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Martnez R., J. Rafael

La msica de las esferas traditio y el canon astronmico-musical de KeplerCiencias, nm. 100, octubre-diciembre, 2010, pp. 4-15

Universidad Nacional Autnoma de MxicoDistrito Federal, Mxico

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4CIENCIAS 100 OCTUBRE DICIEMBRE 2010

Who doth not see the measure of the Moon,

Which thirteen times she danceth every year

And ends her pagan thirteen times as soon

As doth her brother.

SIR JOHN DAVIES, Orchestra (1596)

Le que en tiempos de Pitgoras

hablar de matemticas

era hablar de msica.

RED HOT CHILI PEPPERS (2010)

Penetrar en la mente del Creador, interpretar el diseo que la voluntad de su dios adopt para trazar la arquitectura del cosmos, fue la tarea que Kepler se impuso, convencido de que nuestro universo debera expresar el orden, la armo-na, simplicidad y simetra acordes con la perfeccin de la figura divina.

En la noche de los tiempos, cuando an estaba por na-cer entre los griegos el afn racionalista de explicar el mun do por medio de principios ajenos a lo in ma-terial, la diosa Harmonia, hija de Ares y Afro-dita, se ocupaba de re conciliar a los opues tos en el mundo y de crear un balance o equi li brio que alejara a las cosas del caos y la ata ra xia. Al irrumpir la escuela mile sia en el fir ma-men to griego aparecieron di ver sos es que mas explicativos que apelaban a la physis la natu-raleza, lo que est en proceso de cambio y que competan por alcanzar la he gemona. A partir de entonces los mitos an tro pocntricos de los helenos se vieron des pla-za dos por un logos mecnico estrechamente ligado con la l gica y el materialismo, y como consecuencia la vene-ra da Harmonia qued despojada de su investidura fsica y pa s a convertirse, al igual que los cortesanos del Olim-po, en una abstraccin carente de corporeidad, concebida ahora como una fuerza universal cuya funcin primordial era es tablecer el orden en el cosmos.

Logos y Harmonia

Entre los primeros que adoptaron una va ajena a lo mito-lgico para entender la estructura del Universo, Pitgoras (ca. 570-495 a.C.) y sus seguidores tienen preeminencia. Tal honor recae en Pitgoras gracias a un despliegue de ilumi-nacin que, segn cuenta la leyenda, le sobrevino al pasar frente al taller de un herrero y escuchar los martillos pro-

duciendo diferentes notas, algunas de ellas agradables al odo. En particular se habra dado cuenta que los interva-los entre las notas que producan los martillos correspon-d an a lo que en msica se conoce como una cuarta, una quin ta y una octava. La leyenda nos cuenta unas cosas ms. Nos dice que intuy que los diferentes sonidos podan es tar relacionados con los pesos de los martillos y las pro-por ciones numricas que stos guardaban entre s, a sa ber, 4:3, 3:2 y 2:1. Y que lo mismo ocurra al tomar pesos igua-les a los de los martillos y colgarlos cada uno de cuerdas iguales en longitud. Al rasgar las cuerdas as tensadas se cuen ta que escuch las mismas notas que en el caso de los martillos. El resultado sera el mismo al usar un monocor dio instrumento musical que consiste en una sola cuer da, fija sobre una base, y que puede ser dividida en interva los, al-gunos de los cuales vibran al ser rasgada la cuerda mientras el complemento de sta permanece inmvil, pues se po-da determinar proporciones matemticas exac tas que da-ban lugar a sonidos agradables, mismos que des criba como

armoniosos por razones evidentes.Sin embargo el relato describe experiencias fal-

sas: ni las proporciones entre los pesos de los mar-ti llos ni las de los pesos que cuelgan de las cuer-

das corresponden a las frecuencias de vibracin de las cuerdas que corresponden a sonidos agrada-

bles. Es fcil ima gi nar a Pitgoras y a sus seguidores llevando a cabo estas experiencias, con un enten di-

mien to superior al de quienes, mostrando su igno-ran cia, elaboraron o repitieron una historia que nunca fue. De cualquier modo, el descubrimiento que se atribuye a Pi tgoras es el haberse dado cuenta de que los intervalos musi cales, a los que luego se llam perfectos, se pueden cons truir uti lizando proporciones numricas que com pren-den los n meros uno, dos, tres y cuatro, nmeros que por otra parte eran tenidos en gran estima, ya que se les atri-bua propie dades ligadas al orden universal por ser su suma igual a diez, el divino tetraktys, la raz y fuente del fluir eter no de lo creado, la marca del orden numrico-musical del cosmos.

Harmonia, matemticas y msica de las esferas

La idea de considerar la msica como una rama de las ma-temticas tiene su origen en el programa escolstico de Boe cio, quien en el siglo VI estableci el curriculum de las artes liberales, segn el cual la enseanza bsica, una vez dominados los rudimentos del lenguaje, debera com pren-


La msica de las esferas

J. Rafael Martnez R.

traditio y el canonastronmico-musical de Kepler


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der lo que por ese entonces vino a ser llamado el quadri-vium, a saber, aritmtica, geometra, astronoma y msica o armona.

