TRABAJO COLABORATIVO 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA ECBTI

CEAD DUITAMA

2016

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

1. Construir un cuadro comparativo de las diferencias entre los sistemas lineales y los sistemas NO lineales con al menos un ejemplo. (Debe ser original, no se admiten copias bajadas de internet).

CUADRO COMPARATIVO

TIPO DE ECUACION DIFERENCIAS EJEMPLOS

ECUACIONES LINEALES

Sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

Los puntos de equilibrio del sistema lineal son los vectores del K er (A): entonces, hay uno solo o infinitos.

En el Almacén Abarrotes realizan una compra de varillas y tubos. Si la suma de una varilla y 2 tubos cuestan $90.000. Cuanto será el valor de cada tubo y de cada varilla. Si para comprar 4 varillas y 6 tubos pago $1.300.000.

Solución

x : varilla

y : tubo

x+2 y=90.000

4 x+6 y=1.300 .000

de1despues x

2 y=90.000−x

Las trayectorias en un sistema lineal siempre están definidas para todo instante de tiempo.

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades. ya que en un sistema tiene que poner en conjunto de dos o más ecuaciones.

y=90.000−x2

reemplazode y en2

4 x+6 y=1.300 .000

4 x+6= (90.000−x )2

=1.300 .000

4 x+ 540.000−6x2

=1.300 .000

8 x+540.000−6 x2

=1.300.000

2 x+540.000=2.600 .000

2 x=2.600 .000−540.000

2 x=2.060 .000

x=1.030 .000

ECUACIONES NO LINEALES

Sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición,

Un lote cuadrado mide de lado X metros, si la entrada es de Y metros y la suma es de 20m, si la suma del lado del lote con la entrada son iguales a 260m. ¿Cuál es el ancho del lote y la distancia de la entrada?

Solución

como lo es un sistema lineal.

Un sistema no lineal puede no tener puntos de equilibrio, o tener un numero finito o mayor que 1: x=x .(1−x )

En un sistema no lineal, las trayectorias no están definidas para todo instante de tiempo.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

x2+ y=260

x+ y=20

x=20− y

(20− y )2+ y=260

400−40 y+ y2+ y=260

y2−39 y+400−260=0

y2−39 y+140=( y−35 ) ( y−4 )=0

y=35 y=4

1407035

225

717¿

y=4distancia de la entrada

x+ y=20

x=20− y

x=20−4

x=16ancho del lote

2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.

Método de eliminación de GAUSS

1 0,1 x1+7 x2+0,3x3=−19,30

2 3,0 x1−0,1 x2−0,2 x3=7,85 Utilizar un ξ = 0.001

30,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,40

Se multiplicar por 10

4 1 x1+70 x2−3 x3=−193

Multiplicar la ecuación 4por −3 f 1+ f 2

−3 x1−210 x2+9 x3=579

3 x1−0,1x2−0,2 x3=71,40

5210 x2+8,8 x3=586,85

Multiplicar la ecuación 4 por −0,3+ecuacion3

−0,3 x1−21 x2+0 ,9 x3¿=57,9¿

0,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,49

(6 )−21,2x2−9 ,1x3¿=129,3 ¿

Se divide la ecuación 5 en (-210)

−210 x2+8,8 x3=586,85

7x2−0,042x3=−2,793

Se multiplica por 21,2

21,2 x2+0 ,89 x3¿=59,21 ¿

−21,2 x2+9,1 x3¿=129,3 ¿

8−9.99 x3=70,09

0,1 x1+7 x2−0,3x3¿=−1930 ¿

−210,1 x2+8,8 x3=586,85

−9,99 x3=70,09

x3=−7,016

−210,1 x2+8,8 x3=8,8 (−7,016 )=586,85

−210,1 x2−6174=586,85

−210,1 x2=648,59

x2=3,09

0,1 x1+7 (−3,09 )−0,3 (−7,016 )=−19,36

0,1 x1−21,63+210=−19,36

0,1 x1=−19,36++19,53

0,1 x1=0,23

x1=2,3

Método de Gauss Jordan

0,1 x1+7 x2+0,3x3=−19,30

3,0 x1−0,1x2−0,2 x3=7,85

0,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,40

[0,1 7 −0,33,0 −0,1 −0,20,3 −0,2 −10

⋮−19,307,8571,40 ]

Dividir F10,1

[ 1 70 −33,0 −0,1 −0,20,3 −0,2 −10

⋮−1937,8571,40]

−3 f 1+ f 2−0,3 f 1+f 3

[1 70 −30 −210 8,86 −212 −9,1

⋮−193586,85129,3 ]

Dividir F2

−210,1

[1 70 −30 1 −0,0420 −21,2 −91

⋮−193586,85129,3 ]

