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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
MULTIPLICACIÓN en ℝ
Operación aritmética directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como la indique otra, llamada multiplicador.
a + n = p
Ejemplo:
Efectuar 7,15 (75+√3) con aproximación a
centésimos.
Solución:7,15 7,157/5 1.40√3 1,73
Luego:= 7,15 (1,40 + 1,73)= 7,15 (3,13)= 22,38
Respuesta: El resultado de la operación dada es 22,38 aproximada a centésimo.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES:
1. Propiedad de Clausura :“Si multiplicamos dos números reales, el resultado o producto es otro número real”
Si a R y b R entonces (a ; b) R.
Ejemplo:(8,3) (6,2) = 51,46
2. Propiedad Conmutativa :“El orden de los factores reales no altera el producto”
a x b = b x a
Ejemplo:(8,5) (3,2) = (3,2) (8,5)
( 12 )x (√3 ) = (√3 ) x (12 )
3. Propiedad Asociativa :“La forma como se agrupan los factores reales no altera el producto”
(a . b) . c = a . (b . c)
Ejemplo:
(√5 . √2 ) . √3 = (√5 ) . (√2 .√3 )
4. Elemento Neutro :“Es el uno (1). Al multiplicar cualquier número real por UNO (1) obtenemos el mismo número real”
a . 1 = aEjemplo:(8) (1) = 8
(√3 ) (1) = √3
5. Elemento Absorbente :“Cualquier número multiplicado por CERO (0) da como producto CERO (O)”.
a . 0 = 0
Ejemplo:(12,85) (0) = 0
NIVEL: SECUNDARIA PRIMER AÑO
multiplicando
multiplicador
producto
1
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
(3,9) (0) = 0
6. Propiedad Distributiva :“Al multiplicar un número real con la suma de otros, el resultado es igual a la suma de los productos de dicho número con cada sumando”
a (b + c) = (ab + ac)
Ejemplo:
√3 (35+3) = √3 .
35 + √3 . 3
7. Propiedad de Inverso Multiplicativo:“Al multiplicar un número real distinto de cero por su inverso, el producto resultante es UNO (1)”
a – 1/a = 1
Ejemplo:
12 . (112 ) = 1
( 54 ) . ( 15/4 ) = 1
DIVISIÓN
Dividir dos números reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor no nulo; es decir:
a : b = q equivale a a x 1b = q
para todo b 0
La división de dos números reales a y b, tienen por objeto hallar un tercer número llamado cociente (q), de modo que a = bq
Ejemplo:-8 : 2 = - 4 -8 = (2) (-4)
OBSERVACIÓN
1. La división de números reales no es conmutativa. Es decir:
(a : b) (b : a)2. La división de números reales no es
asociativa. Es decir:(a : b) : c (a) : (b : c)
3. La división de números reales es distributiva en cuanto al divisor respecto a una suma en el dividendo. Es decir:
(a + b) : c a : c + b : c
I. Indicar el nombre de la propiedad al cual corresponde cada uno de los siguientes ejercicios.
Ejercicio Propiedad
(-5) . (3) = 15
(√8 ) (√3 ) = 24
(1/3 x √3 ) = (√3 x 1/3)
(1/2 . √2 ) . (√5 ) =
(1/2) . (√2 . √5 ) (3,3) 1 = 3,3
(5,8) 1 = 5,8
(√9 ) 0 = √9(3√7 ) 1 =
3√77/5 + 0 = 7/5
8 . 1/8 = 1
6 . 1/6 = 1
6 . 1 = 6
6 . 0 = 0
√5 . √3 = √3 . √5√4 . √9 = 6
II. Dar un ejemplo para cada propiedad indicada:
Ejercicio Propiedad
Clausura
Asociativa
ElementoNeutro
Conmutativa
Asociativa
ElementoAbsorbente
Inverso
Ejercicios de aplicación
2
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
Multiplicativo
Distributiva
Asociativa
III.Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicación y División en R con aproximación a décimos.
