APUNTES - METODOS NUMERICOS

MTODOS NUMRICOS

Facultad de Ingeniera

L.I. Victor Fernndez Rosales [email protected]

Mtodos numricos 2015

1 | P g i n a Victor Fernndez Rosales

Tabla de contenido Introduccin. ....................................................................................................................................... 4

Mtodos numricos ............................................................................................................................ 5

Historia ............................................................................................................................................ 5

Objetivo de su utilizacin ................................................................................................................ 5

Razones por las cuales se estudian mtodos numricos ................................................................ 6

Dnde se utilizan? ......................................................................................................................... 6

Algoritmo ......................................................................................................................................... 6

Propiedades que deben cumplir los algoritmos numricos............................................................ 8

Convergencia ............................................................................................................................... 8

Estabilidad ................................................................................................................................... 8

Errores ................................................................................................................................................. 9

Sistemas numricos......................................................................................................................... 9

Conversin de un nmero binario al sistema decimal ................................................................ 9

Conversin de nmeros enteros del sistema decimal a binario ................................................. 9

Manejo de nmeros en la computadora ...................................................................................... 10

Nmeros enteros....................................................................................................................... 10

Nmeros reales (punto flotante) .............................................................................................. 10

Causas de errores graves en computacin ................................................................................... 11

Suma de nmeros muy distintos en magnitud ......................................................................... 11

Resta de nmeros casi iguales .................................................................................................. 11

Overflow y Underflow ............................................................................................................... 12

Tipos de errores ............................................................................................................................ 13

Error inherente .......................................................................................................................... 13

Error de redondeo ..................................................................................................................... 13

Error por truncamiento ............................................................................................................. 13

Estimacin del error por mtodos iterativos ................................................................................ 15

Ejercicios. ....................................................................................................................................... 17

Solucin de ecuaciones algebraicas y trascendentes ...................................................................... 18

Mtodo grfico .............................................................................................................................. 19

Tipos de mtodos .......................................................................................................................... 20

Mtodos cerrados o acotados....................................................................................................... 20



Mtodo de la Biseccin o Mtodo de Biparticin del Intervalo ............................................... 21

Ejercicios. ................................................................................................................................... 25

Mtodo de la Regla Falsa o de la Falsa Posicin ....................................................................... 26

Ejercicios. ....................................................................................................................................... 29

Mtodos abiertos .......................................................................................................................... 30

Mtodo del Punto Fijo............................................................................................................... 30

Ejercicios. ................................................................................................................................... 34

Mtodo de Newton-Raphson .................................................................................................... 35

Mtodo de Newton-Raphson Modificado para el clculo de races mltiples ......................... 38

Ejercicios. ................................................................................................................................... 41

Mtodo de la Secante ............................................................................................................... 42

Ejercicios. ................................................................................................................................... 45

Mtodo de Mller ..................................................................................................................... 46

Solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas .............................................................. 48

Mtodos directos .......................................................................................................................... 50

Mtodo de Eliminacin de Gauss .............................................................................................. 50

Mtodo de Gauss-Jordan .......................................................................................................... 54

Ejercicios. ................................................................................................................................... 59

Mtodos Iterativos ........................................................................................................................ 60

Matriz diagonalmente dominante. ........................................................................................... 60

Mtodo de Jacobi o de los desplazamientos simultneos ........................................................ 60

Ejercicios. ................................................................................................................................... 64

Mtodo de Gauss Seidel .......................................................................................................... 65

Ejercicios. ................................................................................................................................... 68

Interpolacin..................................................................................................................................... 69

Aproximacin polinomial simple e interpolacin ......................................................................... 70

Ejercicios. ................................................................................................................................... 73

Polinomios de Lagrange ................................................................................................................ 74

Ejercicios. ................................................................................................................................... 77

Polinomio de Newton (Diferencias divididas) ............................................................................... 78

Ejercicios. ................................................................................................................................... 82

Integracin numrica ....................................................................................................................... 83



Frmulas de integracin de Newton-Cotes .................................................................................. 84

Regla del Trapecio ......................................................................................................................... 84

Ejercicios. ................................................................................................................................... 87

Regla del Trapecio Compuesta ...................................................................................................... 88

Ejercicios. ................................................................................................................................... 90

Regla de Simpson .......................................................................................................................... 91

Regla de Simpson 1/3 .................................................................................................................... 91

Ejercicios. ................................................................................................................................... 93

Regla de Simpson 1/3 Compuesta ................................................................................................ 94

Ejercicios. ................................................................................................................................... 96

Regla de Simpson 3/8 .................................................................................................................... 97

Ejercicios. ................................................................................................................................... 99

Regla de Simpson 3/8 Compuesta .............................................................................................. 100

Ejercicios. ................................................................................................................................. 102

Mtodo de Romberg ................................................................................................................... 103

Ejercicios. ................................................................................................................................. 106

Bibliografa ...................................................................................................................................... 107



Introduccin.

Al momento de aplicar las Matemticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analticamente o de manera exacta y cuya solucin debe ser abordada con ayuda de algn procedimiento numrico. A continuacin consideramos algunos problemas tpicos, ya formulados matemticamente, para los cuales estudiaremos tcnicas numricas de solucin.

Problema 1. Encontrar el rea de la regin comprendida entre las grficas de: y=2senx, y=e-x con x [0, ]. Problema 2. Encontrar las races de la ecuacin polinmica: x5 + 11x4 21x3 10x2 21x 5 = 0 Problema 3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) El sistema lineal AX=b con:

=

[ 2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 2 ]

=

[ 32221 ]

b) El sistema no-lineal

{2 + 3 = 9

32 3 = 4

Problema 4. Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta funcin y = f(x),

xk -2 -1 0 1 2 3

f(xk) -5 1 1 1 7 25

Problema 5. Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales:

1

0

2

1

0

1 2

4 ()

2

0

1

3

2

En relacin con los problemas anteriores, tenemos que: En el problema 1, es necesario determinar los puntos de interseccin de las grficas de y=2senx y y=ex, para lo cual debemos resolver la ecuacin 2senx = ex y no disponemos de un mtodo algebraico para hacerlo. En el problema 2, se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5 y, como sabemos, slo se conocen mtodos algebraicos para encontrar races de ecuaciones polinmicas de grado menor o igual que 4. En el problema 3, tenemos dos sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal y conocemos mtodos de solucin (por ejemplo, el mtodo de eliminacin Gaussiana), sin



embargo, para sistemas de tamao mayor, no slo es conveniente sino necesario implementar tales mtodos a travs del computador (mtodo numrico). En la parte b) tenemos un sistema no-lineal y no conocemos mtodos algebraicos generales para resolverlo. El problema 4, se puede resolver analticamente (por interpolacin), sin embargo para determinar los coeficientes de dichos polinomios existen tcnicas que permiten encontrarlos rpidamente y que pueden implementarse en el computador. El problema 5, corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivada que no es elemental.

Mtodos numricos Es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solucin de ciertos problemas realizando clculos puramente aritmticos y lgicos (operaciones aritmticas elementales, clculo de funciones, consulta de una tabla de valores, clculo proposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste en una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas (algoritmo), que producen o bien una aproximacin de la solucin del problema (solucin numrica) o bien un mensaje. La eficiencia en el clculo de dicha aproximacin depende, en parte, de la facilidad de implementacin del algoritmo y de las caractersticas especiales y limitaciones de los instrumentos de clculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de clculo se introducen errores llamados de redondeo.

Historia

Antes del uso o aparicin de la PC, haba 3 mtodos diferentes que se aplican a la solucin de problemas:

1. Usando mtodos exactos o analticos (stos tienen un valor prctico limitado ya que son aplicables a una clase limitada de problemas).

2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas (resultados no muy precisos, tediosos y difciles de implementar sin ayuda de una PC).

3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras manuales y reglas de clculo (son tediosos, lentos y no existen resultados consistentes). Antes de la aparicin y uso del PC se gastaba mucha energa en la tcnica misma de solucin, en lugar de aplicarla sobre la definicin del problema y su interpretacin.

Objetivo de su utilizacin

El objetivo principal del anlisis numrico es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando slo las operaciones ms simples de la aritmtica. Se



requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas que producen la aproximacin al problema matemtico.

Razones por las cuales se estudian mtodos numricos

Son algoritmos que establecen la secuencia de soluciones de sistemas de ecuaciones de gran tamao, con caractersticas de ser no lineales y geomtricas complicadas, porque la mayor parte de los problemas reales tienen este comportamiento, y que por lo general su solucin es muy complicada a travs de mtodos analticos.

Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos bsicos de los mtodos numricos ms comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendr la necesidad de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los algoritmos de problemas reales y que estn basados sobre algn mtodo numrico.

Con los mtodos numricos el ingeniero usar la computadora como herramienta, el cual es uno de los propsitos, porque el profesionista debe de olvidarse de los clculos, y enfocarse en el diseo y planteamiento de la solucin de los problemas.

Proporciona una mayor comprensin de las matemticas, ya que reducen las matemticas superiores a operaciones bsicas simples.

Dnde se utilizan?

Los mtodos numricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemticos en:

Clculo de derivadas

Integrales

Ecuaciones diferenciales

Operaciones con matrices

Interpolaciones

Ajuste de curvas

Polinomios, etc.

Algoritmo

Es una secuencia lgica de pasos necesarios para ejecutar una tarea especfica tal como la solucin de un problema. Caractersticas de los algoritmos

Preciso: Definir de manera rigurosa, sin dar lugar a ambigedades.

Definido: Si se sigue un algoritmo dos veces, se obtendr el mismo resultado.

Finito: Debe terminar en algn momento.

Puede tener cero o ms elementos de entrada.

Debe producir un resultado: Los datos de salida sern los resultados de efectuar las instrucciones.



Etapas para la solucin de un problema

1. Anlisis del problema, definicin y delimitacin (macro algoritmo). Considerar los datos de entrada, el proceso que debe realizar la computadora y los datos de salida.

2. Diseo y desarrollo del algoritmo (se utiliza seudocdigo, escritura natural del algoritmo, diagramas de flujo, etc.).

3. Prueba de escritorio. Seguimiento manual de los pasos descritos en el algoritmo. Se hace con valores bajos y tiene como fin detectar errores.

4. Codificacin. Seleccin de un lenguaje de programacin y digitalizacin del seudocdigo haciendo uso de la sintaxis y estructura gramatical del lenguaje seleccionado.

