UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ® FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
~ UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO E VICf-RFCT"II&r'!O DE INVESTIGACIÓN e 0~3 ! 17 MAR 2014 ~ HORA:/6.::,!.1?. ............................... . O FIRMA: ....................... ,. . ....................... .
INFORME FINAL DEL TEXTO
CENTRO DE DOCUMENTACION CIENTIFICA Y TRADUCCIONES
"TEXTO: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL"
AUTOR: JULIO CESAR BORJAS CASTAÑEDA
PERIODO DE EJECUCION: 01 de abril del 2013 al 31 de marzo del 2014
RESOLUCION DE APROBACION: RR No 347-2013-R
CALLAO, 2014
l. INDICE
l. INDICE
11. INTRODUCCION
111. CONTENIDO
Capitulo 1. Diseño de sistemas de control
1.1 Diseño y compensación de sistemas de control
1
3
4
4
4
1.2 Especificaciones de comportamiento 4 1
1.3 Compensación del sistema 5
1.4 Procedimiento de diseño 6
Capitulo 2. Diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 7
2.1 Introducción 7
2.2 Consideraciones preliminares de diseño 8
2.3 Compensación de adelanto 9
2.4 Compensación en atraso
2.5 Compensación atraso-adelanto
2.6 Compensación paralela
2. 7 Controlador proporcional derivativo.
2.8 Controlador proporcional integral
2.7 Controlador proporcional integral derivativo
Capitulo 3. Diseño de sistemas de control por el método de la
respuesta en frecuencia.
11
12
16
18
19
20
53
3.1 Introducción
3.2 Compensación de adelanto
3.3 Compensación de atraso
53
53
56
3.4 Compensación atraso-adelanto 59
Capitulo 4. Controladores PID y controladores PID modificado 76
4.1 Reglas de Ziegler Nichols para la sintonía de controladores PID 76
4.2 Diseño de controladores PID mediante el método de 83
respuesta en frecuencia
1
4.3 Diseño de controladores PIO mediante el método de la 89
Optimización computacional.
4.4 Modificaciones de los esquemas de control PID 95
4.5 Control con dos grados de libertad 99
Capitulo 5. Variaciones en el diseño del controlador 103
5.1 Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en 103
el espacio de estados
5.2 Asignación de polos utilizando realimentación del estado 104
5.3 Controlabilidad 106
5.4 Observabilidad 106
5.5 Estimación de estado 108
5.6 Realimentación de la salida 112
IV. REFERENCIALES 125
V. APENDICES 126
VI. ANEXOS 136
2
11. INTRODUCCION
El texto presenta un tratamiento del análisis y diseño de los sistemas de control.
Esta escrito para estudiantes de ingeniería (eléctrica, electrónica y otra
especialidades) con la finalidad de que se pueda utilizar como texto para un
segundo curso de sistemas de control. Se supone que el estudiante ha seguido un
primer curso de sistemas de control.
El texto trata de los métodos de diseño de los controladores de procesos PI, PO, y
PID; también el diseño de los compensadores en atraso, adelanto y atraso
adelanto. Los métodos que se aplican al diseño de los controladores son: el lugar
geométrico de las raíces, método de la frecuencia, métodos de Ziegler-Nichols y
realimentación de estados.
El texto está organizado en 6 caprtulos. A continuación se describe brevemente el
contenido de cada caprtulo. El capitulo 1 presenta una introducción al texto y se
explica el procedimiento de diseño. El capitulo 2 aborda el diseño de
compensadores y además los controladores, aplicando el método del lugar
geométrico de las raíces. El capitulo 3 trata el diseño de compensadores por el
método de la respuesta en frecuencia utilizando el diagrama de Nyquist. El capitulo
4 trata del diseño de controladores PID mediante las reglas de Ziegler-Nichols: la
curva de reacción y la oscilación. El capitulo 5 trata del análisis de los sistemas de
control en espacio de estados. El capitulo 6 aborda el tema del diseño de los
sistemas de control en espacio de estados. A partir del capítulo 2 la parte teórica se
refuerza con problemas resueltos y resultados de la respuesta en el tiempo como
resultados de la corrida de programas en Matlab.
111. CONTENIDO
CAPITULO 1
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
1.1 Disefio y compensación de sistemas de control
Este texto presenta aspectos básicos del diseño y compensación de los sistemas
de control. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema para
que satisfagan unas especificaciones determinadas. Las aproximaciones al diseño
de sistemas de control y compensación que se presentan en este texto son la
aproximación mediante el lugar de las raíces, la respuesta en frecuencia y la
aproximación en el espacio de estados. El diseño de sistemas de control basado en
compensadores PIO se presenta en el capítulo 4.
En el diseño real de un sistema de control, el que se utilice un compensador
electrónico, neumático o hidráulico debe decidirse en parte en función de la
naturaleza de la planta que se controla. Por ejemplo, si la planta que se controla
contiene fluidos inflamables, debe optarse por los componentes neumáticos (tanto
un compensador como un actuador) para eliminar la posibilidad de que salten
chispas. Sin embargo si no existe el riesgo de incendio, los que se usan con mayor
frecuencia son los compensadores electrónicos.
1.2 Especificaciones de comportamiento
Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos
impuestos sobre el sistema de control se dan como especificaciones de
comportamiento.
Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la respuesta
transitoria (como, por ejemplo, la máxima sobreelongación y el tiempo de
asentamiento en la respuesta a un escalón) y requisitos en el estado estacionario
(como, por ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo
rampa).
4 ~
Las especificaciones de un sistema de control se deben dar antes de que comience
el proceso de diseño.
Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las
cuales relacionan la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta) se
proporcionan en términos de valores numéricos precisos.
En otros casos, se ofrecen una parte en términos de valores numéricos precisos y
otra parte en términos de planteamiento cualitativos. En este último caso, puede
ser necesario modificar las especificaciones durante el proceso de diseño, ya que
es posible que las especificaciones dadas nunca se cumplan (debido a que los
requisitos producen conflictos) o conduzcan a un sistema muy costoso. Por lo
general, las especificaciones de comportamiento no deben ser más restrictivas de
lo necesario para realizar la tarea definida.
Si la precisión de una operación en estado estable es de vital importancia para un
sistema de control, no se deben pedir especificaciones de comportamiento más
restrictivas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales
especificaciones requerirán componentes costosos.
Recuérdese que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la
precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin
de obtener un sistema de control óptimo para el propósito deseado.
1.3 Compensación del sistema
Establecer la ganancia es el primer paso para llevar al sistema aun comportamiento
satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la
ganancia tal vez no proporcione la alteración suficiente en el comportamiento del
sistema para cumplir las especificaciones dadas.
Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el
comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o,
incluso, inestabilidad.
En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o
incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el
comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea.
S
Este nuevo diseño o adición de de un dispositivo apropiado se denomina
compensación. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las
especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el
comportamiento deficiente del sistema original.
1.4 Procedimiento de diseño
En la aproximación de prueba y error para el diseño de un sistema, se parte de un
modelo matemático del sistema de control y se ajustan los parámetros de un
compensador.
La parte de este proceso que requiere más tiempo es la verificación del
comportamiento del sistema mediante un análisis, después de cada ajuste de los
parámetros. El disefíador debe utilizar un programa para computador como
MATLAB para evitar gran parte del cálculo numérico que se necesita para esta
verificación.
Una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el disefíador debe construir
un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad
absoluta en lazo abierto, el disefíador cierra el lazo y prueba el comportamiento en
lazo cerrado.
Debido a los efectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de
linealidad, los parámetros distribuidos, etc., que no se han tenido en cuenta en el
disefío original, es probable que el comportamiento real del prototipo del sistema
difiera de las predicciones teóricas.
Por tanto, tal vez el primer disefío no satisfaga todos los requisitos de
comportamiento. Mediante el método de prueba y error, el disefíador debe cambiar
el prototipo hasta que el sistema cumpla las especificaciones.
Debe analizar cada prueba e incorporar los resultados de este análisis en la prueba
siguiente. El disefíador debe conseguir que el sistema final cumpla las
especificaciones de comportamiento y, al mismo tiempo, sea fiable y económico.
6
CAPITULO 11
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES
2.1 Introducción
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos para el diseño
y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes
con el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema,
realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. El método que se usa
en este capítulo para el diseño y la compensación es el lugar de la raíces.
Especificaciones de comportamiento. Los sistemas de control se diseñan para
realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se
dan como especificaciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir
dadas como requisito en la respuesta transitoria (como, por ejemplo, el máximo
sobreimpulso y el tiempo de asentamiento en la respuesta a un escalón) y
requisitos en el estado estacionario (como, por ejemplo, el error en estado estable
frente a una entrada tipo rampa).
Las especificaciones se deben dar antes de que comience el proceso de diseño.
Recuérdese que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la
precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin
de obtener un sistema de control óptimo para el periodo deseado.
Diseño mediante el lugar de las raíces. El diseño por el método del lugar de las
raíces se basa en redibujar el lugar de las raíces del sistema añadiendo polos y
ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar
de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano s.