1) (7,12) (√3 ) =
2) (3,12) (√2 ) (1,11) =
3) 3,768 (1/2 + √2 ) =
4) (3,75 + 2,148) (5,13 + √2 ) =
5) (1, 108 + 1,73) (5,17) =
6) (√2 + 1) (√3 - 1) =
7) ( + 2) (√2 - 1)
8) (2√2 ) ( + 3,8)
9) (3,865) (2,56 + )
10) (7,032) ( + √2 )
I. Efectuar los siguientes operaciones con aproximación a décimos.
1) 8√3 : 4/5
2) 76√5 : 38/5
3) 23/7 : 32/17
4) 2√7 : 6√2
5) 16√7 : 8/9
6) 3√2 : 2√5
7) 16√7 :
45 √2
8) 3√8 : 2√3
9) 8 : 12
10)
283 √5
:
145
II. Efectuar las siguientes operaciones.
1) (-2) x (-3) x (-5)
2) (-3) . (1/3) : (-5) (5-1)
3) (-2) . (1/2) : (-4) . (4-1)
4) √2 . √4 : 2 x 21/2
5) (5,5) (2) : (10) (1)
6) (21/2) (2) : (1) (1-1)
7) 16√2 : 2-1
8) (8) (-3) (-2)
9) (5) (-2) (-3) (21/2)
10) (-2) (-3) (-7) (-9) (54-1)
Tarea Domiciliaria
Nº 4
3
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
POTENCIACIÓN
Es el producto abreviado de un mismo número real mediante una cantidad determinada de veces.Así:
a x a x a x a . .. x a⏟n veces
Donde se tiene:
an = P
NIVEL: SECUNDARIA PRIMER AÑO
4
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
a base realn exponente enteroP potencia real
POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL:Si an , es una potencia donde n N, tenemos
que:
OBSERVACIÓN:En potenciación, el exponente natural “n” nos indica la cantidad de veces que se repite la base “a” real como factor.
Ejemplo:1) (-3)2 = (-3) (-3) = 02) (-2,5)3 = (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMERO REALES:
1. Multiplicación de potencias de bases iguales:
Ejemplo:
√35 . √37 = √35+7 = √312
(-3)8 . (-3)12 = (-3)8 + 12 = (-3)20
2. División de potencias de bases iguales:
o
Casos Particulares:
i) Si m = n, entonces:
Toda potencia de base real distinta de cero y exponente NULO es igual a 1.
ii) Si m = 0, entonces:
3. Potencia de una multiplicación :
Ejemplo:
( 17 . √5)
3=( 17 )
3. (√5 )3
(√2 . 13 )
5= (√2 )5 ( 13 )
5
4. Potencia de una División :
Ejemplo:
(√23 )
5
=√2535
( 0 ,363√3 )
2=
(0 ,36 )23√32
5. Potencia de potencia :
Ejemplo:
[ (0,5 ) 2] 3 = (0,5)6
{ [ √75 ] 2 }
3=√730
RADICACIÓN
an =
a x a x a x . .. . .. x a⏟n veces a
am . an = am + n
am . an = am
an = am -
am
an = am – n = a0 =
a0
an = a0 – n = a-n = 1an
(a . b)n = an . bn
( ab )n
=
an
bn
= am – n - p
5
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
Es la operación inversa a la potenciación. En ella se conoce la potencia y el exponente, debiendo hallar la base.
Es decir:
Donde:n : es el índice ; n N ; n 2a : es el subradical o radicando; a R√ : es el operador radicalr : es la raíz ; r R
Ejemplo:
3√−8 = -2 (-2)3 = -8
SIGNOS DE RADICACIÓN :
