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5.1. INTRODUCCIN

El modelo matemtico obtenido en los captulos 2 y 3, permite

analizar la respuesta temporal del sistema de control.

Para obtener una base de comparacin del desempeo de diversos

sistemas, se usan entradas de prueba particulares que aplicadas a

distintos sistemas, permiten comparar las respuestas obtenidas.

Esta comparacin se realiza a partir de ciertas caractersticas de las

respuestas; estas caractersticas tambin sirven para definir loscomportamientos deseados de los sistemas de control.

Sin embargo, no se puede especificar este comportamiento sin

considerar los compromisos que existen entre las caractersticas.

GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL 2


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5.1. INTRODUCCIN

En este captulo se presentan las respuestas de los sistemas a las

seales aperidicas impulso, escaln, rampa y parbola. Se

consideran las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden,

el efecto de polos o ceros adicionales, tanto para sistemas anlogos

como discretos.

Se definen caractersticas para estas respuestas como velocidad,

amortiguamiento de la oscilacin, valores mximos y mnimos y

precisin permanente. Tambin se analizarn las limitaciones dedesempeo a tener en cuenta para definir una especificacin

adecuada. Para este anlisis se utiliza la representacin entrada-salida

de los sistemas continuos, discretos y de pulsos; al final del captulo,

se analiza la respuesta temporal de los sistemas representados en

variables de estado, tanto continuos como discretos.



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5.2. SEALES DE PRUEBA

Es de inters conocer la velocidad de respuesta, la precisin y el

grado de estabilidad en la respuesta de los sistemas dinmicos:


Sin embargo, las entradas a los sistemas son muchas veces denaturaleza aleatoria: accin de un operador, variacin de la carga:

uso de agua, datos o energa en una ciudad, arranques o paradas de

motores en industrias, etc.


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5.2. SEALES DE PRUEBA

Los sistemas lineales tienen la propiedad de poder calcular la

derivada o integral de una entrada, derivando o integrando la salida,

luego basta obtener la respuesta a una sola entrada tpica, las otras se

obtienen derivando e integrando esta respuesta.



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5.3. RESPUESTA PERMANENTE CONTINUA

La respuesta temporal de un sistema dinmico estable tiene dos

componentes:

la respuesta permanente alcanzada en el estado final

y la respuesta transitoria que ocurre al pasar del estado inicial al

final estacionario.

Los transitorios estables debidos a las condiciones iniciales estn

definidos or los olos al i ual ue los transitorios de la entrada or


el teorema del valor final, el comportamiento estacionario estardefinido por las ganancias e integraciones del sistema y de la

entrada.

La respuesta permanente de un sistema de control define la precisin

estacionaria con la cual la salida del sistema sigue a la entrada; es

por ello que esta respuesta se caracteriza en trminos del error

permanente alcanzado en el estado estable.


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5.3.1 Error permanente continuo

El error permanente es una medida de la exactitud del sistema para

una entrada en particular; el error actuante debido a las entradas del

sistema de la figura es:


Si sE(s) no tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho:


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El error permanente depende del comportamiento en baja frecuencia

(particularmente las integraciones) de las entradas (escaln, rampa,

parbola), medidaH(s), proceso Gp(s) y GH(s).

H(s) usualmente no tiene integraciones y bien escalada:H(s0) = 1.

Luego los errores permanentes debidos al ruido N(s) y a Ds(s) solo


cam an se s gno con re ac n a error e o a s .

El error permanente debido a De(s), depende de la ganancia e

integraciones en Gp(s).

En el anlisis del transitorio del error y su valor permanente, tambines til calcular la integral asinttica del error IAE:


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5.3.2 Clasificacin del tipo de sistema

Para el anlisis del error permanente se clasifican a los sistemas de

control de acuerdo al nmero de integraciones en GH(s):

ConNpolos en el origen en GH(s) el sistema es de tipo N-simo.


A mayor tipo, mayor capacidad de seguir en rgimen estacionario lasentradas, escaln, rampa, parbola, etc., pero es ms difcil de

estabilizar el lazo cerrado.


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5.3.3 Error permanente continuo debido a entradas escaln

Para una entrada de referencia escaln R(s) = P/s (o de ruido y

disturbio de salida de P/s ) se define como error permanente de

posicin:

Con KP la constante de error de posicin.


Si GH(s) tiene al menos una integracin: KPy essp0.

