01_BIOMECANICA

Daniel Fernndez Palma Biofisica 1

APUNTES DE BIOFISICA

Biomecnica

La Cinemtica describe el movimiento de los cuerpos. Un cuerpo describe una trayectoria que queda

determinada por su posicin en cada instante

Figura 1 movimiento unidimensional

Para determinar la evolucin de la posicin se necesita conocer en general la velocidad y la

aceleracin definidas por:

Velocidad: v = t

x

=

tiempo

entodesplazami (1.1)

Aceleracin: a = t

v

=

tiempo

vdeiacionvar (1.2)

Donde x = x xo, t = tiempo = t

y v = v - vo

De estas definiciones resultan:

Velocidad instantnea v = vo + at (1.3)

Desplazamiento x = vot + at2 (1.4)

Posicin instantnea x = xo+vot + at2 (1.5)

Donde: vo y xo son respectivamente la velocidad y posicin en el momento de partida. Esto es en t

= 0

El salto vertical Podemos utilizar las ecuaciones de aceleracin para analizar las posibilidades relativas

de salto de distintos animales. Ver tabla

Tabla 1 Distancias de aceleracin (d) y alturas verticales (h) en el salto vertical

Saltador Distancia de Aceleracin, d

Altura Vertical, h

Humanos 0,5 1,0

Canguro 1,0 2,7

Lemur 0,16 2,2 Rana 0,09 0,3

Langosta 0,03 0,3

Pulga 0,0008 0,1

La tabla muestra las alturas registradas de algunos animales en salto vertical. Ntese que la altura

registrada para el hombre no es el rcord de salto (mas de 2 m) ello se debe a que un hombre de

1,80 m est ya en condiciones de pasar sobre una barrera de alto igual a la mitad de su cuerpo con

tan solo girar a la posicin horizontal

to= 0 t >0 v

x

xo 0


Los animales saltan doblando las piernas y extendindolas rpidamente. Generalmente la distancia

de aceleracin es ms corta que las piernas del animal. Una vez en el aire, el animal solo

experimenta la aceleracin de la gravedad. Tambin podemos analizar la fase de despegue

considerando la aceleracin ad constante

EJEMPLO 1. Hallar la velocidad y la aceleracin de despegue para un ser humano utilizando la

Tabla 1.

Solucin

Velocidad de despegue: Si la altura vertical es h = 1,0 m, la velocidad de disparo o lanzamiento es vd

= gh2 = 4,43 m/s

y

Figura 2

Aceleracin de despegue ad es la aceleracin para impulsarse ad = vd2/2d = gh/d =19,6 m/s2

EJEMPLO 2: Una pulga salta 0,1 m en salto vertical. Cul es su velocidad inicial. Si ha alcanzado

esa velocidad mediante una extensin de sus patas en una distancia de 0,0008 m.? Cul ha sido su

aceleracin inicial?. La distancia de aceleracin en el hombre es de 0,5 m. Si un hombre saltase con la misma aceleracin que una pulga, a que altura llegara?

Solucin Cuando la pulga est en vuelo es idntico a un proyectil de modo que su aceleracin en el aire es g = 9,8 m/s2. Si la altura a la que lleg es y = 0,1 m, el tiempo de subida y la velocidad de

lanzamiento (velocidad inicial) son:

t = g

y2 ; vo = gy2

sustituyendo los datos tenemos: t = 0,143 s , vo = 1,4 m/s

La aceleracin inicial se refiere a la aceleracin como resultado de la fuerza muscular en el trayecto d

= 0,0008 m con velocidad inicial cero y velocidad final vo = 1,40 m/s

Por tanto la aceleracin inicial es: a = d2

v 2o = )0008,0(2

)40,1( 2 = 1225 m/s2

Con esta aceleracin, en una distancia de 0,5 m, el hombre alcanzara una velocidad de disparo y una

altura mxima respectivamente de:

vo = ad2 = )5,0)(1225(2 = 35 m/s; h = g2

v 2o = )8,9(2

)35( 2 = 62,5 m

h vd

d


Tambin es de inters especial el caso del movimiento circular, para el cual la variable natural que

se utiliza para describir el movimiento es el ngulo.

As se define la velocidad angular y la aceleracin angular , como la variacin del ngulo y de la velocidad angular respectivamente

= t

, =

t

(1.6)

donde es el desplazamiento angular y t el intervalo de tiempo t.

La velocidad lineal o tangencial es v = s/t y teniendo en cuenta que el arco s, el radio r y el

ngulo estn relacionados por

s = r() se obtienen las siguientes frmulas importantes:

v = r (1.7)

El movimiento es circular uniformemente acelerado si es constante. As hallamos:

= o + t ; = o + ot + t2 (1.8)

En el movimiento circular uniforme MCU el mdulo de la velocidad permanece constante, pero no as

su direccin por lo que existe una aceleracin que se denomina aceleracin centrpeta ac

ac = r

v 2 ac =

2r (1.9)

EJEMPLO 3 Supongamos que una particular dista 0,1 m del eje de un motor que gira a 3000 rpm

(revoluciones por minuto). Calclese la aceleracin centrpeta a la que se ve sometida esta partcula

y comprese con la de la gravedad:

Solucin. La expresin SI de la velocidad angular es:

= 3000 rpm = 300060

2 rad/s

= 100 = 314 rad/s

ac = 2r = (100)2(0,1) = 9859,6 m/s2

g

a c = 8,9

6,9859 = 1006 ac = 1006g

esta aceleracin muy grande para motores normales es el fundamento de las centrifugadoras

v

r

s Figura 3. Movimiento circular

uniforme


Problemas

1. Si usted camina 5 km en una direccin de 20 al oeste del norte y 4 km en una direccin 35 al sur del este. Cul es su desplazamiento total desde el punto de partida?