La característica del diseño del lugar de las raíces es que se basa en la hipótesis
de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes. ·
Compensadores. Se necesita un compensador para cumplir las especificaciones
de comportamiento, el diseñador debe realizar un dispositivo físico que tenga
7
incorporada la función de transferencia del compensador. Si una entrada sinusoidal
se aplica a la entrada de una red, y la salida en estado estacionario tiene un
e adelanto de fase, la red se denominara red de adelanto. Si la salida en estado
estacionario tiene un retardo de fase, la red se denominara red de retardo. En una
red retardo-adelanto, ocurren tanto un retardo de fase como un adelanto de fase en
la salida pero en diferentes regiones de frecuencia; el retardo de fase se produce
en la región de baja frecuencia y el adelanto de fase en la región de alta frecuencia.
2.2 Consideraciones preliminares de diseño
Al desarrollar un sistema de control, se sabe que la modificación adecuada de la
dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones
de comportamiento. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas
situaciones prácticas, debido a que la planta este fija y no pueda modificarse. En
este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija. En
este texto se supone que la planta está definida y es inalterable.
Método del lugar de las rafees para el diseño de un sistema de control. El
método del lugar de las raíces es una técnica grafica que permite determinar las
localizaciones de todos los polos en tazo cerrado a partir de las localizaciones de
los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (la ganancia) varía de
cero al infinito. Este método se basa en dos propiedades las cuales son: la
condición de magnitud y la condición de ángulo
IG(s)l = 1 condicion de magnitud
LG(s) = 180°(2n + 1) condicion de angulo jOJ jOJ jOJ
(a) (b) (e)
u
Figura 2.1. (a) Grafica LGR de un sistema de un poto; (b) grafica LGR de un sistema de dos polos; (e) grafica de un sistema de tres polos
Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de
transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces a la
derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de
asentamiento de la respuesta. Físicamente, la adición de un polo significa agregar
al sistema un control integral.
Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de
transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces
hacia la izquierda, lo cual tiende a hacer el sistema más estable, y se acelera el
tiempo de asentamiento de la respuesta. Físicamente, la adición de un cero
significa agregar al sistema un control derivativo. j(i) j(i)
O' O'
(a) (b) (e) (d)
Figura 2.2. (a) Grafica del LGR de un sistema con tres polos; (b), (e) y (d) graficas del LGR que muestran los efectos de la adición de un cero al sistema de tres polos.
2.3 Compensación de adelanto.
Un compensador de adelanto en cascada introduce el cero más cercano al origen
que el polo. La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e
incrementa la estabilidad del sistema.
Figura 2.3. Compensador en adelanto
La función de transferencia de este circuito es
9
La ganancia en continua es R2R4
Kc OC=--R1Rg
Si !. < 2:.... es un compensador en adelanto, es decir oc< 1, T cx:T
jmt (]' ., o ..
1 1 R,c, R,C,
Figura 2.4. Configuración de polos y ceros de la red de adelanto
Técnicas de disefto para la compensación de adelanto. Los procedimientos
para diseñar un compensador de adelanto para el sistema de la figura siguiente,
mediante el método del lugar de las raíces se plantean del modo siguiente:
..
Figura 2.5. Sistema de control
1. A partir de las especificaciones de comportamiento, determine la localización
deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Por medio de una grafica del lugar de las raíces del sistema sin compensar
(sistema original), compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por si
solo proporcionar los polos en lazo cerrado adecuados. Si no, calcule la
deficiencia de ángulo <J>. Este ángulo debe ser una contribución del
compensador de adelanto si el nuevo lugar de las raíces va a pasar por las
localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.
3. Suponga que el compensador en adelanto es
10
~
1 Ts + 1 s +r
Gc(s) = Kc oc T 1
= Kc 1 , (O <oc< 1) oc s+ +
s ocT
Donde oc y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, Kc se
determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto.
4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la
localización del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el
compensador de adelanto contribuya al ángulo el> necesario. Si no se impone
otros requisitos sobre el sistema, intente aumentar el valor de ,oc lo más que
pueda. Un valor más grande de oc, generalmente, proporciona un valor más
grande de Kv, lo que es deseable.
5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la
condición de magnitud.
2.4 Compensación en atraso.
Un compensador de atraso en cascada introduce el polo en lazo abierto más
cercano al origen que el cero. La compensación de retardo mejora la precisión en
estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.
Si ~ > 2.. es un compensador en atraso, es decir oc> 1, así T rx.T
1 1 -->--R¡C¡ R2C2
jOJ
u 1 1 o
--- --R 1C 1 RzCz
Figura 2.6. Configuración de polos y ceros de la red de atraso
Técnicas de diseño para la compensación de retardo.
