diferenciales.

1a.- ∫2 x5 . dx

∫2 x5 . dx=(2 ) x6

6+c=1

3x6+c

1b.- ∫3 x4 . dx 1c.- ∫ 4 x3 . dx

2a.- ∫ x3 . dx

∫ x3 . dx= x4

4+c

2b.- ∫ x7 . dx 2c.- ∫ x2 . dx

3a.- ∫− .dx

∫−. dx=−x+c

3b.- ∫2dx3c.-

∫ 12

dx

4a.- ∫−x 4 . dx

∫−x 4 . dx=− x5

5+c

4b.- ∫−x5 .dx 4c.- −∫ x3 .dx

5a.- ∫ x−2 . dx 5b.- ∫ x−8 . dx 5c.- ∫ x−3 . dx

24


∫ x−2 . dx= x−1

−1+c=−1

x+c

6a.- ∫ x . dx

∫ x . dx= x2

2+c

6b.- ∫3 t .dt6c.-

−∫ 13

x . dx

7a.- ∫−x . dx

∫−x . dx=− x2

2+c

7b.- −∫6 x .dx 7c.- ∫−3 . dx

8a.- ∫−x−3 . dx

∫−x−3 . dx=− x−2

−2+c= 1

2 x2+c

8b.- ∫−x−6 .dx 8c.- −∫−x−2 . dx

9a.- ∫ x32 . dx

∫ x32 .dx= x

52

52

+c=2√x5

5+c

9b.- ∫ x23 . dx 9c.- ∫ x

53 . dx

10a.- ∫ 4 x43 .dx

∫ 4 x43 .dx=(4 ) x

73

73

+c=123√x7

7+c

10b.- ∫ 4 x45 .dx 10c.- ∫ 4 x

34 .dx

11a.- ∫3 x−3

2 .dx

∫3 x32 .dx=(3) x

52

52

+c=6 x √x5

5+c

11b.- ∫3 x−2

3 .dx11c.-

∫ 23

x−3

2 . dx

12a.- ∫ dx

x 12b.- ∫2

dxx 12c.-

∫ dx2 x

25


∫ dxx

=ln x+c

13a.- ∫ dx

x5

∫ dxx5

=∫ x−5 . dx= x−4

−4+c=− 1

4 x4+c

13b.- ∫ dx

x313c.-

∫ dx

x5

14a.- ∫ dx

√ x

∫ dx√ x

=∫ x−1

2 . dx= x12

12

+c=2√ x+c

14b.- ∫2

dx

√x 14c.- ∫ dx

3√ x

15a.- ∫ 2

x3.dx

∫2x3

.dx=∫2 x−3 .dx=(2) x−2

−2+c=−1

x2+c

15b.- ∫ 3

x2.dx

15c.- ∫ 1

2 x3.dx

16a.- ∫ 1

3 x4.dx

∫13 x4

. dx=∫13

x−4 . dx=(13

)(x−3

−3)+c=

−x−3

9+c=−1

9 x3+c

16.- ∫ 3

x3.dx

16c.- ∫ 1

2 x5. dx

17a.- ∫ 3

√ x. dx

∫3¿ √x ¿¿

. dx=∫3 x−1

2 . dx=(3 ) x12

12

+c=6 √x+c ¿

17b.- ∫ 3

3√ x2. dx

17c.- ∫ 1

√ x3. dx

26


18a.- ∫ 5 . dx

33√x

∫ 5 .dx

33√x

=∫ 53

x−1

3 .dx=( 53

) x23

23

+c=156

3√ x2+c

18b.- ∫ 3 . dx

45√x

18c.- ∫ 2

5√x5. dx

19ª.-∫(3 x3+2 x2−x−1 ).dx

∫(3 x3+2 x2−x−1 ).dx=

3 x4

4+2 x3

3−x2

2−x+c

19b.-∫( x3+3 x2−2 x−4 ). dx 19c.-∫(4 x−5−2 x−3−3 x+2 ). dx

20ª.- ∫(ax3+bx2−mx−n) . dx

∫(ax3+bx2−mx−n) . dx=

ax4

4+bx3

3−mxx

2−nx+c

20b.-∫(ax4+ax 3−ax−a ) .dx 20c.-∫(mx−3+mx−2+mx+m) . dx

21ª.-

∫ dxxxx ).4

1

5

3

2

1

3

2( 23

∫(23

x3+12

x2−35

x−14

) .dx=

(23

)(x 4

4)+(1

2)( x3

3)−(3

5)( x2

2)−(1

4)( x )+c=

x 4

6+x3

6−3 x2

10−x

4+c

21b.-∫( x3

4+ 2x2

5+ x

2+ 2

3).dx

21c.-∫( x3

2+ x2

3+ x

2+ 1

3) . dx

22ª.- ∫( 1

x3+ 2

x2−3

x).dx

22b.-∫( 1

2 x3+ 1

3 x2− 1

4 x) .dx

22c.-∫( 3

x3+ 1

x2− 2

x).dx

27


∫(1

x3+

2

x2−

3x

). dx=

∫( x−3+2 x−2−3x

). dx=

∫ x−3 . dx+∫2 x−2 .dx−∫ 3dxx

=

x−2

−2+2 x−1

−1−3 ln x+c=

−1

2 x2−

2x−3 ln x+c

23ª.-

∫( 1

3 x3+ 1

2 x2− 1

4 x+ 1

5) .dx

>

∫(1

3 x3+

1

2 x2−

14 x

+15

) . dx=

∫(13

)x−3 . dx+∫12

)x−2 .dx−∫(14

)dxx

+∫(15

) .dx=

(13

)(x−2

−2)+(1

2)( x−1

−1)−(1

4)( ln x )+(1

5)( x )+c=

−x−2

−6+x−1

−2−ln x

4+x

5+c=

16 x2

−12 x

−ln x4

+x5

+c=

23b.-∫( 1

3 x4+ 1

2 x3−1

x+ 1

2) .dx

23c.-∫( 3

x3+ 4

x2− 2

x+2 ). dx

24ª.- ∫( 1

x3+ 2

x2−3

x).dx

∫(1

x3+

2

x2−

3x

). dx=∫ x−3 . dx+∫ 2x−2 . dx−∫3 .dxx

=

x−2

−2+(2 )( x−1

−1)−(3 )( ln x )+c=1

2 x2−2

x−3 ln x+c

24b.-∫( 1

x3+ 1

x2−5

x). dx

24c.-∫( 1

5 x3+ 1

4 x2− 1

3x) . dx

25ª.-∫(3√x−√x ).dx

∫(3√x−√x ).dx=∫(x13 −x

12 ).dx=

x43

43

−x

32

32

+c=3

3√x 4

4−

2√x3

3+c

25b.-∫(4√x−√x3 . dx 25c.-∫(3√x2−

5√ x2) .dx

28


26ª.-∫( 1

3√x+ 1

√ x).dx

∫(13√x

+1√x

).dx=∫(x−1

3 + x−1

2 ) . dx=

x23

23

+x12

12

+c=33√x2

2+2√x+c

26b.-∫( 1

4√x+ 1

√ x3) .dx

26c.-∫( 1

3√x2+ 1

5√x2) .dx

ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DERIVADA DE UNTERMINO ALGEBRAICO

De la misma manera que se ha dicho que la resta es la operación inversa de la suma, la división de la multiplicación, etc. , afirmamos que la ANTIDIFERENCIACIÓN es la operación inversa de

la diferenciación de una función, esto es, que si la derivada de una función F ( x ) en un intervalo I

es f ( x ), para cualesquier x de dicho intervalo, entonces la antiderivada consistirá en encontrar

la función cuando se conoce su derivada f ( x ). Esta operación se denota así:

En este caso a F ( x ) se le llama ANTIDERIVADA, FUNCIÓN PRIMITIVA ó también

INTEGRAL INDEFINIDA de f ( x ) en el intervalo I.Por ejemplo:

Sin embargo, podemos afirmar que:

Y en general:

De la misma manera que 2 x es la derivada de un número infinito de funciones cuya única

diferencia es una constante, debe suponerse, inversamente, que 2 x . dx tiene un número infinito de funciones cuya única diferencia es también una constante, por lo tanto, cuando se pregunta por

29

∫ f ( x )dx=F ( x )+c

∫2 x . dx=x2 , porque d ( x2)=2x . dx

∫3 x2 . dx=x3 , porque d( x3 )=3 x2 . dx

d ( x2 )=2 x .dxd ( x2+1 )=2 x . dxd ( x2+2 )=2 x . dxd ( x2+3 )=2 x . dx

d ( x2+c )=2 x . dx


la integral indefinida de 2 x . dx , la respuesta deberá ser la función más general cuya derivada es 2 x . dx , esto es: x

2+c

Simbólicamente:

R E S U M I E N D O:

Si la antiderivada de una función F ( x ) es: f ( x ).dx , la antidiferenciación consistirá en

encontrar la función mas general cuya derivada sea precisamente f ( x ). Simbólicamente:

Cuando encontremos la integral indefinida de una función f ( x ) sin indicar el intervalo,

deberemos sobrentender que se trata de un intervalo cualesquiera en que la función f ( x ) esté definida.

