1. Introduccin al clculo integralGustavo Rocha 2006-1

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOSANALOGA

Cada curso

un platillo

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOSEQUIVALENCIAS

INGENIERA MATEMTICAS

MATEMTICAS CON SABOR A INGENIERA

DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS

OTLA VEZ ALOZ!

La juventud prefiere ser estimulada que instruida

Johann Wolfgang Von Goethe

MISIN Y OBJETIVOSMISIN: Habilitar a nuestros alumnos para que sean capaces de hacer ingeniera, para que transformando los elementos de la naturaleza, puedan elevar el nivel de bienestar del ser humano. OBJETIVO TELEOLGICO (FIN): Que los alumnos sean capaces de enfrentar y resolver problemas de esta ndole. OBJETIVO INSTRUMENTAL (MEDIO): Que los alumnos adquieran un vasto dominio de las ciencias bsicas, para aplicar este conocimiento a la solucin de tales problemas.

Uno de los males que caracterizan a nuestro tiempo es la claridad de los medios y la vaguedad de los objetivos. Se debiera tener firmeza en los objetivos y flexibilidad en los medios Albert Einstein

El fin principal de la educacin, no es el conocimiento, sino la accin" Herbert Spencer Filsofo y socilogo ingls

...todo el desorden del mundo viene de los oficios y las profesiones mal o mediocremente servidos: poltico mediocre, educador mediocre, mdico mediocre, sacerdote mediocre, artesano mediocre, esas son nuestras calamidades verdaderas"

GABRIELA MISTRAL

LA DIALCTICA DEL INGENIERO

Analtico Correcto Deductivo Exacto Cientfico Racional Verdadero Terico

Artstico Creativo Imaginativo Oportuno Sistmico Intuitivo til Prctico

LA DIALCTICA DEL INGENIERO Entre lo terico y lo prctico Entre lo verdadero y lo til Entre lo exacto y lo oportuno Entre lo analtico y lo artstico Entre lo cientfico y lo sistmico Entre lo deductivo y lo imaginativo Entre lo racional y lo intuitivo Entre lo correcto y lo creativo

DOS HEMISFERIOSTerico Verdadero Exacto Prctico til Oportuno

AnalticoCientfico Deductivo INGENIERO Racional Correcto

ArtsticoSistmico Imaginativo Intuitivo Creativo

LOCALIZACIN DE LAS CAPACIDADES EN LOS HEMISFERIOS CEREBRALES

Habilidad cientfica

Control de la mano derecha

LGICOMATEMTICA

INTRAPERSONAL

SOCIOEMOCIONAL

E = mcCORPORAL MUSICAL

LINGSTICAHoward Gardner

ESPACIAL

LGICOMATEMTICA

INTRAPERSONAL

SOCIOEMOCIONAL

CORPORAL

MUSICAL

LINGSTICAHoward Gardner

ESPACIAL

... no es posible separar los aspectos cognitivos, emocionales y sociales...

Jean Piaget

En el mejor de los casos, el coeficiente de inteligencia contribuye con alrededor de un 20 por ciento en los factores que determinan el xito en la vida, lo cual deja el 80 por ciento restante a otras fuerzas, fuerzas que se agrupan como inteligencia emocional.

Objetivos de aprendizajePara un estudiante de ingeniera, el aprendizaje del clculo es un medio para aprender a resolver problemas reales, para aprender a ser ingeniero: Adquiriendo destrezas y/o habilidades mentalesLa disciplina que estimula las habilidades del pensamiento. El lenguaje para modelar la solucin de algunos problemas. La fluida manipulacin del herramental matemtico.

Descubriendo por si mismoComprender la naturaleza de las situaciones. Actuando en consecuencia.

CANTIDAD Profundidad CALIDAD Necesaria y Amplitud Suficiente Necesaria y Suficiente

Extensin superficial

Extensin profunda

Es ms fcil desintegrar un tomo que un pre-concepto

Albert Einstein

El problema no es nunca el como obtener pensamientos nuevos e innovadores en tu cabeza, sino como librarte de los viejosDee Hock Fundador de VISA

Los exmenes escolares estn basados en elprincipio de que toda pregunta tiene una respuesta correcta. El enfoque de la respuesta correcta queda enraizada profundamente en nuestro pensamiento. La vida es ambigua; existen muchas respuestas correctas, todo depende de lo que se est buscando. Pero si piensa que solo existe una respuesta correcta, entonces dejar de buscar en cuanto encuentre una

La Revolucin del Aprendizaje Gordon Dryden & Jeannete Vos

De dnde vienen las buenas nuevas ideas? !Eso es sencillo! De las diferencias.

