GeometraVectores en el espacio.-Operaciones con vectores.Expresin analtica de un vector.Producto escalar de dos vectores. Propiedades.Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.Producto mixto de tres vectores. Propiedades.Objetivos Mnimos -Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores. -Vectores linealmente dependientes e independientes. Base de un espacio vectorial tridimensional. Coordenadas de un vector respecto a una base.-Definicin de producto escalar de vectores y su expresin analtica. Aplicaciones del producto escalar de dos vectores: para hallar el ngulo entre ellos para determinar la proyeccin de un vector sobre otro para comprobar perpendicularidad entre ambos.- Definicin de producto vectorial y su expresin analtica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores: para calcular el rea del paralelogramo que determinan. para obtener un vector perpendicular a ambos.- Definicin de producto mixto de tres vectores y su expresin analtica. Aplicacin del producto mixto: paracalcular el volumen del paraleleppedo que determinan.Introduccin.-El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con direccin y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad.Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el clculo con magnitudes vectoriales. Gauss los utiliz para representar los nmeros complejos.En el siglo XIX, Mbius se sirve de los vectores para resolver problemas geomtricos, dndole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton.Finalmente Grassmann ampli la teora de vectores generalizndola a espacios de dimensin(n).Cesreo Rodrguez - 1 -Geometra1. Operaciones con vectores.-Las caractersticas de los vectores en el espacio, as como las operaciones, son idnticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:Un Vector es un segmento orientado. A los puntos Py Q que definen el vector se les llama respectivamente: origen y extremo del vector.Todo vector se caracteriza por:Mdulo: que es la distancia del punto P al Q.Direccin: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).Sentido: para un vector, lo marca eldel recorrido de P a Q.(cada direccin tiene dos sentidos opuestos de recorrido).Dos vectores son iguales sitienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido. Los vectores: PQ y RScumplen las tres condiciones de igualdad, de ah que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a l. Todos ellos son representantes de un nico vector.Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minscula:u(por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orgen y el extremo con una flecha encima: PQ(por ejemplo)PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NMERODado un nmero 0 k y un vectoru definimos el vector

,_

u k [o simplemente u k] como aquel que:*tiene la misma direccin que u.*el mismo sentido que u si 0 > k ysentido contrario al de u si0 < k*su mdulo es igual al de u multiplicado por el valor absoluto de: k.Si 1 k el vector u k se denomina opuesto del vector u, se escribe: uSi 0 k el vector u k es el vector cero: 0 cuyo extremo y orgen coinciden.Cesreo Rodrguez - 2 -GeometraSUMA Y RESTA DEVECTORES.Dados dos vectores u y v cualesquiera. Para poder sumarlos hay que tomar un representante decada uno de ellos con orgen comn(O).En ese caso el vector suma: + v u es la diagonal cuyo orgen es (O). El vector resta: v u es la diagonal que va del extremo deval extremo deu.2. Expresin analtica de un vector.-Dados los vectores del espacio: w t z y x ,......, , , , y los nmeros: l d c b a ,..., , , ,la expresin: + + + + + w l t d z c y b x a ...... se llama combinacin lineal de dichos vectores.En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinacin lineal de los vectores u y v.Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinacin lineal de los restantes.Cuando no es as, se dice que son linealmente independientes.Por ejemplo:*Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).*Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).*Tres vectores coplanarios (estn en el mismo plano) son (LD).As en el ejemplo de ms arriba el vector xes coplanariocon los vectores u y v, es decir, x es combinacin lineal deu y v : + v u x 1 2. Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).Cesreo Rodrguez - 3 -GeometraDados tres vectores no coplanarios z y x , , del espacio tridimensional.En estas condiciones, cualquier otro vector u de ese espacio se puede escribir como combinacin lineal nica de los vectores z y x , ,.Se dice que los vectores z y x , , forman una base del espacio tridimensional.Si los vectores de la base son perpendiculares entre s la base se dice ortogonaly si adems de perpendiculares entre s, tienen todos mdulos uno decimos que la base es ortonormal.A partir de ahora, salvo indicacin en contra, trabajaremos siempre con la base cannica del espacio tridimensional (que es ortonormal).Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como:tres nmeros (a,b,c) que sirvenpara pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo) del vector dado. a las unidades que me he de desplazar sobre la direccin X (hacia adelante si a es positivo y hacia atrs si a es negativo). b las unidades que me he de desplazar sobre la direccin Y(hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo). c las unidades que me he de desplazar sobre la direccin Z(hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo).OPERACIONES CON COORDENADAS.Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. As:Si ( ) ( ) c b a v y c b a u , , , , son las coordenadas respectivas entonces:*( ) c c b b a a v u + + + + , , Coordenadas de la Suma de vectores.*( ) kc kb ka u k , , Coordenadas del Producto de un nmero por un vector.Como consecuencia de estos resultados, ser enormemente til y cmodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas.Cesreo Rodrguez - 4 -Geometra3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.Se define el producto escalar de dos vectores u y v como el nmeroque se obtiene del siguiente modo.

,_

v u v u v u , cos . Si

,_

v u, es agudo,0 , cos >

,_

v u y por tanto: 0 . > v u

Si

,_

v u, es obtuso, 0 , cos