03 calculo diferencial-parte1

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AnaliseMatematica2/ Calculo 2

Derivadasdirecionais

Derivadasparciais

Derivadas deordem superior

T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Calculo Diferencial

Analise Matematica 2/ Calculo 2

2013/14 - Semestre de Verao

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Derivadasparciais


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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Derivadas segundo um vetor

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ int(Df ) entao

f ′~v (~a) = limλ→0

f (~a + λ~v)− f (~a)

λ

representa a derivada de f segundo o vetor ~v no ponto ~a(no caso do limite existir).

Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vetor ~v no ponto ~a.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Interpretacoes:

f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica o declive da recta tangente aografico de f no ponto ~a que tem a direcao do vetor v .

f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica a taxa de variacao, ou seja, aquantidade de variacao por unidade na direcao de ~v , de fno ponto ~a.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (a, b)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1)segundo o vetor (1, 0)?

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1)segundo o vetor (0, 1)?

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (−1, 1) e(1, 1)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (10,−5) e(0, 0) segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Qual o sinal da derivada direcional de f em (10,−5) e (0, 5)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)?

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Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Calcule:1 f ′~v (~a) para f (x , y) = x2y , ~v = (2, 1) e ~a = (1, 0).2 a derivada direcional de f (x , y) = x2 sin(2y),segundo o

vetor ~v = (3,−4) no ponto ~a = (1, π2 ).3 a derivada de

f (x , y) =

{ xyx+y se x + y 6= 0

x se x + y = 0

segundo os vetores ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (1,−1) no ponto~a = (0, 0).

4 a derivada direcional de

f (x , y) =

{2xy

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

segundo o vetor ~v = (1, 1) no ponto ~a = (0, 0).5 a derivada direcional de

f (x , y) =

{y 2 se x = 0y2

x se x 6= 0

segundo os vetores ~v1 = (0, 2) e ~v2 = (1, 2) em ~a = (0, 0).11/49

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

1 As figuras apresentam as linhas de nıvel de 3 funcoes.Qual o sinal das derivadas direcionais das funcoes segundoa direcao do vetor ~v = (1, 2) e ~w = (2, 1) nos pontosmarcados?

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Derivadas segundo um vetor parafuncoes vetoriais

Definicao

Seja

~f : Df ⊂ Rn −→ Rm

~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))

e ~a ∈ int(Df ) entao

~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)

)representa a derivada de f segundo o vetor ~v no ponto ~a(no caso dos limites existirem).

Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vetor ~v no ponto ~a.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios

Calcule

1 ~f ′~v (~a) para~f (x , y , z) = (x − z , 2y)

com ~v = (1, 2, 0) e ~a = (1, 1, 1).

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Definicao

As derivadas direcionais segundo os vetores da base canonicade Rn, chamam-se derivadas parciais.

No caso de n=2... os vetores da base canonica sao (1, 0) e(0, 1)...Chama-se derivada parcial em ordem a x a

∂f

∂x(a, b) = lim

λ→0

f (a + λ, b)− f (a, b)

λ

(e a derivada direcional segundo o vetor (1,0)).Chama-se derivada parcial em ordem a y a

∂f

∂y(a, b) = lim

λ→0

f (a, b + λ)− f (a, b)

λ

(e a derivada direcional segundo o vetor (0,1)).

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Notas:

Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, navizinhanca (bola) desse ponto a funcao esta definida por:

apenas uma expressao: Regras de derivacao.mais do que uma expressao: Definicao de derivadaparcial.

Interpretacoes:

∂f∂x (a, b) indica o declive da recta tangente ao grafico de fno ponto (a, b) que e paralela ao eixo dos xx.∂f∂x (a, b) indica a taxa de variacao, ou seja, a quantidadede variacao por unidade de x, de f no ponto (a, b).

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ R.k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′

x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′

(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′

(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′

(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′(uv

)′=

u′v − uv ′

v 2(arcsin(u))′ =

u′√1− u2

(uα)′ = αuα−1u′, α ∈ Q� {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2(√

u)′

=u′

2√

u(arctan(u))′ =

u′

1 + u2

(ln(u))′ =u′

u(arccot(u))′ = − u′

1 + u2

(eu)′ = euu′ (|u|)′ =|u|u

u′ =u

|u|u′

(au)′ = au ln(a)u′, a ∈ R� {1} (cosh(u))′ = sinh(u)u′

(uv )′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′ (sinh(u))′ = cosh(u)u′

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios

Calcule

∂f∂x (1, 2) e ∂f

∂y (1, 2) onde f (x , y) = x2y + 2exy .

as derivadas parciais de f (x , y , z) = exz + x sin(zy) + zx .∂f∂x (1, 1), ∂f

∂y (1, 1), ∂f∂x (0, 0) e ∂f

∂y (0, 0) onde

f (x , y) =

{x3+y3

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:

f (x , y) =

{ 4x2+y2 se x2 + y 2 > 4

ey−2 se x2 + y 2 ≤ 4

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Derivadas de ordem superior aprimeira

Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...

Derivadas quadradas:

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

)∂2f

∂y 2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)Derivadas cruzadas:

∂2f

∂x∂y=

∂

∂y

(∂f

∂x

)∂2f

∂y∂x=

∂

∂x

(∂f

∂y

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Diferencial

Gradiente

Exercıcios

1 Calcule as derivadas ate a 3a ordem das funcoes:

1 f (x , y) = 5xy 3 + 2x2y 2

2 f (x , y) = sin(x)y 5

2 Estude se para f (x , y) =√

16− x2 − y 2 eg(x , y) = x ln(x) + yex se tem que(

∂f

∂x(1, 1)

)2

− ∂2g

∂x∂y(1, 14) +

∂g

∂x(1, 1) = 0.

3 Verifique que para g(x , y) = xyexy se tem que

x∂3g

∂x3+ y

∂3g

∂y∂x2= 0

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Teorema de Schwarz:Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que

∂f∂x , ∂f

∂y e ∂2f∂x∂y existem numa vizinhanca (bola) de (a, b);

∂2f∂x∂y e contınua em (a, b).

Entao∂2f

∂y∂x(a, b) =

∂2f

∂x∂y(a, b).

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Definicao

Seja A um conjunto aberto contido no domınio de f .Uma funcao f diz-se de classe C k (k ∈ N0) em A se e so se fadmite derivadas ate a ordem k (inclusive) em A contınuas eescreve-se

f ∈ C k(A)

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Diferencial

Gradiente

Funcao (definida em R2)diferenciavel

Definicao (diferenciavel)

Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em (a, b) se existem as suasderivadas parciais (em x e em y) neste ponto e se

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f

∂y (a, b)k√

h2 + k2= 0

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Diferencial

Gradiente

Proposicao:Se f e g sao funcoes diferenciaveis entao f + g , f − g , f × g ,fg , (g(x) 6= 0,∀x) e f ◦ g sao diferenciaveis.

Exemplos de funcoesDIFERENCIAVEIS no seu dom. NAO DIFERENCIAVEIS• polinomios • modulo (em 0)• func. algebricas • mantissa (nao e contınua)• func. trigonometricas • por vezes as “unioes” nas• func. trigonometricas inversas funcoes definidas por ramos• func. logarıtmicas e exponenc. ......

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Diferencial

Gradiente

Exercıcios

Estude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:

1 f (x , y) = x2 + y 2 no ponto (1, 2).

2 Seja

f (x , y) =

{ √xy se xy > 00 se xy ≤ 0

no ponto (0, 0).

3 Seja

f (x , y) =

{x3

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Funcao escalar diferenciavel

Definicao (diferenciavel)

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em ~a se existem as suas derivadasparciais neste ponto e se

lim(h1,...,hn)→(0,...,0)

f (~a + h)− f (~a)− ∂f∂x1

(~a)h1 − ...− ∂f∂xn

(~a)hn√h2

1 + ...+ h2n

= 0

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Propriedades das funcoesdiferenciaveis

Seja f : D ⊂ Rn −→ R, ~a ∈ intDf .

f diferenciavel em ~a ⇒ f contınua em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. na Bε~a

}⇒ f dif. em ~a.

f ∈ C 1(~a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.

f e diferenciavel em ~a ⇒ f admite derivada segundoqualquer direcao em ~a.

ou seja,

f nao e contınua em ~a ⇒ f n e diferenciavel em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~a

existem todas as der. parc. em ~a

}⇒ f dif. em ~a.

f ∈ C 1(a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.

f nao admite derivada segundo alguma direcao ema ⇒ f nao e diferenciavel em ~a.

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Diferencial

Gradiente

ExercıciosEstude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:

1 Seja

f (x , y) =

{ 2x−3yx+y se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

2 Seja

f (x , y) =

{x4

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

3 Seja

f (x , y) =

{y3

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Plano tangente

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Vamos procurar determinar o plano tangente ao grafico def : R2 −→ R no ponto (a, b).Equacao do plano que passa no ponto (a, b, c):

A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0

Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouseja,

A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0

z − f (a, b) = −A

C(x − a)− B

C(y − b)

chamando λ1 = −AC e λ2 = −B

C temos

z − f (a, b) = λ1(x − a) + λ2(y − b)

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Quando “cortamos” em y = b obtemos

z − f (a, b) = λ1(x − a)

que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos xx’s, portanto o seu declive e ∂f

∂x (a, b) = λ1.Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos

z − f (a, b) = λ2(y − b)

que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos yy’s, portanto o seu declive e ∂f

∂y (a, b) = λ2. Assim, aequacao e

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Resumindo:A equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(a, b, f (a, b)) e:

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

Exercıcio: Determine o plano tangente:

1 ao grafico da funcao f (x , y) = 2x2 + y 2 em P=(1,1,3).

2 a superfıcie de equacao z − 2x2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18).

3 a superfıcie de equacao z = 1− x2 em P=(0,0,1). (verfig.)

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Nota: Repare que se f e diferenciavel no ponto (a, b)

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f

∂y (a, b)k√

h2 + k2= 0

como lim(h,k)→(0,0)

√h2 + k2 = 0 tem-se que (ainda com

“mais forca”)

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f

∂x(a, b)h− ∂f

∂y(a, b)k = 0

donde, para h e k pequenos

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f

∂x(a, b)h − ∂f

∂y(a, b)k ≈ 0

ou seja:

f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂f

∂y(a, b)k

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂f

∂y(a, b)k

fazendo x = a + h e y = b + ktem-se, para (x , y) proximos de (a, b), que

f (x , y) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

Ou seja, f (x , y) e aproximadamente igual ao plano tangentepara (x , y) proximos de (a, b).Portanto podemos usar o plano tangente como umaaproximacao (por um polinomio de grau 1) ao grafico de fnuma vizinhanca (bola) do ponto.

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Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Diferencial

Se f e diferenciavel em (a, b)

f (x , y)− f (a, b) ≈ ∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)︸︷︷︸

∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)

para x “proximo” de ae y “proximo” de b.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios

1 Calcule um valor aproximado de e1.1×0.9.

2 Calcule um valor aproximado de√

9× (1.95)2 + (8.01)2.

3 Seja g ∈ C 1(R2) tal que

x=2.00 x=2.01

y=3.00 7.56 7.42

y=3.02 7.61

Calcule o valor em falta. (Sugestao: use estimativas para∂g∂x (2, 3))

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

O gradiente

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente def no ponto ~a por:

~∇f (~a) =

(∂f

∂x1(~a), · · · , ∂f

∂xn(~a)

)

Exercıcio: Calcule ~∇f (1, 2) onde f (x , y) = y ln(x) + xy 2.

http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html

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http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Aplicacao do gradiente: derivadasegundo a direcao de ~v

Proposicao

Se f : Df ⊂ Rn −→ R e diferenciavel em ~a ∈ int(D) e ~v e umvetor de Rn entao a derivada de f segundo a direcao de ~v edada por

f ′~v (~a) = ∇f (~a)|~v

onde | significa produto interno.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios:

Calcule:

1 A derivada de f (x , y) = x2e−2y no ponto A = (2, 0),segundo o vetor ~v = (1, 2).

2 A derivada direcional de f (x , y) = x3 + xy segundo ovetor ~v = (1, 3) no ponto (1, 2).

3 A derivada de f (x , y) = 3x2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),na direcao de P =

(−3

4 , 0)

para Q = (0, 1).

4 Determine a taxa de variacao de

f (x , y) = 2x2 + 3xy − 2y 2

no ponto (1,−2) na direcao do ponto dado a origem.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Nota: Se o vetor ~v e unitario (tem norma 1), a derivadadirecional de f no ponto ~a segundo a direcao do vetor ~u:

f ′~u(~a) = ~∇f (~a)|~u =∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥ ‖~u‖ cos(θ) =∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥ cos(θ)

onde θ e o menor angulo formado pelos vetores ~∇f (~a) e ~u.

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Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Entao:

f ′~u(~a) e maxima quando θ = 0, ou seja, quando ~∇f (~a) e ~vsao dois vetores com a mesma direcao e sentido, e o seu

valor e∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥. Assim a direcao de crescimento

maximo de f e dada por ~∇f (~a).

f ′~u(~a) e mınima quando θ = π, ou seja, quando ~∇f (~a) e ~vsao dois vetores com a mesma direcao e sentidos

contrarios, e o seu valor e −∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥. Assim a direcao

de crescimento mınimo (maximo negativo) de f edada por −~∇f (~a).

f ′~u(~a) e nula quando ~v e ~∇f (~a) sao perpendiculares.Como sobre as linhas de nıvel f ′~v (~a) = 0 entao o vetorgradiente e perpendicular as linhas de nıvel.

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AM2/C2



Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (5,−5) e(0,−5)? Verifique calculando.

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AM2/C2



Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (0,−5) e(π2 ,−5)? Verifique calculando.

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AM2/C2



Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Em que direcao aponta o vetor gradiente nos pontos: (1, 1)?Verifique calculando.

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AM2/C2



Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios I

1 Seja f (x , y) = 2x2y + exy uma funcao diferenciavel no seudomınio.

1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-ograficamente.

2 Calcule f ′(1,1)(1, 0).

3 Determinar um vetor unitario ~u de modo quef ′~u(−1, 0) = 1

2 .4 Qual o valor maximo da derivada direcional de f no ponto

(1, 1)?

2 Considere o campo escalar f (x , y) = ex2+y − 2xy .

1 Calcule as funcoes derivadas parciais de primeira ordem def e justifique que f ∈ C 1(R2).

2 Determine os vetores segundo o qual a taxa de variacao def no ponto (1,-1) e nula.

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Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios II

3 Numa placa semi-circular x2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 atemperatura e dada pela lei

T (x , y) = 3yx2 − x3 + 60

Determine um vetor no ponto P = (1, 1) tangente aisotermica que passa nesse ponto.

4 Considere o campo escalar definido em R2 por

f (x , y) = x2e−2y

e o ponto P = (−2, 0). Determine

1 A direcao segundo a qual a funcao cresce maisrapidamente em P.

2 O valor maximo da derivada direcional no ponto P.3 A direcao segundo a qual f ′

~v (2, 0) = 0

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Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Exercıcios III

5 Represente o vetor gradiente nalguns pontos.

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Derivadasparciais


T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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03 calculo diferencial-parte1

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