5. Compilacin o interpretacin del programa. El software elegido convierte las instrucciones escritas en el lenguaje a las comprendidas por la computadora.

6. Ejecucin. El programa es ejecutado por la computadora para llegar a los resultados esperados.

7. Depuracin. (debug). Operacin de detectar, localizar y eliminar errores de mal funcionamiento del programa.

8. Evaluacin de resultados. Obtenidos los resultados se los evala para verificar si son correctos. (Un programa puede arrojar resultados incorrectos aun cuando su ejecucin no muestre errores)

Un algoritmo se puede representar mediante un diagrama de flujo la cual nos da una representacin grfica en la cual se emplean bloques y flechas. Ejemplo: Algoritmo para la solucin de la suma de 2 nmeros cualquiera.

1. Inicio 2. Solicitar el valor de a 3. Solicitar el valor de b 4. Sumar a con b y asignar a c la respuesta 5. Imprimir el valor de c 6. fin

Problema Diseo del

algoritmo

Programa de

computadora



Propiedades que deben cumplir los algoritmos numricos

Convergencia

Se entiende por convergencia la garanta de que, al realizar un nmero de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez ms al valor verdadero.

Estabilidad

Cuando en un algoritmo o mtodo numrico el crecimiento de los errores que traen los datos es lineal, entonces se dice que el algoritmo o mtodo numrico es estable y los resultados que nos arroje sern vlidos, por el contrario si el crecimiento del error es exponencial entonces el algoritmo es inestable y no puede tomarse como vlidos los resultados obtenidos.



Errores Los mtodos numricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones

exactas; la discrepancia entre una solucin verdadera y una aproximada constituye un error,

por lo que es importante saber qu se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los

errores para minimizarlos.

Sistemas numricos

Conversin de un nmero binario al sistema decimal

Teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Ejemplos:

Conversin de nmeros enteros del sistema decimal a binario

De una palabra de 16 bits el primero debe ser el signo donde (0) es positivo y (1) es negativo y los 15 bits restantes son para el nmero, esto nos da un intervalo de: 0000000000000000 a 1111111111111111 que en decimal es de -32,767 a 32,767.

Mtodo: Se realizan divisiones sucesivas por 2 y se escriben los restos obtenidos en cada divisin en orden inverso al que han sido obtenidos. (Nota: el residuo se multiplica por 2 para sacar el resto).

Ejemplos:

4710= (en una palabra de 16 bits) =1011112 47/2 =23 resto 1 23/2 =11 resto 1 11/2 =5 resto 1 5/2 =2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1 / 2 = 0 resto 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

52510= (en una palabra de 16 bits) =10000011012 525/2 =262 resto 1 262/2 =131 resto 0 131/2 =65 resto 1 65/2 =32 resto 1 32/2 = 16 resto 0 16/2 = 8 resto 0 8/2 = 4 resto 0 4/2 = 2 resto 0 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1

10110012= 1x26 + 0x25+ 1x24+ 1x23+ 0x22+ 0x21+ 1x20= 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 =8910

1010102= 1x25+ 0x24+ 1x23+ 0x22+ 1x21+ 0x20= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 =4210



Manejo de nmeros en la computadora

Por razones prcticas, solo se puede manejarse una cantidad finita de bits para cada nmero en una computadora, y esa cantidad o longitud vara de una maquina a otra. Para una computadora dada, el nmero de bits generalmente se llama palabra. Las palabras van de 8 hasta 64 bits, por ejemplo una palabra de 32 bits puede dividirse en 4 bytes (8 bites cada una).

Nmeros enteros

Cada palabra, cualquiera que sea su longitud, almacena un nmero, aunque en ciertas circunstancias se usan varias palabras para contener un nmero. Por ejemplo, considrese una palabra de 16 bits para almacenar nmeros enteros. De los 16 bits, el primero representa el signo del nmero; un cero es un signo ms y un uno un signo menos. Los 15 bits restantes pueden usarse para guardar nmeros binarios desde 0000000000000000 hasta 1111111111111111. Ejemplo:

Nmeros reales (punto flotante)

Para almacenar un nmero real se emplea en su representacin binaria, llamada de punto flotante la notacin. 0.d1d2d3d4d5d6d7d8 X 2 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 Donde d1=1 y dj y d j con i=2, 8 y j=1,2,,7 pueden ser ceros o unos, y se guarda en una palabra. En los bits del 1 al 7 se almacena el exponente de la base 2 y en los 8 bits restantes la fraccin. Segn en el lenguaje de los logaritmos, la fraccin es llamada mantisa y el exponente caracterstica.

-12510= -11111012

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1



Ejemplo:

Causas de errores graves en computacin

Suma de nmeros muy distintos en magnitud

Ejemplo: 0.002 =0.2000 x 10-2 600 =0.6000 x 103 Nmeros normalizados

.000002 x 103 + .600000 x 103

.600002 x 103 Como solo se puede manejar 4 dgitos, los ltimos 2 son eliminados y la suma es .6000 x 103, por lo que la suma nunca se realiz.

Resta de nmeros casi iguales

Ejemplo: .2145 x 100

- .2144 x 100 .0001 x 100

Que normalizado el resultado es: 0.1 x 10-3 Como solo existe un digito significativo se sugiere no confiar en su exactitud.

-125.3210= -1111101.0101000111101012 Normalizado queda (en base a la especificacin de IEEE 754): -.1111101010100011110101 X 2 + 111 (7 en binario, que fue el corrimiento del punto a la izquierda) bits truncados en el almacenamiento Signo mantisa (nmero) Caracterstica positiva (exponente)

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

Caracterstica Mantisa



Overflow y Underflow

Con frecuencia una operacin aritmtica con 2 nmeros vlidos da como resultado un nmero tan grande o tan pequeo que la computadora no puede manejarlo. Ejemplo:

0.5000 x 108 x 0.2000x 109

0.1000 x 1017 El producto es muy grande y no puede almacenarse porque la caracterstica requiere 3 dgitos y se produce un overflow. El underflow puede aparecer en la multiplicacin o divisin, y por lo general no es tan serio como el overflow; las computadoras casi nunca envan mensajes de underflow. Ejemplo en Matlab: Cuando se suma 10,000 veces 0.0001 con l mismo, debe resultar 1; sin embargo, el nmero 0.0001 en binario resulta en una sucesin infinita de ceros y unos que se trunca al ser almacenada en una palabra de memoria, con lo que se perder informacin y el resultado de la suma ya no ser 1.

function error=error() % function para demostrar el error format long s=0; for i=1:10000 s=s+0.0001; end disp(s) s=1; for i=1:10000 s=s+0.0001; end disp(s) s=1000; for i=1:10000 s=s+0.0001; end disp(s) s=10000; for i=1:10000 s=s+0.0001; end disp(s)



end Resultados: 0.999999999999906 1.999999999999890 1.000999999999749e+003 1.000099999999293e+004

Tipos de errores

Error inherente

En muchas ocasiones, los datos con que se inician los clculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud fsica. As por ejemplo, el dimetro de la seccin de una varilla de acero presentara un error segn se haya medido con una cinta mtrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

Error de redondeo

Como no es posible guardar un nmero binario de longitud infinita o un nmero de ms dgitos de los que posee la mantisa de la computadora que se est empleando, se almacena slo un nmero finito de estos dgitos; como consecuencia, se comete automticamente un pequeo error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable.

Error por truncamiento

Los errores por truncamiento ocurren cuando un nmero, cuya parte fraccionaria est constituida por un nmero infinito de dgitos, requiere ser representado numricamente en forma aproximada, utilizando un nmero de cifras significativas. Por ejemplo 3.1416 es una buena aproximacin del nmero , pero el valor exacto no puede ser expresado numricamente por completo, pues consta de un nmero infinito de dgitos: 3.1415926535; lo mismo ocurre con el 2.7183 para el nmero e, el 1.4142 para 2, y el 0.333333 para 1/3. Sin embargo, todos los nmeros, ya sean enteros, racionales o irracionales, pueden ser representados a travs de formulaciones matemticas exactas, utilizando series infinitas; obviamente, las representaciones numricas acotadas a un determinado nmero de cifras significativas, son aproximaciones numricas que llevan implcitos errores por truncamiento. Por ejemplo, los nmeros 1, 1/3 y e pueden expresarse matemticamente, de manera exacta, a travs de las siguientes series infinitas: 1=1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/3= 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3/1000000 + e=1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! +



Para ambos tipos de errores la relacin entre el resultado exacto, o verdadero y el aproximado est dado por: valor verdadero = valor aproximado error El error numrico o error verdadero se define como: = [ ] El error relativo porcentual se define como:

=

100% [ ]

Ejemplo: Calcular el error numrico y error relativo porcentual de un terreno: Se mide un terreno con un flexmetro y nos da las siguientes medidas: base=215 mts. y de altura=105 mts. Posteriormente se mide el mismo terreno con un teodolito y nos da las siguientes medidas: base=217 mts y de altura 108 mts. = Et = 217-215 = 2 mts.

=

100%

=2

217 100% = 0.9216%

Ejemplo: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9,999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, calcule: a) el error numrico b) el error relativo porcentual en cada caso: Solucin:

a) El error numrico en la medicin del puente es: Et= 10,000 - 9,999 = 1 cm y en la del remache es de: Et = 10 - 9 =1 cm.

b) El error relativo porcentual para el puente es:

=1

10,000 100% = 0.01%

Altura Base



y para el remache es de:

=1

10 100% = 10%

Por tanto, aunque ambas medidas tienen un error numrico de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en la medicin del puente; mientras que la estimacin para el remache dej mucho que desear.

Estimacin del error por mtodos iterativos

Uno de los retos que enfrentan los mtodos numricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos mtodos numricos usan un mtodo iterativo para calcular los resultados. En tales mtodos se hace una aproximacin considerando la aproximacin anterior. Este proceso se efecta varias veces, o de forma iterativa, para calcular en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones. En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximacin previa y la actual. Por tanto, el error aproximado porcentual est dado por:

= |

| % [ ]

Un caso muy interesante es una investigacin que realiza Scarborough 1966, en que determin el nmero de cifras significativas que contiene el error como: Si reemplazamos el Error esperado (Es) en la ecuacin obtendremos el nmero de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. = (.