El procedimiento para diseñar compensadores en retardo se plantea del modo
siguiente:
llar
1. Dibuje la grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no
compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea G(s). en
función de las especificaciones de la respuesta transitoria, situé los polos
dominantes en lazo cerrado en el lugar de las raíces.
2. Suponga que la función de transferencia del compensador de retardo es
1 Ts + 1 s +r
Gc (s) = KcP PT 1 = Kc 1 s+ s+-
PT Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en Gc(s)Gp(s)
3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema.
4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para
satisfacer las especificaciones.
5. Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el
incremento necesario en la constante de error estático sin modificar
apreciablemente los lugares de las raíces originales.
6. Dibuje una nueva grafica del lugar de las raíces para el sistema no
compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre
el lugar de las raíces.
7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir de la condición de magnitud,
para que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la
localización deseada (Kc será aproximadamente 1 ).
2.5 Compensación atraso-adelanto.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado
estacionario, deben utilizarse en forma simultánea un compensador de adelanto y
un compensador de retardo. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador
de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos independientes,
es más económico utilizar únicamente un compensador de retardo adelanto.
La compensación de retardo-adelanto combina las ventajas de las compensaciones
de retardo y de adelanto. Debido a que el compensador de retardo adelanto posee
dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a
12
menos que ocurra una cancelación de pollos y ceros en el sistema compensado. La
función de transferencia para el circuito de la figura
z2
~-.1\M~z-J ---1 r ~--{, 1
l ____________________ J
Figura 2.7. Compensador adelanto·atraso
Por lo tanto se tiene que
Técnicas de compensación de retardo-adelanto. Supóngase que se utiliza el
compensador de retardo-adelanto:
{J (T1s+1)(T1s+1) (s+A)(s+A) Gc(s) = Kc- T = Kc --y 1 , {J > 1 y y > 1
Y (; s + 1) ({JT2s + 1) s + Tl s + {JT2
13
Supóngase que Kc pertenece a la parte de adelanto del compensador de retardo
adelanto. Al diseñar los compensadores de retardo-adelanto, se consideran dos
casos: y * P y y = p Caso 1. y* p En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del
compensador de adelanto con el compensador de retardo. El procedimiento de
diseño es el siguiente:
1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la
localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Utilice la función de transferencia en lazo abierto sin compensar G(s), para
determinar la deficiencia de ángulo </J si los polos dominantes en lazo
cerrado estuviesen en la posición deseada. La parte de adelanto de fase del
compensador de retardo-adelanto debe contribuir a este ángulo </J.
3. Suponiendo que después selecciona un T2 suficientemente grande para que
la magnitud de la parte de retardo.
1 S¡ +r;
1 S¡+ PTz
se acerque a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos dominantes
en lazo cerrado, elija los valores de T1 y y a partir de la siguiente igualdad:
1 S¡+ T¡
L y=</J S¡+ T¡
La elección de T1 y y no es única. A continuación determine el valor de Kc a
partir de la condición de magnitud:
1 S¡+ T¡
Kc y G(s1) = 1 S¡+ T¡
4. Si se especifica la constante de error estático de velocidad Kv, determine el
valor de p que satisfaga el requisito de Kv se obtiene mediante
Kv= limsGc(s)Gp(s) s-+0
14
= limsKc(s+ ~)( 5 +~)Gp(s) s .... o s+- s+-
T¡ f3Tz
= limsKc[!_Gp(s) s .... o y
donde Kc y y se determinan en el paso 3. Por tanto, dado el valor de Kv, el
valor de {1 se determina a partir de la ultima ecuación. Después, usando el
valor de {1 determinado de este modo, seleccione un valor de T2 tal que
Caso 2. y= p
S+_!_ •-~Tz=-•-1 1 -s+ f1Tz
1 s+-so T2 0
o
- <L < 1 s+ f1Tz
Para este caso el procedimiento anterior se modifica del modo siguiente:
1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la
localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. El compensador de retardo-adelanto se modifica a
( ) (T1s + 1)(T2s + 1) (s +A) ( s + ~) Gc s = Kc (T ) = Kc --y- 1
js + 1 ({1T2s + 1) s + r1
s + pr2
donde p > 1. La función de transferencia en lazo abierto del sistema
compensado es Gc(s)Gp(s). Si se especifica la constante de error estático de
velocidad Kv, determine el valor de la constante Kc a partir de la ecuación
siguiente:
3. Para obtener los polos dominantes en lazo cerrado en la localización
deseada, calcule la contribución requerida del ángulo ifJ de la parte de
adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto.
