APLICACIONES PRACTICAS DE LOS MODELOS DE CALIDAD …
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MINISTERIO DE INDUSTRIA Y ENERGIASECRETARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES
APLICACIONES PRACTICAS DE LOSMODELOS DE CALIDAD DE LOS ACUIFEROS
MEMORIAVOLUMEN W. Modelos Matemáticos De Transporte De Solutos
En Aguas Subterráneas
CAPITULO IV.3. Grupo II: Los Modelos de Advección -Dispersión
1985 -1986
Este estudio ha sido realizado por GEOMECANICA S.A.en régimen de contratación con la División de AguasSubterráneas y Geotécnia del Instituto Geológico y Mi-nero de España:
Iti0ICE SINTETICO DEL INFORME
VOLUMEN I. PRESENTACIOfI Y OBJETIVOS DEL PROYECTO
I.1. Antecedentes y objetivos del Proyecto1.2. Estructuración del informe1.3. Los manuales de uso de los programas de ordenador1.4. La recopilación de la informaciónI.S. Equipo de trabajo
VOLUMEN 11. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS SATURADOS
11.1. Definición , orígenes y características físicas de lacontaminación de las aguas subterráneas
11.2. La teoría de la dispersión en medios porosos11.3. El problema especial de la intrusión marina en acuí-
feros costeros11.4. La determinación experimental de los principales pa-
rámetros de la ecuación general de la dispersiónI1.5. Bibliografía
VOLUMEN III. PRINCIPALES METODOS NUMERICOS EMPLEADOS EN LA RESOLUCION DELA ECUACION GENERAL DE LA DISPERSION
111.1. Introducción
111.2. El método de las diferencias finitas
111.3. El método de las características
111.4. Un método de residuos ponderados: el método de ele -
mentos finitos de Galerkin
III.5. Análisis comparativo de los distintos métodos numéri-
cos existentes. Ventajas e inconvenientes
111.6. Bibliografía
VOLUMEN IV. MODELOS MATEMATICOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN AGUAS SUBTE
RRANEAS
IV.1. Introducción
IV.2. Grupo 1 : los modelos de advección
IV.3. Grupo II : Los rodelos de advección-dispersión
IV.4. Grupo III: los modelos de agua dulce - agua salada
1
VOLUMEN V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
V.1. Introducción
V.2. Breve presentación de los problemas de contaminaciónmás frecuentes en los sistemas acuíferos españoles
V.3. Orientación a la simulación matemática de los proble-mas de contaminación más frecuentes en los sistemas -aculferos españoles
V.4. Bibliografía
INDICE SINTETICO DEL VOLUMEN IV
CAPITULO IV.1. INTRODUCCION
IV.1.1. Clasificación de los modelos matemáticos de
transporte
IV.1.2. Casos históricos de aplicaciónIV.1.3. Criterios de selección
CAPITULO IV.2. GRUPO 1: LOS MODELOS DE ADVECCIONIV.2.1. Definición y campo de aplicación
IV.2.2 . Tipos de modelos de advección
IV.2.2.1 . Introducción
IV.2.2.2. Modelo de " lineas de corriente"(J.P. Sauty, 1972)
IV.2.2.3. Modelo de "celdas de mezcla" endiferencias finitas (J.Ferrer yF.J. Ramos, 1981)
IV.2.3. Análisis comparativo de los distintos tipos de modelos advectivos. Conclusiones
IV.2.4. Bibliografía
CAPITULO IV.3. GRUPO II: LOS MODELOS DE ADVECCION-DISPERSION
IV.3.1. Definición y campo de aplicación
IV.3.2. Tipos de modelos de advección - dispersión
IV.3.2.1. Introducción
IV.3.2.2. Modelos en diferencias finitas
IV.3.2.3. Modelo en diferencias finitas
con aplicación del método delas características (L.F.Koni-kow y J.D. Bredehoeft, 1978).
IV.3.2.4. Modelo "random-walk" (T.A. Pri
ckett, T.G. Naymick y C.G. --
Lonnquist, 1981)
IV.3.2.5. Modelos en elementos finitos
IV.3.3. Análisis cc-carativo de los distintos ti-
pos de r^odelos de advección-dispersión.
Conclusiones.
IV.3.4. Bibliografía
CAPITULO IV.4. GRUPO III: LOS MODELOS DE AGUA DULCE-AGUA SALADAIV.4.1. Definición y campo de aplicaciónIV.4.2. Modelos que consideran miscibilidad de los
fluidos
IV.4.2.1. IntroducciónIV.4.2.2. Modelo de corte vertical en elemen-
tos finitos. (George F.Pinder, 1975)IV.4.2.3. Modelo de corte vertical en diferen
cias finitas, con aplicación del método de las características (GeorgeF. Pinder y Hilton H. Cooper, 1970)
IV.4.3. Modelos que consideran inmiscibilidad de losfluidosIV.4.3.1. IntroducciónIV.4.3.2 . Modelo en diferencias finitas (J.Fe
rrer y F.J. Ramos, 1982)
IV.4.4. Análisis comparativo de los distintos tipos de
modelos de agua dulce- agua salada . Conclu-
siones.IV.4.5. Bibliografía
INDICE GENERAL DEL CAPITULO
Pág.
INDICE GENERAL IINDICE DE FIGURAS IVINDICE DE ANEXOS VIII
IV.3. GRUPO II: LOS MODELOS DE ADVECCION - DISPERSION
IV.3.1. Definición y campo de aplicación 1IV.3.2. Tipos de modelos de advección -dispersión 3
IV.3.2.1. Introducción 3IV.3.2.2. Modelos en diferencias finitas 6
IV.3.2 .2.1. Planteamiento 6
IV.3.2.2.2. Resolución por el método de dife-
rencias finitas (MDF) 9
IV.3.2.2.3. Estabilidad y convergencia 19IV.3.2.2.4. Resolución del sistema de ecuacio
nes algebraicas 21
IV.3.2.2.5. Condiciones de contorno 24
IV.3.2.2.6. Principales dificultades numéricasen la aplicación del MDF 26
IV.3.2.2.7. Caso histórico de aplicación 30
IV.3.2.2.7.1. Un modelo para calcular el efecto de la inyección de -
residuos líquidos en acuíferos sa
linos profundos (IIlTERCOMP Res Dev.
8 Eng ., Inc. 1976) 30
IV.3.2.3. Modelo en diferencias finitas con aplicación -
del método de las características (1.F. Koni -
kow y J.O. Bredehoeft, 1978) 39
IV.3.2.3.1. Planteamiento del modelo 39
II.
Pág.
IV.3.2.3. 2. Resolución de la ecuación del flu
jo por el método de diferencias -finitas (MDF) 43
IV.3.2.3.3. Resolución de la ecuación de la -dispersión por el método de lascaracterísticas (MOC) 46
IV.3.2.3.4. Tratamiento de problemas especia-
les 62IV.3.2.3.5. Algunas consideraciones de tipo -
práctico en el uso del modelo 67IV.3.2.3.6. Casos históricos de aplicación 69
IV.3.2.3. 6.1. Simulación del movimiento y de los cambios de cal¡ -
dad química en un sistema acuífe-
ro-rio (L.F. Konikow y J.D. Grove,1974) 69IV.3.2.3.6.2. Simulación del moví
miento de cloruros en un acuífero
aluvial en Rocky Mountain Arsenal,
Colorado (USA) (L.F. Konikow, 1977) 84
IV.3.2.4 . Modelo "random -walk" (T .A. Prickett, T.G. Nay
mick y C.G. lonnquist, 1981) 98
IV.3.2.4 .1. Planteamiento del modelo 98
IV.3.2.4.2. Resolución de la ecuación del flu
jo por el método de diferencias -
finitas (MDF) 101
IV.3.2.4.3. "Resolución" de la ecuación de la
dispersión aplicando la técnica -
de "pasos aleatorios". 102
IV.3.2.4.4. Casos históricos de aplicación 113
IV.3.2.4.4.1. Modelo de calidad -
de la Llanura Manchega (IGME,1984) 113
III.
Pág.
IV.3.2.4.4.2. Aplicación de un modelo de transporte de solutos enMeredosia, Illinois (USA) (T.A. -Prickett, T.G. Naymick y C.G. Lonnquist, 1981) 123IV.3.2.4.4.3. Modelo de calidad -del sistema acuífero de Almonte -Marismas (IGME, 1978) 132
IV.3.2.5. Modelos en elementos finitos 139IV.3.2.5.1. Planteamiento 139IV.3.2.5.2. Resolución por el método de ele -
mentos finitos (MEF) 142
IV.3.2.5.3. Casos históricos de aplicación 152
IV.3.2.5.3.1. Simulación de la -contaminación de aguas subterrá -neas en long Island , New York --(USA) por el método de elementosfinitos de Galerkin (George F. Pi nder, 1973) 152
IV.3.2.5.3.2. Simulación de la -contaminación de aguas subterráneas en Pleasantville, New Jersey -(USA) N.G. Gray y J.L. Hoffman,
1983) 161
IV.3.3. Análisis comparativo de los distintos tipos de modelos -de advección -dispersión . Conclusiones 172
IV.3.4. Bibliografía 180
IV.
INDICE DE FIGURAS
N° TITULO Pág.
1 Discretización por el MDF 9
2 Aproximación explícita 17
3 Aproximación implícita ( a) y de Crank-Nicholson (b) 18
4 Condición de contorno : Límite impermeable 24
5 Condición de contorno : Límite de gradiente constante 25
6 Saturación 26
7 Dispersión Numérica 28
8 Representación esquemática del problema 31
9 Distribución de concentración calculada para el techo (a),
y muro (b) del acuífero 36
10 Estimación de la velocidad de la partícula 49
11 Representación "gráfica " del proceso de cálculo 52
12 Tratamiento del movimiento de partículas cercanas a límites
impermeables 62
13 Generación de partículas en celdas fuente adyacentes a un -
límite impermeable 64
14 Generación de partículas en celdas fuente no adyacentes -
a un límite impermeable para el caso del flujo regional des
preciable ( a) y para un acusado flujo regional (b) 64
15 Mapa de situación del sistema acuífero/ río y mallado emplea
do 70
16 Zonificación de la transmisividad 71
17 Piezometría inicial (Marzo, 1971) 72
18 Concentración inicial del TSD (Marzo, 1971) 73
V.
N° TITULO- Pág.
19 Valores reales y calculados de piezometría (a) y concentra
ción ( b) al final del periodo de simulación ( Marzo , 1972) 73
20 Red establecida para la toma de datos 74
21 Concentración del TSD real (a) y calculada (b) (Marzo,
1972) 81
22 Concentración del TSD observada y calculada para el perio-
do de simulación , en dos puntos de observación 82
23 Mapa de situación de la zona de estudio 84
24 Situación de: sondeos de explotación para riego ; áreas re-
gadas conjuntamente con agua superficial y subterránea y -
depósitos de residuos contaminantes 85
25 Concentración real de cloruros (1956) 86
26 Superficie piezométrica (1955-71) 86
27 Mallado y límites del modelo 88
28 Historia del funcionamiento de los depósitos en el Rocky -
Mountain Arsenal (1943 - 1972) 90
29 Concentración calculada de cloruros (1956) 91
30 Concentración real de cloruros (Enero 1961) 92
31 Concentración calculada de cloruros ( al comienzo de 1961) 92
32 Concentración real de cloruros (Enero-Mayo 1969) 93
33 Concentración calculada de cloruros ( al comienzo de 1969) 93
34 Concentración real de cloruros (Mayo 1972) 94
35 Concentración calculada de cloruros (al comienzo de 1972) 94
36 Concentración prevista para 1980 (alternativa de explota -
ción) 96
37 Estimación de la velocidad de la partícula 104
VI.
N° TITULO Pág.
38 Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión
(a) longitudinal (b) transversal 106
39 Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión
(a) longitudinal (b) transversal, en el caso de no coin-
cidencia entre dirección del flujo y ejes coordenados 108
40 Caso más general de movimiento de una partícula 109
41 Fenómeno de dilución: tratamiento del problema ( a); solu-
ción (b); tratamiento dado por el modelo (c) y (d) 111
42 Mapa de situación de la zona de estudio 114
43 Mallado del modelo 115
44 Curvas concentración - tiempo (piezometría 1974) 119
45 Curvas concentración - tiempo (piezometría Agosto 1982) 120
46 Curvas concentración - tiempo (área de Villarrobledo) 120
47 Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1974) 121
48 Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1982) 121
49 Mapa de situación de la zona de estudio 124
50 Superficie de control y sondeos de control de contaminación 124
51 Mallado del modelo 126
52 Composición química de las muestras de agua (en mg/1) 127
53 Clasificación del agua (a) 128
54 Clasificación del agua (b) 128
55 Distribución de concentración de amoniaco 129
56 Distribución de concentración de amoniaco en el sondeo de -
producción y en el limite aguas abajo 131
57 Mapa de situación de la zona de estudio 133
58 Mallado del modelo 136
VII.
N° TITULO Pág.
59 Plano de situación . Extensión areal de la contaminación 152
60 Extensión vertical de la nube contaminante 154
61 Mallado del modelo 156
62 Distribución de concentración de cromo calculada y obser
vada ( 1953) 158
63 Distribución de concentración calculada ( 1949-61): fuen
te contaminante eliminada 159
64 Distribución de concentración calculada (1949-57): fuen
te contaminante reducida un 75% en su concentración 160
65 Distribución de concentración calcualda ( 1972-79): fuen
te contaminante eliminada 160
66 Mapa de situación de la zona de estudio 162
67 Cortes geológicos BB' (a) y CC' (b) 163
68 Mallado del modelo 165
69 Piezometría observada en Enero - 81 166
70 Piezometría calculada en Enero - 81 166
71 Gradientes observados y calculados , según el perfil AA' 166
72 Distribución de concentración calculada al cabo de cin
co años ( a) y de diez años (b) 168
73 Distribución de concentración simulada para la estrate
gia A 169
74 Distribución de concentración simulada para la estrate
gia B al cabo de cinco años 170
75 Distribución de concentración simulada para la estrate
gia B al cabo de diez años 170
76 Valores regionales de la dispersividad obtenidos por -
"ensayo y error" en el ajuste de un modelo matemático 177
VII1.INDICE DE ANEXOS
N° TITULO
1. A method for calculating multi-dimensional inmiscible dis
placement.
DOUGLAS Jr ., J., PEACEMAN, D.W. Y RACHFORD Jr., H.H., 1959
TRANSACTIONS A.1.M.E., Y. 216, p. 297-308.
2. Numerical calculation of multi - dimensional miscible displa
cement by the method of characteristics.
GARDER Jr., A.D., PEACEMAN, D.W. Y POZZ1 Jr., A.L., 1964.
SOCIETY OF PETROLEUM ENG. JOURNAL, Y. 4, N. 1, p. 26-36
3. Computer simulation of waste transport in groundwater aquifers
REDDEL, O.L. Y SUIIADA, D.K., 1969
COLORADO STATE UNIV., FORT COLLINS, COLORADO; COMPLETION
REPORT OWRR PROYECT A-001-COLO.
4. A Galerkin finite element simulation of groundwater contami
nation on long Island , New York.
PINDER , G.F., 1973
WATER RES . RESEARCH, Y. 9, N. 6, p . 1657-1669.
5. Modeling flow and chemical quality changes in an irrigated
stream - aquifer system.
KONIKOW , 1.F., Y BREDEHOEFT, J.D., 1974
WATER RES. RESEARCH, Y. 10, N. 3, p. 546-562.
6. A Galerkin finite element technique for calculating the
transient position of the saltwater front.
SEGOL, G., PINDER G.F., Y GRAY, W.G., 1975
WATER RES. RESEARCH, v. 11, N. 2, p. 343-347
1
N° TITULO IX.
7. Groundwater Pollution . (p. 246-256)
FRIED, J.J., 1975
Ed. ELSEVIER SCIENTIFIC PUB. Co.
8. A model for calculating effects of liquid waste disposal in deep
salive aquifers.
INTERCOMP RESOURCE DEV. & ENG., INC., 1976.
9. Modeling chloride movement in the alluvial aquifer at the Rocky
Mountain Arsenal, Colorado.
KONIKOW, L.F., 1977
U.S. GEOLOGICAL SURVEY, WATER SUPPLY PAPER 2044.
10. Computer model of two- dimensional solute transport and dispersion
in ground water.
KONIKOW, L.F. Y BREDEHOEFT, J.D., 1978.
TECHNIQUES OF WATER-RESOURCES INV. OF ]HE U.S. GEOLICAL SURVEY
BOOK 7, CHAPTER C2.
11. Modelo de calidad del sistema acuífero de Almonte-Marismas.
IGME., 1978
12. Revision of the documentation for a model for calculating effects
of liquid waste disposal in deep salive aquifers.
INTERA ENVIRONMEHTAL CONSULTANTS LTD., HOUSTON, TX., 1979
13. A "Random-Walk" solute trnasport model for selected groundwater
quality evaluations.
PRICKETT, T.A., 11AYMICK, T.G. y L01HNGUIST, C.G., 1981
111111015 STATE WATER SURVEY, CHAMPAIGN. BULLETIN 65
I Í
X.
N° TITULO
14. A numerical model study of groundwater contamination from Price's
Landfill , New Jersey.
GRAY, W.G. Y HOFFMAN, J.L., 1983
GROUNDWATER CONTAMINATION FROM HAZARDOUS WASTES, p. 75-85
Ed. PRENTICE-HALL, IHC.
15. Modelo de calidad de la llanura Manchega
IGME, 1984
IV.3.1. DEFINICION Y CAMPO DE APLICACION
Se denominan modelos de advección - dispersión aquellos
en los que la componente del transporte debido a la dispersión
hidrodinámica se integra dentro del esquema de cálculo, al no ser
posible despreciarla frente a la componente advectiva del transporte;
por consiguiente , la ecuación general de la dispersión deducida
en el VOLUMEN II. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS
EN MEDIOS POROSOS SATURADOS presenta ahora su forma completa:
A- aC a aC a a c J CaX X aX a y y a y az z az
xaX
ac ac acv
_y a y vz
=a z at
Como se comentó en el capítulo correspondiente a los
modelos de advección, esta ecuación puede presentar un término
adicional en su parte izquierda en el caso de presencia en el acuífero
en estudio de reacciones químicas que afecten al transporte del
soluto contaminante ; análogamente, y en la mayor parte de problemas
prácticos , debe incluirse un término que exprese la presencia de
"fuentes " o "sumideros" en el acuífero a través de los cuales
se produce el aporte o desaparición de masa de soluto que, obviamente,
produce una variación en su concentración en el acuífero.
Los modelos de advección-dispersión pueden aplicarse
a la resolución de problemas de contaminación regional y puntual,
2.
pues en ambas existe componente dispersiva del transporte, si bien
en el caso de la contaminación regional dicha componente puede
despreciarse en general frente a la componente advectiva. Esta
última razón hace que en la práctica los modelos de advección-disper
sión se apliquen sólo a problemas de contaminación puntual (por
ejemplo, contaminación urbana , industrial , etc.) en los que la
dispersión hidrodinámica desempeña un importante papel , reservándose
el uso de los modelos de advección , menos complejos y costosos,
para los problemas de contaminación regional.
3.
IV.3.2. TIPOS DE MODELOS DE ADVECCION - DISPERSION
IV.3.2.1. INTRODUCCION
El objetivo de los distintos tipos de modelos de advec
ción-dispersión existentes es siempre el cálculo de la distribución
de concentración de un cierto soluto contaminante, sobre un conjunto
de celdas o elementos en que se ha discretizado espacialmente el
acuífero en estudio y para cada paso de tiempo en que se ha discre
tizado temporalmente el periodo de simulación.
Los modelos en diferencias finitas, es decir, aquellos
que hacen uso del método de las diferencias finitas para resolver
numéricamente la ecuación general de la dispersión han sido los
primeros en plantearse (Douglas, Peaceman y Rachford, 1959; ref.
n° 1). A pesar del buen resultado que ha dado este método para
la resolución de la ecuación diferencial del flujo subterráneo,
en el caso de la resolución de la ecuación de la dispersión se
producen graves errores numéricos, en especial el de dispersión
numérica (ver VOLUMEN 111, Capítulo III.5. ANALISIS COMPARATIVO
DE LOS DISTINTOS METODOS NUMERICOS EXISTENTES. VENTAJAS E INCONVENIEN
TES), que han hecho que en la actualidad dichos modelos estén práctica
mente en desuso.
Justamente para evitar la presencia de la dispersión
numérica se ha aplicado el método de las características (Garder,
Peaceman y Pozzi, 1964, Reddel y Sunada, 1969; ref. n° 2 y 3, respec
4.
tivamente). Este método no resuelve directamente la ecuación de
la dispersión (ecuación diferencial de segundo orden en derivadas
parciales) sino un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales
ordinarias, consiguiendo eliminar completamente el problema de
la dispersión numérica, si bien con ciertas restricciones por lo
que se refiere a la discretización espacial y temporal que se realiza.
Durante la década de los setenta, comenzaron a desarro
llarse y emplearse los modelos en elementos finitos, es decir,
modelos que aplican el método de elementos finitos a la resolución
numérica de la ecuación de la dispersión (Pinder, 1973, Segol,
Pinder y Gray, 1975). Si bien estos modelos también presentan problemas
de dispersión numérica, en el caso de problemas de contaminación
en los que la dispersión hidrodinámica es fuerte y componente predo
minante del transporte (y por lo tanto, el error numérico es de
orden muy inferior a la dispersión física), su uso está siendo
cada vez mayor por su buena adaptabilidad a heterogeneidades y
geometrías complicadas del acuífero.
En los apartados siguientes se describen, globalmente,
los modelos en diferencias finitas y en elementos finitos, indicán
dose en cada caso las peculiaridades inherentes al método numérico
a partir de las cuales se establece todo un abanico de modelos
de uno y otro tipo. Por otra parte, se describen un modelo con
aplicación del método de las características (Konikow y Bredehoeft,
1978) y el denominado modelo "random-walk" (Prickett, Naymick y
5.
