Profesor: Dr. Marco Antonio Pérez Flores, Departamento de Geofísica Aplicada,
 CICESE, Ensenada, Baja California.
1
I.2.1
I.2.2
Per$i#i%idad e!"c#rica de !a roca
Per$ea&i!idad $a'n"#ica (
1
2
) I.* Di+erencia en#re rei#encia , rei#i%idad - I.)
I.).1
I.).2
I.).*
Condcci/n e!ec#r/nica
Condcci/n die!"c#rica
I..1
I..2
Io#rop0a
Anio#rop0a
11 II TEORÍA BÁSICA 1)
II.1 Condicione de +ron#era 15 II.2 Rei#i%idad aparen#e para %ario arre'!o 1
II.2.1 6ac#ore 'eo$"#rico $7 co$ne 21 II.* Po#encia! o&re !a per8cie de n e$i9epacio
3o$o'"neo
2*
II.) Po#encia! de n pn#o +en#e o&re n e$iepacio
e#ra#i8cado.
25
II.- Repreen#aci/n $a#ricia! para 2 , * capa ** II. E:i%a!encia en e! cao de #re capa ** II.5 So!ci/n recri%a de! i#e$a de ecacione
$"#odo de Pa;eri
*
II. E<prei/n de  ρa  para n $edio de $!#icapa con
arre'!o #e#rapo!are
)=
II.4 A0n#o#a 3ori>on#a!e de !a cr%a Sc3!$&er'er )2 II.1= Rei#i%idad en 2 di$enione )) II.11 Pn#o de a#ri&ci/n en e! dipo!o9dipo!o )5 II.12 Seni&i!idad $"#odo dipo!o9dipo!o )
III
III.1
III.2
E+ec#o #opo'r78co
Lon'i#d de! ca&!e en e! recep#or co$o 8!#ro
Carac#er0#ica de !a +en#e
Carac#er0#ica de! recep#or
-4
-4
Po!ari>aci/n e!ec#r/dica
Apro<i$aci/n de Sie'e!
SP
E:ipo
Proceado e in#erpre#aci/n de !o da#o
Se$i9In#erpre#aci/n ca!i#a#i%a
Bi&!io'ra+0a
Las ecuaciones básicas son las ecuaciones de Maxwell
∇ X E=− μ  ∂H 
∂ t    Ley de Faraday
∂ t   Ley de Ampere
J =σE ; D=ε E; B= μ H→ EcuacionesConstitutias
Maxwell fue quien logro expresar en forma diferencial los resultados de
Faraday y de Ampere. stas ecuaciones muestran las relaciones que
existen entre un campo Magn!tico y l!ctrico" a tra#!s de las
propiedades el!ctricas del medio.
I.29.Propiedade e!"c#rica de !a roca
$e acuerdo a las ecuaciones de Maxwell las tres propiedades el!ctricas
que distinguen a un medio o bien a las rocas son%
 μ0= !ermea"i#idad $a%n & tica≅ 4 '(10
−7 )enry
m  &'acio(
m   ) ).)*+ 1), )1, x 1- 12 &'acio(
σ =Conductiidade#&ctrica( siemens
m   )  
n m!todos el!ctricos solo se traba/a con el campo el!ctrico"
espec0camente con corrientes el!ctricas en el subsuelo" por lo que no
se miden campos magn!ticos" estos son medidos en los m!todos
electromagn!ticos.
1
 
omo en m!todos el!ctricos se traba/a con corriente continua" es decir
de frecuencia cero" solo se puede generar un campo magn!tico de
frecuencia cero.
in embargo este campo magn!tico es dif0cil de medir y de poco inter!s"
al no ser de inter!s para corriente directa &$(" no se traba/a con las
ecuaciones de Maxwell" 4nicamente con la Ley de 56m.
J =σ E
7or lo tanto la propiedad el!ctrica de inter!s es la conducti#idad
el!ctrica" la cual se usa normalmente para el tratamiento matemático"
pero en la práctica resulta más 4til traba/ar con el in#erso de la
conducti#idad" es decir la resisti#idad" la cual se expresa%
 ρ= 1
$e las propiedades f0sicas que distinguen a los materiales" densidad"
magneti8aci9n" #elocidad de propagaci9n de las ondas s0smicas" la
resisti#idad es la que ex6ibe un mayor rango de #ariaci9n. La
resisti#idad de los metales está alrededor de  ρ=10 −8
o)m−m . La
resisti#idad de un aislante el!ctrico anda alrededor de 10 7 o)ms+m " los
materiales que quedan entre estos dos rangos se les llama
semiconductores. $e esta manera #emos que la matri8 de las rocas
tiene una resisti#idad por arriba de 1-"--- o)ms+m  y los sedimentos
secos por arriba de 3"--- o)ms+m . sto signica que para rocas y
sedimentos esperamos resisti#idades superiores a 3--- o)ms+m " el
contenido de agua disminuye la resisti#idad de las rocas o de los
2
 
sedimentos y ob#iamente dependerá de la resisti#idad del agua o :uido.
&Ley de Arc6ie(.
7or e/emplo arenas con agua potable tienen una resisti#idad alrededor
de )- o)ms+m " sin embargo si le agregamos agua salada ba/ara 6asta
-.* o)ms+m .
I.2.19.Per$i#i%idad e!"c#rica de !a roca
La permiti#idad el!ctrica tambi!n se le conoce como polari8aci9n
el!ctrica" la polari8aci9n se puede dar ya sea electr9nica" i9nica" o
molecular.
Los primeros se dan en los no conductores y la i9nica en los minerales
formadores de roca" mientras que el agua y los 6idrocarburos poseen
polari8aci9n molecular.
;a/o la in:uencia de un campo el!ctrico" la estructura se deforma" o sea
se polari8a" esta deformaci9n no necesariamente es en la direcci9n del
campo.
n la presencia de un campo alterno la estructura molecular cambia de
direcci9n en su deformaci9n en cada ciclo. Algunos materiales
3
responden rápidamente al cambio de polari8aci9n del campo el!ctrico"
pero otros responden más lentamente. 7or lo tanto sucede que la
mayor0a de los materiales responden diferente de acuerdo a la
frecuencia del campo .
m   −→ene#acio
omo se sabe la lu8 es una onda electromagn!tica. La #elocidad de la
lu8 es una constante y se mide como la onda electromagn!tica al
propagarse en un medio no tan resisti#o" su #elocidad disminuye. $e
6ec6o la #elocidad de propagaci9n de la lu8 en un medio como un cristal
o una lente es% ,  E$ =
 C 
√ εμ
√ εr μr→ -ndice dere*racci.n
$e la ecuaci9n de Ampere ∇ X H =σ E+ε  ∂ E
∂ t   podemos decir que para las
frecuencias usadas en geof0sica &-.--1 a 1---- <8( y los tipos de
materiales terrestres" el t!rmino σ E ε
 ∂ E
∂ t   de forma que podemos
despreciarlo. in embargo para los que traba/an con antenas" donde la
+
 
n geof0sica el radar electromagn!tico utili8a frecuencias del orden de
M<8 con las de FM. A ese ni#el el t!rmino ε  ∂E
∂t    empie8a a ser
importante.
l agua es el elemento de mayor ε  a frecuencias relati#amente ba/as.
7or eso es que la onda de radar M es muy sensible al contenido de
agua en el suelo. La mayor0a de los m!todos M pueden #er deba/o de
una 8ona saturada de agua" mientras que la onda de radar se amortigua
casi totalmente al llegar a una cama saturada de agua y no #e más
aba/o.
Anexar una tabla de #alores t0picos de la permiti#idad.
I.2.29.Per$ea&i!idad $a'n"#ica (
l #alor de = es importante y no se puede despreciar de las ecuaciones
de Maxwell" el problema es que en la mayor0a de los materiales
terrestres = no #ar0a muc6o. La magnetita tiene un #alor alto" pero al
quedar diseminada en una roca" disminuye muc6o su #alor efecti#o. 7or
eso para prospecci9n con frecuencia #ariable = es cercana a la del aire.
Anexar una tabla de #alores t0picos de permeabilidad magnetica
I.*9.Di+erencia en#re rei#encia , rei#i%idad
La resistencia es un parámetro que mide la oposici9n de un material a
que circule una corriente dentro de !l. La resistencia no es un parámetro
intr0nseco del medio" pues este depende de la longitud de la muestra y
su área.
 /=  ρL
 A
5 sea que la resistencia de una muestra cil0ndrica aumenta solo con
aumentar su longitud aunque no cambie ρ" por eso es que para calcular
 ρ  se debe desnormali8ar para recuperar la propiedad que no dependa
de la longitud L 9 A.
 ρ=  /A
 L
e le llama resisti#idad al grado de dicultad que encuentran los
electrones en sus despla8amientos. e designa por la letra griega r6o
min4scula &ρ( y se mide en o6mm" su #alor describe el comportamiento
de un material frente al paso de corriente el!ctrica" por lo que da una
idea de lo buen o mal conductor que es. >n #alor alto de resisti#idad
indica que el material es mal conductor mientras que uno ba/o indicará
que es un buen conductor.
alcular la resisti#idad de un electrodo del taller de geof0sica.
I.)9. Tipo de condcci/n e!"c#rica
La electricidad se dene como el mo#imiento de electrones a lo largo de
un material" existen tres tipos de conducci9n el!ctrica%
?
I.).19. Condcci/n e!ec#r/nica
e da en los metales y materiales s9lidos" se trata del mo#imiento de
electrones libres en las 4ltimas capas electr9nicas que se despla8an en
presencia de un campo el!ctrico. 5b#iamente los materiales metálicos
fa#orecen muc6o la conducci9n" pero los materiales rocosos &sedimentos
secos( no lo 6acen tanto.
7or lo tanto las resisti#idades de rocas secas o sedimentos secos sin
arcilla" resultan ser muy altas.
I.).29.Condcci/n e!ec#ro!0#ica
 @ambi!n es conocido como conducci9n i9nica" pues aqu0 no se mue#en
electrones" sino iones a lo largo de la parte :uida de una roca. omo
sabemos la mayor0a de las rocas son porosas en mayor o menor grado y
tales poros son ocupados con frecuencia por agua de alg4n tipo.
n tales tipos de materiales se reali8a conducci9n electr9nica a lo largo
de los granos de la roca y conducci9n i9nica a lo largo de los poros de la
misma. n rocas con poco contenido de metales" la conducci9n i9nica es
muc6as #eces superior a la conducti#idad electr9nica. sto signica que
si tomamos sedimentos secos o una roca seca y medimos su
resisti#idad" pues será la debida a la conducci9n electr9nica y si le
agregamos agua tendremos conducci9n i9nica" por lo tanto la
resisti#idad de la roca o sedimento #ariara.
,
 