No parecindole suficiente el haber establecido un pro-grama de estudios, Boecio tambin escribi tratados que con tenan la sustancia de lo que debera ser enseado, y con este fin compuso De institutione musica, texto que desde en tonces y hasta el siglo XII constituy la base de la en-sean za musical en monasterios y universidades. Se dice que De institutione recoga las enseanzas de Pitgoras y de Platn, aunque en realidad las retomaba de segunda mano, por los escritos de Nicmaco de Gerasa (ca. 60-120 d.C.) y de Claudio Ptolomeo (ca. 90-168 d.C.), quien adems de es-cribir la Sintaxis matemtica o Almagesto, el texto astronmi-co ms famoso de la Antigedad, tambin fue el autor de la Harmonica, un tratado de teora musical donde propona, al igual que Pitgoras, que las notas musicales podan ser tra-ducidas a proporciones matemticas y viceversa. Estas ideas, al ser ligadas con cuestiones astronmicas, llevaron a Pto-lo meo a introducir la nocin de la msica de las esferas.

Sin embargo no debemos perder de vista que lo que hoy entendemos como msica, en el pasado, en particular des-de la Grecia clsica hasta el siglo XVIII, tena otras con no ta-ciones tanto en sus propsitos como sus bases tericas. En particular, para Boecio el arte de practicar la disci pli na lla mada msica o harmonia armona era una actividad su bordinada a la adquisicin de conocimiento especulativo acerca del mundo, mismo que se alcanzara en gran me di-da mediante la comprensin de los principios de la ar mo-na. Tal idea constituye el eje en torno del cual gira su cla-si fi ca cin de la msica y sus practicantes, y que consis te en una divisin jerrquica y tripartita de la msica se gn

el si guien te es que-ma, pre sen ta do en orden as cen den te de im por tan cia: musica ins tru men-

talis, que comprenda cantos y ejecu ciones ins-tru mentales; musica huma-na, que se ocupaba de las armo-nas del cuerpo y del alma; y por ltimo, la mu sica mundana o armona del cos mos. Es esta ltima la clase de msica que once siglos despus Kepler tendr en mente al recurrir a la msica como el elemento explicativo del mun-do, que vino a llenar el vaco existen te en su modelo plane-ta rio que hasta enton ces no poda dar cuenta de la re la cin entre las ma gnitudes de las rbitas y las de los periodos de cada orbe en su periplo alrededor del Sol.

Kepler y la geometra secreta del cosmos

Nacido en 1571 en la provincia de Wrttemberg, en el seno de una familia luterana, Kepler tuvo la fortuna de poder ma tricularse en la Universidad en Tbingen, donde adems de estudiar las artes que integraban el trivium y el quadri-vium, tuvo la oportunidad de profundizar en los temas que le llamaban la atencin, tales como la astronoma y la teora musical. Ley textos de Platn, en particular el Timeo, y al gunos de Aristteles, la Meteorologica, Analytica pos te rio-ra, Physica y el De caelo, a los que sum escritos de Ni co-ls de Cusa, de Scaliger y las lecciones de astronoma de su maestro y futuro amigo y protector, Michael Mstlin, uno de los principales promotores de la astronoma coper ni ca-na cuando sta era poco conocida y an estaba muy le jos de ser la teora hegemnica.

Sin haber terminado sus estudios fue invitado a im-par tir cursos en un colegio protestante de Graz, trabajo que acep t por considerarlo como la mejor manera de apo yar las labores educativas del movimiento protestan-te. Ah, mien tras en una clase intentaba explicar sobre un crculo los desplazamientos y conjunciones que ocurran cada vein te aos entre Saturno y Jpiter, Kepler tuvo una epifana una de las muchas que iluminaran su carrera como as tr no mo o filsofo natural, una especie de reve-lacin que le permiti asociar dos hechos: por un lado re-sultaba que en tre cada conjuncin, vista desde la Tierra, ha ba un intervalo angular de casi dos tercios de crculo, de


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manera que si se mar-caban tres conjun-cio nes consecuti vas,

es tos puntos casi re-presentaban las es qui-

nas de un tringulo, y el casi es porque el trin gu-

lo no alcanzaba a cerrar se. A continuacin, si se mar ca ban

las siguien tes alineaciones, se generaba otro cuasi-tringulo,

sin que el se gundo se empalmara con el primero. De hecho, pa reca

como si el primero ape nas hubiera girado una pe quea fraccin de crculo. Con forme se continuaba este pro ce di-miento, anotando conjunciones consecutivas, pareca que el tringulo rotaba, y como resultado se formaban dos crcu-los, uno exterior que tocaba los vrtices superiores de los cuasi-tringulos, y uno interior que era una especie de en-vol ven te, y la distancia entre ellos, para sorpresa y alegra de Kepler, corresponda a la distancia relativa entre Sa tur-no y Jpiter.

Impactado, Kepler procedi a poner a prueba lo que su diagrama sugera: usar un cuadrado figura con un lado ms que el tringulo para saber si ste determinaba, al ser girado, un crculo interior que marcara la separacin en tre Jpiter y el siguiente planeta, Marte. Si se diera la co rres pon dencia buscada, seguira entonces con el pen-t go no re gu lar para obtener, si la fortuna le sonriera, la se pa racin entre las rbitas de Marte y de la Tierra, y si el esquema pro du ca resultados correctos para las distancias relativas entre los planetas girando en torno del Sol, Ke-pler habra des cu bierto un patrn geomtrico que reve laba la intencin de Dios de construir una arquitectura acor de con de ter mi na ciones geomtricas que no podan ser pro- duc to de la casualidad.

