1er.parcial 27-05-11 Turno Noche[1]

7/25/2019 1er.parcial 27-05-11 Turno Noche[1]

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FI -UNLZAnlisis Matemtico I 1er. Parcial 27-05-11

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TEMA 1

Apellido y Nombres:______________________________ D.N.I.:__________________

1 - Realice el estudio completo y un grfico aproximado de la funcin:

2

x + 5(x) 1

(x 1)f =

2 - Dados A = (0 ; 6) y B = (2 ; 2) encuentre de modo tal[ ]x 1;2 que la sumade la distancia entre el punto A y el punto P y la distancia

entre el punto B y el punto P sea mnima; sabiendo que P = (x ; 0).

3 - Dada definida por::f

2

2

x 1

x . sen(x 3x+2)si x >1

(x) e 1

.x 3 si x 1

f

k

+

= +

calcule los valores de k para los cualesf es continua en x = 1.4 - Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva:

3

3

y

ln(y 2x+1)+ 82x 1 = en el punto (1 ; 2).

5 - Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,justificando su respuesta:

a ) La funcin (x) x 3 2f = + verifica la hiptesis del Teorema de

Rolle en el intervalo [ ]2;4 .b ) Sea f una funcin dos veces derivable en x = 1. Si 'f tiene

en ese puntoun mximo relativo, entonces (1 ; f(1) ) es un puntode inflexin de f.

Puntajes:

N 5Ejercicio N 1 N 2 N 3 N 4

a bTotal

Puntajemximo

3 2,50 1,50 1,50 0,75 0,75 10 (diez)

Puntaje

obtenido


2/10


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TEMA 2



2

2x 1(x) 1

(x 2)f

=

2 - Dados M = (0 ; 4) y P = (2 ; 2) encuentre de modo tal[ ]x 0;2 que la sumade la distancia entre el punto M y el punto S y la distancia entre el punto P y el punto S sea mnima; sabiendo que S = (x ; 0).


2

2

x 16

x . sen(x 3x 4)si x > 4

(x) 1 e

x s

f

k

=

i x 4 +

calcule los valores de k para los cuales f es continua en x = 4.4 - Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva:

2

5 yarctg(y 3x)+ 93x 2 = en el punto (1 ; 3).


a ) La funcin (x) x 1 3f = + no verifica la hiptesis del Teorema

de Lagrange en el intervalo [ ]0;4 .b ) Sea f una funcin dos veces derivable en x = 4. Si 'f tiene

en ese puntoun mnimo relativo, entonces (4 ; f(4) ) es un punto

crtico de ' 'f .

Puntajes:


a bTotal

Puntajemximo

3 2,50 1,50 1,50 0,75 0,75 10 (diez)

Puntaje

obtenido


3/10


_____________________________________________________________________________

TEMA 3



2

3x 4(x) 1

(x+2)f

+=

2 - Dados S = (0 ; 2) y L = (2 ; 6) encuentre de modo tal[ ]x 0;2 que la sumade la distancia entre el punto S y el punto B y la distancia

entre el punto L y el punto B sea mnima; sabiendo que B = (x ; 0).


2

2

x 9

x . sen(x 2x 3)si x >3

(x) e 1

2x si x 3

f

k

+

= +


5

3 y arctg(3y x) 12x 5 = en el punto (3 ; 1).


a ) La funcin (x) x 4 1f = + verifica la hiptesis del Teorema de

Rolle en el intervalo [ ]3;5 .b ) Sea f una funcin dos veces derivable en x = 3. Si 'f tiene

en ese puntoun mximo relativo, entonces (3 ; f(3) ) no es un

punto de inflexin de f.

Puntajes:


a bTotal

Puntajemximo

3 2,50 1,50 1,50 0,75 0,75 10 (diez)

Puntaje

obtenido


4/10


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TEMA 4



2

1 x(x) 1

(x +1)f

=

2 - Dados C = (0 ; 2) y B = (2 ; 4) encuentre de modo tal[ ]x 1;2 que la sumade la distancia entre el punto C y el punto N y la distancia entre el punto B y el punto N sea mnima; sabiendo que N = (x ; 0).


