Post on 25-Jul-2015
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AnaliseMatematica2/ Calculo 2
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Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Calculo Diferencial
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2013/14 - Semestre de Verao
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Derivadas segundo um vetor
Definicao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ int(Df ) entao
f ′~v (~a) = limλ→0
f (~a + λ~v)− f (~a)
λ
representa a derivada de f segundo o vetor ~v no ponto ~a(no caso do limite existir).
Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vetor ~v no ponto ~a.
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Interpretacoes:
f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica o declive da recta tangente aografico de f no ponto ~a que tem a direcao do vetor v .
f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica a taxa de variacao, ou seja, aquantidade de variacao por unidade na direcao de ~v , de fno ponto ~a.
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Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (a, b)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?
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Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1)segundo o vetor (1, 0)?
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Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1)segundo o vetor (0, 1)?
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Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (−1, 1) e(1, 1)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?
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Gradiente
Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (10,−5) e(0, 0) segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?
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Gradiente
Qual o sinal da derivada direcional de f em (10,−5) e (0, 5)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?
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Gradiente
Calcule:1 f ′~v (~a) para f (x , y) = x2y , ~v = (2, 1) e ~a = (1, 0).2 a derivada direcional de f (x , y) = x2 sin(2y),segundo o
vetor ~v = (3,−4) no ponto ~a = (1, π2 ).3 a derivada de
f (x , y) =
{ xyx+y se x + y 6= 0
x se x + y = 0
segundo os vetores ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (1,−1) no ponto~a = (0, 0).
4 a derivada direcional de
f (x , y) =
{2xy
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
segundo o vetor ~v = (1, 1) no ponto ~a = (0, 0).5 a derivada direcional de
f (x , y) =
{y 2 se x = 0y2
x se x 6= 0
segundo os vetores ~v1 = (0, 2) e ~v2 = (1, 2) em ~a = (0, 0).11/49
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Gradiente
1 As figuras apresentam as linhas de nıvel de 3 funcoes.Qual o sinal das derivadas direcionais das funcoes segundoa direcao do vetor ~v = (1, 2) e ~w = (2, 1) nos pontosmarcados?
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Diferencial
Gradiente
Derivadas segundo um vetor parafuncoes vetoriais
Definicao
Seja
~f : Df ⊂ Rn −→ Rm
~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))
e ~a ∈ int(Df ) entao
~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)
)representa a derivada de f segundo o vetor ~v no ponto ~a(no caso dos limites existirem).
Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vetor ~v no ponto ~a.
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Gradiente
Exercıcios
Calcule
1 ~f ′~v (~a) para~f (x , y , z) = (x − z , 2y)
com ~v = (1, 2, 0) e ~a = (1, 1, 1).
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Diferencial
Gradiente
Definicao
As derivadas direcionais segundo os vetores da base canonicade Rn, chamam-se derivadas parciais.
No caso de n=2... os vetores da base canonica sao (1, 0) e(0, 1)...Chama-se derivada parcial em ordem a x a
∂f
∂x(a, b) = lim
λ→0
f (a + λ, b)− f (a, b)
λ
(e a derivada direcional segundo o vetor (1,0)).Chama-se derivada parcial em ordem a y a
∂f
∂y(a, b) = lim
λ→0
f (a, b + λ)− f (a, b)
λ
(e a derivada direcional segundo o vetor (0,1)).
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Gradiente
Notas:
Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, navizinhanca (bola) desse ponto a funcao esta definida por:
apenas uma expressao: Regras de derivacao.mais do que uma expressao: Definicao de derivadaparcial.
Interpretacoes:
∂f∂x (a, b) indica o declive da recta tangente ao grafico de fno ponto (a, b) que e paralela ao eixo dos xx.∂f∂x (a, b) indica a taxa de variacao, ou seja, a quantidadede variacao por unidade de x, de f no ponto (a, b).
