MINISTERIO DE INDUSTRIA Y ENERGIASECRETARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES

APLICACIONES PRACTICAS DE LOSMODELOS DE CALIDAD DE. LOS ACUIFEROS

MEMORIA

VOLUMEN III. Principales Métodos Numéricos Empleados En La Resolución DeLa Ecuación General De La Dispersión

1985 -1986

Este estudio ha sido realizado por GEOMECANICA S.A.en régimen de contratación con la División de AguasSubterráneas y Geotécnia del Instituto Geológico y Mi-nero de España:

INDICE SINTETICO DEL INFORME

VOLUMEN I. PRESENTACION Y OBJETIVOS DEL PROYECTO

1.1. Antecedentes y objetivos del Proyecto

1.2. Estructuración del informe

1.3. los manuales de uso de los programas de ordenador1.4. La recopilación de la informaciónI.S. Equipo de trabajo

VOLUMEN II. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS SATURADOS

II.1. Definición, orígenes y características físicas de lacontaminación de las aguas subterráneas

11.2. La teoría de la dispersión en medios porosos11.3. El problema especial de la intrusión marina en acuí-

feros costeros11.4. La determinación experimental de los principales pa-

rámetros de la ecuación general de la dispersión11.5. Bibliografía

VOLUMEN III. PRINCIPALES METODOS NUMERICOS EMPLEADOS EN LA RESOLUCION DELA ECUACION GENERAL DE LA DISPERSION

111.1. Introducción111.2. El método de las diferencias finitas111.3. El método de las características111.4. Un método de residuos ponderados: el método de ele -

mentos finitos de Galerkin

111.5. Análisis comparativo de los distintos métodos numéri-cos existentes. Ventajas e inconvenientes

111.6. Bibliografía

VOLUMEN IV. MODELOS MATEMATICOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN AGUAS SUBTE

RRANEAS

IV.1. IntroducciónIV.2. Grupo 1 : Los modelos de advecciónIV.3. Grupo 11 : los modelos de advección-dispersión

IV.4. Grupo 111: los modelos de agua dulce-agua salada

VOLUMEN V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

V.1. Introducción

V.2. Breve presentación de los problemas de contaminaciónmás frecuentes en los sistemas acuíferos españoles

V.3. Orientación a la simulación matemática de los proble-mas de contaminación más frecuentes en los sistemas -

aculferos españoles

V.4. Bibliografía

INDICE GENERAL DEL VOLUMEN

Pág.

INDICE GENERAL 1INDICE DE FIGURAS III

INDICE DE ANEXOS IV

III.1. INTRODUCCION 1

III.1 . 1. Ecuaciones diferenciales. Clasificación de losproblemas físicos. 2

111.1.2. Clasificación de las ecuaciones diferencialesparciales (EDP) 8

111.1.3. Resolución de la ecuación general de dispersión 11

111.2. EL METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 14

111.2.1. Exposición del método . Fórmulas aproximadorasen diferencias finitas 14

111.2.2. Estabilidad de las aproximaciones en diferen-cias finitas 24

111.2.3. Consistencia y convergencia de las aproxima -ciones en diferencias finitas 25

111.3. EL METODO DE LAS CARACTERISTICAS 27

111.3.1. Introducción 27111.3.2. Tratamiento de ecuaciones hiperbólicas de pri

mer orden 28111.3.3. Tratamiento de ecuaciones hiperbólicas de se-

gundo orden 32

II.

Pág.

III.4. UN METODO DE RESIDUOS PONDERADOS: El METODO DE ELEMENTOSFINITOS DE GALERKIN 37

111.4.1. Exposición del método . Problemas independien-tes del tiempo. 37

111.4.2. Problemas dependientes del tiempo 50III-.4.3. Estabilidad y convergencia del método 55

III.5. ANALISIS COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS METODOS NUMERI -COS. VENTAJAS E INCONVENIENTES. CONCLUSIONES 58

111.6. BIBLIOGRAFIA 65

III.

INDICE DE FIGURAS

N° TITULO Pág.

1. Discretización por diferencias finitas de u(x) segúnn incrementos de longitud ¿x 14

2. Diferentes tipos de mallado en el MDF 17

3. Discretización por diferencias finitas de u(xl, x2)según n incrementos de 1x1 y m incrementos de Ax2 18

4. Nodos empleados en la aproximación de la derivadacruzada 19

5. Proceso de resolución por el MOC 34

6. Discretización por el MEF en un problema bidimensional 38

7. Elementos unidimensionales y funciones de base lineales 44

8. Elemento triangular 47

9. Discretización temporal 52

10. Errores numéricos en la solución de un problema de tran s

porte unidimensional 59

IV.

INDICE DE ANEXOS

Nº TITULO

1. Numerical solutions for dispersion on porous mediumsSHAMIR, U.Y. y HARLEMAN , R.F., 1967WATER RES . RESEARCH, V.3, N.2 ., p.557 - 581

2. A general numerical solution of the two-dimensionaldiffusion-convection equation by the finite element methodGUYMON G.L., SCOTT, V . M. y HERRMANN, L.R., 1970WATER RES . RESEARCH , V.6, N.6, p.1611 - 1617

3. Rayleigh - Ritz and Galerkin finite elements for diffusion-convection problemsSMITH, I . M., FARRADAY , R.V. y O'CONNOR, B.A., 1973WATER RES . RESEARCH , V.9, N.3 , p.593 - 606

4. Groundwater Pollution (p.246-261)FRIED, J . J. 1975Ed. ELSEVIER SCIENT. PUB. COMP.

5. On the relationship between the finite element and finite

difference methodsGRAY , W.G. y PINDER , G.F., 1976INTERN . JOUR. FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING,

V.10, p . 893 - 923

6. An analysis of the numerical solution of the transport

equationGRAY, W . G. y PINDER, G . F., 1976

WATER RES. RESEARCH, V.12, N . 3, p.547 -555

V.

N4 TITULO

7. The finite element method in groundwater transportGRAY, W.G., 1976ADVANCES IN GROUNDWATER HYDROLOGY (A.W.R.A.), p.130-143

8. The use of Galerkin finite element methods to solve mass- transport equationsGROVE, D.B., 1977U.S. GEOLOGICAL SURVEY, WATER RES. INV. 77-49

9. Finite element simulation insurface and subsurface hidrology (p.1-15, 39-125)GRAY, W.G. y PINDER, G.F., 1977Ed. ACADEMIC PRESS, INC.

10. Introduction to groundwater modeling ( p.113-203)ANDERSON , M.P. y WANG, H . F., 1982Ed. W.H . FREEMAN AND CO.

11. Computational methods in subsurface flow (p.1-98, 341-353,435-440)HUYAKORN, P.S. y PINDER, G.F., 1983Ed. ACADEMIC PRESS, INC.

12. Programación y cálculo numérico (p.237-285)MICHAVILA, F. y GAVETE, L., 1985

Ed. REVERTE, S.A.

III.1 . INTRODUCCION

Se pretende en este Volumen recordar una serie de conceptos

y métodos , así como introducir otros nuevos relativos al cálculo

numérico, que serán empleados con frecuencia en el Volumen IV MODELOS

MATEMATICOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN AGUAS SUBTERRANEAS.

La resolución de la ecuación general de la dispersión

o ecuación advección-dispersión planteada en el Volumen II. FUNDAMENTOS

TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS SATURADOS,

puede abordarse , como a continuación se detallará, mediante métodos

analíticos que proporcionan soluciones exactas de la ecuación para pro

blemas sencillos y, generalmente, no presentes en la realidad física,

y mediante métodos numéricos que proporcionan soluciones aproximadas

de la ecuación en problemas reales. La presentación de estos últimos

a nivel orientativo y abstracto ( es decir, no se presentarán aplica

dos a la resolución de la ecuación general de la dispersión, cuestión

que se abordará en el Volumen IV, sino a ecuaciones genéricas ) consti

tuye el objetivo de este Volumen ; si bien alguno de estos métodos

es suficientemente conocido por los hidrogeólogos e ingenieros españo

les, como por ejemplo el método de las diferencias finitas, dada

su utilización desde hace años para resolver problemas distintos

a los de transporte ( por ejemplo , de flujo), otros presentan un

carácter más innovador, como es el caso del método de elementos

finitos, y cuya aplicación reciente a ciertos problemas de transporte

ha sido muy fructífera.

2.

111.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES. CLASIFICACION DE LOS PROBLEMAS

FISICOS

La ecuación general de la dispersión que debe resolverse

es una ecuación diferencial parcial de segundo orden no lineal.

Como es sabido , se entiende por ecuación diferencial

aquélla que relaciona dos o más variables en términos de derivadas

o diferenciales; cuando en dicha ecuación hay presentes dos variables

exclusivamente , una de las cuales depende de la otra, la ecuación

se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si por el contratio,

existen más de dos varibles , figurando las derivadas parciales de

una de ellas respecto de las restantes , la ecuación se denomina

ecuación diferencial parcial (EDP) o ecuación diferencial en derivadas

parciales.