Lonnquist, 1981). Este último modelo tampoco resuelve la ecuación
de la dispersión, por lo que no presenta el problema de la disper
sión numérica, gracias al empleo de un cierto artificio numérico
que ha dado buenos resultados prácticos en los casos en que ha
sido aplicado.
6.
IV.3.2.2. MODELOS EN DIFERENCIAS FINITAS
IV.3.2.2.1. PLANTEAMIENTO
Como se ha comentado en el apartado anterior no se
va a considerar un modelo concreto en diferencias finitas; por
consiguiente, se indican a continuación las hipótesis y restricciones
que con más frecuencia se efectúan en los modelos de este tipo:
P. Validez de la ley de Darcy.
2' Se consideran despreciables o nulas las variaciones verticales
de la piezometría (hipótesis de Dupuit) y de la concentración
del soluto.
34. Se admite que no hay presencia de reacciones quimicas que
modifiquen la concentración del soluto y que, además, éste
actúa como un trazador.
42. La difusión fónica y molecular produce un flujo dispersivo
despreciable frente al provocado por la dispersión mecánica.
5á. La porosidad permanece constante en el tiempo y es uniforme
en el espacio.
6á. El acuífero puede ser heterogéneo y anisótropo; sin embargo,
debe ser homogéneo e isótropo respecto a la dispersividad longitu
dinal y transversal.
74. El flujo subterráneo es uniforme.
7.
La formulación matemática de las anteriores hipótesis
y restricciones conduce al siguiente modelo matemático:
D (K . b . ah ) + 3 (K . b . ah ) = S a h + Q (1)ax x ax ay y ay at
o2c
+oa 2 C - v ac-� a`= ac (2)*x a
x2y
ay2 x a x y ay 't
Kx ah _ - Ky 2h (3)
vx n 2x y n ay
La ecuación ( 1) es la ecuación diferencial del flujo
subterráneo, en donde:
Kx.b = T x : Transmisividad en la dirección x
Kx.b = Ty
: Transmisividad en la dirección y
Kx : Permeabilidad en la dirección x
Ky : Permeabilidad en la dirección y
b : Espesor saturado
S : Coeficiente de almacenamiento
h : Nivel piezométrico
Q : Caudal de entrada (+) o salida (-) por unidad de área
x,y : Coordenadas espaciales
t : Tiempo
*NOTA: Por comodidad en el desarrollo posterior no se considerala presencia de fuentes / sumideros de soluto , si bien enlas aplicaciones prácticas de estos modelos siempre es ten¡da en cuenta.
8.
La ecuación ( 2) es la ecuación diferencial de la disper
sión en donde , además:
c : concentración del soluto
vx, vy : componentes del vector velocidad lineal media en las direcciones
x e y, respectivamente
Dx, Dy
: componentes del tensor coeficiente de dispersión hidrodinámica
en las direcciones x e y respectivamente
La ecuación ( 3) proporciona los valores de vx y vy
a partir de los gradientes piezométricos calculados en (1), nece
sarios para resolver la ecuación (2); en esta ecuación n es la
porosidad eficaz del medio poroso.
El proceso general de cálculo consiste en resolver
en primer lugar la incógnita de la piezometria ( es decir, el modelo
de flujo ) independientemente de la concentración del soluto dado
que éste es trazador y no modifica el flujo subterráneo; a continua
ción se calculan mediante ( 3) las componentes vx y vy para final
mente resolver la incógnita de la concentración (es decir, el modelo
de transporte).
9.
IV.3.2.2.2. RESOLUCION POR EL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
a) Modelo de flujo
Para la resolución del modelo de flujo ecuación (1)
se realiza una discretización espacial del dominio de estudio según
un mallado rectangular ( regular o irregular), definiéndose los
nodos en los centros geométricos de las celdas, y una cierta discre
tización temporal del periodo de simulación; la ecuación (1) se
aproxima por el método de diferencias finitas empleándose un esquema
implícito , de manera que para una celda ( i,j) (figura n° 1):
e'
t-+.l 1.1 '41.1or
t.1+i
Fig. n? 1 . Distoretización por el MDF
lo.
Ti-1,j,2 (hi-l,j - hij ) A x + Ti,j,l (hij+l - hi'j) �x+
Y
+ T. (hi+1
- h>. ) D +T. (hi - h ) Ax =
>>j�2 �j >j Ax �.j-1,1 ,j-1 i,j ¿Y
S i,j Ax 0Yi,j
At>>J +
Q>>j (4)
en donde:
h'ig-j : nivel piezométrico en la celda (i,j) para un tiempo t, anterior
h: nivel piezométrico en la celda (i,j) para un tiempo t + A t
Ti,j,l : transmisividad de paso entre celdas (i,j) e (i,j+l)
Ti,j,2 : transmisividad de paso entre celdas (i,j) e (i+l,j)
S1Ij : coeficiente de almacenamiento en la celda (i,j)
Qi,j : caudal de entrada (+) o salida (-) en la celda (i,j)
Ax, Ay: dimensiones de la celda
At : duración del paso de tiempo
La ecuación (4) representa o implica para una discretiza
ción en N celdas del dominio en estudio, un sistema de ecuaciones
algebraicas de N ecuaciones con tí incógnitas, que puede ser resuelto
por uno de los diferentes métodos ofrecidos por el cálculo numérico.
Una vez que se calcula para cada paso de tiempo la
distribución de piezometria sobre el mallado, puede calcularse
11.
la distribución de velocidades correspondiente , necesaria para
el modelo de transporte , empleando una aproximación en diferencias
finitas explícita de la ecuación (3):
K2(i,j) ( h1 - hi+l )
n(i,j) Ax(5)
K1(i,j) (h. . -hi j+1
n(i,j) Ay
en donde
v2 (i,j) : velocidad en el borde de separación de celdas (i,j) e
(i+l,j)
v1 (i,j) : velocidad en el borde de separación de celdas (i,j) e
(i,j+l)
K2 (i,j ) . permeabilidad de paso entre (i,j) e (i+l,j)
K1 (i,j) : permeabilidad de paso entre ( i,j) e (i,j+l)
n (i,j) : porosidad eficaz en (i,j)
b) Modelo de transporte
A continuación se indican las diferentes maneras de
aproximar por el MDF las derivadas parciales (espaciales) que
aparecen en (2); se indican después los esquemas (o aproximaciones)
más usuales de la ecuación (2), señalándose la estabilidad y conver
gencia de cada uno.
12.
Aeróximación - de-las derivadas e arciales-
Bajo algunas condiciones de regularidad de la función
c (es suficiente en este caso que c tenga derivadas continuas hasta
el orden 4 ), ésta puede ser desarrollada mediante un desarrollo
en serie Taylor respecto a x, manteniendo y,z,t constantes:
ac h2 22cc(x+h,y,z,t) = c(x,y,z,t) + h . (x,y,z,t) + (x, y,z,t) +
ax 2 ax2
h3 a3c hn 2nc+ (x,y,z,t) + ....: + - (x,y,z,t) + R (6)
3! a x3 n! 2xn
Donde R, resto de la serie , es igual a k(h n+l), siendo k una función
de las derivadas de orden superior a n.
Aeróximación -de - la-derivada -primera.-------------
Haciendo h = 0 x y h= - A x, se tendrán los siguientes
desarrollos:
D c Ax2 a2cc(x+ tx x,y,z,t) = c(x,y,z,t) + A x. (x,y,z,t) + (x,y,z,t)+
2x 2 2x2
+ k (tx3) (7)
13.
2c A x2 22cc(x- Ax,y,z,t) = c(x,y,z,t) - á X (x,y,z,t) + (x,y,z,t)+
ax 2 2 x2
+k (Ax3)(8)
de (7) y ( 8) puede deducirse
ac c(x+Ax,y,z,t) - c(x-Ax,y,z,t)(x,y,z,t) = + k(A x3) (9)
2x 2 Ax
despreciando el término k( A x3 ),se obtiene la denominada aproximación
centrada en el espacio:
2c c(x+ A x,y,z,t) - c(x- A x,y,z,t)(x,y,z,t) _ (10)
2x 2 A x
Es importante observar que el error de truncadura cometido en (10)
es del orden de k( A x3 ) siendo k una función de la derivada de
orden 3 y siguientes.
Llevando el desarrollo en serie sólo hasta la primera derivada:
c(x+ A x,y,z,t) = c(x,y,z,t) + A xD c
(x,y,z,t) + k(A x2) (11)2x
14.
c(x- A x,t.z.t) = c(x,y,z,t) - x --Lc (x,y,z,t) + k( ¿x2) (12)ax
De (11) y (12) puede deducirse , respectivamente:
PC c(x+ A x,y,z,t) - c(x,y,z,t)(13)(x,y,z,t) _ + k( 0x2)
2x Ax
2c c(x,y,z,t) - c(x- A x,y,z,t)(x,y,z,t) _ + k( 0x2) (14)
ax Ax
Despreciando los términos k( A x2 ) en (13) y (14),
se obtienen , respectivamente , las denominadas aproximaciones hacia
adelante y hacia atrás en el espacio:
PC c(x+ A x,y,z,t) - c(x,y,z,t)(x,y,z,t) = (15)
ax Ax
ac c(x,y,z,tl - c(x-A x,y,z,t)(x,y,z,t) (16)
ax Ax
siendo el error de truncadura en ambos casos del orden de k( A x2),
donde k es función de las derivadas de orden 2 y siguientes. Como
1
15.
puede observarse , ( 10) constituye una mejor aproximación , especial
mente en los casos de fuerte curvatura donde las derivadas 2 1 y
30 son importantes.
eroximáción - de-la-deriváda _ segundá- -- -- ----- --
A partir de (7) y (8) se deduce:
a2 C(x,y,z,t) c(x+ 0 x,y,z,t) - 2c(x,y,z,t) + c(x- t x,y,z,t) (17)
2 x2 ( 1x)2
con un error de truncadura del orden de k(t x3).
. Aeróximáción - de - la-ecuación - diferencial.----------------------
La aproximación de la ecuación (2) (simplificada a
1-D, para mayor claridad ) se realiza eligiendo una aproximación
de 2c / 2x (hacia adelante, hacia atrás o centrada ) y aproximando
22ac/2x
De esta forma llamando T ( x,t) a la aproximación de
1
16.
D 22c / 2x2 - v 2c/ 2x para un punto x y tiempo t, se tiene una
primera aproximación de la ecuación (2):
2c= T (x,t)
2t
Por otra parte, la aproximación de la derivada temporal
D c/ 2t se basa en el hecho de conocer c(x,t1) y de pretender calcular
c(x,t2 ), siendo t2> t1, lo que se traduce en:
D c: c(x,t2) - c(x,t1)
D t t2 - tl
Según que T(x,t) sea evaluada en el tiempo t1 ,t2 o en
uno intermedio , se tienen tres esquemas o aproximaciones diferentes
de la ecuación (2).
1. Esquema explícito
Evaluando T en el tiempo ti , se tiene
c(x,t2) - c(x,t1)T (x,t1) (18)
t2 - t1
La interpretación geométrica de la ecuación ( 18) puede verse
1
17.
en la figura n° 2, teniendo en cuenta que T(x,t 1) es la pendiente
de la tangente a c(x,t) en t1. c(x,t 2) y Y (x,t2) representan el
valor computado y exacto, respectivamente, de la función para el
tiempo t2
c
a��l
cta j
TzIi: t
Fig. n? 2. Aproxiwación explícita
2. Esquema implícito.
Evaluando T en el tiempo t2, se tiene
c(x,t2) - c(x,t1)= T (x,t2) (19)
t2 - tl
Cuya interpretación geométrica puede observarse en
la figura n° 3.a. T(x,t 2) es la pendiente de la tangente a c(x,t)
en t2, y la recta que une c(x,t1) y c(x,t2) es paralela a dicha tangente.
1
18.
c c
Y (x .+t)
C(04 t�)C(*,+ )
C(a.y) (x.4)ct�.yl
(a) (b)
Fig. n? 3. Aproxi.ación iaplícita (a) y de Crank-Nicholson (b)
3. Esquema de Crank-Nicholson
Suponiendo que T(x,t) es lineal en el intervalo (t1,t2) puede
escribirse:
c(x,t2) - c(x,t1)X T(x,t1) + (1 - X ) T (x,t2)
t2 - t1 con 0 < X t 1(20)
Para 7\ = 0.5, se tiene el denominado esquema de CranK-Nicholson (figu
ra n° M.
19.
IV.3.2.2.3. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA
El objeto de las aproximaciones realizadas es proporcionar
una estimación de la concentración en el tiempo t 2 (c(x,t2 )) siendo
conocida la concentración en el tiempo t1 . Para que dicha estimación
sea válida debe aproximarse a la solución exacta de la ecuación
(2) de la dispersión ( Y (x,t2)), lo que requiere el cumplimento
de dos condiciones para el caso de las aproximaciones: estabilidad
y convergencia.
Convergencia_
Una aproximación en diferencias finitas se dice que
es convergente si la diferencia entre Y (x,t) y c(x,t)
tiende a cero cuando A x y A t tienden a cero, para
un tiempo y posición dados.
Estabilidad:
Dado que el proceso de cálculo es un proceso iterativo,
es decir, se calcula c(x,t+ A t) a partir de c(x,t),
debe cumplirse la estabilidad de dicho proceso; es
decir, debe poder evaluarse en algún sentido la diferencia
entre Y (x,t) y c(x,t) cuando t---- oo , para unos
A x y A t dados.
1
20.
De otra forma: debe cumplirse que los errores entre
solución calculada y exacta no sean acumulativos con el tiempo.
Se asume que las aproximaciones realizadas son conver
gentes. No se demuestra aquí la estabilidad de los esquemas presen
tados (que puede verse con detalle en la referencia n2 7 p. 250-
253), sólo indicar que la estabilidad del esquema explícito implica
que se cumpla la condición:
A t < A x sobre todo el mallado2 D + v
Ax
Por lo que el esquema se dice que es condicionalmente
estable. Los esquemas implicitos y de Crank-Nicholson resultan
incondicionalmente estables, es decir, independientes de la discre
tización espacio-temporal realizada.
Justamente el hecho de que el esquema explícito sea
condicionalmente estable hace que en la práctica no se emplee,
pues obliga al empleo antieconómico de pasos de tiempo muy peque
ños. Por el contrario, este esquema resulta ventajoso y más sencillo
que el implícito en la medida en que no es preciso resolver ningún
sistema de ecuaciones algebraicas.
21.
IV.3.2.2.4. RESOLUCION DEL SISTEMA.-DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Si se considera ahora una ecuación de dispersión en
2-D, en el caso de coincidencia del flujo con el eje x (es decir,
y _ Vx, vy = 0).
a2 c 22 c 2c 2cD L ----2 + DT -�- - vx = (21)
J x ay 'x at
y se procede a una discretización espacio-temporal similar a la
considerada por el modelo de flujo, puede escribirse la siguien
te aproximación de (21) empleando un esquema implícito
C2 (i+l,j)-2C2(i,j)+C2(i-l,j)DL(i'j) +
0x2
C2(i,j+l)-2C2(i,j)+C2(i,j-l)
Ay2
C2(i,j)-C2(i-1,j) C2(i,j)-C1(i,j)- V2(i-l,j) = (22)
Ax At
en donde :
C1(i,j) : concentración en la celda ( i,j) para un tiempo tl (conocida)
C2(i,j) . concentración en la celda ( i,j) para un tiempo tl + 0 t = t2
DL(i,j) , DT(i,j) : coeficientes de dispersión longitudinal y trasnver
sal en la celda (i,j)
V2(i-l,j) : velocidad del flujo en el borde de la celdas (i-l,j), (i,j)
1
22.
La ecuación ( 22) implica para una discretización en
N celdas del dominio de estudio , un sistema de N ecuaciones algebrai
c as con N incógnitas que puede ser resuelto por alguno de los distintos
procedimientos que ofrece el cálculo numérico. Uno especialmente
ventajoso cuando el dominio es bidimensional rectangular o al menos
muy regular es el ADIP , introducido por Peaceman y Rachford, muy
rápido en términos de tiempo de ordenador.
El procedimiento ADIP consiste básicamente en subdividir
cada paso de tiempo en dos semipasos , expresando las derivadas
respecto a x implícitamente y las derivadas respecto a y explícita
mente durante la primera mitad del intervalo de tiempo . Para la
segunda midad del intervalo de tiempo , las derivadas se expresan
explícitamente respecto a x, e implícitamente respecto a y
C+(i+1,j)-2C+(i,j)+C+(i-l,j) C+(i,j)-C+(i-l,j)DL(i,j). - V2(i-l,j) _
Ax2 Ax
C+(i,j)-C1(i,j )- DT( i,j)
C1(i ,j+l)-2C1(i,j)+C1(i,j-1)
At/2 A y2 (23)
0 (i,j)C2(i,j+l)-2C2(i,j)+C2(i,j-1) - C2(i,j)-C+(i,j)
-
oye At/2
C+(i+l,j)-2C+(i,j)+C+(i-l,j) C+(i,j)-C+(i-l,j)- DL(i,j) + V2(i-l,j).
Ax2 A x(24)
en donde
23.
C1(i,j) : concentración en la celda ( i,j) en el tiempo t 1 (conocida)
C+(i,j) : concentración en la celda (i,j) en el tiempo t1+ A t/2, sin
significado físico alguno
C2(i,j ) : concentración en la celda (i,j) en el tiempo t2
La solución en cada paso de tiempo t t, se obtiene
calculando por filas las concentraciones C + por eliminación tridia
gonal de Gauss , para calcular a continuación por columnas las
concentraciones C2 , por el mismo método . Se demuestra que el
procedimiento ADIP es convergente e incondicionalmente estable.
1
24.**
IV.3.2.2.5. CONDICIONES DE CONTORNO
La expresión numérica de las condiciones de contorno
que usualmente suelen presentarse en la práctica es la siguiente:
-Límite impermeable ( -�--n = 0 )
Se simula este tipo de límite añadiendo una celda
ficticia exterior al límite del acuífero y de análogas dimensiones
y concentración que la celda adyacente pertenenciente al acuífero
(figura n° 4).
co,1 C,. tt • CO, 1 ' c,, I
1 1
O 1
Fig. n? 4. Condicién de contorno : Límite impermeable
- Limite de gradiente constante ( j c = cte)an
Esta condición de gradiente constante garantiza la variación
lineal de la distribución de concentración a través del límite.
La concentración de la celda ficticia es siempre ( figura n° 5):
Co,t = 2Cl,t - C2,t
25.
Co.1
--�
Fig. n? S. Condición de contorno: limite de gradiente constante
- Limite a concentración impuesta (c = cl)
Se simula imponiendo en las celdas correspondientes
el valor conocido de la concentración, que puede ser constante
o una función conocida de t.
26.
IV.3.2.2.6. PRINCIPALES DIFICULTADES NUMERICAS EN LA APLICACION DEL M.D.F.
El método de diferencias finitas, aplicado con un éxito
suficientemente probado en el caso de los modelos de flujo, se
ha encontrado con una serie de dificultades en los modelos de
transporte o dispersión que han hecho que en la actualidad el método
se encuentre prácticamente en desuso. Entre estas dificultades
se encuentran dos de especial relevancia
1. Saturación
Si se considera la inyección a caudal constante de un fluido con
concentración unitaria en un flujo monodimensional gobernado por
la siguiente ecuación de dispersión :
D , a2 c - v ac - _ ,c (25)
J x2 ax D t
y se comparan las soluciones analíticas y calculada para un tiempo
dado puede observarse (figura n° 6) cómo ésta excede el valor unidad
en las proximidades del eje de concentraciones.
c
-- - Sabeiée eo'cubd�- sawc+w o�d�hoo
fig. n9 6. Saturación
27.
Esta discrepancia , conocida con el nombre de " saturación"
suele ser frecuente en los modelos de transporte y se explica como
consecuencia de un desajuste entre las discretizaciones espacial
y temporal realizadas ; un mal ajuste entre ambas provoca que el
modelo del acuífero no pueda "absorber " numéricamente la masa de
soluto inyectada. El paso de tiempo debe ser elegido cuidadosamente
para evitar este tipo de dificultad siendo frecuente determinarlo
como término de una progresión geométrica creciente ( A t =n
a
. A tn-1 con 1 < a < 2).
En cualquier caso es recomendable "tantear " el modelo
con una función escalón de concentración unitaria para ajustar
ambas discretizaciones antes de abordar el problema a resolver.
2. Dispersión-Numérica
Si se considera de nuevo la ecuación (25) con la particu
laridad de hacer D = 0 y se comparan las soluciones analítica
y calculada para un tiempo t (figura n° 7) se observa que la solución
calculada parece cumplir una cierta ecuación del tipo
M : 2 c - v . ac = Dc (26)a x2 J x 2t
28.
1oioNico
Sol�ióa mkvam
Fig. n4 7 . Dispersión numérica
Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación
(25) (con 0 � 0) por lo que el error cometido recibe el nombre
de "dispersión numérica". Lantz (1969,1970) ha dado algunas explica
ciones al respecto: la "dispersión numérica " es un error de truncadura;
al aproximar por el MDF las derivadas de primer orden (espacial
y temporal) se producen errores de truncadura proporcionales a
las derivadas de segundo orden, dependiendo las constantes de propor
cionalidad de los incrementos espacial y temporal.
Efectivamente, la derivada espacial de primer orden
en (25) es:
v2c
= v c(x)-c(x-Ax) - u A x a2 c
ax Ax 2 2x�
29.
donde, al despreciar el término que contiene la segunda derivada,
se introduce un coeficiente de "dispersión numérica" ( -u A x ) que2
puede ser del orden del coeficiente de dispersión física; esta
dispersión artificial es de gran importancia en el campo de la
dispersión mecánica (donde D = a . V) para valores del orden
de Ox2
No existe en la práctica solución alguna para resolver
este problema, salvo emplear coeficientes medios de la dispersión
longitudinal del tipo a v - y A x lo que permite de alguna forma2
paliar la "dispersión numérica".
30.