La integral asinttica del error es:


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Por lo tanto, para entradas escaln de entrada de referencia (o

escalones negativos de ruido y disturbio de salida):

Los sistemas tipo 0 tienen un error de posicin constante:

essp = P/(1+ KP)

Los sistemas tipo 1 o ms, no tienen error de posicin: essp = 0.

Los sistemas ti o 2 o ms tienen inte ral asinttica del error nula.



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Error permanente para un disturbio de entrada escalnDe(s)=P/s:

Luego, para un escaln negativo de disturbio de entrada, se cumple:

Los sistemas tipo 0 tienen un error de posicin constante:

essp = PGp(0) /(1+ KP)


Los sistemas con una integracin o ms en el controlador no tienen

error de posicin: esspd = 0.

Los sistemas con una o ms integraciones en el proceso y sin

integracin en el controlador, tienen un error de posicin constante:

esspd

= P/Gc

(0)H(0)

Los sistemas con dos integraciones o ms en el controlador tienen

una integral asinttica del error nula.


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5.3.4 Error permanente continuo debido a entradas rampa

Para una entrada de referencia rampa R(s) = V/s2 (o de ruido y

disturbio de salida de V/s2 ) se define como error permanente de

velocidad:

Con KVla constante de error de velocidad; GH(s) debe tener al

menos dos inte raciones ara e 0.


La IAE es:

Los sistemas tipo 0 no son capaces de seguir entradas en rampa y

tienen un error de velocidad essv.

Los sistemas tipo 1, tienen un error de velocidad: essv = V/KV.

Los sistemas tipo 2 o ms, no tienen error de velocidad: essv = 0.

Los sistemas tipo 3 o ms, tienen integral asinttica del error nula.


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5.3.4 Error permanente continuo debido a entradas rampa

Error permanente para un disturbio de entrada rampaDe(s)= V/s2 :

Luego, para una rampa negativa de disturbio de entrada, se cumple:

Los sistemas sin integracin en el controlador tienen un error de

velocidad creciente: essv.

Los sistemas con una inte racin en el controlador tienen error de


velocidad constante:

Los sistemas con dos o ms integraciones en el controlador, no

tienen error de velocidad: essv0.

Los sistemas con tres integraciones o ms en el controlador tienen

una integral asinttica del error nula.


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5.3.4 Error permanente continuo debido a entradas parablicas

Para una entrada de referencia parablica R(s) = A/s3 (o de ruido y

disturbio de salida de V/s2 ) se define como error permanente de

aceleracin:

Con KA la constante de error de aceleracin; GH(s) debe tener al

menos 3 inte raciones ara e 0 4 ara ue sea nula la IAE.


Los sistemas tipo 0 o 1 no son capaces de seguir entradas

parablicas y tienen un error de aceleracin: essa.

Los sistemas tipo 2, tienen un error de aceleracin: essa =A/KA.

Los sistemas tipo 3 o ms, no tienen error de aceleracin: essa = 0.

Los sistemas tipo 4 o ms, tienen integral asinttica del error nula.


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5.3.4 Error permanente continuo debido a entradas parablicas

Error permanente para un disturbio de entrada parablico De(s)=

A/s3 :

Luego, para una parbola negativa de disturbio de entrada, se cumple:

Los sistemas sin al menos dos integraciones en el controlador tienen

un error de aceleracin creciente: essa.

Los sistemas con dos integraciones en el controlador tienen error de

aceleracin constante:


Los sistemas con tres o ms integraciones en el controlador, no

tienen error de aceleracin: essa0.

Los sistemas con cuatro integraciones o ms en el controlador

tienen una integral asinttica del error nula.

Se concluye que las integraciones en la planta no afectan los

errores permanentes debidos a disturbios de entrada al proceso.


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En el diseo de un sistema de control se especifican las constantes de

error de acuerdo al funcionamiento deseado en rgimen permanente,

cumpliendo el compromiso de funcionamiento adecuado en rgimen

transitorio.

Ejemplo

Anlisis del error ermanente ara ara el sistema de control de la


excitacin con controladores :

P: Gc(s) = kp=100 y

PI: Gc(s) = kp(s+1/Ti)/s , kp=100, Ti =G =5


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Control P: Tipo 0

Constantes de error y errores estacionarios:

Control PI: Tipo 1


Constantes de error y errores estacionarios:

essp baja del 1% a cero al adicionar la integracin con el control PI;

con este controlador, el error permanente de velocidad essv se puede

mermar con una ganancia proporcional kp mayor.

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