15
4. Para el compensador de retardo-adelanto, seleccione una T2
suficientemente grande con el de que
1 S¡ +r;_
1 S¡+ {3T2
se aproxime a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos
dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de T1 y {3 a partir de las
condiciones de magnitud y de ángulo:
Kc (•• + ~) G(s1 ) = 1 S¡+ T¡
1 s¡ +r
L 1=</> S¡+./!_
T¡
5. Utilizando el valor de {3 que se acaba de calcular, seleccione T2 de modo que
1 S¡+ T2
·---::"1-1 = 1
S¡+ {3T2
S+..!_ S
o T2 0o
- <L 1 < s + {3T2
El valor de {3T2, la constante de tiempo mayor del compensador de retardo
adelanto, no debe ser demasiado grande con el fin de que pueda materializarse
físicamente.
2.6 Compensación paralela.
Hasta aquí se ha presentado las técnicas de compensación serie utilizando
compensadores de adelanto, retardo o retardo-adelanto. En esta sección se discute
la técnica de compensación paralela. Debido a que en el diseño de la
compensación paralela el controlador (o compensador) se encuentra en un lazo
secundario, el. diseño puede parecer más complicado que en el caso de la
16
compensación serie. Sin embargo, no será complicado se reescribe la ecuación
característica para que tenga la misma forma que la ecuación característica para
los sistemas de compensación serie. Principio básico para diseñar sistemas de
compensación paralelos. Haciendo referencia a la figura siguiente; la función de
transferencia en lazo cerrado para el sistema con compensación serie es
e GcG R = 1 + GcGH
La ecuación característica es 1 + GcGH =o. Dadas G y H, el problema de diseño
consiste en determinar el compensador Gc que satisfaga la especificación. La
función de transferencia en lazo cerrado para el sistema con compensación
paralela es
e G1Gz R = 1 + GcG2 + G1 G2H
La ecuación característica es 1 + GcG2 + G1 G2H = O
e
(a) Compensación serie
e
(b) Compensación paralela
Figura 2.8. Compensación (a) serie y (b) paralela
Dividiendo esta ecuación característica en la suma de los términos que no contiene
Gc, se obtiene.
1 + 1 + G1G
2H =O
Gz G¡ = 1 + G
1G
2H
17
La ecuación se convierte en: 1 + GcGt =o. Como G1 es una función de
transferencia fija, el diseño de Gc llega a ser igual en el caso la compensación serie.
2. 7 Controlador proporcional derivativo.
La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de un sistema de control a la
cual se le ha agregado un controlador proporcional derivativo (PO).
+
Contro/adt:r Gc(s)
r-----------------1 1 1 : 1 + 1 1 1 1 ~~~ 1 1 1 1 1 1 1
~----------------~
Figura 2.9. Controlador PO
Para tal combinación la salida del controlador es
de u= Kpe +Ka dt
La función de transferencia del controlador es
Gc(s) = Kp + Kds
Planta
Kp =ganancia proporcional, Kd =ganancia derivativa
rd = constante de tiempo derivativa
Mediante un acomodo de la función de transferencia se obtiene 1
Gc(s) = Ka(s + -) Ta
Aquí el controlador PO agrega un cero en z = - 2:.. 'fd
Resumen de los efectos de un controlador PO
Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Reduce el tiempo de
levantamiento y el de asentamiento. Incrementa el ancho de banda. Mejora el
margen de ganancia y de fase. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. No es
efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. Puede
requerir un capacitar muy grande en la implementación del circuito.
18
2.8 Controlador proporcional integral.
La reducción en la estabilidad relativa como resultado de usar el control integral se
puede resolver, como una extensión, mediante el control proporcional integral (PI).
Para tal combinación la salida del controlador es
u= Kpe + Kt itedt
Controlador G.(s)
+
Figura 2.1 O. Controlador PO
La función de transferencia del controlador es
Kt Gc(s) = Kp +
s
Kp = ganancia proporcional, Kt = ganancia integral
Mediante un acomodo de la función de transferencia se obtiene
1 Kp(s + ,J
Gc(s) = z S
Donde 'l"t =constante de tiempo integral. De esta manera, mediante el uso del
control Pi se adicionan un cero en z = _.!. y un polo en p =O. El factor 1/s Ti
incrementa el tipo de sistema en uno y elimina la posibilidad de un error en estado
estable para una entrada escalón. Debido a que se introducen un nuevo polo y un
nuevo cero, la diferencia entre el número de polos y el número de ceros permanece
sin cambio.