e 6an 6ec6o numerosos intentos para poder predecir la resisti#idad de
una roca con un porcenta/e determinado de porosidad. stas ecuaciones
por desgracia aun son muy emp0ricas y su aplicaci9n muc6as #eces es
demasiado local. La ecuaci9n más com4n de este tipo es la ecuaci9n de
Arc6ie &1+2(%
 ρe=a0 −m
s −n  ρ1
s= Fraccion de porosconteniendoa%ua
 ρ1= /esistiidad de# a%ua ene# poro
a= par2metroentre0.5 y2.5
n= par2metro≅2
)
 
Aunque se determine con exactitud 0 3 s 3 ρ1 " la estimaci9n de
 ρe  será
muy #aga" pues a" m" n" dependen de la permeabilidad de la roca y de la
geometr0a de los poros" por lo que son #alores totalmente emp0ricos que
a #eces solo pueden ser#ir para 6acer una estimaci9n aproximada.
;uscar la denici9n de petrof0sica.
I.).*9.Condcci/n die!"c#rica
ste sistema de conducci9n se da en materiales no metálicos o no
conductores" se trata de corrientes de despla8amiento" esto signica que
6ay ciertos materiales que al estar ba/o la in:uencia de campos
el!ctricos #ariables" se comportan como capacitores" es decir se induce
una corriente a tra#!s de ellos.
ucede solo cuando el material rocoso esta ba/o la in:uencia de un
campo #ariable que no es el caso de $. Los materiales que 6acen esto
se comportan como capacitores" as0 tardan un cierto tiempo en cargarse
y descargarse" aunque interrumpamos la corriente estos permanecen
cargados un cierto tiempo" es decir permanecerán polari8ados. ste
fen9meno se trata de medir por el m!todo de polari8aci9n inducida.
7ues no todos los materiales se descargan a la misma #elocidad. 7or lo
regular los sulfuros &pirita" galena" etc.( son materiales altamente
polari8ables.
I..19. Io#rop0a
Bsotrop0a es cuando la propiedad es la misma no importando la direcci9n
de los campos" por e/emplo el caso de la ley de 56m.
J 
(¿¿ ( 3 J  y 3 J  4)=σ ( E ( 3 E y 3E 4) J =σ E ¿
1-
 
i suponemos que σ   es un escalar" entonces decimos que el medio es
isotr9pico" por lo que no importa en qu! sentido #aya el campo" la
propiedad es la misma y C siempre estará en la misma direcci9n que .
J  (=σ E (
J =σ E
i in#ertimos el sentido de " y la corriente medida es la misma" indica
que es indistinta la direcci9n en qu! se mue#a la corriente. sto es de
gran importancia en la geof0sica" pues se dice que obedece el principio
de reciprocidad.
La tierra responde igual" no importa el sentido en que #engan las l0neas
de corriente σ   es la misma. La imagen presenta un dipolo de fuente
que inyecta corriente" esta #a de polo positi#o al negati#o.
11
medio isotr9pico
'ista planta l0neas equipotenciales
I..29. Anio#rop0a
n un medio anisotr9pico σ   ya no es un escalar" sino un tensor.
| J  ( J  y J  4
|=| σ  ((   σ  (y   σ  (4
σ  y(   σ  yy   σ  y(
σ  4(   σ  4y   σ  44 ||  E (
 E y
 E 4 |
Lo cual quiere decir que la anisotrop0a #a a estar en la propiedad del
medio.
J  (=σ  (( E (+σ  (y E y+σ  (4 E 4
J  y=σ  y( E (+σ  yy E y+σ  y( E 4
J  4=σ  4( E (+σ  4y E y+σ  44 E 4
12
 
Duiere decir que x gracias a σ  ((  producirá una corriente en
J  ( " pero
σ  y(  y σ  4(  producirá una corriente en
J  y  y en J  4  respecti#amente" la tierra tendr0a un comportamiento tal
que aunque solo se tenga E en una direcci9n" se obtendrá C en todas las
direcciones. 7or lo tanto si tenemos un campo E  que tiene tres
componentes ( E ( 3 E y 3 E 4)   entonces necesitaremos toda la expresi9n
tensorial de la ley de 56m.
in embargo en la expresi9n anterior si suponemos que σ  (y=σ  y(   y
además que  E ( y E y  son iguales" quiere decir que al incidir un campo
en  E y  en el material gracias a
σ  (y  obtendremos un J  (  y cuando
incidimos un  E (   de la misma magnitud que
 E y " gracias a σ  y(
obtenemos un J  y  que en magnitud es igual a
J  ( .
entonces J  y=J  ( "
misma.
sto quiere decir que el medio fa#orece u opone menos resistencia
cuando la corriente se mue#e más en un sentido u otro. i se tratara de
13
dependiendo de la direcci9n y sentido de la fuer8a &campo(.
7or lo regular los materiales terrestres son tales que el #ector σ   es
sim!trico donde el triangulo superior e inferior del tensor son iguales.
<ay diferentes grados de anisotrop0a en la tierra" el más complicado es
cuando utili8amos todos los elementos de σ   en un tensor sim!trico.
J  y=σ  y( E ( J  (=σ  (y E y
σ  y(= J  y
 (y=¿σ  y(
σ ¿   7or lo tanto la matri8 es sim!trica" tambi!n cumple el
principio de reciprocidad.
l caso que sigue es aquel donde suponemos que  E(  no produce Jy
. s decir" el tensor se reduce a una matri8 diagonal.
( σ  ((   0 0
0   σ  yy   0
0 0   σ  44 )
l tratamiento de una ecuaci9n con tensores 6ace más complicada su
matemática. Dui8á la tierra sea tan complicada como para utili8ar todo
un tensor sim!trico" pero por m4ltiples pruebas de laboratorio con
diferentes materiales" se 6a obser#ado que es una buena aproximaci9n
traba/ar" en el peor de los casos con%
1+
o o σ v )σ m→Hori4onta# σ v→,ertica#
s decir que en algunos materiales la estraticaci9n 6ace que en la
propagaci9n de una corriente en la 6ori8ontal sea diferente a la #ertical"
pero entre los dos e/es 6ori8ontales tal corriente sea la misma" como
e/emplo están las lutitas.
σ m 5σ v
n planta las l0neas equipotenciales se comportan circulares" sin
embargo en un medio estraticado se muestra de forma elipsoidal en
direcci9n .
1. omo se menciono anteriormente" la ecuaci9n básica que controla
el fen9meno de corriente directa es la Ley de 56m.
J =σ E
$onde s0 suponemos que el material es isotr9pico entonces σ  es un
escalar. sta ecuaci9n supone linealidad entre el campo  E y J   a tra#!s
de σ  " esto quiere decir que si E  aumenta tambi!n lo 6ará J    de
manera lineal" asi como la pendiente de una l0nea.
 
7ero lo que sucede en realidad en materiales superconductores no existe
una relaci9n lineal entre  E y J  .
7ara campos el!ctricos muy grandes existe una saturaci9n" sin embargo
para los materiales terrestres los campos el!ctricos no son tan altos.
sta ecuaci9n es una buena aproximaci9n.
2. n el caso de los m!todos el!ctricos de frecuencia cero" debido a que
tratamos con un campo conser#ati#o" E se puede expresar entonces
a tra#!s del gradiente de un potencial.
 E=−∇,  G   −[∂, 
 