Rpta 2,87 km, 33,09 al este del norte

2. Un coche viaja en lnea recta a 30 km/h durante una hora y a 60 km/h durante 2 horas qu

distancia ha recorrido? Cul es su velocidad media

Rpta d = 150 km , vm = 50 km/h

3. Un coche avanza a la velocidad constante de 60 m/s durante 20 s; entonces frena y se detiene en 10 s, Dibujar las grficas velocidad-tiempo y aceleracin-tiempo

Rpta

Figura 4 Graficas v vs t y a vs t

4. En la siguiente grfica se muestra la posicin de un pndulo en funcin del tiempo. En el intervalo de 0 a T; cundo su velocidad es a) cero b) positiva c) negativa?

x

0 t

Figura 5 Movimiento oscilante

Rpta (a) t = T y t = T (b) 0 < t < T y T < t < T (c) T < t < T

5. Desde que altura ha de caer el agua para golpear la pala de una turbina con una velocidad vertical

hacia abajo de 30 m/s?

Rpta: h = 45,92 m

6. Un globo que se suelta asciende verticalmente con una velocidad 3 m/s y es atrapado sbitamente

por una corriente de aire que se mueve a la velocidad de 14,4 km/h en direccin suroeste. Encuentre

la velocidad del globo con respecto a Tierra

Rpta v = 5 m/s

Salto vertical

7 A que altura llegara una mujer que saltase con la misma velocidad de despegue que una pulga?

Rpta: h = 0,1 m

T

v(m/s

)

t(s) 20 30 0

60

a(m/s2)

t(s) 20 30 0

- 6


8. A partir de la Tabla 1 calcular la aceleracin media de despegue y la velocidad de despegue de

una langosta, suponiendo que la aceleracin es constante

Rpta: a = 98 m/s2 v = 2,42 m/s

9. Un astronauta con traje espacial puede saltar 0,5 m en la superficie de la Tierra. La aceleracin

de la gravedad en la superficie de Marte es 0,4 veces la de la Tierra. Si su velocidad de despegue es la misma. A qu altura llegar un astronauta que salte en Marte?

Rpta: h = 1,25 m

DINMICA

Describe el movimiento con relacin a sus causas que son las fuerzas

En general fuerza es la causa de: a) la deformacin de los cuerpos, b) cambio en el movimiento y c) equilibrio

Las fuerzas se suman o restan grfica o analticamente. As por ejemplo la resultante de las fuerzas F1 y F2 se obtiene con la ley de cosenos

F = cosFF2FF 2122

21 (1.10)

Se obtiene el mismo resultado aplicando el mtodo de la descomposicin en componentes:

Usando la forma de pares ordenados para los vectores propuestos

1F

= (F1 , 0)

2F

= (F2 cos , F2 sen )

Fx = F1 + F2 cos , Fy = F2 sen

F = 2y2x FF =

22

221 )senF()cosFF(

Desarrollando obtenemos

F = cosFF2FF 2122

21

El ngulo que forma el vector F

con el eje X est dado por

= arctan( Fy / Fx) (1.11)

F2 y

Figura 7 Suma de vectores en coordenadas

cartesianas

F1

F

0

F2

F1

F

0

x

Figura 6 Resultante de dos vectores fuerza


LEYES DE NEWTON DE LA MECANICA

1. Ley de Inercia Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza, este sigue o bien en reposo o bien

en movimiento rectilneo uniforme

2. Ley fundamental de la dinmica

Se denomina cantidad de movimiento, momento lineal o simplemente mpetu de un objeto de masa

m que se mueve a la velocidad v a la magnitud p definida como:

p = mv (1.12)

Si no acta ninguna fuerza externa sobre el mvil, p permanece constante. Cmo varia p cuando

acta una fuerza?. Newton propuso que la variacin correspondiente viene dada por:

t

p = F o F = ma (1.13)

3. Ley de accin y reaccin

Si un objeto A ejerce una fuerza F sobre otro objeto B, dicho objeto B ejerce sobre A una fuerza de igual mdulo y signo opuesto que F

Obsrvese que, como dichas fuerzas actan sobre objetos diferentes (una sobre A y otra sobre B), sus efectos no se cancelan

Una aplicacin interesente del principio de accin y reaccin es la propulsin a chorro. Aparte de

las aplicaciones tecnolgicas a las turbinas de aviacin y los cohetes propulsores de las naves espaciales, este principio es usado por el calamar y el pulpo para realizar movimientos rpidos. En

efecto estos animales almacenan una cierta cantidad de agua en la bolsa y al expelerla muy

rpidamente consiguen una fuerza igual y en sentido contrario que los propulsa a una velocidad que les permite huir de los depredadores.

Figura 8 Propulsin a chorro de un calamar

En biologa todas las formas de locomocin caminar, correr, reptar sobre la superficie de la Tierra

son posibles gracias a la fuerza de friccin en las superficies en contacto.

La friccin es esttica cuando tiene lugar entre superficies que aun no deslizan, y es dinmica cuando se da entre superficies deslizantes. Los valores mximos de dichas fuerzas son

respectivamente fs y fc:

fs = sN; s = coeficiente de friccin esttica

fc = cN; c = coeficiente de friccin cintica donde N es la fuerza normal o fuerza que mantiene unidas a las superficies en contacto

v

Fa f

N

accin reaccin


Figura 9 Friccin por deslizamiento

En la figura 9:

Fa = fuerza aplicada o fuerza exterior

f = fuerza de friccin (entre superficies) N = fuerza normal v = velocidad

En un fluido las fuerzas de friccin se denominan fuerzas de resistencia al avance. Estas dependen de la naturaleza del fluido, del rea y de la forma del cuerpo que se mueve y de su velocidad relativa

respecto al medio. Para velocidades pequeas la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad

( Fd = kv ). Para velocidades altas como los vuelos de las aves, la fuerza de resistencia es

proporcional al cuadrado de la velocidad (Fd = cv2).

Fa - Fd = ma (1.14)

Fa = fuerza aplicada, Fd = fuerza de resistencia

Fuerza en la natacin de un pez

Cuando un pez nada, la aleta caudal oscila de lado a lado y el cuerpo se flexiona, manteniendo un

ngulo casi constante entre la normal a la aleta y el cuerpo durante la mayor parte del movimiento. La fuerza de reaccin del agua sobre la cola F tiene una componente hacia delante F y, excepto ya al

final del movimiento. Esta es la fuerza que impulsa al pez hacia adelante. A ella se opone la fuerza de resistencia al avance Fd.

Figura 10 El pez para moverse se apoya en el agua dinmicamente

La componente Fx de la fuerza F tiende a mover al pez hacia los lados y encuentra oposicin en la

fuerza de reaccin del agua contra los lados del pez a menudo ayudadas por una aleta vertical (caudal).

Fy - Fd = ma (1.15)

donde m es la masa del pez y 'a' su aceleracin hacia delante.

EJEMPLO 4: Observaciones sobre pequeas truchas de peso 2,22 N indican que pueden cubrir una distancia de 5 cm en 1/20 de segundo partiendo del reposo. Si el valor promedio de la fuerza de

resistencia al avance es la cuarta parte del peso del pez. Encuentre a) la fuerza Fy b) suponiendo que

= 60 encuentre la fuerza de reaccin F contra la cola.

Solucin a) Fy = ma + Fd ; Fd = 0,25mg Fy = m(a + 0,25g); m = W/g = 2,22/9,8 m = 0,227 kg

Fy

F

Fx

normal a la aleta


a = 2s/t2 = 2(0,05)/(1/20)2 = 40 m/s2 Fy = (0,227)(40 + 2,45) = 9,6 N

b) F = Fy/cos60 = 19,2 N

EJEMPLO 5: Encuentre la fuerza promedio que se ejerce cuando usted se golpea la cabeza contra una viga. Suponga que usted est movindose con una velocidad de 1,8 m/s, que su cabeza pesa

44,5 N y que el choque dura 0,005 s.

Solucin La masa de la cabeza es m = W/g

m = 44,5 /9,8 = 4,54 kg

F = t

p

=

t

mv =

005,0

8,154,4

F = 1634,7 N

Se llaman fuerzas g a las originadas por aceleraciones o deceleraciones sbitas, se dan en trminos de g (aceleracin debida a la gravedad). En los aviones de hlice al salir de una picada implicaba

aceleraciones que iban desde 8 g hasta 14 g durante 3 segundos. Las fuerzas g son peligrosas por que aumentan el peso efectivo de la sangre y los rganos del cuerpo

hasta W' = kW, (k = a/g). Los rganos que sufren fuerzas g pueden dejar de funcionar. Para una aceleracin en la direccin cabeza-pies (sostenida durante un periodo corto) se siente dificultad para

usar los msculos a los 3 4 g . A 5g se detiene la respiracin y se hace imposible el movimiento

del cuerpo: entre los 5 g y 9 g se congestionan los pulmones, se pierde la visin, e incluso muchas personas pierden el sentido. Esta prdida se debe a la ausencia de flujo sanguneo hacia el cerebro,

pues la sangre es demasiado pesada para que el corazn pueda bombearla hacia la cabeza. Durante

periodos de tiempo muy cortos una persona puede soportar fuerzas de hasta 30 g sin sufrir lesiones

siempre que est de frente en la direccin de la aceleracin y tenga un buen apoyo para su espalda. En el caso de la seguridad de un automvil la desaceleracin se logra mediante un cinturn de

seguridad o un cinturn torxico diagonal los cuales constituyen apenas el 20% de lo que en la

aceleracin hacia delante llamamos buen apoyo en la espalda. Puede estimarse de aqu que el lmite

de la aceleracin soportable en un choque automovilstico es 0,230g = 6g. EJEMPLO 6 En una cada desde un avin se alcanza una velocidad lmite de 54 m/s cuando la fuerza de resistencia al avance que resulta de la resistencia del viento es igual a la fuerza

gravitacional. Cuando se abre el paracadas la velocidad se reduce a 6 m/s en un segundo. Halle la

fuerza g cuando se abre el paracadas para una persona de 800 N. a = (v-vo)/ t = (54-6)/1 = 48 m/s

2.

La aceleracin es a = (48/9,8)g = 4.9 g. Por tanto la fuerza g es W = 4,9W Convertido a newtons es W = (4,9)800 = 3920 N = 392 kgf.

LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL DE NEWTON Dos cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus

masas e inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia que los separa

F = G 2

21

d

mm (1.16)

m1 m2 F F'

d

Figura 11 Interaccin gravitatoria entre dos

esferas. F y F' son accin y reaccin


Donde G es la constante de gravitacin universal G = 6,6710-11 Nm2/kg2

El peso de un cuerpo no es sino la fuerza gravitatoria entre dicho cuerpo de masa m y la Tierra de

masa M, siendo la separacin entre ellos prcticamente el radio de la Tierra R Por tanto:

P = mg = G2R

mM

De donde se deduce que la aceleracin debida a la gravedad es una propiedad del planeta Tierra cuyo

valor queda determinado por:

g = 2R

GM (1.17)

Tanto el movimiento planetario en torno al Sol o el movimiento de los satlites artificiales o naturales

en torno a un planeta se deben a la fuerza gravitatoria. Cuando la masa de un cuerpo se hace superior a una masa critica, dicho cuerpo se convierte en agujero negro cuya atraccin es tan intensa que aun la luz

es incapaz de escapar del agujero negro.

Problemas

1. Una caja de 160 kg es empujada hacia una ventana. Si las manos que la empujan ejercen una fuerza

total de 534 N y el coeficiente de friccin cintica entre la caja y el piso es 0,2 halle su aceleracin hacia la ventana.

Rpta a = 1,38 m/s2

2. Una gallina que vuela a 7 m/s se estrella contra el vidrio de una ventana y se detiene en 2510-3s. Si la gallina pesa 2,22 N. Hallar (a) la masa de la gallina (b) la cantidad de movimiento al producirse el

impacto (c) la fuerza sobre la gallina en newtons Rpta (a) m = 0,227 kg; (b) p = 1,59 kg.m/s (c) 63,6 N

3. Suponga que la aceleracin mxima tolerable para los pasajeros que se encuentran de pie en un tren es 0,8g y que dos estaciones consecutivas estn separadas 0,8 km. Encuentre la mxima rapidez en km/h que

puede alcanzar el tren entre estaciones, suponiendo distancias iguales para arrancar y frenar.

Rpta: vmax = 285 km/h

4. Una gaviota de 1 kg planea a velocidad constante formando un ngulo de 7 con la horizontal.

Encuentre la fuerza de resistencia al avance que acta sobre el ave y comprelo con su peso.

Rpta Fr = 1,19 N ; Fr/W = 0,12

5. En una ocasin cuando el paracadas de un piloto no se abri, se encontr su cuerpo hundido 0,60 m en

la tierra. Aceptando una velocidad limite de 54 m/s encuentre la fuerza g causada por el impacto sobre una persona de 75 kg

Rpta F = 247 W

7. En la superficie de la Luna g = 1,67 m/s2. Si el radio es 1,74106 m. Calcule la masa de la Luna

Rpta ML = 7,581022 kg

8. Cuando una persona se encuentra sentada con un buen apoyo en la espalda 1300 cm2, su tolerancia a aceleraciones breves es 30 g. Calcule la mxima fuerza g tolerable en una colisin de frente, suponiendo

que un cinturn de seguridad y un cinturn torcico diagonal le proporcionan un apoyo efectivo de 300

cm2 Rpta a = 6,92g


9. El movimiento de cualquier objeto en las capas atmosfricas bajas se opone una fuerza de resistencia

al avance v2 y dada aproximadamente por la ecuacin: Fd = kr2v2, donde k = 0,9; r es el radio efectivo

del rea de la seccin transversal (supuesta circular) que se opone al movimiento y v es la velocidad

(todas las unidades en SI). Encuentre la velocidad lmite de un paracaidista de 68 kg antes de que se

abra el paracadas, suponiendo un radio efectivo de 0,25 m. Compare su respuesta con el valor dado (54 m/s).

Rpta vL = 61,42 m/s

Esttica Equilibrio de una partcula

Una partcula se encuentra en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actan sobre

ella es igual a cero

Descomponiendo las fuerzas en sus componentes rectangulares, la condicin de equilibrio queda

expresada as:

Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0 (1.18)

W

Figura 12 Fuerzas en equilibrio

En la figura 12; el punto P sujeto a la accin de tres fuerzas T 1, T2 y W se encuentra en equilibrio solo cuando el tringulo de vectores dan una resultante nula:

WTT 21

= 0

Figura 13 Tringulo de vectores

o cuando sus mdulos cumplen con la relacin de Lamy:

sen

W

sen

T

sen

T

2

2

1

1 (1.19)

Torque, equilibrio rotacional y fuerza muscular

Un cuerpo rgido se encuentra en equilibrio cuando:

1) la suma vectorial de las fuerzas que actan sobre l es igual a cero

2) la suma vectorial de los torques (alrededor de cualquier eje) que actan sobre l es igual cero

T1

T2

W

2

1 P

T1

T2 W


EJEMPLO 7 Hallar la fuerza B que ejerce el msculo bceps si el antebrazo sostiene un bloque de

peso W = 53 N, suponiendo que el antebrazo pesa P = 13 N

Figura 14 Antebrazo sosteniendo un peso W

Suma de torques respecto al codo igual a cero:

B(5) P(38-23)- W(38) = 0

De donde B = 5

)38(W)15(P = 441,8 N

Centro de gravedad y centro de masa.

Punto donde se supone esta aplicada la fuerza peso. Cualquier cuerpo apoyado en su centro de

gravedad est en equilibrio y no cambiar su posicin ni rotar. No hay torque neto alrededor del

centro de gravedad para un cuerpo en equilibrio

Figura 15 Localizacin del centro de gravedad de una pierna extendida

Para cualquier articulacin de solo dos partes, el centro de gravedad queda sobre la lnea que une el centro de gravedad de cada una de ella

Figura 16 Pierna doblada

El centro de gravedad es un concepto muy importante en terapia fsica. Normalmente no nos percatamos de su existencia pero cuando un pie, una pierna o un msculo de la cadera se lastiman

y esta ausente su apoyo normal, desplazamos nuestro peso cambiando de posicin, de tal manera

que el torque neto alrededor del centro de gravedad sea cero. Para una persona que esta de pie, el

centro de gravedad esta localizado en la regin plvica descrita tcnicamente como anterior a la segunda vrtebra sacra.