1)impar√+A = + r
Ejemplo:3√+27 = + 3
2)impar√+A = - r
Ejemplo:5√−32 = -2
3)par√+A = + r
Ejemplo: √+81 = 9
4)par√+A = R
I. Efectuar las siguiente operaciones de Potenciación y Radicación.
1) (-1/2 + 7)-2 + 1050 =
2) √70+ (5/3)-1 + (2/3)-1 =
3) 5/32 √52
4) (2√3 )2 { [ (38√74 ) 5 ] 0}18 =
5) [ (3√2 ) (5√3 ) ] 2+(1/2)−2 =
6)3√1/8+ 3√−8 =
7)4√−16 =
8) √−64 =
9)5√−32+ 3√64=
10)3√−8−3√−27 =
11) [ √518 :√516 ] 2+√70 =
12) √37 : √311 =
13) ( 10 /√2 )−2 . 50 (7√5+1 ) 0 =
14) (0,42)5 (0,42)10 =
15) { [ (2,5)2 ] 3}2 =
16)3√27 + 1 =
17) [√√√17 ] 0+ 5√32 =
18) √0 ,25+3√0 ,125 =
19) √16+3√−1+√1270=20) √100+
3√−27 =
II. Efectuar las siguientes operaciones combinadas en R :
1) [ (−2 )3 ] 2+ 3√−8 =
2) 222+ 3√−1 =
3) (22 )2+ 3√−1 =
4) [7 ,25∗15 ,02 ] 0,5−2−1
=
n√a= r rn = a
Ejercicios de aplicación
6
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
5) { ( [3 ] 2) 0,25 }2 =
6) ( [−2 ] 2 ) 0,5−3√−27+50 =
7) (-7)0 - 70
8) (1/2)-2 + 5√−32 - 30
9) (0,2) -2 - 3√−64+22
20
=
10) 232−(23 )2+[ 7√52,62 ] 5−( 0,2 )
−1
11) 350−22
1
+(32 ) 0,5 =
12)3√−85 3√−8−4+(3)0 =
13) 238
6
−[ (23 ) 0 ]5+ 4√16 =
14)3√−8+[352 ] 25
−1
=
15) [ √√√√3 ]2−(0,5)−1
+(1/2)−1 =
16) 3100
5
+√4−( 5√327 5√3211) : 21750
=
17) [ 3√−8 ] 220
+ 6√64+(1/2)−1 =
18) (√5 ) (√5 )−1+√π+18−(0 ,125 )−1
=
19) 230
78
+ 5√−32−(1/4 )−2 =
20)52
17013
+(−18 )−2
− (1 /7 )−1 =
I. Efectuar:
1) 164−5
0−6
a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
2) (−9 )2−50
a) 1 b) –1 c) 2d) 3 e) ∄
3) [−1/27 ]−3−80
−83
a) 2 b) –1 c) 1d) –2 e) 3
4) (1/3) –1 + (1/2) –1 + (1/7) –1
a) 7 b) 10 c) 12d) 15 e) 16
5) (1/2) -1 + (1/8) –1 – (1/4) –1
a) 2 b) 1 c) 7d) 6 e) 4
6) Simplificar: 2n+5 : 2n
a) 16 b) 2 c) 8d) 1 e) 32
7) Reducir: √52+m : 5ma) 1 b) 5 c) 10d) 25 e) 12
8) Dar la mitad de: [3n+1 x 2] : 3n
a) 3 b) 1 c) 6d) 2 e) 9
9) Hallar la raíz cuadrada de M si: M = [10n -2] –1 x 10n
a) 100 b) 10 c) 8d) 2 e) 5
10) Efectuar: 5√√6√3 x 60√359
a) 2 b) 1 c) –10d) 3 e) 5
11) Calcular P10 sabiendo que:
P = [ (56)−2] 3 x (259 ) 0Tarea
Domiciliaria Nº 5
7
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
a) 2 b) 0 c) –1d) 1 e) 5
12) ¿Cuánto debemos aumentar a “x” para que se anule?
