FORMULACIÓN DE

MODELOS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

(PL): ESTRUCTURA

MMAT

2015-2

1

Generalidades de los modelos

Modelo:

Representación simplificada de la realidad con el

objetivo de entender una situación, fenómeno, o

resolver problemas.

Modelo Matemático:

Es una representación simplificada de la realidad

utilizando expresiones matemáticas, con el

objetivo de entender una situación, fenómeno o

resolver problemas.

Solución de problemas a través de

modelos

Características de modelos de

PL

Definición

Un modelo de programación lineal es una interpretación idealizada de la realidad en la que se conocen con certeza los parámetros del modelo, está conformado por expresiones matemáticas (ecuaciones lineales) y al solucionarlo propone cuales deberían ser las decisiones a tomar, en uno o varios periodos de tiempo.

Elementos de un modelo de PL

Un modelo de programación lineal tiene 3 elementos: Variables de decisión, función objetivo, y restricciones. Para realizar una correcta abstracción del problema, que permita identificar los diferentes elementos de un modelo de PL, se propone responder las siguientes preguntas: • ¿Cuál es el objetivo del problema? • ¿Qué puede decidir en la situación planteada? • ¿Qué lo limita para llegar a una mejor solución? • ¿Qué condiciones lógicas adicionales existen?

Giapetto’s Woodcarving Inc, manufactura 2 tipos de juguetes de madera:

soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10

dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano

de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dólares. Un tren

se vende en 21 dólares y utiliza 9 dólares de su valor en materia prima.

Cada tren fabricado aumenta la mano de obra variable y los costos

globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de

madera requieren 2 tipos de mano de obra especializada: carpintería y

acabados. Un soldado necesita 2 horas de trabajo de acabado y 1 hora de

carpintería. Un tren necesita 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería.

Todas las semanas Giapetto consigue todo el material necesario, pero sólo

100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. La demanda de

trenes es ilimitada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por

semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos –

costos). Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que

se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa.

Problema Giapetto’s Woodcarving Inc

Problema Giapetto’s Woodcarving Inc

• ¿Cuál es el objetivo del problema?

Lo que busca la empresa Giapetto’s Woodcarving Inc es

maximizar sus utilidades semanales.

• ¿Qué puede decidir en la situación planteada?

La empresa puede decidir cuántos soldados y trenes se fabrican

en la semana

• ¿Qué lo limita para llegar a una mejor solución?

La empresa se ve limitada por el número de horas de acabado y

de carpintería por semana, además de la demanda de soldados.

¿Qué condiciones lógicas adicionales existen?

Las cantidades de soldados de juguetes y trenes de juguete no

pueden tomar valores negativos y pueden ser cualquier valor real

positivo.

¿Qué puede decidir en la situación planteada?

x1 : Cantidad de soldados a fabricar por semana

x2 : Cantidad de trenes a fabricar por semana

Variables de decisión

¿Cuál es el objetivo de la empresa?

Maximizar utilidad semanal = Ingresos Totales – Costos Totales

Max Z= Ingresos Totales – [Costos MP + Costos MO]

Max Z = [27 x1 + 21 x2] - [(10x1+9x2)+(14 x1+10x2)]

Max Z = (27 – 10 – 14) x1 + (21 – 9 – 10) x2

Max Z = 3x1+2x2

Función objetivo

¿Qué lo limita para llegar a una mejor

solución?

No más de 100 horas de acabado por semana, soldados usan 2 horas y trenes, 1 hora:

2x1 + 1x2 ≤ 100

No más de 80 horas de carpintería por semana, soldados usan 1 hora y trenes, 1 hora.

1x1 + 1x2 ≤ 80

Cuando mucho 40 soldados por semana

x1 ≤ 40

Restricciones

Restricciones de signo

Dan respuesta a las siguientes preguntas: ¿La variable de decisión

puede asumir solo valores no negativos? o bien ¿las variables de

decisión pueden asumir tanto valores positivos como negativos?.

X1, X2 ≥ 0

Otra consideración que se debe tener en cuenta en este punto es:

¿Qué tipo de variable de decisión se definió?, es una variable de

decisión entera, real, binaria etc.

