Ing.Sist. [email protected] (i116-d El Ejido) 952-13-14-12 1 DESCRIPCION DE SISTEMAS Tema 2.

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DESCRIPCION DE SISTEMAS

Tema 2


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Indice

Sistemas en Tiempo Continuo Sistemas Lineales e Invariantes Transformada de Laplace Función de Transferencia Diagramas de Bloques Espacio de Estado


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Sistemas en Tiempo Continuo

Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes o señales que toman valor en cada instante de tiempo

Señales continuas frecuentes

t

( )t

1

0 t

u t( )

1

0

impulso escalon


4

Sistemas en Tiempo Continuo

t

k t u t ( )

0

k

t

e u ta t ( )

0

1

t

s e n )( t

0

1

rampa exponencial

senoidal


5

Sistemas en Tiempo Continuo Descripcion de STC en base a ecuaciones diferenciales

con F en general no lineal.

Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y entradas

Objetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t) (solución de la ecuaciones diferenciales)

0))(),(),...,(),(),(),...,(( )) tutututytytyF mn


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Sistemas Lineales e Invariantes Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la

respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se puede descomponer en la suma de las respuestas individuales

SistemaLineal

)(1 tx )(1 ty

SistemaLineal )(2 ty)(2 tx

SistemaLineal

)()( 2211 txatxa )()( 2211 tyatya


7

Sistemas Lineales e Invariantes

Un sistema en tiempo continuo definido mediante ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si se puede expresar como una combinación lineal de derivadas de la salida y la entrada en la forma

donde y son constantes o funciones del tiempo t . En el caso de que los coeficientes no dependan explícitamente del tiempo el sistema se dice que es invariante en el tiempo.

a y a y a y a y b u b u b unn

nn

mm) ) )' '

1

11 0 1 0

mkbk 1, nja j 1,


8


En el caso de que los coeficientes no cumplan las condiciones reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales.

En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de operación.

Algunos tipos de relaciones No-lineales :valor absoluto, saturación, espacio muerto, relé ideal,…

La característica más importante de los sistemas No-lineales y a la vez limitante es la no aplicación del principio de superposición.


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0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

Valor Absoluto Saturación

Relé IdealZona Muerta

No Linealidades comunes


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La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones:

1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido determinadas.

2. No existen soluciones analíticas, por lo que se han de obtener en forma numérica mediante simulación.

La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación nominal mediante técnicas de aproximación.

La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en torno al punto de operación nominal.


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Transformada de Laplace

Transformada Directa de Laplace

La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales.

La transformada de Laplace de una función se define como

pasando del dominio temporal al dominio complejo , siendo

el par funcion-transformada.

L f t F s f t e dt jst( ) ( ) ( ) ,

s 0

f t F s( ) ( )


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Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace

Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil su cálculo.

1. Linealidad

2. Desplazamiento

3. Amortiguación

4. Derivacion

L a f t a f t a F s a F s1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )

)()()( sFeTtuTtfL sT

L e f t F s aat ( ) ( )

L f t sF s f' ( ) ( ) ( ) 0


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Transformada de LaplaceEn el caso más general

5. Integración

6. Multiplicación por potencias de t

7. Producto

8. Teorema del Valor Final)()()}()({ 2121 sFsFtftfL

L f t s F s s f s f fn n n n n) )( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) 1 2 10 0 0

L f t dtF s

s sf t dt

t

( )( )

( )

1 0

L t f t F sn n n{ ( )} ( ) ( )) 1

)(lim)(lim)(0

sFstffst


14



15



16


La aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a un conjunto de ecuaciones algebraicas en s

Transformada Inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de su transformada , según

El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sino aprovechando el conocimiento de la transformada directa.

j

j

st

t

ttdsesYsYL

0 , 0

0 ),(y )()}({1


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En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya transformada inversa se quiere hallar es una función racional

con

El cálculo de la transf. inversa se realizará descomponiendo Y(s) en fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador D(s) = 0.