Una EDO de orden n puede escribirse como

2 nF (x,u, du , d u . .... d u) - 0 (1)

dx í2 dxn

en donde F es una función especificada , u la variable dependiente

que es una función desconocida de la variable independiente x, y

n es el orden de la derivada más alta.

Esta ecuación se llama lineal cuando presenta términos

en u y en su derivada primera, y quasi- lineal cuando presenta grado

uno en la mayor derivada . Por consiguiente una EDO lineal de orden

n puede ser escrita:

3.

nao u + al ( d!) + .... + an (dn) = f(x) (2)

dx dx

o bien

F ak (dkk) = f(x) (3)k=o dx

en donde los coeficientes ak son constantes o funciones de x.

Además, si f(x) = 0, la ecuación se llama homogénea;

en caso contrario, la ecuación es no homogénea . Análogamente, una

EDP que relaciona tres variables , de orden n, puede escribirse

F (x,y,u, )u� aun 2u a 2u a 2u � nu , nu ) = 0 (4)a x 2 y x2 My a y2 xn yn

La ecuación ( 4) se llama lineal cuando presenta término

en u y en las derivadas parciales de primer grado , y quasi-lineal

cuando presenta grado uno en las mayores derivadas parciales de

U.

Independientemente de que se trate de una EDO o una

EDP, una solución de las mismas se define como una función u cuya

sustitución en la ecuación ( así como la correspondiente sustitución

de las derivadas de u presentes) la reduce a una identidad.

Por consiguiente , la ecuación general de la dispersión

es una EDP de segundo orden ( como consecuencia de la contribución

al transporte del mecanismo de dispersión hidrodinámica ) y lineal.

4.

Por otra parte , una EDO o una EDP no es suficiente para

describir un problema físico concreto ; una solución general de una.

EDO envuelven constantes arbitrarias independientes , mientras que

en el caso de una EDP se presentan n funciones arbitrarias independien

tes, que deberán ser especificadas para un problema físico dado.

Para ello es necesario información adicional en la forma

de condiciones auxiliares asociadas con el problema físico a resolver;

dichas condiciones se denominan condiciones iniciales y condiciones

de contorno, pudiendo clasificarse los problemas físicos en base

a sus condiciones auxiliares como se indica a continuación:

- Problemas de valor inicial

Son problemas dependientes del tiempo gobernados por

una EDO o un tipo especial de EDP. La descripción completa de un

problema dado gobernado por una EDO de orden n, exige la solución

de dicha ecuación sujeta a sus condiciones iniciales, es decir:

d2u nF (t,u , duo d� ... d ) = 0 (5)dt dt dt

en un dominio temporal to c t s tm , con las condiciones iniciales

u (t°) = uo

dk(6)

udtk °k

(k = 1, ... n-1)

La descripción completa de un problema gobernado por una EDP de

primer orden exige la solución de

5.

F (x,t,u, 2u, 2 uu) = 0 (7)D x D t

en un dominio espacial - < x < co y temporal 0 6 t c co, con la con

dición inicial

u (x,0) = uo (x) (8)

- Problemas de contorno

Se trata de problemas gobernados bien por EDO o por

EDP en los que las variables independientes son coordenadas espaciales.

En el caso de un problema gobernado por una EDO de orden n, una

descripción completa del problema requiere la solución de

2 nF (x,u, du, d�, ..

*dñ) = 0 (9)

dx dx dx

en una región espacial x1 < x < x2, sujeta a unas condiciones de contor

nodu(x

1) dn-lu(x

1)xl, u(xl), ... n-1 = 0gkdx dx

du(x ) dn -lu(x ) (10)gs x2, u(x2), 2 " = 0

dx dx

en donde k = 1,2, ... M s = 1,2, ... N y M + N = n

Para el caso de un problema bidimensional gobernado por una

EDP de orden n, una descripción completa del mismo exige la solución de

n nF (x,Y,u, 2u, 9 u, .., a u

'2 u ) = 0 (11)

x a y xn 2 yn

6.

en una región espacial cerrada R de (x,y ), sujeta a las condiciones

de contorno en la frontera r de la región R

n-1 n-1gk x,y,u, 2u, D u� ... 2 u , ... 2 u = 0 (12)

a x a y xn-1 a yn-l

en donde k = 1,2, ... m , n-1

- Problemas mixtos

Son problemas gobernados por EDP en donde las variables

independientes son coordenadas espaciales y la variable tiempo.

Para un problema bidimensional gobernado por una EDP de orden n,

la descripción completa del mismo exige la solución de

F (x,Y,t, u D u9

2u9 ...9n

u , ...2

'1u ...anu ) = 0 (13)

2x 2y at axn ,yn 2tn

en el interior de la región espacial R (x,y) durante el intervalo

tos ts -, sujeta a unas condiciones iniciales en la región R(x,y)

u (x,y,t0) = uo (x,y)k (14)

d u (x,y,to) = uok (x,y) k = 1 ... n-ldtk

y a unas condiciones de contorno en la frontera r de R

n-1 n-1g (x,y,t, au,áu, ...

2u ...

2u ) = 0 (15)

k 2x D Y xn-1,

2 yn-1

con k = 1,2 ... m s n-1 para t > to

7.

Si bien se ha asumido en (13) el mismo orden en las.

derivadas espaciales y temporales , eso no es lo frecuente, pudiendo

hacerse las modificaciones pertinentes.

En resumen, el problema físico del transporte de solutos

en aguas subterráneas a través de medios porosos saturados es un

problema gobernado por una EDP de segundo orden cuya descripción

completa exige la resolución de la misma sujeta a una condición

inicial, y a unas condiciones de contorno en la frontera de la región

en estudio que, usualmente , serán del tipo especificación de la

variable concentración c (condición esencial o de Dirichlet) o del

tipo especificación de la derivada direccional de c (condición natural

o de Neumann).

8.

111.1.2. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)

Las EDP de segundo orden lineales o quasi-lineales con

dos variables independientes (x e y) son susceptibles de ser clasifi

cadas con una terminología análoga a la asociada a secciones cónicas.

Es decir, para una EDP

2 2 2aau+b a u + c F (x,y,u, au 2u) (16)ax2 ax ay ay2 a x 2y

en donde a, b, c son, en general , funciones de x e y, y la ecuación

es lineal si F es lineal , pueden darse tres casos:

- Discriminante mayor que cero (b2 - 4ac > 0). En cuyo caso (16)

se denomina ecuación hiperbólica ; por medio del cambio de coordenadas

5= 5 (x,y), i = q (x,y) se puede demostrar que la ecuación hiperbólica

se reduce a la siguiente forma canónica

a 2 u a 2 u G (5 ,,g,u, au, au) (17)152 a -q 2 a5 Tl

- Discriminante igual a cero (b2 - 4ac = 0). En cuyo caso (16)

se denomina ecuación parabólica pudiendo reducirse a la forma canónica

a 2 u = G u, P u, PU) (18)aq2 z5 a1l

9.

Discriminante menor que cero ( b2 - 4ac < 0). En cuyo caso (16)

recibe el nombre de ecuación elíptica pudiendo reducirse a la forma

canónica

2 2

5+ � = G (5,ii,u, 25' 71) (19)

Este criterio de clasificación puede generalizarse para

EDP de segundo orden lineales o quasi-linealescon n variables indepen

dientes x1 , x2, ... xn tales como

2a.. 2 u =F (x, x 2 .. xn, u, 2u � ... u )

2xi 2xj 1 2x1 2xn (20)

i,j = 1,2 ... n

Para clasificar la ecuación (20), es necesario buscar

los autovalores de la matriz de coeficientes aij. Es decir,

a11 -X al2 ... aln

a21 a22-X ... a2n = 0 (21)

an1 an2 ... ann

teniendo en cuenta que la parte izquierda de (21) constituye un polinomio

de grado n en X , existirán n raíces o autovalores de X . En el caso

de que todas ellas sean positivas , ( 20) es una EDP elíptica; si

algunas raíces son nulas , ( 20) es parabólica y. si algunas raíces

son positivas y otras negativas, es hiperbólica.

10.

Las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas van asociadas

a problemas físicos de tipo mixto, dependientes del tiempo , mientras

que las ecuaciones elípticas van asociadas a problemas de contorno,

en régimen permanente independientes del tiempo.

Es interesante esta clasificación , pues la elección

de uno u otro método numérico para su resolución se apoya en el

tipo de ecuación que se encuentre ; así, por ejemplo , el denominado

método de las características es aplicado con frecuencia para resolver

EDP hiperbólicas mientras que EDP parabólicas pueden ser resueltas

con eficacia por el método de diferencias finitas. Por otra parte,

es necesario comentar que, puesto que los coeficientes a, b y c

en (16) son, en general, función de las variables independientes,

la clasificación de una EDP puede cambiar en diferentes lugares

de la región en donde la ecuación está definida.

Por último, citar que una ecuación de advección - dispersión

en dos dimensiones, para un medio homogéneo e isótropo.