IV.3.2.2.7. CASO HISTORICO DE APLICACION
IV.3.2.2.7.1. UN MODELO PARA CALCULAR EL EFECTO DE LA INYECCION DE
RESIDUOS LIQUIDOS EN ACUIFEROS SALINOS PROFUNDOS
(INTERCOMP RES. DEV. AND ENG., INC., 1976)
1. Objetivó- del-estudio
Como consecuencia del diseño de un modelo matemático
en diferencias finitas convencional , para el tratamiento del problema
de la inyección de residuos líquidos industriales en acuíferos
salinos profundos , se planteó un hipotético caso que permitiera
comprobar la eficacia del modelo . Es decir, no se trata de analizar
un caso histórico, si bien las características y condiciones asumí
das en el problema teórico de contaminación se acercan bastante
a las reales . El objetivo del modelo citado es el cálculo de la
distribución de concentraciones del contaminante ( o contaminantes)
inyectado en el acuífero. De esta forma podía disponerse de una
alternativa, la inyección de residuos líquidos en acuíferos pro
fundos, de bajo impacto ambiental y coste relativamente inferior
respecto a otras maneras de tratar el problema : evaporación directa
en tanques , tratamiento químico de residuos con descarga posterior
a cauces superficiales, etc.
El problema teórico-práctico planteado consistió, en
concreto, en considerar la existencia de dos sondeos de inyección
31.
profundos para eliminación de residuos líquidos levemente ácidos
provenientes de una planta química; la formación geológica elegida
la constituyen unas areniscas a unos 1200 m. de profundidad (figu
ra n° 8). El sondeo DWD-1 se considera con inyección continua desde
el comienzo de la simulación, mientras que el sondeo DWD-2 tiene
un funcionamiento periódico en principio, para finalizar la simula
ción con inyección también continua como consecuencia de un creci
miento de la planta química.
DWD -1 O DE WMccIMDWD-2 SONpEO DE OBSERW►CION
O AIWERN. OE INYEOCION
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
Fig. n? 8. Representación esquemática del problema
Las propiedades químicas del agua residente en la formación
y del agua inyectada son las siguientes (los contenidos salinos
se dan en p.p.m.)
32.
Agua Residente Agua Inyectada
Calcio 0.670 0.050
Magnesio 0.320 0.020
Sodio 39.000 17.000
Potasio 0.100 0.075
Sulfatos 0.075 10.000
Cloruros 82 . 000 12.000
Sólidos Disueltos 130.000 40.000
Metales -- Arsénico 2.000
Cadmio 0.350
Cobre 0.600
Zinc 0.720
Mercurio 0.015
Hierro 2.900
Níquel 0.750
pH 6.6 5.6
Densidad a 21.1°C 1149.75 Kg/m3 1045.62 Kg/m3
Densidad a 59.9 ° C 1129.55 Kg/m3 1033.45 Kg/m3
Viscosidad a 59.9°C 0.9 cp 0.75 cp
33.
2. Caracterización-hidrógeólógica_del-sistema-á-modelar
Se consideró un acuífero de tipo areniscoso confinado
a techo por una secuencia de dolomitas de baja permeabilidad y
anhidritas impermeables; el impermeable de base lo constituye una
potente formación de esquistos impermeables.
La permeabilidad horizontal en el acuífero es de 90 m/d,
asumiéndose una permeabilidad vertical de 1/3 de la anterior; la
potencia del acuífero es de unos 30 m. La porosidad eficaz es
del 10%.
Los valores considerados de dispersividad longitudinal
y transversal son, respectivamente, a 30 m. y a T = 6 m.
3. El-modelo-matemático------------------
El modelo considera la posible existencia de contrastes
en las propiedades (en concreto, la densidad) del agua residente
y del agua inyectada. Como consecuencia, y de acuerdo a lo comen
tado con respecto al problema especial de la intrusión salina en
el VOLUMEN II. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS
EN MEDIOS POROSOS SATURADOS, la ecuación general del transporte
sufre unas ciertas modificaciones, así como la de flujo, de manera
que el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales debe resolverse
1
34.
de manera acoplada o simultánea, ya que en este caso (de contaminante
no trazador) la velocidad del flujo depende de la distribución
de concentraciones.
Por consiguientes, las dos ecuaciones diferenciales
que considera el modelo tridimensional son:
V. (V p - p gVz) - q' = a (n.p) (27)at
V.(ec (Vp- Pg Vz)) + V.( PD). Vc-q'c = a ( nc) (28)at
La ecuación (27) representa la ecuación del flujo
subterráneo , en donde la ley de Darcy se ha expresado en términos
de presión . La ecuación ( 28) es la ecuación del transporte de solutos;
en ambas se incluye un término ( q' ó q'c ) que representa la presencia
en el acuífero de una fuente o sumidero . El operador V , en este
caso tridimensional , en ejes cartesianos es: V = á + +ax ay az
El modelo empleado da opción al usuario de emplear,
para las derivadas espaciales de primer orden, una aproximación
hacia atrás o una aproximación centrada pues el error de truncadura
proporcionado por esta última aproximación es proporcional a la
derivada segunda y, en consecuencia , la dispersión numérica será
mucho menor que con una aproximación hacia atrás. Con respecto
1
35.
a las derivadas de primer orden respecto al tiempo, el modelo da
opción a emplear un esquema implícito o un esquema de Crank-Nicholson.
El mallado empleado en ambos modelos fue el siguiente
(dimensiones en pies, siendo 1 pie = 0.3048 m.)
eje X (16)
200. 200 . 100. 100 . 62.5 100. 100. 100.
100. 100 . 100. 62 .5 100. 100. 200. 200.
eje Y (5)
100. 100. 100. 200. 200.
eje Z (3)
33.3 33.3 33.3
Las distribuciones de la concentración obtenidas por
el modelo al cabo de un año de simulación se muestran en las figuras
n° 9a. y 9b. para el techo y muro respectivamente . Como puede obser
varse el frente de contaminación ha avanzado mucho más desde el
pozo DWD-1 con inyección continua. Cada número indica anchos de
0.05 en valor de concentración (así el 1. representa de 0.05 a
0.10 y el 9 representa valores superiores a 0.85 ); en la figura
1
1
oJa}ime jap (q) ojnu A 1(e) opa}ja e.led epeinojeo ugt3eJ;ua3uoo ap u9pnqp1sio *6 bu '613
(q)
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37.
4. Conclusiones
Si bien los autores han conseguido paliar el problema
de la dispersión numérica empleando una aproximación centrada para
las derivadas espaciales de primer orden y una aproximación de
Crank-Nicholson para las derivadas temporales de primer orden,
presentándose errores de truncadura prácticamente nulos para la
aproximación espacial y pequeños respecto a la dispersividad para
la aproximación temporal (por ejemplo, este error de truncadura
"temporal", a una distancia de unos 60 m. de los sondeos de inyección,
es menor del 10% del valor de la dispersividad), no es menos cierto
que ello ha sido a costa de emplear una discretización espacio-temporal
fina (y, por lo tanto, costosa) para evitar problemas de "oscilación".
Para impedir estos problemas de "oscilación" (se trata,
en definitiva, del error de saturación) ligados a la aproximación
espacial realizada, debe cumplirse sobre todo el mallado la siguiente
restricción para la discretización espacial
v A x D caso monodimensional.2
Para que no se presente el problema de "oscilación"
aparejado a la aproximación temporal realizada, la limitación a
cumplir por A t es :
v A t < 2 caso monodimensionaln .Ax
38.
Obviamente, en un problema de aplicación real hubiera
pesado mucho en contra de la elección de un modelo en diferencias
finitas las citadas limitaciones y elevados costes que ellas traen
consigo.
Por otra parte , en el año 1979, el modelo fue revisado
con vistas a que tuviera un mayor campo de aplicación. En concreto,
la nueva versión permite el tratamiento de acuíferos poco profundos,
con presencia de reacciones químicas (adsorción) y desintegración
radiactiva.
39.
IV.3.2.3. MODELO EN DIFERENCIAS FINITAS CON APLICACION DEL METODO DE
LAS CARACTERISTICAS (L.F. Konikow y J.D. Bredehoeft, 1978).
IV.3.2.3.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Las principales hipótesis y restricciones consideradas
por el modelo son las siguientes:
1 9 . Validez de la ley de Darcy.
22. Se consideran despreciables o nulas las variaciones
verticales de la piezometría (hipótesis de Dupuit) y de
la concentración del soluto.
32. Se admite que no hay presencia de reacciones químicas
que modifiquen la concentración del soluto y que, ade
más, éste actúa como un trazador.
42. La difusión fónica y molecular produce un flujo disper
sivo despreciable frente al provocado por dispersión
mecánica.
59. La porosidad permanece constante en el tiempo y es un¡
forme en el espacio.
62. El acuífero puede ser heterogéneo y anisótropo ; sin
embargo debe ser homogéneo e isótropo respecto a la
dispersividad longitudinal y transversal.
La formulación matemática de las anteriores hipótesis
y restricciones conduce al siguiente modelo matemático:
1
40.
2 (T a h 5 ah + w i,j = 1,2 (29)axi i j 2xj at
(bD ac )- a (b. c.-¡ ) - cW = a(c.b ) ¡J = 1,2ax. ij axj axi i n 2t
(30)
K.. ahvi = 13 i,j = 1,2 (31)
n axj
Las ecuaciones están expresadas en notación tensorial;
la ecuación (29) es la ecuación del flujo subterráneo , en donde:
Tij : componente del tensor de transmisividad
h : nivel piezométrico
5 : coeficiente de almacenamiento
t : tiempo
W=W(x,y,t ) = caudal de entrada (-) o salida (+), por unidad de
área de acuífero ; caso de presencia de relación
río-acuífero o de filtración a través de un estrato
semipermeable hacia/ desde otro acuífero , este término
se expresa
KW(x,y,t) = Q(x,y,t ) - z (H S h)
m s (32)
1
41.
en donde
Q caudal de entrada (-) o salida (+), del tipo bombeo, inyec
ción, evapotranspiración, etc.
Kz . permeabilidad vertical del semipermeable, o del lecho del
río.
m : espesor del semipermeable o del lecho.
Hs nivel piezométrico del otro acuífero, o nivel hidráulico
del cauce superficial.
xi,x, coordenadas cartesianas.
La ecuación (30) expresa el transporte de solutos,
en donde :
c concentración del soluto.
vil componente del vector velocidad lineal media.
Die componente del tensor coeficiente de dispersión hidrodinámi
ca.
b : espesor saturado
co . concentración del soluto en una fuente/sumidero.
La ecuación (31) proporciona los componentes del vector
velocidad lineal media cuyo valor debe ser conocido para resolver
la ecuación (30); en ella, n es la porosidad eficaz del medio.
El proceso general de cálculo es resolver en primer
lugar (29) por aplicación del MDF, independientemente del modelo
1
42.
de transporte (ecuación ( 30)) dado que el soluto es trazador; a
continuación se evalúan las componentes vide ( 31), aplicando también
el MDF, para resolver la distribución de concentración del soluto
en el acuífero , aplicando el método de las características (MOC).
44.
hi,j,k-1 nivel piezométrico en la celda ( i,j) para un paso de
tiempo anterior (k-1).
hi,j,k nivel piezométrico en la celda (i,j) para un paso de
tiempo anterior k, de duración A t.
Txx(i+j,j) transmisividad de paso entre las celdas (i,j) e (i+l,j),
o bien ( signo negativo ) entre (i-l,j) e (i,j)
Tyy(i,j+l) : transmisividad de paso entre las celdas (i,j) e (i,j+l),o
bien (signo negativo ) entre (i,j-l) e (i,j)
qw 0'j) . caudal de entrada (-) o salida (+) en la celda (i,j).
A x, A y : dimensiones de la celda.
t : duración del paso de tiempo k.
La ecuación ( 33) representa , para un total de N celdas,
un sistema de ecuaciones algebraicas (lineales) de N ecuaciones
con N incógnitas; para su resolución se emplea un procedimiento
implícito iterativo en direcciones alternadas.
Una vez que el modelo calcula la distribución de pie
zometría para cada paso de tiempo, realiza el cálculo de la velocidad
del agua necesaria para la resolución explícita en diferencias
finitas de (31) de manera que se calculan
Kxx(i,j) (hi-l,j,k - hi +l,j,k )(34)
x(i,j) n 2 0 x
v = Kxx(i+I,j) (hi,J,k- hi+l ,j,k) (35)
x(i+,j) n x
45.
en donde:
vx(i,j) : velocidad , según el eje x, en el nodo de (i,j).
vx(i+i,j) • velocidad , según el eje x, en el borde de separación de
(i,j) e (i+l,j)-
Kxx(i,j) permeabilidad ( eje x ) en el nodo de (i,j).
Kxx(i+j,j) = permeabilidad ( eje x ) en el borde de separación entre
(i,j) e (i+l,j), calculándose como media armónica de
Kxx(i,j) y Kxx( i+l,j)'
n : porosidad eficaz.
Análogamente se calcularían las componentes de la velo
cidad según el eje y (vy(1 ) vy(i,j+ l) ); es interesante señalar
que las fórmulas del tipo ( 35) son más precisas que las (34), ya
que en éstas vx se evalúa para un espacio 2A x.
1
46.
IV.3.2.3.3. RESOLUCION DE LA ECUACION DE LA DISPERSION POR EL METOD0
DE LAS CARACTERISTICAS (MOC).
APLICACION DEL METOD0
El MOC es un método habitualmente empleado en la reso
lución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas. L a ecuación del
transporte (30) puede ser considerada una ecuación de este tipo
siempre que el término advectivo (=vi �X) sea dominante, lo cual
suele ser común en muchos problemas de campo.
Como es sabido, los cambios temporales producidos en
una determinada propiedad de un fluido (p.e. su concentración)
pueden ser descritos de dos formas: en base a un sistema coordenado
estacionario en el que se analizan un conjunto de puntos fijos
de referencia, o bien en base a sistemas de referencia asociados
a cada partícula de fluido siguiendo su correspondiente trayectoria.
Estas dos descripciones llevan asociadas dos tipos
de derivadas temporales:
_� sería el cambio de concentración observada desde un punto
fijo (origen de coordenadas).
de sería el cambio de concentración observado en una partículadt
en movimiento.
47.
La relación entre esta última ( derivada sustancial)
y la primera es :
de = 2c + 2c . dx + 2c . dy
dt at J x dt ay dt(36)
Teniendo presente ( 35) se modifica ( 30) como sigue,
considerando el espesor saturado b variable y desarrollando el
término advectivo:
ac = .l a (bD .. ac V ac - v ac + F (37)at b 2xi '� axj x ax y ay
c(S » + W - n J)- c'Wen donde: F =
nb
Observando las analogías del 2° y 3 ° términos a la
derecha en ( 35) con los 2 ° y 3° términos a la derecha de (37),
se llega a la sustitución de (37) por
dx = v (38 ) dy = v (39)dt x dt y
de _ 1 2 (bD ac ) + Fdt b axi
�.� 2x
j(40)
Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por
(38), (39) y (40) son :
x = x(t); y = y(t); c = c(t) (41)
denominadas curvas características de la ecuación (37).
48.
La resolución numérica de este sistema ((38)-(39)-(40))
implica la introducción de unas partículas fluidas virtuales que
pueden moversa dentro del sistema de coordenadas estacionario consti
tuido por el mallado de diferencias finitas. Cada punto o partícula
tiene una concentración y posición asociadas con él y es movido
a través del flujo regional en proporción a la velocidad y a su
situación. A continuación se indican detalladamente las dos fases
de cálculo existentes:
a) La "siembra " de partículas.
Al inicio de la simulación se realiza una distribución
geométricamente uniforme de un conjunto de partículas fluidas
virtuales en cada celda del mallado; lo usual en problemas bid¡
mensionales es colocar de 4 a 9 partículas por celda . Cada partícula
(identificada por un número de orden p ) queda definida por sus
coordenas ( x y ) en el mallado y por una concentración inicialp p
que es justamente la concentración inicial en el nodo de la celda
que la contiene.
Para un paso de tiempo k cualquiera de la simulación,
cada partícula es movida una distancia proporcional al incremento
de tiempo y a la velocidad en la posición de la partícula ; la nueva
localización de la partícula es calculada aplicando un esquema
de diferencias finitas a (38) y (39), esto es
1
49.
xp,k = xp,k-1 + A t x(x(p'k)'y(p,k)) (42)
yp,k = yp,k-1 + A tvy(x(p'k)' y(P,k)) (43)
Las velocidades v'•( son calculadas por interx(p�k)' '(p'k)i -
polación bilineal sobre el área de la mitad de una celda empleando
las velocidades en nodos y bordes de celda adyacente (figura n°
10) anteriormente calculadas al resolver el modelo de flujo.
i-1.¡-1 •:.1-1 i•1.1-1 •
Í :. ,¡ •
$ \ • Nade del aallode\" O aihroeió• ee b porNeub p•:-1.1.1 :.1.1 i .1.¡.1
--+- Compoaeab X • Y de le eelecided
Ar•a de iaflueode (pert(eule p) pare ieterpelaeiÑrde es eabeidod (dir.ccida X)
Aren de iafe••cie ( Porticub p ) pees IaNrp Wftde la raioeided (dinceida y)
Fig. n? 10. Estimación de la velDcidad de la partícula.
Una vez que todas las partículas han sido movidas se
evalúa una concentración en cada nodo (ci,j,k*) con carácter tempo
ral, como media aritmética de las concentraciones de las partículas
que se encuentran en la celda correspondiente; el movimiento de
las partículas simula exclusivamente el transporte advectivo, de
ahí el carácter temporal de la distribución de concentración calcu
lada para el nivel de tiempo k.
50.
b) Consideración del transporte dispersivo , fuentes
y sumideros.
A continuación se aborda la resolución de (40) que
proporciona los cambios de concentración L c en una partícula
fluida debidos a la dispersión hidrodinámica, fuentes y sumideros.
A causa de las dificultades de computación que genera
el cálculo de estos A c en cada partícula , el modelo plantea
el siguiente esquema explícito en diferencias finitas para calcular
dicho á c en cada nodo ( posteriormente las concentraciones
de cada partícula se afectarán, como ya se verá, de acuerdo a estos A c
en los nodos)
'áci,j,k = At 1 (bDij ac + F (44)
b axi axj
La ecuación ( 44) se descompone en dos términos
A t a ac( c i,j,k ) I
-S. ---xi (bDi j �j) (45)
cambio en ci,j provocado por dispersión hidrodinámica.
(t
c i , j , k ) I I = A t . F (46)
cambio en cilj provocado por fuentes/sumideros.
1
51.
Aplicando a (45) y ( 46) un esquema explícito en diferencias
finitas, lo que implica que las concentraciones A c son conocidas
para el nivel k-l, se evalúa A ci,j para el nivel k.No se va
a exponer aquí el desarrollo de las fórmulas en diferencias finitas
empleadas para la aproximación de (45) y (46) por ser excesivamente
prolijo; no obstante, el desarrollo completo puede verse en la
referencia n° 10, p.8-10.
Por otra parte, dado que los fenómenos de transporte
advectivo, dispersión hidrodinámica y mezcla a partir de fuentes
ocurren de manera continua y simultánea en el tiempo , los gradientes
de concentraciones en cualquier punto fijo de referencia y las
diferencias de concentración entre fuente y nodo están continuamente
cambiando, entre k-1 y k . Por l o tanto evaluar ( 0 c i,j,k)I y(A ci,j,k)II por un procedimiento estrictamente explícito ( es decir
dando peso exclusivamente al paso k-1) introduce evidentes errores
en la simulación.
El modelo minimiza estos errores empleando un procedi
miento explícito en dos pasos de manera que (44) es resuelta para
cada nodo dando iguales pesos a los gradientes de concentración
fuente/nodo calculados en el paso k -1 y a los calculados en el
nivel k* (que representa la posición del frente para el nivel k
debido a la advección exclusivamente) ; es decir, (44) quedaría
como
52.
c(k-l)(S 2h+W-n áb)-c'WOc i ,J,k =
0.5 16 t 2 (b0i .ac
(k-1) + at 2tb axi
axjn
ac c(k*)(Sah + W - n ab - c'W
+ 0.5At a Mij (k*) ) + at )tb axi �� axj n
(47)
en donde habría que reemplazar las derivadas espaciales por su
correspondiente aproximación en diferencias finitas (referencia
n° 10, p. 8-10).
Por consiguiente, el proceso de cálculo de las concentra
ciones en los nodos de las celdas podría resumirse así (figura
n° 11)
,.o
\\ 1•
i
11
0.6
Y
0.00.0 0 ! 1.0
DISTANCIA IIEIATIVA
Fig. n? 11. Representacié^ "g-áfica" del proceso de cálculo
53.
1° Se evalúan los gradientes de concentración corres
pondientes al nivel k-l previo.
2° El frente avanza desde la posición correspondiente
a k-l hasta una nueva posición para el nivel k*, debido exclusiva
mente a la advección ; se recalculan ahora los gradientes de concentra
ción ( y también las diferencias de concentración fuente/nodo)
para esta nueva distribución de concentraciones.
3° Se calcula el Aci,J,k
según ( 47) (en lugar de (44))
de manera que la nueva posición del frente, es decir, las concentraciones
nodales en el nivel de tiempo k, es calculada como
ci,J,k=ci,J,k*
+ci,J,k (48)
Una vez que son conocidas las concentraciones en los
nodos para el nivel de tiempo k, es necesario obtener las concentra
ciones en las partículas virtuales , dado que las concentraciones
de éstas ( en una celda determinada) variarán alrededor de la concen
tración delnodo , el L c calculado para éste no será aplicable directa
mente en todos los casos a las concentraciones de las partículas.
Es decir :
- Si el ¿c calculado para una celda (su nodo) es
positivo , éste es simplemente sumado a las concentraciones de las
partículas ubicadas en aquélla.
54.
Si el t c es negativo, se aplica un porcentaje de
decrecimiento en las concentraciones de las partículas igual al
porcentaje de decrecimiento de la concentración del nodo , es decir,
ACi,j,kc.i,j,k
Esta técnica preserva el balance de masas dentro de
cada celda evitando la aparición de partículas con concentraciones
negativas, caso que se podría producir para partículas de concentra
ción inferior a la del nodo.