2

2

x 4

x . sen(x x 2)si x > 2

(x) 1 e

.x 1 si x 2

f

k

=


4

5 y ln(2y x+1) 12x 3 = en el punto (2 ; 1).


a ) La funcin (x) x+1 3f = verifica la hiptesis del Teorema

de Lagrange en el intervalo [ ]1;3 .b ) Sea f una funcin dos veces derivable en x = 4. Si 'f tiene

en ese puntoun mnimo relativo, entonces (4 ; f(4) ) no es un

punto crtico de ' 'f .

Puntajes:


a bTotal

Puntajemximo

3 2,50 1,50 1,50 0,75 0,75 10 (diez)

Puntaje

obtenido


5/10


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RESPUESTAS

TEMA 1

1

( ) ( )25

Dom ; 1 1 ; Im ;24

f f

= + =

( ) ( ){ }eje x 1 ; 0 , 4 ; 0= ( ){ }eje y 0 ; 4= 25

11; es un mximorelativode f .24

( ) ( )f crece en ; 11 1 ; . +

( )f decrece en 11 ; 1 . 28

17 ; es un punto de inflexin de f .27

( )f es cncava en ; 17 .

( ) ( )f es convexa en 17 ; 1 1 ; . + Asntotasx = 1 es A. V. de fy = 1 es A. H. de ff no tiene A. O.Grfico

- 30 - 20 - 10 10 20

- 2. 5

- 2

- 1. 5

- 1

- 0. 5

0. 5

1

2 -3

x2

=


6/10


_____________________________________________________________________________

3 -5

k2

=

4 -22 56y x39 39

= +

5 - a ) F.

b ) V.

TEMA 2

1

( ) ( )4

Dom ; 2 2 ; Im ;3

f f

= + =

( ) ({ )}eje x 5 ; 0 , 1 ; 0= 5

eje y 0 ;

4

=

41; es un mximorelativode f .

3

( ) ( )f crece en ; 1 2 ; . +

( )f decrece en 1 ; 2 . 5 35

; es un punto de inflexin de f .2 27

5f es cncava en ; .

2

( )5

f es convexa en ; 2 2 ; .2

+

Asntotasx = 2 es A. V. de fy = 1 es A. H. de ff no tiene A. O.


7/10


_____________________________________________________________________________

Grfico

- 30 - 20 - 10 10 20

- 0. 5

0. 5

1

1. 5

2

2 -4

x3

=

3 -3

k2

=

4 -42 63

y x35 35= +

5 - a ) V.

b ) V.____________________________________________________________TEMA 3

1

( ) ( )1

Dom ; 2 2 ; Im ;8

f f

= + =

( ) ( ){ }eje x 1 ; 0 , 0 ; 0= ( ){ }eje y 0 ; 0= 2 1

; es un mximorelativode f .3 8

2f crece en 2 ; .

3

( )2

f decrece en ; 2 ; .3

+


8/10


_____________________________________________________________________________

( )0 ; 0 es un punto de inflexinde f .

( )f es cncava en 0 ; .+

( ) ( )f es convexa en ; 2 2 ; 0 .

Asntotasx = 2 es A. V. de fy = 1 es A. H. de ff no tiene A. O.

Grfico

- 30 - 20 - 10 10 20

- 2

- 1. 5

- 1

- 0. 5

0. 5

2 -1

x2

=

3 - k 8=

4 -

1 3y x6 2= +

5 - a ) F.

b ) F.

TEMA 4

1


9/10


_____________________________________________________________________________

( ) ( )9

Dom ; 1 1 ; Im ;8

f f

= + = +

( ) ( ){ }eje x 3 ; 0 , 0 ; 0= ( ){ }eje y 0 ; 0= 9

3 ; es un mnimorelativode f .8

( ) ( )f crece en ; 1 3 ; . +

( )f decrece en 1 ; 3 . 10

5 ; es un punto de inflexinde f .9

( ) ( )f es cncava en ; 1 1 ; 5 .

( )f es convexa en 5 ; .+ Asntotasx = 1 es A. V. de fy = 1 es A. H. de f

f no tiene A. O.

Grfico

- 30 - 20 - 10 10 20

- 3

- 2

- 1

1


10/10


_____________________________________________________________________________

2 -2

x3

=

1k

4=3 -

3 8y x

10 5= + 4 -

5 - a ) V.

b ) F.

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