D 9 2c+ D a2c - v

2c - vDc = ác (22)

x 2x2 y ay2 x ax y a y 2t

puede demostrarse que es de tipo parabólico, mientras que si se

trata de un problema en régimen permanente (con2t

= 0 en (22))

entonces la ecuación es de tipo elíptico.

11.

111.1.3. RESOLUCION DE LA ECUACION GENERAL DE LA DISPERSION

La resolución de la ecuación general de la dispersión consis

tirá en buscar aquella función c (concentración de una o varias especies

químicas ) que la satisfaga, ajustándose a unas ciertas condiciones ¡ni

cial y de contorno. Los métodos disponibles para resolver esta ecuación

son de dos tipos: analíticos y numéricos.

Los métodos analíticos permiten obtener soluciones exactas

de la ecuación sólo en el caso de problemas de geometría simple o regu

lar, por lo que , en general , no son operativos para problemas de campo a

escala real . Algunos de estos métodos son , por ejemplo: separación de va

riables, técnicas de variable compleja, transformaciones de Fourier y de

Laplace, etc. Pueden verse algunas soluciones analíticas de problemas

sencillos , por ejemplo , en Ogata (1970) (ver referencia n° 9, del Volu

men II ) y en Custodio y Llamas (Hidrología subterránea, p. 1177-

1181, 1976).

Los métodos numéricos permiten obtener soluciones aproxima

das de la ecuación de la dispersión , para problemas de tipo real

con geometrías complejas. Tres son los métodos utilizados hasta

la fecha en los problemas de transporte : el método de diferencias

finitas, el método de características y el método de elementos finitos.

El método de diferencias finitas (MDF) ha sido cronológicamen

te el primero en ser utilizado; dados los buenos resultados obtenidos para

problemas de flujo, el MDF fue empleado para problemas de transporte ya en

12.

1962 por Peaceman y Rachford. Otras aplicaciones de interés fueron

realizadas por Shamir y Harleman (1967), Oster y otros (1970), Fried

y Ungemach (1971), etc. No obstante, el MDF ha presentado dificultades

de orden numérico en su aplicación a problemas de transporte soslaya

bles, en general , a base de encarecer el método . Como alternativa

al MDF, empezó a utilizarse a comienzos de los 70 el método de las

características (MOC), método desarrollado para resolver ecuaciones

de tipo hiperbólico. Garder y otros (1964) introdujeron el método

para una ecuación de dispersión en la que dominase el término advectivo

en cuyo caso la ecuación de la dispersión se aproxima mucho a una

ecuación hiperbólica. Entre las aplicaciones más notables pueden

citarse Pinder y Cooper (1970), Reddel y Sunada (1970) y Bredehoeft

y Pinder (1973). Si bien las dificultades de orden numérico desaparecen

con el empleo del MOC, aparecen otras ligadas especialmente a la

sofisticación en la programación del método.

Por último , y también en la década de los 70 comienza

a aplicarse el método de elementos finitos (MEF) a problemas de

transporte; entre otras aplicaciones notables cabe citar Price (1968),

Guymon y otros (1970), Pinder (1973), Segol y Pinder (1976), etc.

Si bien el MEF no ha conseguido eliminar las dificultades de orden

númerico, salvo en el caso de ecuación de advección-dispersión en

que predomina el término de dispersión hidrodinámica, es el método,

junto con el MOC, más empleado actualmente debido a su capacidad

de adaptación a límites o contornos complejos e irregulares y a

las heterogeneidades del sistema acuífero a modelar.

13.

En las secciones siguientes se expondrán brevemente

las características más importantes de los citados métodos. En el

capítulo I1I . 5. ANALISIS COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS METODOS . VENTAJAS

E INCONVENIENTES . CONCLUSIONES , se indicarán las ventajas e inconvenien

tes de cada uno de ellos.

Por otra parte, cada uno de los métodos se desarrollará

aplicado estrictamente a la resolución de la ecuación general de

la dispersión ( capítulo IV.3. GRUPO II: LOS MODELOS DE ADVECCION-

DISPERSION , VOLUMEN IV ) y a la resolución simultánea o acoplada

de la ecuación de la dispersión y del flujo (capítulo IV.4. GRUPO

III: LOS MODELOS DE AGUA DULCE -AGUA SALADA, VOLUMEN IV).

14.

111.2. EL METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

111.2.1. EXPOSICION DEL METODO. FORMULAS APROXIMADORAS EN DIFERENCIAS FI

NITAS

Si se considera una variable u dependiente de una sola

variable independiente x según una función continua u(x) y se discre

tiza el dominio de la variable independiente según puntos o nodos

xr (figura n° 1), puede escribirse:

.(al eao-ó0

a0 �•

0 1 ! 3 a-1 a caz

Fig. n9 1. Discretización por diferencias finitas de u(x) según n°incrementos de longitudA x (según Huyakorn y Pinder, 1983).

u (xr) u (r A x) ur

r=0,1,2, ...n

L a aproximación de las derivadas puede realizarse de varias

maneras; una de las más conocidas se basa en el desarrollo en serie

de Taylor de la función continua u(x). En efecto, el desarrollo

en serie de Taylor para u(x) alrededor del punto r A x:

15.

u «r+1) 0 x) ur+l = ur + 0 x d + (A x) 2 2 u +ddx Irá x 2! dx rA x

+ (t x)3 du + . .. (24)3! dx3 rAx

y también

2 2u ((r-1) A x) ur_1 = ur - x du + (0 x) d u -

dx rtx 2! dx2 rAx

_ (A x)3 d3u + ... (25)3! dx3 rAx

Despejando en (24) y (25) el término de la derivada primera

puede obtenerse , respectivamente:

du =ur+l - ur _ A x d2u _ (A x) 2 d 3 u - (26)

dx rAx Ax 2! dx2 rAx 3! dx3

2du = Ur - ur-1 _ A x d2u _ (A x) d 3 u + ... (27)dx rAx Ax 2! dx2 rAx 3! dx3

Si estos desarrollos en serie son truncados a partir del pri

mer término , se comete un error de truncadura del orden de A x

du = ur+l ur + 0 (Ax) (28)dx rAx 15 x

du = ur - ur-1 + 0 (A x) (29)dx rAx Ax

16.

en donde 0( A x) es un error menor en valor absoluto que K. A x (en don

de K es una constante arbitraria para un valor suficientemente pe

queño de A x. La fórmula (28) recibe el nombre de aproximación hacia

delante de la derivada primera; consiguientemente (29) se denomina

aproximación hacia atrás.

Puede encontrarse otra fórmula aproximadora de la derivada

primera con un error de truncadura menor, por simple suma de (26)

y (27):

du =u r+l ur-1 - (0x)2 d3 u - ... (30)

dx rAx 2Ax 6 dx3 rAx

en donde el error de truncadura es del orden de (A x)i es decir

-du =u r+l u r-1 - 0 ((A x)2) (31)

dx rAx 2Ax

Obviamente, para valores de á x suficientemente pequeños,

(31) es una fórmula más precisa que (28) 6 (29); la fórmula (31)

recibe el nombre de aproximación central.

Para obtener aproximaciones de derivadas de orden superior

se procede de manera análoga; asi por sustracción entre (26) y (27),

se obtiene una expresión aproximadora de la segunda derivada:

d2u = ur+1 - 2ur + ur -1 - (0x)2 d4 u - ... (32)dx2 rAx (¿x)2 12 dx4 rAx

17.

en donde el error de truncadura es del orden de (0x)2, es decir

d2u u r+l -2ur +ur-1 + 0 ((A x)2) (33)dx2 rLx (¿x)2

Son dos los tipos de mallados (o redes) que se emplean.

en el MDF: mallado centrado en los nodos (o vértices para más de

una dimensión) del elemento discreto y mallado centrado en el centro

geométrico del elemento discreto (figura n° 2). En la práctica,

el segundo tipo de mallado es el más empleado porque puede ser progra

mado de una manera algo más eficiente; además resulta más atractivo

e intuitivo pensar en parámetros y flujos, en el medio físico, identi

ficados con un elemento discreto que rodea al nodo.

e■.-ve e■..us

1 - D � r-1 r r♦1

e■,-, e e■,.,

o O

r-1,• r,• r41,•

2-Dr-1,• r,• r,1,•

,,•-1

(a) `' (b)

Fig. n? 2. Diferentes tipos de mallados en el ?DF: mallados• centrados en los centros geométricos (a); mallados centrados en los nodos (b). (según Huyakorn y Pinder, -1983)

18.

La representación, para variables dependientes de dos

o más variables independientes, de sus derivadas parciales es general

mente una extensión directa de las aproximaciones vistas hasta ahora

para derivadas ordinarias. Así por ejemplo, para el caso de una

variable y dependiente de xi, x2, independientes, según una función

continua u(xl, x2), si se discretiza el dominio de las variables

independientes según m x n elementos discretos (figura n° 3) puede es

cribirse

r,t�1

eatl

et,l �.

qt -1

0 1 ! 5-11 t res,tl

Fig. nQ 3. Discretización por diferencias finitas de u(xl, x2) según n incrementos de Ax1

y m incrementos de Ax2 (según Huyakorn y Pinder, 1983)

u(xlr, x2s) u(rAxl, sAx2) = ur,s (34)

con r = 0, 1, 2, ... n; s = 0, 1, 2, ..., m

pudiendo escribirse, entre otras, las siguientes fórmulas aproximadoras:

D u(x , x) = ur+l,s ur-l,s + 0 ((o x )2) (35))x 1

1 2 r A xl , s A x2 2 A xl1

19.