Resumen de los efectos de un controlador PI
Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Incrementa el tiempo de
levantamiento. Disminuye el ancho de banda. Mejora el margen de ganancia, el
margen de fase. Filtra el ruido de alta frecuencia.
19
2.9 Controlador proporcional integral derivativo
De las discusiones anteriores se observa que el controlador PO puede añadir
amortiguamiento a un sistema, pero no afecta la respuesta en estado estable. El
controlador PI puede mejorar ta estabilidad relativa y el error en estado estable al
mismo tiempo, pero el tiempo de levantamiento se incrementa. Esto conduce a
emplear un controlador PID para que se empleen las mejores características de los
controladores PI y PD. El controlador proporcional integral derivativo (PID), mejor
conocido como controlador de tres términos, con un sistema de la forma como se
ilustra en la figura:
Controlada GAs) ----------------------------------------------------------------
Proporcional
1 1 1 Kp 1
Planta Integral + + /K; 1 +
1 --;- 1
+ Derivativo
1 1 '-----1~1 Kds¡.......... 1
----'
' ' '--------------------------------~------------------------------------·
Figura 2.11. Controlador PID
Dara una salida, para una entrada de error e, de rt de
u = Kpe + Ki Jo edt + Kd dt
la función de transferencia del controlador PtD es. K-
Gc(s) = Kp +...!. + Kds S
De otra forma la función de transferencia del controlador es: 1
Gc(s) = Kp(l +-+ rds) 't'iS .
( ) rirds2 + ris + 1
Gc S = Kp( ) rís
20
De este modo, el controlador PID ha incrementado el número de ceros en dos y el
número de polos en uno. También el factor 1/s incrementa el tipo de sistema en
uno.
Problema N° 2.1. Compensación en adelanto
Considere el sistema sin compensar de la figura. Se pretende modificar los polos
en lazo cerrado para obtener wn = 4 radf seg sin cambiar el factor de
amortiguamiento relativo ~ = 0.5. Diseñar un compensador en adelanto que cumpla
con la condición y que además que la magnitud del polo sea cinco veces el valor
del cero.
4 C(s)
s(s + 2)
Figura 2.12. Sistema no compensado
Solución
4 G(s) ---
s(s+2) 4
T(s)--=--- s 2 + 2s+ 4
s = -u±jw l1 = {Wn = (0. 5)(4) = 2
w = wn)1- {2 = 4)1- (0.5)2 = z..¡j S= -2 ±j2.fi
G (s) - 4 G (s) - K(s + z) P - s(s + 2) ' e - (s + p)
4K(s +z) G(s) - ---:----~
- s(s + 2)(s + p) Haciendo que la posición del cero y el polo con respecto al punto s tienen un
ángulo p y B.
De la condición de ángulo: LG(s) = ±180°(2n + 1)
Ceros: s = -z
Polos: s = O, -2, -p
21
S ------------------ ¡2J3
-p -z -2 o Figura 2.13. Condición de ángulo
P- (8 + 81 + 8 2) = ±180°(2n + 1) 2{3
tan(180- 8 1) = T ~ 81 = 120°
82 = 90° P- 8 = 8 1 + 82 ± 180°(2n + 1)
p- 8 = 120°+ 90°+ 180° = 390° P-8 = 30°
tan (fJ- 8) = tan30° tan p- tan8 o -----= tan30 1 + tanp. tan8
2{3 2{3 z:::-2- p=2 1
(2{3)(2{3) = {3 1 + (Z- 2)(p- 2)
Primer método: escogiendo p = az
Donde p > z, y además tenemos que a> 1 es un numero real positivo. Entonces
reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:
2{3 2{3 :z=-2 - az - 2 1
1 + (2{3)(2{3) = {3 (z- 2)(az- 2)
az2 + 4z(1 - 2a) + 16 = O
-4(1- 2a) ± .Jt6(1- 2a)2 - 4a(16) z = -------:--------
2a 16(1 - 2a)2 - 4a(16) ;;:::: O
3 (a -1)z ~ 4
{3 ..[3 a-1>- o a-1<--- 2 - 2
{3 {3 a;::1+-z o a:$1- 2
a ~ 1. 866 o a < O. 134 y a > 1
22
entonces a ;;:::: 1. 866
Escogiendo de este rango a = 10 p = 10z
2-13 2-13 z=z-10z- 2 1
1 + (2-13)(2-13) = ..J3 (z - 2)(10z- 2)
z2 - 7. 6z + 1. 6 = O z = 7.3833, 0.2167
a) para z = 7. 3833 y p = 73. 833
K(s + 7. 3833) Gc(s) = (s + 73. 833)
De la condición d' magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2Vl