−70 f 2+ f 1

21,2 f 2+f 3

[1 0 −0,60 1 −0,0420 0 −9,99

⋮2,51

−2,79370,09 ]

F3−9,99

[1 −0,06 2,510 −0,042 ⋮−2,7930 1 70,016 ]

Multiplicar 0,042 f 3+ f 2

0,06 f 3+ f 1

[1 0 00 1 00 0 , 1

⋮2,69

−3,09−7,016 ]

F3

−9,99

[1 −0,06 2,510 −0,042 ⋮−2,7930 1 70,016 ]

Multiplicar 0,042 f 3+ f 2

0,06 f 3+ f 1

[1 0 00 1 00 0 , 1

⋮2,09

−3,09−7,016 ]

X1=𝟐.𝟎𝟗X2=−𝟑.𝟎𝟗X3=−𝟕.𝟎𝟏𝟔Método de Gauss Seidel

Se despejan las variables sobre la original

X1=7.85+0.1 x2+0.2x3

3

X2=19.3−0.1x 2+0.3 x3

7

X3=71.4−0.3 x1+0.2x2

10

Tomamos como valores iniciales a X2=0 y X3=0 , Calculamos X1

X 01=7.853

=2.616666

Este valor más el de X3 lo tomamos para calcular X2

X 02=−19.3−0.1(2.616666)

7=2.794523

La primera iteración la completamos sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

X 03=71.4−0.3(2.616666)+0.2(−2.794523)

10=7.005609

Hacemos lo mismo con la segunda iteración

X 11=7.85+0.1(−2.794523)+0.2(7.005609)

3=2.990556

X 12=19.3−0.1(2.990556)+0.3(7.005609)

7=2.499624

X 13=71.4−0.3 (2.990556)+0.2(2.499624)

10=7.000290

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

X 11−X 0

1=2.990556−2616666=0.373890

X 12−X 0

2=−2.794523−(−2.499524)=0.294899

X 13−X 0

3=7.005609−7.000290=0.005319

No se cumple la condición XIi−X 0

i≤∧parai=1,2,3

Entonces se toman los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente iteración.

X 21=7.85+0.1(−2.499624)+0.2(7.000290)

3=3.000031

X 22=19.3−0.1(3.000031)+0.3(7.000290)

7=−2.499988

X 23=71.4−0.3 (3.000031)+0.2(−2.499988)

10=6.999999

Comparando de nuevo los valores obtenidos

X 21−X 1

1=3.000031−2990556=0.009475

X 22−X 1

2=−2.499988−(−2.499624)=0.000364

X 23−X 1

3=6.999999−7.000290=0.000291

No se cumple la condición X2i−X 1

i≤∧parai=1,2,3

X 31=7.85+0.1(−2.499988)+0.2(6.999999)

3=3.000000

X 32=19.3−0.1(3.000000)+0.3(6.999999)

7=−2.500000

X 33=71.4−0.3 (3.000000)+0.2(−2.500000)

10=7.000000

Comparando los valores obtenidos

X 31−X 2

1=3.000000−3.000031=0.000031

X 32−X 2

2=−2.500000−(−2.499988)=0.000012

X 32−X 2

3=7.000000−6.999999=0.000001

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

X1=3.0

X2=−2.5

X3=7.0

ANALISIS DE LOS METODOS USADOS

En el análisis que se hizo de los métodos Gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel, los cuales fueron usados para la resolver los sistemas de ecuaciones lineales, puedo decir que los métodos Gauss y Gauss-Jordan, tienen una mayor complejidad a la hora de solucionar este tipo de ecuaciones, además sus resultados no son precisos,

6

en cambio el método Gauss-Seidel nos permite una mayor precisión en los resultados obtenidos ya que al desarrollarlo por iteraciones es una forma más fácil de realizar los ejercicios.

3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.

17 x1−2x2−3x3=500−5 x1+21 x2−2 x3=200−5 x1−5 x2+22 x3=30

Método de eliminación de Gauss

1. 17 x1−2x2−3x3=5002. −5 x1+21 x2−2 x3=2003. −5 x1−5 x2+22 x3=30

1. Se divide en 17

4. x1−0,12 x2−0,18 x3=29,41

Multiplicar 5 f 4+f 25.5 x1−0,6 x2−0,9 x3=147,05−5x1+21 x2−2x3=20020,4 x2−2,9x3=347,05

Multiplicar 5 f 4+f 3

6.

5 x1−0,6 x2−0,9 x3=147,05−5x1−5 x2+22x3=30

−5,6 x2−21,1 x3=177,05

6. Se divide en 20,4

7. x2−0,17 x3=17,01

Multiplicar 5,6 7. + 6.