CRITERIOS DE ESTABILIDAD
El esquema explícito empleado para la resolución de
la ecuación del transporte lleva asociados ciertos criterios de estabi
lidad; el cumplimiento de estos criterios ( ligados a la discreti
zación espacio - temporal realizada ) asegura que el método empleado
es estable : es decir, los errores numéricos producidos en cada
paso de tiempo no son acumulativos (no se propagan en el tiempo).
Los criterios que considera el modelo son :
1° Para que una solución de (45) por un procedimiento
explícito en diferencias finitas sea estable debe cumplirse (Reddel
55.
y Sunada, 1970)
D At D Atxx + yy41 1/2 (49)
( Ax)2 ( Ay)2
condición que expresada para el A t (es decir, fijos el resto de
variables)
A t I Min (sobre todo 0.5el mallado ) xx yy (50)
(A x)2 ( Ay)2
D Des obvio que el menor A t lo define la celda de mayor xx + yy
(Ax)2 (Ay)2
2° Este criterio está relacionado con una restricción
física que debe cumplirse en todo momento y que se refiere a que
el cambio en la concentración de un nodo fuente debe ser menor
o igual que la diferencia de concentración que existe entre el
nodo y la fuente, es decir :
Aci,j,k
<ci,j,k-l - c'i,j,k
o, de otra forma:
Aci , J,k le 1.0 (51 )
C .,j,k c i,j,k
56.
Si ahora se considera la aproximación en diferencias
finitas, explícita, de la ecuación (46) :
hi,j,k-
hi,j,k-1
--At
( �i,j,k)II nb. ci,j.k-1 �t +�,j,k
+ W. - n bi,j,k . bi,j,k-1 - cl w (52)�,j,k A t i,j,k i,j,k
y se supone un flujo en régimen permanente ( 2h = 0, ab = 0),(52) pueat at -
de escribirse como
AtWi,j,k (ci,j,k-1 - c' i,j,k )
(�ci,j,k)11(53)
n . bi,5,k
y sustituyendo (51) en (53) se tiene que
A t Wi,j,k 1.0 (54)
n bi,j,k
es decir, el A t debe cumplir la restricción siguiente
A t s Mín (sobre todo n . bi,j,kel mallado) (55)
Wi,j,k
57.
3° El tercer criterio está relacionado con el transporte
advectivo. La distancia recorrida por una partícula (xp , yp
) viene dado
por:
6x = A t . x(x(P,k)' y(P,k))
by = nt . vy(x(P,k)' y(P,k)) (56)
Puesto que la trayectoria real de la partícula es curvi
línea y ( 56) no es sino una extrapolación lineal (es decir, se
mueve a la partícula según tramos rectos), se produce un error
en la solución numérica que es proporcional al t t elegido.
Por otra parte si 6 x > A x 6 6 y > y, puede
suceder que las partículas salgan de los límites del dominio en
un paso de tiempo determinado ; es necesario pues limitar los despla
zamientos calculados de manera que :
óx bx* = Y ti x0 < Y (57)
ay by* = Y Ay
sustituyendo ahora (57) en (56)
At . x(x(p,k)' '(p,k)) ' Y¿x
At . �y(x(p,k)' y(p,k)) E YAy
1
58.
y puesto que las velocidades de las partículas son menores o iguales
que las calculadas en los nodos o bordes de celda (son calculadas
por extrapolación bilineal ) resulta
Ot YAx
(vx)máx.(58)
At YDy(vy)máx.
Si el A t empleado en la resolución del modelo de
flujo no satisface estos tres criterios o tests (es decir, (50),
(55) y (58 )), es necesario partir el t t en subintervalos en el
modelo de transporte , que aseguren la estabilidad del esquema expli
cito empleado en la resolución de la ecuación del transporte
CONDICIONES DE CONTORNO E INICIAL
Las condiciones de contorno empleadas por el modelo
de transporte son compatibles con las utilizadas en el modelo de
flujo; en este último se emplean :
- Especificación sobre la variable h (condición de Dirichlet).
- Especificación sobre la derivada normal ( condición de Neuman).
59.
Lo que permite la simulación de todos los límites que
habitualmente se presentan en los acuíferos: límite a potencial
piezométrico impuesto , límite impermeable y de flujo nulo , y límite
a caudal impuesto.
En el modelo de transporte , los caudales de entrada
a través de límites de potencial y de caudal impuesto deben ir
asociados a una determinada concentración; los caudales de salida
se verán afectados por las concentraciones en las celdas del modelo
adyacentes al límite.
La condición inicial implica el conocimiento al comienzo
de la simulación de la distribución de concentración, para el modelo
de transporte ; únicamente es necesario destacar la importancia
de determinar con precisión esta condición inicial, dada su gran
influencia en los errores inherentes a la simulación.
TESTS DEL BALANCE DE MASAS
El modelo realiza un "chequeo " de la precisión numérica
de la solución efectuando para cada paso de tiempo el balance de
masas; dicho balance , se apoya en el principio de conservación
de masas, y puede expresarse
Rm = AM8- Mf (59)
60.
en donde
Rm : residuo de masa.
AM8 : cambio en la masa almacenada en el acuífero
Mf : flujo neto de masa.
y siendo :
AM8 = E jbi'j n A x A y (c i,j , k - c i , j,o) (60)
Mf = Fi
E kWi,j,k A x A y A tk c , i , j,k (61)
El modelo evalúa el error en el balance de masas de
dos maneras :
- Cuando el flujo neto de masa circulante es importante
100.0 (Mf - A M8)
El 0.5 (Mf + A M8) (62)
- Cuando el flujo neto de masa es pequeño comparado con la masa
inicial de soluto en el acuífero (Mo).
100.0 (M - A 1.1 )
E2= f 8 (63)
Mo - 11f
pues la ecuación (62) daría un error relativo alto, cuando en rea
lidad la solución puede ser precisa.
61.
Como es obvio un buen error en el balance sólo implica
la corrección numérica de los resultados , pero no implica que la
solución calculada sea la " buena " ( ella habrá de ser lograda con
la calibración del modelo).
62.
IV.3.2.3.4. TRATAMIENTO DE PROBLEMAS ESPECIALES
A continuación se indica cómo aborda el modelo el trata
miento de problemas que se plantean en el transcurso de la simulación
y que están siempre relacionados con el complejo dispositivo de
partículas virtuales establecido.
1° Límites impermeables y de flujo nulo
Teniendo en cuenta el error numérico que se comete
al calcular el transporte por advección debido al movimiento de
las partículas según trayectorias rectilíneas y no curvilíneas
puede suceder que una de ellas salga de los límites del modelo
atravesando un límite impermeable; para resolver esta incoherencia,
el modelo sitúa la partícula dentro del mallado, por reflexión
según la línea de límite (figura n2 12).
• modo del wteeeee
• • \ • Ekese4 ►r vN ►ertieule ►p No~ elteeeióe eebubd• ►artíeele p
Nene ell•edé• ear~ rerfieelM r
-► Lío" / direeelá. del flujo--- liee M flejA e cu.de
® Trewee�WviN� •uN 1 e Iiielle I•yermeoble)
Fig. n? 12. Tratamiento del movimiento de partículas cercanas a límites impermeables
63.
2° Celdas con fuentes/sumideros
Las fuentes/ sumideros , caracterizadas por un flujo
de tipo radial, constituyen puntos singularers en el campo de velo
cidades del agua subterránea . Para reproducir este flujo el modelo,
antes de calcular por interpolación la velocidad de una partícula,
sustituye las velocidades nodales calculadas con (34 ) por velocidades
en los bordes de la celda ( que son siempre mayores).
Por otra parte , en zonas donde la presencia de fuentes/sumí
deros afecta de manera apreciable al flujo regional, el modelo
prevé el sistema de mantener una distribución razonablemente uní
forme y continua de partículas móviles.
Así, para las celdas fuente el modelo tiene previstos
distintos procedimientos para la generación de nuevas partículas;
es decir , para sustituir aquéllas que se mueven fuera de la celda,
según la importancia relativa de la fuente frente al flujo regional
existente , o su localización ; obviamente sólo se reemplazan aquellas
partículas salientes que hayan sido generadas en la propia celda
(figuras n° 13 y n° 14).
64.
tiempo tiempo
sí- sí- N '011 03 04
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Fig. ng 13. Generación de partículas en celdas fuerte adyacentes a un límite impermeable
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Fig. n2 14. Generación de partículas en Celdas fuente no adyacentes a un límiteimpermeable para el caso del flujo regicnal despreciable (a) y p ara un acusado flujo regional (b)
65.
Para las celdas sumidero, el modelo realiza la eliminación
de todas las partículas interiores una vez finalizados los cálculos
en cada paso de tiempo, para evitar acumulación de partículas.
La combinación de estos dos mecanismos favorece el
mantenimiento de un número de partículas circulantes aproximada
mente constante.
Tal como se ha indicado , las concentraciones nodales
de las celdas fuente, cumplen las siguientes relaciones respecto
a la concentración de la fuente, c'i,j,k :
ci,j,k1
c'i,j,ksi
c'i,j,k>
ci,j,k-1
c i,j,k>* c
i,j,ksi c
i,j,k< ci,j,k-l
a las concentraciones de las partículas, se hace cumplir estas
mismas relaciones, de forma que al final de cada paso de tiempo
dichas concentraciones no son modificadas por los correspondientes
A ci j,k (como sucede en general) sino que toman justamente el
valor de la concentración nodal.
30 Areas de flujo divergente
En estas zonas existe el riesgo de que algunas celdas
puedan quedar vacías de partículas, de manera que se vean afectados
1
66.
erróneamente los cambios en la concentración debido al transporte
advectivo ( p.e. en celdas adyacentes a una vacía se da la paradoja
de no producirse advección desde la celda vacía, pero por el contrario
se produce cambio por dispersión hidrodinámica).
El problema puede no tener mucho peso en la simulación
si son pocas las celdas vacías permanentemente o sólo están vacias
de forma transitoria . En caso contrario , solventar el problema
implicaría utilizar un número de partículas excesivo e impracticable
en el modelo.
En realidad el modelo tiene un límite previsto de celdas
vacías; si se supera al final de un paso de tiempo dado , se corta
el proceso de cálculo empleándose las concentraciones ck calculadas
como "iniciales " para la continuación de la simulación con nueva
distribución de partículas, etc; si bien el procedimiento preserva
el balance de masas dentro de cada celda, puede producirse cierta
dispersión numérica por eliminación de variaciones de concentración
dentro de celdas individuales, que el propio modelo palia mediante
una subrutina de optimización que impone el cumplimiento de ciertas
restricciones a los niveles de concentración en las celdas de zonas
de flujo divergente.
67.
IV.3.2.3.5. ALGUNAS CONSIDERACIONES DE TIPO PRACTICO EN EL USO DEL MODELO
- Si bien las concentraciones c�,j,k (transporte advectivo)
son evaluadas como media aritmética de las c p de las partículas
interiores, podrían haberse calculado como una media ponderada
en función de las distancias partículas/nodo; no obstante, se ha
comprobado que el incremento en precisión no compensa los esfuerzos
computacionales necesarios y que el error causado no es acumulativo
en el tiempo . Por consiguiente , no se considera práctico introducir
esta modificación en el cálculo.
- El número de partículas / celda suele estar entre 4
y 9; la precisión en la solución numérica ( evaluada en función
del error en el balance de masas ) es directamente proporcional
al número de partículas empleado, mientras que la eficiencia de
la solución ( evaluada en sg. de cpu ) lo es inversamente; en
definitiva una mejor solución es más costosa.
- Por otra parte las fracciones Y más empleadas son
0.25, 0.50, 0.75 y 1. 00; la relación de precisión y eficacia no
es tan clara como en el caso anterior, dependiendo de la adecuada
representación del transporte advectivo.
- En la práctica se recomienda emplear un número de
partículas de 4 ó 5 con Y 0.75 6 1.00 para las primeras pasadas
de cálculo donde interesa que la eficiencia sea grande , pues se
está tanteando el problema y son muchas las pasadas a efectuar.
1
68.
Encauzada la calibración , para las últimas pasadas en las que interesa
la máxima precisión se emplearían 9 partículas con Y = 0.5 siendo
estas pasadas las más lentas.
- En general , se consideran pasadas correctas numérica
mente aquéllas en las que el error en el balance de masas ha osci
lado entre + 10% para los distintos pasos de tiempo.
- Por último , se ha comprobado a partir de varias expe
riencias que el rigor y precisión de los resultados son esencialmente
independientes de la magnitud del coeficiente de dispersión hidro
dinámica.
69.
IV.3.2.3.6. CASOS HISTORICOS DE APLICACION
IV.3.2.3.6.1. SIMULACION DEL FLUJO Y DE LOS CAMBIOS DE CALIDAD QUIMICA
EN UN SISTEMA ACUIFERO-RIO (L.F. KONIKOW Y J.D. GROVE,
1974).
1. Objetivó- del-estudio-
El objetivo de este estudio es demostrar la capacidad
del modelo expuesto con anterioridad para simular los cambios en
la calidad del agua de un sistema acuífero-río. No se trata pues
de estudiar o resolver un problema concreto de contaminación, sino
de observar cómo evoluciona la calidad del agua del sistema (expresada
por el contenido total de sólidos disueltos, TSD), ante los cambios
en las excitaciones del mismo (bombeo, infiltración, etc.).
2. Caracterización hidrogeól69ica-e-hidrógeóguímica-del sis
tema-a-modelar
- El área seleccionada para la modelación se encuentra
en el valle del río Arkansas al Sudeste de Colorado ( figura n°
15) entre La Junta y la línea de separación de los condados de
Bent y Otero. El criterio de selección ha sido exclusivamente la
accesibilidad de datos en dicha área.
1
70.
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Fig. nQ 15 . Mapa de situaci ^n del sistema acuífero/río y mallado empleado
71.
Los límites encontrados para la simulación son de dos
tipos: impermeable y de gradiente (o caudal) constante.
- El acuífero aluvial ligado al río Arkansas está consti
tuido por depósitos no homogéneos de arcillas, limos, arenas y
gravas con un impermeable de base constituido fundamentalmente
por esquistos con alguna intercalación de calizas.
- La transmisividad varía de 0 a 2400 m2 /d (figura
n2 16) y, dado que se trata de un acuífero libre poco influenciado,
fue tomada como constante en el tiempo; los autores del modelo
no indican información alguna sobre el espesor saturado.
TRANSYISIYIOAO EN Y�/ 0
O -603 u
603 - 1609
1206-4609
1609 - 2403
--^'- l�n�il� epo�iwedo AN ocuíhro
4 MILLA*
Fig. n9 16. Zonificación de la transmisividad
72.
- El coeficiente S se evaluó o cuantificó en torno
al 20%, mientras que la porosidad eficaz y las dispersividades
longitudinal y transversal no estaban determinadas en el acuífero,
por lo que se tomaron unos valores orientativos de estos parámetros
para la simulación en base a valores conocidos en otros acuíferos
similares . Durante la calibración se ajustaron los valores de estos
parámetros.
- Dado que los modelos de flujo y calidad se resuelven
para el período de calibración de Marzo 71 / Febrero 72, a nivel
mensual, se dispusieron las siguientes condiciones iniciales y
referencias para el calaje:
Condiciones iniciales : Piezometría y concentración
del TSD al comienzo del período, es decir Marzo 71 (figuras n°
17 y 18) sobre todo el acuífero.
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Fig. n4 17. Piezooetría inicial ( Marzo, 1971)
73.
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Fig. n? 18. Concentración inicial del TSD (Marzo, 1971)
Referencias para el calaje:
* Piezometría y concentración del TSD al final del
periodo de estudio (figura n° 19).
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Fig. n4 19. Valores regle, y ca! .lag s a• tiezcrtet la (a) y roncentración (b) al final
del pert^do de 1972)
74.
* Gráficos de evolución piezométrica mensual en 23
piezómetros, y gráficos de evolución mensual del
contenido en TSD en 29 puntos de observación. (Figura
n° 20).
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Fig. n4 20. Red establecida para la toma de datos
75.
* Todos los datos de caudales observados para aquellos
términos del balance que el modelo calcula; en especial
se controló la relación río-acuífero en cantidad
(caudal drenado o infiltrado) y calidad (contenido
en TSD del río Arkansas, en el tramo estudiado).
- Por último, y a un nivel cualitativo, puede afirmarse
que la principal alimentación del acuífero la constituye la recarga
a partir del agua superficial y de lluvia aplicada para regadío
(return flow) sobre más del SOY de su superficie; las dotaciones
aplicadas son más altas en la parte este del área de estudio; por
otra parte , se producen unas pérdidas por infiltración a partir
del Fort Lyon Canal , no revestido, que deriva agua del Arkansas
arriba de la Junta. Otra entrada significativa es la que se produce
a través del límite a caudal impuesto del oeste.
Como salidas importantes hay que mencionar: el bombeo
para regadío a partir de 68 sondeos y para abastecimiento de la
ciudad de la Junta ( sólo 3 sondeos ); el drenaje del río Arkansas
en su recorrido por el sector modelado ; el caudal subterráneo de
salida por el límite este a caudal impuesto y, con menor impotancia,
la salida directa por evapotranspiración a partir de freatofitas,
en los márgenes del Arkansas; no obstante debido a la profundidad
del agua ( > 3 m, en general ) esta componente es muy pequeña.
76.
3. El -modelo -matemático------------------
- El mallado es rectangular regular , consta de 880
celdas ( si bien no todas son de cálculo); cada celda es de 660
x 1320 ft 2 ( 80934 m ), y la superficie total cubierta por el
modelo es de = 71 km2.
- Calibración y resultados del modelo de flujo
El modelo de flujo se ha resuelto muy satisfactoriamente
como refleja la comparación de niveles calculados y observados
en Marzo - 72 (figura n° 19.a); asimismo las desviaciones en las
evoluciones piezométricas de los 23 registros disponibles han quedado
por debajo de los 0.3 m. el 90% del tiempo de calibración.
Se considera que las dos mayores fuentes de error corres
ponden a la difícil evaluación de los caudales de bombeo y de
recarga a causa del regadío.
Calibración y resultados del modelo de transporte
Como parámetros propios del modelo de transporte
se han empleado:
* Y 0.5 A x; Y 0.5 t y como máxima distancia
que puede recorrer una partícula en un A t dado,
77.
debido al transporte advectivo.
* Cada mes de la simulación se subdivide en un conjunto
de subpasos de tiempo, siendo el inicial 104 sg. y
los siguientes de duración creciente en progresión
geométrica , de manera que quede asegurada la estabilidad.
* Los autores no indican el número inicial de partículas
virtuales por celda.
Dentro del conjunto de datos de partida encierra
especial dificultad el conocimiento de las concentraciones en las
distintas fuentes del acuífero (recarga, infiltración del Arkansas,
etc):
* Recarga : Teniendo en cuenta que el agua aplicada
en el acuífero procede de tres fuentes ( precipitación,
infiltración de agua superficial y agua subterránea
bombeada ) cada una con su propia calidad (Ci ), el
modelo evalúa una concentración del total de agua
aplicada, como media ponderada de las Ci3
C = i =l Ci ViA 3
Vii=1
siendo
78.
Cprec 0 ppm.
Cbomb la del acuífero en la celda correspondiente y
tiempo determinado.
CA.Sup = la determinada en la correspondiente estación
de agua superficial.
y obtiene la concentración de la recarga (CR), asumiendo
que la masa de sólidos disueltos en ésta es igual
que en el agua aplicada, por lo que la C R aumentará
respecto a CA , proporcionalmente a la disminución
de volúmen de agua aplicada debido a pérdidas por evapo
transpiración es decir:
mCA = A siendo mA = mr
VA
y VR = 0.32 VA (en valor medio)mR
CR = -VR mA 1
se obtiene CR = = CA0.32 VA 0.32
* Para el río Arkansas (en el caso de que infiltre)
y el Fort Lyon Canal es necesario conocer la ley
de evolución de TSD en estaciones de medida, de manera
que una vez que el modelo calcule los caudales cauce/
acuífero, se les aplique una concentración determinada.
79.
* Análogamente debe conocerse la evolución del TSD
en el límite oeste a caudal impuesto.
* Por lo que se refiere a los sumideros, éstos no encierran
problema pues la concentración de los caudales será
la correspondiente al acuífero , para la localización
y tiempo determinados (es decir, la c calculada).
Caso aparte lo constituyen las freatofitas existentes.
Si bien en el caso estudiado se ha considerado que
sólo afectan a la cantidad de agua pero no a su calidad,
esta hipótesis es válida sólo si el área afectada
es de poca importancia . En general hay que tener
en cuenta que el fenómeno es bastante complejo:
por una parte las freatofitas tomarán agua y SD del
acuífero, pero durante su crecimiento se producirá
una exudación de agua con alto contenido salino desde
sus raíces que puede afectar a la calidad del agua
del acuífero.
Calibración
* A lo largo de la simulación se han ensayado distintas
parejas de valores de los parámetros porosidad (n)
y a a T = 0.3 a ) , dispersividad, dentro de los
márgenes teóricos de variación establecidos: 15,
1
80.
20 y 25% con aL de 0, 100 y 200 ft ( 30 y 60 m.).
Los resultados más coherentes se han obtenido para
n = 20% y 15% en algunas zonas con un G. L = 100
ft. ( - 30 m.).
Es importante señalar que los resultados obtenidos
han sido muy insensibles a los cambios en aL posiblemen
te porque en este caso la componente que prima en
el transporte es la advección. Como puede observarse
(figura n ° 18), sólo en algunas áreas existen fuertes
gradientes de concentración que den lugar a flujos
dispersivos notables.
. Resultados
* En la figura n° 21 se observan las distribuciones
de concentración observadas y calculadas al final
del período de estudio ( Marzo 72), junto con los
cambios respecto a Marzo 71 . El ajuste es en general
aceptable salvo en aquellas zonas en q u e el gradiente
de concentración es fuerte (posiblemente porque la
dispersión no está bien simulada).