1 4K(s + 7. 3833) 1
s(s + 2)(s + 73. 833) = 1
1
4K(-2 + j2..J3 + 7.3833)) = 1
(-2 + }2-13)(-2 + j2-J3 + 2)(-2 + j2..J3 + 73.833)
4K(S. 3833 + j2-J3) ___ .....,....;... __ ___: _ ___;,_ ___ , = 1
( ~2 + j2-J3)(j2-J3)(71. 833 + j2.J3)
4K.J (5. 3833)2 + 12 '.J=c -=2:::::)2:=+::=:::::12;:-C-2.Ji-::3=-).J--¡:c=7=1=. a=3:::::32:=+=1=2 = 1
4K(6. 4016) = 1
4(2-J3}(71. 9165)
K= 38.9162
( ) _ 38. 9162(s + 7. 3833)
Gc S - (s + 73.833)
( ) 155. 6648(s + 7. 3833) G S = ___ ...,..:.._ __ ___.;... s(s + 2)(s + 73. 833)
155. 6648(s + 7. 3833) T(s) = s(s + 2)(s + 73. 833) + 155. 6648(s + 7. 3833)
23
155. 6648s + 1149.27322 T(s)- --=-----=---------
- s 3 + 75. 833s2 + 303. 3308s + 1149.27322
close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 155.6648 1149.27322]; dc=[1 75.833 303.3308 1149.27322]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4]; ds=[1 2 4]; t=0:0.05:5; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.---,----.----.---,----,----,---,----,----,---~
) siste~a com~ensad9 , , , , --- ~- ----.:;;""-.::: __ -- -:--------- -~-- --------:---------- ~------- --- ~-- ------- -~- ---------:---------1.2
!i/ \ .. _ .. !/ :. '".! : : ' 1 : ·. - : : ' . . ' ' : '
1 ------- ¡'~----------¡----: :-::'-:::_~~~~-~-~-----~:.~.::~ --... --~"'-=+·..-...-...-..... ~:..+-:---- ---~-~~--- ----~--~:-::-.:-:--:-t-:--------· /: : : ' : : : 1 ' ': ' ' ' '
N 1 : i sisterria no CQn'lpens~do :, ! : ! ~ 0.8 r------l-+-------,+---------j--------+-------+--------f---------j---------+--------j---------
T- 1 1 ' 1 1 ' 1 '
() . : : : . : : : ~ __ _¡__ __ ;_ . ! ! : : : ! 'ffi o. a - --: -- -----:---------·r·--------r ----·---------------- --------------(/) ' '
-L ···~e: ... ·· _ __[_··---·· __ j__ · · ------ !-- --- · -----!-- · ·· •· _)_ --- -----~-- ··- · · · • .; ····· ---- -!---- -- -·-0.4 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ; : : : ,: 1 ,:
1 ·: : : 0.2 j ' : ' ' : '
~~---7·-:--·-------r·-------T·-------:--------T-------·r·-------T---------:---------¡--·------
o ' ' ' ' ¡ ' ¡ o 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t seg
Figura 2.14. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
24
~
b) para z :: O. 2167 y p = 2. 167
( ) _ K(s + 0.2167)
Gc s - (s + 2. 167)
De la condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2.J3
1 4K(s +O. 2167) J
s(s + 2)(s + 2.167) = 1
4K(-2 + j2.J3 + 0.2167) 1----------------~---------=------- =1 ( -2 + j2.Ji)( -2 + j2-/3 + 2)( -2 + j2.J3 + 2.167)
1 4K(-1. 7833 + j2-/3) 1
( -2 + j2-/3)U2.Ji)(1.167 + j2.J3) = 1
4K.J ( -1. 7833)2 + 12 -4C-2-':.J3=)-:.J;::::c1=. 1==6=7::::::::)2::::+==1=2 =
1
K= 3.25
( _ 3. 25(s + O. 2167)
Gc s) - (s + 2.167)
13(s +O. 2167) G(s) - _ _...;... ___ ...;..._ - s(s + 2)(s + 2.167)
13s + 2.8171 T(s)- ·
- s3 + 4.167s2 + 17.334s + 2.8171
elose all; elear all; ele %diseño de un compensador %------------~-----------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 13 2.8171]; dc=[1 4.167 17.334 2.8171]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4]; ds=[l 2 4]; t=0:0.05:25; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot (t,cl,t,e1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid
25
title('respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext{'sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4~------~----------~--------~--------~------~
1.2
sistema no \compensado 1 --------------- ---- ·""' ·- -- -- -· t . ___ _:_.,......;..::-_:_:_.;._~-=--~-=-...:.::...:...:::::...:..:.--'-"""'-"--"-=-'--""-'-'-
-·-l--------'"--...r"-··--~~~---~-
!\ _,/-+·-·sist~;;,a compensado .
