SESION_02
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FAING EPIE _________________ MATEMATICA BASICA II UNIDAD II: NUMEROS COMPLEJOS SESIÓN 2 17. POTENCIAS DE NUMEROS COMPLEJOS (FORMULA DE MOIVRE) Para todo z = a+bi se cumple que: z = r e iθ Entonces z n = ( r e i θ ) n ¿ r n ( e iθ ) n = r n e ¿ θ = r n ( cosn θ +isennθ ) Entonces se cumple que: ( a+bi ) n = r n ( cos nθ+isen nθ ) Llamada formula de MOI!E !ecordemos: Potencias de un número complejo en forma Polar. Calcule z 1 8 si z 1 = 3 +3 i ya se vió que: z 1 = 3 +3 i = 3 √ 2 ( cos 45 0 +isen 45 0 ) = 3 √ 2 ( cos π 4 +isen 4 z 1 8 = ( 3 +3 i ) 8 = [ 3 √ 2 ( cos45 0 +isen 45 0 ) ] 8 = [ 3 √ 2 ( cos π 4 + Ejemplo 1: Resolvamos en radianes usando la Fórmula de De Moivre ( a+bi ) n = r n ( cosnθ +isennθ ) z 1 = 3 +3 i Calculemos θ !ecordar que: 0 ≤ ° θ ≤ 2 π S"e#do θ el a#$ulo pr"#c"pal% E# el pla#o comple&o θ = arctg b a ' arct$( 3 3 ) ' arct$(*) →θ = π 4 ( 3 +3 i ) 8 = ( 3 √ 2 ) 8 (cos8 π 4 ! isen8 π 4 " ( 3 +3 i ) 8 = 3 8 . 2 4 (cos# π +isen2 π " ( 3 +3 i ) 8 = 1$%&' (1!i$" = 1$%&' (1!$" = 1$%&' Entonces: z 1 8 =( 3 +3 i ) 8 = 104976 18 R)*CE+ DE ,- -,MER. C.M/0E . +i k es un entero con valores sucesivos k = 0,1,2,3, …,n − 1 2 cosθ= cos( θ+2 π k ) y sen θ = sen ( θ+2 π k ) 0ue3o ( a+b i ) 1 n = z 1 / n = [ r( cos θ+isenθ ) ] 1 n ó n √ a+b i = n √ r ( cosθ +isenθ ) ( a+b i ) 1 n = { r[ cos( θ+2 π k ) +isen ( θ+2 π k ) ] } 1 n )plicamos M.*4RE ( a+b i ) 1 n = r 1 n [ cos ( θ+2 π k n ) +isen ( θ+2 π k n ) ] FORMULA PARA CALCULAR LAS RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO Nota: 5 0a ecuación nos indica que un n6mero cualquiera tanto real como complejo2 tiene n ra7ces en simas distintas2 donde la primera ser para k = 0 2 la se3unda ra79 ser para k = 1 2 la tercera ra79 ser para k = 2 2 y as7 ;asta lle3ar a la ra79 n que ser para k = n − 1 5 )unque todas las operaciones con n6meros complejos son importantes es necesario que l soluciónde ra7ces con n6meros complejos I#$% Lu"s N"#a Po#ce P+$"#a 1 de 3 IMPORTANTE: Para #o equ",orcar#os co# el +#$ulo es recome#da-le .acer u# $r+/co e# el pla#o
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FAING EPIE _________________ MATEMATICA BASICA IIUNIDAD II: NUMEROS COMPLEJOSSESIN 217. POTENCIAS DE NUMEROS COMPLEJOS (FORMULA DE MOIVRE)
Para todo se cumple que:
Entonces se cumple que:
Llamada formula de MOIVRE
Recordemos: Potencias de un nmero complejo en forma Polar. Calcule si ya se vi que:
Ejemplo 1: Resolvamos en radianes usando la Frmula de De Moivre
Calculemos
IMPORTANTE: Para no equivorcarnos con el ngulo es recomendable hacer un grfico en el plano complejo.
Recordar que: Siendo el angulo principal. En el plano complejo = arctg() = arctg(1) = (cos8.+ isen8.) = (cos2) = 104976(1+i0) = 104976(1+0) = 104976Entonces:
18. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO
Si es un entero con valores sucesivos ,
Luego
Aplicamos MOIVRE
FORMULA PARA CALCULAR LAS RAICES DE UN NUMERO COMPLEJONota: La ecuacin nos indica que un nmero cualquiera tanto real como complejo, tiene races ensimas distintas, donde la primera raz ser para , la segunda raz ser para , la tercera raz ser para , y as hasta llegar a la raz que ser para .
Aunque todas las operaciones con nmeros complejos son importantes es necesario que la solucin de races con nmeros complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinmicas con nmeros complejos se tendr que resolver races. Es debido a esto que antes de resolver una raz con nmeros complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raz cuadrada, para raz cbica , quedando para el estudiante generalizar para raz ensima
Raz cuadrada de un nmero complejo.
Se resuelven dos races y pero ya hemos usado y como los dos primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de y , para las dos races; y .
Para raz cuadrada , para la raz y para la raz
Raz cbica de un nmero complejo. Las tres races de z = a+bi serian: , y .
Ejemplo: Hallar las races de Solucin: r = = = = 4 Graficamos en el plano complejo
est en el II cuadrante
Aplicamos la formula
= [cos(Para k =0 k =1 (cos99 + isen99)k =2 (cos171+isen171)k =3 (cos243+isen243)k =4 (cos315+isen315)
Teorema.- Sea z = a+bi, definimos = , para m y n enteros positivos, donde n y m son primos entre si, se cumple la relacin siguiente
Ing. Luis Nina Ponce Pgina 2 de 2