)% = [ ] Planteamiento del problema: En matemticas con frecuencia las funciones se representan mediante series infinitas. Por ejemplo, el clculo exacto de la funcin exponencial de un nmero mediante la Serie de Taylor requiere infinitos sumandos.

= 1 + +2

2!+3

3!+. . +

!

As cuantos ms trminos se le agreguen a la serie, la aproximacin ser cada vez ms una mejor estimacin del valor verdadero de ex. Ejemplo: Si calculamos la serie anterior con el valor de e con x=0.5 para la funcin con un error menor al 0.05.



Calculando el error numrico y el error aproximado porcentual (Ea) empezando con el 1er termino y posteriormente agregando ms trminos (1, 2, 3, etc.) hasta que el valor absoluto del valor aproximado sea menor al criterio prestablecido, que es que contemple 5 cifras significativas. Solucin: e0.5= 1.648721 En primer lugar la ecuacin del error esperado (Es) se emplea para determinar el criterio de error que asegura que un resultado sea correcto en al menos tres cifras significativas: Es= (0.5 x 10 2-5) %= 0.5 x 10-3= 0.05% para x=0.5 1er termino: 0.5 = 1 =1

=(10)

1 100% = 1% = 100

2o termino: 0.5 = 1 + =

0.5 = 1 + 0.5 = .

=(1.51)

1.5 100% = 0.3333% = 33.333

3er termino: 0.5 = 1 + +2

2!=

0.5 = 1 + 0.5 +(0.5)2

2!= .

=(1.6251.5)

1.625 100% = 0.0769% = 7.692

4o termino: 0.5 = 1 + +2

2!+3

3!=

0.5 = 1 + 0.5 +(0.5)2

2!+(0.5)3

3!= .

=(1.6458333331.625)

1.645833333 100% = 0.0127% = 1.266

5o termino: 0.5 = 1 + +2

2!+3

3!+

4!=

0.5 = 1 + 0.5 +(0.5)2

2!+(0.5)3

3!+(0.5)4

4!= .

=(1.6484375001.645833333)

1.648437500 100% = 0.00158% = 0.158

6o termino: 0.5 = 1 + +2

2!+3

3!+

4!+

5!=

0.5 = 1 + 0.5 +(0.5)2

2!+(0.5)3

3!+(0.5)4

4!+(0.5)5

5!= .

=(1.6486979171.648437500)

1.648697917 100% = 0.000158% = 0.016



Trminos Resultado Ea (%) Es(%)

1 1 100 0.05

2 1.5 33.3

3 1.625 7.69

4 1.645833333 1.27

5 1.648437500 0.158

6 1.648697917 0.0158

As despus de usar seis trminos, el error aproximado porcentual (Ea) =0.0158 es menor que el error esperado (Es)=0.05 y el clculo termina.

Ejercicios.

1. Convierta los siguientes nmeros decimales a los sistemas con base 2.

a) 536 b) 923 c) 1536

2. Convierta los siguientes nmeros dados en binario a sistema decimal.

a) 1000 b)10101 c)111111

3. Calcule el valor de e a la -8.3 para la funcin:

= 1 +2

2!3

3!+..

y

=1

=

1

1 + +2

2+3

3!+

Compare con el valor verdadero de 4,023.87239 y comente los resultados. Use 25

trminos para evaluar cada serie.



Solucin de ecuaciones algebraicas y trascendentes Antes de la llegada de las computadoras digitales se dispona de una serie de mtodos para encontrar las races de ecuaciones algebraicas y trascendentes. En algunos casos las races

se obtenan con mtodos directos, como se hace con la ecuacin =24

2 para

resolver f(x)= ax2+ bx + c=0 Sin embargo existen ecuaciones como est, que se resuelven directamente y aparecen muchas ms en las que no es posible encontrar solucin. Por ejemplo, incluso una funcin tan simple como f(x)= e-x x no se puede resolver en forma analtica. En tales casos, la nica alternativa es una tcnica con solucin aproximada. Un mtodo para obtener una solucin aproximada consiste en graficar la funcin para determinar dnde cruza el eje de las x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0 es la raz. Aunque los mtodos grficos son tiles en la obtencin de estimaciones de las races, tienen el inconveniente de que son poco precisos. Otro mtodo es el de prueba y error. Esta tcnica consiste en elegir un valor de x y evaluar si f(x) es cero. Si no es as se hace otra eleccin y se evala nuevamente f(x) para determinar si el valor ofrece una mejor aproximacin de la raz. El proceso se repite hasta que se obtenga un valor que proporcione una f(x) cercana a cero; por lo tanto se crearon mtodos ms exactos y fciles de adoptarlos a las computadoras, reduciendo as el tiempo en encontrar la solucin y en la exactitud de estos. Una funcin dada por y= f(x) es algebraica si se puede expresar de la siguiente manera: fnyn + fn-1yn-1 + + f1y + f0 = 0 donde las f son polinomios en x los polinomios son un caso simple f(x)= a0 + a1x + a2x2 + + anxn donde las a son constantes Ejemplos: f(x)= 1 - 2.5x + 7x2

f(x)= 3x2 - x3 + 7x5 Una funcin transcendental es una funcin que no es algebraica, incluye funciones trigonomtricas, exponenciales, logartmicas y otras menos familiares por ejemplo:

() = 2 1, () = 0.2 () = (3 0.5)

Los mtodos estndar para encontrar races, en general caen en dos reas de problemas parecidas en principio, pero fundamentalmente diferentes.



1. La determinacin de races reales de ecuaciones algebraicas y transcendentales: Estn diseadas para determinar el valor de una raz simple de acuerdo a un conocimiento previo de suposicin aproximada.

2. La determinacin de todas las races reales y complejas de un polinomio: Estn diseados especficamente para polinomios, determinan sistemticamente todas las races en lugar de una, dada una aproximacin segn una posicin.

Mtodo grfico

Un mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin y observar en donde cruza el eje X. Este punto que representa el valor de x para el cual f(x)=0 proporciona la aproximacin inicial de la raz. Ejemplo: Utilizar el Mtodo grfico para encontrar la raz de la ecuacin: f(x)=e-x-x

x f(x) resultado

-0.4 1.89 e0.4+ 0.4=1.89

-0.2 1.42 e0.2 + 0.2=-1.42

0 1.00 e0 + 0=1.00

0.2 0.62 e-0.2 0.2=0.62

0.3 0.44 e-0.3 0.3=0.44

0.4 0.27 e-0.4 0.4=0.27

0.5 0.11 e-0.5 -0.5=0.11

0.6 -0.05 e-0.6 0.6=-0.05

La raz se encuentra en: x= 0.56 Las tcnicas graficas tienen un valor prctico limitado, ya que no son precisas, estas solo se usarn para obtener las aproximaciones, las cuales se pueden ocupar como valores iniciales en los mtodos numricos.

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

f(x)



Las interpretaciones geomtricas adems de aproximar a la raz, son herramientas importantes en el aislamiento de las propiedades de las funciones previendo las fallas de los mtodos numricos, en general si f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos existe un nmero impar de races dentro del intervalo definido por los mismos, si f(xi) y f(xy) tienen el mismo signo, no hay races o existe un nmero par de ellas entre los valores dados. Por medio de las computadoras se puede acelerar las soluciones aproximadas y obtener sus caractersticas, disminuyendo el tiempo y la exactitud que se si hacen de forma manual.

Tipos de mtodos

Cerradas o acotados: {

(Requieren de dos valores de x que encierren a la raz)

Abiertos: {

(Requieren de un valor de x o dos pero que no necesariamente encierren a la raz)

Mtodos cerrados o acotados

Son mtodos que aprovechan el hecho de que una funcin en forma tpica cambia de signo en la vecindad de una raz, ya que necesitan de 2 valores iniciales para la raz. Como su nombre indica, esto valores deben encerrar o estar sobre cualquier lado de la raz. Emplean diferentes estrategias para reducir sistemticamente el tamao del intervalo y as converger a la respuesta correcta. Ejercicio para resolver en clase: Graficar la funcin: f(x)=sen10x + cos3x desde x = [-1:0.2:0.8] en Excel y Matlab.



Mtodo de la Biseccin o Mtodo de Biparticin del Intervalo

ste se clasifica como un mtodo de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de la forma f(x)=0, cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xb tales que la funcin f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo (xa x xb). Por consiguiente los valores limitantes acotan la raz.

= ( +

) []

En cada iteracin el tamao del intervalo se reduce a la mitad despus de n iteraciones, el intervalo original se habr reducido 2n veces. Algoritmo:

1. Elijase los valores iniciales xa y xb de tal manera que la funcin cambie de signo sobre el intervalo, esto se puede verificar asegurndose de que: f(xa).f(xb)



5. Asegrese que la nueva aproximacin es tan exacta como se desea, si es as entonces los clculos terminan, de lo contrario regrese al paso 3.

Ejemplo: Determinar por el mtodo de la biseccin la raz de la siguiente funcin: f(x)= e-x x, tomando 5 decimales. = (0.5 10

2)% Es = (0.5 x 102-5)% = (0.5 x 10-3)% = 0.0005%= 0.05 Mtodo de sustitucin

x f(x) resultado

-1 3.7183 exp(1) +1=3.7183

-0.5 2.1487 exp(0.5) +0.5=2.1487

0 1 exp(0) -0=1

0.5 0.1065 exp(-0.5) -0.5=0.1065

1 -0.6321 exp(-1) -1=-0.6321

1.5 -1.2769 exp(-1.5) -1.5=-1.2769

iter xa xb xr f(xa) f(xr) f(xa)* f(xr)0 xa=xr

f(xa)* f(xr)=0

Ea(%) Es(%)

1 0.5 1 0.75 0.10653 -0.277633 si no no 100 0.05

2 0.5 0.75 0.625 0.10653 -0.089738 si no no 20

3 0.5 0.625 0.5625 0.10653 0.007282 no si no 11.11111

4 0.5625 0.625 0.59375 0.00728 -0.041497 si no no 5.263157

5 0.5625 0.59375 0.57812 0.00728 -0.017175 si no no 2.702702

6 0.5625 0.57812 0.57031 0.00728 -0.004963 si no no 1.369863

7 0.5625 0.57031 0.56640 0.00728 0.001155 no si no 0.689655

8 0.5664 0.57031 0.56835 0.00115 -0.001905 si no no 0.343642

9 0.5664 0.56835 0.56738 0.00115 -0.000375 si no no 0.172117

10 0.5664 0.56738 0.56689 0.00115 0.000389 no si no 0.086132

11 0.5668 0.56738 0.56713 -13.5061 -13.50290 no si no 0.043047

f(x)= e-x x Iteracin 1 xr= (0.5+1)/2 = 0.75 f(xa)=e-0.5 -0.5= 0.1065 f(xr)=e-0.75 0.75 = -0.2776 Ea =|(0.75-0)/0.75| % = 1% = 100

