Post on 14-Oct-2015
CATENARIA DEL CONDUCTOR
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Un conductor libremente suspendidoentre dos soportes describe una curvaque es fcilmente deducible ydenominada catenaria.
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Sea el pequeo conductor de longituddl, de peso unitario wc (kg/m), conproyecciones en los ejes dx y dy.
CATENARIA DEL CONDUCTOR
T.cos = Toy = C cosh( x/C)
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Por tanto, estando el conductor en equilibrio, la sumade las fuerzas resultantes en los ejes X e Yrespectivamente sern nulas; es decir:
Fx=0 y Fy=0 que son representadas por las ecuaciones: (T+dT)cos(+d)= T.cos (T+dT)sen( +d)= T.sen + wcdxal desarrollar el coseno y seno trigonomtricos de la
suma (+d), obtenemos: (T+dT)(cos.cosd - sen .send )= T.cos (T+dT)(sen .cosd + cos .send )= T.sen + wcdx
CATENARIA DEL CONDUCTOR
siendo la variacin del ngulo ( 0) muypequeo, entonces podemos aproximar yescribir:
cosd = 1
send = du
por lo que las igualdades se transforman en:
(T+dT)(cos - sen d ) = T.cos
(T+dT)(sen + cos d ) = T.sen + wcdx
CATENARIA DEL CONDUCTOR
efectuando el producto indicado en las ecuaciones,obtenemos:
T.cos - T.sen d + d T.cos - dT.sen d = T.cos T.sen + T.cos d + dT.sen + dT.cos d = T.sen + wcdx
en donde eliminando trminos iguales y tomando encuenta que:
d(T.cos )= -T.sen d + dT.cos d(T.sen ) = T.cos d + dT.sen
entonces:
d(Tcos ) - dT.sen d = 0d(Tsen ) + dT.cos d = wcdx
CATENARIA DEL CONDUCTOR
en el lmite, para una muy pequea variacin de T; entonces dT0, por tanto:
d(T.cos ) = 0 ....................(1)
d(T.sen ) = wcdx ..............(2)
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Siendo T la tension o el tiro (KG) en el punto delconductor de abscisa x, formando un ngulo de grados con la horizontal; la ecuacin (1) nosindica que el valor T cos es una constante, porcuanto su diferencial es nulo; y entonces podemosafirmar que:
" El tiro horizontal (en KG) en cualquier punto delconductor es constante a lo largo de l".
Sea, entonces To ese valor constante, es decir:
T.cos = To ...............(3)
de donde: T = To/ cos
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Si esta ecuacin, la reemplazamos en laecuacin (2)
d(T.sen ) = wcdx ..............(2)
obtenemos:
CATENARIA DEL CONDUCTOR
Siendo To constante y pasando dx al primer
miembro de la ecuacin (6) obtenemos:
CATENARIA DEL CONDUCTOR
CATENARIA DEL CONDUCTOR
CATENARIA DEL CONDUCTOR
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
En Lneas deTransmisin dePotencia, es necesarioconocer la longitud delconductor suspendidoentre dos puntos, porcuanto la longitud totalse emplear paraestimar el costo inicialdel proyecto.
Sea:
dl = (dx)2 + (dy)2
Ahora:
y = C cosh( x/C)
dy = senh( x/C) dx
Entonces:
dl = (dx)2 + (senh( x/C) dx)2
dl = (dx)2 + (senh( x/C) dx)2
dl = (1)2 + (senh( x/C) )2 dx
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
Como:
cosh 2 ( ) - senh 2 ( ) =1
Si sustituimos:
dl = cosh 2 (x/C ) - senh 2 (x/C ) + (senh( x/C) )2 dx
dl = cosh (x/C ) dx
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
Sea "a el vano o distancia horizontal entre los dos puntos de suspensin.
Integremos la ecuacin
anterior:
dl= cosh( x/C) dx
dl= 2 cosh( x/C) dx
a
+a/2
-a/2
0
+a/2
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
l= 2 C senh ( a /2C)
Que representa la longitud total del conductor
instalado con sus extremos al mismo nivel.
ECUACION DE FLECHA
Denominamos flecha a la mxima distancia verticalentre el segmento que une los extremos delconductor y ste.
En el caso de conductores a nivel, la flecha se ubicaa medio vano y sobre el eje de ordenadas.
Este concepto es muy importante, ya que losconductores son instalados en el campo teniendodisponible la Tabla de Flechas para el tendido.
La flecha es la diferencia de Ordenadas entre lospuntos de suspensin y la ordenada del vrticedel conductor
ECUACION DE FLECHA
f= yB C
f = C cosh(a/2 C ) C
f = C [cosh(a/2 C ) 1]
Fjense que como lastorres estn a nivel el vanose ubica en ele medio de lacatenaria
flecha
C
ECUACION DE FLECHAPodemos encontrar una frmula aproximada que calcule la
flecha, si tenemos en cuenta la expansin de Taylor para el
coseno hiperblico:
Entonces f = C[1 + (a/2 C )2/2 ! 1]= a2/8 C
f = a2W/8 To
Si consideramos que el peso unitario W es constante, entonces
deducimos que si el tiro To (en KG) aumenta, entonces la
flecha disminuye; esto tambin se dice que a mayor tensin
entonces menor flecha, de la misma forma que a mayor
parmetro.