l gradiente del potencial &'( cuyas unidades son #olts y las de E  son
#oltHm se puede expresar como%
J =σ E=−σ ∇, 
7or el principio de la conser#aci9n de la carga" esto es que si rodeamos
un material que está ba/o la in:uencia de un campo el!ctrico" las
corrientes que entran y salen de la supercie suman -" a esto se le llama
que no 6ay fuentes ni sumideros de corriente.
sto se ilustra en la siguiente imagen y está dada por la integral cerrada
de J 8 n %
V    J 8 n=0
Las corrientes que entran son las mismas de las que salen" si 6acemos
una secci9n de esa esfera queda%
n   2
n   1
supercie
J =ai+"6
J 8 n1+J + n2=0
 I as0 cada punto a lo largo de la supercie tendrá una contraparte que
lo anule. $e la ecuaci9n anterior por el teorema de Jauss.
J 8 n ds=∇ 8 J d
i esto es cierto por lo tanto" ∇ 8 J =0   principio de no
fuentes ni sumideros.
dimensional.
Aplicando el teorema de Jauss en t!rminos del potencial el!ctrico" nos
queda%
conducti#idad.
i suponemos que la conducti#idad es 6omog!nea.
σ ∇ 2 , =0−→ paraunmedio)omo%eneo∇
2 , =
0
∇ σ 8∇, +σ ∇2 , =0
∇ σ ( ( 3 y 3 4) 8∇, ( ( 3 y 3 4 )+σ ( ( 3 y 3 4)∇2 , ( ( 3 y 3 4)=0
7ara un medio bidimensional" la ecuaci9n diferencial es%
∇ σ ( ( 3 4 )8∇, ( ( 3 y 3 4)+σ ( ( 3 4 )∇2 , ( ( 3 y 3 4 )=0
7ara un medio 6omog!neo" nos queda la ecuaci9n de Laplace.
∇ 2 , =0
7ara un medio unidimensional" se aplica la ecuaci9n de Laplace para
cada capa. xiste una soluci9n general de la ecuaci9n de Laplace para
cada capa y luego se pegan las soluciones por medio de las condiciones
en las fronteras.
II.19.Condicione de +ron#era
Antes de poder resolver problemas más complicados debemos saber cómo se comportan E 
y J  al pasar una interface entre dos medios de diferente conductividad.
Por la ley de Gauss
J + n ds=∫ ∇ + J d=0
Figura 17. Comportamiento de J en la frontera
En puntos muy cercanos a la interface o frontera se debe cumplir que
J + n ds=0  condición de no-fuentes o no-sumideros.
De acuerdo con la figura y aciendo que d!"#
 6 + n1− 6 + n2=0   En interface las corrientes normales deben ser iguales$ solo en
la frontera
 J n1= J n2  %ignifica que las corrientes normales son continuas en la interface.
Aplicable a interfaces no-planas.
En función del campo&
 En 1= σ 2
σ 1  En2
'a ecuación nos dice que es discontinuo en las fronteras y que los campos el(ctricos
normales son continuos.
)uscar Discontinuidad$ función derivable$ tangente de una curva.
El comportamiento de En no es derivable en la discontinuidad ya que la tangente en ese
 punto es indeterminado. *  J n es derivable en cualquier punto$ además es igual en la
frontera
Figura 18. Comportamiento discontinuo de E  normal y continuo de J  normal
El comportamiento de E  y  J  normal es aplicable para cualquier frecuencia$ como DC$ +,$
adar$ etc.
Aora falta ver el comportamiento de E  tangencial en las fronteras$ por lo cual se considera
las siguientes condiciones&
,area& Demostrar la siguiente ecuación&
:
21
Figura 19. Comportamiento de Et campo tangencial/ en la frontera
En puntos muy cercanos en la frontera se debe cumplir que el rotacional de E  es cero y el
teorema de %to0es. eali!ando la integral de l1nea de  E   tangencial en las direcciones
opuestas se cumple que&
∫¿  
'o anterior equivale a decir que en las fronteras Et1= Et2 
 I las J tangenciales%
σ 2 " por lo cual J t 1= σ 1
σ 2 J t 2
on discontinuas en la interface.
n resumen%
 
Figura 20. Comportamiento del campo normal y tangencial en una frontera
,area. E2iste campo el(ctrico tangencial y normal en la interface aire-tierra3
II.29. Rei#i%idad aparen#e para %ario arre'!o
s usual en geof0sica nombrar los electrodos de corriente como A y ; y
los de potencial como M y E. La siguiente gura muestra un arreglo
tetrapolar colineal%
, =  -ρ
2'   =
 -    =
  ,  es la diferencia de potencial que medimos 
  -   es la corriente que inyectamos
  = −1
  ρ−→resistiidad erdaderade# medio )omo%eneo
  ρ−→ρa cuandonoes )omo%eneo
23
xisten muc6os tipos de arreglos en exploraci9n geoel!ctrica colineales"
no colineales" sim!tricos y no sim!tricos" pero los más usados son los
colineales sim!tricos. @ambi!n existen arreglos dipolares" tripolares"
tetrapolares.
olineales
1. $ispositi#o enner
==[(   1
(a+na ) (na ) )−( a+na−2 a−na
(2a+na ) (a+na ) )] 2*
 
  a
(2a+na )(a+na) ] ¿ −a (2a+na ) (a+na )+a (a+na )(na)
(a+na ) (na ) (2a+na )(a+na)
==   −2a−na+na
==   −2a
3. $ispositi#o c6lumberger
a 2
4  ) E(acta
s costumbre en el arreglo c6lumberger 6acer que NaO sea muc6o
menor que L. esto es%
 ρa= ' 
a
 
5 sea que en el c6lumberger al 6acer más pequePa NaOQ , 
a " tiende
d( " es aproximadamente el campo el!ctrico. sto para el caso
limiteQ pero para el caso práctico" seguimos considerando NaO.
sta aproximaci9n es #álida para cuando  L?5a  &de la experiencia en
campo y de pendiendo de la litolog0a de la 8ona la relaci9n es
aproximadamente  L?10a (" si en campo no se cumple con esto"
entonces se debe usar la expresi9n sin aproximaci9n del c6lumberger.
 @omando el e/emplo del arreglo c6lumberger podemos mo#er los
electrodos A;" tal que  AB
2   5 $<   o sea que se puede de/ar /o ME y
solo mo#er sim!tricamente A;" esto nos generará una cur#a del
siguiente tipo.
La respuesta de la tierra al fen9meno de resisti#idad está muy
relacionada con logaritmos.
l m!todo de resisti#idad es muy sensible al cambio de  ρ  cerca de la
supercie" por lo tanto esos cambios serán bien denidos para A;H2
2,
 
pequePos" pero en la medida que abrimos A;H2" el m!todo será sensible
solo a cambios grandes de  ρ " esto quiere decir que el m!todo tiene
una sensibilidad logar0tmica a los cambios de  ρ  con la profundidad.
7or eso es que se acostumbra gracar las cur#as en escala logar0tmica
tanto en A;H2 como en  ρa .
$espu!s se demostrara que para A;H2 pequePos  ρa= ρ  en la primera
capa y para A;H2 grandes  ρa= ρ  en la 4ltima capa.
 @area% xpresar el Laplaciano del potencial en coordenada cartesianas y
esf!ricas.
II.*9. Po#encia! o&re !a per8cie de n e$i9epacio
3o$o'"neo
i estamos sobre un espacio semi6omog!neo de conducti#idad σ  "
entonces la ecuaci9n diferencial que gobierna el fen9meno de $" es la
ecuaci9n de Laplace.
onsiderando una fuente puntual sobre una supercie plana" entonces
existirá simetr0a esf!rica en todo el semiespacio.
2)
supercies equipotenciales son
7or lo tanto podemos expresar el Laplaciano en coordenadas esf!ricas%
∇ 2 , =
 2
∂0 2
Pero debido a que el potencial V solo varía con respecto al radio R y no respecto a
la latitud o longitud, nos queda:
∇ 2 , =
  2
  ∇ 2 , =
La soluci9n a esta ecuaci9n diferencial es del tipo , = C 
 /   donde
 /=√ r2+ 42
  que es la distancia a la fuente y es una constante" como
se puede obser#ar el potencial disminuye con la distancia. omo
sabemos  E=−∇,   pero en coordenadas esf!ricas solo nos queda el
termino  E=
 
#aluando el campo a una distancia KGa y sobre G- entonces
 E=− ∂, 
∂ /|  /=a
= −∂ ∂ / ( C 
 / )=C 
J =σE= Cσ 
a 2
7ero además sabemos que la corriente total que sale de una
equipotencial es%
 - =2 ' a 2 J 
ntonces sustituyendo nos queda
sta es la ecuaci9n para un arreglo Po!o9Po!o.
,  (r 3 4 )=   -ρ
4 '/ −→con #a *uentedentro de#atierra3 o ene# *ondode un#a%o +
i en lugar de una fuente tenemos dos" pero como una de ellas es de
signo contrario" la ecuaci9n de Laplace dice que el potencial dentro del
semiespacio es igual a la suma de los potenciales indi#iduales.
3-
i medimos el potencial pero en otro punto 7R
,  ( !o )=  -ρ
−  1
 /4  ]
n geof0sica es usual medir la diferencia de potencial entre dos puntos"
as0 la diferencia entre &7" 7o( es%
,  ( ! 3!o )=  -ρ
−  1
 /4  ]}
sta es la diferencia de potencial entre dos puntos receptores y dos
puntos fuente. A esto se le llama arreglo tetrapolar. Kecodar que esto es
para una interface airetierra p!ana  y para un medio 3o$o'"neo  e
io#r/pico.
Para n arre'!o e:iepaciado
7ara un arreglo equiespaciado como el que se indica en la siguiente
gura%
31
a separaci9n entre electrodos
2 a 2 ]
 -=
i el medio es 6omog!neo y la supercie plana entonces la resisti#idad
es #erdadera" pero en la realidad es aparente.
 ρa=2 '   , 
$onde = −1
 es el facto geom!trico y en este caso es negati#o.
32
 
II.) Po#encia! de n pn#o +en#e o&re n e$iepacio e#ra#i8cado.
Las l0neas de igual potencial sobre un semiespacio estraticado tienen
simetr0a radial en el plano  xy " en la coordenada  z   #ar0an las l0neas
equipotenciales en forma" por lo tanto el problema tiene simetr0a
cil0ndrica. La ecuaci9n de Laplace se puede resol#er en coordenadas
cil0ndricas.
 F (u 3 3 4 )=   1
2 '  2 −
d(dy   @ransformada doble de Fourier
 F (  3 4 )=∫ 0

r*  (r 3 4) J 0 ( r ) dr  @ransformada de <anel
La trasformada doble de Fourier en coordenadas cil0ndricas se con#ierte
en una transformada de <anel
1
0
$onde r=√  (2+ y2
"   es el n4mero de onda espacial y radial
La transformada de <anel es igual a una transformada doble de Fourier
en el espacio" donde el numero de onda u" v  son iguales" por eso se les
sustituye por  =√ u2+2
Aplicando <anel a la ecuaci9n de Laplace nos queda%
[∇2 , (r 3 4) ] J 
0 (¿ r )dr−→
∫ 0
  r−→
on la transformaci9n logramos obtener una ecuaci9n más simple y con
soluci9n exponencial. Aplicando la transformada de <anel" llegamos a
la ecuaci9n de un punto sobre un semiespacio estraticado.
,  (  3 4 )=C 1 e − 4+C 2 e
 4
∝
 