Ea = |aproximacin actual aproximacin anterior| 100 % aproximacin actual

xr = (xa+xb) 2



Iteracin 2 xr= (0.5 + 0.75)/2 = 0.625 f(xa)=e-0.5 -0.5 = 0.1065 f(xr)=e-0.625 0.625 = -0.0.897 Ea =|(0.625 0.75)/0.625| % = 0.2000% = 20.00 Iteracin 3 xr= (0.5 + 0.625)/2 = 0.5625 f(xa)=e-0.5 -0.5 = 0.1065 f(xr)=e-0.5625 0.5625 = 0.0073 Ea =|(0.5625 0.625)/0.5625| % =0.1111% = 11.11 Iteracin 4 xr= (0.5625 + 0.625)/2 = 0.5938 f(xa)=e-0.5625 -0.5625 = 0.0073 f(xr)=e-0.5938 0.5938 = -0.0416 Ea =|(0.5938 - 0.5625)/0.5938| % =0.0527% = 5.27 Iteracin 5 xr= (0.5625 + 0.5938)/2 = 0.5781 f(xa)=e-0.5625 -0.5625 = 0.0073 f(xr)=e-0.5781 0.5781 = -0.0171 Ea =|(0.5781 -0.5938)/0.5781| % = 0.0272% = 2.72 Nota: Se continan las iteraciones hasta que Ea0 xa=xr;



else xb=xr; end erro=abs(((ea-xr)/xr)*100); end else fprintf('No existe la raz en el intervalo') end fprintf('\n\nResultado de la raz=%12.6f en %4d iteraciones\n',xr,i); end

Solucin en Matlab Dame la funcin: exp(-x) -x Dame el intervalo inferior: 0.5 Dame el intervalo superior: 1 Dame el porciento de error: 0.05 Resultado de la raz: 0.567139 en 11 iteraciones

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

50

100

150

200

x

exp(-x)-x



Ejercicios.

1. Determinar por el Mtodo de la Biseccin la raz de las siguientes funciones:

f(x)= x3 + 2x2 +10x -20, tomando 5 decimales. f(x)= -0.5x2+2.5x+4.5, tomando 5 decimales. f(x)= Sen(x) + 0.8 Cos(x) en [2,3] con 5 decimales. f(x)= x2-4x+3.5-In(x) en [1,3] con 5 decimales. f(x)= (x-2.1)2-7xCos(x) en [1,2] con 5 decimales.

2. Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 aos a qu tasa de inters debe hacerse el prstamo? El costo actual (P), el pago anual (A) y la tasa de inters (x) se relacionan entre s mediante la siguiente formula:

=(1 + ) 1

(1 + )

Sustituyendo datos y simplificando resulta lo siguiente:

() =(1 + )10 1

(1 + )10 5 = 0

Calclese x (inters) usando el Mtodo de Biseccin (a = 0.1 y b = 0.2)

3. Cuando se requiere encontrar la acidez de una solucin de hidrxido de magnesio

en cido clorhdrico, se obtiene la siguiente ecuacin:

f(x)=x3+3.6x2-36.4

Donde x es la concentracin del ion hidrgeno. Encuentre la concentracin del ion

hidrogeno para una solucin saturada (la acidez es igual a cero).

4. Suponga que un objeto de masa m se deja caer desde una altura S0 que es la altura del objeto con respecto al suelo, a los t segundos viene dada por:

() = 0 +

2

2(1

)

Donde S0=300 pies, m=0.25 Slugs, g=-32.17 pies/seg2 y k=0.1 lb x seg/pies. Obtenga con una precisin dentro de 0.01 seg que es el tiempo que tarda ese objeto en llegar al suelo. (Sol. 6.003418 pies)



Mtodo de la Regla Falsa o de la Falsa Posicin

Este mtodo aproxima en forma ms eficiente a la raz. Aprovecha la idea de unir los 2 puntos de intervalo mediante una lnea recta en lugar de una curva como en el caso de la biseccin, la interseccin de esta lnea con el eje x produce una mejor estimacin de la raz, el remplazamiento de la curva por una recta da una posicin falsa de la raz derivndose de esto su nombre.

El algoritmo es el mismo que el del mtodo de la biseccin, lo nico que cambia es la frmula de xr.

= () ( )

() () [ ]

Ejemplo: Determinar por el mtodo de la falsa posicin la raz de la siguiente funcin: f(x)= e-x x, tomando 5 decimales. Es=(0.5 x 102n)% Es=(0.5 x 102-5)% = (0.5 x 10-3)% = 0.0005%= 0.05

f(xa)

f(x)

x

(xb)

f(xb)

(xa)

xr

raz



Mtodo de sustitucin

x f(x) resultado

-1 3.7183 exp(1) + 1=3.7183

-0.5 2.1487 exp(0.5) + 0.5=2.1487

0 1 exp(0) - 0=1

0.5 0.1065 exp(-0.5) -0.5=0.1065

1 -0.6321 exp(-1) -1=-0.6321

1.5 -1.2769 exp(-1.5) - 1.5=-1.2769

iter xa xb xr f(xa) f(xb) f(xr) f(xa)* f(xr)0 xa=xr

f(xa)* f(xr)=0

Ea(%) Es(%)

1 0.5 1 0.5721 0.1065 -0.6321 -0.0078 si no no 100 0.05 2 0.5 0.5721 0.5672 0.1065 -0.0078 -0.000088 si no no 0.86

3 0.5 0.5672 0.5671 0.1065 -0.000088 0.000067 no si no 0.01

f(x)= e-x x Iteracin 1 f(xa)=e-0.5 -0.5 = 0.1065 f(xb)=e-1 -1 = -0.6321 xr= 1 - (-0.6321)*(0.5-1)/(0.1065-(-0.6321)) =0.5721 f(xr)=e-0.5721 0.5721 =-0.0078 si f(xa)*f(xr)



Algoritmo en Matlab para el Mtodo de la Regla Falsa o Falsa Posicin function falsaposicion=falsaposicion()

clc; f =input('Dame la funcin : ','s'); xa =input('Dame el intervalo inferior :'); xb =input('Dame el intervalo superior :'); err =input('Dame el porciento de error :');

ezplot(f), grid on f =inline(f); erro=100; xr =0; i =0; if f(xa)*f(xb)err ea=xr; xr=xb-((f(xb)*(xa-xb))/(f(xa)-f(xb))); if f(xa)*f(xr)>0 xa=xr; else xb=xr; end erro=abs(((ea-xr)/xr)*100); i=i+1; end fprintf('\n\nResultado de la raz=%12.6f en %4d iteraciones\n',xr,i); else fprintf('No existe la raz en el intervalo') end

end

Solucin en Matlab Dame la funcin: exp(-x) -x Dame el intervalo inferior: 0.5 Dame el intervalo superior: 1 Dame el porciento de error: 0.05 Resultado de la raz: 0.567144 en 3 iteraciones



Ejercicios.

Determinar por el mtodo de la falsa posicin la raz de las siguientes funciones: 1) f(x)=6x3-5x2 +7x -2, tomando 5 decimales. 2) f(x)=0.7x5-8x4+44x3-90x2+82x-25, tomando 5 decimales. 3) f(x)=sen x e-x, tomando 5 decimales. 4) f(x)= 4 sen 2x +x, tomando 5 decimales. 5) f(x)= log (2+x) x, tomando 5 decimales. 6) f(x)=0.6 e-0.3-sen 2x, tomando 5 decimales.

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

50

100

150

200

x

exp(-x)-x



Mtodos abiertos

Se basan en frmulas que requieren nicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raz. Como tales, algunas veces divergen o se aleja de la raz verdadera a medida que crece el nmero de iteraciones. Sin embargo, cuando estos mtodos convergen por lo general lo hacen mucho ms rpido que los mtodos que usan intervalos.

Mtodo del Punto Fijo

Se emplea una frmula para predecir la raz. Esta frmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo, al arreglar la ecuacin f(x)=0 de tal modo que x est del lado izquierdo de la ecuacin. x=g(x) Esta transformacin se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuacin original. Ejemplo:

x2-2x+3=0 Se arregla para obtener =2+ 3

2 (operacin algebraica)

Ejemplo: sen x=0 Se arregla para obtener x= sen x + x (sumando x en ambos lados) La ecuacin x=g(x) nos proporciona una frmula para predecir un nuevo valor de x en funcin del valor anterior de x, se utiliza para obtener una nueva aproximacin xi+1 expresada por la formula iterativa: + = () [ ] El error aproximado porcentual est dado por:

= |+1 +1

| 100% [ ]



Ejemplo: Determinar por el mtodo del punto fijo la raz de la siguiente funcin: f(x)=e-x-x, con punto de inicio en 0 y tomando 5 decimales. e-x-x = 0 se arregla para obtener x=e-x

iteracin xi xi+1 Ea(%) Es(%)

1 0 1 100 0.05

2 1 0.3679 172.19

3 0.3679 0.6922 46.85

4 0.6922 0.5005 38.30

5 0.5005 0.6062 17.44

6 0.6062 0.5454 11.15

7 0.5454 0.5796 5.90

8 0.5796 0.5601 3.48

9 0.5601 0.5712 1.94

10 0.5712 0.5648 1.13

11 0.5648 0.5685 0.65

12 0.5685 0.5664 0.37

Nota: Cada iteracin se acerca cada vez ms al valor estimado con el valor verdadero de la raz a 0.56714329, continuando las iteraciones hasta que Ea