x = √√√2 x8√27
a) 1 b) –1 c) 2d) 0 e) No se puede
13) Efectuar: √√√165 : 4√163a) 1/2 b) 0 c) –1d) 1 e) 2
14) Reducir:
2a+5∗4 x 2a
4 x 2a−2
a) 32 b) 4 c) 28d) 36 e) 18
15) Reducir:
7 x 8m+1−2 x 8m
4m x 2m+1
a) 3 b) 18 c) 28d) 56 e) 27
16) Efectuar: R = [1/81 ]−16−16−2
−60
a) 9 b) 2 c) 3d) 1 e) 81
17) Simplificar:
[8 (4 /5)−2−(2 /3 )−3−(8 /9)−1 ]( 33√9 )
−3
a) 2 b) 1 c) –4d) 6 e) 8
18) Hallar la séptima parte de: 422−7
0
a) 7 b) 2 c) 1d) 3 e) 5
19) Calcular la mitad de: (1/36 )−2−50
a) 6 b) 3 c) 1d) 1,5 e) 8
20) Efectuar: [(1/7)−5−6−8−7]
0
a) 6 b) 5 c) –1d) 2 e) 1
8
RADICALES I
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
RADICALES HOMOGÉNEOS
Dos o más radicales son homogéneos si tienen el mismo índice:
Ejemplo:
3√7 ;
3√11 ; 3√2 son radicales
homogéneos.
3√6 ; √6 ;
5√5 no son radicales homogéneos.
Si dos radicales son homogéneos podemos multiplicar o dividir sus radicandos, escribiendo el mismo radical, pero no podemos hacer nada con la suma o la resta de los mismos:
Ejemplo:
3√2 x 3√5 x 3√7 =
3√2 x 5 x 7 = 3√70
5√645√2 =
5√642 = 5√32 = 5
5√7 x 5√25√3 =
5√145√3 =
5√143Bien ya vimos como operar con radicales homogéneos, pero .....¿qué hacer con las multiplicaciones o divisiones de radicales que no son homogéneos?
En estos casos podemos HOMOGENIZAR dichos radicales para lo cual necesitamos conocer el siguiente principio.
Multiplicando el índice de un radical y el exponente del radicando por una misma cantidad, el valor aritmético de la raíz no se altera.
Recordemos que:
n√am =nk√amk
NIVEL: SECUNDARIA PRIMER AÑO
9
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
n√am = amn
Si se trata de nk√amk tendremos:
nk√amk = amknk = a
mn
Luego: n√am =
nk√amk
Ejemplo:
3√25 expresarlo como un radical de índice 12.
Solución:Logramos esto multiplicando el índice 3 y el exponente 5 respectivamente por 4, sin que el valor aritmético de la raíz se altere; es decir:
8√25= 4 x 3√25 x 4 =12√220
Escribir bajo un solo radical3√72 x 4√73 x 6√75
Solución:
Primero:
Nos damos cuenta que el mcm (3 ; 4 ; 6) índices de las raíces es 12.
Segundo:
Llevamos cada radical como índice 12.
3√72= 3 x 4√72 x 4 =12√78
4√73= 3 x 4√73 x 3 =12√79
6√75= 2 x 6√75 x 2 =12√710
Tercero:
Operamos:
= 3√72 x
4√73 x 6√75
= 12√78 x
12√79 x 12√710
..... ¡radicales homogéneos!
= 12√78 x 79 x 710 =
12√727
= 72712 = 7
94 =
4√79
5) RADICALES SEMEJANTES :Dos o más radicales son semejantes si además de tener el mismo índice, tienen la misma cantidad subradical (o el mismo radicando).