La resolución de esta ecuación llamada ecuación característica da como resultado un conjunto de raíces con grados de multiplicidad , en general complejas.

Y sN s

D s( )

( )

( )

gra ( ( )) grado( ( ))do N s D s

nppp ,,, 21 r r rn1 2, , ,


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Transformada de Laplace La descomposición en fracciones se hará de la forma

El cálculo de los coeficientes se hará por igualación o mediante el método de los residuos, tal que:

1) para raíces con grado de multiplicidad 1 (simples),

2) para raíces con grado de multiplicidad rj (repetidas)

nrn

nrn

n

nr

r

rr

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

sD

sNsY

)()()()()(

)()()()(

)()(

1

2

222

2

22

2

21

1

112

1

12

1

11

2

1

Kij

ljpssYKjpsjj ,1 ,)()(

ljrisYpsds

d

iK jps

rji

i

irj j

j

j ,1 1 ))()((

)!1(

11

1

1


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Una vez determinadas las Kij se procederá a calcular y(t) utilizando las relaciones expuestas en la tabla de transformadas de Laplace aplicadas a las fracciones simples obtenidas de la descomposición, tal que:

1) para raíces reales simples

2) para raíces reales múltiples

3) para raíces complejas simples

f t F s( ) ( )

)()(

1tue

pstp

j

j

)()(

!1

tuetps

n tpnn

j

j

)()( 22

tutseneas

jta

jj

j j

jjj jap

)(cos)(

)(22

tuteas

asj

ta

jj

j j


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Función de Transferencia La función de transferencia de un sistema lineal e invariante G(s) está

definida como la relación entre la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la transformada de la entrada U(s), bajo la suposición de condiciones iniciales nulas, tal que

Para el sistema

tomando transformadas en ambos miembros

La función de transferencia es una propiedad del sistema en sí, ya que no depende de la entrada al sistema.

0.)(

)()(

iniccond

sU

sYsG

a y a y a y a y b u b u b unn

nn

mm) ) )' '

1

11 0 1 0

01)1

1)

01)

)()(

)(

asasasa

bsbsbsG

sU

sYn

nn

n

mm


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Función de Transferencia Se pasa pues de representar un sistema que viene dado por su

ecuación diferencial en la forma de función de transferencia.

Esta forma de representación corresponde a la descripción externa, la cual no provee ninguna información de la estructura interna del sistema. Más aún, la función de transferencia de sistemas distintos puede ser la misma (sistemas análogos).

A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema

A las raíces de la ecuación característica se le denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman zeros del sistema.


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Función de Transferencia

)6)(1)(1(

)2)(3()(

sjsjss

sssG

Si un sistema tiene varias entradas y/o varias salidas existe una matriz de transferencia cuyos elementos relacionan cada salida Yi(s) con cada entrada Uj(s), cuando las demás entradas son nulas

G sij ( )

)6)(1)(1(

)2)(3()(

sjsjss

sssG


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Función de Transferencia

jkRiniccondj

iij

k

sU

sYsG

,0 ;0.

)(

)()( i n j m 1 1, , , , y

u1

um

y1

yn

Sistema Multivariable

Por tanto, las funciones de salida serán

Y s Y s Y sn1 2( ), ( ), , ( )

)()()()()()()( 12121111 sUsGsUsGsUsGsY mm

)()()()()()()( 22221212 sUsGsUsGsUsGsY mm

)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY mnmnnn


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Diagramas de Bloques Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de

las funciones realizadas por cada uno de sus componentes y sus interrelaciones. En un diagrama de bloques las variables del sistema se enlazan entre sí a través de bloques funcionales.

El bloque simboliza la operación matemática que el bloque produce a la salida sobre la señal de entrada, expresada como func. de transferencia

Ademas de los bloques funcionales aparecen también el punto de suma y el punto de reparto

UX

Y )(sG

U1

U3

U2

Y

U


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Diagramas de Bloques

El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la transf. de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo

A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.

Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques


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