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Gradiente
Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ R.k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′
x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′
(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′
(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′
(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′(uv
)′=
u′v − uv ′
v 2(arcsin(u))′ =
u′√1− u2
(uα)′ = αuα−1u′, α ∈ Q� {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2(√
u)′
=u′
2√
u(arctan(u))′ =
u′
1 + u2
(ln(u))′ =u′
u(arccot(u))′ = − u′
1 + u2
(eu)′ = euu′ (|u|)′ =|u|u
u′ =u
|u|u′
(au)′ = au ln(a)u′, a ∈ R� {1} (cosh(u))′ = sinh(u)u′
(uv )′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′ (sinh(u))′ = cosh(u)u′
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Gradiente
Exercıcios
Calcule
∂f∂x (1, 2) e ∂f
∂y (1, 2) onde f (x , y) = x2y + 2exy .
as derivadas parciais de f (x , y , z) = exz + x sin(zy) + zx .∂f∂x (1, 1), ∂f
∂y (1, 1), ∂f∂x (0, 0) e ∂f
∂y (0, 0) onde
f (x , y) =
{x3+y3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:
f (x , y) =
{ 4x2+y2 se x2 + y 2 > 4
ey−2 se x2 + y 2 ≤ 4
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Gradiente
Derivadas de ordem superior aprimeira
Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...
Derivadas quadradas:
∂2f
∂x2=
∂
∂x
(∂f
∂x
)∂2f
∂y 2=
∂
∂y
(∂f
∂y
)Derivadas cruzadas:
∂2f
∂x∂y=
∂
∂y
(∂f
∂x
)∂2f
∂y∂x=
∂
∂x
(∂f
∂y
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Gradiente
Exercıcios
1 Calcule as derivadas ate a 3a ordem das funcoes:
1 f (x , y) = 5xy 3 + 2x2y 2
2 f (x , y) = sin(x)y 5
2 Estude se para f (x , y) =√
16− x2 − y 2 eg(x , y) = x ln(x) + yex se tem que(
∂f
∂x(1, 1)
)2
− ∂2g
∂x∂y(1, 14) +
∂g
∂x(1, 1) = 0.
3 Verifique que para g(x , y) = xyexy se tem que
x∂3g
∂x3+ y
∂3g
∂y∂x2= 0
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Gradiente
Teorema de Schwarz:Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que
∂f∂x , ∂f
∂y e ∂2f∂x∂y existem numa vizinhanca (bola) de (a, b);
∂2f∂x∂y e contınua em (a, b).
Entao∂2f
∂y∂x(a, b) =
∂2f
∂x∂y(a, b).
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Gradiente
Definicao
Seja A um conjunto aberto contido no domınio de f .Uma funcao f diz-se de classe C k (k ∈ N0) em A se e so se fadmite derivadas ate a ordem k (inclusive) em A contınuas eescreve-se
f ∈ C k(A)
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Gradiente
Funcao (definida em R2)diferenciavel
Definicao (diferenciavel)
Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em (a, b) se existem as suasderivadas parciais (em x e em y) neste ponto e se
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f
∂y (a, b)k√
h2 + k2= 0
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Proposicao:Se f e g sao funcoes diferenciaveis entao f + g , f − g , f × g ,fg , (g(x) 6= 0,∀x) e f ◦ g sao diferenciaveis.
Exemplos de funcoesDIFERENCIAVEIS no seu dom. NAO DIFERENCIAVEIS• polinomios • modulo (em 0)• func. algebricas • mantissa (nao e contınua)• func. trigonometricas • por vezes as “unioes” nas• func. trigonometricas inversas funcoes definidas por ramos• func. logarıtmicas e exponenc. ......
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Gradiente
Exercıcios
Estude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:
1 f (x , y) = x2 + y 2 no ponto (1, 2).
2 Seja
f (x , y) =
{ √xy se xy > 00 se xy ≤ 0
no ponto (0, 0).
