ANÁLISIS DE SCA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Jorge Luis JaramilloPIET EET UTPL marzo 2011

Créditos

Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.

La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles gratuitamente en la web.

Contenidos

• El nacimiento del dominio de la frecuencia• Funciones frecuenciales• Diagramas polares• Diagramas de Nyquist• Diagramas de Black• Diagramas de Black Nichols• Diagramas de Bode• Análisis de estabilidad• Análisis y discusión

Contenidos

• El nacimiento del dominio de la frecuencia

El nacimiento del dominio de la frecuencia

Entre 1920 y 1930, aumentó el interés en las comunicaciones telefónicas a grandes distancias, y, por lo tanto apareció el problema técnico de la amplificación de señales de voz.

Por cuanto al amplificar la voz en la línea telefónica también se amplifica el ruido, surgió la necesidad de analizar el comportamiento de los amplificadores para diferentes frecuencias. Había nacido el estudio de los sistemas en el dominio de la frecuencia

El dominio de la frecuencia es menos intuitivo que el de el tiempo. Mientras que el tiempo se incrementa de manera natural (sin nuestra intervención), lograr que la frecuencia se incremente implica recurrir necesariamente a métodos artificiales.

Las señales de prueba que se utilizan en el estudio de los SCA en el dominio de la frecuencia, son de dos tipos:

• Señales de frecuencia constante• Señales de frecuencia incremental

El nacimiento del dominio de la frecuencia

Ej: La señal senoidal de frecuencia constante de 500 Hz, puede ser representada geométricamente como:

1 2 3 4 mseg

El nacimiento del dominio de la frecuencia

Señal de frecuencia constante

Ej: el barrido de frecuencia de 10 a 11025 Hz

El nacimiento del dominio de la frecuencia

Señal de frecuencia incremental

El análisis de los SCA en el dominio de la frecuencia se basa en el uso de variables complejas.

Los recursos metodológicos más utilizados en el análisis de los SCA en el dominio de la frecuencia son:

• Las funciones frecuenciales • Los diagramas de Bode

El nacimiento del dominio de la frecuencia

Contenidos

• Funciones frecuenciales

Funciones frecuenciales

La obtención de la función frecuencial de un SCA analizado en el dominio de la frecuencia, empieza en el concepto de coeficiente complejo de amplificación.

En términos generales, obtener el coeficiente complejo de amplificación equivale a encontrar la función de transferencia del SCA, para las señales de entrada y salida definidas como magnitudes complejas.

Operativamente, la función de transferencia de un SCA se lleva al formato del coeficiente complejo de amplificación, “reemplazando” el operador de Laplace (s) por el operador complejo (jw).

Funciones frecuenciales

Funciones frecuenciales

Funciones frecuenciales

Las funciones frecuenciales son de tres tipos: •de amplitud, A •de fase, F •de amplitud –fase, A-F

Por otra parte, la función A-F (al ser una función compleja) se representa como

Funciones frecuenciales del eslabón ainercial

Funciones frecuenciales

A(ω)

ω

K

Pω)

ω

K

Q(ω) ϴ(ω)

Funciones frecuenciales del eslabón aperiódico

Funciones frecuenciales

A(ω)

ω

Pω)

ωQ(ω)

ωϴ(ω)

ω

-90

Funciones frecuenciales del eslabón aperiódico

Funciones frecuenciales del eslabón integrador

Funciones frecuenciales

A(ω)

ω

Pω)

ωQ(ω)

ωϴ(ω)

ω

-90

Funciones frecuenciales del eslabón integrador

Funciones frecuenciales

Funciones frecuenciales del eslabón diferenciador

Funciones frecuenciales

A(ω)

ω

Pω)

ωQ(ω)

ω

ϴ(ω)

ω

90

Funciones frecuenciales del eslabón diferenciador

Funciones frecuenciales

Funciones frecuenciales del eslabón oscilador

Contenido

• Diagramas polares

Diagramas polares

Dada la función de transferencia ,

, esta se puede representar indicando la posición de los ceros –ci y de los polos –pi en el plano de la variable compleja.

Esta representación, se denomina diagrama polar.

Contenido

• Diagramas de Nyquist

En un diagrama de Nyquist, la función de transferencia G(s) se representa mediante una curva en un diagrama polar.

Esta curva se construye representando para cada valor de ω el módulo y el argumento de la expresión compleja que resulta de hacer s = jω en G(s).

Diagramas de Nyquist

Como se sabe, el módulo y el argumento de G(jω) representan la amplificación (o atenuación) y el desfase de una señal sinusoidal que atraviese el sistema.

En la figura anexa, se representa un diagrama de Nyquist, en el que ω varía de 0 a ∞.

El diagrama de Nyquist es por tanto una curva parametrizada en ω que, para cada punto (es decir, para cada frecuencia), da el módulo y el argumento de la función de transferencia.

Contenido

• Diagramas de Black

Diagramas de Black

E el diagrama de Black se representa la función de transferencia G(s) mediante una curva parametrizada en ω en un plano cuyos ejes de coordenadas están definidos por arg(G(jω)) y 20 log10 A

Contenido

• Diagramas de Black Nichols

El diagrama de Black – Nichols coloca en un mismo plano al módulo y la fase de la función de transferencia, a partir de sus dos gráficas separadas.

Diagrama de Black - Nichols

Contenido

• Diagramas de Bode

Diagramas de Bode

En la década de 1940, Hendrik Wade Bode propuso un método para analizar el comportamiento de los SCA en el dominio de la frecuencia, método basado en la respuesta en frecuencia del sistema. Las gráficas que se obtienen al aplicar el método, se denominan diagramas de Bode

Los diagramas de Bode representan la amplitud de la salida de un sistema en función del logaritmo de la frecuencia de la señal de salida. Por esta razón también se conoce a los diagramas de Bode como diagramas de magnitud y de fase logarítmicas (de frecuencia).

Los diagramas de Bode, muestran dos respuestas en frecuencia para el mismo SCA:• respuesta (logarítmica) en magnitud • respuesta (logarítmica) en fase

Diagramas de Bode

Para el diagrama de magnitud, en el eje de las abcisas se introduce el concepto de década mientras que para las ordenadas se emplea el concepto de decibelios.

La representación de la magnitud de la respuesta en frecuencia en decibelios, parte de la respuesta frecuencial en amplitud, a través de la expresión:

Diagrama de magnitud logarítmica

Diagramas de Bode

Diagrama de magnitud logarítmica

Diagramas de Bode

La magnitud se conoce como frecuencia de corte y se define como la frecuencia para la cual se cumple la expresión:

La magnitud se conoce como frecuencia de unión y se define como:

Diagrama de magnitud logarítmica

Diagramas de Bode

Este diagrama se corresponde con la respuesta de fase en frecuencia, considerando la escala logarítmica del eje de las abcisas.

Diagrama de fase logarítmica

Contenido

• Análisis de estabilidad

Análisis de estabilidad

Dado un sistema típico analizado en el dominio de la frecuencia, se pueden establecer algunas magnitudes características:

• Pico de resonancia, Mr• Frecuencia de resonancia, ωr• Ancho de banda, BW

Análisis de estabilidad

Análisis de estabilidad

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS