Elasticidad Elasticidad modelamiento y tratamiento modelamiento y tratamiento

numériconumérico

Ahmed OuldUniversidad de los Andes

PROBLEMA MECÁNICOPROBLEMA MECÁNICO

1.Tensor de Deformación

2.Tensor de Esfuerzos

3.Ley de Comportamiento

4.Condiciones de Frontera

NotacionesNotaciones El índice repetidoEl índice repetido

Índice repetido=productoÍndice repetido=producto espacio del puntoun es ),,( 321 xxxx

1. Tensor de Deformación1. Tensor de Deformación

ejemplosejemplos

31

331

21321

00

040

002

))((

),,4,2(),,()( .1

xue

xxxxxxuxu

01

43

134

))((

),,,32(),,()( .2

32

32

1

1322

2

1321

xx

xx

x

xue

xxxxxxxxuxu

PropiedadesPropiedades

linealidad La )( )( ) ( 1. veuevue

)()( es esto simétrico es )( 2. ueueue jiij

bxxu

uue

)(

decir es rigido, movimiento de

entodesplazamiun es si soloy si 0)( .3

2. Tensor de Esfuerzos2. Tensor de Esfuerzos

nxxTRx

nT

xT

x

x ).()( que tal)( matriz una existe

decir Es . normal la de telienalemen depende que

mostrar puede Se .)( ezfuerzo de vector el llamada

fuerza"" una es punto elen B sobreA de efecto El

33

Propiedades del tensor de Propiedades del tensor de esfuerzos esfuerzos

1dimension en

resorte del tension la a equivale 2.

simétricoun tensor es )( .1 33 xRx

Ecuación de EquilibrioEcuación de Equilibrio

La suma de las fuerzas es nula sobre cualquier subdominio de un sólido dado.

externointerno

. dsn σ(u)fdx

0

entonces arbitrario es

0

fσdiv

dxdivσfdx

Y con el teorema de la divergencia

Ecuación de equilibrio

3,2,1 0 ,

ifσijij

Ensayos reologicos

ELASTICIDADELASTICIDAD

1dimensión en lkT

tr(e(u)) Iλμe(u)σ(u) 2

poisson de ecoeficient

Young de modulo

Lamé de escoeficient ,

E

.

υ)υ)((

Eυ λ

υ)(

Eμ

12112

En dimensión 3 : 1. como si fueran muchos resortes en todas la direcciones2. En el caso homogéneo isotropico

Itr(σE

σ(u)E

e(u) )1

Ejemplos de modulo de Young y Ejemplos de modulo de Young y coeficiente de Poissoncoeficiente de Poisson

aluminioaluminio

hierohiero

aceroacero

)/( 2mNE

111073.0 111013.2

111015.2

34.0

28.0

29.0

Sentido de Sentido de EE y y

333222111

331

21321

)( ,)( ,)(

00

00

001

)(

000

000

00

),,4,2(),,()( .1

cxE

sxucx

E

sxucx

E

sxu

sE

sE

sE

ue

s

xxxxxxuxu

Principio de trabajos Principio de trabajos virtualesvirtuales

Dado un tensor de esfuerzos. Para cualquier campo de desplazamiento admisible el trabajo de los esfuerzos internosEs igual a el de los externos.

externointerno

1

.. dsv Fdxvfσ:e(v)dxΓΩΩ

FORMULA DE GREEN

dxvdxv jijiijij ,, )(

dxvdxvvdxvejiijijjiij )(

2

1 )(:

,,,

dsnvdxv jijiijij

,

dsFvdxvfdxveItr

Si

dsFvdxvfdxve

iiii

iiii

)(:) ))u(e()u(e2(

entonces elastico elinealment materialun en

entonces entosdesplazami de campoun de

esfuerzos de tensor al ecorrespond

)(:

equilibrio delley lacon y

Problemas elípticosProblemas elípticos

Vvvlvua

u

IRVa

IRVVaV

)(),(

que talhallar es poblema El

lineal. forma una :y bilineal forma una

: real, vectorialespacioun Sea

únicasolucion

una tieneproblema el entonces continua

es y continuay elíptica es si :

u

laTeorema

Formulación variacional

0

3 en 0 ,admisibles entosdesplazami : ΓuIRuV

Aplicación a la elasticidad

dsv Fdxvfvl

:e(v)dxtr

xσ(u):e(v)dvua

ΓΩ

Ωijij

Ω

1

..)(

))u(e()u(e 2

),(

4. Condiciones de Frontera4. Condiciones de Frontera

0frontera la de parte una sobre

Dirichlet tipode sCondicione

Γuuo

ΓF

Γn

ΓFn

sobre lessuperficia fuerzas de campo es

de saliente normal vector el es

frontera la de parte una sobre .

Neumann tipoVon de sCondicione

1

1

Finalmente un problema mecánicoFinalmente un problema mecánicoEn general y de E.L. en particular En general y de E.L. en particular se compone de:se compone de:

1. Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio2. Ley de comportamientoLey de comportamiento3. Condiciones de fronteraCondiciones de frontera

Simplificación en dimensión 2Simplificación en dimensión 2 A veces la forma geométrica y la textura del los

sólidos o de las fuerzas externas permiten de reducir la dimensión del problema de 3 a 1 ó 2.

El caso mas usado es en dimensión 2 para cuerpos de grosor constante h, cando las fuerzas externas satisface lo siguiente1. La tercera componente de las fuerzas de volumen es 02. las fuerzas superficiales externas en las partes laterales

constantes en la dirección del grosor3. No hay fuerzas en las bases.

3,2,1,03 jσ j

Esfuerzos planosEsfuerzos planos

3,2,1,0)( 3 jue j

Deformaciones planasDeformaciones planas

EL modelo numéricoEL modelo numérico

1.1. Pasar a dimensiones finitasPasar a dimensiones finitas

2.2. Discretizacion y Elementos finitosDiscretizacion y Elementos finitos

3.3. Casos particularesCasos particulares

n

nnnnn

nn

n

u

Vvvlvua

Vu

VnV

únicasolucion una tiene

)(),(

que tal hallar de poblema El

de dimension de subespacioun Sea

n

n

u

uu

hallar es ahora problema El

deon aproximaci una es

deon aproximaci La u

n

iinnnn vV

1i2121 t.q, ,..., , . de base una ,...,, Sea

nilaii

n

jjj

,...,1 )(),(1

jj

n

jij ba

1

Sistema lineal

,...,1 )(),( así, Pero

,..,1 )(),( particularen , )(),( Pero

11nilau

niluaVvvlvua

ii

n

jjj

n

jjjn

iinnnnn

Bilinealidad

Cual es el problema en la Cual es el problema en la formulación ?formulación ?

Elegir las funciones de base de Elegir las funciones de base de manera que la matriz de este manera que la matriz de este sistema sea fácil a calcular y que el sistema sea fácil a calcular y que el sistema sea fácil a resolversistema sea fácil a resolver

Ejemplo en dimensión 1

en 0

en

u

fcuu

Ejemplo sencillo: la ecuación de Ejemplo sencillo: la ecuación de laplacelaplace

En dimensión 2:Buscar u tal que

)(),(

es problema este de naln variacioformulació la

vlvua

dafudacuvuu

Las consideraciones a tomar en la elección de las funciones

1. Un máximo de coeficientes de la matrice es cero2. Los que no lo son, deben ser fáciles a calcular

solución

La discretizasión

e eT T

e

e

gdxgdx

T

T

sincillos elementos sobre integralessumar a

reduce se integralcualquier caso, esteen y

e Te

dacuvuudacuvuuvua ),(

Laplace deecuación la de caso El 1.

e Te

davetr(e(u)) Iλμe(u)

davetr(e(u)) Iλμe(u)vua

)(:)2(

)(:)2(),(

lineal delasticida la de caso El 2.

Ejemplos:

T

ji

ji

davetr(e(u)) Iλμe(u)a

Ta

)(:)2(),(

elementeoun en lineal delasticidaen ),(Calcular 2.

uD

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

(u)

.:

001000100

010100000

000001010

100000000

000010000

000000001

2

2

2

ectorialnotacion v una a Pasando

3,3

2,3

1,3

3,2

2,2

1,2

3,1

2,1

1,1

1,3

3,2

2,1

3,3

2,2

1,1

)(:)(

ectorialnotación v una a Pasando

00000

00000

00000

0002

0002

0002

1,3

3,2

2,1

3,3

2,2

1,1

uSu(u)

T

jtt

iji dxSDDa ),(

notacion estaCon