81.
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o + c a 4 SILLAS(b)
Fig. n4 21. Concentración del TSD real (a) y calculada (b) (Marzo, 1972)
* En la figura n° 22 se observa la calibración en dos
de los 29 puntos de observación, a nivel mensual;
la concentración ha sido calculada dentro de + 10%
del valor observado durante un 80% del tiempo de
cálculo.
82.
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Fig. n9 22. Concentración del lSD observada y calculada para el período de simulaci6n, endos puntos de observación
La obtención de este criterio de calibración (± 10%)
responde al hecho de que la evolución calculada es
para el centro de la celda y la observada es para
un punto dentro de ella. Se comprobó en una celda,
en que se disponía de 5 puntos de observación, que
siendo la c de 2110 µmho/cm a 25°C, la o= 208 pmho/cm
10% de c ); es decir se tiene en cuenta que
la concentración calculada en una celda es un valor
medio en la misma y por tanto se tienen en cuenta
unas bandas de incertidumbre.
83.
Otra de las fuentes de error puede ser el hecho de
que las concentraciones se calculan al final de un
mes y las observadas no coinciden con esta fecha.
84.
IV.3.2.3.6.2. SIMULACION DEL MOVIMIENTO DE CLORUROS EN UN ACUIFERO ALUVIAL
EN ROCKY MOUNTAIN ARSENAL, COLORADO, USA (L.F. KONIKOW, 1977)
1. Objetivó-del-estudio
El arsenal de Rocky Mountain (figura n° 23) realiza
operaciones de manufactura y proceso de productos químicos bélicos
y pesticidas desde 1942; durante el período de 1943-1956 los residuos
líquidos resultantes (de alto contenido en cloruros ( _ 5000 mgr/1))
fueron "almacenados" en depósitos no revestidos. Gran parte del
área norte del arsenal (figura n° 24) es regada conjuntamente con
agua superficial (procedente de un caudal no revestido) y con agua
subterránea procedente del acuífero aluvial adyacente al arsenal,
observándose en 1951, 1952 y 1953 graves daños en las cosechas
y el ganado que utilizaron el agua del acuífero.
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Fig. n2 23. Mata de situacién de la zona de estudio
85.
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Fig. nó 24. Situación de: sondeos de explotación para riego; áreas regadas conjuntamentecon agua superficial y subterránea y depósitos de residuos contaminantes
La elaboración de isopiezas y líneas de isocloruros
a partir de los datos correspondientes permitieron concluir clara
mente que el efecto citado tenía como causa la filtración de los
residuos desde los depósitos al acuifero produciéndose dos nubes
contaminantes de distinta importancia (figura n2 25 y 26). También fue
ron detectados otros productos tóxicos (DIMP,DCPD, etc.) si bien
con niveles de concentración mucho menores.
86.
c� r
• j - ti
tris n.w,/i
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Pin$ de obtervocion lSpt. 1955 - N0r201956 ) -...-- Isaotao (,n pies t n.m)-r,- l.olíneo de concentroción de cloruro (ma/ l. )
tono en que N atwiol ne saislo o no esté oohrreb Zowa en que el atvvlol no .ri.N o no ..t4 aota'sds
Fig. nQ 25. Concentración real de Fig. n4 25. Superficie piezométricacloruros (1956) (1955-71)
Por consiguiente, se decidió abordar la construcción de un modelo
matemático del transporte de cloruros que, una vez ajustado, permitiera
ensayar distintas alternativas o estrategias dirigidas a restaurar
la calidad original del agua del acuífero.
87.
2. Caracterización hidro92216gica-e-hidrógeóguimicá_del__sis
tema - a -modelar.-------------
- La transmisividad varia de 0 a 1800 m2/d en el
acuífero aluvial y el espesor saturado es generalmente inferior
a 18 m., encontrándose las mayores transmisividades y espesores
saturados, y menores gradientes piezométricos en el río South Plate
al NO del área modelada.
- El coeficiente S no fue evaluado al resolverse el
flujo en régimen permanente; la porosidad eficaz y la dispersividad
no eran conocidas por lo que se adoptaron valores orientativos
en base a otros conocidos en acuíferos similares ; posteriormente,
en el calaje, se ajustaron los valores de ambos parámetros.
- Los límites del acuífero son de flujo nulo y de potencial
constante, dando lugar a los límites del modelo observados en la
figura n° 27; se elegió como área de modelación aquel sector del
acuífero con c(del Cl ) > 200 mgr/1 o que estuviera en el sentido
del flujo, resultando una superficie de unos 88 Km2.
Puesto que el modelo de transporte se calibra en
régimen transitorio, para un período de simulación comprendido
entre los años 1943 y 1972, es preciso conocer la concentración
inicial sobre todo el modelo . Ya que antes del año 1943 no había
contaminación se aceptó como condición inicial para la concentración
de cloruros un valor uniforme de 40 mg/l.
88.
- Por último, y a nivel cualitativo, se indican las
principales componentes del balance del acuífero. Como entradas
más importantes están (figura n° 27) la infiltración de agua superfi
cial de regadío (con una c _ 100 mg/l, la filtración producida
desde canales no revestidos (c 40 mg/l), la filtración desde
los depósitos no revestidos de almacenamiento de residuos y la
alimentación lateral que el acuífero recibe por los límites S.O.
y S.E.; las salidas más importantes son la explotación de agua
subterránea desde 62 pozos (figura n° 24), el drenaje hacia el
río South Plate y la descarga lateral por el borde NE del acuífero.
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eso¿ ,olvido
Fig. nQ 27. OMal¡ado y límites dei modelo
89.
Los recursos renovables medios para el período 1942-
1972 se han estimado en unos 13 Hm3/a.
3. El -modelo -matemático------------------
- El mallado es rectangular regular y consta de 950
celdas de las que 516 no son de cálculo . Cada celda es de 305 x
305 m2 , y la superficie total cubierta , por el modelo es de unos
88 Km2 (figura n° 27).
- Calibración y resultados del modelo de flujo
La observación de la figura n° 28 permite deducir
que dentro del período de simulación 1943-1972 , existen cuatro
subperiodos en los que el acuífero ha debido funcionar en un régimen
asimilable al permanente dado que el resto de excitaciones del
acuífero distintas de la filtración desde los depósitos no han
debido oscilar mucho en cada subperiodo; ingeniosamente el autor
evita resolver un laborioso modelo de flujo en régimen transitorio
y resuelve tres regímenes permanentes ( pues el periodo 57-60 y
68-72 han sido análogos de cara al funcionamiento de los depósitos).
Como piezometría de referencia ( orientativa ) se ha empleado la
correspondiente al período 55-71, única disponible.
90.
eeNeeMteeiÓe
Al1o� Ueo g»"% de erre es(04/1)
1943-66 A -Llena ............... 0.16 4,000B.D.B -Lleno ............ .19 3.000C -1/2Ue ............. .64 3,000
1967-60 A-~ .............. 0 N A.B.D.E -Vacío .......... .0 N.A.C -Lleno ................ 1.09 1.000
1961 -67 A - Vacío .............. 0 N.A.B.D.E - 14Lleno......... .06 600C - IpLleno ............ .36 600
1966-73 A -Vocio .............. 0 N.A.B.D,é -VO60 .......... 0 N.A.C -Llena................ 1.06 160
I aA r �seee4 /
Fig. n2 28. Historia del lesA_io�aniento de 1os depósitos en el Rocky MountainArsenal (1943-1972)
Los errores en el balance de masas han sido inferiores
al 1%, lo que es muy aceptable.
Obviamente la limitación del procedimiento de calibra
ción empleado es que se dispone de cuatro distribuciones de velo
cidades para cada uno de los subperíodos, pero dentro de ellos
no se considera oscilación alguna para la velocidad.
La variación de velocidad dentro del mallado y de
los cuatro períodos considerados ha sido entre 0.3 m/d y 6.1 m/d.
1
91.
- Calibración y resultados del modelo de transporte
La calibración del modelo de transporte en régimen
transitorio para el mismo periodo citado se ha abordado en cuatro
etapas.
1. Etapa (1943-1956)
Se emplea como condición inicial la distribución de
concentraciones correspondiente al final del 42 (40 mg/l sobre
todo el mallado). En principio se hacen test de sensibilidad de
porosidad y de dispersividad comparando concentraciones calculadas
y observadas, encontrándose un n = 30-1 y un a L = a T = 30 m.
En las figuras n' 25 y 29 se dan las concentraciones
de referencia y calculada, respectivamente, al final del 56.
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Fig. n9 29. C^r,:e- a�: i.Sr cilco]ada dF claruros (1956)
92.
2. Etapa (1957-60)
Como condición se emplea la concentración calculada
al final del 56 (figura n° 29). Como concentración de referencia
se emplea la de Enero 61 (figura nc 30) que permite observar cómo,
si bien han eliminadas (revestidas) las fuentes de contamina
ción, al cabo de cuatro años los cambios operados en la calidad
del agua son mínimos. En la figura n° 31 se da la concentración
calculada para el comienzo del 61.
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• Punto de o0srrocron (FA 1.961 ) -•►- IOOIinso de concont ro ción de cbrr ros (m0/ 1 )-«- Isd Enea de concntr«ioe de etorv~ 11014 /L)
«4i O M 0u0 el OIur101 no *aleto 0 no
Zona en que el Otuol 00 Onite * seOsfi • ctrrodo
seto •ohOOd0
Fig. n9 30. Concentración real de cl�•a*cs Fig. n° 31. Concentración calculada de clo
(Enero 1961) rurot (al enmi'r.>o de 1961)
93.
Las diferencias entre concentración calculada y real
de las dos etapas primeras se atribuyen más que a deficiencias
del modelo de transporte, al modelo de flujo (errores en el cálculo
de velocidades y, por otra parte, a la eliminación de cambios tempo
rales de velocidad).
3. Etapa (1961-68)
Como condición inicial se emplea la concentración calculada
al final del 60 y como concentración de referencia la correspondiente
al periodo Enero-Mayo del 69 (figura n° 32). Puede observarse la
disminución del área afectada por la concentración así como de
los niveles de concentración (de hecho sólo hay dos zonas aisladas
con más de 1000 mg/l) debido a la dilución y dispersión. En la
figura n2 33 se da la concentración calculada.
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Zona en que st *.viol no ame* o no esK fohtrodoestá totwodo
Fig. n° 32. Concentración real de cl-rjres Fig. n4 33. Canr_entracibn calculada dr cloruros(Enero-Maya t99,1 (al rnmien7r dr 1069)
94.
4. Etapa (1969-1972)
Como concentración inicial se emplea la concentración
calculada al final del 68. Como concentración de referencia la
de Mayo 72 (figura n2 34) que indica la existencia de las dos pequeñas
áreas de contaminación ( 1000 mg/1), correspondiente a zonas
de baja permeabilidad en las que la circulación del agua se ve
obstaculizada. La concentración calculada al comienzo del 72 se
da en la figura n9 35.
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• Punto do obssrvocign (Ye7e 1.972) --•+r- Ieoliles de eone•ntrecidn d• cloruros (MI/I.)-aa- Isotineo de eonceetrociée de clereree IM/U Ione en p•e el ew.id no existe e no
Zona en que u oluvial ne eaisN e woestd es1•rede
„ro solurodo
Fig. n? 34. Concentración real de cloruros Fin. n? 35. Concentración calculada de cloru(Mayo 1972) ros (al comienzo de 1972)
95.
Resultados
El modelo de transporte , al cabo de 30 años de simulación,
ha identificado con suficiente aproximación las dos zonas que pre
sentan aún una alta concentración en cloruros (unos 1000 mg/1),
así como la reducción zonal y de magnitud de la contaminación experi
mentada por el acuífero en el transcurso del período de identifi
c ación ( 1943-1972).
Los errores del balance de masas han fluctuado en torno
al 14%, error que debe considerarse como algo superior a lo normal.
Se atribuye este error , principalmente , a las siguientes causas:
No disponibilidad de valores reales de porosidad
y dispersividad , obteniéndose los mismos por ajustes realizados
con el propio modelo.
Deficiencias y limitaciones del modelo de flujo
previo; en particular, la no consideración de fluctuación temporal
de las velocidades dentro de cada subperíodo en que se dividió
el período de identificación.
No disponibilidad de la condición inicial de concen
tración para las distintas etapas en que se ajustó el modelo de
transporte , por lo que se emplearon las concentraciones calculadas
por el propio modelo en etapas anteriores.
96.
Explotación-
del-modelo-Una vez ajustado el modelo de transporte, se ha empleado
éste para ensayar las siguientes alternativas de restauración de
la calidad original del agua del acuífero
Infiltración o recarga de agua dulce desde el depó
sito C (figura n ° 24), que se supone completamente lleno de agua
durante el período de ensayo (1972-1980). Esta puede considerarse
como una buena alternativa , pues como se observa en la figura
figura n 2 36, al final del período, en 1980, sólo quedaría una
pequeña zona contaminada al Norte del arsenal con una concentra
ción comprendida entre los 200 y 500 mg/l.
aer,.
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-..- holía+eo de eon MOCión de etorrroe Imofi.)
® Zoed M loo N e�rrid no eaiete o noeeeá sobretdo
fig. n9 36. Concentración prevista Tara 1980 (alternativa de erplotacibn)
97.
Infiltración o recarga de agua dulce a través de
canales no revestidos, para un período de ensayo comprendido entre
1943-1956 ; se observó , comparando con la concentración calculada
para 1956 (figura n° 29), que con esta alternativa mejoraba notable
mente la calidad del agua, pues de hecho la isolínea de 1000 mg/1
era sustituída por la de 500 mg/l.
98.
IV.3.2.4. MODELO " RANDOM-WALK " ( T.A. PRICKETT, T.G.- NAYMICK Y C.G.
LONNQUIST, 1981)
IV.3.2 . 4.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Las principales hipótesis y restricciones consideradas
por el modelo son las siguientes:
1° Validez de la ley de Darcy.
2° Se consideran despreciables o nulas las variaciones verticales de
la piezometría ( hipótesis de Dupuit ) y de la concentración del so
luto.
3° Se admite la presencia de reacciones químicas que modifican la
concentración del soluto; por otra parte , éste actúa como un traza
dor.
4° La difusión fónica y molecular produce un flujo dispersivo des
preciable frente al provocado por la dispersión mecánica.
5° La porosidad permanece constante en el tiempo y es uniforme
en el espacio.
6° El acuífero puede ser heterogéneo y/o anisótropo.
7° El flujo subterráneo es uniforme.
La formulación de las anteriores hipótesis y restricciones
conduce al siguiente modelo matemático
1
99.
D (K b. ah ) + a (K b. ah ) = S ah + Q (64)D x x ax ay y ay at
a (b. °x ac ) + a (b. °y ac ) Vx a(c.b)ax Rd ax ay Rd ay Rd ax
_ vy a(c.b) + c' .Q = ac (65)Rd ay n at
V = - Kx ah v = - Ky ah (66)x 7.48 n ax y 7.48 n ay
La ecuación ( 64) es la ecuación del flujo subterráneo,
en donde:
Kb = Tx : transmisividad en la dirección x
Ky.b = Ty : transmisividad en la dirección y
Kx permeabilidad en la dirección x
Ky permeabilidad en la dirección y
b espesor saturado
S coeficiente de almacenamiento
h nivel piezométrico
Q caudal de entrada (+) o salida (-) por unidad de área
x,y . coordenadas cartesianas
t tiempo
100.
La ecuación (65) es la ecuación de la dispersión en
donde , además:
c concentración del soluto.
vxIvy : componentes del vector velocidad del agua en las dire
cciones x e y, respectivamente.
DxDy : componentes del tensor coeficiente de dispersión hidro
dinámica en las direcciónes x e y, respectivamente.
Rd factor de retardo que permite considerar la presencia
de reacciones químicas.
c' concentración del soluto en una fuente / sumidero.
La ecuación ( 66) proporciona los valores v x y vy
necesarios para resolver la ecuación de la dispersión siendo n
la porosidad eficaz del medio poroso.
El proceso general de cálculo es, como siempre, re
solver en primer lugar el modelo de flujo ( ecuació n- (64)) por aplica
ción del MDF , independientemente del modelo de transporte ya que
el soluto actúa como trazador ; a continuación se evalúan las componen
tes v x y vy (ecuación ( 66)) aplicando el MDF para, finalmente,
resolver la distribución de concentración del soluto en el acuífero
( ecuación ( 65)) empleando la técnica de "pasos aleatorios".
101.
IV.3.2.4. 2. RESOLUCION DE LA ECUACION DEL FLUJO POR EL METODO DE
DIFERENCIAS FINITAS (MDF).
La resolución de la ecuación ( 64) por el MDF se ha
comentado ya en los apartados correspondientes a los modelos en
diferencias finitas ( apartado IV.3.2.2 .) y al modelo en diferencias
finitas con aplicación del MOC ( apartado IV.3.2.3.). Es decir,
se realiza una discretización espacial del dominio en estudio según
un mallado rectangular, regular o irregular (figura n ° 1 ), y una
cierta discretización temporal, obteniéndose para cada celda (i,j)
del mallado una ecuación análoga a la ( 4) (subapartado IV.3.2.2.2),
de manera que si el acuífero se ha discretizado en N celdas, se
llega al planteamiento de un sistema de ecuaciones algebraicas
de N ecuaciones con N incógnitas que es resuelto en este modelo
por el método iterativo modificado de direcciones alternantes
(IADI ), puesto a punto por Prickett y Lonnquist (1971) y suficiente
mente conocido por los usuarios de los modelos de flujo.
Conocida, en cada paso de tiempo , la distribución de
piezometría , se procede a resolver la ecuación (66) por aplicación
del MDF para obtener la correspondiente distribución de velocidades
sobre el mallado del modelo.
102.
IV.3.2.4.3. "RESOLUCION" DE LA ECUACION DE LA DISPERSION APLICANDO LA
TECNICA DE "PASOS ALEATORIOS".
APLICACION DE LA TECNICA
La técnica de "pasos aleatorios" se basa en el concepto
de que la dispersión en medios porosos es un proceso aleatorio
que sigue una cierta ley de distribución de probabilidad.
En consecuencia, una partícula que representa la masa
de una especie química contenida (disuelta) en un cierto volumen
de agua, se mueve con dos tipos de movimiento: un movimiento advectivo,
de acuerdo a la distribución de velocidades en el acuífero y un
movimiento debido a la dispersión, de carácter aleatorio y regido
por una cierta ley de probabilidad relacionada con el desplazamiento
advectivo y con los parámetros que rigen la dispersión.
Por otra parte, el modelo asume que la distribución
de una especie (o especies) química en el agua de un acuífero puede
representarse por la distribución de un número de partículas finito,
moviéndose de acuerdo a lo comentado en el párrafo anterior. Si
bien en la realidad el número de partículas es muy grande, los
autores indican que soluciones en problemas de tipo ingenieril
son posibles con menos de 5000 partículas.
103.
A continuación se describen los dos tipos de movimiento
que efectúan las partículas virtuales distribuidas sobre el malla
do del modelo:
- Movimiento advectivo
Análogamente a lo descrito en el modelo MOC las partí
culas realizan un movimiento en cada paso de tiempo de acuerdo
a la distribución de velocidades y a la propia magnitud del paso
de tiempo.
Es decir :
XX = xx + v . DELPxYY = yy + vy . DELP (67)
Nueva Antigua Espacio recorridoPosición Posición por advección
en donde v x , v y son las componentes de la velocidad, según los
ejes x e y, para la partículas y DELP la duración del paso de
tiempo. Es conveniente señalar que el modelo MOC evalúa la velocidad
de la partícula de una manera más "fina" que el modelo "random-
walk" al emplear un área de influencia que es justamente la mitad
(figura n° 37).
104.
x-�. . . •
y i.1 i+r, j y/ 41 N4/
Mitode d. coroct fáticau Rendom Wolk
• Nodo del mollodo
O S%OCic i de lo ~Ícelo p
--+ Componente • de lo v~id.d
Afeo de inflwneio ( Oarfievio p I paro iot rp.lociónde lo velocidod ea b dif.tti.. i.
Fig. n9 37. Esti.ación de la velocidad de la partícula
Movimiento debido a la dispersión:
Como ilustración de la técnica de "pasos aleatorios"
empleada para simular la dispersión mecánica, se considera el movimiento
de una partícula trazadora de fluido situada inicialmente en la
posición x = 0, en el seno de una columna infinita de medio poroso
con flujo en régimen permanente en la dimensión x. Asumimendo la
no existencia de fuentes/sumideros, la ecuación (65) presenta la
siguiente solución analítica (Bear, 1972), para el caso unidimensional:
105.
(x -v t) 2c (x,t) = 1 exp - x (68)
(4 aL.vx t) 4ai.vx.t
en donde :
c concentración
a dispersividad longitudinal
vx velocidad
t tiempo
x coordenada cartesiana
Por otra parte, y como es sabido, una variable aleato
ria n sigue una distribución normal cuando su función de densidad
viene definida por
x-µ 2n(x) e-1/2( Q (69)
QV2Tt
Igualando términos en (68 ) y (69) se obtienen las siguien
tes relaciones:
0- = (2 a 1.vx.t)1/2 ; µ = vx.t (70,71)
Por lo que la concentración c de una especie química
en el agua de un acuífero puede considerarse como una variable
aleatoria que sigue una distribución normal , cuya función de densidad
sería (68) y cuyas 0' y µ vendrían dadas por (70) y (71), respectiva
mente.
106.