, (r 3 4 )=∫ 0
3+
 
$e la gura anterior q es una fuente puntual &delta de dirac(.
=− -  ( (− (0 ) ( y− y0 ) ( 4 )
La soluci9n general para la ecuaci9n de <anel en coordenadas
cil0ndricas queda
[ A (  )e− 4+B (  ) e 4 ] J 0 ( r )d
$onde  A (  )  es una constante por determinar y es el efecto de las
corrientes que se ale/an de la fuente. B (  )  es otra constante" nos da el
efecto de cuando las corrientes se re:e/an en la interface" por eso es
positi#o.
7ara el t!rmino de fuente como solo está en supercie" por el teorema
de de Leipsc6it
 
n la siguiente gura se muestra el potencial en + capas considerando
en su soluci9n las corrientes que suben y ba/an.
1
r =∫
0
segunda , 2=
tercera , 3=
cuarta , 
Jo ( r ) d
7ara 6allar el #alor de ' en cada capa debemos determinar el #alor de A
1"2"3" etc  y ; 1"2"3"etc. stos coecientes se determinan a partir de las
condiciones de frontera para un campo el!ctrico de tal manera que nos
queda un sistema de igual n4mero de ecuaciones e igual n4mero de
inc9gnitas.
ondici9n 1 En1=0 en z=0
ondici9n 2  E t 1= Et 2  en todas las interfaces
ondici9n 3 J n1=J n2  en todas las interfaces
Cao de do capa
Condici/n 1
 esto se logra fácilmente del lado del aire
porque J n0=J n1=σ 0 En0,=σ 1 En1 +
"
entonces se 6ace que J n0=0
. $el lado de la capa de tierra   σ 1 5 0
" por
interface airetierra.
 ∂
 4
¿∫¿
3,
 A1=B1   para  JnG-
∫ 0
n la supercie Aire@ierra  A1=B1(1)  
Condici/n 2
7ara las otras interfaces J n 1=J n2∴σ 1 E 41=σ 2 E 4 2
Aplicando la condici9n a6ora para 8G6
σ 1 ∂, 1
∂ 4  =σ 2
∂
∂ 4 ∫ ¿
Duitando las integrales se supone que la ecuaci9n se cumple con%
−σ 1 e − 4−σ 1  A1 e
− 4+σ 1 B1e  4¿ 4=)
=−σ 2 A2 e − 4¿ 4=)

−  )+σ 1 B1e  )=−σ 2 A2e
− )
  &2(
Condici/n *
 @ambi!n sabemos que Et  es continuo en la interface" entonces V 1 y V 2 tambi!n
3)
, 1=, 2 so#o en#ainter*ace 4=)
e − 4+ A1 e
=∫ 0

∫ ¿
 A1=B1 &1(
−  ) &2(
 
La soluci9n de las tres ecuaciones se resuel#e por sustituci9n.
ustituyendo 1 en 2
−  )+σ 1 A1 e  )=−σ 2 A2 e
−  ) ..(4)
 A2= σ 1
2 ) ) ..(7)
Bgualamos ? y ,
σ 1
(1+e 2 ) )
2
)e 2 )
σ 1+σ 2
  = σ 1−σ 2
7ero B1= A1   y
 A2  no nos interesa pues las mediciones las 6aremos
en supercie" si utili8áramos po8os entonces a60 si importar0a  A2 .
omo quedar0a , 1 en4=0G
+-
 
 4)| 4=0 Jo ( r ) d
1+ A 1 +B
 A1=    

(1+2 A1)Jo ( r ) d F9rmula para fuente supercial de un
polo
sta es la soluci9n general para , 1  con NnO capas y
 A1  contiene la
informaci9n de cuantas capas 6ay" resisti#idad y espesor. Al t!rmino
(1+2 A1)  se le conoce como Sernel de tefanesu. s #álido solo para
interface airetierra.
l Sernel es #álido s9lo en la frontera airetierra.
n resumen para el caso de 2 capas"  A1  trae informaci9n de las capas
de aba/o"  A2  debe traer informaci9n de arriba y aba/o. i fueran más
capas  A1,  cambiaria.
 @area%
a( <acer la transformada de <anel para la ecua. $e Laplace en
coordenadas cil0ndricas.
 
b( Jracar el Sernel de tefanesu" la funci9n de ;essel de orden
cero y el producto.
 A1−B1=0
e − 4+ A1e
− 4+ B1e  4)=σ 2(− A 2e
− 4) ¿
 A1   B1 A2
[   1   −1 0
σ 1 e − 4)
La soluci9n de este sistema puede ser por Sramer" u otros programas
7ara * capas
e− 4 e 4 −e− 4 −e 4 0
−σ 1e − 4
σ 1e  4
 4 0
σ 2 e  4
σ 3 e − 4](
 
II. E:i%a!encia en e! cao de #re capa
La expresi9n para el potencial , 
1  queda
, 1=  ρ1 - 
2'  ∫ 0
$onde%
 = 1− /
CASO PARA UNA CAPA DELGADA
7or series de @aylor" se puede demostrar que para capas intermedias
muy delgadas" podemos truncar al segundo t!rmino.
e −2  )2
≅1−2 ) 2
 /1≅
7AKA >EA A7A $LJA$A I KB@B'A
l caso en el cual )2)1 y ρ2 ρ1 y ρ3 se o"tieneue
+3
$onde producto  ρ
2 ) 2  se la resistencia total de la capa delgada. n un
proceso de in#ersi9n. Los m!todos recuperan me/or los #alores mas
altos. l producto  ρ2 )2  es casi del mismo tamagno que los demás
t!rminos" por eso no se puede recuperar   ρ2  y
  )2 por separado. 5 sea"
que si es un t4nel super resisti#o y delgado" solo podremos determinar
la resistencia. 5 cupamps que el t4nel sea grueso para poder determinar
los parámetros separados.
7AKA >EA A7A $LJA$A I 5E$>@5K
i )2)1 y ρ2 ρ1 y ρ3 se o"tieneue
 /1≅  σ 3−σ 1−  σ 2)2
σ 3+σ 1+  σ 2 )2
++
 
n la relaci9n anterior σ 1   y
σ 3  se puede recuperar por separado
pero σ 2  no se puede recuperar por tratarse de una capa muy delgada.
$onde el producto σ 2 )2  se le llama la conductancia de esa capa
conductancia= )2
/emplo%
>n modelo con σ 2 )2   constante producirá la misma resistencia" por
e/emplo &*--(&1(G&2*-(&2(" estos modelos producirán la misma
resistencia" es decir que 6ay una equi#alencia.
i la capa intermedia es conductora quiere decir que
)2
 ρ2
2 =
2
4
5 sea que para capas intermedias delgadas existe un fuerte problema
de equi#alencia. sto nos indica que solo aquellas capas intermedias
que no sean tan delgadas" #an a producir una respuesta signicati#a en
 ρa   y al 6acer el problema in#erso" podremos intentar recuperar
espesores y resisti#idades de esa capa intermedia.
n este e/emplo no se puede
resol#er por separado   )2  y
 ρ2
+*
 
Apro#ec6ando este principio de equi#alencia existen algoritmos que
a/ustan la cur#a de  ρa  con muc6as capas delgadas. 5b#iamente no es
lo me/or" pero es un m!todo aproximado" y es rápido" pues las
ecuaciones se simplican.
II.5 SOLUCION RECURSIA DEL SISTEMA DE ECUACIONES. METODO DE PAERIS
l m!todo de 7aeris es el que se utili8a para determinar los coecientes
A y ; para n capas" a6ora será una soluci9n num!rica.
e − 4+ A1
(¿e − 4+B1e
 4)Jo ( r )d
, 2=  ρ1 - 
 An e − 4
Jo ( r )d
in embargo para utili8ar la ecuaci9n de recurrencia de 7aeris debemos
denir , 1 3
ecuaciones. $ebido a que  A1 "
  A2  "   B2  etc. son funciones arbitrarias
de   " pero que no conocemos. 7ara un sistema recursi#o" no es 4til
+?
 
@1=B1   @2=B2   @n=0
l ob/eti#o de resol#er el sistema es 6allar los #alores de  A1 "
  A2   "
 An B13B23 Bn
7ero al cambiar de #ariable a6ora el ob/eti#o es encontrar
∅13∅2 3∅n 3 @13 @2 3@n
Aplicando las condiciones de frontera%
, i=, i+1
σ i ∂, i
−  4i+∅i+1 e −  4i+@i+1e
  4i(1)
1
 ρi
 ρi+1
 la ecuaci9n
+@i+1 e
2  4i..(3)
 ρi+1
$i#idiendo 3 entre +
 ρi( 1+∅i+@i e 2  4i
1+∅i−@1 e 2  4i )= ρi+1( 1+∅i+1+@i+1 e
2  4i
i denimos ( 1+∅i+1+@i+1e 2  4i
1+∅i+1−@i+1e 2  4i )=  i+1 + (5 )
7or lo tanto para   i
  i (  )=( 1+∅i+@ie 2  4i−1
1+∅i−@i e 2  4i−1 ) +(6)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
GGGGGG
  1 (  )=( 1+∅1+@1e 2  4i−1
+)
 