P W 5 cm

H B

38 cm

23 cm

43 cm

80 N W 53 N

53 cm

c.g.

x

c c1

c2


Cuando una persona se dobla por la cintura, el cuerpo se mueve hacia atrs, para que el centro de

gravedad permanezca localizado sobre los pies. De otra manera un torque alrededor de los pies har

que se vaya de bruces, por el desplazamiento hacia delante del centro de gravedad.

Si actan sobre el cuerpo otras fuerzas adems de su peso, el cuerpo se mueve como si su masa

estuviera concentrado en un punto llamado centro de masa (cm).

Si n masas puntuales se encuentran en los puntos (x j , yj ,zj). La posicin del centro de masa

cm(x,y,z) se encuentra del siguiente modo:

x =

n21

nn2211

m,,,,,mm

xm,,,,,xmxm

(1.20)

y =

n21

nn2211

m,,,,,mm

ym,,,,,ymym

(1.21)

z =

n21

nn2211

m,,,,,mm

zm,,,,,zmzm

(1.22)

EJEMPLO 8 La distancia Tierra-Luna es 60 R (R, radio terrestre) Hallar la posicin del centro de

masa de estos dos astros si la masa de la Tierra es 80m (m, masa la Luna)

Solucin Ubicando el origen de coordenadas en el centro de la Tierra, con el eje X pasando por el

centro de la Luna, tenemos m1 (Tierra) = 80m, x1 = 0, m2 (Luna) = m, x2 = 60R

x = mm80

)R60(m)0(m80

= 0,74 R

Equilibrio, Estabilidad y postura animal

Un objeto apoyado en un punto por encima de su centro de gravedad se encuentra en equilibrio

estable, mientras que si el punto esta por debajo de su centro de gravedad est en equilibrio inestable.

apoyo

(a) Equilibrio estable (b) Equilibrio inestable

Figura 17 Centro de gravedad y estabilidad

Al separar los pies hace a la persona mas estable en una direccin pero inestable en la direccin

perpendicular a sta. Estamos equipados entonces con receptores musculares sensibles a nuestra postura

que trabajan constantemente para mantenernos en pie. Los msculos a su vez estn controlados por nervios conectados a los tres canales semicirculares del odo interno, los que activan acciones

compensatorias cuando la cabeza se inclina o gira.

cg

cg

Apoyo o sujecin


Cmo funciona el equilibrio

Para comprender los problemas de equilibrio, es importante que comprenda cmo funciona

normalmente el equilibrio. Bsicamente, el cuerpo confa en tres sistemas separados, cada uno enva impulsos nerviosos al cerebro:

En el cuello, el torso, las articulaciones de las piernas y los pies hay sensores de presin que envan informacin al cerebro acerca de dnde est el cuerpo en relacin con el mundo (tambin conocido como propiocepcin). Los mensajes se envan

cuando hacemos cosas como girar la cabeza, movernos y caminar sobre superficies

diferentes.

En el frente del odo interno, o laberinto, est la cclea, que est involucrada en la audicin; en la parte trasera estn los canales semicirculares, que afectan el

equilibrio. Conectados a ellos est el vestbulo (con rganos sensoriales conocidos

como utrculo y sculo), que afectan al equilibrio y la estabilidad. Cuando giramos

la cabeza rpidamente, el lquido de los canales semicirculares mueve los pequeos vellos que recubren la cclea y envan un mensaje (a travs del nervio

vestibulococlear) al cerebro acerca del movimiento. En menos de un segundo, el

cerebro enva mensajes a los msculos necesarios para mantener el equilibrio y ayuda a los ojos a mantenerse enfocados.

En los ojos, las terminaciones nerviosas de la retina (en la parte posterior del ojo) tienen clulas sensibles a la luz llamadas conos y bastones. Cuando miramos algo,

la luz llega a la retina y los bastones y los conos envan seales elctricas al cerebro a travs del nervio ptico. El cerebro usa estas seales para interpretar lo que

estamos viendo y para crear imgenes visuales. Cada ojo recibe imgenes apenas

diferentes de (e informacin acerca de) el mismo objeto, que ayuda con la

percepcin de la profundidad (a qu distancia est un objeto) y es vital para mantener el equilibrio.

Si alguno de estos sistemas no est funcionando bien, puede afectar el equilibrio.

La estabilidad en los peces se logra gracias a canales llenos de lquido a lo largo del cuerpo y la

cabeza llamados rganos de la lnea lateral.

Palancas. Los huesos como palancas accionados por los msculos Una palanca es una barra rgida que puede girar alrededor de un punto fijo llamado apoyo o eje. Su

utilidad esta en que aumenta la efectividad de la fuerza aplicada, permitiendo que esta fuerza sea

aplicada en lugar ms conveniente, o incrementar la rapidez y alcance del movimiento de una parte

Son ejemplos de palancas los msculos y los huesos del cuerpo, pues los huesos son palancas accionados por los msculos. Obsrvese que la contraccin del Bceps en la Figura 18 hace rotar

en sentido antihorario el antebrazo apoyado en el codo (punto A) en cambio la contraccin del

trceps hace rotar el antebrazo con el mismo apoyo en sentido horario.