(A) DISPERSION L0NGITU0INAL
el>0e, • 0
•./ c... r.•k�ó•a r.na�e..ar
Or . v•oEl► \ •T•� • 1eLOo
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(1) DISPERSION TRANSVERSAL.L•o
>0
A.•I/ s r••rr. OX • v.•DEL►w r.tiwr-
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00 - OX . Or -IIT•OX
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11•p. pwi•i. • A.np• M.>•••• Adi u1 • OIw,Mi... - .. • OX • A or
rr n • Or - 11t•OX
Fig. ne 38. Esquema general del eovisiento advectivo y por dispersión (A) longitudinal
(B) transversal
La figura n° 38.A ilustra la técnica de "pasos aleato
ríos" para el caso de flujo en la dirección x con presencia exclusiva
de dispersión longitudinal. La partícula fluida es movida en principio
por advección desde su antigua posición en función de la velocidad
existente en el paso de tiempo en que se calcule y de la propia
magnitud (DELP) del paso del tiempo; a continuación se afecta a
la partícula de un movimiento aleatorio en torno a la posición
media v x DELP que simula el efecto de la dispersión. La magnitud
del desplazamiento debido a la dispersión es:
107.
T. ANORM (0) (72)
en donde : 0-= (20L L.DELP .vx)1/2
ANORM ( 0) : un número ( real) entre + 6, obtenido a partir de
una distribución normal de números de media 0 y
U= 1.
En consecuencia , la nueva posición de la partícula
al final de DELP es
XX = xx + vx.DELP + ( 2 a , .vx . DELP ) "2 . ANORM(0)
YY = yy (73)Nueva Antigua Advección Dispersión
Posición Posición
La figura n° 38.B muestra el movimiento de la partícula
para el caso de existencia exclusiva de dispersión transversal
al flujo medio (aL = 0, aT>0).
En la práctica basta considerar que el máximo desplaza
miento de la partícula queda comprendido entre + 6 veces el valor
de a en torno a la posición media, dado que es muy poco probable
que una partícula se mueva más allá de esta distancia.
Si este proceso se repite para muchas partículas con
la misma posición inicial y término de advección , se dispone de
una función de densidad discreta:
108.
N N 4Dx.vx.DELP[x _v.Dap2c(x,t) -i = o , e
Dx 21z 2 D x.vx.DELP(74)
donde:
Dx : distancia a la que se encuentran N partículas
No : número total de partículas del experimento
Las funciones de densidad equivalentes c(x,t) y
N/Dx (continua y discreta, respectivamente) dan la media, relacionando
la concentración espacial de una especie química en un problema
de campo con la concentración de partículas halladas en distintas
partes del modelo en diferencias finitas.
Las figuras n° 39.A y 39.B muestran el movimiento de
una partícula en el caso de que la dirección del flujo no coincida
con ninguno de los ejes de coordenadas y en la figura n° 40 se
muestra el caso más general de movimiento de una partícula afectado
por dispersión longitudinal y transversal.
(A) DISPERSION LONSffUONAL (o) DtSPERSION TRANSVERSAL
e�>o at•oe, •o >
y (trla�.�.� . aE X [I M P.PN
N M Ar•PW. • RT - DX ...rr
t_I. « PwA OMKRI. {- M�MIi� M PMtiP.1P PMYI� r AIiLb ...rr .
,wrtcCIOM#~CCO M p3P[R.
OX-vX•OEVD»V.•DEV AL-0XV,•DEIP r
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Nr. •P p•kbí • A Paif� • M..a.li. • OYw.d MaN.P P..Nt a • A.1 Psrí■ • AI.w.Ñ. • O1ya.Yh
aa • u • 0 X • Rl•OX •• • .. • Or • 0
rr n n rr • 0 - �T•OX
Fig. n? 39. Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión (A) longitudinal(B) transversal, en el caso de no coincidencia entre dirección del flujo yejes coordenados
109.
DISPERSION LONGflWINAIY TRANSVERSAL
Atlfps ►.d.Ms
■
00•
Rl'Ox RT•oY/ M..w wM�li.OY
,0 �� .•.PP
-AT•0xjox VO
Rl'00 - 2aj0 ANORM 101RT•OO - 7d�00 ANORM 101
O+o.r.b• oisp...b..4..r ,pirón • �.M ,q.dj, i As.sooió, + ~~mal t Trss , sa
•• •■ • ex • RVOX • RT•OYn rr • OY . RVOY - RT•ox
fig. n? 40. Caso más general de Rovimiento de una partícula
Por consiguiente, y a diferencia del modelo MOC, este
modelo no resuelve en realidad la ecuación de la dispersión para
simular el transporte de solutos sino que mueve cada partícula,
en cada paso de tiempo de la simulación, segun dos movimientos,
uno debido a la advección y otro aceptando que la dispersión es
un proceso aleatorio que tiende a seguir un ley de distribución
normal.
110.
TRATAMIENTO DE LOS FENOMENOS DE DILUCION Y DE REACCIONES QUIMICAS
a) Dilución
Para ilustrar el tratamiento de este fenómeno por el
modelo se considera el problema de flujo representado en la figura
n2 41.A. Como se observa, se dispone de los caudales y concentra
clones de las fuentes contaminantes y se pretende conocer el resto
de caudales y concentraciones incógnita. Asumiendo una dispersión
nula y un retardo Rd = 1, la distribución de concentraciones en
el sistema es sólo el resultado de la mezcla o dilución, como se
indica en la figura n° 41.B.
Si se supone que cada partícula es portadora de una
concentración de 10 mg / 1, la densidad de partículas en el tiempo
que podría usarse como dato de entrada en la simulación aparece
en la figura n° 41.C; la distribución espacial de partículas si
mulada en el modelo aparece en la figura n° 41.D. Basta multiplicar
el número de partículas por su concentración para obtener la concen
tración total en el flujo.
111.
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Fig. n? 41. Fenómeno de dilución: tratasiento del problema (A); solución (B); tratamiento
dado por el modelo (C) y (D)
b) Reacciones químicas
Para simular el efecto producido por las reacciones
químicas sobre la concentración de una especie química, el modelo
de transporte dispone (ecuación (65)) de un factor de retardo Rd;
estas reacciones (adsorción, fijación orgánica, etc) tienden a
retrasar el movimiento advectivo de las partículas. El retraso
del frente contaminante provocado por estas reacciones queda regido
por la relación :
v = 1+ P b Kd= Rdv nc
cuyo efecto es el retraso del movimiento de las partículas y donde:
i
112.
y velocidad del agua
vc velocidad c/co = 0.5 en el frente de contaminación
P b : densidad de la parte sólida del medio poroso
n porosidad efectiva
Kd coeficiente de distribución
Rd factor de retardo
Si bien la incorporación de este fenómeno (reacciones
químicas) al modelo es sencilla desde un punto de vista numérico,
la determinación de K d (ó R d) requiere gran cantidad de información
sobre la composición del agua y la interacción de sus componentes
con el medio poroso, que en muchos problemas prácticos no está
disponible.
113.
IV.3.2.4.4.1. MODELO DE CALIDAD DE LA LLANURA MANCHEGA (IGME, 1984)
1. Objetivó-del-estudio
El objetivo de la realización del modelo consiste en
simular la evolución de la calidad química del agua subterránea
del acuífero ante distintas hipótesis de explotación del mismo,
teniendo en cuenta la presencia de focos puntuales de contaminación
a partir de la inyección de vinazas de alcohol derivadas de las
actividades industriales en la zona.
2. Caracterización-hidrogeólógica-e-hidrógeóguímica-del-sistema-a-modelar-------------------- -------------
El sistema acuífero n2 23 (llanura Manchega) se extiende
en un 80% por la provincia de Ciudad Real y el resto por las de
Albacete y Cuenca. Existen en la llanura dos niveles acuíferos
independizados: uno superior, constituido por calizas y materiales
detríticos, miopliocenos y posteriores, y otro inferior extendido
sobre más de las mitad oriental , constituido por varios acuíferos
formados por calizas y dolomías del Jurásico y Cretácico. Existe
una relación entre los acuíferos inferiores y el nivel superior
estableciéndose un conjunto cuyo desagüe natural es el río Guadiana
(figura n2 42).
114.
ESQUEMA DE LOS SISTEMAS ACUIFEROS DELA CUENCA ALTA DEL GUADIANA
aa .w.r r r+.... S_19as u..w. r«.ww
• &20
Tte. j*
°a•.
$ 22 S'23
•� 24
Fig. n2 42. Mapa de situacién de la zona de estudio
El área de modelación corresponde al acuífero
calizo superior de la llanura Manchega desde su límite occidental
en Carrión de Calatrava hasta la divisoria de aguas subterráneas
entre las cuencas del Guadiana y alta del Júcar como limite oriental
(figura n2 43).
- La transmisividad varía de 15000 m2 /d en el centro
del área modelada a 100/500 m2/d en la periferia; dado que se trata
de un acuífero libre influenciable es necesario especificar que
esta transmisividad corresponde a los niveles piezométricos del
año 1974.
a1M... t s 4 s • T • s lo n n la 14 • 1• n w Is to 1 a a te e• et e• a so al
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fe14
M
Fig. n4 43. Mallado del modelocn
116.
La porosidad se estimó entre un 2 % y un 5 %, mientras
que sobre la dispersividad longitudinal y transversal no existían
ensayos de campo que arrojaran información; en consecuencia, se
procedió a un ajuste de sensibilidad durante la simulación que
permitiera encontrar unos valores ensayados de estos parámetros.
- El periodo de calibración del modelo de calidad es
de 7 años con pasos de tiempo de 6 meses, por tanto existen 14
pasos de tiempo.
Dado que el modelo "random-walk" no resuelve la ecuación
de dispersión , no necesita una condición inicial de concentración
de la especie química (en este caso, el TSD) sobre el mallado.
- Por último indicar que la recarga del acuífero procede
de la infiltración del agua de lluvia, la infiltración del agua
de los ríos, el flujo subterráneo procedente del Campo de Montiel
(S.A. n° 24) y de la Unidad Caliza de Altomira (S.A. n° 19) y del
retorno del agua de riegos. Por otra parte, la descarga se produce
por bombeo (principalmente para regadío), por evaporación en zonas
encharcadas y por drenaje de los ríos.
3. El-modelo-matemático------------------
- El mallado es rectangular regular, consta de 420
celdas (si bien no todas ellas son de cálculo, figura n° 43); cada
1
117.
celda es de 4 x 4 Km2 y la superficie total cubierta por el modelo
es de 6720 Km2.
- El modelo de flujo. En este caso el modelo de flujo
se resolvió con antelación al modelo de transporte ; es decir, en
las pasadas de cálculo del segundo , formaban parte de la propia
entrada de datos los valores de piezometria y permeabilidad deducidos
previamente del modelo de flujo.
En concreto , se empleó la piezometría del 74 y otra
de agosto del 82 para obtener dos distribuciones de velocidad sobre
el mallado que permitieran abordar el cálculo de la componente
advectiva del transporte.
- El modelo de transporte
. Tratamiento del problema de contaminación.
Se consideraron cuatro áreas de contaminación (figura
n° 43)
Tomelloso : Celda (18,8)
Daimiel : Celda ( 5,6)
Socuéllamos : Celda (24,6)
Villarrobledo : Celda (27,8)
Todas las áreas son cuadradas , de igual dimensión
a la de las celdas y su vértice superior izquierdo (X1, Y1 ) coincide
con los valores ( i,j) de los centros geométricos de las celdas
118.
referenciadas. Por otro lado, a partir de estudios de campo, se
dedujo que en estas áreas la calidad del agua (expresada por el
TSD) era de 2000 mg / l, frente a 1000 mg / l en zonas no contaminadas;
en consecuencia , se aceptó que el efecto de los vertidos industriales
en el incremento del TSD era de unos 1000 mg/l; asumiendo una poros¡
dad real media del 3% y dadas las características geométricas de
las áreas contaminantes ( prismas de 4000 x 4000 x 100 m3 ) resulta
una cantidad de contaminante de 48.1012 mg para obtener la citada
concentración.
Suponiendo que en cada área y al comienzo de cada DELP
(paso de tiempo) se generen 100 nuevas partículas, resulta una
masa por partícula de :
m = c . V = 48.104 mg106. N
siendo c.V la masa total de contaminante y N el número de partículas.
El número total de partículas generadas por área contaminada será:
100 x 14 ( n° de DELP ) = 1400 partículas
Dado el gran número de partículas que supondría el tratamiento
simultáneo de los cuatro focos (5400 part > n° Máx. indicado por
Prickett y otros) y puesto que las soluciones del modelo son aditivas,
se trataron independientemente cada área de contaminación y se
superpusieron los resultados.
i
119.
. Simulaciones realizadas
* Para cada área de contaminación se efectuaron simula
ciones empleando distribuciones de velocidad deducidas a partir
de la piezometría del 74 y de agosto del 82; para cada caso, se
realizaron simulaciones sin dispersión y con un a L = 5 m y a T =
1 m (el 20% del aL ) como test de sensibilidad de estos parámetros.
* En las figuras n9 44 a 48 se dan gráficamente
los resultados de las simulaciones. Como puede observarse :
- Existe una tendencia clara del contaminante a acumularse en las
áreas de vertido.
- la velocidad de avance de la nube contaminante está entre los
3-6 m/d como se deduce del tiempo (2.5 a 4.5 años) que la nube
tarda en alcanzar las celdas adyacentes al área de contaminación.
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Fig. n° 44. Curvas concentración - tiempo (piezometría 1974)
120.
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Fig. n9 45. Curvas concentración - tiempo (piezometría Agosto 1982)
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(CONY SY1 OISPERSION) ( 00N Y SIN DISPERSION)
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fig. ná 46. Curvas concentración - tiempo (área de Villarrobledo)
121.
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Fig. n4 47. Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1974)
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Fig. n? 48. Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1982)
122.
- No se ponen de manifiesto los efectos de la dispersión.
Fuera de las áreas de contaminación el efecto de ésta se manifiesta
al cabo de 2-3 años de simulación por un aumento del TSD de 200
a 400 ppm. Sin embargo este efecto puede quedar enmascarado por
la propia calidad química natural de las aguas subterráneas del
acuífero.
123.
IV.3.2.4 . 4.2. APLICACION DE UN MODELO DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN
MEREDOSIA, ILLINOIS, U.S.A. (T.A. PRICKETT, T.G.
NAYMICK Y C.G. LONNQUIST, 1981)
1. Objetivo-del-estudio
El lixiviado de residuos provenientes de una industria
de fertilizantes almacenados en un depósito no revestido provocó
la contaminación fundamentalmente por sulfato amónico, nitratos
y trazas de fosfatos inorgánicos del acuífero subyacente. la conta
minación fue detectada en 1978 en un par de sondeos que bombeaban
agua del acuífero para ser empleada en el sistema de refrigera
ción de la propia industria citada y que presentaron un problema
de precipitación de carbonato cálcico y carbonato magnésico en
el agua bombeada.
El objetivo del estudio fue identificar y caracterizar
el problema de contaminación existente mediante un modelo de transporte
con vistas a recomendar medidas correctoras.
2. Caracterización hidrogeológica __ e__hidroyeoquimicá-_ del sistema
a —modelar
- Bajo la superficie de estudio ( figuras n° 49 y 50)
existe un acuífero constituido por arenas y gravas no consolidadas
124.
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Escala en millas
fig. n? 49. Mapa de situación de la zona de estudio
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Fig. n4 50. Superficie de contrcl y sondeos de control de contaminaci6n
125.
depositadas sobre un sustrato impermeable de edad Pensilvaniense.
El espesor del acuífero es de unos 28 m. en el área de estudio.
La piezometría representada (figura n° 50) indica un
gradiente suave y natural hacia el río Illinois (oeste ), ilustrando
el cono de depresión existente en el pozo de producción PW4.
- la transmisividad varía de 1800 m2 /d a 3700 m2 /d.
- la porosidad eficaz no se indica en la publicación
original (referencia n° 13) pero hay que suponerla conocida, pues
no se hace mención a ningún test de ajuste durante el desarrollo
de la simulación . Por el contrario, las dispersividades longitud¡
nal y transversal se determinaron por test de ajuste en la simulación.
- Tampoco se indican en la publicación, ni el período
de calibración ni el balance del acuífero; con respecto a la concen
tración inicial ( en este caso la especie estudiada es amoniaco)
vale lo dicho en el caso anterior , es decir , no es precisa ya que
el modelo no debe resolver realmente la ecuación de la dispersión.
3. El-modelo-matemático------------------
- El mallado es rectangular irregular con un total
de 2196 celdas cubriendo una superficie de 23 ha (figura n°
51). El tamaño de las celdas aumenta hacia el N. y 0., afinándose
126.
en torno a la zona de la fuente contaminante.
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Fig. nó M. Mallado del modelo
El modelo de flujo se calibró en régimen permanente
fundamentalmente debido a dos motivos: 1° durante el período de
estudio no hubo un cambio apreciable en la concentración de la
especie contaminante estudiada, lo que reduce la importancia de
las variaciones habidas en la fuente; 2° el gradiente hidráulico
fue constante durante todo el período de estudio.
Los límites empleados fueron de potencial impuesto
constante y caudal impuesto, simulándose un caudal de bombeo de
5420 m3/d en el sondeo PW4.
127.
La calibración no fue difícil debido a la gran cantidad
de datos disponibles para un área de estudio de reducidas dimensiones.
- El modelo de transporte
Para tener una idea de la calidad química del agua
del acuífero y de la geometría de la contaminación, se realizaron
análisis químicos en un total de 11 puntos (SP1 a SP10 y PW3, figura
n° 50 y 52). A partir de ellos se clasificó el agua en tres grupos
(figura n2 53 y 54):
Sol Sol SP3 So4 SOS 300 So ? 301 Sil So10 So11
Po tasio K 60.0 34.0 42.0 62.0 22.0 65 0 31 . 0 6.00 2 . 00 0.00 25.0
Calcio ea 2.00 6.40 4.40 60.0 104.0 10 . 0 04.0 64 . 0 60.0 104 . 0 100.0
1Ygies 10 Hy 3.90 5 . 10 II 0 34 . 0 31.0 0. 70 27.0 77.0 ?4.0 150 . 0 150.0
Hierro Fe 0.60 2.00 0 . 36 0.20 0.30 0 15 0.21 0.40 0 . 40 0.30 0.02
Cloru ros Cl" 59.0 26-0 29 . 0 41.0 14.0 49.0 12.0 S 00 7.00 6.00 13.0
Sulfatos SO 1 96 . 141 . 140. M. 09.0 159. 103. 49.0 33.0 42.0 00.0
fosfatos o0 20.7 12 . 3 0.00 1.60 10.10 16.5 0.10 0 . 10 0.10 0 . 10 0.10
Nitratos 00 1300 . M. 1200 . 5 10. 400 . 1100. M. 60.9 55.0 M. 440.
Anoalato 1K 2111. 457. 001 . 262. 107 . 961. M. 1.10 0 . 04 11.6 117.
Fig. nQ 52. Composición quínica de las muestras de agua (en mg/1)
10 Contaminada: con concentración de amonio entre 285
y 2100 ppm, de nitratos entre 570 y 1885 ppm; el contenido en
Ca++ y Mg++ inferior al del agua del acuífero (no contaminada);
sulfatos, cloruros, fosfatos, potasio y hierro superiores en sus
contenidos a los valores medios. El pH entre 8.6 y 8.9 mientras
que en el agua del acuífero es 8 aproximadamente.
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129.
2° Contaminación marginal: de concentraciones superiores
a las del agua natural pero muy inferiores a las anteriores.
3° Natural o no contaminada.
A partir de las isolíneas de concentración de amoniaco
(figura n° 55) se dedujo en primera aproximación que la contamina
ción emigra hacia el oeste y que parte de la contaminación se dirige
hacia el cono de depresión PW4.
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Fig. n! 55. Distribución de concentración de amoniaco
. Simulaciones Realizadas.
Se realizaron tres tipos de simulaciones con objetivos
bien diferenciados :
* Calibrar el modelo e investigar los valores de
aLy aT
130.
Se hizo un test de sensibilidad sobre distintos pará
metros del modelo, resultando éste especialmente sensible a los
cambios en aL y a T ; el rango obtenido para estos parámetros fue
de : 2.13 < al < 3.35 m ., 0.61 < a T < 0.915 m.
* Comprobar si la contaminación había alcanzado un
nivel constante dentro del área modelada o si, por el contrario,
continuaba aumentando.
Para ello se realizaron simulaciones de larga duración
(1500 días ), ampliando los valores de al y a T identificados, dibuján
dose la evolución temporal de la concentración en los límites (de
salida de agua) del modelo. Se comprobó que al cabo de 300 días
se alcanzaban valores constantes de concentración en los límites
y en el pozo de bombeo PW4, empleando los mínimos valores de
aL y aT,
* Estudio de la mejor medida correctora para paliar
la contaminación del acuífero.
Se simuló el efecto que la eliminación de la fuente
contaminante tendría sobre la calidad del agua del acuífero. Una
vez alcanzado un nivel de concentración constante al cabo de 360
días de simulación, se eliminó la fuente para el periodo de tiempo
siguiente (360 + 30 = 390 días). Como se observa en la figura n°
56 la concentración de amonio se hace prácticamente nula a los
810 días ; es decir, son necesarios 420 días aproximadamente para
131.
que el acuífero quede libre de contaminación.
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Fig. n? 56. Distribución de concentración de amoniaco en el sondeo de produccióny en el límite aguas bajo
Por tanto la realización del modelo ha sido francamente
útil para acotar la magnitud del problema existente: parece imposible
que las condiciones empeoren en el área de estudio, y se puede
concluir que los procesos naturales devolverían al acuífero a su
situación primitiva, al cabo de 14 meses de haber eliminado la
fuente de contaminación.
132.
IV.3.2.4 . 4.3. MODELO DE CALIDAD DEL SISTEMA ACUIFERO DE ALMONTE-MARISMAS.
( IGME, 1978).
1. Objetivó - del-estudio
Se pretende determinar el efecto que la explotación
proyectada del acuífero de Almonte -Marismas ( 145 Hm3 / año) tendrá
sobre la calidad del agua del mismo, teniendo en cuenta la presencia
de un frente de aguas salobres en Las Marismas a una distancia
relativamente pequeña de la zona de explotación.
2. Caracterización -hidrogeólógicá-e-hidrogg2guímicá - del - sistema - a -modelar-------------------- ---------------
- El sistema acuífero de Almonte -Marismas ocupa parte
de las provincias de Sevilla , Huelva y Cádiz (figura n° 57) definién
dose en sentido amplio por el triángulo Sevilla - Huelva-San Lúcar
de Barrameda.
