IV - Frecuencia Compleja y Análisis de Circuitos en el Dominio S.

Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

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-IV -Frecuencia Compleja y Análisis de Circuitos

en el Dominio S.


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4.1 Frecuencia Compleja.

El análisis en estado senoidal estable o permanente, el análisis transitorio, la respuesta forzada, la respuesta compleja, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y senoidales exponencialmente amortiguadas serán casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos asociados con el concepto de frecuencia compleja.


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Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.


4

Gráfico Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.


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Frecuencia Compleja.

Cualquier Función puede escribirse de la forma:

f(t)= K.es.t

Donde K y s son constantes complejasconstantes complejas, independientes del tiempo, y está caracterizada por la frecuencia frecuencia compleja s.compleja s.


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Frecuencia Compleja,función constante y exponencial.

Aplicando la definición, con s=0, una función de voltaje constantevoltaje constante V(t)=Vo, se escribe como:

v(t)= V0.e0.t

Para una función de voltaje exponencialexponencial, la frecuencia compleja es; s= + j0,por lo tanto:

v(t)= V0.e.t


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Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal.

Para un voltaje senoidal: v(t)= Vm

.cos(wt+)

Aplicando la identidad de Euler:cos(wt+)= ½.[ej(wt+) + e-j(wt+)]

Se obtiene:v(t)= (½.Vm

.ej).ejwt + (½.Vm.e-j).e-jwt

v(t)= K.est + K*.es*t


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Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal.

Donde:

s= jws*= -jw (conjugado de s)K= ½.Vm

.ej

K*= ½.Vm.e-j (conjugado de K)


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Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada.

Para la función de voltaje: v(t)= Vm. e.t

cos(wt+)

Aplicando la identidad de Euler:cos(wt+)= ½.[ej(wt+) + e-j(wt+)]

Se tiene:v(t)= (½.Vm

.ej).e(+jw)t + (½.Vm.e-j).e(-jw)t


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Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada.

Donde, el par de frecuencias complejas frecuencias complejas conjugadasconjugadas se describe como:

s = + jws* = - jw

La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias complejas conjugadas.


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Variable Compleja, SS.Se denota por sigma, , a la parte real de s, y por w (no jw) a la parte imaginaria de s; luego:s = s = + jw + jw.

Donde: : es la frecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s)w: es la frecuencia angular (rad/s)s: se mide en Nepers/s o rad/s.


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Ejemplo: Frecuencia Compleja

Sea:f(t)= (4 - j7).e(-3+j15)t.

Donde:K= Sqrt[(4)2 + (7)2] = 8.1=tan-1(-7/4) = -60.3°f(t)= K.es.t = K.e.t cos(wt+)

Luego:f(t)=8.1.e-3.t cos(15t-60.3°)


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4.2 Función de excitación Senoidal amortiguada en S.

La Función senoidal con variación exponencial:

v(t)= Vm. e.t cos(wt+)

puede expresarse en términos de la frecuencia compleja s como:

v(t)=Re (Vm.et.ej(wt+))

Factorizando y sustituyendo s = s = + jw: + jw:

v(t)=Re (Vm.ej.est)


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Función de excitación Senoidal amortiguada en S.

Aplicando la senoidal exponencialmente amortiguada a una red eléctrica, la respuesta forzada de la corriente se expresa como:

i(t)= Im. e.t cos(wt+) = Re (Im.ej.est)

Se obtiene una respuesta completa cuya parte real es la respuesta real buscada (se puede omitir la notación Re), la solución final de este tipo de problemas consiste en encontrar la amplitud de la respuesta, IImm y el ángulo de fase de la corriente.


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Función de excitación Senoidal amortiguada en S.

Los pasos básicos a seguir del método de solución son:

• Caracterizar el circuito por medio de un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de lazo o de nodo.

• Sustituir las funciones de excitación dadas y las respuestas forzadas supuestas en forma compleja en las ecuaciones.

• Realizar las integrales y derivadas indicadas.• En todas las ecuaciones cada termino tendrá el factor est , se

divide todo entre este factor para tenerlo en el dominio de la frecuencia.

• Una vez realizados los anteriores pasos, las ecuaciones integro-diferenciales se transforman en algebraicas y su solución es simple.


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Ejemplo: Frecuencia Compleja


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Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación...


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19



20

EjerciciosFrecuencia Compleja.


21

4.3 Definición Transformada de Laplace.

La Transformada de Laplace unilateral (un solo lado, t>0) de una función f(t), esta dada por la expresión:

La Transformada Inversa de Laplace se denota como:


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Transformada de Laplace de funciones elementales.Función Escalón Unitario, u(t).


23

Función Impulso unitario, (t).La función (t) es cero excepto en t = 0, donde se hace infinita. Tiene área unitaria.


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Función exponencial, e-t.