INTEGRAL DE UN TÉRMINO ALGEBRÁICO:

Como la antidiferenciación es la operación inversa de la diferenciación, entonces las reglas para obtener la antiderivada se obtienen a partir de las reglas de la derivación, luego: La primera regla que se debe aplicar al antiderivar la diferencial de una función cuyo coeficiente es la constante “b” es:

Si ya se aplicó ésta, puede enseguida aplicarse alguna de las siguientes fórmulas:

EJEMPLOS RESUELTOS

30

∫2 x . dx=x2+c

∫ f ( x ) . dx=F( x )+c

∫b . dv=b∫ dv , porque d ( bv )=b . dv

∫ dx=x+C ; pues d ( x+c )=dx

∫ xn dx=xn +1

n+1+C ; con n≠−1

1 . ∫ 2 x . dx=2∫ x . dx=2.x2

2+c=x2+c

2 . ∫3 x2 . dx=3∫ x2 .dx=3.x3

3+c=x3+c

3 . ∫12

x . dx=12∫ x . dx=1

2.x2

2+c=x2

4+c

4 . ∫5 ax 3

2. dx=5 a

2∫ x3 .dx=5a

2.x4

4+c=5ax 4

8+c

5 . ∫3 x−2 . dx=3∫ x−2 .dx=3 .x−1

−1+c=−3

x+c

6 . ∫ 2 x2

3 . dx=2∫ x2

3 . dx=2 .x

53

53

+c=6 x

53

5+c=

63√x5

5+c

7 . ∫ 4√ x . dx=4∫ x1

2 .dx=4 .x

32

32

+c=8√ x3

3+c

8 . ∫−2. dx3√x

=−2∫ x−1

3 . dx=−2 .x

23

23

+c=33√x2+c

9 . ∫−3 t−2 .dt=−3∫ t−2 . dt=−3.x−1

−1+c=

3x

+c

10 . _ 3 ∫2 a√u5 b

. du=6a5b

∫u1

2 . dx=6 a5b

.u

32

32

+c=4 a√u3

5b+c


PROBLEMAS PROPUESTOS

31

1 . ∫ 2 x . dx=2∫ x . dx=2.x2

2+c=x2+c

2 . ∫3 x2 . dx=3∫ x2 .dx=3.x3

3+c=x3+c

3 . ∫12

x . dx=12∫ x . dx=1

2.x2

2+c=x2

4+c

4 . ∫5 ax 3

2. dx=5 a

2∫ x3 .dx=5a

2.x4

4+c=5ax 4

8+c

5 . ∫3 x−2 . dx=3∫ x−2 .dx=3 .x−1

−1+c=−3

x+c

6 . ∫ 2 x2

3 . dx=2∫ x2

3 . dx=2 .x

53

53

+c=6 x

53

5+c=

63√x5

5+c

7 . ∫ 4√ x . dx=4∫ x1

2 .dx=4 .x

32

32

+c=8√ x3

3+c

8 . ∫−2. dx3√x

=−2∫ x−1

3 . dx=−2 .x

23

23

+c=33√x2+c

9 . ∫−3 t−2 .dt=−3∫ t−2 . dt=−3.x−1

−1+c=

3x

+c

10 . _ 3 ∫2 a√u5 b

. du=6a5b

∫u1

2 . dx=6 a5b

.u

32

32

+c=4 a√u3

5b+c

1 . ∫ x . dx= 11 . ∫ 7 nx2 .dx=

2 . ∫−x3 . dx= 12 . ∫ -ax . dx=

3 . ∫ x4 .dx= 13 . ∫c2 x3 . dx=

4 . ∫ 5 x . dx . dx= 14 . ∫ 4 ax3

c.dx=

5 . ∫−6 x . dx= 15 . ∫−3 x2

. dx=

6 . ∫7 x2 . dx= 16 . ∫ x−2 . dx=7 . ∫4 x3 . dx= 17 . ∫ 3 x−2 . dx=

8 . ∫−5 x4 .dx= 18 . ∫−4 x−2 .dx=

9 . ∫6 x5 . dx= 19 . ∫12

x−3 . dx=

10 .∫2 x2

3. dx= 20 . ∫−4 x−3

3.dx=


CASOS ESPECIALES Si la expresión que se desea integrar es una función cuyo numerador es la derivada del denominador, entonces la integral es igual al logaritmo natural del denominador, esto es:

32

21 . ∫ x2

3 . dx= 26 . ∫ √x .dx=

22 . ∫−3 x1

2 .dx= 27 . ∫3√ x .dx=

23 . ∫ 2 x3

2 . dx= 28 . ∫ 4√ x3 .dx=

24 . ∫−z1

5 . dz= 29 . ∫−3√ x2

2. dx=

25 . ∫ 12

t1

2 . dt= 30 . ∫√ x . dx=

31 . ∫ dx

x2= 36 . ∫dx

x1

2

=

32 . ∫ dx

x3= 37 . ∫du

u1

3

=

33 . ∫ 2dx

x2= 38 . ∫−4 dv

v3

2

=

34 . ∫−3 dxx3

= 39. 2∫3ady√ y

=

35 . ∫ 3bdtt4

= 40 . ∫m . dt3√ t2

=


EJEMPLOS RESUELTOS


En el caso de que el numerador no sea precisamente la derivada del denominador, ya sea porque le falta la constante o bien porque no es correcta, deberá completarse, solo que esa misma cantidad que se agrega dentro de la integral como factor, deberá agregarse también como factor fuera de la integral, pero en forma reciproca para que no se altere la expresión original.

EJEMPLOS RESUELTOS

33

∫ dvv

=ln v+c pues d ( ln v )=dvv

1 . ∫ dxx

= ln x+c 2 . ∫ 3 dxx

=3∫ dxx

=3 ln x+c

1 . ∫ 2dxx

= 5 . ∫ adxx

=

2 . ∫−dxx

= 6 . -23∫ 3dx

x=

3 . ∫ 2dx3 x

= 7 . ∫ b2 dxx

=

4 . 3∫ dx5 x

= 8 . ∫ dtt

=

1 . ∫ dx3x−1

=13 ∫3dx

3 x−1=

13

ln(3 x−1)+c

2 . ∫ xdx

x2−4=

12∫

2 xdx

x2−4=

12

ln( x2−4 )+c

3 . ∫ 3dx5 x+4

=35∫5 dx

5 x+1=3

5ln (5 x+4 )+c

4 . ∫ dt3−t

=−∫−dt3−t

=− ln(3−t )+c



ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UN POLINOMIO

La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de cada una de esas expresiones, por lo tanto:

34

1 . ∫ dx1−x

= 5 . ∫−4 x . dx

2+3 x2=

2 . ∫ xdx4 x2+3

= 6 . ∫ x . dx3 a2 x2+b

=

3 . ∫ dxa−3 x

= 7 . ∫( t−1) . dt

3t2−6 t=

4 . ∫ 2 dx9 x+1

= 8 . ∫2 au2 . dubu3−1

=

∫(du+dv−dw )=∫du+∫ dv−∫dw ; pues : d (u+v−w )=du+dv−dw


EJEMPLOS RESUELTOS


CASOS ESPECIALES

Cuando se desea integrar un polinomio que está afectado de cierta operación indicada, primero se realiza dicha operación y enseguida se integra el polinomio resultante.

EJEMPLOS RESUELTOS

35

1 . ∫(2 x3−5 x2−3x+4 ). dx= ∫2 x3 .dx−∫ 5 x2 .dx−∫3 x . dx+∫ 4 .dx

= 2∫ x3 . dx−5∫ x2 .dx−3∫ x . dx+4∫ .dx

= x4

2−

5 x3

3−

3x2

2+4x+c

2 . ∫(32

x2−√x+1x

) .dx=∫32

x2 .dx−∫√ x . dx+∫ 1x

.dx

=32∫ x2 . dx−∫ x

12 .dx+∫1

x.dx

=x3

2−2√x3

3+ln x+c

6 . ∫( x−2+√x−5

√x)dx=

7 . ∫( √t−12

t+2√t

)dt=

8 . ∫(u3

2−2 u2

3+4 u1

2 )du=

9 . ∫( v−1+3 v−2−5 v )dv=

10 . ∫( y2

2+2

y2)dy

1 . ∫(4 x3+3 x2+2 x+5 )dx=

2 . ∫(8 x4+12 x3+35

x2)dx=

3 . ∫(17

x6+13

x4+3)dx=

4 . ∫(3−2 x−x4 )dx=

5 . ∫( x2

3+8x−1

x+3

x2)dx=



ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL.