Los materiales permeables que forman el sistema son:
- Cuaternario ( arenas y gravas)
- Pliovillafranquiense (arenas, gravas, arcillas)
- Saheliense ( arenas)
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134.
El sustrato impermeable está constituido por las margas
azules del Tortoniense.
- Transmisividad: los materiales que constituyen el
sistema presentan en general permeabilidades pequeñas, del orden
de 10-4 m/s, a excepción de las dunas y terrazas cuaternarias. Dadas
las pequeñas variaciones de K, las zonas de mayor transmisividad
corresponden a las áreas de mayor espesor saturado que a continua
ción se indican.
- Espesor Saturado: puesto que la profundidad hasta
el agua es siempre pequeña, el espesor saturado coincide práctica
mente con el espesor de los terrenos acuíferos; este oscila entre
los 20-140 m., encontrándose los mayores espesores en:
- Marismas
- La franja litoral
- El borde norte de Marismas
- Porosidad eficaz: no pudo ser determinada en ningún
punto del sistema. Dado que el coeficiente S oscila en la zona
del Almonte (acuífero libre) entre 6-10% se ha supuesto un valor
de porosidad eficaz del 8%.
- Dispersividad longitudinal y transversal: dado que
en el modelo sólo se consideró la componente advectiva del transporte,
no se obtuvieron valores de estos parámetros.
135.
- Por último , y a nivel cualitativo, el sistema presenta
una alimentación única debido a la infiltración pluvial cuyo valor
oscila bastante sobre la superficie modelada dadas las diferentes
características edafológicas y topográficas existentes.
Las salidas del sistema vienen definidas por pérdidas
por los limites del acuífero ( Río Tinto , Oceano Atlántico y Marismas),
pérdidas a los arroyos, pérdidas por evapotranspiración en las
zonas de eucaliptos y en las áreas donde la superficie piezométri
ca se encuentra próxima al suelo y pérdidas por drenaje vertical
en Marismas.
3. El -modelo -matemático------------------
- El mallado es rectangular variable y consta de 1032
celdas , exceptuando las de los límites , cubriendo una superficie
de 2322 Km2 ; cada celda es de 1.5 x 1.5 Km2, si bien en un sector
del mallado, éstas se subdividen en otras 9 de 0.5 x 0.5 Ki
( Figura n° 58).
- El modelo de flujo
Fue calibrado en régimen permanente y transitorio.
Para la simulación de la explotación proyectada de 145 HJ /a se
realizó una simulación a 6 años empleando mallado variable ( figura
n° 58) en la zona de ubicación de los sondeos lo que permitió que
137.
en el modelo existiera un solo sondeo por celda. De esta forma
se pudieron calcular los niveles dinámicos en los sondeos a partir
de los niveles medios calculados en cada celda, admitiendo sondeos
sin pérdidas de carga y totalmente penetrantes.
La simulación a 6 años dio como resultado que 3 sondeos
podrían presentar problemas ; una extrapolación a 20 años puso de
manifiesto que podrían presentarse problemas en 21 sondeos de los
290 considerados , no tanto por la magnitud de las depresiones ocasio
nadas, como por el débil espesor saturado del acuífero en estos
sondeos.
- El modelo de transporte
El modelo calcula el avance del frente salobre de
Marismas a partir de una situación inicial dada , que en este caso
se tomó como la curva de 1 911 de sal ( cloruros), considerando exclusiva
mente la componente advectiva del transporte en cada paso de tiempo;
es decir las partículas distribuidas a lo largo del frente salino
se mueven en base a la distribución de velocidades deducida a partir
de la piezometría del paso de tiempo considerado, la permeabilidad
y la porosidad eficaz.
Como hipótesis simplificadoras complementarias se consi
deró que :
El fluido contaminante, agua salobre, tiene la misma
densidad y viscosidad que el agua dulce.
Í
138.
- La interfase entre ambos fluidos es una superficie
vertical.
El objetivo del modelo era determinar la situación
del frente salobre respecto a la zona de explotación, teniendo
en cuenta un bombeo de 145 Hm3/a.
El modelo puso de manifiesto que al cabo de 6 años
de explotación el avance del frente no superará en ningún punto
los 200 m., lo que representa un avance medio anual de 33 m. .
Suponiendo un avance lineal del frente salobre y ya que según el
modelo de flujo la zona correspondiente a Marismas queda prácticamente
estabilizada en el 6 2 año de explotación, se puede extrapolar que
a 20 años el avance del frente sería de 660 m., situándose por
lo tanto a suficiente distancia de las zonas de explotación.
139.
IV.3.2.5. MODELOS EN ELEMENTOS FINITOS
IV.3.2.5.1. PLANTEAMIENTO
Las hipótesis y restricciones que se efectúan con más
frecuencia en los modelos de este tipo son las siguientes:
Y Validez de la ley de Darcy.
2° Se considera despreciable o nula la variación vertical
de la piezometría (hipótesis de Dupuit).
Y Se admite que no hay presencia de reacciones químicas
que modifiquen la concentración del soluto y que, además, éste
actúa como un trazador.
4° La difusión iónica y molecular produce un flujo
dispersivo despreciable frente al provocado por dispersión mecánica.
5 1 la porosidad permanece constante en el tiempo y
es uniforme en el espacio.
6 0 El acuífero puede ser heterogéneo y/o anisótropo;
sin embargo debe ser homogéneo e isótropo respecto a la dispersividad
longitudinal y transversal.
La formulación de las anteriores hipótesis y restriccio
nes conduce al siguiente modelo matemático :
140.
D (TaR ah ) + q = S ah a,R = 1,2 (75)a xa axR at
a (DcW ac ) _ a (va.c) + Q•c' = ac a. R = 1,2 (76)axa, a xR axa E at
va KaR ah a, R = 1,2 (77)s axR
Las ecuaciones están expresadas en notación tensorial
para facilitar la exposición posterior; la ecuación (75) es la
ecuación del flujo subterráneo , en donde:
Ta R : componente del tensor transmisividad
Ka R . componente del tensor permeabilidad
h : nivel piezométrico
5 : coeficiente de almacenamiento
xa, xR : coordenadas cartesianas , que coinciden con las direccio
nes principales de los tensores permeabilidad y transmisi
vidad
Q caudal de entrada (+) o de salida (-) por unidad de
área de acuífero
la ecuación (76) es la ecuación de la dispersión en
donde, además
141.
Da R : componente del tensor coeficiente de dispersión hidrodiná
mica
vQ . componente del vector velocidad lineal media
c . concentración media del soluto sobre el espesor satura
do del acuífero
co . concentración del soluto en una fuente/sumidero
La ecuación (77) proporciona los valores de va necesarios
para resolver la ecuación de la dispersión, siendo e la porosidad
eficaz del medio poroso.
El proceso general de cálculo es, como siempre, resolver
el modelo de flujo (ecuación (75)) en primer lugar y con indepen
dencia del modelo de transporte, ya que el soluto actúa como un
trazador; a continuación se evalúan las componentes vQ (ecuación
(77)) una vez conocida la distribución de piezometría, para finalmente
resolver la distribución de concentración del soluto contaminante
en el acuífero ( ecuación (76)).
La resolución numérica de las tres ecuaciones se realiza
por el método de elementos finitos de Galerkin (VOLUMEN III. CAPITULO
111.4) como a continuación se indica.
142.
IV.3.2.5.2. RESOLUCION POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)
FORMULACION DE GALERKIN
Las soluciones exactas h "y" c de las ecuaciones (75)
y (76), respectivamente, pueden aproximarse por medio de una combi
nación lineal de funciones de base, es decir:
nh h = Hi(t) . wi(xa) (78)
i=1
nc e = F Ci(t) . ui(xQ) (79)
i=1
en donde wi (xa) con i = 1, .... n, y ui (xa) con i = 1, ... n, son
dos familias o sistemas de funciones de base , linealmente indepen
dientes, elegidas de forma que cumplan las condiciones de contorno
impuestas a la correspondiente ecuación diferencial . las funciones
Hi (t) y Ci(t) son coeficientes incógnita, dependientes del tiempo,
que deberán calcularse para obtener las soluciones aproximadoras.
Si se consideran ahora los siguientes operadores:
Lh (h) = a (j p ah ) - S 2h + Q = 0 (80)axQ axo at
143.
Lc(c) = a(Duo
ac ) - a (c.va) - ac + Q-c, = 0 (81)axa axo a xa at e
y se tiene. en cuenta que en el método de residuos ponderados de
Galerkin las funciones ponderadoras del residuo que resulta de
sustituir h y c en (80) y (81), respectivamente , son justamente
las funciones de base, se tendrá:
Lh (h) . wi dA = 0 i = 1,2, .... n (82)fA
AL c (c) . ui dA = 0 i = 1,2, .... n (83)
En donde ( 82) es un sistema de n ecuaciones integrales
con n incógnitas, los coeficientes H i(t), consecuencia de ponderar
el residuo no nulo L h(h) con cada una de las n funciones de base
wi (xa ), sobre el dominio en estudio A; del mismo modo, (83) es
un sistema de n ecuaciones integrales con n incógnitas Ci(t). De
una forma más desarrollada , sustituyendo (78) y (79) en (82) y
(83), respectivamente, se tiene
rc�, a(',
wi
a aHi1, Hj.wi + Q.wi ) dA = 0 (84)
A C 5% ax a at Ji = 1,2, ... n
a au au DVa aCj
f
(Daa 3 ) C ui vaC i u uiCj ujuii axa axa j j axa ' axa at J
+ 2-21 ui dA = 0 i = 1,2, ... n (85)
144.
DISCRETIZACION ESPACIAL EN ELEMENTOS FINITOS. FUNCIONES DE BASE.
Una vez que se han obtenido los sistemas de ecuaciones
integrales (84) y (85 ) es necesario realizar una discretización
espacial del dominio A en estudio , en un conjunto de subdominios
denominados elementos finitos, de manera que las integrales expresadas
anteriormente sean evaluadas elemento por elemento. las formas
de estos elementos pueden ser muy variadas , y van desde el simple
elemento triangular hasta los denominados elementos isoparamétricos
de lados curvos ; en cualquier caso, puede afirmarse que no hay
acuerdo claro sobre qué tipo de elemento es el que proporciona
una solución más precisa , dependiendo esta cuestión del problema
que se esté resolviendo en concreto. Las funciones de base se eligen
siempre en su forma más sencilla; son por lo tanto polinomios,
normalmente de grado inferior a 4 (es decir, lineales , cuadráticos
o cúbicos), y se eligen de tal forma que tomen el valor unidad
en el nodo al cuál están asociadas , y el valor cero en el resto
de los nodos del mallado, con lo que los coeficientes incógnita
Hi(t) y Ci M son justamente los valores aproximados de las funciones
incógnita (h "y" c) en los nodos , o valores nodales. En este caso
sí está claro que la precisión de la solución numérica queda directa
mente relacionada con el orden de las funciones elegidas, si bien
es cierto que soluciones más precisas son también más costosas
computacionalmente.
Como parece obvio , la posibilidad de emplear distintos
tipos de funciones de base definidas sobre otros tantos tipos de
elementos da lugar a la existencia de una amplia gama de modelos
145.
matemáticos . A efectos orientativos, puede comentarse que, por
ejemplo, en la ingenieria del petróleo la tendencia es a emplear
funciones de base de alto orden definidas sobre elementos cuadrados
o rectangulares, mientras que en ingeniería estructural suelen
emplearse mallados finos con funciones de base de bajo orden.
Sistemas --de -- ecuaciones -- algebráicás----------------------
Definidas las funciones de base que van a ser empleadas,
(84) y (85 ) pueden expresarse en forma matricial:
[P ] {H} + [R ] {dH/dt } + {U} = 0 (86)
[NI { C } + [ M] {dC/dt } + { F } = 0 (87)
en donde N ^ P y R son matrices de orden ( n-m) x (n-m ), siendo
n el número de nodos del mallado y m el número de nodos pasivos,
es decir afectados por una condición de contorno de Dirichlet;
C, H, dC / dt y dH/ dt son los vectores que contienen las incógnitas
(valores nodales ) y sus derivadas temporales. Elementos típicos
de las matrices y vectores de (86 ) y (87) son los siguientes:
aw aw
Pkl =fA( Tc1cl
1 k dA (88.a)J% J%
Rkl = AS wk wl dA (88.b)
146.
nUk = - wk.Q.dA - wk Toa
aF Hm.wm la dS (88.c)
A S axa m=1
au1 2 u k _ au1 iv
Nkl_fA(!)aR+ va uk + ukul dA (89.a)axa axR axa axa
Mkl uk ul dA (89.b)A
nFk = uk QEC dA - uk DaR
a Cm um la dS (89.c)AA s axR m=1
en donde la son los cosenos directores de la normal exterior al
borde o frontera S de la superficie A.
Los productos de derivadas primeras de funciones de
base que aparecen en (88.a) y (89.a) proceden, al igual que los
últimos términos de (88.0 y (89.c), de la aplicación del Teorema
de Green a los términos con derivadas de segundo orden presentes
en (84) y (85), como se indica a continuación de manera genérica:
2
fdA = - .
dA +
fsdS
a xaax0 A axa axR a n
en donde 90/ P n = 201 axa . ld , siendo Pial an la derivada
de la función 0 (xa ) según la normal exterior a la frontera S.
147.
Los citados últimos términos de (88.c) y (89.c) pre
sentan la utilidad de permitir incorporar al modelo las condiciones
de contorno de tipo Neuman , es decir , especificaciones sobre el
flujo de masa de agua o de soluto contaminante . Lógicamente estos
términos sólo aparecen en aquellas ecuaciones correspondientes
a elementos que presentan como mínimo uno de sus lados integrados
en la frontera S del dominio A, y en el cual el flujo de masa de
agua o de soluto n es nulo. Para el flujo subterráneo este término
tiene la forma wi T 2h/ 2n dS, y para el transporte de solutos
ui D 9c/ an dS.
fs
Por lo que respecta a la consideración de la condición
de contorno de Dirichlet , en aquellos nodos que la presentan (es
decir, con una especificación sobre la variable piezometría o con
centración ) no se generan los elementos ( 88), en el caso del flujo
subterráneo , o los elementos (89), en el caso del transporte de
soluto. Dado que el número de nodos que presentan este tipo de
limite o condición de contorno es muy diferente para el flujo subte
rráneo y para el transporte de soluto, las dimensiones de las matrices
que aparecen en (86) y (87) pueden ser muy diferentes.
Por otra parte , si bien las matrices de (86) (sistema
correspondiente a la aproximación de la ecuación del flujo subte
rráneo ) son simétricas , ello no ocurre con las matrices de (88).
Un análisis de la matriz [ N ] pone de manifiesto que el término
u 1 2uk / D% difiere en general del término u k au1 / 2xR por
148.
lo que no hay simetría en la matriz ; esta ausencia implica una
mayor necesidad de almacenamiento en memoria del ordenador para
la resolución de (87), sistema en el cual la simetría permite que
sólo los elementos no nulos de la parte tringular superior sean
almacenados.
Una vez que se realiza una cierta aproximación de las
derivadas temporales en (86 ), este sistema puede ser resuelto por
alguno de los métodos de que dispone el cálculo numérico , de manera
que los valores nodales Hi son conocidas para un cierto paso de
tiempo.
La resolución de (87 ), realizada asimismo una cierta
aproximación de sus derivadas temporales, implica además el cono
cimiento del término va y de su derivada, 97% / 2xa (en (89.a)).
Teniendo en cuenta ( 78) puede escribirse:
2h - 2h = E Hi(t) aW1
2xa axa i=1 axa
en donde las derivadas de las funciones de base son conocidas.
La propia definición de velocidad lineal media permite su evaluación:
Kaa 2h - -Kaa
2hVOL = -
E axa E axa
K n 2w.-q F H.(t) 1
(90)E i=1 2x0
149.
ya que, resuelto el modelo de flujo (86), los valores nodales
Hi serán conocidos. La derivada espacial 2va / axa puede evaluarse
de una forma análoga a como se ha hecho con va, por lo que conocidos
ambos términos podrá abordarse la resolución del sistema (87) que
proporcionará los valores Ci en los nodos del mallado, para un
cierto paso de tiempo.
Por último, es necesario comentar la presencia de coefi
cientes integrales en ambos sistemas de ecuaciones algebraicas,
(86) y (87); sin entrar aquí en detalles, la evaluación de dichos
coeficientes se efectúa, en general y bajo ciertas condiciones,
por medio de fórmulas aproximadoras de cuadratura gaussiana, que
pueden llegar a proporcionar soluciones exactas.
DISCRETIZACION TEMPORAL. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA
La resolución de los sistemas de ecuaciones (86) y
(87) implica que las derivadas temporales de piezometria y concen
tración son también aproximadas numéricamente; si bien podría
emplearse nuevamente el MEF para realizar esta aproximación, lo
usual es emplear el método de diferencias finitas.
De los esquemas ya conocidos que existen para este
método, el que suele proporcionar mejores resultados tanto en la
resolución de (86) como de (87) es el esquema implícito . Realizando
i'
150,
la aproximación de las derivadas temporales mediante este esquema,(86) y (87 ) quedan como
`PJ {H}t. Ét +[R] ( lH) t+ �át - lHl J// Ot + {U} = 0
y reagrupando según el nivel de tiempo
l[P] + [R ] /At) lH1t+Ot = 1[R] /Ot� lHJ t - {UJ(91)
y, análogamente , para el transporte de soluto
[N] +[M]/At {C}t+At = ([M] /ot ) {C}t -lFJ (92)
La resolución de (91) y ( 92) por alguno de los distintos
métodos de que dispone el cálculo numérico , proporciona los valores
de los coeficientes incógnita H y C para cada paso de tiempo, coefi
cientes que dada la forma en que se eligen las funciones de base
son justamente los valores nodales o valores de las incógnitas
h y c en los n nodos del mallado . Es preciso comentar además que,
puesto que la limitación en el paso de tiempo para obtener una
solución numérica precisa es diferente para una y otra ecuación,
suele ser frecuente y ventajoso resolver una de las ecuaciones
m veces , con un paso de tiempo At/m, mientras que la otra ecuación
se resuelve una solo vez con un paso At; a efectos orientativos,
los pasos de tiempo que pueden emplearse para la resolución de
(92) son 100 o más veces superiores a los empleados en el conocido
método de las características.
151 .
Por último, es preciso señalar que no hay obstáculo
para emplear las mismas funciones de base y sus derivadas en (88)
y (89), de forma que sean elegidas una sola vez y empleadas en
los coeficientes de las matrices de (91) y (92).
Por lo que respecta a la estabilidad y convergencia
del método de elementos finitos, ya que la discretización tempo
ral se ha abordado por el método de las diferencias finitas, todos
los inconvenientes que pueden presentarse son comunes a ambos mé
todos ( subapartado IV.3.2.2.3.).
i
152.
IV.3.2.5.3. CASOS HISTORICOS DE APLICACION
IV.3.2.5.3.1. SIMULACION DE LA CONTAMINACION DE AGUAS SUBTERRANEAS EN
LONG ISLAND, NEW YORK (U.S.A.), POR EL METODO DE ELEMEN-
TOS FINITOS DE GALERKIN (GEORGE F. PINDER, 1973).
1. Objetivo-del-estudio
Como consecuencia de las actividades en una planta
industrial en South F armingdale (figura n° 59) de anodización de
aluminio por medio de cromo, comenzaron a detectarse en el acuífero
glacial subyacente concentraciones de cromo hexavalente de 0.1
mg/l, en el año 1972. El causante de esta contaminación era una
inadecuada evacuación de los residuos liquidos procedentes de la
planta, con altos contenidos en cromo, y menores en cadmio.
a
posttes*
J t ruW� o„Nc
�I
t
su �
st
z�-
o so ao evo aqo 4w eqo tres
Fig. n4 59. Plano de sita:a*.i^n. Extensi^n areal de la contaminación
1
153.
Las investigaciones realizadas con posterioridad permi
tieron definir la extensión de la contaminación y su evolución
temporal (figura n° 59); en concreto, la más exhaustiva de estas
investigaciones , realizada en 1962, puso de manifiesto la existencia
de una nube contaminante de unos 1300 m. de longitud y unos
300 m. de anchura, con apreciable variación en la distribución
vertical de la concentración de cromo. Se comprobó que el máximo
contenido en cromo había disminuido de 40 mg/1 en 1940 a 14 m9 /1
en 1962, detectándose este máximo a unos 900 m. aguas abajo de
la ubicación de los depósitos de residuos contaminantes. Se comprobó
también que la nube contaminante llegaba a afectar al río Massa
pequa Creek ligado al acuífero aluvial.
En el año 1913 se decidió construir un modelo matemá
tico que ayudara a mejorar el conocimiento sobre el comportamiento
de la nube contaminante en el acuífero y permitiera simular esquemas
diseñados para eliminar la contaminación del río Massapequa Creek.
2. Caracteri-zaci-ón --hidrogeológicá__ e__hidrógeoquímicá__ del -- sistema------------------ -------
á__módelár
- El acuífero glacial de long Island está constituído
por materiales de edad Pleistoceno del tipo arenas y gravas, formando
lechos y lentejones interdigitados con otros lechos y lentejones
más delgados de arenas y limos de grano más fino.
155.
- Espesor saturado (figura n° 60): oscila entre 25
y 43 m.
- Porosidad eficaz: presenta un valor medio del 35%.
- Dispersividad longitudinal y transversal: los valores
de estos parámetros no se conocían experimentalmente, por lo que
se determinaron en el transcurso de la calibración del propio modelo
matemático; los mejores valores encontrados, es decir, los que
mejor ajuste dieron entre concentración calculada y observada,
fueron los de aL = 21.3 m y aT = 4.27 m.
- El funcionamiento del acuífero es simple ; a nivel
cualitativo , presenta una alimentación pluvial y por su límite
abierto norte por donde se continúa el acuífero glacial y una des
carga al río Massapequa Creek y a través del límite abierto sur.