EJEMPLO 9 Considere la fuerza de reaccin del tendn de Aquiles. Cuando una persona se para

de puntillas, el pie acta como una palanca. El tendn de Aquiles hala hacia arriba con una fuerza

T y hay una fuerza F de compresin en el hueso de la pierna (tibia). Encuentre F y T para una persona de 800 N que est de puntillas sobre un solo pie en la situacin descrita.

b

i

c

e

p

s

t

r

i

c

e

p

s

A

Figura 18 Brazo como palanca

Trceps Bceps


Solucin. Aplicando la condicin de equilibrio en la forma: Fx = 0 y Fy = 0

Fsen 15 = Tsen20 (1)

Fcos 15 = Tcos20 + W (2)

Figura 19. Pie de puntillas y diagrama de fuerzas

De (1) se tiene F = Tsen20/sen15 = 1,32 T. En (2) reemplazamos el valor de F y W y despejamos T: T = 800/(1,32cos15 - cos20) = 2376 N

F = 1,32(2376) = 3136 N

Problemas 1. Un hombre de 670 N dobla su cuerpo por la cintura 90 hacia delante conservando verticales las

piernas. Suponga que la parte superior de su cuerpo es las dos terceras partes de su peso total y que el centro de gravedad de esa parte esta a 70 cm arriba de sus caderas. A que distancia por delante

de sus piernas se encontrara el nuevo centro de gravedad?

2. Que torque se requiere para abrir una puerta de 90 cm de ancho contra un peso muerto (fuerza de resistencia) de 450 N supuestamente localizado, del lado opuesto, en la mitad de ella?

3. Una mujer de 756 N se empina en un pie. El brazo de palanca del tendn que levanta el taln es a = 5 cm y el de las yemas de los dedos es b = 10 cm, ambos con respecto al eje que pasa por la

articulacin del tobillo. Encuentre a) la tensin en el tendn y b) la fuerza en la articulacin del

tobillo.

4. Si en la figura 8 el peso sostenido en la mano es de 80 N, con las dimensiones dadas para el

antebrazo calcular la tensin en el tendn B y la magnitud de la reaccin en la articulacin.

TRABAJO, ENERGIA Y SU CONSERVACION

Conservacin del momento lineal Cuando la fuerza externa sobre un cuerpo o un sistema de

cuerpos es nula, el momento lineal total del sistema se mantiene constante Por ejemplo un calamar toma agua en su cuerpo (manto) por una regin alrededor de su cuello; una

contraccin muscular sella la entrada del cuello y expulsa el agua por un sifn, que acta como un motor de propulsin flexible para nadar hacia delante o hacia atrs.

15 20

800 N

T

F F T


Figura 20 Calamar en el agua con un expulsor flexible de agua llamado sifn para nadar hacia delante o hacia atrs

EJEMPLO 10. Una bolsa de calamar contiene 0,1 kg de tinta. Para ahuyentar a sus posibles depredadores y poder huir de ellos, expulsa de golpe esa tinta, que sale a una velocidad de 5 m/s.

Si la masa del calamar sin tinta es 0,4 kg Qu velocidad adquiere al impulsar la tinta?

Solucin La cantidad de movimiento del calamar tiene el mismo valor que la cantidad de

movimiento de la tinta arrojada:

Mcvc = mtvt o vc = c

tt

M

vm=

4,0

51,0 = 1,25 m/s

TRABAJO Cuando una fuerza acta sobre un cuerpo provocando un

desplazamiento, se dice que la fuerza realiza trabajo de

valor igual al producto de la fuerza por el desplazamiento en la direccin de la fuerza

Trabajo = (Componente de Fuerza) por (desplazamiento)

W = (Fcos)s = sF

. (1.23)

Donde es el ngulo entre F y s. El smbolo del producto "punto" o escalar incluye el factor cos e indica que el trabajo es el producto escalar de dos vectores. La unidad de trabajo es el Joule (J) = 1N.1m

EJEMPLO 11 Al hacer un corte de 25 cm de largo en un pedazo de madera, se ejerce una fuerza de 60 N formando 30 con la horizontal. Encuentre el trabajo realizado. Suponga una velocidad

constante y una fuerza de friccin f opuesta al movimiento.

W = Fs cos = 60(0.25)(0.866) = 13 J EJEMPLO 12 Encuentre el trabajo realizado por el msculo bceps sobre el antebrazo desde la

posicin de mxima extensin, al levantar un cuerpo de 45 N de peso. Suponga que en promedio F

= 400 N y que el msculo est inserto al radio a una distancia d = 3,8 cm abajo del codo. F

F

Figura 22 Trabajo del bceps

Solucin Los torques tambin realizan trabajo, cuando generan rotacin (desplazamiento angular )

d

10

140

F

s

Figura 21 Trabajo mecnico


W = .

Donde el torque = Fd = 400(0,038) = 15,2 N.m

= 140 - 10 = 130

Para reemplazar en la frmula de trabajo es necesario expresar el desplazamiento angular en

radianes en lugar de grados sexagesimales

= (130/180)() = 2.27 radianes Luego el trabajo es:

W = (15.2)(2.27) = 34.5 J

Energa Mecnica

Energa cintica: Ec = mv

2 (1.24)

Energa potencial Ep = mgh (1.25)

Para un sistema en el cual no hay fuerzas disipativas como la friccin, la energa mecnica (cintica mas potencial) permanece constante durante todo el movimiento

Ec + Ep = constante (1.26) (Ec + Ep)t = (Ec + Ep)t' (1.27)

donde t' es un tiempo posterior a t

EJEMPLO 13 Calcular la velocidad mxima de la masa pendular si su mxima altura es h = 10 cm.