5,6 x2−0,78 x3=95,25−5 ,6 x2+21,1 x3=177,05

−20,32 x3=272,3

x3=272,320,32

=13,4

5. 20,4 x2−2,9 x3=347,0520,4 x2−2,9(13,4 )=347,0520,4 x2−38,86=347,0520,4 x2=885,91x2=18,92

1. 17 x1−2 (18,92 )−3(13,4)=500

17 x1−37,84−40,2¿=500

x1=500+37,84+40,2

17

x1=34

Solución

x1=34x2=18,92x3=13,4

Método de Gauss Jordan

1.17x1−2 x2−3 x3=5002.−5 x1+21x2−2 x3=2003.−5 x1−5 x2+22x3=30

17 −2 −3−5 21 −2−5 −5 22

50020030

Dividimos f 117

1 −0,12 −0,18−5 21 −2−5 −5 22

29,4120030

5 f 1+ f 2

5 f 1+ f 3

1 −0,12 −0,180 20,4 −2,90 −5,6 21,1

29,41347,05177,05

Dividimos f 220,4

1 −0,12 −0,180 1 −0,140 −5,6 21,1

29,4117,01177,05

0,1 f 2+ f 1

5,6 f 2+ f 3

1 0 −0,200 1 −0,140 0 20,32

29,4131,45272,31

f 320,321 0 −0,200 1 −0,140 0 1

29,4131,4513,40

Multiplicar 0,14 f 3+f 2 y 0,20 f 3+ f 1

1 0 00 1 00 0 1

32,0933,3313,40

Solución

x1=32,09x2=33,33x3=13,40

Método Gauss Seidel

1.17x1−2 x2−3 x3=5002.−5 x1+21x2−2 x3=2003.−5 x1−5 x2+22x3=30

x1=500+2x2+3 x3

17

x2=200+5 x2+2 x3

21

x3=30+5 x1+3 x2

22

Iteración 1

Suponemos x2=0 y x3=0

x1=50017

x1=29,41

Sustituimos x1=29,41 y x3=0en x2

x2=200+5(29,41)

21

x2=347,0521

x2=16,53

Sustituimos x1=29,41 y x2=16,53 en x3

x3=30+5 (29,41 )+5,0(16,53)

22 =259,722

x3=11.80

Iteración 2 x1=29,41 x2=16,53 y x3=11.80

x1=500+2 (16,53 )+3 (11,80)

17 =568,4617

x1=33,44

x2=200+5 (33,44 )+2(11,80)

21 =390,8021

x2=−18,61

x3=30+5 (33,44 )+5(18,61)

22 =290,2522

x3=13,19

Iteración 3

x1=33,44 x2=18,61 y x3=13,19

x1=500+2 (18,61 )+3(13,19)

17 =576,7917

x3=33,93

x2=200+5 (33,93 )+2(13,19)

22 =293,9522

x2=13,36

Solución

x1=53,93x2=18,86x3=13,36

4. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.

x 1 3 5 7y -2 1 2 -3

P3 ( x)=f (x0 )(x−x1 ) (x−x2 ) (x− x3 )

(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )+ f (x1 )

(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )

+ f (x0)(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )

(x0−x1 ) (x0−x2) (x0− x3 )+ f (x1 )

(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )

P3 ( x)=−2 ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )(1−3 ) (1−5 ) (1−7 )

+1 (x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )(3−1 ) (3−5 ) (−3−7 )

+2( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )(5−1 ) (5−3 )(5−7)

−3 ( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )(7−1 ) (7−3 )(7−5)

P3 ( x )=−2 ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )−48

+1 ( x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )16

+2 ( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )−16

−3 (x−1)(x−3)(x−5)48

P3 ( x)= ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )

24(x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )

16+2 (x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )

8−3 (x−1)(x−3)( x−5)

16

P3 ( x)=( 116 (x−1 )(x−5)) [ ( x−7 )−( x−3 ) ]+[18 (x−3 )(x−7)][ (x−5)3−( x−1 )]

P3 ( x)=( 116 ( x2−6 x+5 )) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][ ( x−5 )−(3 x−3)3 ]

P3 ( x)=( 116 (x2−6 x+5)) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][ x−5−3 x+33 ]

P3 ( x)=( 116 (x2−6 x+5)) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][−2x−23 ]

P3 ( x)=−14

(x2−6 x+5 )−[ 18 (x2−10 x+21 ) ][ x+13 ](−2)

P3 ( x)=−( 14 (x2−6 x+5))−[ 14 ( x2−10x+21 )] [ x+13 ]

P3 ( x )=−( x24 −3 x2

+ 54 )−¿

P3 ( x)= x2

4+ 3 x2

−54− x3

12+ 5 x

2

6+5 x6

−21 x12

−2112

P3 ( x)=−x3

12+ x

2

2+ 7 x12

−3