La integral de la potencia de una función diferencial se obtiene aplicando:

36

1 . ∫ 2x (4 x2−1 ).dx=∫(8 x3−2 x ) .dx=8∫ x3 .dx−2∫ x .dx=2x4−x2+c

2 . ∫(4+√ x )x .dx=∫( 4 x+ x3

2 ) .dx=4∫ x .dx+∫ x3

2.dx=2 x2+2

5√ x5+c

3 . ∫(1−3 x2 ).dx=∫(1−6 x+9 x2 ).dx=∫dx−6∫ x .dx+9∫ x2.dx=x−3 x2+3 x3+c

4 . ∫ 4 x2−2√xx

.dx=∫ 4 x2

x.dx−∫ 2√ x

x.dx=4∫ x .dx−2∫ x

−12 .dx=2x2−4 √x+c

5 . ∫ 2x+12x+3

.dx=∫(2x+3 )−22 x+3

.dx=∫ 2 x+32 x+3

.dx−∫22 x+3

.dx=∫ dx−∫2 .dx2 x+3

=x−ln(2 x+3 )+c

6 . ∫ x2 .dxx−3

=∫( x+3+9x−3

) .dx=∫ x .dx+ 3∫ dx+9∫ dxx−3

=x2

2+3x+9 ln( x−3)+c

1 . ∫ x(3 x2−2) . dx= 6 . ∫(5x2+2 )2 .dx= 11. ∫ x3−6 x+5x

. dx=

2 . ∫ √x (5 x−1) .dx= 7 . ∫(√a−√x )2 .dx= 12 . ∫ x3−6 x+53√ x

.dx=

3 . ∫(1−x2)√x . dx= 8 . ∫√ x (√a−√ x )2 . dx= 13. ∫3 x−43 x+6

.dx=

4 . ∫(4 x2−x )(2√x ).dx= 9 . ∫(5x2+2 )2.dx= 14 . ∫2 x+3

1−2 x. dx=

5 . ∫ √x (3 x−2√ x+2 )) .dx= 10 . ∫( √m−√s )2

m√s.ds= 15 . ∫ 3 x2 .dx

x+1=

∫ vn . dv= vn+1

n+1+c ; pues d ( vn+1

n+1 )=vn . dv


Debe hacerse notar que la potencia deberá estar multiplicada por la derivada de la variable.

EJEMPLOS RESUELTOS


37

1 . ∫(3 x−2)2 . 3 . dx=(3 x−2 )3

3+c

2 . ∫(2+x2 )3 .2 x . dx=(3 x−2)3

3+c

3 . ∫( 4 ax−1 )−2 . 4 a . dx=(4 ax−1)−1

−1=−1

(4 ax−1)+c

4 . ∫ 3 n. dx

(3 nx+2)2=∫(3 nx+2 )−2 .3 n .dx=

(3 nx+2 )−1

−1=−1

3 nx+2+c

5 . ∫ √( x2−1 ). 2 x .dx=∫( x2−1)1

2 .2 x . dx=( x2−1 )

32

32

+c=2√( x2−1)3

3+c

6 . ∫−5 . dx√2−5 x

=∫(2−5 x )−1

2(−5. dx )=(2−5 x )

12

12

+c=2√2−5 x+c

1 . ∫(2 x+1 )2 .2 .dx= 2. ∫(a−bx )2 .(−b ). dx= 3 . ∫ 6(5 x+5)3 . 5 . dx=

4 . ∫ 6 x . dx(5+3 x2 )2

= 5 . ∫−2 . dx( x3−8 )3

= 6 . ∫−2 x .dx

(a−x2)1

2

=

7 . ∫3√2+3t . dt= 8 . ∫ √a+bt2

. dt= 9 . ∫ 4 . du√4u−1

=

10 . ∫(2 s+3) . ds

4√ s2+3 s=


CASOS ESPECIALES Cuando en la integral de una potencia le falta la constante a la diferencial de la variable o no es la correcta, deberá de completarse agregando como factor dentro de la integral la constante que le haga falta , pero para que no se altere la expresión original, se agregará la misma cantidad como factor fuera de la integral en forma recíproca.


38

1 . ∫(2 x+1 )2 .2 .dx= 2. ∫(a−bx )2 .(−b ). dx= 3 . ∫ 6(5 x+5)3 . 5 . dx=

4 . ∫ 6 x . dx(5+3 x2 )2

= 5 . ∫−2 . dx( x3−8 )3

= 6 . ∫−2 x .dx

(a−x2)1

2

=

7 . ∫3√2+3t . dt= 8 . ∫ √a+bt2

. dt= 9 . ∫ 4 . du√4u−1

=

10 . ∫(2 s+3) . ds

4√ s2+3 s=

1 . ∫(5 x-1)2 .dx=15∫(5 x−1)2 . 5 dx=1

5.(5x−1)3

3+c=

(5 x−1 )3

15+c

2 . ∫(4 x2−1 ). xdx=18∫( 4 x2−1) .8dx=1

8.(4 x2−1)2

2+c=

(4 x2−1)2

16+c

3 . ∫( x2+2 x+1) .( x+1 ).dx=12∫( x2+2x+1 ).(2 x+2) .dx=1

2.( x2+2 x+1)3

3+c=

( x2+2 z+1 )3

6+c

1 . ∫(3−x2 )2 . dx= 12. ∫ 3x . dx

( x2+3 )2=

2 . ∫ 12

( x2−1 )3 . dx= 13 . ∫ s . ds

(3−4 s2 )1

2

=

3 . ∫( a+bx )2 . dx= 14 . ∫2 x2 . dx

√a+bx3=

4 . ∫ x (2+x2) dx= 15 . ∫2 tdt

√6−5 t2=

5 . ∫ t ( a+bt2 )2dt= 16. ∫ dv

√1−v2

=

6 . ∫ ( x3+2 )12 x2dx= 17 . ∫ x2+6 x+10

( x+3 )2.dx=

7 . ∫3 x (5x2−1 )3dx2

= 18 . ∫ 4 x2+4 x(2x+1)2

. dx=

8 . ∫−( 4−x )2 . 2dx= 19 . ∫ x2+4 x−10

(x+2 )2. dx=

9 . ∫4 x2 √x3+8. dx= 20 . ∫16 x2+8 x+2

( 4 x+1)2.dx=

10 . ∫ u√3−2u2 . du= 21 . ∫ √x4−x2 .dx=

11. ∫2 x3√5 x2−1 .dx= 22. ∫√1+x

−12

x3

2

.dx=


ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Una función exponencial es una potencia cuyo exponente contiene a la variable. En este curso nos referiremos a dos tipos de funciones exponenciales:

39

1 . ∫(3−x2 )2 . dx= 12. ∫ 3x . dx

( x2+3 )2=

2 . ∫ 12

( x2−1 )3 . dx= 13 . ∫ s . ds

(3−4 s2 )1

2

=

3 . ∫( a+bx )2 . dx= 14 . ∫2 x2 . dx

√a+bx3=

4 . ∫ x (2+x2) dx= 15 . ∫2 tdt

√6−5 t2=

5 . ∫ t ( a+bt2 )2dt= 16. ∫ dv

√1−v2

=

6 . ∫ ( x3+2 )12 x2dx= 17 . ∫ x2+6 x+10

( x+3 )2.dx=

7 . ∫3 x (5x2−1 )3dx2

= 18 . ∫ 4 x2+4 x(2x+1)2

. dx=

8 . ∫−( 4−x )2 . 2dx= 19 . ∫ x2+4 x−10

(x+2 )2. dx=

9 . ∫4 x2 √x3+8. dx= 20 . ∫16 x2+8 x+2

( 4 x+1)2.dx=

10 . ∫ u√3−2u2 . du= 21 . ∫ √x4−x2 .dx=

11. ∫2 x3√5 x2−1 .dx= 22. ∫√1+x

−12

x3

2

.dx=


a) Cuando la base es una constante cualesquiera, se expresa de manera general an

y su integral queda definida por la expresión:

∫ av . dv= av

ln a+c

Que se obtuvo de la siguiente manera:

d (av )=ln a . av . dv

∫ d (av )=∫ ln a .av . dv

av=ln a∫ av .dv

av

ln a=∫ av .dv

b) Cuando la base es la constante e (cuyo equivalente es el número 2.7182.........), se expresa

de manera general ev

y su integral queda definida por la siguiente expresión:

∫ ev . dv=ev+cque se obtuvo de la siguiente manera:

d (ev)=ev .dv

∫ d (ev)=∫ ev .dv

ev=∫ev . dv

Debe observarse que en estas expresiones integrales, tanto av como ev

son

multiplicadas por, dv es decir, por la derivada de la variable, de manera que se pueden presentar

los mismos casos observados en los anteriores objetivos: Cuando le falta la constante a dv o cuando no es la correcta. En general, por todas las fórmulas de integrales inmediatas se presentan estos casos, de manera que en lo sucesivo ya no haremos tal observación.

EJEMPLOS RESUELTOS

40

1 . ∫ 103 x ·3 dx=103 x

ln 10+C

2 . ∫ 35 x ·5 dx=35 x

ln 3+C

3 . ∫ 2x2

· xdx=12∫2x2

·2xdx=12

·2x2

ln 2=2x2

2 ln 2+C

4 . ∫ 3a2x dx=32∫a2 x ·2dx=3

2·a2 x

ln a=3 a2 x

2 ln a+C

5 . ∫ 5dx42 x =∫ 4−2 x 5dx=−5

2∫4−2 x(−2 )dx=−5

2(42 x ) ln 4+C

6 . ∫e3 x ·3dx=e3 x+C

7 . ∫2 ·e x2

xdx=∫ ex2

· 2xdx=ex2

+C

8 . ∫5 xdx

ex2 =5∫ e−x2

· xdx=−52∫ e−x2

(−2 x )dx=−5

2 e x2 +C

9 . ∫ (e2x+3 )2 e2 x dx=12∫ ( e2 x+3 )2 e2 x (2)dx=1

2·(e2x+3 )3

3=

(e2 x+3 )3

6+C

10 .∫ 4x ex dx=∫(4 e ) x dx=(4e ) x

ln 4e+C


41

1 . ∫ 103 x ·3 dx=103 x

ln 10+C

2 . ∫ 35 x ·5 dx=35 x

ln 3+C

3 . ∫ 2x2

· xdx=12∫2x2

·2xdx=12

·2x2

ln 2=2x2

2 ln 2+C

4 . ∫ 3a2x dx=32∫a2 x ·2dx=3

2·a2 x

ln a=3 a2 x

2 ln a+C

5 . ∫ 5dx42 x =∫ 4−2 x 5dx=−5

2∫4−2 x(−2 )dx=−5

2(42 x ) ln 4+C

6 . ∫e3 x ·3dx=e3 x+C

7 . ∫2 ·e x2

xdx=∫ ex2

· 2xdx=ex2

+C

8 . ∫5 xdx

ex2 =5∫ e−x2

· xdx=−52∫ e−x2

(−2 x )dx=−5

2 e x2 +C

9 . ∫ (e2x+3 )2 e2 x dx=12∫ ( e2 x+3 )2 e2 x (2)dx=1

2·(e2x+3 )3

3=

(e2 x+3 )3

6+C

10 .∫ 4x ex dx=∫(4 e ) x dx=(4e ) x

ln 4e+C



ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE EL LOGARITMO NATURAL DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA

42

1 . ∫ 6x3

·3 xdx= 2 . ∫ 8x2 ·

12

dx= 3. ∫ ax dx=

4 . ∫−3 a5 x ·5 dx= 5 . ∫√ax

2dx= 6 . ∫ bax2

xdx=

7 . ∫a5x 2

· 3 xdx= 8. ∫10x2+1 · xdx= 9 . ∫ 4 xdx

a2 x2=

10 . ∫ dx104 x

= 11 . ∫3 e4 x dx= 12. ∫5e2 x · 2dx=

13 . ∫ aex3 dx= 14 . ∫5eax dx= 15 . ∫ xex2

dx=

16 . ∫e√x

√ xdx= 17 . ∫ 3dx

ex =− 18 . ∫√ex dx=

19 .∫25 x e5 x dx= 20 . ∫ 2√x e√ x

√xdx= 21 . ∫e3 x

( e3 x+4 )2 dx=

22 .∫ (ex2 −e

− x2 )dx= 23 . ∫ (e2 x +3 )2 dx=


La integral de la diferencial del logaritmo natural de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante están dadas por las siguientes expresiones:

Que se obtuvieron de la siguiente manera:

EJEMPLOS RESUELTOS


43

∫ tg vdv=− lncos v+C ó lnsec v+C

∫ c tg vdv=lnsen v+C

∫sec vdv=ln (sec v+ tg v )+C

∫csc vdv=ln (csc v−c tg v )+C

∫ tgvdv=∫ senvcos v

dv=−∫−senvcosv

dv=−lncos v+C ; o bien:

−lncos v=−ln1sec v

=−( ln 1−lnsec v )=lnsec v+C

∫ ctgvdv=∫ cosvsenv

dv=ln senv+C

∫sec vdv=∫ sec v·secv+tgvsecv+tgv

v dv=∫sec vtgv+sec2 vsec v+tgv

dv

=ln (sec v+tgv )+C

∫csc vdv=∫ csc v·csc v−ctgvcsc v−ctgv

dv=∫(−csc vctgv+csc2 v )csc v−ctgv

dv

=ln (csc v−ctgv )+C

1 . ∫ tg 3 xdx=−lncos 3 x+C ó lnsec 3x+C

2 . ∫ 2 tg 8xdx=28∫ tg 8 x·8dx=1

4lncos 8 x+C

3 . ∫ tg ex 2

(ex2

) xdx=12∫ tg ex2

(2 x )ex2

dx=12

lncos eX 2

+C

4 . ∫ c tg a2 xdx=1

a2 ∫c tg a2 x (a2)dx=1

a2lnsen a2 x+C

5 . ∫ sec2 xdx=12∫sec2 x (2)dx=1

2ln(sec2 x+ tg 2x )+C

6 . ∫3csc 4 xdx=34∫csc 4 x (4 )dx=3

4ln(csc 4 x−c tg 4 x )+C

7 . ∫c tg 3bx ·2dx5

=25 ∫c tg 3bx ·dx=1

3b (25 )∫ c tg 3bx ·3bdx=215 b

lnsen 3bx+C

1 . ∫ tg x3⋅x2dx=

2 . ∫ tgx2

dx=

3 . ∫ tg(1-3x )dx=

4 . ∫ 3ctg2 xdx=

5 . ∫ 13

ctg 4 xdx=

6 . ∫ ctg √x

√xdx=

7 . ∫ctg · ex2 · e

x2 dx=

8 . ∫secx2

3xdx=

9 . ∫−sec(3−2 x )dx=

10 .∫ ax secax dx=11.∫ csc5 x32 x2 dx=

12 .∫−2 csc(3−2 x )dx=

13 .∫2 acsc2x5

3 dx=

14 .∫(cscx2

−tgx2

)dx=

15 .∫ senx+cos xsenX

dx=


2º. CASO

Cuando se desea integrar una fracción cuyo numerador es la derivada del denominador, la integral será igual al logaritmo natural del denominador como antes ya se indicó.

44

1 . ∫ tg x3⋅x2dx=

2 . ∫ tgx2

dx=

3 . ∫ tg(1-3x )dx=

4 . ∫ 3ctg2 xdx=

5 . ∫ 13

ctg 4 xdx=

6 . ∫ ctg √x

√xdx=

7 . ∫ctg · ex2 · e

x2 dx=

8 . ∫secx2

3xdx=

9 . ∫−sec(3−2 x )dx=

10 .∫ ax secax dx=11.∫ csc5 x32 x2 dx=

12 .∫−2 csc(3−2 x )dx=

13 .∫2 acsc2x5

3 dx=

14 .∫(cscx2

−tgx2

)dx=

15 .∫ senx+cos xsenX

dx=


EJEMPLOS RESUELTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1 .) ∫se c2 x .dx3 tgx

=

2 .) ∫sen2 x .dx3+cos 2x

=

3 .) ∫cscTctgT .dT5−4csc T

=

4 .) ∫csc2u .du3−ctgu

=

5 .) ∫cscx . ctgx.dxa−bcsc x

=

3er. CASOAlgunas veces para integrar fracciones que contienen en su denominador la función trigonométrica de una función y en su numerados la diferencial de la función, para integrarse deberá primeramente cancelarse la función trigonométrica del denominador sustituyéndola por su identidad recíproca y después aplicar la formula de integración correspondiente.

EJEMPLOS RESUELTOS:


45

1 .) ∫ sec22x .2dx }vtg 2 x }dv

=lntg 2 x+c

2 .) ∫cos5 x . 4dxsen 5x

=45 ∫cos 5x .5dx

sen 5 x=

45

lnsen 5 x+c

3 .) ∫csc2 x2 .xdx

c tg x2=−1

2∫csc2 x2. 2 xdx

c tg x2=−1

2lnc tg x2+c

4 .) ∫sec 9x . tg 9 x . 2 dxsec 9x

=29 ∫sec 9 x . tg 9 x . 9dx

sec 9 x=2

9lnsec 9 x+c

1 .) ∫5dxtg5 x

=∫1tg5 x

.5 dx=∫ c tg5 x . 5 dx=lnsen 5 x+c

2 .) ∫dxsen x

=∫1sen x

.dx=∫csc x . dx= ln(csc x−c tg x )+c


ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA.Las integrales de las diferenciales de las funciones trigonométricas están dadas por las siguientes expresiones que se obtienen a partir de sus derivadas.

EJEMPLOS RESUELTOS


46

1 .) ∫ x . dx

tg 8 x2= 4 .) ∫a .dx

√ x sen√x=

2 .) ∫−bdxctg(a−bx )

= 5 . ) ∫ e2 x .dxtge2 x

=

3 .) ∫a . dycosby

= 6 . ) ∫ xe x2

. dx

ctge x2 =

∫cos v . dv=sen v+c ; pues d (sen v )=cos v . dv

∫sen v . dv=−cosv+c ; pues d (cos v )=−sen v .dv

∫sec2 .dv=tg v+c ; pues d ( tg v )=sec2 v . dv

∫csc2 v . dv=−c tg v+c ; pues d (c tg v )=−csc2 v . dv

∫sec v . tg v . dv=sec v+c ; pues d (sec v )=sec v . tg v .dv

∫csc v . c tg v . dv=csc v+c ; pues d (csc v )=csc v . c tg v . dv

1 . ∫ cos xdx=sen x+C

2 . ∫ cos4 xdx=14∫ cosdx=1

4sen 4 x+C

3 . ∫ 3 sen x2 · xdx=32∫sen x2 · 2dx=−3

2cos x2+C

4 . ∫ sec2 3x·2 dx=23 ∫sec23 x·2dx=2

3tg 3 x+C

5 . ∫ (csc22 x−tg 3 x ) dx=∫ csc2 2xdx−∫ tg 3 xdx=12∫ csc22x·2dx−1

3∫ tg3 x·3dx

=−12

c tg 2 x+13

lncos3 x+C

6 . ∫ (secx+1 )2dx=∫ (sec2 x+2sec x+1 ) dx=∫ sec2x+∫2 sec xdx+∫ dx =tg x+2 ln(sen x+ tg x )+x+C

