FAING EPIE _________________ MATEMATICA BASICA IIUNIDAD II: NUMEROS COMPLEJOSSESIN 217. POTENCIAS DE NUMEROS COMPLEJOS (FORMULA DE MOIVRE)

Para todo se cumple que:

Entonces se cumple que:

Llamada formula de MOIVRE

Recordemos: Potencias de un nmero complejo en forma Polar. Calcule si ya se vi que:

Ejemplo 1: Resolvamos en radianes usando la Frmula de De Moivre

Calculemos

IMPORTANTE: Para no equivorcarnos con el ngulo es recomendable hacer un grfico en el plano complejo.

Recordar que: Siendo el angulo principal. En el plano complejo = arctg() = arctg(1) = (cos8.+ isen8.) = (cos2) = 104976(1+i0) = 104976(1+0) = 104976Entonces:

18. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO

Si es un entero con valores sucesivos ,

Luego

Aplicamos MOIVRE

FORMULA PARA CALCULAR LAS RAICES DE UN NUMERO COMPLEJONota: La ecuacin nos indica que un nmero cualquiera tanto real como complejo, tiene races ensimas distintas, donde la primera raz ser para , la segunda raz ser para , la tercera raz ser para , y as hasta llegar a la raz que ser para .

Aunque todas las operaciones con nmeros complejos son importantes es necesario que la solucin de races con nmeros complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinmicas con nmeros complejos se tendr que resolver races. Es debido a esto que antes de resolver una raz con nmeros complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raz cuadrada, para raz cbica , quedando para el estudiante generalizar para raz ensima

Raz cuadrada de un nmero complejo.

Se resuelven dos races y pero ya hemos usado y como los dos primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de y , para las dos races; y .

Para raz cuadrada , para la raz y para la raz

Raz cbica de un nmero complejo. Las tres races de z = a+bi serian: , y .

Ejemplo: Hallar las races de Solucin: r = = = = 4 Graficamos en el plano complejo

est en el II cuadrante

Aplicamos la formula

= [cos(Para k =0 k =1 (cos99 + isen99)k =2 (cos171+isen171)k =3 (cos243+isen243)k =4 (cos315+isen315)

Teorema.- Sea z = a+bi, definimos = , para m y n enteros positivos, donde n y m son primos entre si, se cumple la relacin siguiente

Ing. Luis Nina Ponce Pgina 2 de 2