Sin embargo, los datos conocidos de las posiciones pla-netarias no favorecan la idea de Kepler. Esperanzado, in-tent experimentar con otros polgonos regulares, pero se dio cuenta de que su estrategia no le conduca a ningn re-sultado halageo, pues dada la infinitud de polgonos regu-lares, alguno de ellos se acomodara a las dimensiones cs-micas que Kepler buscaba obtener, pero esto no revela ra ningn patrn o racionalidad que determinara un di seo. As, el enigma segua flotando ante la mirada de Kepler, que estimulada por el aparente acomodo geomtrico de las r-bitas de Saturno y Jpiter, insista en manipular hechos que

revelaran la racionalidad geomtrica que supona debera marcar al cosmos.

Su perseverancia pronto le rindi frutos. Por qu no uti-lizar figuras polidricas en lugar de polgonos? Despus de todo, se dira, el mundo se sita en un espacio que da ca-bida a los cuerpos slidos y no hay razn alguna para limi-tar los razonamientos geomtricos al plano. Comenz en-tonces a acomodar poliedros dentro de esferas y esferas dentro de poliedros. Saba que slo existan cinco poliedros regulares, los mismos que haba utilizado Platn en el Timeo de ah el nombre slidos platnicos con que se les cono-ca en el Renacimiento. Este nmero resultaba por dems sugerente o adecuado, ya que corresponda al nme ro de in ter valos entre los cinco planetas conocidos en tiem pos de Kepler y a los que se sumaba la Tierra.

Cualquiera de los slidos platnicos poda ser colocado al interior de una esfera de manera que sus vrtices la to-caran, e igualmente una esfera ms pequea se poda ins-cribir dentro de un poliedro regular haciendo que tocara el centro de cada una de las caras del poliedro. As fue que Ke-pler imagin a los slidos anidando dentro de esferas, y de terminando, segn el orden en que fueron colocados, los dimetros de dichas esferas, de igual forma a como el trin-gulo haba establecido la separacin entre las rbitas de J-piter y de Saturno en su diagrama bidimensional.

Kepler puso manos a la obra y al cabo de unos das todo cay en su sitio, cada cuerpo [refirindose a los slidos y a


las esferas] estaba acomodado en el lugar que le co rres pon-da. Segn esto, la esfera de Saturno contiene un cubo en el que se inscribe la de Jpiter; a su vez, Jpiter circuns cri be un tetraedro, seguido por la esfera de Marte. sta cir cuns-cri be un dodecaedro al que le sigue la esfera de la Tie rra y la Luna. Siguiendo esta idea tocaba el turno del icosaedro para Venus, luego a una esfera que circunscriba al octae-dro que abrazaba la esfera de Mercurio. Como las rbitas no eran crcu los centrados en el Sol, sino en un punto excn-trico, a cada esfera le asign un grosor que daba cuenta de las di ferencias entre afelio y perihelio, es decir, entre la dis-tancia ms alejada y la ms cercana al Sol.

A pesar de sentirse inspirado por la divinidad y estar con vencido de que existan profundas relaciones armnicas en el cosmos, de las cuales an no tena evidencia clara, a Kepler no le bast con haber deducido, sobre bases metaf-sicas, un esquema estticamente deslumbrante para la ar-quitectura del cosmos. Por ello procedi a comparar los n-meros relativos que aportaba su modelo con los valores disponibles de los tamaos de las rbitas, pues si no fuera as su felicidad sera arrastrada por el viento. Este ejercicio le llev a concluir que deba mejorar su modelo.

Durante esa poca comenz a elucubrar sobre la natu ra-leza de las fuerzas o animae motrices que mantenan en mo-vimiento los planetas. Con ello Kepler daba un gran paso en la direccin de lo que sera la ciencia moderna: primero, al considerar la necesidad de establecer una correlacin entre el modelo y los datos observacionales, y segundo, al buscar argumentos fsicos para explicar las relaciones geomtricas que la naturaleza exhiba. Ambas estrategias le llevaran even-tualmente a abandonar la imposicin metafsica de las rbi-tas circulares y la velocidad uniforme como requisitos a los que se deba sujetar segn lo haba exigido Platn toda descripcin del cosmos que pretendiera salvar las apa-riencias.

El renacimiento de la armona pitagrica

Toca ahora esbozar los caminos recorridos por Kepler para uncir el sistema del cosmos con la idea de la msica de las esferas, misma que, como se ha dicho, se remonta a Ptolo-meo y es de clara inspiracin pitagrica. Lo interesante en la propuesta pitagrica es que constituye uno de los prime-ros intentos registrados por reducir la experiencia humana al entramado matemtico: organizar la experiencia senso-rial bajo la idea de que los llamados intervalos musicales, la diferencia en tono entre dos notas, podra ser expresada me diante razones entre dos nmeros. Y qu otra cosa es-ta ba haciendo Kepler al buscar establecer las proporcio-nes entre las distancias dictadas por el orden de anidacin de los slidos platnicos?

