VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.)...

VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 BSemestre 99-00 B

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

espacio

O

Eje X

Eje Y

Eje Z

Sistema de coordenadas de la mano derecha

Alg

eb

ra l


espacio

Eje Y

Eje X

Eje Z

u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u

u

ab

Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así:

c

Alg

eb

ra l


espacio

Eje Y

Eje X

Eje Zu=(a,b,c)

u

ab

c

Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u así:

Alg

eb

ra l


espacioPunto P en el espacio

(a,b,c)3

Vector u=OPdesde el origen hasta P

Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas

rectangulares

Alg

eb

ra l


espacio

Eje X

Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}

Eje Y

Eje Z

O

Alg

eb

ra l


espacio Plano XZ=

{(x,y,z)3/ y=0}

Eje X

Eje Z

O Eje Y

Alg

eb

ra l


espacio Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}

O Eje Y

Eje Z

Eje X

Alg

eb

ra l


espacioSean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)

producto por un escalar u como

u=(au1, au2, au3).

Alg

eb

ra l


espacioLa magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras.

23

22

21 uuuu

Un vector de norma 1 se llama vector unitario

Alg

eb

ra l


espacio

a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1)

Ejemplo Nº1

b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X

Alg

eb

ra l


espacioSolución Nº1

3144u

por lo tanto

(2,-2,-1) es el vector buscado

34

uu4

a)

Alg

eb

ra l


espaciob) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X.

Eje YEje X

Eje Z

Alg

eb

ra l


espacioPor lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario.

u=(a,b,c) unitario

Eje X

Eje Y

Eje Z

ua= cos

b= cos c= cos

cos2+cos2+cos2 =1

, , son los ángulos directores

Alg

eb

ra l


espacio

Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:

u.v=u1v1+u2v2+u3v3

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

Alg

eb

ra l


espacio

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

Eje Z

/2

Alg

eb

ra l


espacio

Interpretación geométrica:

Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u

v

u

Proyvu= vv

v.u2

ucos

Alg

eb

ra l


espacioTeorema:

v

u

Proyvu

Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que

es un vector ortogonal a vvv

v.uvu

2w=

w=u-proyvu

Alg

eb

ra l


espacioPrueba del Teorema:

Por lo tanto wv

0vv

v.uv.u

v.vv

v.uv.uv.v

v

v.uu

22

22

w.v=

w.v=

Alg

eb

ra l


espacio

a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3).

Ejercicio Nº2

c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)

b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w.

Alg

eb

ra l


espacio

El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3.

Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho

Producto vectorial

Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

Alg

eb

ra l


espacio

ixi=0 jxj=0 kxk=0

ixj=k jxi=-k kxi=j ixk=-j jxk=i kxj=-i

Producto vectorial

u= ai+bj+ck

v= xi+yj+zk

uxv(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k

Alg

eb

ra l


espacioProducto vectorialUna regla nemotécnica para recordar la

definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”:

y calcular el mismo por cofactores de la primera fila

321

321

vvv

uuu

kji

uxv=

Alg

eb

ra l


espacioProducto vectorialTeorema:

Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces

Prueba:

senvuuxv

2222)v.u(vuuxv

Alg

eb

ra l


espacioProducto vectorial

Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y un número real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) (u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple)Prueba: Use MATLAB

Alg

eb

ra l


espacioInterpretación geométrica del producto cruz

Area del paralelogramo generado por los vectores u y

v = uxv

Eje Z

Eje YEje X

usen u

v

Area= v usen

uxv

Alg

eb

ra l


espacioInterpretación geométrica del producto cruz

Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|

Eje Z

Eje YEje X u

v

wArea de la base

uxv

Volumen |uxv|Proyuxvw

Alg

eb

ra l


espacioSolución Nº2

)3,1,2(14

2)3,1,2(

914)3,1,2).(1,3,2(

vv

v.u2

Proyvu=

73

,71

,72

Proyvu=

u.v=0, v.w=0, de donde uv y v w (forman un ángulo

de /2).u.w=3,

, por lo tanto u.w= wu3w 1u

de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección

Alg

eb

ra l


espacioSolución Nº2u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-

2) si

a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es

210

001

210

211211 RRR

Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).

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