1 (1)
1+∅1−∅1(1))   1 (  )=1+2∅1−→erne#de :te*anes7u
ontinuando" podemos expresar , 1 en t!rminos de S a esto se le llama
#ran+or$ada de !a rei#i%idad.
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
GGGGGGG
Kegresando a nuestro intento por obtener una ecuaci9n recursi#a.
$espe/ando 1+∅i
@i  de &?(
1+∅i+@i e 2  4i−1=  i(1+∅i−@i e
2  4i−1)
(1+∅i )−  i (1+∅i )=−  i @i e 2  4 i−1−@i e
2  4i−1
1+∅i
 ρi
2 4 i
2  4i
i−1−(  i−1)e 2  4
i= ρi+1  i+1
 ρi(¿¿ i+1)e 2  4i−1+(  i−1)e2  4i
¿ ¿
  
     
(¿¿ i+1)−(¿¿ i−1)e 2 ( 4i− 4i−1)= ρi+1  i+1
¿ (¿¿ i+1)+(  i−1)e2 ( 4i− 4i−1)
¿  ρi¿
i denimos t i= 4i− 4i−1  y además  !i=
  ρi
 ρi+1
$esglosando y #ol#iendo a agrupar" la idea es de/ar a   i+1  sola
  i+1= !i
  i (1+e 2 t i )−(e2  t i−1)
(e2 t i+1 )−  i(e 2  t i−1)
<ay una identidad para la tangente 6iperb9lica en t!rminos de
exponenciales.
  i+1= !i
  i−tanh (  t i ) 1−  i tanh (  t i )
sta ecuaci9n no es 4til pues necesitamos saber   i  para calcular
  2
La ecuaci9n de recurrencia funciona al re#!s" despe/amos   i
  i=   i+1+ !i tanh (  t i )  !i+  i+1 tanh (  t i )
−→ Ecuaci.nderecurrencia de !a7eris
  3= 1+∅1+@1 e
2 4i−1
=1  en la 4ltima capa
  2=   3+ !2 tanh  (  t 2 )  !2+  3 tanh  (  t 2 )   en la otra capa
  1=   2+ !1 tanh  (  t 1 )  !1+  2 tanh  (  t 1 )
=1−2∅1  debe ser igual aunque no se #ea ob#io.
e llega a la capa 1 numericamente" no anal0ticamente. in embargo"
podemos demostrar el caso para dos capas anal0ticamente
analiticamente. @area.
n el sistema de recurrencia sabemos el S de la 4ltima capa y de
manera recurrente llegamos a   
2 '  ∫
0
, 1=  ρ1 - 
2 '  ∫ 0
¿  7ara un polo polo
s conocida como la transformada de la resisti#idad que incluye al
Sernel de tefanescu donde a6ora ∅1 G
  A1 . Ia podemos calcular , 1
para un medio de NnO capas con una fuente y un receptor distantes por
NrO.
II. E<prei/n de  ρa  para n $edio de $!#icapa con arre'!o
#e#rapo!are
   1 (  ) J 
0(¿ r)d
, 1=  ρ1 - 
, =,  ( A$ )−,  ( B$ )−,  ( A< )+, (B< )
   1
0
, =  ρ1 - 
2'   ¿
i existiera una pequePa inclinaci9n en las capas se tendr0a que resol#er.
e podr0a reducir a tres integrales" pues la distancia AMG;E.
 ρa=2 '   , 
 -    = D− D
= D− D=   −2 a
7ero a6ora como las computadoras son rápidas podemos usar la
denici9n general que es%
==(   1

−1
7ero igual se puede usar la denici9n de ,   y J en su expresi9n
general y no especicas. <ace algunas d!cadas a6orrar tiempo en la
computadora signicaba muc6o" a6ora no tanto.
Para n arre'!o Sc3!$&er'er
 ρa=' r 2 E (
 - 
on la aproximaci9n de A; muc6o mayor que ME" recordemos que nos
queda en t!rminos del campo el!ctrico en x y r que es A;H2.
 ρa=' r 2 E (
 - 
*+
 
2'    ∫  1 [−J 1 ( r ) d]
 E (= −∂, 
∂ r  =
+ ρ1 - 
2 '   ∫
0

  1 J 1 ( r ) d→so#ounainte%ra# %racias a#a apro(imaci.n
$onde r=  AB
n t!rminos de  ρa
  1 (  ) J 1 ( r ) d
on la expresi9n anterior se pueden calcular las cur#as de resisti#idad
aparente en lugar de
, =, ( A$ )−,  (B$ )−,  ( A< )+, (B< )  
7ero la expresi9n nos obliga en el campo a respetar  AB /2>5 $<  .
Ecaci/n en #"r$ino de n e$i9epacio.
7oniendo la ecuaci9n anterior en t!rminos del primario
  

0
2∫¿
 ρa=   ρ1 e*ecto
 pertur"acion de"ida
II.4 ASINTOTAS ?ORIONTALES DE LA CURA SC?LUMBERGER
7ara conocer el comportamiento de la curca c6lumberger debemos
saber c9mo se comporta   1 (  )  para  =0 y = " recordemos que las
unidades de T son in#ersas de la distancia" pues están en el n4mero de
onda.
e puede demostrar en el caso de 2 capas que
    1 (  )= ρ2 cuando →0   y   1 (  )= ρ1 cuando (→
Al termino   1 (  )   tambi!n se le conoce como transformada de la
resisti#idad.
  1= 1+  ρ1
de la cur#a de  ρa  del c6lumberger.
 ρa(r )=r 2∫
r
r  nos queda%
1
  1 (  3 r ) 1 J 1 ( 1 ) d1
1( 7ara el limite donde r tiende a cero" equi#ale a  →  
 ρa (r )= ρa (r )= ρ1∫ 0

1 J 1 (1 ) d1= ρ1
*,
 

1 J 1 (1 ) d1= ρ2
sto es para el caso de 2 capas" pero para NnO capas es decir el l0mite
cuando r→  
 ρa (r )= ρn
7ara aberturas pequePas de A;H2  ρa= ρ1  y para aberturas muy
grandes  ρa≅ ρ2
5tra propiedad importante es que la máxima pendiente de la cur#a de
 
Kecordemos que cuando decimos 2$ nos referimos a que la
conducti#idad en la tierra #ar0a solo en 2 coordenadas" porque los
campos son tridimensionales" debido a que la fuente es puntual. Muc6os
a esto le llaman 2.*$. olo cuando los campos son #erdaderamente 2$"
entonces se dice que estructura y campos son 2$.
∇ σ +∇, +σ 2∇2 , =0
$onde σ =*  ( ( 3 4 ), =* ( ( 3 y 3 4 )
in embargo existen soluciones anal0ticas para esta ecuaci9n diferencial"
para estructuras simples. @al es el caso de un contacto #ertical" una
capa inclinada" un cilindro" una esfera" etc" el primero es uno de los más
sencillos porque se resuel#e por el m!todo de imágenes.
Dipo!o dipo!o
  =(2−1)/(2+1)
A5 1
l siguiente caso anal0tico de un contacto #ertical se obtiene ' con el
m!todo de imágenes &coecientes de re:exi9n( empleando un arreglo
enner. l m!todo calcula el efecto de 1 y 2 &electrodos de corriente(
medidos en 71  y 72 &electrodos de potencial( de las corrientes que se
transmiten y se re:e/an.
na +
na+a +
2 s
na +
?-
 
na  )] ,  ( !2 )=
 - ρ 2
a+na )]
A5 +
, ( !1 )=  - ρ2
na +   −  
 - ρ2
a+na +
A5 *
,  ( !1 )=  - ρ
na
II.12 Seni&i!idad $"#odo dipo!o9dipo!o
La sensibilidad es la forma como se altera una medici9n debido a un
cambio en la conducti#idad. J9me8@re#iPo demostr9 que para cualquier
caso de m!todos el!ctricos y electromagn!ticos la funci9n de
sensibilidad es%
E ISOTROPICOS
∇ σ +∇, +σ ∇2 , =
7ara 2$ 7ara 3$ σ =*  ( ( 3 4 )   σ =*  ( ( 3 y 3 4 )
, =*  ( ( 3 y 3 4 )   , =*  ( ( 3 y 3 4 )
7ara resol#er esta cuaci9n diferencial" existen al menos 3 m!todos.
1.9 Di+erencia
r 0 )σ (r )d
3
r
III.19.Di+erencia 8ni#a
s uno de los m!todos más accesibles para resol#er cualquier ecuaci9n
de manera num!rica.
Kesol#iendo para 3$
σi 3 6 3 7  =σ 
σ i+1=σ i+1, 6 3 7 
σ  6+1=σ i 3 6+1,7 
$onde las direcciones son% / →y"
→8" i→x
∂, 
∂ (   ≅
∂ 2
( 2
?*
 
( 2
y 2
4 2
σ i+1−σ i−1
2 (   +
2 y   +
2 4   +
4 ( 2   ;σ  y=
4 y 2   ;σ  4=
σ 7 +1−σ 7 −1
4 4 2
Keordenando la ecuaci9n &1(
σ  ( , i+1−σ  ( , i−1+σ  y ,  6+1−σ  y ,  6−1+σ  4 , 7 +1−σ  4 , 7 −1+   σ 
( 2  , i+1−
¿
III.29.E!e$en#o 8ni#o
s otro m!todo para resol#er la ecuaci9n diferencial" pero la diferencia
es que aqu0 nos queda una integral del tipo%
 F (, )=∑ J 
$onde ∇ + J s−→&rmino de#a *uente
?,
 
 F (, ) W s una funci9n ob/eti#o que depende del potencial y cuyo
ob/eti#o es minimi8arla. l prop9sito del m!todo de elementos nitos" es
6allar los potenciales N'O dentro de los nodos tales que la energ0a del
sistema sea m0nima. La re/illa de elementos nitos puede ser arbitraria"
pero por lo regular es triangular.
III.*9.Ecaci/n in#e'ra!
La ecuaci9n diferencial de <elm6olt8 se puede pasar a una ecuaci9n
integral
∇ 2  E+  2 E=0→ yacontiene a #asecuaciones de $a(1e##
e puede pasar a la ecuaci9n de cattering
de
campo
 ρ   ontiene la informaci9n 6eterog!nea del medio
 ρ0  ontiene la parte 6omog!nea del medio &sin el cuerpo que produce
ρ2(
?)
 