Los intervalos que manejaban los pitagricos son los de-nominados octava, quinta y cuarta, y corresponden a las ra zones 2:1, 3:2 y 4:3, respectivamente. Estos tres interva-los jugaron un papel fundamental en el desarrollo de la m-sica en Occidente y tradicionalmente han sido llamados intervalos perfectos. Este patrn era lo que los griegos lla-maban Harmonia, y se enfatizaba con esta palabra la idea de orden y de balance, que era la expresin de una ley del mun do que se ajustaba al dicho pitagrico de que la filo so-fa era la msica ms encumbrada. Esto es, la forma ms ele va da de la filosofa estaba vinculada con los nmeros, pues a fin de cuentas, todas las cosas se reducen a nmeros.

Aristteles nos informa que los pitagricos crean que los cuerpos celestes, desde la Luna hasta las estrellas fijas, producan, cada uno, una nota peculiar, mientras que el tono era determinado por las velocidades, que a su vez se co rrespondan con las diferentes distancias entre la Tierra y los cuerpos celestes. Dichas distancias se supona que guar da ban entre s las mismas proporciones que las de los in tervalos musicales. Retomar estas ideas llev eventual-mente a Kepler a establecer una relacin entre los pla ne-tas y las distancias entre ellos en trminos de intervalos musicales.

La estructura musical del cosmos en el Renacimiento

Desde la Grecia de Platn se acept la idea, casi perfeccio-nada por Aristteles, de que todo en los cielos se mueve si-guiendo trayectorias perfectamente circulares, aunque para ello hubiera que instituir dogmas como la existencia de epi-ciclos, es decir, de crculos girando en torno de puntos que a su vez pueden girar siguiendo caminos circulares alrede-


dor de otros puntos que a su vez repiten el mismo patrn. Con ello se poda dar cuenta de retrogradaciones aparentes, movimientos de mutacin y cambios en las velocidades percibidas. Para simplificar en parte esta cadena de comple-jidades fue que Coprnico, en el siglo XVI, sugiri colocar el Sol en el centro del Universo y describir los movimientos pla netarios tomando este centro como referencia. Las bata-llas libradas para establecer el sustento fsico, teolgico y observacional de esta configuracin que derribaba lo sos-tenido por casi 18 siglos el sistema geocntrico for-man una parte sustancial de la historia de la astronoma. En con tras te con este panorama, la historia del cosmos mu-si cal, es decir, del conjunto de ideas que supone vnculos en tre la po si cin y los movimientos de los cuerpos ce les tes con las ideas de armona, ofrece un menor en fren tamien-to, posi ble men te porque aparenta ser astronmica mente ms sen ci llo y filosficamente ms adaptado a una idea de per fec cin.

La opinin de que el Universo se puede modelar a par-tir de estructuras musicales plante el problema de cmo es que se relacionaba la msica de las esferas celestes con la msica audible, concreta, que se produca en la Tierra. Gros-so modo, las respuestas ofrecidas desde los tiempos pitag-ricos y hasta el Renacimiento se pueden agrupar en tres rubros: uno que relaciona las escalas musicales con las dis-tancias planetarias, otro con las velocidades de los planetas

y otro ms que sera una combinacin de ambos. La ms sencilla es la que, como ya se dijo, adopt Platn en el pa-saje de La Repblica (X, 617b) al narrar el mito de Er. Segn esto podemos imaginar las esferas celestes centradas en la Tierra, girando en torno de ella, cada una arrastrando sea al Sol, a la Luna o al planeta que le correspondiera, y sujeta a una jerarqua claramente establecida que se podra visua-lizar a la manera de escalones que conducan de la Tierra al cielo. A cada uno de estos escalones o etapas le correspon-dera una nota o tono, y el conjunto constituira una esca-la musical. Esta imagen, por fantasiosa que hoy nos pueda parecer, era muy popular, ms an por haber sido utiliza-da por Platn al describir los ocho anillos o remolinos que giraban en torno de la Tierra, cada uno llevando sobre s una sirena que cantaba su propia nota; todas ellas, cantando al unsono, producan una armona, la maravillosa msica de las esferas.

La nocin de que las esferas celestes estn espaciadas segn intervalos comparables con los trastos o barras de una cuerda cuyas vibraciones producen una escala es he-rencia de los pitagricos. La distancia Tierra-Luna represen-taba el intervalo correspondiente a un tono. El resto de la es cala, con sus tonos y semitonos, exhiba las distancias re-lativas de las esferas celestes. En trminos ms tcnicos, esto corresponda, segn Plinio, a la forma cromtica del modo dorio. El modelo descrito enlaza las distancias entre

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la Tierra y los cuerpos celestes con la escala musical, y re-sulta una proyeccin sobre los cielos de una escala inspira-da en la lira griega de nueve cuerdas, misma que admite va rias afinaciones (entonaciones).

Este modelo es un esfuerzo por dotar de racionalidad a los cielos sobre la base de un sistema de msica terrenal. Una muestra de ello es la figura 1, donde se ilustran esca-las planetarias propuestas por autores que van desde Plinio (23-79 d.C.) hasta Robert Fludd (1574-1637). En ella se pue-de apreciar que en las dos escalas ms modernas se han agre gado notas a lo largo de la cuerda de un monocordio que representa las esferas de los cuatro elementos sublunares y las de las inteligencias angelicales, ngeles, arcngeles, se-rafines y querubines.