7 . ∫7sec 4 x

dx=7∫1sec 4 x

dx=7∫cos 4 xdx=74∫cos 4 x·4 dx=7

4sen 4 x+C


CASO ESPECIAL: Para la integración de algunas funciones trigonométricas, cuyo denominador es un binomio que admite alguna sustitución, deberá calcularse por su conjugado y enseguida hacer las operaciones y sustituciones necesarias. 47

1 . ∫ 2cos 5 xdx=

2 . ∫ cos22

dx=

3 . ∫ 2 cos(1−bx )dx=

4 . ∫ cos(1−x2) xdx=

5 . ∫ 3 sen √x√x

dx=

6 . ∫23

sen(a−x2

)dx=

7 . ∫−sec2 4 x3

dx=

8 .∫csc2 (1−√t )√ t

dt=

9 . ∫2 seca2 x·tga2 xdx=

10 .∫sec e−x tge−x · e−x dx=

11.∫ csce√x ctge√x · e√x dx=

12 .∫(sen 4 y−tgy2

+sec2 y )dy=

13 .∫ (sec 2 x−sec2 xtg2 x ) dx=

14 .∫ 2 du3 csc3 u

=


EJEMPLOS RESUELTOS


ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA

Las integrales de las diferenciales de las funciones trigonométricas inversas se obtienen a partir de las formulas de derivación, de manera que se expresan así:

Dado que:

48

1 . ∫ dx1+cos x

=∫dx1+cos x

··1+cos x1+cos x

=∫ (1+cos x ) dx

1+cos2 x=∫ (1+cos x ) dx

sen2 x=∫ 1

sen2 xdx−∫ cos x

sen x ·

1sex

dx

=∫csc2 xdx−∫ c tg x cscdx=−c tg x+csc x+C

2 . ∫ dt1−sen t

=∫ dt1−sen t

· 1−sen t1−sen t

dt=∫ (1−sen t ) dt

1−sen2 t=∫ (1−sen t ) dt

cos2 t=∫1

cos2 t+∫1

cos t ·

sen tcos t

dt

=∫sec2 tdt+∫sec t ·tg tdt=tg t +sec t +C

1 . ∫ du1−cosu

=−c tg u−cscu+C 2 . ∫ 2dx1-cos2x

=−c tg 2x−csc2 x+C

3 . ∫ dx1+sen2 x

=12

tg 2 x−12

csc 2x+C 4 . ∫5 dx1−sen6 x

=56

tg 6 x+56

sec 6 x+C

5 . ∫ 2du

1+senu2

=4 tgu2

−4 secu2

+C

∫ dv

√a2−v2=arcsen v

a+C

d (arcsen u )=du

√1−u2; y si u=

va

; entonces du=dva

d (arcsenva )=dv

√a2+u2

∫ dv

a2+v2=1

2arctg

va+C


Dado que:

Dado que:

EJEMPLOS RESUELTOS


49

d (arctg u )=du

1+u2; y si u=

va

, entonces du=dva

d (arctgva )=adv

a2+v2

d (1a arctgva

+C)=dv

a2+v2

∫ dv

v √v2−a2=1

aarc sec

va+C

d (arc sec u )=du

u√u2−1; y si u=

va

, entonces du=dva

d (arc secva )=adv

v√v2−a2

d (1a arc secva

+C )=dv

v √v2−a2

1 .) ∫dx

√1−x2=ArcSenx+c ⇒ a=1 , v=x , dv=dx

2 .) ∫dx

√1−9 x2=

13∫

3 dx

√1−9 x2=

13

ArcSen 3 x+c

3 .) ∫5 dx

4 x2+9=

52∫ 2 dx

4 x2+9=

52

·13

ArcTg2 x3

+c=56

ArcTg2 x3

+c

4 .) ∫dt

t √9 t2−4=∫3 dt

3 t √9 t2−4=·

12

ArcSec3 t2

+c


CASOS ESPECIALESCuando el denominador de la expresión diferencial es un polinomio, éste deberá de tomar algunas de las formas que tienen las integrales de éste objetivo, factorizando para ello los términos necesarios hasta completar el cuadrado de un binomio.

EJEMPLOS RESUELTOS


50

1 .) ∫dx

√4−x2=ArcSen

x2

+c 8 .) ∫ dv

√3−2 v2=1

√2ArcSen √2

√3v+c

2 .) ∫4 dx

4 x2+5=2

√5ArcTg

2 x

√5+c 9 .) ∫ dx

6 x2+7=

3 .) ∫ax . dxx4+m4

=a2m2

ArcTgx2

m2+c 10 .) ∫ ex . dx

√1−e2 x=ArcSenex+c

4 .) ∫bdx

1+a2 x2=b

aArcTgax+c 11.) ∫3 dx

5√16−25 x2=3

25ArcSen

5 x4

+c

5 .) ∫ s2 ds

√1−s6=1

3ArcSens3+c 12. ) ∫ dy

y √9 y2−1=ArcSec 3 y+c

6 .) ∫ x . dx

√7−a2 x 4=1

2 aArcSen

ax 2

√7+c 13 .) ∫dx

2 x √ x2−9=1

6ArcSec

2 x3

+c

7 .) ∫3 x . dx

√25−16 x4=3

8ArcSen

4 x2

5+c 14 .) ∫3 dx

4 x√16 x2−2=3√2

8ArcSec 2√2 . x+c

1 .) ∫dx

√20+8 x−x2=∫ dx

√20−( x2−8 x+16 )+16=∫dx

√36−( x−4 )2= ArcSen

( x−4 )6

+c

2 .) ∫dx

√15+2 x−x2=∫dx

√15−( x2−2 x+1)+1=∫ dx

√16−( x−1 )2= ArcSen

( x−1)4

+c

3 .) ∫dxx2+2 x+5

=∫dx( x2+2 x+1)−1+5

=∫ dx( x+1 )2+4

=12

ArcTan( x+1)2

+c


ENCONTRAR LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CUYO INTEGRANDO TIENE ALGUNAS DE LAS SIGUIENTES FORMAS:

Las integrales de estas expresiones están dadas por

¿∫ dv

v2−a2= 1

2a·Ln|v−a

v+a|+c * ∫ dv

a2−v2= 1

2 a· Ln|a+v

a−v|

: Que pueden ser obtenidas así:

La otra fórmula se obtiene de análoga forma

51

1 .) ∫2 .dx

√2+ x−x2=2 ArcSen

2 x−13

+c 5. ) ∫ dx

√3 x−2 x2=√2

2ArcSen

4 x−33

+c

2 .) ∫dx

√3x−x2−2=ArcSen(2 x−3 )+c 6 .) ∫3 .dx

√5−4 x−x2=3 ArcSen

x+23

+c

3 .) ∫dx

√−3 x−4 x2=1

2ArcSen

8 x+33

+c 7 .) ∫dx

√−5+12 x−4 x2=1

2ArcSen

2 x−32

+c

4 .) ∫3 . dx

√3−2 x−x2=3 ArcSen

x+12

+c 8 .) ∫dx

√2+5 x−3 x2=√3

3ArcSen

6 x−57

+c

dv

v2−a2 o bien

dv

a2−v2

1v2−a2

=1( v+a )(v−a)

=Av+a

+Bv−a

=Av−Aa+Bv+Ba( v+a )(v−a)

=( A+B )v−a ( A+B )( v+a )(v−a)

Si ( A+B )v−a ( A−B)=1 ⇒ A+B=0 y −a ( A−B )=1 y resultó este sistema de ecuaciones:

A=−12 a

y B=12a

de manera que:

1

v2−a2=

−12a

v+a+

12av−a

=12 a [1v−a

−1v+a ] , por lo que:

∫ dv

v2−a2=

12 a ∫dv

v−a−

12a ∫dv

v+a=

12 a

·Ln( v−a )−12a

·Ln (v+a )+c

=12a

· Ln|v−av+a

|+c


PROBLEMAS RESUELTOS

ENCONTRAR LA INTEGRAL DE UNA FUNCION CUYO INTEGRADO TIENE ALGUNA DE LAS SIGUIENTES FORMAS:Las integrales de estas expresiones están dadas por:

Que queda demostrado así:

52

z

1 . ∫ xdx4 x4−1

=18

ln|2x2−12x2+1

|+C 4 . ∫dx3−2 x2

=√612

ln|√3−√2x√3+√2 x

|+C

2 . ∫ xdx

x4−3=√3

12ln|x2−√3

2 x2+√3|+C 5 . ∫ bdx

a2−16 x2=b

8aln|a+4 x

a−4 x|+C

3 . ∫ dxex−e−x

=12

ln|ex−1

ex+1|+C 6 . ∫ 2dx

25−36 x 4=1

36ln|5+6x2

5−6 x2|+C

7 . ∫dxx2−6 x+5

=14

ln|x−5x−1

|+C 8 . ∫ dxx2−2 x−5

=√612

ln|( x+1 )−√6( x+1 )+√6

|+C

9 . ∫dt5−at−t2

=16

ln|5+t1−t

|+C 10 . ∫du9−6u−3 u2

=112

ln|3+u1−u

|+C

11. ∫ (3 x+1 )dx

x2−1=3

2ln ( x2−1 )+1

2ln|x−1

x+1|+C 12. ∫ (2−3a2 ) dz

9−16 z2=1

12ln|3+4 z

3+4 z|+3

32ln (9−16 z2)+C

13 . ∫ (2− y ) dy

8−2 y− y2=1

2ln|4+ y

2− y|+1

2ln (8−2 y− y2)+C

14 .∫ ( x+3 ) dx

x2+4 x−5=1

2ln ( x2+4 x−5 )+1

6ln|x−1

x+5|+C

dv

√v2+a2 ó bien

dv

√v2−a2∫ dv

√v2±a2=ln (v+√v2±a2 )+C

tg z=va

a tg z=va sec2 zdz=dv

√v2+a2=√a2 . tg2 z+a2=a .sec z

√a2+v2

a


EJERCICIOS RESUELTOS


53

∫ dv

√v2+a2=∫ a ·sec2 zdz

a ·sec zdz=∫sec zdz=ln (sec z+ tg z )+C= ln(√v2+a2

a+v

a )+C=ln(v+√v2+a2

a )+C

=ln (v+√v2+a2)−ln a+C ; pero ln a es igual a una constante, nos queda:

∫ dv

√v2+a2=ln (v+√v2+a2)+C

1 . ∫ 2 dx

√x2+25=2∫dx

√ x2+25=2 ln ( x+√x2+25 )+C

2 . ∫ dx

√a2 x2−1=1

a∫ adx

√a2 x2−1=1

aln (ax+√a2 x2−1 )+C

3 . ∫ 3 dx

√ x2−6 x+5=∫ dx

√( x−3 )2+4=3 ln (( x−3 )+√x2−6 x+5)+C

4 . ∫ (3u−1 ) du

√4 u2+9=∫ 3udu

√4 u2+9−∫ du

√4u2+9=

38∫ (4u2+9 )

−12 −

12∫

2du

√4u2+9

=34

√4 u2+9−12

ln (2 u+√4 u2+9 )+C

5 . ∫ (1−2 x )dx

√x2+6 x+10=∫ (1−2 x ) dx

√ ( x+3 )2+1=∫ [1−2 (v+3 ) ]dv

√v2+a2=∫ (7−2v ) dv

√v2+a2=∫7dv

√v2+a2−∫2 vdv

√v2+a2

donde: a=1 =7∫dv

√v2+a2−2∫ (v2+a2 )

−12

dv=7 ln (v+√v2+a2)−2√v2+a2+C

v=x+3 = 7 ln ( x+√x2+6 x+10 )−2√ x2+6 x+10+C v−3=x dv=dx


HALLAR LA INTEGRAL DE UNA FUNCION CUYO INTEGRADO TIENE ALGUNA DE LAS SIGUIENTES FORMAS:

Las integrales están dadas por las ecuaciones:

Estas fórmulas pueden ser deducidas mediante una sustitución trigonométrica, así:

54

z

1 . ∫ dt

√t2+1=ln (t +√ t2+1 )+C

2 . ∫ dx

√x2+2 x+5=ln (x+1+√ x2+2 x+5 )+C

3 . ∫ (1-x ) dx

√x2+4 x+3=−√ x2+4 x+3+3 ln ( x+2+√x2+4 x+3 )

4 . ∫ (2 y−1 ) dy

√2 y2+4 y+10=√2 y 2+4 y+10− ln ( y+1+√2 y2+4 y+10 )+C ***

5 . ∫ 3 sds

√s2−6 s+7=3√s2−6 s+7+9 ln (s−3+√s2−6 s+7 )+C ***

6 . ∫ (2 x+1 )dx

√3 x2−5=3

5√3 x2−5+1

√3ln (√3 x+√3 x2−5 )+C

7 . ∫ ( x+3 ) dx

√ x2−2 x=√ x2−2 x+2 ln (x+1+√ x2−2 x )+C

√a2−v2dv ó √v2±a2 dv

∫ √a 2 −v2 dv=v2 ∫√a 2−v2+

12

a2 arc ·senv2

+C

∫ √v 2±a2 dv=12

√v 2 ±a2±12

a2 ln|v+√v 2 ±a2|+C

a v

sen z=va

√a2−v2=√a2−a2 sen2 z

a sen z=v =√a2 (1−sen2 z )a cos zdz=dv =a ·cos z

√a2−v2

∫ √a2−v2 dv=∫ a cos z · a cos zdz=a2∫cos2 zdz=a2∫(12 +12

cos2 z )dz=a2

2∫ dz+a2

2 · 2∫cos2 z· sdz

=a2

2z+a2

4sen2 z+C=a2

2arcsen

va

+a2

4(2sen zcos z )+C

=a2

2arcsen

va

+a2

2 ·

va

· √a2−v2

a+C

=12

v √a2−v2+12

a2 arcsenva

+C


Luego:

Procediéndose de la misma manera para la demostración de las otras ecuaciones

.EJEMPLOS RESUELTOS


55

1 . ∫ √25−x2⋅¿ dx=X2

√25−x2+252

arcsenx5

+C donde se toma como a=5 ; v=x ; dv=dx ¿

2 . ∫ √4−9 x2⋅¿dx=13∫ √4−9 x2⋅3 dx=1

3 [4 x2

√4−9 x2+42

arcsen3 x2 ]+C=x

2√4−9 x2+2

3arcsen

3 x2

+C ¿

3 . ∫ √16x2+1⋅¿dx=14∫√16 x2+1⋅4 dx=1

4 [4 x2

√16 x2+1+12

ln (4 x+√16 x2+1 )]+C ¿

=x2

√16 x2+1+18

ln (4 x+√16 x2+1 )+C

4 . ∫ √x2−2 x+5⋅¿dx=∫√ ( x−1 )2+4⋅¿dx=x−12

√ x2−2 x+5+2 ln (x−1+√ x2−2 x+5 )+C

¿

¿


SEGUNDO CASO: En el caso de que el exponente de la función sea impar y además dicha función no está multiplicada por su diferencial, deberá factorizarse restándole la unidad a su exponente y enseguida hacerse las sustituciones y las operaciones necesarias de manera que toma la forma de la integral de un polinomio.

EJEMPLOS RESUELTOS

56

1 . ∫ √16−9 x2⋅dx=x2

√16−9 x2+83

arcsen3 x4

+C

2 . ∫ √5−3 x2⋅dx=x2

√5−3 x2+52√3

arcsen√3 x

√5+C

3 . ∫ √2 x−x2⋅dx=x−12

√2 x−x2+12

arcsen [ x−1 ]+C

4 . ∫ √3−2 x−x2⋅dx=x+12

√3−2 x−x2+2arcsen [ x+12 ]+C

5 . ∫ √x2−6 x⋅dx=x−32

√x2−6 x−92

ln [ x−3+√ x2−6 x ]+C

6 . ∫√4 x2−4 x+10⋅dx=2 x−14

√4 x2−4 x+10+94

ln [2 x−1+√4 x2−4 x+102 ]+C

7 . ∫√3 x2−18 x+21⋅dx=x−32

√3 x2−18x+21−√3 ln [ x−3+√3 x2−18 x+21 ]+C

1 . ∫ sen3 x⋅dx=∫sen2 x⋅sen x⋅dx=∫(1−cos2 x )sen x⋅dx=∫ sen x⋅dx−∫ cos2 x sen xdx

=−cos x+13

cos3+C

2 . ∫ sen3 3 x⋅dx=∫sen2 3 x⋅sen 3x⋅dx=∫(1−cos23 x )sen3 x⋅dx=∫ sen3 xdx−∫cos23x⋅sen3 x⋅dx

=13

+13∫ cos23 x⋅3(−sen 3x )dx=−1

3cos3 x+1

9cos33 x+C

3 . ∫ cos3 2x dx=∫cos22 x⋅cos2 xdx=∫(1− sen22 x )cos2 xdx=∫ cos2 xdx−∫ sen22x⋅cos 2xdx

=12∫cos2 x⋅2dx−1

2∫sen22 x⋅cos2 x⋅2dx=1

2sen2 x−1

6sen32 x+C

4 . ∫ cos5 xdx=∫ cos4 x⋅cos xdx=∫(cos2 x )2⋅cos xdx=∫(1−sen2 x )2⋅cos xdx=∫(1−2sen2 x+sen4 x )cos xdx

=∫cos xdx−∫ 2sen2 x⋅cos xdxdx+∫sen 4 x⋅cos xdx=sen x−23

sen x+15

sen5 x+C

5 . ∫ sen2 x⋅cos3 xdx=∫ sen2 x⋅cos2⋅cos xdx=∫ sen2 x (1−sen2 x )cos xdx=∫sen2cos xdx−∫ sen4 cos xdx

=13

sen3 x−15

sen5 x+C


ENCONTRAR LA INTEGRAL DEL SENO Y/O COSENO DE UNA VARIABLE CUANDO LA FUNCION TRIGONOMETRICA ESTA ELEVADA A LA n POTENCIAPRIMER CASO: cuando la función seno y coseno están elevadas a la “n” potencia pueden integrarse inmediatamente como potencias si estas se encuentran multiplicadas por ser derivadas,

para ello se aplicará ∫vndv.