Iteracin 1 f(x(0))=e-0 = 1 Ea=100 Iteracin 2 f(x(1))= e-1=0.3679 Ea=|(0.3679-1)/(0.3679)|%= 1.7219% =172.19 Iteracin 3 f(x(0.3679))= e-0.3679 =0.6922 Ea=|(0.6922-0.3679)/(0.6922)|%=0.4685%=46.85 Iteracin 4 f(x(0.6922))= e-0.6922=0.5005 Ea=|(0.5005-0.6922)/(0.5005)|% =0.3830% = 38.30 Iteracin 5 f(x(0.5005))= e-0.5005=0.6062 Ea=|(0.6062 -0.5005)/(0.6062)|% = 0.1744% = 17.44 Iteracin 6 f(x(0.6062))= e-0.6062 = 0.5454 Ea=|(0.5454 - 0.6062)/(0.5454)|% = 0.1115% = 11.15 Iteracin 7 f(x(0.5454))= e-0.5454= 0.5796 Ea=|(0.5796-0.5454)/(0.5796)|% = 0.0590% = 5.90

Iteracin 8 f(x(0.5796))= e-0.5796= 0.5601 Ea=|(0.5601 0.5796)/(0.5601)|% = 0.0348% = 3.48 Iteracin 9 f(x(0.5601))= e-0.5601 = 0.5712 Ea=|(0.5712 0.5601)/(0.5712)|% =0.0194% = 1.94 Iteracin 10 f(x(0.5712))= e-0.5712 =0.5648 Ea=|(0.5648 0.5712)/(0.5648)|% =0.0113% = 1.13 Iteracin 11 f(x(0.5648)) = e-0.5648 = 0.5685 Ea=|(0.5685 -0.5648)/(0.5685)|% = 0.0065% = 0.65



Algoritmo en Matlab para el Mtodo del Punto Fijo function puntofijo=puntofijo()

clc; f =input('Dame la funcin : ','s'); xi =input('Dame el punto de inicio :'); err=input('Dame el porciento de error :'); ezplot(f), grid on f =inline(f); j =0; ea =100; while err



Ejercicios.

Determinar por el Mtodo del Punto Fijo la raz de las siguientes funciones: f(x)=sen x, con punto de inicio en 1 y tomando 5 decimales. f(x)=cos x - 3x, con punto de inicio en 0 y tomando 5 decimales. f(x)=x4+8x3+11x2-32x-60, con punto de inicio en 1 y tomando 5 decimales. Encuentre una solucin de la ecuacin

2+1

= tomando como punto de inicio a x0=2 y

tomando 5 decimales.



Mtodo de Newton-Raphson

Este mtodo es el ms utilizado. Si el valor inicial para la raz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi, f(xi)] de la curva, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximacin mejorada de la raz.

El mtodo de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretacin geomtrica y se

tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

f (xi) =f(xi) 0

xi xi+1

que se arregla para obtener

+ = ()

() [ ]

El error aproximado porcentual est dado por:

= |+1 +1

| 100% [ ]

Pendiente=f(xi)

x xi

f(xi)-0

xi+1

f(xi)

f(x)

xi -xi+1



Ejemplo: Determinar por el Mtodo del Newton-Raphson la raz de la siguiente funcin: f(x)=e-x-x, con punto de inicio en 0 y tomando 5 decimales. Derivada de la funcin: f(x)= e-x-1

iteracin xi f(xi) f(xi) xi+1 Ea(%) Es(%)

1 0 1 -2 0.50 100 0.05

2 0.50 0.1065 -1.6065 0.5663 11.71

3 0.5663 0.0013 -1.5676 0.5671 0.14

4 0.5671 0.0000678 -1.5672 0.5671 0.00

Iteracin 1 xi=0 f(xi)= e0 -0= 1 f(xi)=-e0-1=-2 xi+1=0-(1/-2)= 0.50 Ea=|(0.50 - 0)/(0.50)|% =1 % =100 Iteracin 2 xi=0.50 f(xi)= e-0.50 -0.50= 0.1065 f(xi)=-e-0.50-1=-1.6065 xi+1=0.50-(0.1065/-1.6065)= 0.5663 Ea=|(0.56630.50)/(0.5663)|% =0.1171 % =11.71 Iteracin 3 xi=0.5663 f(xi)= e-0.5663 -0.5663= 0.0013 f(xi)=-e-0.5663-1=-1.5676 xi+1=0.5663-(0.0013/-1.5676)= 0.5671 Ea=|(0.5671 0.5663)/(0.5671)|% =0.0014 % =0.14 Iteracin 4 xi=0.5671 f(xi)= e-0.5671 -0.5671=0.0000678 f(xi)=-e-0.5671-1=-1.5672 xi+1=0.5671-(0.0000678/-1.5672)= 0.5671 Ea=|(0.5671 0.5671)/(0.5671)|% =0.00% =0.00



Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Newton-Raphson function newtonraphson=newtonraphson()

clc; f =input('Dame la funcin : ','s'); dx =input('Dame la derivada de la funcin: ','s'); pi =input('Dame el valor del punto de inicio: '); err =input('Dame el porciento de error :'); ezplot(f), grid on f =inline(f);

dx =inline(dx); ea =100; j =0; while ea>err xi=pi-(f(pi)/dx(pi)); ea=abs(((xi-pi)/xi)*100); pi=xi; j =j+1; end fprintf('\n\nResultado de la raz=%12.6f en %4d iteraciones\n',pi,j);

end

Solucin en Matlab Dame la funcin: exp(-x)-x Dame la derivada de la funcin: -exp(-x) -1 Dame el valor del punto de inicio: 0 Dame el porciento de error: 0.05 Resultado de la raz= 0.567143 en 4 iteraciones



Mtodo de Newton-Raphson Modificado para el clculo de races mltiples

El mtodo modificado utiliza una segunda derivada y la siguiente ecuacin.

+ = ()

()

[()] (() ()) [ ]

f(xi)= segunda derivada de la funcin Ejemplo: Determinar por el Mtodo del Newton-Raphson y por el Mtodo de Newtn-Raphson Modificado la raz de la siguiente funcin: f(x)=x3-5x2+7x-3, con punto de inicio en 0 y tomando 5 decimales. a) Por el Mtodo de Newton-Raphson 1 Derivada de la funcin: f(x)=3x2-10x+7

iteracin xi f(xi) f(xi) x(i+1) Ea(%) Es(%)

1 0 -3 7 0.4286 100 0.05

2 0.4286 0.8396 3.2651 0.6857 37.49

3 0.6857 -0.2286 1.5536 0.8328 17.66

Iteracin 1 xi=0 f(xi)= (0)3-5(0)2+7(0)-3=-3 f(xi)=-3(0)2-10(0)+7=7 xi+1=0-(-3/7)=0.4286 Ea=|(0.4286 - 0)/(0.4286)|% =1 % =100 Iteracin 2 xi=0.4286 f(xi)= (0.4286)3-5(0.4286)2+7(0.4286)-3=0.8396 f(xi)=3(0.4286)2-10(0.4286)+7=3.2651 xi+1=0.4286-(0.8396/3.2651)=0.6857 Ea=|(0.6857-0.4286)/(0.6857)|% = 0.3749% = 37.49 Iteracin 3 xi=0.6857 f(xi)= (0.6857)3-5(0.6857)2+7(0.6857)-3=-0.2286 f(xi)=3(0.6857)2-10(0.6857)+7=1.5536 xi+1=0.6857-(-0.2286/1.5536)=0.8328 Ea=|(0.8328 0.6857)/(0.8328)|% =0.1766 % =17.66 Nota: As sucesivamente hasta llegar a 12 iteraciones



b) Por el Mtodo de Newton-Raphson Modificado

1 Derivada de la funcin: f(x)=3x2-10x+7 2 Derivada de la funcin: f(x)=6x-10

iteracin xi f(xi) f(xi) f(xi) x(i+1) Ea(%) Es(%)

1 0 -3 7 -10 1.1053 100 0.05

2 1.1053 -0.0210 -0.3879 -3.3682 1.0031 10.19

3 1.0031 -0.000019 -0.0124 -3.9814 1.0001 0.30

4 1.0001 -0.00000001 -0.0003 -3.9994 1.0000 0.01

Iteracin 1 xi=0 f(xi)=(0)3-5(0)2+7(0)-3=-3 f(xi)=3(0)2-10(0)+7=7 f(xi)=6(0)-10=-10 xi+1=0 - ((-3)*(7)/((7)2 (-3)*(-10)))=1.1053 Ea=|(1.1053 - 0)/(1.1053)|% =1 % =100 Iteracin 2 xi=1.1053 f(xi)=(1.1053)3-5(1.1053)2+7(1.1053)-3=-0.0210 f(xi)=3(1.1053)2-10(1.1053)+7=-0.3879 f(xi)=6(1.1053)-10=-3.3682 xi+1=1.1053 - ((-0.0210)*(-0.3879)) / ((-0.3879)2 ((-0.0210)*(-3.3682)))=1.0031 Ea=|(1.0031-1.1053)/(1.0031)|% =0.1019 % =10.19 Iteracin 3 xi=1.0031 f(xi)=(1.0031)3-5(1.0031)2+7(1.0031)-3=-0.0000191 f(xi)=3(1.0031)2-10(1.0031)+7=-0.0124 f(xi)=6(1.0031)-10=-3.9814 xi+1=1.0031 - ((-0.0210)*(-0.3879)) / ((-0.3879)2 ((-0.0210)*(-3.3682)))=1.0001 Ea=|(1.0001-1.0031)/(1.0001)|% = 0.0030 % = 0.30 Iteracin 4 xi=1.0001 f(xi)=(1.0001)3-5(1.0001)2+7(1.0001)-3=-0.0000000199 f(xi)=3(1.0001)2-10(1.0001)+7=-0.000399 f(xi)=6(1.0001)-10=-3.9994 xi+1=1.0001 - ((-0.0000000199)*(-0.000399)) / ((-0.000399)2 ((-0.0000000199)*(-3.9994)))=1.0000 Ea=|(1.0000-1.0001)/(1.000)|% = 0.0001 % = 0.01



Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Newton-Raphson Modificado function newtonraphsonmodificado=newtonraphsonmodificado()

clc; f =input('Dame la funcin : ','s'); dx =input('Dame la 1a. derivada de la funcin: ','s'); dx2 =input('Dame la 2a. derivada de la funcin: ','s'); pi =input('Dame el valor del punto de inicio: '); err =input('Dame el porciento de error :'); ezplot(f), grid on f =inline(f); dx =inline(dx); dx2 =inline(dx2); ea =100; j =0; while ea>err xi=pi-(f(pi)*dx(pi))/((dx(pi)^2)-(f(pi)*dx2(pi))); ea=abs(((xi-pi)/xi)*100); pi=xi; j =j+1; end fprintf('\n\nResultado de la raz=%12.6f en %4d iteraciones\n',pi,j);

end

Solucin en Matlab Dame la funcin f(x) : (x^3)-(5*x^2)+7*x-3 Dame la 1a. derivada de la funcin f(x) : (3*x^2)-10*x+7 Dame la 2a. derivada de la funcin f(x) : 6*x-10 Dame el valor inicial de x : 0 Dame el porciento del error : 0.05 Resultado de la raz= 1.000000 en 4 iteraciones



Ejercicios.