La otra manera de vincular musicalmente los cielos con la Tierra era por medio de los movimientos de los as tros, en particular de los cinco planetas y las dos luminarias. Las no tas, en este caso, estaran producidas por los di ferentes perio dos de revolucin alrededor de la Tierra. Ci ce rn reco-ge esta visin en El sueo de Escipin: la es fe ra ms lejana, la que arrastra a las estrellas, con su movimiento el ms veloz de toda las esferas da lugar a la nota ms alta, mien-tras que la esfera lunar, la ms cercana, produce la nota ms baja. La Tierra [] estacionaria, se aco ge a la misma po si cin en el centro del universo. Las ocho esferas res tan-tes, dos de las cuales, Mercurio y Venus, se mueven a la mis ma velocidad, generan siete notas diferentes, y es as que el nmero se re vela como la clave del universo".

Evidentemente, dado que sin movimiento no hay soni-do, en este caso la Tierra no produce sonido alguno. Por otra

parte, quienes se sumaban a intuir que una estructura o ley musical describa las relaciones o proporciones entre las ve-locidades de los cuerpos celestes, en ocasiones no crean o no se arriesgaban a asegurar que estas mutaciones en los cie-los, en la realidad se traducan en sonidos musicales, como s era el caso entre quienes tomaban partido por las teoras asociadas con las distancias a la Tierra.

Este segundo tipo de asociacin entre la msica y el com-portamiento de los astros tena ventajas sobre el primero, pues mientras en ste se requiere acomodar notas en una escala con base en las distancias y stas estaban a debate en todas las pocas, en el segundo tipo se haca referen-cia a las velocidades, y stas haban sido establecidas con relativa certeza para fines de la Edad Media. Esto no sig-ni fi ca que no haba discrepancias sobre cmo enten der el mo de lo, pues haba quienes tomaban las velocidades con

Figura 1. a) Melodas en las que a cada planeta se le asocia una nota. En el caso de la presentada por R. Fludd se agregaron notas para los elementos sub -lunares y las jerarquas angelicales. Para los planetas es la distancia a la Tierra laque determina las notas. b) Escalas planetarias en las que las notas dependen de la velocidad del planeta. En Harmonies of Heaven and Earth, Joscelyn Godwin, Inner Trad. Int, 1995.

a)

b)

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re la cin a la Tierra y quienes lo hacan respecto de las es-trellas fijas.

Algo que resulta interesante es que en ambos modelos existe un elemento en comn, el Mese nota central del sis tema musical griego, que simblicamente le es adjudi-cado al Sol, sin importar que el arreglo planetario fuera geo-cntrico. Igual ocurri con la escala propuesta por Robert Fludd (siglo XVII), en la que el Sol juega un papel central en su concepcin del Sol como tabernculo de Dios. Es por ello que el astro solar aparece a la mitad de la cuerda del mono-cordio, cubriendo una octava hacia ambos lados. Este deta-lle poda haber sido muy sugerente en cuanto a tomar par-tido por el sistema geocntrico o el heliocntrico (figura en esta pgina).

Otra posibilidad consiste en generar escalas planetarias en las que se mezclan elementos de las dos presentadas en los prrafos anteriores y cuyas caractersticas resultan muy complicadas si no se posee conocimientos avanzados de la teora musical griega, de su astronoma, y de la simbologa numrica derivada del pitagorismo. Por tal razn slo apun-tar una de sus consecuencias, extrada de unos pasajes de la Harmonica de Ptolomeo. En este escrito se establecen co-rrespondencias entre las consonancias musicales y las com-patibilidades entre dos planetas dictadas por la astrologa. Segn esto, Saturno y Marte muestran una actitud hostil ha cia el Sol, mientras que la de Jpiter con el astro Rey es de simpata. Tenemos entonces, segn Ptolomeo, que la nota que corresponde a Saturno se encuentra en disonancia a un sptimo de la nota del Sol, y por lo tanto produce un efecto malfico, en tanto que la nota asociada con Jpiter represen-ta una concordancia. En resumen, la propiedad malfica de los planetas en funcin de sus posiciones puede explicarse por las distancias no armnicas a las que estn colocados.

Las expresiones hasta ahora recogidas de la fusin de ideas cosmolgicas con las extradas de tratados de armona coincidan en que se buscaba hacer inteligibles los fenme-nos a partir de nociones preconcebidas del orden musical. Otro enfoque podra ser partir del fenmeno, establecer los ordenamientos que manifiesta y traducir los resultados en principios musicales. Seguir este camino presupone la exis-tencia de un orden y, en aquellos tiempos, adjudicarlo a una mente inteligente o a un Creador que decidi expresar sus de sig nios de esa manera.

Entre quienes siguieron esta lnea de pensamiento du-rante el Medievo est Juan Escoto Erigena (siglo IX), quien en Exposiciones Sobre La Jerarqua Celeste y su Comentario a Marciano Capella recurre en ocasiones a las velocidades para

dilucidar la arquitectura de las armonas planetarias. Afir-ma que los sonidos no siempre se relacionan a travs de los mismos intervalos sino que van de acuerdo con las altitudes de las rbitas. No sorprende entonces que el Sol suene una octava con Saturno cuando se desplaza por el punto ms ale-jado de l, pero que cuando se le aproxima suene una quin-ta, y en la posicin ms cercana una cuarta [] Visto as, pien so que no incomodo si digo que Marte dis ta del Sol a ve ces en un tono, a veces en un semitono [] Por lo tanto es posible intuir que todas las consonancias musi cales se pue den obtener a partir de los ocho sonidos celes tes. No me refiero slo a los tres gneros diatnico, crom tico y enar-m ni co sino tambin a otros que van ms all de la com-pren sin de los mortales.