ro   &x"y( coordenadas de la fuente
Lo que nos dice esta ecuaci9n es que una perturbaci9n en la resisti#idad
del medio produce una perturbaci9n en el campo NO medido a tra#!s de
una funci9n de sensibilidad representada por la funci9n de Jreen y el
ampo el!ctrico interno.
i es 6omog!neo #a a medir un campo NO en el receptor" si alteran la
6omogeneidad" entonces #a a 6aber una #ariaci9n de ese campo. sa
#ariaci9n será pequePa o grande de acuerdo a la sensibilidad f0sica del
m!todo. sa funci9n está formada por  E(r0 3 ρ)   que es el campo
el!ctrico medido dentro del cuerpo y suponiendo que está a60. s el
campo el!ctrico debido a una fuente el!ctrica NO debido a una fuente
el!ctrica en supercie.
=(r 3 ρ0)  s el campo el!ctrico medido en supercie &receptor( debido a
un dipolo puntual locali8ado en cada punto dentro del cuerpo
perturbador" este dipolo puede estar orientado en  ( 3 y 3 4  y medido en
el receptor  ( 3 y 3 4 3  la Funci9n de Jreen es un articio matemático que
supone que colocamos una fuente el!ctrica a lo largo del #olumen 'R la
cual es medida en los electrodos receptores.
n el campo suponiendo que el cuerpo no está a60" por eso solo depende
de  ρ0 " el campo el!ctrico debido a la fuente &dipolo el!ctrico o bobinas
para M@( y el medido debido a la presencia del cuerpo con ρ2  que
produce scattering.
E=∫ , K 

?
 
=(y→campomedido en yde"idoaundipo#o en (
=(4→campomedido en4 de"ido a undipo#o en(
=y(→campomedido en( de"idoaundipo#o en y
= ´ E (=(( =(y =(4
=y( =yy =y4
=4( =4y =44 )
La funci9n de Jreen parece complicada pero es fácil de calcular pues
son solo campos el!ctricos debidos a dipolos el!ctricos puntuales dentro
de un semiespacio 6omog!neo. xisten soluciones anal0ticas en los
libros que nos dan la expresi9n para cada elemento.
DE (r0 )→es #a pertur"aci.nde#Campoe#&ctricomedicoen#a super*icie
i 6acemos modelado
se ca#cu#a
Dρ (r0)= 1
C  ∫= (r 3 ρ0 ) +E (r 3 r0 3 ρ )Dρ(r)d
3 r
n el caso in#erso%
,-
 
desconocido
ρ(r )
desconocido
d, K 
Li X 5lderborg &1?2( di/eron" porque no consideramos  E (r 3 r0 3ρ )  como
 E(r 3 r0 3 ρ0)  para un semiespacio 6omog!neo" sto ser0a posible si  ρ  no
es muy diferente de  ρ0 .
sto es equi#alente a
ρa ( ro )=  1
C  ∫ , 
= ( r 3 ρ0 ) 8 E (r 3 r03 ρ0 )ρ (r )d, +∫ , 
= (r 3 ρ0 )−E (r 3 r0 3)
di*erenciade E
noes )omo%eneo
ρ(r)d, K 
omo no puedo resol#er la segunda integral la 6ago - ba/o el argumento
de contrastes pequePos de resisti#idad o sea DE ( ρ )  es casi -
>na #e8 que lo con#ierto a semiespacio 6omog!neo.
Dρa(ro)L   1
conocido
Al 6acer E ( ρ )  casi -" se #uel#e una aproximaci9n
;a/o esa aproximaci9n
 ρa(r )L ρ0+ 1
C  ∫ , 
= (r 3 ρ0 )8 E(r 3r0 3 ρ0)Dρ (r )d, K 
,1
 
n el caso de Li X 5ldenburg promedian las obser#aciones  ρa   y
suponen el  ρ
0 = promedio de ρa . $e la ecuaci9n anterior ellos requieren
que  ρ (r )   no se des#i! muc6o de  ρ0 " para que la aproximaci9n
funcione.
 ρ1 ρ2 ρ3ρn node"enser muy di*erentesde ρ0
n 1? J9me8 obtiene una ecuaci9n integral muy diferente a la de
cattering
 E(r )=∫= (r 3 ρ ) + E (r 3 r0, ρ ) ρ(r )d 3 r
7arte de una deri#ada de Frec6et" que es como una expansi9n de @aylor
y e#al4a el Sernel en el mismo sitio.
*  ( ( )=*  (a )+ ∂ *  (a ) ∂(i
 ρ (r )=  1
C  ∫= (r 3 ρ ) +E (r 3 r0 3 ρ ) ρ (r )d3
r
,2
, 
= (r 3 r0 3 ρ0 )8 E(r 3 ρ)ρ(r)d, K 
J9me8  ρa (r )=∫
, 

= (r 3 r0 3ρ )8 E(r 3 ρ) ρ (r)d, K 
In%eri/n
%cattering  ρa(r ) ρ
= ( r 3 r 0
3 ρ 0 ) 8 E (r 3 ρ)ρ (r)d, K 
Góme!  ρa (r )∫
, 

= (r 3 r0 3 ρ )8 E(r 3 ρ) ρ(r )d, K 
J9me8 utili8a un sistema lineal M = ( Lo que se 6ace es medir
promedios" y con la in#ersi9n lo que tratamos es de des promediar.
7ara cattering
 ρn tampoco de"e ser muy di*erente de ρ0
,3
 ρn−1  y ρn node"en ser muy di*erentes
 ρ1 y ρn puedensermuydi*erentes de"idoa
ueno estamosamarradosa ρ 0  podemos permitirnos a#ores
de resistiidad mayores y espaciados
'enta/a num!rica de in#ersi9n con ecuaci9n de J9me8
 ρ (r )=∫= (r 3 r0 3ρ0 ) + E (r 3 ρ0 ) ρ (r )d, 
i suponemos que medimos sobre un semiespacio 6omog!neo  ρ (r )  se
#uel#e constante por lo tanto se puede sacar de la integral
,+
 
I..19. E+ec#o #opo'r78co
Kecordemos que en la supercie no 6ay componente 8" por lo tanto las
equipotenciales deben ser normales a la supercie. n supercies
irregulares como #alles y crestas las l0neas equipotenciales se deforman"
pero siempre son normales a la supercie del terreno.
omo  ρa=2' 
resistividad aparente&
n los #alles se medirán ' grandes y por lo tanto ρa  es grandes.
n un semiespacio de ρ constante parecerá una anomal0a con
resisti#idades muy grandes que podr0a interpretarse como una
ca#erna. n crestas o lomas se medirán ' menores por lo tanto menores
ρa. n un semiespacio de ρ constante parecerá que 6ay presencia
de un conductor. l tamaPo del dipolo &ME( en el #alle o cresta determinara que el
efecto topográco se mayor &dipolos del tamaPo del #alle o de la
,*
 
, =∫  $ 
 < 
 E +d#
,   es un promedio de todos campos E a lo largo del cable. i el cable
es corto podemos medir la in:uencia de ob/etos pequePos &pero tambi!n
se #en los grandes( cerca de ME.
*i#tro pasa a#tas*recuencias espacia#es
i alargamos ME" promediaremos mas los Rs a lo largo del cable. La
presencia del cuerpo pequePo desaparecerá o se ira disminuido y solo
#eremos la respuesta de ob/etos más grandes.
*i#tro pasa "a6as*recuencias espacia#es
I..*9. Carac#er0#ica de !a +en#e
Lo que llamamos fuente consiste de una fuente de poder que manda
corriente" un medidor de corriente y una resistencia interna. La corriente
puede ser $ &corriente directa( o A &corriente alterna(. n el caso de
$ puede ser una corriente que no #ar0a con el tiempo &l0nea recta( o
bien una onda cuadrada. n el caso de A puede ser un generador de
gasolina y luego se rectica 6asta obtener corriente. 7ara $ se puede
ocupar bater0as de carro u otro tipo de bater0as y esto 6ace al equipo
portable.
,?
 
n el caso de A se necesita cargar con un generador de gasolina y esto
le quita al equipo lo portable. La fuente de poder puede ser de $ o de
A de ba/a frecuencia" preferiblemente menor a ?- <8. l siguiente
diagrama muestra la con#ersi9n a corriente directa a partir de alterna.
<ay equipos que miden $ y 7.B. la 4nica diferencia es que para medir
7.B. al de/ar de inyectar corriente deben registrar mediciones.
,,
 
n el caso del supersting el tiempo estándar es de 1.2 segundos.
 @odo lo que no es de fuente articial como el 7 se ltra" los equipos
modernos miden el 7 y lo suprimen" en el caso de los equipos
artesanales suprimen el 7 en papel.
 @odo lo que no es de fuente articial como el 7 se ltra" los equipos
modernos miden el 7 y lo suprimen" en el caso de los equipos
artesanales suprimen el 7 en papel. Los equipos comerciales modernos
miden 7 antes de inyectar corriente y luego lo quitan.
<ay equipos #ie/os como el ;ison que tambi!n traba/an con ondas
cuadradas.
E5@A. uando los datos están ruidosos" ya sea porque el receptor está
muy le/os o la resistencia de contacto es muy ba/a entonces ,   son
tan pequePos que andan en el ni#el de precisi9n del equipo.
i ya no se puede inyectar más corriente" alargo la onda y el periodo de
integraci9n para me/orar la estad0stica de ,  .
,)
 