Desde que a mxima altura la velocidad es cero y en el punto mas bajo la energa potencial es cero se tiene: Ec (max) = Ep(max)

mv2 = mgh, v = gh2

Potencia. Mquinas simples y su relacin con la estructura esqueltica

La conservacin de energa explica el funcionamiento de las maquinas simples, como la palanca

que aparece en la figura

Desde que las prdidas por friccin son despreciables, podemos, igualar los trabajos de las fuerzas

F1 y F2. Esto es:

h

Figura 24 La palanca d2 L1

L2

F2 F1

d1

Figura 23 El pndulo simple


F1d1 = F2d2 (1.28)

Del equilibrio de torques encontramos que:

F1L1 = F2L2 F2 = F1

2

1

L

L (1.29)

Y de las relaciones geomtricas:

2

1

2

1

d

d

L

L (1.30)

La relacin (1.29) indica que si aplicamos a la palanca una fuera F1 = 180 N, siendo L1 = 60 cm, L2 = 5

cm, vemos que F2 = 180(60/5) = 2160 N, suficiente para levantar una rueda de automvil. Es decir que la palanca permite multiplicar la fuerza; pero qu se est sacrificando para lograr esto? De la

Ecuacin (1.28) se puede ver que:

d1 = d2F2/F1 = d2(2160/180) = 12 d2

de manera que se debe ejercer la fuerza a lo largo de una distancia mucho mayor que la distancia que se levanta la carga La relacin entre la distancia a lo largo de la cual acta la fuerza suministrada a la distancia que se mueve la carga se denomina ventaja mecnica ideal VMI

VMI = 2

1

d

d =

2

1

L

L

La ventaja mecnica de la palanca descrita es 12.

EJEMPLO 14 Para una palanca doblada como en la figura, encuntrese la velocidad obtenida vo

en los extremos de la palanca sabiendo que la velocidad suministrada por la accin de la fuerza T

en el vrtice del ngulo es vs

T

y

F2

Si T es la fuerza aplicada y F2 la fuerza obtenida se tiene:

Ts = F2y

La VMI es s/y. El movimiento de la palanca en un ngulo pequeo se muestra con lneas punteadas; y por tringulos semejantes hallamos:

r/s = x/y o r = x (s/y) y para un intervalo de tiempo pequeo:

y

s

t

x

t

r o vs = vo(s/y) (*)

r

s

x

Figura 25 Palanca doblada


La palanca descrita es muy similar a la pata delantera de un caballo, con la fuerza de tensin T

ejercida por el msculo Teres mayor. Para un caballo s/y = 1/13, lo cual es una ventaja mecnica

muy pobre. Sin embargo de la ecuacin (*), la velocidad del casco es

vo = vs(y/s) = 13vs

de manera que el casco se mueve con una velocidad 13 veces mas rpidamente que el msculo que se acorta. La conformacin de los caballos es propia para la rapidez y lo logran con una baja ventaja

mecnica. En cambio la extremidad delantera de un armadillo que est conformada para cavar la

tierra, con mayores requerimientos de fuerza, tiene una ventaja mecnica de 1/4 nicamente. En los humanos la distancia del codo al centro de la mano es aproximadamente de 38 cm y el bceps esta

inserto a cerca de 4 cm del codo, la ventaja mecnica es entonces 4/38 = 0,11; lo que indica que

este msculo puede mover el brazo rpidamente.

Potencia

Se define como la rapidez con la que se realiza el trabajo:

P = t

W

(1.31)

Donde t es intervalo de tiempo en el cual se realiz el trabajo W

Unidades de potencia

Sistema SI: vatio (W): 1W = 1J/s

Industria: caballo vapor (hp) 1 hp = 746 W

La potencia es tambin el producto de la fuerza por la velocidad:

P =

t

sF

t

WFv (1.32)

En esta ecuacin F es la componente de la fuerza en la direccin de la velocidad

Eficiencia de una mquina es la relacin entre el trabajo obtenido Wo y el trabajo suministrado Ws

a ella

=S

O

W

W (1.33)

La eficiencia de algunas mquinas simples, especialmente de la palanca es muy cercana al mximo

terico del 100%. Pero esto no es cierto para mquinas que convierten una forma de energa en otra, como las mquinas de vapor o el motor de gasolina en los cuales la energa calorfica se convierte

en energa mecnica

La eficiencia de la mquina tambin puede expresarse como el cociente de las potencias obtenida Po y suministrada Ps

EJEMPLO 15 Un hombre de 800 N de peso realiza un salto para lo cual se agacha de modo que su

centro de gravedad desciende 25 cm y a partir de esta posicin su centro de gravedad se eleva una distancia de 65 cm Hallar la a) la fuerza muscular media ejercida b) su velocidad al levantarse del suelo

c) la potencia desarrollada por sus msculos

Solucin (a) La fuerza muscular obra a lo largo de 25 cm y le transmite una energa potencial proporcional

a la altura h = 65 cm Esto es


F.y = mgh

De donde :

F = y

mgh =

m25.0

)m65.0)(N800( = 2080 N

b) La velocidad de despegue puede hallarse con la altura alcanzada desde el punto de despegue:

v = )yh(g2 = )25,065,0)(8,9(2 = 2,8 m/s

c) La potencia muscular est dada por:

P = F.vm, donde vm es la velocidad media

vm = v/2 = 1,4 m/s

P = (2080 N)(1.4 m/s) = 2912 Watt

La fuerza muscular y la accin de saltar

Los humanos no poseen una conformacin apropiada para saltar como lo tienen las ranas, las pulgas,

los canguros, los cuales estn dotados de piernas estructuradas para hacerlo, siendo por ello interesantes

desde el punto de vista mecnico. Ms interesante aun puede resultar la altura mxima a la que pueden saltar algunos animales, pues relacionando esta altura con la energa y potencia musculares, se puede

obtener una til informacin sobre la estructura especializada y los requerimientos de energa del tejido

muscular

Generalmente los animales saltadores se levantan del suelo a un ngulo de 45 para lograr un mayor

alcance. El esfuerzo muscular los impulsa hacia arriba y hacia delante. Los msculos que realizan el

trabajo (los msculos activados) son los msculos de la pierna, y los estudios concluyen que la masa ma de tales msculos, es alrededor del 10 por ciento de la masa total m del cuerpo; luego una buena

aproximacin para todos los tipos de animales saltadores seria ma/m = 0,10. Una forma de comparar

los msculos en diferentes especies de animales es midiendo la potencia desarrollada para una tarea determinada y dividindola por la masa de los msculos activados, obteniendo as la potencia por unidad

de masa de msculo activado.

Experimentalmente se ha determinado que la mxima potencia desarrollada por un hombre que conduce una bicicleta con un esfuerzo continuo es de cerca de 40 W/kg. Podemos usar los resultados

del Ejemplo 15 para hallar la correspondiente a un hombre al saltar. La masa en kilogramos del

msculo activado es:

ma = 0,1(m) = 0,1(800/9,8) = 8,16 kg

Como la potencia desarrollada al saltar es 2912 W. La potencia por unidad de masa de msculo

activado es

am

P =

16,8

2912= 356 W/kg

Estos resultados indican que una sola contraccin utilizada para saltar da una potencia mucho mayor que la obtenida mediante el uso continuo de los msculos


Este tipo de mecanismo en el salto no es general El salto impresionante de la pulga con relacin a

su reducida masa, se debe a otra forma de impulsin basada en la compresin de una sustancia

elstica llamada resilina la que al ser liberada lanza a la pulga como por una catapulta.

EJEMPLO 16. El lucio es un pez cuyo movimiento consiste bsicamente en aceleraciones rpidas y poco

duraderas. Si suponemos que un lucio de 1 kg impulsa mediante su cola 3 litros de agua en 0,5 s

con una velocidad de 5 m/s formando un ngulo de 60 con la direccin del movimiento:

(a) cul ser la velocidad de su movimiento?

(b) Cunta energa habr consumido, si estaba inicialmente en reposo?

(c) Qu potencia ha desarrollado?

Solucin La figura muestra la posicin de la cola del pez que genera la fuerza F como reaccin de

su accin sobre el agua

Figura 26 La aleta caudal presiona sobre el agua y en respuesta el agua genera la fuerza F

Desde que 3 litros de agua constituyen 3 kg de agua, con ayuda de la figura el valor de la fuerza F

puede calcularse a partir de la ecuacin:

Ft = MV, F = t

MV

=

5,0

53 = 30 N.

La fuerza en la direccin del movimiento es:

Fy = F cos60 = 30(0,5) = 15 N

Fy = mt

v

; v =

m

tFy =

1

)5,0(15 = 7,5 m/s

La energa total consumida es igual a la energa cintica total desarrollada por el pez que es igual a

su energa cintica mas la energa cintica del agua removida

E = mv2 + MV2

E = 0,5(1)(7,5)2 + 0,5(3)(5)2 = 65,6 J

La potencia es P = E /t

P = 65,6/0,5 = 131,2 w

Fy F

Fx

60


EJEMPLO 17. La figura representa a un hombre de puntillas intentando levantar un peso. Si su peso

es de 70 kg. Cul ser el peso mximo que podr levantar sin caer hacia delante, suponiendo que todas

sus articulaciones son rgidas? 0A = 15 cm ; AB = 60 cm

A

B

0 A

Figura 27 La lnea que pasa por la punta de los zapatos es la lnea de apoyo y las verticales que

pasan por 0 y B pasan tambin por los centros de gravedad del hombre y de la caja respectivamente

Sean W y Wh los pesos de la caja y del hombre respectivamente. Tomando momentos respecto al punto

A tenemos:

W ( BA ) = Wh( 0A )

W(60 cm) = (70 kg)(15 cm)

W = 17,5 kg

Problemas:

1. Para un caballo de carreras que se mueve a una velocidad de 13,4 m/s, halle (a) la velocidad mxima de acortamiento del msculo de la pierna (Teres mayor) y (b) la potencia desarrollada por

este msculo durante una carrera de trabajo para una fuerza de 1335 N

(a) vs = 1,03 m/s (b) P = 688 w

2. Una persona de 734 N sube corriendo las escaleras de 7,3 m de altura en 5 s a) Qu potencia

promedio se desarrolla (b) Cunto tardara una persona de este peso subiendo las escaleras si alguna condicin de su corazn limitara la capacidad a 0,1 hp?

(a) P = 1072 W (b) 1 min 12 s

3. Si usted tuviera que mover una roca de una tonelada. Podra hacerlo con un tronco de 3 m de

largo, tomando 10 cm para el brazo mas corto y suponiendo que usted puede ejercer una fuerza de 310 N? Ilustre con un diagrama su respuesta.

0,10 m 2,90m

310 N 9800 N Rpta. no porque 2,90(310) < 1000(9,8)(0.10)

01_BIOMECANICA

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