La creatividad viene de yuxtaposiciones improbables.La mejor manera de aprovechar las diferencias es mezclar edades, culturas y disciplinas.Nicholas Negroponte Media lab MIT

... T lo aprenders, pero no de m sino del ro. l fue mi maestro, y ser el tuyo. Todo lo sabe el ro, todo lo puede ensear, todo.

Siddhartha, Hermann Hesse

... El ro est simultneamente por doquier: en su fuente y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en el rpido, en el mar y en la montaa; en todas partes al mismo tiempo y no hay en l la menor partcula de pasado o la ms breve idea de tiempo venidero, sino solamente el presenteSiddhartha, Hermann Hesse

No es que no nos atrevamos porque las cosas son difciles; es que las cosas son difciles porque no nos atrevemos.Sneca De la brevedad de la vida

El peligro ms grande en la vida es no arriesgar nada; la persona que no arriesga, no hace nada, no tiene nada, es nada.Sneca De la brevedad de la vida

Cul es la diferencia entre los trabajadores japoneses y los mexicanos? Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hbil, pero las relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece que esto se deriva de la religin. En esencia, los dos pueblos son iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los cuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperar, mientras que los japoneses vamos a ofrecer. Los sindicatos mexicanos presentan pliego de peticiones y los sindicatos japoneses presentamos pliego de ofrecimientos, !Pequea gran diferencia!

CARLOS KASUGA OSAKA Director General de Yakult, S. A. de C. V.

Hacer pensar a los dems en vez de pensar por ellos es funcin trascendental de un buen formador". Horst Wein Profesor alemn

La funcin de un verdadero maestro es hacer que entre en accin la inteligencia del alumno

Jiddu Krishnamurti

El cultivo de la inteligenciaSin cultivar la inteligencia, aprender una tcnica e impartir esa tcnica es absolutamente vano. No es aprendiendo tcnicas que hemos de ser ingenieros, ingeniosos y creativos. Las tcnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por alto la capacidad de descubrir por nosotros mismos.

Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, por qu nada encontramos directamente?La tcnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no debamos tener una tcnica).

La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para todo aquel que consagre su mente y su corazn en la plena investigacin del problema.El cultivo de la inteligencia le ayudar al alumno a habrselas con los problemas de la vida.

Educando al educadorEl alumno requiere de gua, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es incapaz y estrecho, es lgico que su producto sea lo que l es. El maestro necesita mucho ms que el alumno que se le eduque. La educacin slo puede ser transformada educando al educador. Y educar al maestro es mucho ms difcil que educar al joven, porque el maestro ya est formado, esttico y condicionado. Si el maestro no hace sino impartir la instruccin y transmitir informacin, ni siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero educador. La funcin del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino condicionarlo sin despertar su inteligencia. El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmsfera conveniente para el cultivo de la inteligencia.

Reeducando al educadorRequerimos reeducar al educador para que aprenda a estar abierto a aprender y a reaprender, dando con ello el ejemplo requerido a los discpulos. Requerimos adaptarnos a la modernidad a travs de la incorporacin intensiva de nuevas tecnologas de aprendizaje. Requerimos de un cambio de enfoque del personal docente, para adoptar el papel de facilitador del proceso de aprendizaje, en vez del erudito poseedor y transmisor de toda la informacin hacia el alumno, como pretende ser ahora, todava.

Comprendiendo al educandoLa verdadera educacin es la comprensin del educando tal como es y no tal como debiera ser.

Si lo coloca en el armazn de un ideal, lo fuerza a seguir determinado modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o est siempre en contradiccin con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de ser l y acta como simple autmata sin inteligencia.Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad para ser lo que es l, entonces lo gua, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a lo que es l. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado y cario. Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha de someterse a l. Un ideal resulta un real estorbo para la comprensin del alumno.

