Ejemplo:

Utilizando el método de separación de variables para obtener la solución de la ecuación diferencial parcial

Que satisfaga la condición de frontera considerar una constante de separación positiva

Resolución:

Considerando

Realizando las derivadas parciales

Sustituyendo la ecuación diferencial parcial

Igualando a la constante de separación positiva

Para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, se procede de la siguiente manera

Desarrollando

De igual manera para la otra función

Aplicando exponencial a ambos lados

En condiciones se tiene

Como no es posible establecer la igualdad, se procederá a usar superposición

Usando nuevamente condiciones de frontera

Donde:

Por último la solución de la ecuación diferencial parcial en C.F. es:

Ejemplo:

Determinar la solución de la ecuación diferencial parcial

sujeta a las condiciones de frontera .

Resolución

En la resolución de este ejercicio se procederá por el método de separación de variables. En esteproblema no se conoce la constante de separación por lo que, el desarrollo a seguir definirá lasolución en términos de dicha constante y después la condición de frontera llevará a la solución quesatisfaga a la ecuación diferencial parcial. Según el método descrito anteriormente

= realizando las derivadas parciales, se tiene

sustituyendo en la ecuación diferencial parcial

realizando la separación de variables

igualando con la constante de separación

entonces

se procede a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias

resolviendo para se tiene

integrando

entonces

Por otro lado

donde

se puede escribir en términos del operador diferencial como

donde el operador diferencial es

el polinomio característico es

resolviendo la ecuación de segundo grado

por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria, según las raíces es

Realizando la multiplicación para obtener la función completa

sustituyendo condiciones

considerando la igualdad

el resultado anterior se puede escribir como

desarrollando para encontrar el valor de

sustituyendo en (2)

simplificando

igualando

con en sustituyendo , se tiene la solución de la ecuación diferencial parcial con condiciones de frontera