EJEMPLOS RESUELTOS


COTANGENTE DE UNA VARIAABLE, CUANDOLA FUNCION TRIGONOMETRICA ESTA ELEVADA A LA n POTENCIA

57

1 . ∫ sen2 x⋅cos xdx=∫(sen x )2⋅cos xdx=sen3 x3

+C

2 . ∫ sen3 5 x⋅cos5 xdx=15∫(sen 5 x )2⋅cos 5 x⋅5 dx=1

5⋅sen 45 x

4=sen4 5 x

20+C

3 . ∫ cos2 3 x⋅sen 3 xdx=−13∫(cos3 x )2(−sen 3 x )⋅3 xdx=−cos33 x

9+C

4 . ∫ 3 cos3 x2⋅sen

x2

dx=−3⋅2∫(cosx2

)3 (−senx2

)⋅12

dx=−6⋅cos4 x

24

+C=−32

cos4 x2

+C

1 . ∫ sen x⋅cos xdx=12

sen2+C 8. ∫ cos2 x⋅(−sen x )dx=13

cos3 x+C

2 . ∫ 12

sen3 4 x⋅cos 4 xdx=132

sen4 4 x+C 9 . ∫13

cos2 x2⋅sen

x2

dx=13

cos3 x2

+C

3 . ∫ sen(a+bx )⋅cos(a+bx )dx=12b

sen2(a+bx )+C 10 . ∫−34

cos3 2 x⋅sen 2 xdx=316

cos4 2 x+C

4 . ∫ sen55 x3

⋅¿cos5 x3

⋅4 dx=25

sen6 5 x3

+C 11. ∫cos (2 -x )⋅sen(2 -x )dx=12

cos2(2 -x )+C ¿5 . ∫(sen2 x−sen 3 x⋅cos3 x )dx=−12

cos2 x−16

sen23 x+C

6 . ∫(−2 tg 3 x+sec25 x−sen2 x⋅cos2 x )dx=23

lncos 3 x+15

tg 5 x−14

sen22 x+C

7 . ∫cos2 x (1−sen22 x )dx=32

sen 2 x−16

sen32 x+C


PRIMER CASO: Cuando el integrado es la tangente o cotangente elevado a la “n” potencia, multiplicada por su derivada, se integra inmediatamente aplicando la integral de una potencia:

∫vndv.

EJEMPLOS RESUELTOS


SEGUNDO CASO: Cuando es la función tangente o bien cotangenteElevada a la “n” potencia entera y dicha función no está multiplicada por la derivada, se siguen los pasos descritos a continuación:

58

1 . ∫ tg2 x⋅sec2 xdx=∫( tg x )2⋅sec2 xdx=13

tg3 x+C

2 . ∫ tg 3 x⋅sec2⋅3 xdx=13∫ tg 3 x⋅sec2 3 x⋅3 dx=1

3⋅tg2 3 x2

+C=16

tg2 3 x+C

3 . ∫ 2 tg3 x2⋅sec2 x2⋅xdx=∫( tg x2 )3⋅sec2 x2⋅2 xdx=14

tg4 x2+C

4 . ∫ c tg3 2 x⋅csc2 2 x dx=−12∫( c tg2 x )3⋅(−csc2 2 x )⋅2 dx=−1

8c tg4 2 x+C

5 . ∫ c tg−3 3 x⋅(−csc23 x )dx=13∫ c tg−3 3 x⋅(−csc2 3 x )⋅3 dx=−1

6c tg−2 3 x+C

1 . ∫ 3 tg2 x2⋅sec2 x

2dx=

65

tg2 x2

+C 2 . ∫ 4 tg abx⋅sec2 abxdx=2ab

tg2 abx+C

3 . ∫ sec2 3 xdx

tg3 3 x=−1

3 tg2 3 x+C 4 .∫ctg √x csc2√ xdx

√ x=-ctg2√ x+C

5 . ∫ 4 √c tg 2 x⋅csc2 2 xdx=−43

√c tg3 2 x+C 6 . ∫ c tg e2 x csc2 e2 x dx=−14

c tg2 e2 x+C

7 . ∫−3 tg ( a−bx )sec2 (a−bx )dx=32 b

tg 2(a−bx )+C


EJEMPLOS RESUELTOS


INTEGRACION POR PARTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

59

∫ tgv dv=∫ tgv−2( tg2 v )dv=∫ tgv−2 (sec2 v−1 )dv=∫ tg v−2 sec2 vdv−∫ tgv−2 dv

∫ c tgv dv=∫c tg v−2(c tg2 v )dv=∫c tg v−2(csc2 v−1)dv=∫ c tgv−2 csc2 vdv−∫ c tgv−2 dv

1 . ∫ tg3 xdx=∫ tg x ( tg2 x )dx=∫ tg x (sec2 x−1)dx=∫( tg x sec2 x−tg x )dx=∫ tg x sec2 xdx−∫ tg xdx

=12

tg2 x+ lncos x+C

2 . ∫ c tg4 xdx=∫ c tg2 x⋅¿c tg2 xdx=∫(csc2 x−1)c tg2 xdx=∫csc2 x⋅c tg2 x dx−∫c tg2 x dx ¿ =−∫c tg2 x (−csc2 x )dx−∫(csc2 x−1 )dx=−∫ c tg2 x (−csc2 x )dx−∫csc2 xdx−∫ dx

=−13

c tg3 x+c tg x+x+C

3 . ∫ tg5 xdx=∫ tg3 x tg2 xdx=∫ tg3 x (sec2 x−1)dx=∫ tg3 x sec2 x dx−∫ tg3 x

=14

tg4 x−12

tg2 x−lncos x+C

1 . ∫ tg2 xdx=tg x−x+C 2 . ∫ tg32xdx=14

tg22 x+12

lncos 2 x+C

3 . ∫ tg3 x2

dx= tg2 x2

+2 lncosx2

+C 4 . ∫ tg5 3 xdx=112

tg43 x−16

tg2 3 x−13

lncos3 x+C

5 . ∫ c tg4 2tdt=−16

c tg3 2t +12

c tg2 t +t+C 6 . ∫ c tg6 xdx=−x−x tg x+13

c tg3 x−15

c tg5 x+C

7 . ∫(sec x−tg x )2 dx=2 tg x−2 sec x−x+C


Cuando se desea integrar el producto de dos funciones u y v, siendo estas funciones diferenciales de la misma variable, es necesario recurrir a la integración por partes cuando a dicho producto no se le puede integrar de otra manera, así tenemos que entonces que si:

d(u·v)=u·dv + v·du; luegou·dv = d(u·v) - v·du; integrando

∫ u·dv = u·v - ∫ v·dv

Para aplicar la fórmula, debe descomponerse el integrando en dos funciones que son: u y dv, debe de aclararse que no hay una regla fija para determinar cual de los dos factores es u y cual es dv, por lo que seguiremos las indicaciones descritas:1. El factor que se iguala a dv debe de ser de fácil integración.

2. ∫ v·du debe ser más sencilla que ∫ u·dv.

EJEMPLOS RESUELTOS

60

1 . ∫ x⋅sen xdx=x (−cos x )−∫−cosdx=−xcos x+sen x+C

[u=x ∫ dv=∫sen xdx ¿ ]¿¿

¿¿

¿

¿


61

4 . ∫ x⋅6 . ∫ ln xdx=x2

2ln x−∫ x2

2⋅1

xdx=x2

2ln x−1

4x2+C

[u=ln x ∫ dv=∫ xdx ¿ ]¿¿

¿

¿

¿



Una de las aplicaciones más importantes de la integración por partes es el cálculo de la integral de algunas expresiones que no tienen fórmula de integración inmediata, especialmente aquellas que se refieren a las funciones trigonométricas inversas. Para integrar este tipo de funciones se siguen los mismos pasos que en los casos anteriores.

EJEMPLOS RESUELTOS

1 . ∫ arcsenx⋅dx=xarcsen x−∫ xdx

√1−x2=x arcsen x−∫(1−x2 )

−12 xdx=x arcsen x+

12∫(1−x2 )

−12 (−2 )xdx

| u=arcsen x ∫dv=∫ dx ¿|¿¿

¿

¿

¿

62

1 . ∫ xcosx2⋅dx=2 x sen

x2

+acosx2

+C 2. ∫2sen x⋅dx=−2 xcos x+2sen x+C

3 . ∫ 3cos2 x⋅dx=32

x sen2 x+34

cos2x+C 4 . ∫ ln x⋅dx=x ln x−x+C

5 . ∫ 3 x⋅e2 x dx=32

x⋅e2 x−34

e2 x+C 6 . ∫ ln x

x2dx=−

ln x

x2−

1x

+C

7 . ∫ x2 ln 4 x⋅dx=13

x3 ln 4 x−19

x3+C 8 . ∫ x⋅102 x dx= x⋅102 x

2 ln 10−102 x

4 ( ln 10 )2+C

9 . ∫ax e x⋅dx=ax e x

1+ln a+C



1 . ∫ arctg xdx=x arctg x−12

ln(1+x2 )+C

2 . ∫ arc sec xdx=xarc sec x−ln ( x+√x2−1)+C

3 . ∫ arcsenx2

dx=x arcsenx2

+√4−x2+C

4 . ∫ arcs tg 4 xdx=x arctg 4 x−18

ln(1−16 x3 )+C

5 . ∫ xarcsen x2 dx=12

x2 arcsen x2+12

√1−x4+C

6 . ∫sen x⋅sen3 xdx=18

sen 3 x⋅cos x−38

sen x⋅cos3 x+C

EJEMPLOS RESUELTOS


63

1 . ∫ x2sen x⋅dx=−x2 cos x−∫−2 xcos x⋅dx=−x2cos x+2∫ xcos x⋅dx

[u=x2 ∫dv=∫ sen x⋅dx ¿ ]¿¿

¿

¿

¿


INTEGRARA FRACCIONES RACIONALES QUE TIENEN FACTORES LINEALES EN EL DENOMINADOR

Una fracción racional es aquella que se puede expresar como la división de números enteros.Las fracciones racionales pueden ser propias e impropias.Son propias aquellas cuya variable del numerador es el menor grado que la del denominador, por ejemplo: x/(x2-4).

Las expresiones racionales propias se pueden expresar como la suma de fracciones simples de las cuales solo bastaría investigar cual el numerador de cada una de ellas, por ejemplo:

∫ dx

x2−3 x+2=∫( A

x−2+ B

x−1 )dx

donde faltaría determinar cual es el valor de las constantes A y B.

Para encontrar estos valores, se igualan las dos integrales y a continuación se eliminan los denominadores de dicha igualación, así:

1

x2−3 x+2=

Ax−2

+Bx−1

; multiplicando por ( x3−3 x+2 ) por lotan to nos queda:

1=A (x-1 )+B (x-2 )

y luego, sustituyendo de uno por uno en esta igualdad resultante los valores de x que anulen cada uno de los factores, en este caso: x=1 y x=2, tenemos:

Para x=1 Para x=2

1 = A(1-1)+B(1-2) 1 = A(2-1) + B(2-2)

1 = - B 1 = A

B = 1 A = 1

Estos valores se sustituyen en la expresión original, obteniéndose de esta manera:

∫ dx

x2−3 x+2=∫(A

x−1+B

x−2 )dx=∫(1x−1

−1x−2 )dx=∫ dx

x−1−∫dx

x−2=ln( x−1 )−ln( x−1)+C

=ln|x−1x−2

|+C

64


EJEMPLOS RESUELTOS

65

1 . ∫(2 x−1 )x2−5 x−6

dx=∫(2 x−1 )(x−6)( x+1 )

dx=∫(Ax−6

+Bx−1 )dx; donde

(2 x−1)x2−5 x−6

= Ax−6

+Bx−1

2x-1=A ( x+1)+B( x−6 ) Para x=−1 Para x=62 (−1 )−1=A (−1+1 )+B(−1−6) 2(6 )−1=A (6+1 )+B (6−6) −3=−7 B 11=7A

B=37

A=117

Las integral queda como se muestra a continuación

∫(2x−1 )x2−5 x−6

dx=∫(117

x−6+

37

x+1 )dx=117

∫ dxx−6

+37∫ dx

x+1=11

7ln( x−6)+3

7ln( x+1)+C

=ln7√( x−6 )11( x+1)3+C

2 . ∫ xx2−2x−3

dx=∫ x( x+3)( x−1 )

dx=∫(Ax+3

+Bx−1 )dx; donde

xx2−2x−3

= Ax+3

+Bx−1

x=A (x-1 )+B (x+3 ) Para x=1 Para x=−3 1=A(1−1)+B(1+3) −3=A (−3−1 )+B (−3+3 ) 1=4B −3=−4A

B=14

A=34

Las integral queda como se muestra a continuación

∫ x

x2−2 x−3dx=∫(3 4

x+3+

14

x−1 )dx=34 ∫dx

x+3+1

4 ∫dxx−1

=34

ln( x+3)+14

ln (x−1)+C

=ln4√( x+3)3 ( x−1)+C

3 . ∫(2 x+3 )x3+x2−2 x

dx=∫(2 x+3 )x ( x+2)( x−1 )

dx=∫(Ax

+Bx+2

+Cx−1 )dx ; nos queda

2x+3=A ( x+2)( x−1 )+B (x )( x−1)+C ( x )( x+2)Para x=0 Para x=−2 Para x=12 (0)+3=A (0+2 )(0−1 ) 2(−2)+3=B(−2 )(−2−1) 2(1)+3=A(1 )(1+2 )

A=−32

B=−16

C=53

∫(2x+3 )x3+ x2−2 x

dx=∫(−32

x+

−16

x+2+

53

x−1 )dx=−32∫dx

x−1

6∫ dx

x+2+5

3∫ dx

x−1=−3

2ln x−1

6ln( x+2 )+5

3ln( x−1)+C


Otro método para calcular el valor de los numeradores de las fracciones racionales consiste en igualar las dos integrales como en el método anterior pero al eliminar los denominadores, deberán de resolverse las operaciones indicadas y factorizarse los términos de igual grado y puesto que se trata de una igualdad, los coeficientes de los términos del primer miembro serán iguales a los coeficientes de los términos del primer miembro serán iguales a los coeficientes de los términos de igual grado del segundo miembro. La solución de las ecuaciones de estas últimas igualdades indicará el valor de los coeficientes de las fracciones racionales.Tomemos como ejemplo los del primer caso:

66

1 . ∫(2 x−1)x2−5 x+6

dx=∫( Ax−6

+Bx−1 )dx

2 x−1=A (x+1 )+B( x−6)⟩ 2x−1=Ax+A+Bx−6 B⟩ 2x−1=( A+B )x+( A−6 B)¿¿

¿ A+B=2 ¿ A−6 B=−1 ¿ por lo tanto nos queda A=37

y B=117

¿2 . ∫ x

x2+2 x−3dx=∫( A

x+3+ B

x−1 )dx ¿¿

x=A ( x−1)+B( x+3 )⟩ x=Ax−A+Bx+3 B

⟩ x=( A+B) x+(−A+3 B)¿

¿ ¿ A+B=1 ¿−A+3 B=0 ¿ por lo tanto nos queda A=34

B=14

¿3. ∫ (2 x+3 )x3−5 x2+2 x

dx=∫( Ax

+ Bx+2

+ Cx−1 )dx ¿¿

2 x+3=A( x+2 )(x−1)+Bx( x−1 )+Cx( x+2)⟩ 2x+3=Ax2+ Ax−2 A+Bx2−Bx+Cx2+2Cx

⟩2 x+3=( A+B+C )x2+( A−B+2C )x+(−2 A )¿

¿ ¿¿A+B+C=0

⟩ A−B+2 C=2⟩−2 A=3

¿

¿ RESOLVIENDO POR SIMULTANEAS ¿ por lo tanto nos queda A=−32

; B=−16

; C=53

¿¿



CASO ESPECIALCuando los factores lineales del denominador son iguales, les corresponde una suma de fracciones de la siguiente forma:

EJEMPLOS RESULTOS

67

1 . ∫ dx

x2−4=ln 4√ x−2

x+2+C 2. ∫( t2+8 t+1 )

( t3+8 t2−t−2 )dt=5

3ln(

3√(3−t )5⋅ln( t+1)3

3√( t +2)11 )+C

3 . ∫( x+1)( x3−2 x2−5 x+6)

dx=ln(5√(x−3)2

3√(x−1)⋅15√( x+2) )+C 4 . ∫(3 u−1)(u2−−)

du=ln|(u+1)2(u−1)|+C

5 . ∫(3 z2+6 )( z3+z2−2 z )

dz=ln(( z+2)z ( z−1) )

3

+C 6 . ∫dx

(5 x3−18 x+9)=ln 12√ x−3

(5 x−3 )5+C

7 . ∫(2−x )(6 x2+x−1)

dx=ln(3√(3 x−1 )

√(2 x+1) )+C

A1

ax+b+

A1

(ax+b )2+.. . .. .. .. . .. .. . ..

An

(ax+b )n



68

1 . ∫ x

x2+4 x+4dx=∫(A

x+2+

B

( x+2)2 )dx donde tenemos que x=A( x+2 )+B

Para x=−2 Para x=0 −2=A(−2+2 )+B ∴B=−2 0=A (0+2 )−2∴ A=1

∫ x

x2+4 x+4dx=∫(1x+2

+−2

( x+2)2 )dx=∫ 1x+2

dx−∫ 2( x+2 )−2dx=ln( x+2)+2x+2

+C

2 . ∫ x3

x2−2x+1dx=∫(x+2+3 x-2

x2−2x+1 )dx =∫ xdx+∫2dx+∫3 x-2

x2−2 x+1dx

∫3 x-2

x2−2 x+1dx=∫(A

x−1+B

( x−1)2 )dx donde tenemos que 3 x−2=A (x−1)+B

Para x=1 Para x=0 3(1)−2=A(1−1)+B ∴B=1 3(0)−2=A (0−1 )+1∴ A=3

∫3 x-2

x2−2 x+1dx=∫(3x−1

+1

( x−1)2 )dx=∫3x−1

dx+∫ 1

( x−1 )2dx

∫ x3

x2−2 x+1dx=∫ xdx+∫2 dx+∫ 3

x−1dx+∫1

( x−1)2dx=∫ xdx+2∫dx+∫3

x−1dx+∫( x−1 )−2dx

=12

x2+2x+3 ln ( x−1 )−1x−1

+C

1 . ∫( x2+8 x+1)x3+2x2+ x

dx=ln x−6x+1

+C

2 . ∫(3 x+5)x3−x2−x+1

dx=ln(√x+1

√x−1 )−4x−1

+C

3 . ∫(1−3 x )x3−3 x2+3 x−1

dx=3x−1

+1( x−1 )2

+C

4 . ∫(u4−8)u3+2u2

du=ln [u2(u+2 )2]+4u

+u2

2−2u+C

5 . ∫(2−3 x−x2−2 x3)x2( x−1)2

dx=ln [ x

( x−1 )3 ]−2x

+4x−1

+C


69

Apuntes Mat. Aplicada

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