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Funciones rampa, t.u(t) y t.e-tu(t).


26

Tabla de parejas de Transformada de Laplace.


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4.4 Transformadas de Laplace Operacionales

Multiplicación por una Constante:

Suma y Resta:


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Transformadas de Laplace Operacionales

Diferenciación: La derivación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación de F(s) por S y luego la resta del valor inicial de f(t), f(0-).

La transformada de Laplace de la segunda derivada de f(t) será:


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Transformadas de Laplace OperacionalesIntegración:

La Integración en el dominio del tiempo corresponde dividir S en el dominio de S.

Traslación en el dominio de la frecuencia: La traslación en el dominio de la frecuencia corresponde a una multiplicación por una exponencial en el domino del tiempo.


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Tabla Transformadas de Laplace operacionales.


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Teoremas de valor inicial y valor final.

)(lim)(limS0t

sFstf

Los Teoremas de valor inicial y valor final permiten determinar a partir de F(s) el comportamiento de f(t) en cero e infinito ( ). De este modo se pueden comprobar los valores inicial y final de f(t) para ver si concuerdan con el comportamiento conocido del circuito, antes de hallar la Transformada Inversa de F(s).

Teorema de valor inicial:

Teorema de valor final: )(lim)(lim

0StsFstf


32

EjerciciosTransformada de Laplace.


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4.5 Impedancia Z(s) y Admitancia Y(s)

Para realizar el análisis de circuitos, directamente en el dominio de la variable compleja s, con funciones de excitación y respuestas forzadas complejas, es necesario conocer los términos de la impedanciaimpedancia o admitanciaadmitancia expresados en s.

Así:V(s)= Z(s)

.I(s)


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Impedancia y Admitancia en s,para un Resistor.

En el dominio del tiempo, v(t) = Ri(t). Aplicando la Transformada de Laplace, la razón del voltaje con la corriente es:

V(s) = I(s)R

Z(s)= V(s)/I(s) = R

La Admitancia es:

YL(s)= I(s)/V(s) = 1/R


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Impedancia y Admitancia en s,para el Inductor.

La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es v(t)=L(di(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene:

V(s)= L[s.I(s) – i(0-)]

Considerando que la energía inicial almacenada en el Inductor es nula:

V(s)= sL.I(s)

ZL(s)= V(s)/I(s) = s.LLa Admitancia es:

YL(s)= I/V = 1/s.L


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Impedancia ZL(s) para un Inductor.

(a) Inductor en el domino del tiempo. (b) Modelo completo para un Inductor en el dominio de la frecuencia, consiste de una impedancia sL y una fuente de voltaje –Li(0-) que incorpora el efecto de condiciones iniciales diferentes de cero en el elemento. (c) Modelo alternativo para el Inductor en el dominio de la frecuencia, consistente de una admitancia 1/sL y una fuente de corriente i(0-)/s.


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Impedancia y Admitancia en s,para el Condensador.

La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es i(t)=C(dv(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene:

I(s)= C[s.V(s) – v(0-)]

Considerando la condición inicial cero en el capacitor:

I(s)= sC.V(s)

ZC(s)= V(s)/I(s) = 1/s.CLa Admitancia es:

YC(s)= I(s)/V(s) = s.C


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Impedancia ZC(s) para un Capacitor.

(a) Capacitor en el domino del tiempo. (b) Modelo en el dominio de la frecuencia, de un Capacitor con tensión inicial de v(0-). (c) Modelo equivalente obtenido a través de una transformación de fuente.


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Impedancias y Admitancias en la variable compleja s, para R, L y C.


40

4.6 Función de Transferencia.


41

Función de Transferencia.


42

Propiedades de la Función de Transferencia.

La Función de Transferencia, H(s), es independiente de la entrada, siendo solo función de los elementos del circuito y sus interconexiones.

A partir del conocimiento de la Función de Transferencia y de la función de entrada, es posible determinar la respuesta o salida.

La magnitud de Salida es la magnitud de la entrada multiplicada por la amplitud de la Función de Transferencia. Asimismo, la fase de la salida es la fase de la entrada más la fase de la función de la red.

Si hay dos o más entradas presentes, puede utilizarse SuperposiciónSuperposición para definir una Función de Transferencia que relacione la salida con cada entrada individual, haciendo cero las otras entradas.


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Ejemplo: Función de Transferencia.

Para el circuito RLC en serie de la siguiente figura, obtenga las funciones de Transferencia:

a) H(s) = I(s)/Vg(s),b) H(s) = Vo(s)/Vg(s),


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Solución: Función de Transferencia.

111H 2(s)

RCsLCs

sC

sCsLRV

I

g

11

1

1

H 2(s)

RCsLCssC

sLRsC

VV

g

o

(a)

(b)


45

4.7 Polos y Ceros


46

Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros


47

Identificación de Polos y Ceros

Los números zz11, z, z22,...,z,...,zmm se llaman CerosCeros de la Función de Transferencia por que son valores de ss, para los cuales la función vale cero.