Para sumarlo o restarlo operamos con los factores que le anteceden escribiendo luego el mismo radical, así:
5 5√3 +7 5√3=12 5√3
Para multiplicarlos o dividirlo, procedemos como en RADICALES HOMOGÉNEOS, así:
(5√2 ) (3√2 ) = 15√2√2 = 15√2 x 2 = 15√4= 15 x 2 = 30
Ejercicios de aplicación
10
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
I. Escribir bajo un solo radical:
1)3√5 3√2 3√3 =
2) √2 √2 √2 √2 =
3)4√7 4√7 4√7 4√7 =
4)10√2 10√3 10√4 =
5) √11 √2 √3 √5 =
6)3√7+ 3√2 +3√5 =
7)3√7 3√2 3√5 =
8)
6√2 6√5 6√46√20 =
9)
7√2 7√8 7√37√4 7√12 =
10)
5√3 5√2 5√75√6 5√3
II. Homogenizar los siguientes radicales:
1)4√25 ; √23 =
2)5√36 ; 15√32 =
3)7√52 ; 14√5 =
4)3√27 ; 4√23 =
5)6√83 ; 5√82 =
6)3√7 ; 6√723 ; 12√75 =
7)8√27 ; 24√25 ; 6√25 =
8) √113 ; 4√113 ; 9√112 ; 6√115
9)3√132 ; 12√135 ; 8√133 ; 6√13 =
10)7√192 ; 3√19 ;
81√194 ; √19 =
III. Escribir bajo un solo radical:
1) √2 . √3 . √5 =
2)3√7 . 3√6 . 3√2 =
3)3√7 . 3√7 . 3√7 =
4) √2 .4√23
5) [5√93 . 6√95 . 5√9 ] : [10√97 ] =
6) [ 7√73 . 14√79 . 28√73] : [28√719 ] =
7) [√2 . 6√25 . 12√27 ] : [12√217 ] =
8) [11√113 . 22√115 . 44√117] : (44√1123 ) =
9) [ 4√133 . 8√135 . 12√13 ] : (6√137 ) =
10)
3√3 . 5√34 . 10√3730√355 =
IV. Efectuar:
1) √2+√2+√2 =
2) 7√5 + 2√5 + 8√5 =
11
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
3) -63√2 + 3
3√2 - 103√2 =
4) -87√5 - 6
7√5 - 7√5 =
5) 3√3 + 10√2 + 8√3 - 10√2 =
6) 8√7 + 5√5 + 6√7 - 2√5 =
7) √2 + 2√2 + 3√2 =
8) √5 + 2√7 - 3√5 + 7√7 =
I. Efectuar:1) √5 + √5 + √5 =
2) 6√3 + 3√3 - 2√3 =
3) -23√7 + 3
3√7 - 13√7 =
4) 87√3 - 3
7√3 - 57√3 + 2
7√3 =
5) 8√2 + 3√2 + 1√2 - 5√2 =
6) √5 - 3√5 + 2 √7+ 7√7 + 2√5 - 9√7 =
7)3√11 - 3
3√11 + 53√11 + 9
3√11 =
8) 10√3 + 3√3 - 5√3 =
9) 37√2 -
7√2 + 7√2 + 9√2 - 5√2 =
10) 86√9 + 7
6√9 - 56√9 =
II. Homogenizar los siguientes radicales
1)3√32 ; 6√34 ; 81√321 =
2) √53 ; 6√54 ; 8√510 ; 12√59 =
3)7√192 ; 3√19 ; 21√194 =
4)7√52 ; 19√5 ; 21√55 =
5)3√27 ; 4√23 ; 6√2 =
6) √120 ; 3√122 ; √125 =
7)3√132 ; √13 ; 10√311 =
8)5√113 ; 2√115 ; 3√118 =
9)2√7 ; 3√75 ; 5√73 ; 2√73 =
10)3√9 ;
5√92 ; 4√93 =
Tarea Domiciliaria
Nº 6
12
RADICALES II
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
EXTRACCIÓN DE UN FACTOR DE UN RADICAL
Para extraer un factor de un radical, descomponemos el radicando en factores de modo que algunos de sus exponentes sea múltiplo del índice de la raíz, para luego aplicar el procedimiento seguido en la RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN.
Ejemplo:
Extraer un factor de 3√517 si es posible.
Solución:Descomponemos el radicando:
3√517 =3√515 x 52
Aplicamos Raíz de una Multiplicación:
3√517 = 3√515 x 3√52
3√517 = 5153 x 3√52
3√517 = 55 x 3√52 = 55
3√52
Ejemplo:
Extraer un factor de √27 x 35 si es posible.