áu(xl,x2)

ur , s+l - 2ur,s+ ur,s-1 + 0 ((A x2)2) (36)ax2 rAx1, sÉx2 (0x2)

2

fórmulas aproximadoras análogas a sus correspondientes en el caso

de una sola variable independiente. Para el caso de la derivada cruzada• a

puede demostrarse que una fórmula precisa es:2X 1 2 x2

2

2x 2 xu(x19x2)

c x , s A 2A x 12A x [ ur+l,s+l ur-1,s-11 2 1 2 1 2

ur+l,s-1 + ur-1, s-1J

+ 0 (0x1)2)+0((0x2)2) (37)

en donde los nodos o vértices empleados que aparecen sombreados

en la figura n° 4 no coinciden con los utilizados en las fórmulas

(35) y (36).

r,aNr- 1,� H rN,��1

r-1,s r � rt1,•

r-1.•-1 • r N,•-1 .r.1-1

Fig. n°- 4. Modos empleados en la aproximación de la derivada cruzada (según Huyakorn y

Pinder, 1983)

20.

La aproximación de las condiciones de contorno para

dos y tres variables independientes dependerán del tipo de mallado

elegido. La condición de contorno esencial o de Dirichlet se aproxi

mará , para el caso de mallado centrado en los nodos, reemplazando

el valor de la función en el nodo por un valor especificado en el

mismo; si se emplea un mallado centrado en los centros geométricos

de los elementos discretos y el limite físico coincide con el borde

de un elemento, es más preciso introducir un elemento ficticio fuera

de la región o dominio en estudio. Es decir, si el borde físico

está localizado en x1 = r 1 x1 (figura n° 2.b) la condición de Dirichlet

u = u en (r A x1, sA x2) es aproximada por

u = ! (ur+l s + ur,s) (38)2 '

en donde u es la especificación de la función y ur+l,s es el valor de u

en el centro geométrico de un elemento ficticio; si bien en (38)

u r+l,s es una incógnita, ésta puede ser eliminada combinando (38) con

la aproximación en diferencias finitas de la ecuación diferencial

parcial para el elemento (r,s).

Las condiciones de contorno del tipo natural (o de Neumann)

y mixto deben ser también aproximadas; si se considera una condición

mixta (que se reduce a la de Neumann con hacer nulo el coeficiente a):

au + au = c a,c constantes (39)2x l

21.

y el borde físico a simular está situado en rt xl, la aproximación de

la condición expresada en (39) seria para un mallado centrado en

los centros geométricos:

ur+l,s ur,s + a ( ur+l,s + ur,s ) = c (40)0 xl 2

empleándose nuevamente el valor de u en el centro geométrico de

un elemento ficticio (r+l,s). Para un mallado centrado en los nodos,

(39) puede aproximarse:

ur+l,s - ur,s + aurs = c (41)

0x1 '

en donde se ha empleado un nodo ficticio ( r+l,s) localizado fuera

de la región.

La aplicación de este tipo de fórmulas aproximadoras

en diferencias finitas en una ecuación diferencial parcial permite

plantear el correspondiente sistema de ecuaciones algebraicas cuya

resolución , por cualquiera de los métodos de que dispone el cálculo

numérico , conduce a la obtención de una solución aproximada de aquélla.

Así, por ejemplo, si se considera una típica EDP parabólica para

una función u(x,t):

J u = 9 2u (42)a t a x2

22.

en donde x puede ser una coordenada espacial y t el tiempo, y se

aplica una fórmula central para la derivada espacial y una fórmula

de aproximación hacia atrás para la derivada temporal, puede escri

birse

ur,s+1 ur,s _ ur+l,s+l - 2ur,s+1 ur-l,s+l + 0 (t t,(0 x)2) (43)0t ( 1x)

en donde s representa el paso de tiempo anterior y s+l el actual

paso de tiempo en el que se está calculando. La expresión (43) consti

tuye un esquema de aproximación en diferencias finitas de la EDP

(42); este esquema recibe el nombre de implícito, al estar evaluada

la derivada espacial en el propio paso de tiempo en que se calcula,

esto es, en s+l. Además caben otras posibilidades: un esquema explí

cito se obtendría evaluando la derivada espacial en el paso de tiempo

anterior, es decir, s, y en general, para cualquier nivel de tiempo

comprendido entre s y s+l, se obtendrá un esquema semiimplícito.

Entre estos el más empleado es el llamado esquema de Crank-Nicholson,

que evalúa la derivada espacial en s+l/2.

Puede demostrarse que el esquema explícito, si bien

es el más sencillo en cuanto a nivel de operaciones se refiere,

es un esquema condicionalmente estable ( ver sección 111.2.2. ESTABI

LIDAD DE LAS APROXIMACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS) lo que obliga

a emplear A t muy pequeños, que en la práctica lo hacen inutilizable.

Por el contrario, los esquemas implícito y de Crank-Nicholson (aunque

éste con ciertas restricciones en el tamaño de A t) son incondicional

23.

mente estables . Puede demostrarse también que los errores de truncadura

cometidos en los esquemas explícito e implícito son del orden de

magnitud de A t , mientras que en el esquema de Cranck-Nicholson

el error es del orden de (0 t)2, por lo que para A t suficientemente

pequeños este esquema es más preciso que los primeros.

La expresión ( 43) conduce al planteamiento de un sistema

de N ecuaciones algebraicas, tantas como nodos o elementos discretos

(según el tipo de mallado elegido ) se hayan empleado en la discreti

zación espacial de la región en estudio, con N incógnitas que son

los valores de la función u en los nodos o elementos , y que debe

ser resuelto para cada paso de tiempo en que se haya discretizado

el periodo de simulación elegido . Estas ecuaciones algebraicas deben

ser implementadas con las correspondientes aproximaciones de las

condiciones de contorno existentes en el problema; es importante

tener en cuenta que la precisión del método puede verse afectada

negativamente si la aproximación de estas condiciones es menos precisa

que la aproximación realizada para la ecuación diferencial parcial.

24.

111.2.2. ESTABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS

El concepto de estabilidad se refiere al comportamiento

que siguen durante el proceso de cálculo los errores numéricos introdu

cidos al realizar las aproximaciones. Cuando estos errores son amor

tiguados al ir avanzando de un paso de tiempo a otro, se dice que

el esquema adoptado es estable; por el contrario, cuando los errores

crecen ilimitadamente el esquema es inestable; puede suceder que

el error siga un comportamiento oscilatorio a través del tiempo,

como es el caso del esquema de Cranck-Nicholson para ciertos valores

del incremento de tiempo A t.

Existen varias maneras de establecer la estabilidad

de un esquema de cálculo. Entre las más usuales pueden mencionarse

tres: la realización de un experimento numérico y el análisis directo

de la evolución del error (estabilidad heurística), el examen de

los autovalores en el sistema de ecuaciones algebraicas y el empleo

de series de Fourier (análisis de estabilidad de Von Neumann). Este

último método puede verse aplicado a la determinación de la evolución

del error en un caso paráctico en la referencia n° 11.

25.

111.2.3. CONSISTENCIA Y CONVERGENCIA DE LAS APROXIMACIONES EN DIFERENCIAS

FINITAS

El concepto de consistencia se refiere a la capacidad

de una aproximación numérica para representar la EDP deseada mejor

que a cualquier otra ecuación, cuando se afina la discretización

espacio-temporal. Es decir, y para el caso de una sola dimensión,

una aproximación numérica es consistente con la EDP que se desea

aproximar cuando el error de truncadura tiende a cero al hacer

Lxx, it-O.

El concepto de convergencia se refiere al comportamiento

de la desviación entre solución analítica y numérica de una EDP,

cuando se afina la discretización. Una aproximación en diferencias

finitas es convergente si cumple:

IIU (rtxx, sAt) - Urs!1 para At,Ax O

en donde U (rAx, slxt) es la solución analítica para el punto (rAx,

s At), Ur,s es la solución numérica .v II II una cierta norma.

En general, la convergencia es mucho más difícil de

establecer que la consistencia y la estabilidad. Afortunadamente,

pueden emplearse estas dos últimas propiedades para determinar la

convergencia de una aproximación en diferencias finitas en virtud

del teorema de Lax que dice que "Dado un problema de valor inicial

26.

correctamente planteado y una aproximación en diferencias finitas

que cumple la condición de consistencia, el cumplimiento de la condi

ción de estabilidad es condición necesaria y suficiente para el

cumplimiento de la convergencia".

27.

111.3. EL MET000 DE LAS CARACTERIST1CAS

111.3.1. INTRODUCCION

Como ya se ha comentado, la ecuación general de la disper

sión se aproxima mucho, para el caso en que la componente advectiva

del transporte es predominante, a una ecuación hiperbólica.