Para este caso la variable es entera, sin embargo en este curso

siempre se definirán las variables como reales.

Restricciones

Expresiones matemáticas que representan el problema. Variables de decisión - ¿Qué puede decidir en la situación planteada?

x1 : cantidad de soldados fabricados por semana

x2 : cantidad de trenes fabricados por semana

Función Objetivo - ¿Cuál es el objetivo de la empresa?

Max Ingresos semanales =3x1 + 2x2

Restricciones Propias del problema - ¿Qué lo limita para llegar a una mejor solución

Horas de acabado por semana 2x1 + 1x2 ≤ 100

Horas de carpintería por semana 1x1 + 1x2 ≤ 80

Número de soldados por semana x1 ≤ 40

Restricciones de signo

X1, X2 ≥ 0

Problema Giapetto’s Woodcarving Inc

1. Proporcionalidad

2. Aditividad

3. Certidumbre

4. Divisibilidad

Supuestos de programación Lineal

Supuestos

Proporcionalidad

El aporte de cada variable al cumplimiento de la función objetivo y de las restricciones es proporcional al coeficiente que la acompaña en tales expresiones.

Max Z = 3x1+2x2

Supuestos

Aditividad

El aporte total al cumplimiento de la función objetivo y de las restricciones es la suma de los aportes de cada una de las variables de decisión tanto en la función objetivo como en las restricciones.

Max Z = 3x1+2x2

El aporte total a la F.O. es de 3 + 2 = 5

Supuestos

Divisibilidad

Las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios. Existen casos en los cuales las variables toman valores enteros, a esto se le conoce como problema de programación entera (PE).

X1, X2 ≥ 0

Supuestos

Certidumbre

El valor de todos los datos (parámetros) del modelo se conoce con total certeza y se asumen constantes en el tiempo. En el caso de Giapetto’s Woodcarving Inc se conoce con certeza la siguiente información la cual no cambia en el tiempo. • Precio de venta de soldados y trenes • Costos variables y fijos • Horas de trabajo en acabado y carpintería • Demanda de cada producto

1. Proporcionalidad

2. Aditividad

3. Certidumbre

4. Divisibilidad

¿Cumple con los supuestos?

Problema METALCO COMPANY

Metalco Company desea hacer una nueva mezcla con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva mezcla a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal (PL).

Problema Detergentes

• ¿Cuál es el objetivo del problema?

Lo que busca la empresa es minimizar el costo

¿Qué puede decidir en la situación planteada?

La empresa puede decidir las libras de cada aleación pequeña a

usar para producir la mezcla deseada.

• ¿Qué lo limita para llegar a una mejor solución?

Los requerimientos de Aluminio, Zinc y Plomo.

¿Qué condiciones lógicas adicionales existen?

Las libras a usar de cada alación no pueden tomar valores

negativos y pueden ser cualquier valor real positivo.

Expresiones matemáticas que representan el problema. Variables de decisión - ¿Qué puede decidir en la situación planteada?

• X1= Cantidad de libras usadas de aleación A1

• X2= Cantidad de libras usadas de aleación A2

• X3= Cantidad de libras usadas de aleación A3

• X4= Cantidad de libras usadas de aleación A4

• X5= Cantidad de libras usadas de aleación A5

Función Objetivo - ¿Cuál es el objetivo de la empresa?

Min Z = 22 X1+20 X2+25 X3+24 X4+27 X5

Restricciones Propias del problema - ¿Qué lo limita para llegar a una mejor solución

Aluminio: 0.6 X1+0.25 X2+0.45 X3+0.2 X4+0.5 X5 = 0.4( X1+ X2+ X3+ X4+ X5)

Zinc: 0.1 X1+0.15 X2+0.45 X3+0.5 X4+0.4 X5 = 0.35( X1+ X2+ X3+ X4+ X5)

Plomo: 0.3 X1+0.6 X2+0.1 X3+0.3 X4+0.1 X5 = 0.25( X1+ X2+ X3+ X4+ X5)

Restricciones de signo

X1, X2 , X3, X4 , X5 ≥ 0

Problema Detergentes

Formulación

La lectura para esta semana

es capítulo 2 numeral 2.5.

GRACIAS!!!