La formacin integralLa funcin educativa consiste en producir individuos integrados, que sean capaces de habrselas con la vida inteligentemente, totalmente, no parcialmente. El individuo no puede ser integrado si slo se gua por una norma idealista de accin. Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno, porque entonces el futuro, el ideal, resulta ms importante que el alumno, que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se justifica. Educar a partir de un ideal es como producir automviles; se tiene el diseo y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que creamos seres humanos que son meros tcnicos, que no tienen relacin humana con los dems y slo campean por si mismos, por su propio beneficio.

Un cambio de enfoqueBasta ya de la pura exposicin en el pizarrn, buscando con ello ensear, cuando existen ya medios mucho ms efectivos para aprender. Basta ya de evaluaciones arbitrarias, diseadas para reprobar al

alumno, con exmenes muy duros, generalmente departamentales,cuyos pobres resultados corroboran, una vez ms, lo difcil que es la ingeniera, y, por supuesto, lo tontos o irresponsables que son los alumnos

Usted debe ser el cambio que desea ver en el mundo.Gandhi

ESTE CURSO DE CLCULO IIEl propsito del curso ser estrictamente de carcter formativo: disciplina mental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades del pensamiento. Encontraremos, juntos, los elementos para evaluar objetivamente si tal propsito se logra y en qu medida. Los contenidos informativos, sern aprendidos, no para aprobar cada examen, sino para apropiarse de lo esencial, del conocimiento fundamental para comprender y aprender a plenitud los temas de las asignaturas de ciencias bsicas y ciencias de la ingeniera. Habr que garantizar el dominio de los conceptos matemticos fundamentales, para que la asimilacin promedio, a mediano y largo plazos, sea significativa, para que esos conceptos se les quedan almacenadas en la memoria e impregnadas en las clulas de por vida, para ser usadas siempre, cuando lo requieran. Las destrezas en la manipulacin matemtica sern adquiridas a travs de la ejecucin de muchos ejercicios.

ESTE CURSO DE CLCULO IISe dar mucho nfasis a las aplicaciones, haciendo referencia a problemas

reales; la destreza en la manipulacin del herramental matemtico fuera decontexto, en abstracto, no tendr ninguna relevancia. El estudiante sabr, con el temario, cul ser la cobertura del curso; y con el libro de texto, sabr cules los captulos y secciones que deber estudiar

y dominar, los alcances tericos, tecnolgicos y de aplicacin, y el tipo deejercicios que deber aprender a resolver. Los temas fundamentales y la distincin de lo esencial de cada tema, sern puntualizados por el profesor, en clase.

An cuando el curso tiene alta carga temtica, cada uno de los temas sertratado a profundidad y con la pausa que resulte necesaria para el grueso del grupo.

El secreto de ser aburrido es decirlo todo"

Voltaire

ESTE CURSO DE CLCULO IIEl alumno tendr grandes posibilidades de aprendizaje por descubrimiento, pues el profesor actuar como facilitador en el proceso de aprendizaje,

reforzando, respondiendo y orientando, y no asumir el papel tradicional detransmisor nico de toda la informacin hacia el alumno. Para garantizar su xito en este curso, el alumno ser el responsable de su propio aprendizaje, aplicado, autosuficiente y esforzado, como actor principal del proceso educativo. nicamente haremos algunas definiciones formales y solo los teoremas ms importantes sern demostrados con rigor.

Exploraremos varias tcnicas y mtodos para resolver un mismo tipo deproblema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras posibilidades.

ESTE CURSO DE CLCULO IIImpulsaremos el uso intensivo de material didctico en Internet. Buscaremos aprender a manejar una calculadora graficadora y a usar algn paquete matemtico, pues ambos realizan las operaciones aritmticas necesarias, con toda precisin, exactitud y a la mayor velocidad. Aprenderemos a formular problemas sencillos de ingeniera, a modelarlos matemticamente, a interpretar correctamente los resultados de la solucin y a ser capaces de darnos cuenta si tales resultados pueden corresponder o no a la realidad vivida.

Buscaremos estimular a los alumnos para que se enamoren delmodelado matemtico y as, continen estudiando ingeniera, inducindolos a que, como futuros ingenieros, se habiten a recurrir a las matemticas, en cada estudio que emprendan.