La ltima frase es una especie de eptome de la disposi-cin para descubrir cosas que no encajan claramente en los sistemas preconcebidos por la mente humana. Seis si-glos ms tarde, cuando la teora musical se haba enrique-cido con la introduccin de contrapuntos y armonas mlti-ples, apareci otro pensador igualmente original: Anselmo de Parma. Para l los planetas no actuaban de manera ais-lada, produciendo aburridas piezas monotnicas, sino que cada uno de ellos entona su propia meloda en contrapunto

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con las de los otros. La imaginacin de Anselmo nos leg un universo de ciclos y epiciclos planetarios, contemplados y dirigidos por seres angelicales que participan en esta dan-za csmica sin ningn motivo ulterior al de disfrutar del pla-cer del ser. Se podra decir que este enfoque preparaba el terreno para las innovaciones keplerianas a la tradicin de la msica de las esferas.

La armona del mundo

En el Mysterium Cosmographicum (1597) Kepler slo men-cion la msica en una ocasin, aludiendo a que as como slo haba cinco slidos regulares en geometra, de igual ma nera en msica slo existan cinco intervalos musicales. A la octava, cuarta y quinta, correspondientes a razones en-tre 1, 2, 3 y 4, lo que los pitagricos consideraban los ni-cos intervalos consonantes, Kepler aada las tercias mayor y menor, y la sexta como agradables al odo, es decir, tambin las consideraba consonantes.

A partir de entonces inici una trayectoria intelectual en la que msica y astronoma parecen converger como as-pectos que permitan explicar el orden del cosmos. Se pre-guntaba por qu los planetas orbitaban alrededor del Sol en los periodos que se medan, y cul era la lgica que asignaba las distancias al Sol y sus velocidades respecto de la lumi-naria mayor o de la Tierra. Kepler lleg a considerar, como mu chos otros antes que l, que los planetas al moverse en

el aire produciran un sonido, al igual que lo hacan las cuer-das de un instrumento musical al ser movidas por el vien-to, y este sonido sera armonioso. Su propuesta, sin embargo, rompa en parte con la ortodoxia: sus armonas eran reales pero no se concretaban en sonido alguno. Previo a Kepler la msica antigua y la medieval se poda catalogar de dos ma-neras: como metafsica, casi meramente un tema o tropo li-terario, o como msica audible, aunque slo lo fuera para una cohorte de espritus selectos.

A partir de 1599, Kepler consider la posibilidad de que las velocidades de los seis planetas se podran relacionar en tre s de la misma manera que si estas velocidades se tra dujeran en longitudes de cuerdas de un instrumento mu-si cal. As, una relacin de 3:4 entre las celeridades de Sa-tur no y Jpiter, al ser tomadas como dos longitudes de cuer-da, producira el intervalo de cuarta. Siguiendo el orden de los planetas encontr que al intervalo entre Jpiter y Mar-te le correspondera 4:8 (1:2), al que separa a Marte de la Tie rra le tocara 8:10 (4:5), y el de la Tierra a Venus sera de 10:12 (5:6), y de Venus a Mercurio de 12:16 (3:4).

Al traducir estas razones o proporciones a intervalos musicales construy un acorde compuesto de intervalos de una cuarta, una octava, una tercia mayor, una tercia menor y otra cuarta. No tard en darse cuenta de que el guiarse por las velocidades le haba llevado a definir intervalos musica-les que tambin se aproximaban a los intervalos espaciales entre los planetas segn lo estableca su teora polidrica. Y

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al comparar estos valores con los que aportaba la tesis co-pernicana result que su teora armnica aportaba una me-jor concordancia que la de la teora polidrica. Kepler re-suma esto diciendo que su teora armnica le permita obtener las distancias relativas de los planetas al Sol, mien-tras que la polidrica le proporcionaba la anchura de los es-pacios vacos entre las esferas en que orbitaban los planetas.

Poco ms adelante se instal en Praga para trabajar con Tycho Brahe, poseedor de las observaciones ms exactas de posiciones planetarias logradas a lo largo de la historia. El sumar las pilas de datos astronmicos de Brahe a sus ha-bilidades matemticas llev a Kepler a descubrir que su fe pitagrica le haba impedido darse cuenta de que la rbita de Marte no era circular sino elptica, y gracias a este des-tello de fantasa todo pareci adquirir sentido y ocupar su lugar en un orden jams imaginado previamente.

Amparado en las observaciones tychnicas estableci los cambios en la velocidad del planeta Marte conforme se aleja o se acerca al Sol en su movimiento orbital. Todo esto se ajustaba a su Astronoma Nova de 1609, donde ade-ms de la crnica de su guerra con Marte pre sent las dos primeras leyes de movimiento planetario que llevan su nom bre y que nos dicen, primero, que todo pla neta se mue ve en una rbita elptica en la que el Sol ocu pa un foco, y luego que la lnea imaginaria que lo une con cualquier planeta barre reas iguales en tiempos igua les con for me re co rre su trayectoria (figura arriba). Este libro le apor ta ra a Kepler fama imperecedera, pero faltaba una cosa ms, la que le llevara a apuntalar su imagen de ser el des cu bri-dor de las leyes de movimiento de todo cuerpo orbi tando al rede dor de otro ms masivo. El libro que incluy este re sultado tardara ms de 17 aos en tomar forma, y cuan-do lo hizo, su mismo nombre Harmonices mun di li-bri V enmarc las virtudes armnicas que hi-la ban su poesa del mundo.