1. Determinar por el Mtodo del Newton Raphson y el Mtodo de Newton Raphson

Modificado la raz de las siguientes funciones: f(x) = 6x3-8x2-10x+3, con punto de inicio en 0 y tomando 5 decimales. f(x) = x2 3x + 2 - eX, con punto de inicio en 1 y tomando 5 decimales. f(x) = x2-2xe-x+e-2x en el intervalo [0,1], sol. 0.567193...



Mtodo de la Secante

En el Mtodo de Newton-Raphson el problema que existe es la evaluacin de la derivada por lo que en este mtodo en lugar de una derivada se utiliza una diferencia dividida finita regresiva.

El planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x, sin embargo, debido a que no requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, este mtodo no es clasificado como aquellos que usan intervalos.

+ = () ( )

() () []


= |+1 +1

| 100% [ ]

Ejemplo: Determinar por el Mtodo de la Secante la raz de la siguiente funcin: f(x)=e-x-x, con valores iniciales en xi-1=0 y xi=1 y tomando 5 decimales.

iteracin xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi+1 Ea(%) Es(%)

1 0 1 1 -0.6321 0.6127 61.27 0.05

2 1 0.6127 -0.6321

-0.0708 0.5638 8.67

3 0.6127 0.5638 -0.0708

0.0052 0.5671 0.58

4 0.5638 0.5671 0.0052 0.0000678 0.5671 0.004

x xi xi+1

f(xi)

f(x)

f(xi-1)



Iteracin 1 xi-1=0 xi=1 f(xi-1)= e0 -0= 1 f(xi)=e-1-1= -0.6321 xi+1=1-((-0.6321)(0-1))/(1-(-0.6321))=0.6127 Ea=|(0.6127 - 1)/(0.6127)|% =0.6127 % =61.27 Iteracin 2 xi-1=1 xi=0.6127 f(xi-1)= e-1 -1= -0.6321 f(xi)=e0.6127-0.6127=-0.0708 xi+1=0.6127-((-0.0708)(1-0.6127)/(-0.6321-(-0.0708))=0.5638 Ea=|(0.5638-0.6127)/(0.5638)|% =0.0867 % =8.67 Iteracin 3 xi-1=0.6127 xi=0.5638 f(xi-1)= e-0.6127-0.6127=-0.0708 f(xi)=e-0.5638-0.5638=0.0052 xi+1=0.5638-((0.0052)(0.6127-0.5638)/(-0.0708-(0.0052))=0.5671 Ea=|(0.5671-0.5638)/(0.5671)|% =0.0058 % =0.58 Iteracin 4 xi-1=0.5638 xi=0.5671 f(xi-1)= e-0.5638-0.5638=0.0052 f(xi)=e-0.5671-0.5671=0.0000678 xi+1=0.5671-((0.0000678)(0.5638-0.5671)/(-0.0052-(0.0000678))=0.5671 Ea=|(0.5671-0.5671)/(0.5671)|% = 0.00% =0.0004 Algoritmo en Matlab para el Mtodo de la Secante function secante=secante() clc;

f =input('Dame la funcin : ','s'); pa =input('Dame el punto para xi-1:'); pb =input('Dame el punto para xi :'); err =input('Dame el porciento de error :');

ezplot(f), grid on f =inline(f); ea =100; i =0;



while ea>err xi =pb-((f(pb)*(pa-pb))/(f(pa)-f(pb))); ea =abs(((xi-pb)/xi)*100); pa =pb; pb =xi; i =i+1; end fprintf('\n\nResultado de la raz=%12.6f en %4d iteraciones\n',xi,i); end

Solucin en Matlab Dame la funcin: exp(-x)-x Dame el punto xi-1:0 Dame el punto xi :1 Dame el porciento de error: 0.05 Resultado de la raz= 0.567143 en 4 iteraciones



Ejercicios.

Determinar por el mtodo dela Secante la raz de la siguiente funcin: f(x)=x3 + 2x2+10x-20, con valores inicial en xi-1=0 y xi=1 y tomando 5 decimales f(x)=x4+8x3+11x2-32x-60, con valor inicial en xi-1=1 y xi=3 y tomando 5 decimales. f(x)= 3x*sen(x) ex, con valor inicial en xi-1=1.5 y xi=0.8 y tomando 5 decimales.



Mtodo de Mller

Consiste en obtener los coeficientes de la parbola que pasa por tres puntos elegidos. Cuyos coeficientes son sustituidos en la formula cuadrtica para obtener el valor donde la parbola intercepta al eje x; es decir, la raz estimada. La aproximacin se puede facilitar, si se escribe la ecuacin de la parbola en una forma conveniente. Una de las mayores ventajas del mtodo de Mller, es que al trabajar con la formula cuadrtica es posible encontrar las races reales, tanto como las races complejas. El mtodo de Mller en si es una generalizacin del mtodo de la secante.

En el mtodo de Mller se usan tres aproximaciones inciales x0, x1 y x2 con las cuales procederamos a determina la siguiente aproximacin x3, considerando la intercepcin del eje x con la parbola que pasa por (x0, f(x0)), (x1, f(x1) y (x2, f(x2)).

2() = (0 2)2 + (0 2) +

= +

[]

Dnde: = (2)

=(0 2)

2((1) (2)) (1 2)2((0) (2))

(0 2)(1 2)(0 1)

=(1 2)((0) (2)) (0 2)((1) (2))

(0 2)(1 2)(0 1)

x x0

y

y=f(x)

x1 x

2

Raz estimada

p(x)=a0 + a1x + a2x2

Raz

Parbola




= |3 23

| 100% [ ]

Realizar el mtodo de Mller en Excel y en Matlab.



Solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas Una ecuacin algebraica lineal es una ecuacin en donde en cada trmino aparece nicamente una variable o incgnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo, a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = c1, es una ecuacin algebraica lineal en las variables x1, x2, x3, , xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13,, a1n y el trmino independientec1, son constantes reales. Solucin de un sistema de ecuaciones: es un conjunto de valores de las incgnitas que verifican simultneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. De acuerdo con su solucin, un sistema puede ser compatible, si admite solucin; o incompatible si no admite solucin. Un sistema compatible puede ser determinado, si la solucin es nica; o indeterminado, si la solucin no es nica.

Teorema de Rouch Frobenius: Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada (rg (A) = rg (Aa)) entonces AX = C es compatible, y recprocamente. El corolario de este teorema es el siguiente: Un sistema Compatible ser determinado (solucin nica) si el rango de la matriz de coeficientes es igual al nmero de incgnitas r(A)=n, y ser indeterminado (infinitas soluciones) si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el nmero de incgnitas r(A) < n Las soluciones de un sistema compatible de la forma AX=C permanecen invariantes ante las siguientes operaciones elementales:

Existen diversos mtodos alternativos para encontrar soluciones de ecuaciones algebraicas

lineales simultneas como es el caso de los mtodos (el Mtodo Grafico y la Regla de

Cramer) que estn limitados a pocas ecuaciones de modo que tienen escasa utilidad para

resolver problemas prcticos.

Tipos de sistemas

Compatible Determinado: Solucin nica

Indeterminado: Infinitas soluciones

Incompatible: Sin solucin



Un sistema de m ecuaciones lineales en n incgnitas tiene la forma general:

1,11 + 1,22 + 1, = 12,11 + 2,22 + 2, = 23,11 + 3,22 + 3, = 3

,11 + ,22 + , =

Con la notacin matricial la ecuacin se puede escribir como Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incgnitas y b es el vector de trminos del lado derecho.

=

[ 1,1 1,2 1,2,1 2,2 2,3,1 3,2 3,

,1 ,2 ,]

=

[ 123]

=

[ 123]

Los mtodos numricos que estudiaremos para la solucin de un sistema de ecuaciones lineales se clasifican en dos tipos: directos e iterativos. Los mtodos directos nos proporcionan una solucin del sistema en un nmero finito de pasos; si usamos aritmtica finita para los clculos, obtendremos por lo general una solucin aproximada, debido nicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de frmula. Los mtodos directos ms usados tienen como base la Eliminacin de Gauss. En los mtodos iterativos se parte de una aproximacin inicial a la solucin del sistema dado y se genera, a partir de dicha aproximacin, una sucesin de vectores que si converge lo hace a la solucin del sistema. Tendremos frmulas para calcular los trminos de la sucesin, as que en general no se espera calcular el lmite de la sucesin, por lo que debemos tomar algn trmino de la sucesin como una solucin aproximada del sistema. Esta vez, adems de los errores de redondeo si se usa aritmtica finita, habr errores de truncamiento o de frmula. Los mtodos iterativos ms simples y conocidos estn basados en iteraciones de Punto Fijo.

Para sistemas con matrices de coeficientes densas y relativamente pequeas, se prefieren los mtodos exactos. En el caso de sistemas con matrices de coeficientes de orden grande y poco densas son recomendados los mtodos iterativos.



Mtodos directos

Mtodo de Eliminacin de Gauss

Es un proceso que convierte a la matriz de coeficientes A de n x m en una matriz triangular superior, mediante la aplicacin sistemtica de transformaciones elementales de rengln. Una vez obtenida la matriz triangular superior se aplica un procedimiento conocido como sustitucin hacia atrs para obtener el vector solucin x. Las transformaciones elementales de rengln son:

1. La fila i de la matriz puede ser multiplicada por una constante 0. Ri= Ri

2. A la fila i de una matriz le puede ser sumada otra fila j de la misma matriz multiplicada por una constante . Rj + Ri = Ri

3. Las filas i y j de una matriz pueden ser intercambiadas. Ri Rj

El procedimiento para resolver este sistema consta de dos pasos: 1. Eliminacin hacia adelante de incgnitas. 2. Sustitucin hacia atrs

Ejemplo: Determinar por el mtodo de eliminacin de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones:

1 +2 3 = 1 131 +22 +3 = 1 251 +32 +43 = 2 3

Eliminacin hacia delante.

