1.4 Serie Exponencial de Fourier
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___ _ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G. 12 1.4 SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER Sea el conjunto de funciones: t jn n e t 0 ) ( ω φ = Donde n es un entero y los distintos valores de n se denominan número armónico (n= 0, ± 1, ± 2, ± 3,…). 0 ω es una constante a determinar. El conjunto se dice ortogonal en el intervalo (t1, t2) cuando: 1 2 0 2 t t − = π ω Luego se busca expresar una ) (t f en términos de un conjunto finito de exponenciales complejos de la forma: ) (t f = ∑ ∞ −∞ = n t jn n e F 0 ω ) ( 2 1 t t t < < Donde los n F deben determinarse, y se definen como: ∫ − − = 2 1 1 2 0 ) ( ) ( 1 t t t jn n dt e t f t t F ω Esta ecuación se conoce como representación en serie de Fourier exponencial de ) (t f y representa a ) (t f con energía finita por medio de una combinación lineal de funciones exponenciales complejas en un intervalo (t1, t2).
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Serie Exponencial de Fourier
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___ _ Apuntes de Teora de las Comunicaciones, Cristin Pesce G.
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1.4 SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER
Sea el conjunto de funciones:
tjnn et 0)(
=
Donde n es un entero y los distintos valores de n se denominan nmero armnico
(n= 0, 1, 2, 3,). 0 es una constante a determinar. El conjunto se dice ortogonal en el intervalo (t1, t2) cuando:
120
2tt =
Luego se busca expresar una )(tf en trminos de un conjunto finito de
exponenciales complejos de la forma:
)(tf = =n tjnneF 0 )( 21 ttt
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Ejemplo: (Stremler pg. 25)
Para la )(tf de ejemplo anterior, escriba la serie de Fourier exponencial.
Solucin:
=== 22
122
0 tt
dtetfF tjnn= 2
0
)(21
= dtedte tjntjn 21
1
0 21
21
= [ ] [ ] jnjnnjjn ejneeejn =++ 1112 1 2
=
0/2 jn
Fn parnimparn==
)(tf = =n
tjnneF 0
+++= ...51
31....
51
312)( 5353 tjtjtjtjtjtj eeeeee
jtf
SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER
Esta serie es la ms comnmente usada en seales y consiste en que cualquier
funcin peridica se puede escribir mediante un trmino constante ms una serie
finita de trminos senoidales y cosenoidales de frecuencia n , donde n es un entero. As las funciones peridicas pueden ser descompuestas en la suma de:
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Un trmino constante que ser la componente continua. Un trmino sinusoidal llamado componente fundamental, que ser de la
misma frecuencia que la funcin que se analiza.
Una serie de trminos sinusoidales llamados componentes armnicos, cuyas frecuencias son mltiplos de la fundamental.
Continuando del tema anterior, de la identidad trigonomtrica:
)()cos( 000 tsenjtetj +=
Se sustituye en la expresin de la serie exponencial, obteniendo la serie
trigonomtrica de Fourier, utilizada para funciones reales, definida como:
( )=
++=1
000 ()cos()(n
nn tnsenbtnaatf Donde las constantes nn baa ,,0 se determinan mediante las ecuaciones:
=2
1120 )(
1 t
t
dttftt
a
=2
10
12
)cos()(2t
tn dttntftt
a
=2
10
12
)()(2t
tn dttnsentfttb
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Relacionndola con la serie exponencial se pueden definir los siguientes trminos:
=
+=0
0 )cos()(n
nn tnctf
*22 2 nnnnn GGbac =+= 0n si n=0 000 Gac ==
=
n
nn a
b1tan
En relacin a la potencia, asumiendo una resistencia de 1 ohm, los dominios del
tiempo y de la frecuencia se relacionan a travs del Teorema de Parseval para
seales peridicas, definido por:
=
==n
n
T
T
GdttfT
P 22/
2/
2)(1
El cual expresa que la potencia media de una funcin del tiempo es igual a la
suma de los coeficientes de Fourier.
Los coeficientes de Fourier permite estudiar el espectro en frecuencia de la
funcin )(tf a travs del grafico Cn versus n, el que consiste en un grafico de
lneas discretas espaciadas por 1 / T [Hz]
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Ejemplo
Determinar el desarrollo trigonomtrico en serie de Fourier para la onda cuadrada
de la figura, y dibujar su espectro.
Solucin:
El valor medio de la onda es cero, por lo tanto a0 = 0. Los coeficientes de los
trminos en coseno se obtienen integrando como sigue:
( )n todopara 011
1
2
0
2
0
=
=
=
+=
tSenn
ntSenn
nV
tdtCosnVtdtVCosnan
Por tanto, la serie no contiene trminos en coseno. Realizando la integral
para los trminos en seno:
( )
( ) ( )
CosnnVCosnCosnCosCosn
nV
tCosnn
tCosnn
V
tdtSennVtdtVSennbn
=++=
=
+
=
=
+=
1220
11
1
2
0
2
0
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Entonces, bn = 4V/( n) para n = 1,3,5,..., y bn = 0 para n = 2,4,6,...Por lo tanto la serie para la onda cuadrada es:
( ) ....5543
344 +++= tSenVtSenVtSenVtf
y el espectro para esta serie ser el que se muestra a continuacin:
Contiene los armnicos impares de los trminos en seno, como pudo anticiparse
del anlisis de la simetra de la onda. Ya que la onda cuadrada dada, es impar, su
desarrollo en serie contiene solo trminos en seno, y como adems tiene simetra
de media onda, slo contiene armnicos impares.