Para 1618 ya dominaba el contenido de la Harmonica de Ptolomeo, mismo que di-fera de la teora musical pitagrica. Kepler compa r ambas para determinar cul se ajus-taba me jor a los datos que le haba dejado Tycho Brahe. Ambas escalas pecaban por suponer a la Tierra en el centro del cosmos, pero la pitagrica le pa re ca ms elegante y rica en misterios por-que al pare cer tomaba ms en cuenta los movi-mientos planetarios. Con todo, no dejaba de reco-nocerle m ri tos a la escala de Ptolomeo, pues sta supona la existen cia de una especie de axioma di-

vino que determinaba el nmero y las dimensiones de las esferas.

Pero antes de decidir cul sera la forma apropiada de la armona de los cielos, y las proporciones que la determi-naban, tena que identificar los intervalos que a su parecer eran agradables al odo humano. Despus de arduas jor-nadas de trabajo y estudio diferenci varios tipos de inter-valos: las octavas, cuartas, quintas, tercias y sextas, a las que lla maba consonantia (producan una sensacin placentera, de armona, al sonar simultneamente dos notas). Tam-bin estaban varios intervalos, a los que llamaba consigna, que producan un efecto agradable al sonar uno despus del otro en una meloda, no as cuando sonaban simultneamen-

te. Estos comprendan el tono mayor y el tono menor, y dos ms que eran ms pequeos. Por ltimo es-taban los tres pequeos intervalos a los que Kepler calific como consinna dudosas y que bajo nin-gu na circunstancia producan efectos sonoros agra dables.

Kepler combin estos intervalos para formar dos tipos de escalas: una de ellas inclua una ter-cia mayor y una sexta, y recibi el nombre de du-rus dura, mientras que la otra, con una tercia menor y una sexta, sera la escala mollis suave. No se necesita tener un odo muy entrena do para darse cuenta de las diferencias entre am bas esca-las: la durus transmita una sensacin de alegra mientras que la mollis lo haca de tristeza. Esto

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me tros de las rbitas elpticas es poco menor que el dime-tro mayor.

sta es la ahora conocida y celebrada tercera ley de Ke-pler, misma que usualmente se presenta diciendo que la proporcin entre los cuadrados de los periodos de dos pla-netas movindose alrededor del Sol es igual a la proporcin entre sus distancias medias al Sol elevadas al cubo. En el momento de la publicacin del Harmonicis, esta relacin no pareca ocupar el lugar destacado que ahora le atribu-yen la ciencia y sus historiadores. A Kepler en ese momen-to pareca servirle ms como un eslabn en la cadena de ar gumentos que le permita creer haber entendido parte de la complejidad del sistema creado por Dios.

La ruta que sigui para confirmar su fe en un cosmos armnico se puede visualizar como un sinnmero de ver-tientes que, unindose aqu y all, configuran un patrn or denado. Pero para discernir su estructura haba que recu-rrir a la razn y a observaciones muy cuidadosas, y para darnos cuenta de la belleza de sus razonamientos resumir una parte de una serie de resultados e inferencias que con-firmaban la existencia de un ordenamiento armnico de cosmos.

permita explicar que las proporciones matemticas, dis-puestas segn un cierto orden, al ser traducidas para tocar un ins trumento produciran el placer auditivo que la mera contemplacin de las proporciones no lograra imponer en la mente humana. Pero si como lo relata en el Libro V, Ca- p tu lo 9, de su Harmonicis mundi, estas relaciones mate m-ti cas eran interpretadas como el registro de las cam bian tes distancias y velocidades de los planetas, entonces la m-si ca as producida sera tan armoniosa como podra ser lo cual quier cosa que se quedara apenas corta de la perfec-cin (figura en esta pgina).

Siguiendo patrones de pensamiento un tanto com pli-ca dos para nuestras formas de discurrir, Kepler lleg a va-rios resultados que describan los comportamientos pla-netarios, muchos de ellos alcanzados realizando pequeos ajus tes. Entre ellos plante uno que le permita derivar va-lores para las excentricidades de las rbitas, que daban cuen-

ta de las distancias al Sol en los afelios y los perihelios. No result tarea fcil y fue producto de una serie de clculos y agudas elucubraciones elaboradas durante varios aos. De sus propias palabra leemos, en el Captulo IV del Libro V de Harmonicis mundi que: tan fuerte era la evidencia es-tablecida mediante mi trabajo de 17 aos sobre las ob ser-va ciones de Brahe [] que conspirando en una sola direc-cin me hicieron pensar al inicio que estaba soando, y que haba incluido la conclusin [sin darme cuenta] entre las premisas iniciales. Pero es absolutamente cierto y exacto que la proporcin entre los tiempos peridicos de cualesquiera dos planetas es precisamente la proporcin sesquialtera de sus

distancias medias, esto es, del [dimetro de un crculo igual en longitud al de la rbita elptica] de las esferas reales, y con esto en mente, que la media aritmtica entre los dos di-