Al inyectar corriente en la cresta y el #alle de la onda cuadrada estoy
midiendo $V7Ve" por lo que tengo errores en las mediciones de las
resisti#idades. La forma de disminuir este error es inyectar corriente por
más tiempo ya que el equipo 6ace un promediado de la sePal y con eso
se disminuye el error &e(.
La fuente consiste de una fuente de #olta/e &bater0a" generador( y una
resistencia #ariable.
l #olta/e de la fuente no es /o pero no excede al de la bater0a usada" es
casi constante.
resistencia de#a *uente+resistenciade# terreno
La suma de los t!rminos del denominador se pretende que sea
constante independientemente de que ambos sean #ariables.
La resistencia del terreno es
 /esistenciade# terreno= /esistencia especi*ica+ /esistenciade contacto
La mayor0a de los equipos modernos tratan de inyectar una corriente
casi constante" se ocupa una resisti#idad de la fuente #ariable" para
,
 
posible y por eso se acostumbra anotar en un papel o en un disco duro
este #alor.
I..)9. Carac#er0#ica de! recep#or
onsiste de un #olt0metro con muy alta impedancia" debido a que las
corrientes son muy pequePas" como , = /-    y la corriente es muy
pequePa" entonces ocupamos una K muy grande para que ' sea
medible por un multimetro con#encional.
)-
 
POLARIACION INDUCIDA
La polari8aci9n inducida es una t!cnica más reciente que el resto de las
t!cnicas en geof0sica" desde los aPos 2-s los 6ermanos c6lumberger
obser#aron el efecto de sobre#olta/e" pero fue 6asta los aPos *-s"
cuando el fen9meno se empe89 a estudiar sistemáticamente en los
traba/os de iegel.
l efecto de sobre#olta/e es un efecto bien conocido en sicoqu0mica. l
efecto de 7B consiste básicamente en que al de/ar de inyectar corriente
en el suelo" el #olta/e en el receptor no cae s4bitamente sino que tarda
en 6acerlo" y esta ca0da depende del tipo de suelo" algunos 6an
comparado la cur#a de 7B con una cur#a de un circuito de descarga K
&resistencia capacitor(.
l efecto de 7B se puede medir en el dominio del tiempo &cur#a de
decaimiento( pero tambi!n en el dominio de la frecuencia &para ondas
de frecuencia /a(.
e dice que el efecto de 7B es debido a un efecto de almacenamiento de
energ0a" qu0micamente este almacenamiento se puede reali8ar de las
siguientes maneras
1. 'ariaci9n en la mo#ilidad de los iones de los :uidos a tra#!s de la
roca.
2. 'ariaci9n entre la conducti#idad i9nica y electr9nica cuando 6ay
minerales metálicos en la roca.
)1
.19. Po!ari>aci/n de $e$&rana
La conducci9n electrol0tica es la predominante o 4nica" cuando no 6ay
minerales metálicos en la roca. La roca debe ser porosa y permeable
para permitir la mo#ilidad de iones de los :uidos cuando 6ay un campo
el!ctrico aplicado.
uando cesa s4bitamente el campo el!ctrico los iones tardan un tiempo
en regresar a su estado original. @ardaran más si las trayectorias son
tortuosas. i la porosidad es muy alta rápidamente se neutrali8aran y si
la porosidad es muy ba/a no 6abrá mo#imiento de iones y el efecto de 7B
será ba/o.
l mayor efecto de 7B está entre ambos l0mites. Los granos de arcilla
tambi!n impedirán a los iones positi#os regresar rápidamente a sus
posiciones originales. i 6ay muc6a arcilla &que ocupe todo el poro( el
efecto de 7B disminuye y si no 6ay arcilla en el poro el efecto de 7B
tambi!n disminuye.
l máximo está entre 1-Y del poro. stos no son todos los factores que
afectan la polari8aci9n de membrana pero si los más importantes por su
magnitud.
)2
.29. Po!ari>aci/n e!ec#r/dica
ste tipo es similar al de membrana pero existe cuando 6ay minerales
metálicos" existe conducci9n electrol0tica y un poco de electr9nica"
ocurre una reacci9n qu0mica en las paredes del mineral metálico.
xiste un efecto de electrolisis entre el grano metálico y electrol0tico
&:uido dentro del poro(. <ay intercambio de electrones entre el metal y
la soluci9n de iones" a este efecto se le conoce en sicoqu0mica como
sobre#olta/e.
sto produce un retraso adicional en el tiempo de recuperaci9n de los
iones.
Los minerales con alta conducti#idad i9nica son los que desarrollan
polari8aci9n electr9dica como%
ilmenita" calciterita" y tambi!n el grato(.
uando cesa el campo el!ctrico las cargas tardan un tiempo en llegar a
la normalidad" pues la supercie del metal mantiene pegadas las cargas
por un tiempo.
l efecto de polari8aci9n electr9dica depende de la porosidad" de la
concentraci9n de granos de metal" pero es un fen9meno que
principalmente se desarrolla alrededor de la supercie de los granos
metálicos.
)3
 
La suma de supercie en la pirita maci8a es menor a la suma de
supercie en la pirita diseminada.
 $ =  1
argabilidad &unidades en milisegundos(
.* Apro<i$aci/n de Sie'e!
e dice que 6ay una aproximaci9n entre el efecto de 7B en el tiempo y en
la frecuencia" la cargabilidad es igual a la resisti#idad en $ menos la
resisti#idad #ariable con la frecuencia y normali8ando por la resisti#idad
en $.
1− $ 
sto quiere decir que datos de 7B en forma de cargabilidad se pueden
transformar a su equi#alente en resisti#idad. >na #e8 en resisti#idad
)*
 
I.1 In#rodcci/n
l m!todo del 7otencial espontáneo &elfpotencial o pontaneous
potential( es un m!todo de prospecci9n el!ctrica que tu#o sus or0genes
en la b4squeda de recursos minerales" si bien su uso se ampli9 al mundo
de la ingenier0a ci#il y medioambiental" resultando ser una 6erramienta
eca8 en el análisis de problemas de ltraci9n de aguas en el subsuelo.
 @!cnica de aplicaci9n generali8ada en la d!cada de los )- y principios de
los -" 6oy en d0a es una t!cnica en desuso dadas las prestaciones que
nos ofrecen otros m!todos en este ámbito &i.e. @omograf0a el!ctrica(. in
embargo su sencille8 del equipo que precisa as0 como la facilidad de
implementaci9n en el campo /ustican como 6erramienta de
reconocimiento general en aplicaciones en ing. ci#il" medio ambiental y
principalmente para registro de po8os /ustican la descripci9n de este
m!todo
Las in#estigaciones de las propiedades el!ctricas naturales del subsuelo
están basadas en la medici9n de diferencia de potencial entre un par de
electrodos implantados en la tierra. Las diferencias naturales en el
potencial ocurren en relaci9n a los cuerpos del subsuelo donde ellos
mismos crean sus propios campos el!ctricos. Los cuerpos act4an como
simples celdas #oltaicasQ su potencial tiene origen a ni#eles
electroqu0micos. Las corrientes naturales &llamadas corrientes tel4ricas(
:uyen a tra#!s de la corte8a y manto terrestre. n el estudio de los
potenciales y las corrientes naturales" los cient0cos no tienen control
sobre la fuente de origen. sto restringe las interpretaciones" las cuales
son mayoritariamente a ni#el cualitati#o. Los m!todos naturales no son
tan 4tiles como los m!todos de inducci9n controlada" tal como las
t!cnicas de resisti#idad y electromagn!ticas" pero son baratas y rápidas.
)?
 
terreno la diferencia de potencial el!ctrica generada de forma natural en
el subsuelo" generados y asociado a diferentes fen9menos como las
#ariaciones de las propiedades del terreno &6umedad" composici9n"
etc.(" presencia de cuerpos metálicos" acti#idad biol9gica de la materia
orgánica" etc.
I.2 Principio Te/rico
l 7 tiene fuentes de ruido como las corrientes tel4ricas" deri#a de los
electrodos" efectos topográcos asociados con potencial electrocin!tico"
potencial foto#oltaico y cambios en la composici9n del suelo" 6umedad y
cubierta #egetal. 7ero en sitios las l0neas de electricidad" metales
enterrados y cualquier ob/eto de metal en contacto con el suelo
incrementan el ni#el de ruido. n la mayor0a de los casos el ni#el de la
sePal de 7 es de uno o dos 9rdenes de magnitud arriba del ruido de
fondo.
6en/$eno :e indcen e! Po#encia! Epon#7neo
• $ifusi9n y potencial de membrana.
7otencial que está asociado con gradientes en concentraci9n de
especies i9nicas en el subsuelo que pre#een potenciales de difusi9n. i
los aniones y cationes in#olucrados tienen diferente mo#ilidad" resulta
entonces diferencias de equilibrio que creará un potencial el!ctrico. l
campo el!ctrico resultante dependerá de la rapide8 o lentitud de
mo#ilidad i9nica y alcan8ar la electroneutrolidad. n equilibrio" el
potencial de difusi9n d está dado por%
),
 
uni#ersal de los gases" @ es la temperatura absoluta" F es la constante
de Faraday y 1 y 2 es la concentraci9n de la soluci9n creada por el
gradiente de difusi9n. n general" este mecanismo puede crear
anomal0as de decenas de mili#olts y es s9lo fuente de ruido en la
mayor0a de los estudios de 7 &Eyquist" 2--2(.
• 7otencial de Membrana y potencial de difusi9n.
s considerado como Npotencial de arcillaO en los registros de po8os. i
la arcilla está en contacto con areniscas" desarrolla un #olta/e a tra#!s
del contacto porque la arcilla es impermeable a iones de Ea pero no lo
es para iones de l. La difusi9n del Ea de la arenisca en la arcilla dispone
un potencial de gradiente que tiende a lle#ar a los iones de Ea de
regreso a la arenisca.
l equilibrio entre la difusi9n y la carga el!ctrica lle#ada por la migraci9n
del ion está dado por la ecuaci9n de Eernst" que es el potencial de
difusi9n sin la diferencia en la mo#ilidad de iones.
• 7otencial ;ioelectrico
La acci9n de las ra0ces de las plantas en la selecci9n de iones y bombeo
de agua pueden crear anomal0as 7. La ad6esi9n de iones selectos en
))
 