E) método de las características (MOC) ha recibido una

amplia aceptación en el análisis de prob1emas físicos asociados

a ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico. Se considera

a continuación el procedimiento general de obtención de las ecuaciones

"características" y de los algoritmos de solución para ecuaciones

hiperbólicas de primer y segundo orden.

28.

111.3.2. TRATAMIENTO DE ECUACIONES HIPERBOLICAS DE PRIMER ORDEN

Si se considera la ecuación quasi-lineal siguiente

+ b.L'! =c (44)

en donde x y t son las variables espacial y temporal respectivamente,

y a, b y c son, en general, funciones de x, t y u, puede escribirse,

para el caso en que b O

+ - O (45)b x b

Si se aplica ahora la regla de la cadena de la diferenciación

(46)dt t dt x

o bien

+ (47)dt x t dt

sustrayendo (47) de (45) se obtiene

(L_) =0 (48)b dt x b dt

Resulta evidente que (48) se reduce a una ecuación diferencial ordi

nana según la curva definida por

29.

a dx = 0b dt

o bien

dx = a (49)dt b

Esta curva se denomina curva "característica" o simplemente caracterís

tica. A lo largo de esta curva, la EDP (48) se convierte en

du = c (50)dt b

esto es , en una EDO que puede ser resuelta por simple integración

numérica . Por conveniencia las ecuaciones ( 49) y (50) se escriben

conjuntamente

dx = dt = du(51)

a b c

A título de ejemplo se incluye la siguiente EDP.

xl/2 u + u au + u2 = 0 (52)x at

con la condición inicial

uo = u (x,0) = 1 para 0 < x <

En este caso, a = x1/2, b = u, c = -u2 con lo que (51) es

30.

dx _ dt = du (53)x1/2 u - u2

En primer lugar es necesario calcular la curva caracterís

tica que pasa por x = xI para t = 0 en el plano (x,t). Para ello:

Jxix dx _ t dt

x1/2 Jo u(54)

2 (xl/2 - X1112) =t dt

fo u

Para evaluar la integral que aparece en (54) es necesario expresar

u en función de t, lo cual puede conseguirse a partir de:

dt _ duu -ú

y por tanto

fotdtu du

uo u (55)

Teniendo en cuenta que la condición inicial es uo = 1

t = ln (1 )

o bien

= et (56)u

La sustitución de (56) en (54) y su posterior integración permite

obtener la ecuación de la característica

t = ln (2x1/2 + 1 - 2x11/2) (57)

- 31.

A 1 largo de esta caracteristica la solución de la EDP (52) es

dada por

u = e(2x2 + 1 - 2x12)

(58)

:32.

111.3.3. TRATAMIENTO DE ECUACIONES HIPERBOLICAS DE SEGUNDO ORDEN

Para el caso de ecuaciones hiperbólicas de segundo orden

el proceso de resolución por el MOC es el siguiente; se considera la

EDP

a U+b U +c U+eO (59)?x2 t2

en donde a,b,c y e son, en general, funciones de x, t y las primeras

derivadas de u; se definen p y q como:

pudiendo escribirse2 2

dp= dx+ U dttx

(60)

dq= U dx+ Udt

cuya resolución conduce a

___ - 2udx xt dx

(61)

___ - cixdt xt dt

la sustitución de (61) en la EDP de partida conduce a

(-a-c+b) + (e+aE+c) =0 (62)xt dx dt dx dt

33.

que puede transformarse por multiplicación por -dt/dx en

2U Ía()2+c.b!- (63)

x fl t. dx dx dx dx dt dx dx

Las curvas ascaracteristicashi quedan definidas, en el

plano (x,t), igualando a cero el primer corchete de (63). A lo largo

de dichas curvas, la EDP de partida se reduce a una ecuación diferen

cial ordinaria

a -E 5-! + c + e = Odxdx dx dx

• obien

a(!)dp+cdq+edt=O (64)dx

Las curvas "características" están, además, definidas por

2a(!) -b(!!)+c=O

dx dx

o bien

(!) = b ± Jb2- 4ac (65)

dx± 2a

En el caso de que la EDP de partida sea lineal con coefi

cientes constantes, hay dos curvas características que son líneas

rectas cuyas pendientes quedan definidas por (65). Es necesario

precisar que en el plano (x,t) el eje x corresponde a la línea inicial

en que las condiciones iniciales son especificadas, mientras queen el eje t y en la vertical x = L (figura n9 5) se especifican

34.

las condiciones de contorno. El proceso de resolución de la EDP

a lo largo de estas curvas es el siguiente: se consideran los dos

primeros puntos, P y Q, en la línea inicial; el movimiento según

las líneas características que pasan por estos puntos permite localizar

otro punto R (figura n2 5).

t

dr drd� i s d a d

Nivel d tiempo 3

Nivel do tiempo 2

�- _ Nlwl do llempo 1

p O w LÍaoo Weiol x

X • O x • L

Fig. n"- S. Proceso de resolución por el NOC (según Huyakorn y Pinder, 1983)

La determinación de la información completa en este

punto R se realiza según el siguiente proceso:

1. Se determinan las coordenadas de R en el plano (x,t) según

tR - tp = fp (xR - xP)

tR - tQ =IQ

(xR - xQ) (66)

en donde fp = ( ) y g = dX

35.

La resolución de (66) para xR y tR es

xR= ( fp x + t tP IQf )

P gQ

tR = tp + fp ( xR - xP) (67)

2. Se aplica el método de diferencias finitas a ( 64) sobre los

segmentos discretos PR y QR, lo que conduce a

a p f P (PR - pP)+cP (qR qP)+eP R(t tP) 0

aQ gQ (PR - PQ ) + cQ (qR - qQ) + eQ ( tR tQ ) = 0 (68)

cuya resolución permite obtener PR y qR

3. Finalmente , el valor de la variable u en el punto R puede deter

minarse a partir de la siguiente ecuación:

du = pdx + qdt (69)

a la que se aplican diferencias finitas , escribiéndose

uR=

2

r up + 2 ( pR+pP ) N - xP ) + 2 ( qR + qP) (tR - tP) +

+ uQ + 2 (PR + pQ) (xg - xQ ) +2

(qR + qQ) N - tQ) l (70)

36.

Este proceso de cálculo en tres pasos puede repetirse

para otro punto S, intersección de las líneas características que

pasan por Q y otro punto de la línea inicial, W (figura n2 5) y

para otros puntos en el plano ( x,t) con lo cual puede evaluarse

el valor de la función u en todos ellos.

37.

111.4. UN METODO DE RESIDUOS PONDERADOS: EL METODO DE ELEMENTOS

FINITOS DE GALERKIN

111.4.1. EXPOSICION DEL METODO . PROBLEMAS INDEPENDIENTES DEL TIEMPO

El denominado método de elementos finitos es un método

numérico para la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales

que proporciona una "aproximación a trozos" de la solución, según

un conjunto de subregiones interconectadas o elementos finitos en

que se ha discretizado la región en estudio.

La aplicación del método a un cierto problema físico

puede ser descrita de la siguiente forma:

1.- Se discretiza la región en estudio en una serie de elementos

finitos que están conectados entre sí según un número discre

to de puntos nodales o nodos , los cuales no sólo pueden estar

situados en los vértices de los elementos sino también dis

tribuídos a lo largo de los lados ( o caras , en un problema

tridimensional) e incluso situados en el centro geométrico

de los mismos ( figura n ° 6); cada elemento es identificado

por su número de elemento y las líneas que conectan los nodos

situados en el borde o contorno del elemento.

38.

a17

4

2

Fig. n? 6. Discretización por el MEE en un problema bidimensional(según Huyakorn y Pinder, 1983)

2.- Se desarrolla una expresión matricial denominada "matriz ele

mental" que relaciona las variables nodales (o valores de la

función solución en los nodos) para cada elemento; para proble

mas continuos, estas matrices deben ser obtenidas por medio

de formulaciones matemáticas que utilizan, en general, métodos

variacionales o métodos de residuos ponderados, como se verá

más adelante.

3.- Las matrices elementales son "ensambladas" para constituir

un sistema de ecuaciones algebraicas que describe el sistema

completo (salvo sus condiciones de contorno). La matriz de

coeficientes de este sistema se denomina "matriz global". El

proceso de "ensamblaje" de las matrices elementales se realiza

de tal manera que ciertas condiciones de compatibilidad sean

satisfechas por aquellos nodos compartidos o pertenecientes

a varios elementos.

39.

4.- Las condiciones de contorno son incorporadas finalmente al

sistema de ecuaciones, afectando sólo a aquellas ecuaciones

que corresponden a elementos con un lado (o lados) en la frontera

de la región en estudio.

5.- Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas por cualquiera

de los métodos de resolución de que dispone el cálculo numérico,

obteniéndose los valores aproximados de la función en los nodos.