[1 1 1 1 5 3 4 2

]Haciendo: Ec.2-3Ec.1

{

3 3(1) = 0

2 3(1) = 2 3 = 11 3(1) = 1 + 3 = 41 3(1) = 1 3 = 2

[1 1 1 10 1 4 2


{

5 5(1) = 0

3 5(1) = 3 5 = 24 5(1) = 4 + 5 = 92 5(1) = 2 5 = 3

[1 1 1 10 1 4 2


{

0 2(0) = 0

2 2(1) = 2 + 2 = 09 2(4) = 9 8 = 1

3 2(2) = 3 + 4 = 1



Eliminacin hacia atrs.

Donde ya se tiene un sistema de ecuaciones en que se pueden despejar las incgnitas.

[1 1 1 1 1 4 2 1 1

] =

1 +2 3 = 12 +43 = 2

3 = 1

Donde x1=-4, x2=6 y x3=1

Ejercicio:

Determinar por el Mtodo de Eliminacin de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones:

1 +2 3 = 3 61 +22 +23 = 231 +42 +3 = 1

(Solucin x1=-0.250 x2=-0.500 y x3=2.250)

51 +22 +3 = 3 21 +32 33 = 101 32 +23 = 4

(Encontrar la solucin)

41 2 +3 = 821 +52 +23 = 31 +22 +43 = 11

(Encontrar la solucin)



Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Gauss function gauss=gauss() clc a=input('Matriz A [ ]: '); b=input('Matriz b [ ]: '); fprintf('\n\t\t\t\t\tLa matriz aumentada A|B del sistema es:\n') n=length(a); m=size(a); r=size(b); if m(2)==r(1) k=1; while k=1 j=i+1; s=0; while j



fprintf('\n\t\tx(%d) es igual a',i) fprintf('\n\t\tx(%d) = (b(%d)-s)/a(%d,%d)',i,i,i,i) fprintf('\n\t\tx(%d) = (%.5f - %.5f)/%.5f',i,b(i),s,a(i,i)) fprintf('\n\t\tx(%d) = %.5f\n\n',i,x(i)) if i>1 fprintf('\n\t\t\t\t\tPresione una tecla para

continuar...\n') pause end i=i-1; end else fprintf('\n\t\t\t\t\tEl sistema no tiene solucin o tiene

soluciones infinitas') fprintf('\n\t\t\t\t\trevise si el planteamiento del sistema de

ecuaciones es correcto') fprintf('\n\t\t\t\t\tpor favor...') end else fprintf('\n\t\t\t\t\tImposible resolver el sistema ingresado falta

argumentos,') fprintf('\n\t\t\t\t\tintente otra vez por favor') end



Mtodo de Gauss-Jordan

El Mtodo de Gauss-Jordn es una variante del Mtodo de Gauss. Cuando se elimina una incgnita en una ecuacin, Gauss-Jordan elimina esa incgnita en el resto de las ecuaciones, tomando como base para la eliminacin a la ecuacin pivote. Tambin todos los renglones se normalizan cuando se toman como ecuacin pivote. El resultado final de este tipo de eliminacin genera una matriz identidad en vez de una triangular como lo hace Gauss, por lo que no se usa la sustitucin hacia atrs para obtener la solucin. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con el Mtodo de Gauss-Jordan:

31 0.12 0.23 = 7.85 10.11 +72 0.33 = 19.3 20.31 0.22 +103 = 71.4 3

El sistema se expresa como una matriz aumentada

[3 0.1 0.2 7.850.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4

]

Ecuacin pivote = Ec. 1 Elemento pivote = x1 (incgnita a eliminar de las ecuaciones restantes) Se normaliza la Ecuacin 1

Ec. 1=Ec.1 (factor) donde factor = (1/3)

[1 0.03333 0.066667 2.6166670.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4

]. 1. 2. 3

{

3 (1/3) = 10.1 (1/3) = 0.0333330.2 (1/3) = 0.0666677.85 (1/3) = 2.616667

Para obtener la nueva Ec.2:

Ec.2= Ec.2 -(0.1)*Ec.1

{

0.1 (0.1 1) = 0

7 (0.1 0.033333) = 7.003330.3 (0.1 0.066667) = 0.2933319.3 (0.1 2.616667) = 19.5617




Ec.3=Ec.3 (0.3)*Ec.1

{

0.3 (0.3 1) = 0

0.2 (0.3 0.03333) = 0.190010 (0.3 0.066667) = 10.020071.4 (0.3 2.616667) = 70.6150

Sistema resultante

[1 0.03333 0.066667 2.6166670 7.00333 0.29333 19.56170 0.19 10.020 70.6150

]. 1. 2. 3

Ecuacin pivote = Ec.2 Elemento pivote = x2(incgnita a eliminar delas ecuaciones restantes) Se normaliza la Ecuacin 2

Ec. 2=Ec.2 (factor) donde factor = (1/7.00333)

[1 0.03333 0.066667 2.6166670 7.00333 0.29333 19.56170 0.19 10.020 70.6150

]. 1. 2. 3

{

0 (1/7.00333) = 07.00333 (1/7.00333) = 1

0.29333 (1/7.00333) = 0.041884819.5617 (1/7.00333) = 2.7932

Se obtiene

[1 0.03333 0.066667 2.6166670 1 0.0418848 2.793200 0.19 10.020 70.6150

]. 1. 2. 3


Ec.1= Ec.1 - (-0.033333)*Ec.2

{

1 (0.03333 0) = 1

0.03333 (0.03333 1) = 00.066667 (0.03333 0.0418848) = 0.0680629

2.616667 (0.03333 2.79320) = 2.52356


Ec.3=Ec.3 (-0.19)*Ec.2

{

0 (0.19 0) = 0

0.19 (0.19 1) = 010.020 (0.19 0.0418848) = 10.02070.6150 (0.19 2.79320) = 70.0843



Sistema resultante

[1 0 0.0680629 2.523560 1 0.0418848 2.793200 0 10.020 70.0843

]. 1. 2. 3

Ecuacin pivote = Ec.3 Elemento pivote = x3(incgnita a eliminar delas ecuaciones restantes) Se normaliza la Ecuacin 3

Ec. 3=Ec.3 (factor) donde factor = (1/10.020)

[1 0 0.0680629 2.523560 1 0.0418848 2.793200 0 10.020 70.0843

]. 1. 2. 3

{

0 (1/10.020) = 00 (1/10.020) = 0

10.020 (1/10.020) = 170.0843 (1/10.020) = 7.00003

Se obtiene

[1 0 0.0680629 2.523560 1 0.0418848 2.793200 0 1 7.00003

]. 1. 2. 3


Ec.1= Ec.1 - (-0.0680629)*Ec.3

{

1 (0.0680629 0) = 10 (0.0680629 0) = 0

0.0680629 (0.0680629 1) = 02.52356 (0.0680629 7.00003) = 3


Ec.2= Ec.2 - (-0.0418848)*Ec.3

{

0 (0.0418848 0) = 01 (0.0418848 0) = 1

0.0418848 (0.0418848 1) = 02.79320 (0.0418848 7.00003) = 2.5

Sistema resultante

[1 0 0 3.00 1 0 2.50 0 1 7.0

]. 1. 2. 3

De acuerdo al resultado, los valores de las incgnitas son: x1=3, x2=-2.5 y x3=7.0



Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Gauss-Jordan function gaussjordan=gaussjordan() clc a=input('Matriz A [ ]: '); b=input('Matriz b [ ]: '); A=[a,b]; fprintf('\n\t\t\t\t\tLa matriz aumentada A|B del sistema es;\n') A fprintf('\n\n\t\t\t\tPresione una tecla para continuar por favor...'),

pause [m,n] = size(A); i = 1; j = 1; k = 0; tol = max([m,n])*eps*norm(A,'inf'); while (i



end end fprintf('\n\n\t\t\t\tPresione una tecla para continuar por

favor...\n') pause i = i + 1; j = j + 1; end end fprintf('\n\n\t\t\t\tEntonces los valores de las incgnitas son;\n') for k = 1:m fprintf('\n\tx(%d)=%d\n',k,A(k,n)) pause end end



Ejercicios.

Determinar por el Mtodo de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:

101 +22 3 = 27 31 62 +23 = 61.51 +2 +53 = 21.5

(Solucin x1=0.5, x2=8 y x3=-6)

Determinar por el Mtodo de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones: 0.26411 +0.17352 +0.86423 = 0.7521 0.86411 0.42432 0.07113 = 0.25010.94111 +0.01752 +0.14633 = 0.6310

Determinar por el Mtodo de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones: 0.061 +0.042 +0.123 = 3 0.561 1.562 +0.353 = 20.241 +1.242 0.283 = 0



Mtodos Iterativos

Un mtodo iterativo consta de los siguientes pasos. 1. Inicia con una solucin aproximada (Semilla). 2. Ejecuta una serie de clculos para obtener o construir una mejor aproximacin

partiendo de la aproximacin semilla. La frmula que permite construir la aproximacin usando otra se conoce como ecuacin de recurrencia.

3. Se repite el paso anterior pero usando como semilla la aproximacin obtenida.

Matriz diagonalmente dominante.

Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto de las incgnitas de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de las incgnitas restantes del mismo rengln. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incgnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante.

[10 1 01 10 20 2 10

] [4 1 32 8 13 10 2

]

Mtodo de Jacobi o de los desplazamientos simultneos

El mtodo Jacobi es el mtodo iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales ms simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incgnitas como ecuaciones. Dado el sistema lineal 1,11 + 1,22 + 1, = 12,11 + 2,22 + 2, = 23,11 + 3,22 + 3, = 3

,11 + ,22 + , =

Es factible despejar a x1 de la primera ecuacin, a x2 de la segunda ecuacin, a x3 de la

tercera y as sucesivamente.

1 = (1 + 1,22 +1,33 + +1,)/ 1,12 = (2 + 2,11 +2,33 + +2,)/ 2,23 = (3 + 3,11 +3,22 + +3,)/ 3,3

= ( + ,11 +,22 + +,11)/ ,



Entonces se parte de una estimacin inicial de la solucin, x(0), la cual se sustituye en las

ecuaciones para producir una nueva estimacin, x(1).

