VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 BSemestre 99-00 B

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

O

Eje X

Eje Y

Eje Z

Sistema de coordenadas de la mano derecha

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Eje Y

Eje X

Eje Z

u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u

u

ab

Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así:

c

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Eje Y

Eje X

Eje Zu=(a,b,c)

u

ab

c

Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u así:

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioPunto P en el espacio

(a,b,c)3

Vector u=OPdesde el origen hasta P

Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas

rectangulares

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Eje X

Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}

Eje Y

Eje Z

O

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio Plano XZ=

{(x,y,z)3/ y=0}

Eje X

Eje Z

O Eje Y

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}

O Eje Y

Eje Z

Eje X

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioSean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)

producto por un escalar u como

u=(au1, au2, au3).

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioLa magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras.

23

22

21 uuuu

Un vector de norma 1 se llama vector unitario

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1)

Ejemplo Nº1

b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioSolución Nº1

3144u

por lo tanto

(2,-2,-1) es el vector buscado

34

uu4

a)

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espaciob) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X.

Eje YEje X

Eje Z

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioPor lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario.

u=(a,b,c) unitario

Eje X

Eje Y

Eje Z

ua= cos

b= cos c= cos

cos2+cos2+cos2 =1

, , son los ángulos directores

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:

u.v=u1v1+u2v2+u3v3

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

Eje Z

/2

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

Interpretación geométrica:

Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u

v

u

Proyvu= vv

v.u2

ucos

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioTeorema:

v

u

Proyvu

Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que

es un vector ortogonal a vvv

v.uvu

2w=

w=u-proyvu

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioPrueba del Teorema:

Por lo tanto wv

0vv

v.uv.u

v.vv

v.uv.uv.v

v

v.uu

22

22

w.v=

w.v=

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3).

Ejercicio Nº2

c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)

b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w.

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3.

Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho

Producto vectorial

Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

ixi=0 jxj=0 kxk=0

ixj=k jxi=-k kxi=j ixk=-j jxk=i kxj=-i

Producto vectorial

u= ai+bj+ck

v= xi+yj+zk

uxv(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioProducto vectorialUna regla nemotécnica para recordar la

definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”:

y calcular el mismo por cofactores de la primera fila

321

321

vvv

uuu

kji

uxv=

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioProducto vectorialTeorema:

Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces

Prueba:

senvuuxv

2222)v.u(vuuxv

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioProducto vectorial

Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y un número real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) (u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple)Prueba: Use MATLAB

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioInterpretación geométrica del producto cruz

Area del paralelogramo generado por los vectores u y

v = uxv

Eje Z

Eje YEje X

usen u

v

Area= v usen

uxv

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioInterpretación geométrica del producto cruz

Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|

Eje Z

Eje YEje X u

v

wArea de la base

uxv

Volumen |uxv|Proyuxvw

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioSolución Nº2

)3,1,2(14

2)3,1,2(

914)3,1,2).(1,3,2(

vv

v.u2

Proyvu=

73

,71

,72

Proyvu=

u.v=0, v.w=0, de donde uv y v w (forman un ángulo

de /2).u.w=3,

, por lo tanto u.w= wu3w 1u

de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacioSolución Nº2u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-

2) si

a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es

210

001

210

211211 RRR

Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).