PROBABILIDAD

Experimento aleatorio Es el proceso por medio del cual se obtiene una observacin .Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo representamos con la letra S.Eventos son subconjuntos del espacio muestral. Un evento puede incluir al espacio muestral completo (evento seguro), o puede no contener ningn punto muestral en cuyo caso decimos que es el conjunto vaco (evento imposible)

Ejemplos:: Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. : Extraer tres bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y dos negras. S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

OPERACIONES CON EVENTOS

El complemento de un evento A, ocurre cuando no ocurre A. La unin de dos eventos, A y B, ocurre cuando ocurre A, cuando ocurre B o cuando ocurren ambos.

La interseccin de dos eventos A y B ocurre cuando ocurren ambos eventos al mismo tiempo. A Y B SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES O DISJUNTOS

Tenemos una urna con nueve bolillas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento que consiste en sacar una bolilla de la urna, anotar el nmero que sale y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos:A = "sale un nmero primo" B = "sale un nmero cuadrado". a) Definir el espacio muestralb) Cules son los elementos de los eventos A y B?c) Calcular los sucesos A B y A B. d) Los sucesos A y B, son mutuamente excluyentes? Justifique e) Encontrar los sucesos complementarios de A y B. EJERCICIO

Definicin clsica o a prioriPROBABILIDADSi todos los resultados de un espacio muestral S son igualmente posibles, y A es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad del evento A es:

Definicin frecuencialSi A es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces

Definicin axiomticaSean S cualquier espacio muestral y A cualquier evento de ste. Se llama funcin de probabilidad sobre el espacio muestral S al nmero P(A), si satisface los siguientes axiomas (o propiedades): 1-2-3-Sientonces

Consecuencias de los axiomasLa probabilidad del evento imposible es 0: Cualquier evento del espacio muestral tiene una probabilidad entre 0 y 1.La probabilidad del complemento de A se calcula como 1 menos la probabilidad de A

En cada uno de los siguientes casos indique si se utiliza la definicin clsica o frecuencial de probabilidad:

a) Se form un comit de 7 estudiantes para hacer estudios ambientales, cul es la probabilidad de que uno de los 7 sea elegido vocero?

b) El retraso del mnibus que lo lleva al trabajo es mayor de 10 minutos

La probabilidad de que ocurra un terremoto en Mendoza en los prximos 10 aos es 0,8.EJERCICIO

REGLA DE LA ADICIN Sea S un espacio muestral que contiene a los dos eventos A y B Sea S un espacio muestral que contiene a los tres eventos A , B y CP(A B C) = P(A)+ P(B)+ P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(ABC)

Los alumnos de primero de Matemtica tienen que realizar dos pruebas, una terica y otra prctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte terica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte prctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

Son mutuamente excluyentes los eventos aprobar la parte terica y la parte prctica?Cul es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exmenes?Cul es la probabilidad de que un alumno apruebe a lo sumo uno de los dos exmenes?Cul es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exmenes?EJERCICIO

PROBABILIDAD CONDICIONAL

En la encuesta de opinin acerca de instalar un comedor escolar

Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada est a favor,dado que es hombre?

b) Cul es la probabilidad de que la persona no est a favor, dado que es hombre? EJERCICIO

A FAVOREN CONTRATOTALHOMBRES602080MUJERES403070TOTAL10050150

EJERCICIO

Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana 3 automviles con problemas elctricos, 8 con problemas mecnicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa.

Elaborar una tabla de contingencia con estos datos.

Elaborar una tabla de porcentajes totales

Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.

Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos.

Calcula la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana.

REGLA DE LA MULTIPLICACIN

P(A B) = P(A) . P(B/A)

P(A B) = P(B) . P(A/B)P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) en este orden

EJERCICIO

Una agencia de viajes tiene un telfono computarizado que selecciona de manera aleatoria nmeros telefnicos para anunciar excursiones grupales. El telfono marca el nmero seleccionado y reproduce un mensaje grabado. La experiencia ha mostrado que el 5% de los receptores muestran inters y se ponen en contacto con la agencia. Sin embargo, de ellos, un 22% realmente aceptan comprar la excursin.

Enuncie los eventos.

Encuentre la probabilidad de que una persona compre la excursin sabiendoque se ha puesto en contacto con la agencia

Encuentre la probabilidad de que una persona receptora haga contacto con laagencia y compre la excursin.

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro.

Se lanza una moneda legal dos veces. Los eventos son "cara en el primer lanzamiento" y "cara en el segundo lanzamiento"EJEMPLOS

S = { (C,C), (C,S), (S,C), (S,S)} P[(C,C)] = P (Cara en el primer lanzamiento) =

P (Cara en el segundo lanzamiento) =

P[C C)] = P(C) . P(C) (Son independientes)

Ttulo universitario y empleo Si son independientes se debe cumplir : P (T U) = P(T). P(U)

Tiene trabajo (T)Tiene ttulo universitario (U)SNoTotalS75175250No225525750Total3007001000

EJERCICIO

Dado que los eventos A y B son mutuamente excluyentes y que P(A) = 0,4 P(B) = 0,3 encuentre: P( A B) = P( A B) = P( A/B) =Son independientes A y B? Explique su respuesta

Dado que los eventos A y B son independientes y que P(A) = 0,2 P(B) = 0,7 encuentre:

P( A B) = P( A B) = P( A/B) =Son mutuamente excluyentes A y B? Explique su respuesta

EJERCICIO

Una agencia de viajes tiene un telfono computarizado que selecciona de manera aleatoria nmeros telefnicos para anunciar excursiones grupales. El telfono marca el nmero seleccionado y reproduce un mensaje grabado. La experiencia ha mostrado que el 5% de los receptores muestran inters y se ponen en contacto con la agencia. Sin embargo, de ellos, un 22% realmente aceptan comprar la excursin.

Enuncie los eventos.

Encuentre la probabilidad de que una persona compre la excursin sabiendoque se ha puesto en contacto con la agencia

Encuentre la probabilidad de que una persona receptora haga contacto con laagencia y compre la excursin.

EJERCICIO

En una muestra de 150 residentes, a cada persona se le pregunt si estaba a favor de tener una sola agencia de polica en el municipio. ste est integrado por una ciudad y muchas poblaciones suburbanas. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla:

Opinin segn residenciaSe quiere saber si los eventos F (a favor) y C (reside en la ciudad) son independientes

Residencia Opinin A favor (F)En contra TotalEn la ciudad (C)8040120Fuera de la ciudad201030Total10050150