mili#olts. ambios abruptos en el 7 pueden ser notados en el campo
cuando 6ay cambios de #egetaci9n" asociados com4nmente a cambios
en la composici9n del suelo o rocas subyacentes.
• 7otencial lectrocin!tico
 @ambi!n conocido como potencial de electroltraci9n o potencial 8eta" el
potencial electrocin!tico ocurre cuando agua u otro :uido corre a tra#!s
de un cuerpo de arenoso" roca porosa" morrenas" basaltos" etc. n áreas
de alta precipitaci9n" topograf0a abrupta y rocas porosas" el potencial
electrocin!tico puede ser de gran amplitud.
l fen9meno fue estudiado por primera #e8 por <elm6olt8 en el siglo UBU.
7ara el :u/o en un tubo capilar en el que corre un electrolito el campo
el!ctrico" " &'m1( está dado por%
$onde% ZG contante diel!ctrica del electrolito &Fm1(" [G resisti#idad del
electrolito &\m(" ] G parámetro determinado por la pared capilar del
material y el electrolito" p G gradiente de presi9n &7a m1(" y = G
#iscosidad dinámica del electrolito &7a s(. es el la misma direcci9n del
gradiente de presi9n" y opuesto al :u/o del electrolito.
• 7otencial Kedox
)
 
siendo los más notables los cuerpos de sulfuros" mediciones de 6asta 2
#olts 6an sido reportadas. ste potencial aparentemente surge de
reacciones geoqu0micas de oxidoreducci9n" equi#alente a una pila
gal#ánica de electroqu0mica.
n 1?-" ato y Mooney propusieron el modelo clásico de
funcionamiento de esta reacci9n geoqu0mica" se modela un deposito de
sulfuros sobre el ni#el freático" en donde tienen lugar reacciones de
oxidoreducci9n con el cuerpo de mineral" que act4a como un
conductor. iendo pues" la parte superior e inferior del dep9sito mineral
como los dos polos de una pila gal#ánica. La parte superior &ánodo(
cargada negati#amente y la parte inferior &cátodo( cargada
positi#amente. n respuesta a la carga el!ctrica" los iones migran a
tra#!s de los poros de la roca rodeando el cuerpo mineral de sulfuros. La
medici9n de la anomal0a 7 en supercie es simplemente la ca0da de
potencial creada por el patr9n de :u/o de corriente.
•  otencial termoeléctrico
-
 
considerables atribuibles a la combinaci9n de efectos de gradientes de
temperatura y mo#imiento de :uidos ioni8ados subterráneos" con
amplitudes de decenas 6asta centenas de m' y polaridad positi#a que
re:e/an mecanismos de polari8aci9n que ocurren a profundidad &Fini8ola
A." 2--+(.
I.* O&Fe#i%o de! $"#odo
l m!todo del 7otencial espontáneo se basa en medir entre dos puntos
del terreno" cual es la diferencia de potencial el!ctrica generada de
forma natural en el subsuelo.
l origen de estos campos el!ctricos naturales &potenciales
espontáneos( está asociado a diferentes fen9menos como por e/emplo a
las #ariaciones de las propiedades del terreno &cambios de 6umedad" de
su qu0mica" etc.(" la presencia de cuerpos metálicos" acti#idad biol9gica
de la materia orgánica" etc.. in embargo de todo el con/unto de
potenciales espontáneos" el que nos interesa es el denominado 7otencial
electrocin!tico &lectroinetic potential o treaming potential( dado que
su g!nesis está ligada al paso de un :uido a tra#!s de un medio poroso.
7or consiguiente" el ob/eti#o de este m!todo se reduce simplemente a
detectar en nuestro registro de campo" las #ariaciones espaciales del
potencial electrocin!tico si es que se está interesado en esta
componente del fen9meno.
I.) E:ipo
l equipo necesario para una adquisici9n 7 es muy simple" consiste de
un #olt0metro de gran impedancia interna y altamente sensible" !ste
mide la diferencia de potencial espontáneo entre dos electrodos
implantados en la tierra. imples estacas metálicas son inadecuadas
para este m!todo debido a la polari8aci9n que ocurre en ellas.
1
 
Keacciones electroqu0micas toman lugar entre el metal y la 6umedad de
la tierra causando falsas cargas en los electrodos" las cuales pueden
falsear u obscurecer las lecturas naturales del potencial espontáneo.
xisten dos m!todos usados muy com4nmente en campo" para medir el
potencial espontáneo%
&b(% principalmente usado para perla/e de po8os.
$e electrodos no polari8ables existen de di#ersos tipos siendo los de +
!u ^!u"# los más utili8ados.
2
I.- Con#ro! de Da#o en Ca$po
7ara el control de los datos en campo se 6ace uso de la ley de las
NmallasO o tensiones de Sirc6o_ que enuncia NEn toda malla la suma de
todas las ca$das de tensi%n es igual a la suma de todas las su&idas de
tensi%nO
I. Proceado e in#erpre#aci/n de !o da#o
7ara cada perl obtendremos una gráca" en donde en el e/e de abscisas
colocaremos cada una de las estaciones de medida que conformen el
perl" mientras que en el e/e de ordenadas ubicaremos cada uno de los
#alores del potencial espontáneo medido.
3
 
A6ora" nuestro ob/eti#o consiste en detectar y ltrar los diferentes
NruidosO y NerroresO que puedan existir en nuestras medidas" a n de
quedarnos simplemente con las #ariaciones espaciales del potencial
electrocin!tico. u magnitud suele ser del orden de algunas decenas de
m'. ste proceso puede ser muy complicado en 8onas de ele#ado ni#el
de ruido &i.e. ardona(.
Además de los perles" tambi!n es muy frecuente confeccionar mapas
de isol0neas de potencial electrocin!tico" en los que a partir del aumento
o disminuci9n relati#a del #alor del potencial en el sentido del :u/o"
podremos caracteri8ar el problema de ltraci9n en el subsuelo.
A la 6ora de interpretar los resultados" la #ariaci9n exacta del potencial
espontáneo en 8onas con presencia de :u/os de agua" es una funci9n
comple/a que depende de aspectos tales como la secci9n geoel!ctrica"
la intensidad del :u/o" o la profundidad y geometr0a de !ste &ilt and
orwin(. in embargo en la práctica" y como resultado de di#ersos
estudios as0 como de la experiencia acumulada en casos reales" se 6an
obser#ado ciertas tendencias en el comportamiento del potencial que se
usan a modo de reglas en la interpretaci9n.
n el caso de anali8ar los resultados obtenidos a tra#!s de los perles"
identicaremos como 8onas susceptibles de presentar ltraciones"
aquellas 8onas en donde se produ8can anomal0as negati#as" es decir un
descenso relati#o del #alor del potencial electrocin!tico.
$ado que en la naturale8a mayoritariamente tenemos soluciones salinas
mono y bi#alentes" la capa m9#il de la doble capa de <elmot8 está
compuesta por cationes" de forma que los iones positi#os son
transportados en la direcci9n del :u/o &;ogolo#sy(.
sto conlle#a que en el caso de traba/ar con mapas de isol0neas" en
+
 
sub6ori8ontal o descendente &i.e. Al penetrar tra#!s de un dique de
tierra o ba/o el fondo de un reser#orio(" en general obser#aremos una
disminuci9n relati#a del #alor del potencial en el sentido del :u/o
&anomal0a negati#a(" mientras que si el :u/o tiene una trayectoria
ascendente con respecto a la supercie del terreno" generalmente se
producirá un aumento relati#o del potencial en el sentido del :u/o.
;ogolo#sy Q orwin.
in embargo e independientemente de los aspectos anteriormente
*
 
anomal0as positi#as &l0nea de referencia de las lutitas usada en registro
de po8os(" mientras que 8onas con predominio de material arenoso
pueden producir anomal0as negati#as. n deniti#a" y dada la #ariedad
de factores que in:uyen en las anomal0as del potencial" la interpretaci9n
de los datos obtenidos dependerá de las caracter0sticas de cada
problema en concreto.
I.5 Se$i9In#erpre#aci/n ca!i#a#i%a
e basan prácticamente en la determinaci9n de la profundidad de una
estructura simple de datos de potencial espontaneo" a/ustando una
geometr0a simple &esfera" cilindro 6ori8ontal y cilindro #ertical( a un
perl de donde se reconoce una :exi9n positi#a o negati#a. Mas detalles
en Abdelra6aman et al.
e parte de la siguiente ecuaci9n que es la expresi9n de una anomal0a
producida por una estructura geol9gica simple%
donde% 8 es la profundidad" es el ángulo de polari8aci9n" S es el
momento dipolar el!ctrico" x es la coordenada de posici9n y q es un
factor relacionado por la estructura enterrada y que es igual a -.*" 1.- y
1.* para un cilindro #ertical semiinnito" cilindro 6ori8ontal y esfera
respecti#amente.
?
 
-2 5 -2 0 -1 5 -1 0 -5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 -20 0
-15 0
-10 0
-50
0
50
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5
2
2.5
3
3.5
4
Fa ctor ge om étrico q
 p
s= 2
s= 3
s= 4
s= 5
La gura muestra el efecto causado en supercie por un cilindro
6ori8ontal a 3m de profundidad" a +- grados de ángulo de polari8aci9n" y
un momento dipolar de ?-- m'.
A la derec6a el resultado de la in#ersi9nmodelaci9n lineali8ando la
,
 
Fundamentos de la teor0a M" Co6n Keits" Fondo ducati#o
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