La utilidad del clculoEl clculo estudia algunos conceptos especficos tales como la tangente, la pendiente, el rea, el volumen, la longitud de arco, la curvatura, todos ellos esenciales en ingeniera, de los que se derivan un sinnmero de distinciones an ms importantes para el ingeniero, que explican el funcionamiento del universo y sus componentes. Es importante distinguir la diferencia entre estudiar matemticas abstractas, lo que seguramente debe tener su encanto, para los cientficos puros, y estudiar matemticas para resolver problemas reales, que es el cometido de los ingenieros. El clculo no es la excepcin, especialmente porque su desarrollo se ha derivado de las necesidades del ser humano, de intentar comprender el cosmos y el caos. El clculo es la matemtica del movimiento, del cambio, de la velocidad y de la aceleracin, del flujo, de la rotacin y la traslacin, del incremento y la disminucin, desde una perspectiva dinmica, es decir, como la pelcula de la ocurrencia de cada fenmeno. Otras ramas de las matemticas, aunque tambin hacen o llegan a hacer referencia a esos mismos elementos, lo hacen desde un punto de vista esttico, como tomando una foto instantnea del fenmeno.

LA GEOMETRA ANALTICA EN EL CONTEXTO DE LAS MATEMTICAS Y LA INGENIERA

MATEMTICAS SUPERIORES

INGENIERA

CLCULO

GEOMETRA ANALTICA

LGEBRA

GEOMETRA ARITMTICA

TRIGONOMETRA

Repaso histrico1.

Antigedad: contaban con piedrecillas; en latn, calculus significa piedrecilla.

2.

Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prcticos de clculo, relativamente evolucionados, en agrimensura, metrologa y astronoma.Griegos. Integraron las reglas empricas en un sistema terico, pero su sistema de numeracin lo limitaba al uso de regla y comps.

3.

4.

Siglo XVI: Los rabes introdujeron a Europa la numeracin india en plena expansin cultural renacentista, se desarrollaron el lgebra simblica y los logaritmos.Siglo XVII: Descartes cre la geometra analtica, que permiti el clculo numrico exacto, sentando las bases del clculo infinitesimal, creado por Newton y Leibniz, y origen del anlisis matemtico moderno. Siglo XX: El clculo numrico y los mtodos de clculo aproximado han recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y programas de cmputo.

5.

6.

Antecedentes del clculoEl clculo integral tiene, al menos, unos 2,500 aos de historia Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitgoras de Samos se percataron de la importancia del estudio de los nmeros, para poder entender el mundo. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos, considerndolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal. Eudoxo y Arqumedes utilizaron el mtodo del agotamiento para encontrar el rea del crculo. Hipcrates de Cos descubri que el rea de figuras geomtricas en forma de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de ciertos tringulos. Euclides dej plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la mayor parte de los conocimientos matemticos existentes en finales del siglo IV AC.

Antecedentes del clculoEl clculo diferencial es, al menos 2,000 aos ms joven que el integral, pues se inicia apenas en el siglo XVII. John Napier descubri los logaritmos. Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales. Rene Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el lgebra para encontrar el rea y las tangentes. Fermat y Barrow intuyeron que el clculo diferencial y el integral

estaban relacionados. Newton y Leibniz demostraron que el clculo integral es el inverso del diferencial.

El ClculoEl estudio de las pendientes de las tangentes -las derivadas- permite calcular las razones de cambio instantneo de un fenmeno. Clculo diferencial. El estudio de las reas bajo la curva -las integrales- permite describir la forma en que se acumulan estos cambios instantneos para producir las funciones. Clculo integral. El clculo infinitesimal es la unin del clculo diferencial con el clculo integral y ha sido el logro ms poderoso del ser humano en el camino para comprender el funcionamiento del universo. El clculo es la rama de las matemticas dedicada a estudiar el cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a otras cantidades los lmites- . Lmite, derivada e integral son los tres conceptos fundamental del clculo.

APLICACIONES DEL CLCULOExplicar el movimiento de los planetas Calcular las rbitas de los satlites y de las naves espaciales Predecir los tamaos de poblaciones Establecer la rapidez con que se elevan los precios Pronosticar los cambios meteorolgicos Medir el flujo cardaco Calcular las primas de seguros Calcular el rendimiento de una inversin Determinar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el descenso Determinar la cantidad de combustible que se ha fugado de un tanque en un perodo determinado Calcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma irregular, a partir de la medicin del nivel con flotador