Solución:
√27 x 35 = √26 x 2 x 34 x 3
Aplicamos Raíz de una Multiplicación:
√27 x 35 = √26 x √34 x √2 x √3√27 x 35 = 23 x 32 x √6
√27 x 35= 72√6
INTRODUCCIÓN DE UNA FACTOR EN UN RADICAL
Si necesitamos introducir un factor en un radical de índice “n” sólo tenemos que multiplicar el radicando por la potencia enésima de dicho factor.Ejemplo:Introducir el factor 23 al interior del radical :
23 5√7
Solución:La potencia 5 del factor que está fuera es:
(23)5 ó 23 x 5
Esta potencia la escribimos en el radicando multiplicando al radicando inical 7:
NIVEL: SECUNDARIA PRIMER AÑO
13
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
23 5√7 =
5√23 x 5 x 7
23 5√7 =
5√215 x 7
Ejemplo:Introducir el factor 34 al interior del radical :
34 7√32 x 23
Solución:La potencia 7 del factor que está fuera es:
(34)7 ó 34 x 7 ó 328
Esta potencia la escribimos en el radicando multiplicando al radicando inicial.
34 7√32 x 23 =
7√32 x 23 x 328
34 7√32 x 23 =
7√330 x 23
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Al simplificar un radical lo transformamos en otro equivalente de modo que el nuevo radicando no debe tener factores cuyos exponentes sean mayores o múltiplos del índice de la raíz.
Para simplificar un radical descomponemos el radicando en sus factores primos, arreglándolos de tal modo que los exponentes sean múltiplos del índice, para proceder entonces a extraer factores con esas características.
Ejemplo:
Simplificar √180
Solución:Descomponemos 180 en factores primos
= √2 x 2 x 3 x 3 x 5 = √22 x 32 x 5
√180 = √22 x √32 x √5√180 = 2 x 3 x √5
√180 = 6√5
I. Extraer un factor de:
1)3√516 =
2) √4 x 5 =
3) √9 x 6 =
4)3√27 x 3 =
5)4√16 x 5 =
6)3√26 x 3 x 2 =
7)5√212 x 7 =
8)6√215 x 3 =
9) √100 x 2 =
10) √200 =
11) √300 =
12) √500 =
13)3√77 x 2 =
14) √76 x 3 =
15)3√54 x 2 x 3 =
Ejercicios de aplicación
A
14
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
II. Introducir el factor mostrado en el respectivo radical
1) 2√3 =
2) 5√7 =
3) 2√6 =
4) 3√18 =
5) 6√3 =
6) 3√5 =
7) 72 √75 =
8) 34√3 x 23 =
9) 23 √5 x 2 =
10) 32 3√3 x 2 =
11) 25 3√3 =
12) 7 4√2 x 3 =
13) 33 3√72 =
14) 52 4√23 =
15) 35 3√5 =
SUMA Y DIFERENCIA DE RADICALES
Sumando o restamos radicales sólo si son SEMEJANTES, (cuando además de tener el mismo índice tiene el mismo radicando o cantidad subradical).
Si no lo son realizamos transformaciones o simplificación de radicales hasta obtener tales radicales semejantes.
Ejemplo:
Efectuar: 3√2 + 5√2
Solución:
3√2 + 5√2 = 8√2
Ejemplo:
Efectuar: 83√5+ 6
3√5 - 53√5
Solución:
83√5 + 6
3√5 - 53√5 = 9
3√5
PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES
Podemos multiplicar o dividir radicales sólo si son homogéneos.
En este caso, multiplicamos o dividimos los coeficientes y bajo un mismo radical con el mismo índice multiplicamos o dividimos los radicandos.