La formulación matemática del método de elementos finitos

para problemas continuos puede abordarse de dos formas: realizar

una aproximación variacional del problema diferencial planteado

(resolución de una cierta ecuación diferencial, con unas ciertas

condiciones inicial y de contorno) o realizar una aproximación

por un método de residuos ponderados. El segundo tipo de aproxima

ción es, sin duda, el más empleado en la práctica, por las razones

que se comentarán más adelante. En una aproximación variacional,

se sustituye el objetivo de encontrar la solución aproximada del

problema diferencial planteado por el de encontrar una función incóg

nita que extremiza una cierta cantidad integral- sujeta a unas ciertas

condiciones de contorno (problema variacional); la cantidad integral

es una funcional dado que es una función de la función incógnita.

Ambos problemas, diferencial y variacional, son equivalentes en

el sentido de que la solución exacta de uno es también solución

del otro. No obstante, es frecuente encontrar problemas físicos

para los que no pueden plantearse funciones clásicas y la aproximación

variacional no puede ser realizada; en estos casos debe ser empleada

40.

una aproximación más general , por medio de un método de residuos

ponderados. la exposición de un método de residuos ponderados (el

método de Galerkin) es el objeto de esta sección ; en cualquier caso,

la exposición con detalle de la aproximación variacional puede verse

en las referencias n2 10 y 11.

Si se considera una ecuación diferencial para un problema

independiente del tiempo en una cierta región R de frontera B

L(u) - f = 0 (71)

en donde u es la función incógnita a determinar y L un operador

diferencial, la construcción de una solución aproximada de u se

realiza mediante los tres pasos siguientes:

En primer lugar se determina la forma de la función aproximadora

ú de la función incógnita u

nú N1 CI (72)

I=1

en donde NI son las denominadas funciones de base, linealmente

independientes, definidas sobre toda la región del problema y

CI son los parámetros incógnita que deben ser determinados.

Dado que ú es sólo una aproximación, no cumplirá la

ecuación ( 71) exactamente, por lo que resultará un cierto error

o residuo

41.

L (ú) - f (73)

A continuación se plantean las integrales ponderadas del residuo

e sobre la región del problema, empleándose n funciones pondera

doras WI, linealmente independientes , requiriéndose el cumplí

miento de

WI . e . dR jw1 . (L(ú) - f) dR = 0 para I = 1,2, (74)

R

Una vez seleccionadas las funciones WI, la sustitución

de (72 ) en (74) proporciona un sistema de n ecuaciones con n

incógnitas CI.

La resolución de este sistema proporciona los parámetros CI cuya

sustitución en (72 ) permite obtener la solución aproximada u

del problema diferencial planteado por (71). Existen varios métodos

de residuos ponderados según las funciones ponderadoras W1 que

se seleccionen ( ver ref . n° 11, p. 40 - 41). En el presente informe,

sólo se va a considerar uno de ellos , el método de Galerkin,

por ser el más ampliamente utilizado en la práctica; en este

método las funciones ponderadoras se eligen idénticas a las funcio

nes de base NI, por lo que ( 74) puede escribirse como

. e . dR = N1 (L(ú ) - f) . dR = 0 1 = 1,2, ... n (75)JN1

R

42.-

Asimismo , al emplearse en el informe las siglas MEF

(método de elementos finitos) debe sobreentenderse que la formula

ción del método de elementos finitos es realizada según el método

de residuos ponderados de Galerkin , como a continuación se expone.

Paso 1 2 . La región R es discretizada en una serie de

elementos finitos, siendo la función incógnita u aproximada para

cada elemento por una función aproximadora

neú = F NI , uI (76)

I=1

en donde NI son ahora las funciones de base para el elemento

o funciones de base elementales, u1 los valores aproximados de

la función u en los nodos (o valores nodales) y ne el número de

nodos en el elemento.

Paso 22. Bajo el cumplimiento por las funciones de base,

de ciertos requerimientos, que más adelante se comentan, puede

descomponerse la integral sobre toda la región R expresada en

(75) en una suma de integrales para cada elemento ; esto permite

escribir las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un

elemento e como

fRe

(L(ú) - f) dR = I = 1,2, ne

Paso 32. Se aplica el teorema de Green (integración

por partes ) a las integrales ( 77) con el objeto de rebajar el

4.3 .

orden de los términos diferenciales presentes (lo que también

se denomina formulación débil o variacional ) de manera que sean

menores los requerimientos de continuidad exigidos a las funciones

de base elementales y en consecuencia pueda ser empleado un abanico

más amplio de éstas.

Paso 49. Las ecuaciones elementales (77) se "ensamblan"

en la ecuación matricial global, incorporándose las condiciones

de contorno. Una muy clara exposición de este proceso de "ensambla

je" así como de la introducción de las condiciones de contorno

en la ecuación matricial global puede verse, para el caso de

un problema típico de flujo subterráneo en Anderson y Wang (ref.

n2 10, p. 121-128).

Requerimientos y obtención de las funciones de base--------------------------

Los requerimientos exigibles a las funciones de base,

tal como se apuntan en el paso n ° 2 del método de Galerkin, son

los siguientes: 12 Requerimiento de continuidad, que implica que

si en el integrando de una ecuación elemental existen derivadas

de orden (m+l) de la función ú, en la frontera del elemento debe

haber continuidad en la derivada de orden m de la función ú. 2 9 Reque

rimiento de "integridad", que implica que la función 0 y sus derivadas

deben ser capaces de representar cualesquiera valores constantes

de u y sus derivadas que aparezcan en la ecuación elemental, cuando

en el límite, el tamaño del elemento tiende a cero.

44.

A continuación se obtienen funciones de base elementales,

usualmente empleadas en forma de polinomios, para el caso de elementos

unidimensionales y triangulares.

Elementos unidimensionales

Si se considera el elemento e de la figura n° 7.a. con

dos nodos de coordenadas x = x1 y x = x2, y la función aproximadora

ú(x) en el elemento, con forma de polinomio (en este caso lineal):

0=a1 + a2 x (78)

a�a, a� as

t

Fig. n9 1.a. Elemento unidimensional (según Huyakorn y Pinder, 1983)

las constantes al y a2 pueden ser determinadas escribiendo (78)

para cada uno de los nodos, es decir, en forma matricial.

u1 1 x1 al(79)

u2 1 x2 a2

45.

de manera que resolviendo para al y a2

al 1 x2 -x1 u1

(80)a2 L -1 1 u2

en donde 1 = x2-x1. La función 0 puede ser escrita, reordenando

términos en u1 y u2:

ú = L (x2 - x ) u1 + 1 (x - x1) u2 (81)

Si se comparan ahora (81) y (76) pueden deducirse las

correspondientes expresiones de las funcioes de base elementales

(figura n° 7.b.)

N, N=

Fig. nQ 7.b. Funciones de base elementales (según Huyakorn y Pinder, 1983)

Ne (x2 - x), Ne = 1 (x - x1) para x1 c x c x2 (82)L L

46.

en donde el superíndice indica el hecho de que estas funciones

son pertenecientes al elemento e, si bien están definidas sobre

toda la región (es decir, toman el valor unidad en el nodo al

cual están asociadas y el valor cero en todos los demás). Cuando

se ensamblan todos los elementos de la región, las funciones

de base globales asociadas con cada nodo interno 1 vienen dadas

por (figura n° 7.c.)

li Nl � t

1 -1 1 1 �1 11t

Fig. n? 7.c. Funciones de base globales (según Huyakorn y Pinder, 1983)

(x - x1-1)/(x1 - x1-1) para x1-1 c x xlN1 = (83)

(x1+1 - x)/(xl+l - x1) para x1 < x s X1+1

El conocimiento de las funciones de base N1 para todos

los nodos del mallado permite construir la función ú sobre toda

la región en estudio, como se representa en la figura n° 7.d;

como puede observarse la función ú resulta ser una aproximación

(lineal, en este caso) a "trozos" de la función u incógnita.

47.

0 0

Fig. n2 7.d. Aproximación lineal a "trozos" de la función u, por el MEE (según Huy akorn y Pinder, 1983)

- Elementos triangulares

Si se considera el elemento triangular de la figura

n2 8, con nodos en los vértices numerados en el sentido de las

agujas del reloj, y la función aproxiadora ú (x,y) con forma

de polinomio (en este caso lineal):

X x3

r =ys

y=y,

n =x2y 2ya

0 =

Fig. ná 8. Elemento triangular ( según Huyakorn y Pinder, 1983)

48.

ú = al + a2x+ a3y (84)

en donde las constantes al, a2 y a3 son resueltas , análogamente,

a partir de

ul 1 x1 yl al

u2 = 1 x2 y2 a2 (85)

u3 1 x3 y3 a3

y cuya sustitución en (84 ) permite escribir

ú = (1) [ (al + Rlx +Y y) u1 + (a2 +R 2x + 'yY 2Y) u2 +2A

+ (a 3 + 33x +Y 3y)u3 J

(86)

en donde

a 1 = x2y3 - x3y2, P 1 = y2 - y3, Yl = x3 - x2

a 2 = x3y1 - x1y3, 2 = y3 - yl, Y2 = xl - x3

a 3 = xl y2 - x2y1, a 3 = yl - Y2' Y3 = x2 - x1

y

1 x1 yl

A = 1 x2 y2 = área del elemento triangular.2

1 x3 y3

49.