TENSION o TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
La expresin y.w es el producto de la ordenada del punto de
abscisa x del conductor por el peso por unidad de longitud
cuyo valor resulta en Kg y representa el tiro en el punto de
abscisa x; es decir:
TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
Otro concepto que es necesario definir es elesfuerzo, el cual frecuentemente es utilizadoen reemplazo del Tiro, en razn que susvalores son ms pequeos. El esfuerzo delconductor, lo definimos como el cociente dedividir el tiro por la seccin.
= T/A Siendo A la seccin transversal delconductor en mm2 y T el tiro en Kg encualquier punto del conductor.
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
Y como la tensin en un punto x es:
l
l l
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
Conocer el valor del tiro o tensin en elextremo del conductor, es necesario porque permite conocer el mximo valor deKilogramos a que se ver sometido elsoporte y como se sabe, la componentehorizontal de este Tiro es To, valoresindispensables para realizar el diseo deestructuras. Para conductores a nivel, eltiro en los extremos del conductor soniguales, por que se encuentran ubicadosen la misma ordenada. Por lo que esdeseable que las estructuras estninstaladas a la misma cota paraaprovechar este efecto. El tiro en unpunto cualquiera est dado por laecuacin y para:
x = xb = +a/2 Entonces:
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
mm2 del conductor
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
como dato el tiro en el extremo:
Tb= Tmax
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
b h
Vano virtualA
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
En el perfil topogrfico de una lnea de transmisin de potencia,los vanos no necesariamente son a nivel, incluso por las
caractersticas geogrficas (por ejemplo en zonas andinas o la
costa) , pueden disearse lneas que obligan a calcular por
separado vanos contiguos con marcados desniveles.
El presente se analizar el comportamiento de un cable encondiciones de desnivel y deducir los parmetros adicionales
que
debern tomarse en cuenta para un anlisis exacto.
La ecuacin de la catenaria evidentemente es la misma, pero eneste caso los puntos de suspensin (extremos del cable A y B) se
encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
Por tanto la ecuacin del cable ser siempre: y =C cosh (x/C)
Siendo el parmetro: C =To/w
A fin de establecer uniformidad en cuanto a la simbologa a utilizar, lafigura anterior nos indica los parmetros necesarios y sus ubicaciones, los
cuales emplearemos.
En la figura, xA representa la abscisa en donde se encuentra el punto desuspensin izquierdo del cable; en forma anloga xB representa la abscisa
del extremo derecho, respecto al sistema de ejes coordenados cartesianos.
As mismo, h es el desnivel (en metros) y b el vano real
Llamaremos vano virtual al segmento A'B que es el vano si el soporte en A estara en la posicin A a nivel con el soporte en B.
ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
Un Pequeo trozo de cable (dl)
desnivelado con proyecciones dx
y dy sobre los ejes coordenados.
Tomando un diferencial de
longitud (dl) del cable, la longitud
del mismo ser :
dl = (dx)2 + (dy)2
Como:
y = C cosh( x/C)
dy = senh( x/C) dx
Entonces al igual que el caso
anterior:
dl = cosh (x/C ) dx
ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
La integral ser ahora
dl= cosh( x/C) dx
donde se obtiene que:
l= C [ senh (xB/C) - senh (xA/C) ]
xB
xA
ECUACION DE LA LONGITUD DELCONDUCTOR
Para hallar la longitud tenemos:
dl= 2 cosh( x/C) dx
De donde se obtiene
l= C [senh ( xB /C) - senh ( xA /C) ]
Al observar la ecuacin anterior ,
se verifica que para encontrar la
longitud del cable es necesario
conocer las abscisas de los
extremos y el par metro C (o tiro
en el vrtice).
xB
xA
ECUACION DE DESNIVEL
En la figura adjunta, se muestra el desnivel h en un cable suspendido de los extremos A y B y en las
condiciones dadas de instalacin, dicho desnivel h resulta ser la diferencia de ordenadas:
h = y B - y ADe donde se obtiene, a partir de la ecuacin general y =C cosh (x/C) que:
h= C cosh (xB/C) - C cosh (xA/C)
Al observar la ecuacin anterior , severifica que h puede ser positivo,negativo o cero
ECUACION DE DESNIVEL
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
anteriores
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
desnivel
Lo=
Lo2 + h2
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
L = ( lo2 + h2)
L= lo sec
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
lo=
L= lo sec = lo
FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL
M
N
FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL
N
Como f o= C [cosh(a/2 C ) 1]
f = f o [cosh(Xm/ C ) 1]
SAETA
La saeta se define
como la distancia
vertical entre el
punto de
suspensin ms
bajo del cable y
su vrtice. Su
ubicacin fsica es
mostrada en la
figura adjunta.
SAETA
s = ya -C
s = xa2 / 2C como c= To/w entonces:
S = xa2 w / 2To
SAETA
s = ya -C
CALCULAR EL PAR METRO DE LA CATENARIA Y EL VERTICE ( C )
Si disponemos de los datos fsicos de vanos y desnivel, as como el dato adicional de longitud del
cable; es posible calcular el par por unidad de longitud de la catenaria y el vrtice del cable.Sea , la ya definida Lo = ( L
2 - h2) = 2Csenh(a/2C)
continuara