3 Seja
f (x , y) =
{x3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
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Gradiente
Funcao escalar diferenciavel
Definicao (diferenciavel)
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em ~a se existem as suas derivadasparciais neste ponto e se
lim(h1,...,hn)→(0,...,0)
f (~a + h)− f (~a)− ∂f∂x1
(~a)h1 − ...− ∂f∂xn
(~a)hn√h2
1 + ...+ h2n
= 0
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Gradiente
Propriedades das funcoesdiferenciaveis
Seja f : D ⊂ Rn −→ R, ~a ∈ intDf .
f diferenciavel em ~a ⇒ f contınua em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. na Bε~a
}⇒ f dif. em ~a.
f ∈ C 1(~a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.
f e diferenciavel em ~a ⇒ f admite derivada segundoqualquer direcao em ~a.
ou seja,
f nao e contınua em ~a ⇒ f n e diferenciavel em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~a
existem todas as der. parc. em ~a
}⇒ f dif. em ~a.
f ∈ C 1(a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.
f nao admite derivada segundo alguma direcao ema ⇒ f nao e diferenciavel em ~a.
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ExercıciosEstude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:
1 Seja
f (x , y) =
{ 2x−3yx+y se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
2 Seja
f (x , y) =
{x4
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
3 Seja
f (x , y) =
{y3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
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Plano tangente
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Gradiente
Vamos procurar determinar o plano tangente ao grafico def : R2 −→ R no ponto (a, b).Equacao do plano que passa no ponto (a, b, c):
A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0
Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouseja,
A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0
z − f (a, b) = −A
C(x − a)− B
C(y − b)
chamando λ1 = −AC e λ2 = −B
C temos
z − f (a, b) = λ1(x − a) + λ2(y − b)
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Gradiente
Quando “cortamos” em y = b obtemos
z − f (a, b) = λ1(x − a)
que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos xx’s, portanto o seu declive e ∂f
∂x (a, b) = λ1.Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos
z − f (a, b) = λ2(y − b)
que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos yy’s, portanto o seu declive e ∂f
∂y (a, b) = λ2. Assim, aequacao e
z − f (a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
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Gradiente
Resumindo:A equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(a, b, f (a, b)) e:
z − f (a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
Exercıcio: Determine o plano tangente:
1 ao grafico da funcao f (x , y) = 2x2 + y 2 em P=(1,1,3).
2 a superfıcie de equacao z − 2x2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18).
3 a superfıcie de equacao z = 1− x2 em P=(0,0,1). (verfig.)
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Diferencial
Gradiente
Nota: Repare que se f e diferenciavel no ponto (a, b)
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f
∂y (a, b)k√
h2 + k2= 0
como lim(h,k)→(0,0)
√h2 + k2 = 0 tem-se que (ainda com
“mais forca”)
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f
∂x(a, b)h− ∂f
∂y(a, b)k = 0
donde, para h e k pequenos
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f
∂x(a, b)h − ∂f
∂y(a, b)k ≈ 0
ou seja:
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k
fazendo x = a + h e y = b + ktem-se, para (x , y) proximos de (a, b), que
f (x , y) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
Ou seja, f (x , y) e aproximadamente igual ao plano tangentepara (x , y) proximos de (a, b).Portanto podemos usar o plano tangente como umaaproximacao (por um polinomio de grau 1) ao grafico de fnuma vizinhanca (bola) do ponto.
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Diferencial
Se f e diferenciavel em (a, b)
f (x , y)− f (a, b) ≈ ∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)︸ ︷︷ ︸
∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)
para x “proximo” de ae y “proximo” de b.
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Diferencial
Gradiente
Exercıcios
1 Calcule um valor aproximado de e1.1×0.9.
2 Calcule um valor aproximado de√
9× (1.95)2 + (8.01)2.
3 Seja g ∈ C 1(R2) tal que
x=2.00 x=2.01
y=3.00 7.56 7.42
y=3.02 7.61
Calcule o valor em falta. (Sugestao: use estimativas para∂g∂x (2, 3))
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Diferencial
Gradiente
O gradiente
Definicao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente def no ponto ~a por:
~∇f (~a) =
(∂f
∂x1(~a), · · · , ∂f
∂xn(~a)
)
Exercıcio: Calcule ~∇f (1, 2) onde f (x , y) = y ln(x) + xy 2.
http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html
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Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Aplicacao do gradiente: derivadasegundo a direcao de ~v
Proposicao
Se f : Df ⊂ Rn −→ R e diferenciavel em ~a ∈ int(D) e ~v e umvetor de Rn entao a derivada de f segundo a direcao de ~v edada por
f ′~v (~a) = ∇f (~a)|~v
onde | significa produto interno.
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Gradiente
Exercıcios:
Calcule:
1 A derivada de f (x , y) = x2e−2y no ponto A = (2, 0),segundo o vetor ~v = (1, 2).
2 A derivada direcional de f (x , y) = x3 + xy segundo ovetor ~v = (1, 3) no ponto (1, 2).
3 A derivada de f (x , y) = 3x2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),na direcao de P =
(−3
4 , 0)
para Q = (0, 1).
4 Determine a taxa de variacao de
f (x , y) = 2x2 + 3xy − 2y 2
no ponto (1,−2) na direcao do ponto dado a origem.
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Gradiente
Nota: Se o vetor ~v e unitario (tem norma 1), a derivadadirecional de f no ponto ~a segundo a direcao do vetor ~u:
f ′~u(~a) = ~∇f (~a)|~u =∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥ ‖~u‖ cos(θ) =∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥ cos(θ)
onde θ e o menor angulo formado pelos vetores ~∇f (~a) e ~u.
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Entao:
f ′~u(~a) e maxima quando θ = 0, ou seja, quando ~∇f (~a) e ~vsao dois vetores com a mesma direcao e sentido, e o seu
valor e∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥. Assim a direcao de crescimento
maximo de f e dada por ~∇f (~a).
f ′~u(~a) e mınima quando θ = π, ou seja, quando ~∇f (~a) e ~vsao dois vetores com a mesma direcao e sentidos
contrarios, e o seu valor e −∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥. Assim a direcao
de crescimento mınimo (maximo negativo) de f edada por −~∇f (~a).
f ′~u(~a) e nula quando ~v e ~∇f (~a) sao perpendiculares.Como sobre as linhas de nıvel f ′~v (~a) = 0 entao o vetorgradiente e perpendicular as linhas de nıvel.
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Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (5,−5) e(0,−5)? Verifique calculando.
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Gradiente
Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (0,−5) e(π2 ,−5)? Verifique calculando.
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Gradiente
Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (1, 1)?Verifique calculando.
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Exercıcios I
1 Seja f (x , y) = 2x2y + exy uma funcao diferenciavel no seudomınio.
1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-ograficamente.
2 Calcule f ′(1,1)(1, 0).
3 Determinar um vetor unitario ~u de modo quef ′~u(−1, 0) = 1
2 .4 Qual o valor maximo da derivada direcional de f no ponto
(1, 1)?
2 Considere o campo escalar f (x , y) = ex2+y − 2xy .
1 Calcule as funcoes derivadas parciais de primeira ordem def e justifique que f ∈ C 1(R2).
2 Determine os vetores segundo o qual a taxa de variacao def no ponto (1,-1) e nula.
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Gradiente
Exercıcios II
3 Numa placa semi-circular x2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 atemperatura e dada pela lei
T (x , y) = 3yx2 − x3 + 60
Determine um vetor no ponto P = (1, 1) tangente aisotermica que passa nesse ponto.
4 Considere o campo escalar definido em R2 por
f (x , y) = x2e−2y
e o ponto P = (−2, 0). Determine
1 A direcao segundo a qual a funcao cresce maisrapidamente em P.
2 O valor maximo da derivada direcional no ponto P.3 A direcao segundo a qual f ′
~v (2, 0) = 0
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Gradiente
Exercıcios III
5 Represente o vetor gradiente nalguns pontos.
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