La comparación de (86) y (76) permite deducir las fun

ciones de base elementales

Ni = (�) (ai + (3 1x + Y ly) para 1 = 1,2,3 (87)2A

Es conveniente reseñar aquí que, si bien las funciones

de base elegidas hasta el momento han sido polinomios de orden uno

(lineales), otro tipo de polinomios de mayor grado pueden ser emplea

dos para conseguir una mayor precisión de la solución aproximada

ú. La cuestión es ahora determinar cuál es el tipo de elemento más

apropiado para cada problema, cuestión que no presenta una clara

respuesta, pues el elemento óptimo varía generalmente de un problema

a otro. Por consiguiente en la selección del tipo de elemento e

independientemente de factores como la geometría de la región, grado

de precisión deseado y complejidad y coste computacionales, interviene

en gran medida la experiencia del modelista. En Huyakorn y Pinder

(ref. n2 11, p. 65-98) y Pinder y Gray (ref. n° 9, p. 64-125) pueden

estudiarse distintas funciones de base y familias de elementos.

50.

111.4.2. PROBLEMAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO

En el caso de que haya que resolver problemas físicos

dependientes del tiempo representados por EDP de tipo parabólico

o hiperbólico, es necesario realizar una discretización espacial

de la región en estudio y una discretización temporal del período

de simulación elegido. Esta última puede realizarse por medio del

MDF o bien por un método de residuos ponderados ; en esta sección

sólo se considera la primera posibilidad por ser la más usual en

problemas de transporte. No obstante, en Huyakorn y Pinder (ref.

n2 11, p. 57-59) puede verse una discretización temporal por el

método de residuos ponderados.

Si se considera la EDP (42) empleada en el capítulo

dedicado al MDF

22u auJ x2 2 t

en una región 0 4 x < L, y con unas condiciones inicial y de contorno:

u(x,o) = uo

u(o,t) = 0 (88)

u(L,t) = 0

y se aplica el MEF en la discretización espacial a realizar, se

tendrá una función aproximada de u, sobre toda la región:

ú(x,t) = NJ(x) uJ(t) J = 1,2, ... n (89)

51.

en donde N j son las funciones de base globales (independientes del

tiempo), uJ los valores nodales (dependientes del tiempo) y n el

número total de nodos.

Las integrales ponderadas del residuo serán:

r 2-NI. ( 2 2..u - 2ú) d,, = N 2 u . dx - rN 2u dx = 0

R 2 x2 t fR 1 2x2 fR I 2t(90)

I = 1, ... n

de forma que ( 90) representa un sistema de n ecuaciones, una para

cada nodo.

La aplicación del teorema de Green a la integral que

contiene en su integrando el término 22ú/ 2 x2 permite obtener

L- N auu .dx+ 2ú. NI NIaO dx= 0

R dx 2x 2x o JR 2t(91)

1 = 1, 2, ... n

Sustituyendo (89) en ( 91) y prescindiendo del término

segundo ( que sólo afectará a los nodos de la frontera ) por claridad

en el desarrollo, queda

dNI

dN duu dx + N N dx = 0 I= 2, ... n-1 (92)

R dt dx R 1 dt

52.

o biendu

CIJ uJ + MIJ t =dt

0 1 = 2, ... n-l (93)

en donde

dN dNCIA = I dx

R dx dx

M1J = NI N j . dxR

La resolución del sistema de ecuaciones diferenciales

que representa (93) implica la realización de una discretización

temporal en un cierto número de incrementos de tiempo iguales (figura

n° 9.a.).

VALOR a pt Lit 3�1 ( �-tlof ( t-1)Ot k&$TEMPORAL

NIVEL OE t = s 4 A-t k t+�TIEMPO

Fig. nQ 9.a. Discretización te.poral ( según Huyakorn y Pinder, 1983)

53.

Para la resolución de los valores nodales uJ para un nivel de tiempo

k+l siendo conocidos para el nivel k, se escribe (93) en el nivel

k+ & (con 0 1):

k+ OduCIJ

uJk+9 +M1J

(-) = 0 (94)dt

Si se realiza una aproximación por diferencias finitas de la deriva

da temporal

du k+6 u k+l - u k( J) = J J (95)dt At

y se asume que los valores nodales uJ varían linealmente entre los

dos niveles k y k+l (figura n° 9.b.), es decir:

► t+s �+t

Fig. nQ 9.b. Variación temporal lineal de los valores nodales ( según Huyakorn

y Pinder, 1983)

uJk+e- _ (1 - B) uJk + &uJk+l (96)

54.

Sustituyendo ahora (95) y (96) en (94 ) se obtiene:

CIJ [9 ujk+ ] + ( 1 - 9) udk ] + (M1 J/ A t) (udk+l - udk ) = 0 (97)

Se dispone así de un sistema de ecuaciones algebraicas que

se resuelve para facilitar los valores nodales uj en cada nivel

de tiempo. Análogamente al MDF, se dispone de varios esquemas de

cálculo según el valor de & : esquema explícito ( 9 = 0), esquema

implícito ( & = 1) y esquema de Crank-Nicholson para 9 = 1/2; por

supuesto , deben ser tenidas en cuenta análogas consideraciones a

las realizadas en la sección 111.2.1. EXPOSICION DEL METODO . FORMULAS

APROXIMADORAS EN DIFERENCIAS FINITAS.

5 5.

111.4.3. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA DEL METODO

Recordando los conceptos de estabilidad y convergencia

de un esquema de cálculo ( 111.2.2. ESTABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES

EN DIFERENCIAS FINITAS y 111.2.3. CONSISTENCIA Y CONVERGENCIA DE

LAS APROXIMACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS) se analiza en esta sección

la estabilidad del MEF por medio del examen de los autovalores en

el sistema de ecuaciones algebraicas ; por otra parte, en Pinder

y Gray ( ref. n ° 9, p.57 -62) se establecen las condiciones suficientes

para la convergencia del MEF.

Si se expresan los valores nodales uj para dos niveles

consecutivos de tiempo k y k+l según la relación:

k+1 k[A] ju

= L 8 ] 1 u} (98)

puede escribirse

{}k+l_ [G] {u}k (99)

en donde [G] es denominado comúnmente matriz de "amplificación", y

[G] = [A]-1 [8]. El vector error se define para el nivel de tiempo

k como

{EI {u}kk=k

-link (100)

t

56.

¡ ken donde jU representa la solución exacta en el nivel k, que debe sa

tisfacer también (99) :

Hk+] =[G] {u}k (101)

y sustrayendo (99) de (100)

k+1j E} = [G] {E}k (102)

Haciendo compatibles las normas en matriz y vectores

y empleando la desigualdad de Schwartz puede escribirse

IlE II k+l, ¡¡Gil IIEII k (103)

de donde se deduce que el error no crecerá de un paso de tiempo

a otro (y por lo tanto el método será estable ) sólo si IkIH 1. Si [G]

es una matriz simétrica, la norma más apropiada a emplear es la

llamada norma espectral 11611 2que se define como

IIG1I = max I k 11 (104)2 1

en donde XI son los autovalores de la matriz [G] . Por lo tanto el

criterio de estabilidad queda establecido como

max I xII s 1 (105)

57.

Así, por ejemplo, para el esquema implícito (9 = 1 en (97 )) la matriz [á1es

[6] L c + ( M1 / At ) ] - 1 f MId/At ] (106)

Puede demostrarse que para cualquier valor de A t se

cumple ( 105) por lo que el esquema implícito es incondicionalmente

estable.

58.

111.5. ANALISIS COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS METODOS NUMERICOS. VENTAJAS

E INCONVENIENTES. CONCLUSIONES

Se pretende en este capitulo realizar un análisis compara

tivo entre los tres métodos numéricos , anteriormente expuestos,

empleados en la resolución de la EDP de la dispersión , con objeto

de permitir la elección del método numérico más apropiado para cada

problema de transporte . Este análisis se va a realizar en base a

cinco criterios:

12 Errores numéricos

22 Concepto de la solución aproximada

32 Capacidad de adaptación a la geometría y heterogeneidad del sistema

42 Complejidad en la comprensión del método

52 Complejidad en la programación del método

Otros criterios también muy importantes a la hora de

elegir el método numérico más apropiado como son, por ejemplo, la

dificultad de la entrada de datos a un cierto programa , el consumo

de tiempo de CPU requerido , las necesidades de almacenamiento en

memoria del ordenador, etc., serán considerados, una vez expuestos

los modelos específicos existentes , en el VOLUMEN IV. MODELOS MATEMA

TICOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN AGUAS SUBTERRANEAS.