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Al asignar notas musicales a cada planeta en su afelio y en su perihelio encontr que para Saturno (el planeta ms distante), que le corresponda la nota ms baja, en el afelio produca una escala durus, una escala mayor, mientras que en el perihelio el resultado era una mollis, una escala me-nor. Esto significaba que el movimiento de Saturno inclua las dos escalas. Al repetir este ejercicio con los dems pla-netas encontr que juntos producan los diferentes mo-dos mu si cales de la msica antigua y de la litrgica, y que confor me aumentaba el nmero de planetas produciendo es ca las en armona el evento era ms raro. En lo que res-pecta a la ar mona entre seis planetas, es decir, la to ta li dad de ellos, el acorde sera tan grande que abarcara ms de sie-te octavas, y esto podra ocurrir, si acaso, slo una vez en la historia, y posiblemente se dio en el mo men to de la Crea-cin. Al pensar as, Kepler conjuraba las pala bras que, se-gn la Biblia, el Creador le dirigi a Job: Dn de estabas en el momento en que se colocaron los cimientos de la Tie rra [] mientras las estrellas matutinas cantaban al unso no?.

Mirado desde la perspectiva que nos da el paso del tiem-po, podemos entrever las motivaciones teolgicas y las im-posiciones ideolgicas a las que su tiempo sujetaba a Kepler, los ajustes que deba realizar en las observaciones de los astrnomos del pasado y en las recogidas por Brahe, las in-terpretaciones del legado pitagrico-platnico y las oportu-nidades que la novedosa polifona medieval le ofrecan, un conjunto de pautas que le guiaron para extraer de este la-berinto de especulaciones la idea de una ley armnica que ligara los movimientos de los planetas por medio de una re lacin entre periodos y dimetros orbitales.

Consciente del umbral que haba atravesado nos dice K. Ferguson en su maravilloso libro, Kepler cay de ro di-llas mientras exclamaba mi Dios, siguindote es que he lle-ga do a pensar tus propios pensamientos. Lo maravilloso del cosmos haba sido con templado y a la vez escuchado por Kepler, y slo le quedaba dormir, arrullado por la ar mo na planetaria y con la ca lidez de esa maravillosa droga li ba da directo [] de la copa de Pitgoras.

THE MUSIC OF THE SPHERES: TRADITION AND KEPLERS ASTRONOMICAL AND MUSICAL CANON

Palabras clave: Armona, astronoma, proporcin, Pitgoras, Kepler, msica de las esferas.

Key words: Harmony, astronomy, proportion, Pythagoras, Kepler, music of the spheres.

Resumen: en nuestros das la nocin de armona de las esferas es solo un mito, algo que aparece en la literatura y en la historia de las ideas. Sin embargo, no siempre fue as. Durante siglos, filsofos, astrnomos y tericos de la msica lo tomaron como parte de la constitucin del cosmos. Desde Pitgoras, muchos creyeron que Dios, al crear al mundo, lo hizo siguiendo patrones numricos esbozados en la cosmogona pitagrica. Kepler, con sus leyes del movimiento planetario, representara el ltimo gran intento de construir un argumento racional, basado en la geometra y las nuevas teoras musicales, de fortalecer la antigua tradicin de la armona csmica.

Abstract: in modern times the notion of harmony of the spheres is nothing more than a myth, something that appears in literature and in the history of ideas. However, it was not always so. For centuries, philosophers, astronomers, and music theorists took it as part of the structure of the cosmos. Since the time of Pythagoras, many believed that God created the world following numerical patterns outlined in Pythagorean cosmogony. Kepler, with his laws of planetary motion, would represent the last great attempt to build a rational argument, based on geometry and the new musical theories, to support the ancient tradition of cosmic harmony.

J. Rafael Martnez E. Obtuvo la licenciatura en fsica en la Facultad de Ciencias, UNAM, y el Master in Philosophy por The Open University, Inglaterra. Es profesor de tiem-po completo de la Facultad de Ciencias, UNAM; ha realizado estancias en Italia, Francia y Espaa. Sus reas de inters son la historia de las matemticas, la filosofa natural y las relaciones entre las ciencias y las artes, desde la antigedad hasta el renacimiento.

Recibido el 23 de agosto de 2010, aceptado el 01 de septiembre de 2010.

Kepler, Johannes. The Harmony of the World. Trad. al ingls de Aiton, Duncan y Field. The Am. Phil. Soc., 1997.

IMGENESP. 4: Stencil, Ciudad de Mxico, 2008: P. 5: Graffiti, Ciu dad de Mxico, Pp. 6-8: Ar te Urbano en la Red, Pp. 9-10: Ciudad de Mxico; P. 14: Csar Carrillo T., Berln, 2006; Pp. 11-15: Arte Urbano en la Red.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICASGodwin, Joscelyn. 1993. The Harmony of the Spheres. A Sourcebook of the Pythagorean Tradition in Music. In-ner Traditions Int., Rochester.

Ferguson, Kitty. 2008. The Music of Pythagoras. Walk er & Co., Nueva York.

Kepler, Johannes. The Secret of the Universe. Trad. al in gls de A. M. Duncan. Abaris Books, Nueva York, 1981.

J. Rafael Martnez E.

Facultad de Ciencias,Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

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