Ejemplo:
Efectuar: E = (5√7 ) (2√5 )
Solución:
E = (5√7 ) (2√5 )E = (5 x 2 x√7x√5 )E = 10√35
Ejemplo:
15
IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
Efectuar: F =
(8 3√2 ) (3 3√8)2 3√4
Solución:
F =
(8 3√2 ) (3 3√8)2 3√4
F =
(8 x 3 ) ( 3√2 3√8 )2 ( 3√4 )
F =
24 3√162 3√4 = 12
3√4
POTENCIA DE RADICALES
En estos casos se aplica potenciación de una multiplicación y potencia de una raíz
Ejemplo:
Efectuar: (33√5 )
3
Solución:Potencia de multiplicación:
33 x 3√5 3
Potencia de una raíz:
27 x 5 = 135
Ejemplo:
Efectuar : [25√7 ] 3
Solución:Potencia de multiplicación:
23 x 5√7 3
Potencia de una raíz:
8 x 5√7 3 = 8
5√243
RADICACIÓN DE RADICALES
Para efectuar esta operación aplicamos el caso de Raíz de Raíz.
Ejemplo:
1)3√√729 =
3 x 2√729 = 6√729 = 3
2)5√3√√560=
5 x 3 x 2√560 = 30√560 = 52 =
25
I. Simplificar los siguiente radicales
1) √8 =
2) √12 =
3) √48 =
4)3√54 =
5)3√24 =
6)3√192 =
7) √500 =
8) √245 =
9) √1575 =
10) √63 =
11) √162 =
12)5√480 =
13)3√375 =
14) √180 =
15) √252 =
II. Efectuar las siguientes sumas y diferencias de radicales.
1) 12√2 + 5√2 - √2 =
2) √3 - √2
3) 17√3 + √2 - 19√3 - 7√2
4) 11√5+ √5 - 2√5
Ejercicios de aplicación
B
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IEP Pedro Pablo Atusparia IV BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
5) 13√7+ √5 - 19√5 + √7
6) √8+√2+√32 =
7) 5√8+7√18−2√50 =
8) 33√12−6√75+√243 =
9) 6√28−5√63−2√112 =
10) 73√54+2 3√16−5 3√128 =
III. Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales.
1) (3√7 ) (2√2 ) =2) (-5√2 ) (-8√5 ) (√3 ) =3) (-3√11 ) (√5 ) (4√2 ) =
4) ( 25 √3) [−12 √5 ] (3√2 ) =
5) ( 17 √2) (− 311 √7) (√5 )
=
6) (3√2) (6√5 ) (12√2) =
7)
(3 4√5 ) (2 3√2 )6√3 =
8)
(2 5√7 ) (3 3√2 ) (10√5 )3 15√2 =
9)
√2 5√3 5√23 15√2 =
10)
(5 √3 ) (2 3√2) ( 6√5 )5 6√2 =
IV. Efectuar las siguientes potencias y raíces de radicales.
1) (2 √2 ) 5 =
2) (3 3√3 )2
=
3) (− 12 3√5)2
=
4) (−34 6√7)2
=
5) √√√√532 =
6) [√3√√7 ] 12 =
7)3√3√3√ [√7 √7 ]54 =
8)3√√3√3180 =
I. Extraer un factor de:
1)4√59 x 6 =
2)3√48 =
3)5√68 x 3 =
4)7√139 x 3 =
5)3√74 x 2 x 5 x 3 =
II. Introducir el factor mostrado en el respectivo radical:
1) 24 4√2 =
2) 52 5√2 =
3) 43 3√3 x 5 =
4) 2√100 =
5) 33√2 =
6) 2√1/2 =
7) 8√1/16 =
8) 32√1/64 =
III. Simplificar los siguientes raíces:
1) √1200 =
2) √882 =
Tarea Domiciliaria
Nº7
17
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3) √1875 =
4)5√300000 =
5)3√29160 =
6) √7938 =
7) √13122 =
8)5√21504 =
IV. Efectuar los siguientes sumas y diferencias de radicales.
1) 18 √162−5 √98+6 √12−7 √27 =
2)3√16+3 3√54+6 3√686−3√2 =
3) 5 √6+√294+8 √24−10 √54 =
4) 2 √500+3 √20−3 √245+√180 =
5) 3 3√2376−5 3√1375+2 3√11−5 3√704 =
V. Efectuar los siguientes potencias y raíces de radicales
1) ( 12 5√2)4
=
2) [− 17 5√3]3
=
3) √√√√√√2128 =
4)5√5√5√5√131250 =
18