19 Errores numéricos

La solución numérica facilitada por dos de los tres

métodos expuestos (MDF y MEE) se encuentra afectada por dos tipos

59.

de errores numéricos conocidos con el nombre de saturación y disper

sión numérica, cuyo efecto se ilustra en la figura n° 10 para el

caso de un problema de transporte unidimensional. Como puede observar

se, la saturación produce un efecto de oscilación en el perfil de

concentraciones calculadas; por su parte, la dispersión numérica

(y de ahí el nombre que se da al error) introduce una dispersión

ficticia que se adiciona a la dispersión física existente, alterando

consiguientemente la forma del perfil de concentraciones. Puede

afirmarse que las soluciones numéricas proporcionadas por MDF son

particularmente sensibles a estos errores numéricos, mientras que

el MEF aparece como un método más seguro.

c

c

---- Solución cokubdo

Sdadón anWilicp ' ión oiafieo

ookubdo

1 R

(o) Saturocioé (b) Dispersión numefico

Fig. n? 10. Errores numéricos en la solución de un problema de transporte unidimensional

(según Fried, 1975)

Pinder y Gray (ref. n° 6) presentan una discusión sobre

las causas de estos errores y comparan los resultados de varios

esquemas en diferencias finitas y elementos finitos aplicados a

60.

un problema unidimensional . Para ello expresan la distribución espacial

de la concentración como una serie de Fourier con componentes de

diferentes longitudes de onda y analizan la capacidad de cada esquema

numérico para transmitir cada componente de la serie con la frecuencia

y amplitud correctas. Según este análisis , la propagación a frecuencia

incorrecta de una componente de la serie provoca el error de satura

ción; la transmisión de componentes de la serie con amplitudes in

correctas provocaría el error de dispersión numérica . El MDF amplifica

los términos de longitud de onda pequeña, los cuales carecen de

importancia en la solución analítica correcta del frente de concentra

ciones, y los cambia de fase provocando la saturación; el MEF, por

el contrario , amortigua estas longitudes de onda, por lo que estos

términos carecen de importancia en la solución numérica al igual

que en la analítica. No obstante y esto es importante , si el coefi

ciente de dispersión hidrodinámica es pequeño, los términos de la

serie de longitud de onda pequeña cobran mayor importancia en la

solución analítica , mientras que tanto MDF como MEF propagan o trans

miten débilmente dichos términos , por lo que en ambos métodos las

soluciones numéricas se ven afectadas por el error de saturación,

si bien las oscilaciones son menos pronunciadas para el MEF. En

consecuencia , puede afirmarse que las soluciones proporcionadas

por el MDF tienen una menor consistencia que las proporcionadas

por el MEF.

Otros autores han realizado otras interpretaciones sobre

estos errores ; así por ejemplo, Fried ( ref. n ° 4) describe la causa

de la saturación como un desajuste en la discretización espacio-

61.

temporal de manera que el modelo del acuífero no puede "absorber"

numéricamente la masa de contaminante inyectada; la causa de la

dispersión numérica radicaría en los errores de truncadura cometidos

en las fórmulas en diferencias finitas usualmente empleadas.

Como medios para combatir la presencia de estos errores

pueden citarse los siguientes: un correcto ajuste de la discretiza

ción espacio-temporal elimina la saturación; para pequeños valores

del coeficiente de dispersión, puede reducirse la saturación disminu

yendo los incrementos espaciales y temporales. La saturación puede

ser minimizada o eliminada también empleando una correcta aproxima

ción de primer orden de la derivada temporal; no obstante, esta

medida puede provocar el incremento de la dispersión numérica. Esta

última suele ser eliminada de los esquemas de cálculo introduciendo

en ellos un término corrector; Pinder y Gray han demostrado que

esta medida no incrementa mucho la precisión del MDF pero si mejora

sustancialmente la precisión del MEF (ref. n2 6).

29 Concepto de la solución aproximada-

Mientr

-

as que las fórmulas en diferencias finitas son

siempre fórmulas aplicadas a puntos o nodos del espacio, las fórmulas

en elementos finitos pueden ser consideradas como integraciones

espaciales de estas fórmulas puntuales. Como consecuencia las solu

ciones del MDF (y también del MOC) proporcionan el valor de la función

incógnita (por ejemplo, la concentración) sólo en los nodos de cálculo

no pudiendo en principio especular sobre el valor de aquélla en

62.

otros puntos de la región en estudio; por el contrario el MEF propor

ciona una aproximación a "trozos" de la función incógnita sobre

toda la región, a través de los elementos finitos en que aquélla

ha sido discretizada, lo que conceptualmente es una ventaja de este

método.

Por otra parte, si bien en el MDF la precisión de la

solución numérica es la misma en todos los nodos, en el MEF la pre

cisión de la solución depende del nodo en consideración; Pinder

y Gray (ref. n2 5) han empleado distintos elementos y funciones

de base obteniendo interesantes conclusiones como por ejemplo que

la solución numérica generada por el MEF con nodos en los centros

de los lados ( o caras ) será más precisa en los nodos vértice que

en los primeros y que la introducción de nodos en los centros geomé

tricos de los elementos con uso de funciones de base de segundo

orden incrementan la precisión de la solución sólo levemente.

3 2 Capacidad de-adaptación a la-geometría y_heterogeneidad del sistema

Bajo este criterio, el MEF resulta ser el más poderoso

de los métodos citados. La gran versatilidad y variedad de los elemen

tos finitos que pueden ser empleados dentro de un mismo mallado

permiten al MEF adaptarse con facilidad a sistemas de fronteras

y geometrías irregulares, así como de amplias heterogeneidades.

Por el contrario, MDF y MOC son métodos mucho más rígidos en este

sentido que presentan serios inconvenientes al tratar con el tipo

de sistemas anteriormente citados.

&3.

4 2 Complejidad en la comprensión del método--------------------

No cabe duda de que en este sentido el MDF es el método

conceptualmente más sencillo , siendo su comprensión rápida y directa,

sin exigir avanzados conocimientos en matemáticas aplicadas. Por

otra parte y dado que es el método de historia más extensa , dispone

de unos sólidos y rigurosos fundamenteos teóricos . Adicionalmente,

y teniendo en cuenta la simplicidad de las ecuaciones algebraicas

a las que conduce la aplicación del MDF, han sido desarrollados

numerosos y potentes algoritmos para su solución . Por el contrario,

MEF y MOC requieren del técnico unos conocimientos matemáticos más

avanzados; dado el gran desarrollo que el empleo del MEF ha tenido

en los últimos años puede afirmarse que, actualmente, también dispone

de numerosos y potentes algoritmos de resolución para los sistemas

de ecuaciones algebraicas que genera su aplicación.

5 2 Complejidad en la programación del método--------------------

No existen en este sentido marcadas diferencias entre

MDF y MEF, presentando pues ambos un grado de complejidad análogo

en su programación. Por el contrario, la programación del MOC es

extremadamente sofisticada , haciendo uso de partículas virtuales

que se mueven según curvas características ; la generación de un

programa eficiente y general de este método exige grandes esfuerzos.

Como conclusiones de este análisis deben citarse las

siguientes:

64.

En la actualidad , debido fundamentalmente a la gran sensibilidad

a los errores numéricos que presenta , el MDF puede considerarse

en desuso para los problemas de transporte.

El MEF que aún hoy no es el método más empleado en la resolución

de problemas de transporte , dada la gran aceptación que entre

los hidrogeólogos e ingenieros tiene el MOC, debe considerarse

como el método que más ventajas presenta , en general. Su insen

sibilidad relativa a la saturación ( salvo para coeficientes de

dispersión hidrodinámica pequeños) y la posible eliminación de

la dispersión numérica lo presentan como una clara alternativa

al MDF; por otra parte, su rigor matemático, capacidad de adapta

ción a todas las geometrías y heterogeneidades y su relativa

sencillez de comprensión y programación lo presentan como alterna

tiva al MOC.

El MOC, muy usado para todo tipo de problemas de transporte,

está especialmente justificado cuando la dispersión hidrodinámica

es débil y prima la advección, pues en este caso la EDP de la

dispersión se parece mucho a una EDP de tipo hiperbólico. Dado

que justamente en este caso ( dispersión pequeña ) el MEF es especial

mente sensible a los errores numéricos, debe considerarse al

MOC como una alternativa válida del MEF para este tipo de problemas.

65.

111.6. BIBLIOGRAFIA

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66.

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*8. The use of Galerkin finite element methods to solve mass

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9.* Finite element simulation insurface and subsurface hidrology (p. 1-15, 39-125)GRAY, W. G. y PINDER, G .F., 1977Ed. ACADEMIC PRESS, INC.

10.* Introduction to groundwater modeling (p.113-203)ANDERSON, M.P. y WANG, H.F., 1982Ed. W.H. FREEMAN AND CO.

11. Computational methods in subsurface flow (p . 1-98, 341-353,

435-440)HUYAKORN, P.S. y PINDER, G.F., 1983Ed. ACADEMIC PRESS, INC.

12.** Programación y cálculo numérico (p.237-285)

MICHAVILA, F. y GAVETE, L., 1985

Ed. REVERTE, S.A.

* Publicación de carácter básico e imprescindible

** Publicación de carácter complementario , sugerida para ampliar temas no

suficientemente desarrollados en el Volumen