El vector x(1) se sustituye en esas mismas ecuaciones para obtener ahora a x(2). Este

procedimiento se repite entonces para calcular las estimaciones x(3), x(4), x(5), etc., y el

proceso termina cuando se cumple alguno de estos criterios de convergencia.

1. (+1) () <

2. (+1)()

(+1)<

Uno de los principales problemas de los mtodos iterativos es la garanta de que el mtodo va a converger, es decir, va a producir una sucesin de aproximaciones cada vez efectivamente ms prximas a la solucin. Este mtodo es muy poco utilizado debido a que el mtodo de Gauss-Seidel converge ms rpidamente a la solucin y adems lo hace cuando no se logra que el mtodo de Jacobi converja. La condicin suficiente para que el mtodo de Jacobi converja es que la matriz de coeficientes sea diagonal dominante, es decir que cada elemento de la diagonal principal es mayor en valor absoluto que la suma del resto de los elementos de la misma fila en la que se encuentra el elemento en cuestin. Ejemplo: Con el Mtodo de Jacobi, inicie con x(0)=[0,0,0] y considere 5 decimales como criterio de convergencia.

Es=(0.5 x 102n)% Es=(0.5 x 102-5)% = (0.5 x 10-3)% = 0.0005%= 0.05

101 2 = 9 1 102 23 = 7

22 103 = 6

Despejando las incgnitas: x1= (9 + 1x2 + 0x3 )/10 x2= (7 + 1x1 + 2x3)/10 x3= (6 +0x1+ 2x2)/10

1. Iteracin Con x(0)=[0, 0,0] que aplicadas a las estimacin inicial x(0) permiten calcular la nueva iteracin x(1). x1= (9 + 1(0) + 0)/10 = 9/10 =0.9 x2=(7 + 1(0) + 2(0))/10 = 7/10 =0.7



x3=(6 + 0 + 2(0))/10 = 6/10 =0.6

1 = |1(1) 1

(0)

1(1)

| 100% = |0.9 0.0

0.9| 100% = 1 100% = 100

2 = |2(1) 2

(0)

2(1)

| 100% = |0.7 0.0

0.7| 100% = 1 100% = 100

3 = |3(1) 3

(0)

3(1)

| 100% = |0.6 0.0

0.6| 100% = 1 100% = 100

2. Iteracin Con x(1)=[0.9, 0.7,0.6] que aplicadas a las estimacin x(1) permiten calcular la nueva iteracin x(2). x1= (9 + 1(0.7) + 0)/10 = 9.7/10 =0.97 x2=(7 + 1(0.9) + 2(0.6))/10 =9.1 /10 =0.91 x3=(6 + 0 + 2(0.7))/10 = 7.4/10 =0.74

1 = |1(2) 1

(1)

1(2)

| 100% = |0.97 0.9

0.97| 100% = 0.0722 100% = 7.22

2 = |2(2) 2

(1)

2(2)

| 100% = |0.91 0.7

0.91| 100% = 0.2308 100% = 23.08

3 = |3(2) 3

(1)

3(2)

| 100% = |0.74 0.6

0.74| 100% = 0.1892 100% = 18.92

3. Iteracin Con x(2)=[0.97, 0.91,0.74] que aplicadas a las estimacin x(2) permiten calcular la nueva iteracin x(3). x1= (9 + 1(0.91) + 0)/10 = 9.91/10 =0.9910 x2=(7 + 1(0.97) + 2(0.74))/10 =9.45 /10 =0.9450 x3=(6 + 0 + 2(0.91))/10 = 7.82/10 =0.7820

1 = |1(3) 1

(2)

1(3)

| 100% = |0.9910 0.97

0.9910| 100% = 0.0212 100% = 2.12

2 = |2(3) 2

(2)

2(3)

| 100% = |0.9450 0.91

0.9450| 100% = 0.0370 100% = 3.70

3 = |3(3) 3

(2)

3(3)

| 100% = |0.7820 0.74

0.7820| 100% = 0.0537 100% = 5.37



Nota: As sucesivamente hasta llegar a 7 iteraciones

iteracin x1(k) x2(k) x3(k) Ea1(%) Ea2(%) Ea3(%) Es(%)

semilla 0 0 0 0.05

1 0.9 0.7 0.6 100 100 100

2 0.97 0.91 0.74 7.22 23.08 18.92

3 0.991 0.945 0.782 2.12 3.70 5.37

4 0.9945 0.9555 0.789 0.35 1.10 0.89

5 0.99555 0.95725 0.7911 0.11 0.18 0.27

6 0.99573 0.95778 0.79145 0.018 0.0553 0.0442

7 0.99578 0.95786 0.79156 0.00502 0.0083 0.0138

Nota: Todos los errores son menores al error esperado de 0.05.

Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Jacobi function jacobi=jacobi() format long; clc; e=input('Numero de ecuaciones: '); A=input('Matriz A [ ]: '); b=input('Matriz b [ ]: '); ea=input('Dame el porciento de error: '); x0=zeros(1,e); err=100; k=0; while ea



Ejercicios.

Determinar por el Mtodo de Jacobi, iniciando con x=[0,0,0] y considere 5 decimales como criterio de convergencia para el siguiente sistema de ecuaciones.

3.8 +1.6 +0.9 = 15.5 0.7 +5.4 +1.6 = 10.31.5 +1.1 3.2 = 3.5

31 +2.2 +9 = 82.33 22 +40 +2 = 1112.639 +2 +31 = 113.03



Mtodo de Gauss Seidel

El mtodo de Gauss-Seidel es muy semejante al mtodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incgnitas para determinar una nueva aproximacin, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incgnitas recin calculados en la misma iteracin, y no en la siguiente.

Es factible despejar a x1 de la primera ecuacin, a x2 de la segunda ecuacin, a x3 de la

tercera y as sucesivamente.

1(+1)

= (1 + 1,22()

+1,33()+ +1,

())/ 1,1

2(+1)

= (2 + 2,11()

+2,33()+ +2,

())/ 2,2

3(+1)

= (3 + 3,11()

+3,22()+ +3,

())/ 3,3

(+1)

= ( + ,11()

+,22()+ +,11

(+1))/ ,

Ejemplo: Con el Mtodo de Gauss-Seidel, inicie con x(0)=[0,0,0] y considere 5 decimales como criterio de convergencia.

Es=(0.5 x 102n)% Es=(0.5 x 102-5)% = (0.5 x 10-3)% = 0.0005%= 0.05

101 2 = 9 1 102 23 = 7

22 103 = 6

Despejando las incgnitas: x1(k+1)= (9 + 1x2(k) )/10 x2(k+1)= (7 + 1x1(k+1)+ 2x3(k))/10 x3(k+1)= (6 + 2x2(k+1))/10 1. Iteracin Con x(0)=[0, 0,0] que aplicadas a las estimacin inicial x(0) permiten calcular la nueva iteracin x(1). x1(1)= (9 + 1x2(0) )/10 = (9 + 1*(0))/10 =0.9 x2(1)=(7 + 1x1(1) + 2x3(0))/10 = (7+ 1*(0.9)+ 2*(0))/10 =0.79 x3(1)=(6 + 2x2(1))/10 = (6 + 2*(0.79))/10 =0.758

1 = |1(1) 1

(0)

1(1)

| 100% = |0.9 0.0

0.9| 100% = 1 100% = 100



2 = |2(1) 2

(0)

2(1)

| 100% = |0.79 0.0

0.79| 100% = 1 100% = 100

3 = |3(1) 3

(0)

3(1)

| 100% = |0.758 0.0

0.758| 100% = 1 100% = 100

2. Iteracin Con x(1)=[0.9, 0.79,0.758] que aplicadas a las estimacin inicial x(1) permiten calcular la nueva iteracin x(2). x1(1)= (9 + 1x2(1) )/10 = (9 + 1*(0.79))/10 =0.979 x2(1)=(7 + 1x1(2) + 2x3(1))/10 = (7+ 1*(0.979)+ 2*(0.758))/10 =0.9495 x3(1)=(6 + 2x2(2))/10 = (6 + 2*(0.9495))/10 =0.7899

1 = |1(2) 1

(1)

1(2)

| 100% = |0.979 0.9

0.979| 100% = 0.0806 100% = 8.06

2 = |2(1) 2

(0)

2(1)

| 100% = |0.9495 0.79

0.9495| 100% = 0.1679 100% = 16.79

3 = |3(1) 3

(0)

3(1)

| 100% = |0.7899 0.758

0.7899| 100% = 0.0403 100% = 4.03

3. Iteracin Con x(2)=[0.979, 0.9495,0.7899] que aplicadas a las estimacin inicial x(2) permiten calcular la nueva iteracin x(3). x1(2)= (9 + 1x2(2) )/10 = (9 + 1*(0.9495))/10 =0.99495 x2(2)=(7 + 1x1(3) + 2x3(2))/10 = (7+ 1*(0.99495)+ 2*(0.7899))/10 =0.957475 x3(2)=(6 + 2x2(3))/10 = (6 + 2*(0.957475))/10 =0.791495

1 = |1(2) 1

(1)

1(2)

| 100% = |0.99495 0.979

0.99495| 100% = 0.01603 100% = 1.603

2 = |2(1) 2

(0)

2(1)

| 100% = |0.957475 0.9495

0.957475| 100% = 0.00832 100% = 0.832

3 = |3(1) 3

(0)

3(1)

| 100% = |0.791495 0.7899

0.791495| 100% = 0.00201 100% = 0.201



Nota: As sucesivamente hasta llegar a 5 iteraciones

iteracin x1(k) x2(k) x3(k) Ea1(%) Ea2(%) Ea3(%) Es(%)

semilla 0 0 0 0.05

1 0.9 0.79 0.758 100 100 100

2 0.979 0.949 0.7899 8.06 16.79 4.03

3 0.995 0.957 0.791 1.603 0.832 0.201

4 0.996 0.958 0.792 0.080 0.042 0.010

5 0.996 0.958 0.792 0.004 0.002 0.001

Algoritmo en Matlab para el Mtodo de Gauss-Seidel function gaussseidel=gaussseidel() format long; clc; e =input('Numero de ecuaciones: '); A =input('Matriz A [ ]: '); b =input('Matriz b [ ]: '); ea =input('Dame el porciento de error: '); x0 =zeros(1,e); x =x0; err=100; k=0; while ea

Mtodos numrico

APUNTES - METODOS NUMERICOS

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