3. El-modelo--matemático-------------------
- El mallado (figura n° 61)
Consta de 150 nodos y 91 elementos cuadrilaterales
isoparamétricos . El diseño del mallado es sin duda la fase más
crítica dentro de la aplicación del método de elementos finitos
en la resolución de problemas de campo; deben considerarse dos
criterios importantes en este diseño: 1 9 El mallado debe afinarse
allí donde se prevean fuertes discontinuidades en la función que
quiere calcularse (concentración, piezometria); en este sentido
156.
deben observarse la zona de recarga de contaminante y de descarga
del mismo al río Massapequa Creek. 29 Deben emplearse funciones
de base de alto orden o, de otra forma, elementos con nodos no
sólo en sus vértices sino también a lo largo de sus lados, en aquellas
zonas donde sea necesaria una solución precisa; en este sentido,
pueden observarse los elementos diseñados sobre la zona en donde
se conoce la existencia de la nube contaminante.
M�M
fle�eats
i
fio. ^0 61. Mallado del modelo
Debe destacarse la gran flexibilidad que presentan
los elementos finitos para adaptarse a la geometría y peculiarida
des físicas del problema a resolver.
157.
- El modelo de flujo
Como consecuencia de la no existencia de fluctuación
anual de piezometría en el período de observación 1949-63 y de
una existencia de fluctuación estacional de tan sólo 0.5 a 1.0
m., la ecuación del flujo subterráneo se resolvió en régimen perma
nente, obteniéndose por tanto una única distribución de piezome
tría y velocidad sobre el mallado para el período de calibración.
La misma observación de evolución de piezometría, per
mitió adoptar el límite a potencial impuesto en todo el contorno
del modelo. Por su parte, la zona de recarga y descarga del conta
minante fueron tratados en las primeras pasadas de cálculo como
fuente y sumidero, respectivamente. Es importante señalar que al
no funcionar este modelo conceptual por no haber buena coincidencia,
posteriormente, entre valores calculados y observados de concentra
ción, se impuso también la condición de contorno de Dirichlet a
los nodos representativos de la zona de recarga.
- El modelo de transporte
La condición inicial de concentración considerada fue
de 40 mg/ l en la zona de recarga de contaminante y nula para el
resto del modelo; por otra parte, se estableció la condición de
potencial impuesto en todo el contorno del modelo y, así mismo,
en la zona de recarga, en donde para el período 1940-49 se mantuvo
una concentración impuesta de 40 mg/l.
158.
En la figura n° 62 puede observarse la distribución
de la concentración de cromo calculada y observada para el año
1953.
0s� Y
t
i
ó � t� sIM��fthlhr� 1 53O�tsrq t
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CtIpINt L 3pR�
• Ah OIIIVC
Z �
M�
O b I4trN
Fig. n? 62. oistribución de concentracien de cromo calculada y observada (1953)
. Simulaciones realizadas
* Puesto que en la planta industrial comenzó a realizarse
en 1949 un tratamiento depurador de los residuos tóxi
cos antes de su vertido, se simuló cual sería la evolu
ción de la nube contaminante durante el período 1949-
1962, suponiendo una total eliminación de la fuente
contaminante después de 1949. Como puede observarse
(figura n° 63), en el año 1961 la contaminación habría
desaparecido prácticamente, descargándose el contaminante
al río y a través del límite abierto sur.
159.
3
�n n
1949 1952
1954 1981
",15-27
Fig. n4 63. Oistribucióo de concentración calculada (1949-61):fuente contaminante eliminada
* La segunda simulación considera el hecho de una re
ducción del 75% en la concentración de la fuente conta
minante ( 10 mg/1), en lugar de su desaparición total,
a partir de 1949. En la figura n° 64 se observa que
un estado quasi-permanente se alcanzaría a partir de
1953.
* Por último y teniendo en cuenta la interacción
río/acuífero, se simuló una eliminación total de la
fuente contaminante a partir de 1972, para determinar
en cuántos años se descargaría el contaminante por
el río; como puede verse (figura n° 65) este hecho
ocurriría en 1979.
160.
i300
V
1S �rV
0 1949.- , 1950ESTE=\\
S-tNORTEao
+s n
1953 1957
Fig. ná G4. Distribución de concentración calculada (1949-57 ): fuentecontasinante reducida un 75% en su concentración
c
75 tsrsN 1972 1973
ESTE
+s +s
�s 7. s
1976 1979
Fig. nQ 65. Distribución de concentración calculada (1972-79):fuente contaminante eliminada
161.
IV.3.2.5.3.2. SIMULACION DE LA CONTAMINACION DE AGUAS SUBTERRANEAS EN
PLEASANTVILLE, NEW JERSEY (USA), N.G. GRAY Y J.L.
HOFFMAN, 1983).
1. Objetivo--del--estudio
la utilización de una antigua cantera de arena y grava
en Pleasantville , New Yersey , ( figura ° 66) como vertedero de res¡
duos líquidos y químicos de carácter tóxico ( acetona, cloroformo,
hexano , aceites , etc) provocó la contaminación del acuífero Cohan
sey cuyos recursos hídricos se emplean en cubrir una buena parte
del abastecimiento urbano de Atlantic City.
El objetivo del modelo matemático es el diseño de estrate
gias o alternativas para frenar el avance de la contaminación y
eliminarla progresivamente.
2. Caracterización -hidrogeólógicá -e-hidrógeógu ¡ m¡cá-del - sistema - a - modelar-------------------- -------------
- En la zona de estudio existen dos acuíferos importan
tes de edad terciaria que, de muro a techo, son: la formación
Kirkwood de unos 25 m. de espesor, constituida por arenas relativa
mente uniformes y consistentes , y el acuífero Cohansey , dividido
a su vez en dos unidades acuíferas , una inferior de unos 30 m.
de espesor y otra superior cuyo espesor es de unos 25 m. . El acuífero
162.
O �°�c, O es 1 0'•
c c*M1^ c rO-cs� •c• fo • 1
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N �wi 0 '`c++t
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•.0.&C@ á0wN0 9 .Ob4tl0o
«Po OOM►tOtq�u (M^
0 .000 Mw c O
Fig. n ? 66. Mapa de situación de la zona de estudio
Cohansey está también formado por arenas, si bien mucho más varia
bles, con intercalación de lentejones de arcillas. En la figura
n° 67 se dan los dos cortes geológicos representados en la figura
n° 66, con información obtenida a partir de sondeos profundos.
Desde el punto de vista de la simulación, sólo se contempla al
acuífero Cohansey superior, en el que tiene lugar la evolución
de la contaminación, y que se encuentra prácticamente independiza
do de la mitad inferior por un estrato semipermeable de arcillas
de unos 15 m. de espesor. A él se refieren por tanto los párrafos
siguientes:
163.
e ecf c. •ts
-50
-100
-123
�s - -150
�IIAVAf � •R[IMf Q ��� • � llldY � �R41Mf
(0�
� C •23.. �, Owl co~ %ft
co .C,
- - 23
_= __ = = - so
-73
______ - -100- - - - -- - - ------ ---- - - -- - - - - -----
-- - --- - - ---- - --- --- - - -
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t.y
N 4 - _ -__ __--- -II3
r = =--
---
--------- ------ _-_- -_= ss�f�
t
BnSE OEl ~se y ik E11/o11
(b)
Fig. n? 67. Cortes geológicos BB' (a) y CC' (b)
164.
Transmisividad: obtenida a partir de ensayos de bombeo en la
zona, se estimó entre 513 y 747 m2/d.
Coeficiente de almacenamiento : no fue obtenido al resolverse
el modelo de flujo en régimen permanente y, por tanto, no es
necesario.
Porosidad eficaz y dispersividad longitudinal y transversal:
los valores de estos parámetros no se indican en la referencia
empleada, ni tampoco se hace mención del método empleado en
obtenerlos.
3. El - modelo --matemático-------------------
- El mallado ( figura n° 68)
Se han empleado funciones de base lineales definidas
sobre elementos finitos triangulares . En la zona aguas abajo del
vertedero y cercana a él, el mallado se ha afinado pues lógica
mente es la zona en donde se espera el avance de la nube conta
minante y por lo tanto donde interesa calcular con precisión las
variables concentración y piezometría. Como siempre, se destaca
la gran flexibilidad de los elementos finitos para adaptarse a
la geometría del problema.
165.
N
a.��►1i
rcci
Fig. ns 68. l9all3do del modelo
- El modelo de flujo
las condiciones observadas en la piezometría del acuí
f ero (figura n° 69) permitieron plantear un modelo de flujo bid¡
mensional areal, en el que se consideró la existencia de un régimen
permanente. En las figuras n° 70 y 71, se muestra el grado de pre
cisión del modelo en la reproducción de la piezometría observada.
- El modelo de transporte
Se realizó en régimen transitorio, aceptándose la hipó
tesis de soluto contaminante trazador y conservativo (ausencia
de reacciones químicas que modifiquen su concentración en el
acuífero).
166.
•
A �
�t►f i
�t1fM
H i `A••fHt ••
ffr►Itf
rCQ/
Fig. n9 69. Piezoeetría observada en Enero - 81
N
I Db
w It r
í~ét
YC � M
Fig. n9 70. Piezonetria calculada en Enero - 81
n
< _---_ fmnf w� -• tnf.•e
a.IRAfaoff ant,arMLM 1 t
� IeeO�
eorn ari rrAi r►.asacros
Fig. n9 71. Gradientes observados y calculados, según el perfil AA'
167.
La calibración del modelo de transporte se ha visto
afectada por la no existencia de valores observados de concentración,
que permitieran un contraste con los valores calculados (figura
n° 72). Por consiguiente , los resultados obtenidos son más una
indicación sobre la dirección y el tiempo de viaje del contaminan
te que una valoración precisa de su concentración.
. Simulaciones realizadas
Se ensayaron dos estrategias de lucha contra la conta
minación que pusieron de manifiesto que si bien aquélla era posible
de contrarrestar , hasta conseguir niveles aceptables de calidad
del agua del acuífero , ello se conseguiría sólo a largo plazo (25
años ) y con altos costes económicos.
* Estrategia A (figura n° 73)
Consistió en suprimir los bombeos de abastecimiento
(sondeos AC en figura n° 66), bombeando desde los sondeos
P a razón de un caudal de 38 000 m 3 por sondeo y mes;
el agua bombeada, una vez depurada, es inyectada aguas
arriba del vertedero desde los sondeos I. La circulación
del contaminante a través del acuífero para ser elimina
do en los sondeos P se veía así favorecida al incremen
tarse el gradiente natural por el esquema explota
ción / inyección.
168.
r
..
•GC/J►M
(O)
•
•ti
•
i
N
ím�•
/JLA
(b)
Fig. n2 12. Distribución de concentración calculada al cabo decinco años (a) y de diez años (b)
169.
No obstante, si bien al cabo de 10 años de simulación
se ha producido una dilución apreciable del contaminan
te, esta estrategia no consigue capturar todo el contami
nante, de forma que éste rebasa la línea de sondeos
P; así mismo, la dilución conseguida teniendo en cuenta
el coste de operación se consideró insuficiente.
1 � tt �
rcci
Fig. ne 73. Distribución de concentración simulada para la estrategia A
* Estrategia 6 (figuras n° 74 y 75)
Se consideró también la supresión de los bombeos de
abastecimiento pero por lo demás la estrategia es muy
diferente; en lugar de dejar circular el contaminante
desde el foco contaminante, se implanta una línea de
tres sondeos (P), inmediatos al vertedero, y bombeándose
170.
1 •4
rI
1•
1 • �r•
7M P{p
Fig. nº 74. Distribución de concentración simulada para la estrategia Bal cabo de cinco años
■
1 `
•1
s
•P I
i VII �tl a
NNi�f/
rCL/�N
Fig. n4 75. Distribución de concentracién simulada para la estrategia 6
al cabo de diez afios
171 .
38000 m 3 por cada sondeo y mes. De este caudal, sólo
30400 m3 convenientemente depurados son inyectados
desde los sondeos I, distribuyéndose este caudal equitati
vamente entre ellos. Con ello se pretende que los sondeos
P consigan capturar una gran parte del contaminante
antes de que se extienda por el acuífero, y por su
parte, que los sondeos I de inyección impidan el avan
ce del frente contaminante más allá de la línea que
ellos definen.
Como puede observarse , al cabo de cinco años la magni
tud de la contaminación se ha reducido ya significati
vamente, consiguiéndose además frenar el avance del
frente . Al cabo de 10 años la contaminación puede
considerarse prácticamente eliminada.
172.
IV.3.3. ANALISIS COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS TIPOS DE MODELOS DE
ADVECCION-DISPERSION. CONCLUSIONES.
En este apartado se pretende indicar una serie de crite
rios de tipo práctico en base a los cuales se realiza una compara
ción entre los modelos advección-dispersión desarrollados en los
apartados precedentes (es decir, los modelos en diferencias finitas,
del método de las características, el modelo "random-walk" de
Prickett y otros, y los modelos en elementos finitos. En adelante,
estos modelos se denominan, respectivamente , MDF, MOC, R-W y MEF)
y que, por consiguiente, sirven como orientación a la hora de seleccio
nar el modelo más adecuado para abordar un cierto problema de conta
minación puntual.
1° GRADO--DE--COMPLEJIDAD--EN__LOS__PROBLEMAS__QUE__EL__MODELO__PUEDE-- -----------------
TRATAR
Todos los modelos presentados tratan problemas en los
que el flujo subterráneo puede considerarse bidimensional al ser
despreciable o nula la variación vertical de la piezometría; todos
ellos son pues modelos 2 - D areales.
Por lo que se refiere al transporte, MDF, MOC y R-W
aceptan que también los gradientes verticales de la concentración
173.
son despreciables; por el contrario , el MEF acepta un gradiente
vertical , y al ser modelo 2-D areal trabaja con valores medios
de concentración que tienen en cuenta dicho gradiente. No obstante,
este no es un hecho diferenciador importante entre los modelos
de advección - dispersión , ya que la adaptación de la formulación
básica de MDF, MOC y R -W a esta hipótesis ( gradientes verticales
de concentración no despreciables ) es sencilla.
Por otra parte, todos los modelos consideran el soluto
contaminante como trazador y no reactivo o conservativo, excepto
el R-W que contempla la presencia de reacciones químicas. No
obstante , en la actualidad, MEF y MOC también incorporan en sus
esquemas de cálculo la presencia de reacciones químicas ; como es
sabido, la dificultad no es tanto numérica como de disponibilidad
de datos experimentales correspondientes a los coeficientes que
rigen las reacciones.
2° RESULTADOS -MAS - IMPORTAtITES -QUE_SE_OBTIENEN - DEL -MODELO---------------------------------
Tampoco este criterio es diferencial para los modelos
presentados , ya que todos ellos tienen por objetivo primordial
calcular la distribución de concentración del soluto contaminante
sobre toda la superficie del acuífero , así como su evolución temporal.
174.
3° DATOS-MAS-IMPORTANTES-PRECISADOS-POR-EL-MODELO----------------------------------------
Los distintos modelos necesitan básicamente de los
valores de piezometría y concentración del soluto para el periodo
de simulación elegido , no como dato de entrada al programa de
cálculo , sino como control de referencia para los resultados que
arroje el modelo.
Como datos estructurales se precisa: transmisividad,
espesor saturado , porosidad eficaz y coeficiente de almacenamiento
(siempre que el flujo se resuelva en régimen transitorio).
Mención especial merecen la dispersividad longitudinal
y transversal, datos necesarios para obtener los coeficientes de
dispersión hidrodinámica que aparecen en la ecuación de la disper
sión. Como se ha podido observar en los distintos casos de aplica
ción de modelos de advección-dispersión , los valores de estos
parámetros nunca han estado disponibles a partir de métodos experimen
tales de medida; en todos los casos, dichos parámetros se han dete
minado en el propio proceso de ajuste del modelo de transporte
por medio de pasadas de cálculo de "ensayo y error", es decir,
pasadas en las que una pareja de valores aL y aT son probados, compa
rándose los valores calculados y observados de concentración del
soluto. Aquella pareja que mejor ajuste (menor error) proporciona,
se considera como válida y representativa de la dispersión en el
acuífero para abordar las futuras simulaciones de estrategias o
175.
alternativas para combatir la contaminación . En la figura n° 76
se indican, a modo orientativo, los valores obtenidos de esta forma
para modelos matemáticos planteados en distintos acuíferos.
Es preciso señalar que estos valores de a L y a T deter
minados numéricamente tienen un significado físico muy limitado;
por supuesto, el modelo siempre proporcionará valores de dispersi
vidad aparente de las distintas zonas de un acuífero, pero incluso
así, siempre es necesario disponer de valores determinados expe
rimentalmente en el campo que definan un rango de variación válido
al cual el modelista pueda atenerse en el proceso de ajuste o cal¡
bración del modelo matemático. De lo contrario , una de las final¡
dades del modelo de transporte, la regionalización de parámetros
de tipo estructural (dispersividad, porosidad) a partir de valores
experimentales puntuales en el acuífero, puede resultar completa
mente ilusoria.
40 COMPLEJIDAD EXISTENTE EN LA UTILIZACION DEL MODELO--------------------------------------------------
Los modelos MEF son los que entrañan una mayor dificul
tad en su comprensión ya que el método de elementos finitos requie
re un cierto nivel de conocimientos matemáticos y es el método
menos conocido desde la experiencia de los modelos de flujo, tra
dicionalmente resueltos en diferencias finitas.
176.
La entrada de datos al programa de cálculo es simpre
sencilla para todos los modelos pero algo más laboriosa para el
MEF, por lo que respecta al diseño y definición del mallado; no
obstante , la existencia actual en el mercado de programas de proceso
gráfico facilitan mucho esta tarea al usuario , por lo que esta
cuestión no es relevante en la elección de uno u otro modelo.
El proceso de calibración o ajuste del modelo es aná
logo en todos los casos: debe ajustarse en primer lugar el modelo
de flujo , con independencia de la concentración del soluto ya que
éste es trazador ; a continuación , resuelta la distribución de veloci
dades en el modelo , puede ajustarse el modelo de transporte mediante
cambios sucesivos en algunos parámetros estructurales (dispersividad,
porosidad ), o en su caso, en alguna hipótesis de alimentación/explo
tación , condiciones en limites, etc.
5° ERRORES -NUMERICOS----------------
Los modelos MOF y MEF están sujetos a la presencia
de errores numéricos importantes, en especial el de dispersión
numérica ; para el MDF este error es de tal magnitud frente a la
dispersión física, que en la actualidad estos modelos han caído
prácticamente en desuso . los modelos MEF padecen una dispersión
Dispersividades Regionales (m.)
Tipo de acuífero Situación Dispersividad Longitudinal aL/ aT Espacio Nodal(m) (m)
Sedimentos aluviales Rocky Mountain 30.5 1.0 305Arsenal, Col.
Colorado 30.5 0.3 660 x 1320California 30.5 0.3 305Lyon, Francia 12 0.33 ---Barstow, Calif. 61 0.3 305Sutter Basin, 80-200 0.1 VariableCalif.
Depósitos glaciales Long Island, N.Y. 21.3 0.2 VariableCalizas Brunswick, Ga. 61 0.3 VariableBasalto fracturado Idaho 91 1.5 640
91 1.0 640Hanford site, 30.5 0.6 ---Washington
Sedimentos aluviales Barstow, Calif. 61 1/330 3 x 152Alsacia, Francia 15 0.067
Limo de derrubios gl a
ciales sobre esquistos Alberta, Canadá 3.0 y 6.1 0.2 x = 79
Calizas Cutler área, Fla. 6.7 0.1 Variable
Fig. n2 76. Valores regionales de la dispersiv¡dad obtenidos por "ensayo y error" en el ajuste de un modelo matemático y
178.
numérica de menor magnitud, lo cual permite su uso en aquellos
casos en que la dispersión física es la componente preponderante
del transporte, ya que entonces la dispersión numérica es práctica
mente despreciable frente a la dispersión física.
Tanto MOC como R-W no presentan problemas desde el
punto de vista numérico, ya que ninguno de ellos aborda directamente
la resolución numérica de la ecuación general de la dispersión.
6° LMACENAMIENTO- - EN -MEMORIA _ DEL_-ORDENADOR__Y--TIEMPO-_DE_ -CALCULO-------------
Dejando aparte los modelos MDF, hoy en desuso, son
los modelos MEF y MOC los que más almacenamiento en memoria requie
ren, si bien en el caso de los MEF suelen emplearse distintos
tratamientos de las matrices de coeficientes tendentes a "ahorrar"
memoria.
Por lo que respecta al tiempo de cálculo, R-W resulta
claramente favorable al no tener que resolver ningún sistema de
ecuaciones algebraicas para calcular las concentraciones del soluto;
los modelos MEF resultan en este aspecto ventajosos frente al
MOC dado que la estabilidad en este último exige el empleo de
pasos de tiempo para el modelo de transporte que pueden ser del
orden de 100 veces inferiores a los empleados en un modelo MEF.
1 79.
Descartados los modelos MDF por el error de dispersión
que llevan aparejado , el usuario debe analizar previamente a la
selección del modelo la magnitud de la dispersión hidrodinámica
en el acuífero a estudiar . Si ésta es importante frente a la advección,
los modelos MEF pueden considerarse seguros desde el punto de vista
numérico y favorables en este caso, gracias a la gran flexibili
dad de los elementos finitos para adaptarse a heterogeneidades
del acuífero y a geometrías complicadas . En el caso contrario (dis
persión débil ), el usuario debe emplear alguno de los modelos que
no presentan error de dispersión numérica : MOC y R-W; para su sele
cción debe tenerse en cuenta que el MOC es un modelo más complejo,
de tediosa programación y, en definitiva , más costoso. No obstante,
el rigor físico de la solución numérica que proporciona es supe
rior al del modelo R-W.
180.
IV.3.4. BIBLIOGRAFIA
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* Publicación de carácter básico e imprescindible
** Publicación de carácter complementario , sugerida para ampliar
temas no suficientemente desarrollados en el Volumen