Los números pp11, p, p22,...,p,...,pnn se llaman PolosPolos de la Función de Transferencia por que son valores de ss, para los cuales la función se hace infinita.

Los valores de los Polos y Ceros, junto con los valores de los coeficientes constantes an y bm determinan el comportamiento de la Función de Transferencia.


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Ejemplo: Función de Transferencia,Polos y Ceros.

Para el circuito de la siguiente figura, determine:a) La expresión numérica correspondiente a la función de Transferencia H(s) = Vo(s)/Ig(s), en forma polinomial.b) La Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros.c) Proporcione el valor numérico de cada polo y cero de H(s).


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Solución: Función de Transferencia,Polos y Ceros.

102210H 2(s)

sss

IV

g

o

3131

210H(s) jsjss

(a)

(b)

(c)

31s31s

2 z10K

2

1

jj


50

Polos y Ceros en el Plano Complejo SS.


51

Asociación entre forma funcional de una respuesta con regiones en el Plano SS.


52

4.8 Transformada Inversa de Laplace.

Un Sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales, en el dominio del tiempo, puede transformarse al dominio de la variable compleja, S = + jw, utilizando la Transformada de Laplace.

Luego, La respuesta del Sistema, en el dominio del tiempo, a una entrada dada puede hallarse por medio de la Transformada Inversa de Laplace, aplicando el Teorema del Residuo para obtenerla.


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Transformada Inversa de Laplace.

Así:L -1 { Y(s) } = Residuos de Y(s)·est en los polos de Y(s).

Donde, los residuos para cada polo de orden "n" se calculan como:

a_i = 1 _ Lim dn-1 [ (S - So)n·Y(s)·est] (n-1)! SSo dSn-1


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Transformada Inversa de Laplace.

Se podrá utilizar este método si Y(s) = N(s) / D(s), es una función Racional Impropia, dado que el grado de D(s) sea mayor al menos en uno (1) al grado de N(s).

Si el polo es Simple ( n=1) el cálculo del residuo se puede realizar como:a_i = Lim (S - So)·Y(s)·est

SSo

Identidad de Euler:(a + jb)·e(x + jy)t + (a - jb)·e(x - jy)t = 2·a·Cos(|y|t)·ex·t - 2·|b|Sen(|y|t)·ex·t


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Ejemplos, Transformada Inversa de Laplace.

62

32128

32H 2(s)

sss

sss

Para cada una de las siguientes Funciones de Transferencia, obtenga la respuesta y(t), ante una entrada escalón unitaria u(t).

6.063.06.063.0

1354

1H 2(s) jsjss

sss

a)

b)


56

Solución Ejemplo a): Transformada Inversa de Laplace.

62

32128

32H 2(s)

sss

sss

2

16020

30262

32a 0

00 lim

tst

see

sssss

s1U(s)

Residuo en el polo simple s = 0

y(t)= L -1{Y(s)} = residuos de Y(s).est en los polos de Y(s).

62

321128

32HY 2)((s)(s)

ssss

ssssU s


57

Solución Ejemplo a): Transformada Inversa de Laplace.

ttst

seee

sssss 66

62 4

1266

36262

326a lim

210)( aaay t

ttst

seee

sssss 22

21 4

1622

32262

322a lim

Residuo en el polo simple s = -2

Residuo en el polo simple s = -6

Luego,

ttt eey 62)( 4

141

21


58

Solución Ejemplo b): Transformada Inversa de Laplace.

6.063.06.063.0

1354

1H 2(s) jsjss

sss

32.1

6.063.006.063.0010

6.063.06.063.01a 0

00 lim

tst

se

jje

jsjssss

s1U(s)

Residuo en el polo simple s = 0

y(t)= L -1{Y(s)} = residuos de Y(s).est en los polos de Y(s).

6.063.06.063.0

1HY )((s)(s) jsjsssU s


59


tjtj

st

js

ejejjj

j

ejsjss

sjs

6.063.06.063.0

6.063.01

14.066.06.063.06.063.06.063.0

16.063.06.063.06.063.0

16.063.0a lim

Residuo en el polo simple s = -0.63 + j0.6

Residuo en el polo simple s = -0.63 - j0.6

tjtj

st

js

ejejjj

j

ejsjss

sjs

6.063.06.063.0

6.063.02

14.066.06.063.06.063.06.063.0

16.063.06.063.06.063.0

16.063.0a lim


60


tjtjt ejejy 6.063.06.063.0)( 14.066.014.066.032.1

210)( aaay tLuego,

Aplicando la Identidad de Euler:

ttt etsenety 63.063.0)( 6.028.06.0cos32.132.1


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