~ 0.8 ~1.~.\'":< ........ .;.. --- ---------------~------- -------------~----------------------!--- -----------------¡ ,' ' ' ' 1
¡ : 1 ' :
1 .... o U) ¡'
! : ( : ' ' t- ~------- -----------:--------- ------------- ~--------------------- -·---------- ------------ ~ ---------------------~ 0.6
ro U)
;. 1
: 1 '
0.4 ~; ___ ----------------;--------------- ---- -+------ -------------- +-- ------------------- i---- -----------------,, ' ' ' ' ¡: : : '
. . 0.2 ~------ ------------ ... ; ---------------------- t-- ----------------- --+----- ----------------; ---------------------
;. : : : ' '
o~--------L_ ________ L_ ________ L_ ________ L_ ______ ~
o 5 10 15 20 25 t seg
Figura 2.15. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
Segundo método: por la bisectriz
-p -z -2 o bisectriz
Figura 2.16. Condición de ángulo
tp = p- 9 = 30° 6 = 60°
26
Con lo que
8 == li - lfJ = 60° - 15° = 45° 2
p - 2 = 2..fi ~ p = 5. 4641 z-2
tan15° = r;; ~ z = 2. 9282 2v3
K(s + 2. 9282) Gc(s) = (s + 5. 4641)
De la condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2..J3
1 4K(s + 2. 9282) 1
s(s + 2)(s + 5.4641) = 1
l 4K( -2 + j2..fi + 2. 9282) l (-2 + j2..f3)(-2 + j2{3 + 2)(-2 + j2-{3 + 5.4641) =
1
4K(O. 9281 + j2..J3) ·---~~~=--------==-• = 1 (-2 + j2.../3)ü2-f3)(3.4641 + j2..J3)
K= 4.7321
( _ 4. 7321(s + 2. 9282) Gc s)- (s + 5.4641)
18. 9284(s + 2. 9282) G(s)-------
- s(s + 2)(s + 5.4641)
18. 9284(s + 2. 9282) T(s)- __________ _,;,... ___ _
- s(s + 2)(s + 5.4641) + 18. 9284(s + 2. 9282)
18. 9284s + 55.4261 T(s) - -=--------=~------ s3 + 7.4641s2 + 29.8566s+ 55.4261
close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 18.9284 55.4261]; dc=[1 7.4641 29.8566 55.4261]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4];
27
ds=[l 2 4]; t=0:0.05:6; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'} xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado'} gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.------,-----.-------,-----,-----,-------.
sis,tema comPEjnsado 1.2 ··-------_?'"'\"' . ~--: i' '' ......... ~ .............. j . .. .... , ............ ..
. , sist~ma no com~ensado ....... / ...... ; .. .i. :'. ........ ~ .. --- ~--~---~~-: .. _________ ;_ ___ ·---·
j : ···-------{----- : ·- ~- - ·:-
' ' ¡ i·;
~ i .: ' ' ' ' ~ a.s ··--·;--···--.:;-··------------;-------------T-----------··r--------------:--------------t.> ' ' ' ' lQ ! ; : 1 ¡ :'2 0.6 ·· .. L .... J .... : ............... ¡.............. .. .. ··----+----·--------+---m : : . . 11)
; • 1 o 1 o r
0.4 --1L --- -.'-- --- -~-- ------------- ~----- ------- ---~--- -------- ---~----- ------- ---~-- ------------
1 : : : : : ; 1 ' 1 ' 1
1
0.2 !---····--··-~----······ .... , .... . . ' ' ----,---------------,------ --------¡- -------------
' '
o Li ____ ..JL _____ L __ __j _____ ....J¡ ___ __¡_ ___ ...J
o 1 2 3 4 5 6 t seg
Figura 2.17. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
Dlseilo del circuito compensador
Figura 2.18. Compensador en adelanto
28
R4 C1 (s + z) Gc(s) = R3C2(s + p)
1 z=-
RtCt 1
p=-RzC2
si C1 = C2 = 1uF R4 R
3 == 4. 7321
si R3 = 1KD ~ R4 = 4. 7321KD 1 1
RtCt = z = 2
_9282
= 0.3415 ~ R1 = 341.5KD
1 1 R2Cz = p =
5_4641
= 0.1830 ~ R2 = 183KD
Problema N° 2.2. Compensación en atraso
Diseñe un compensador en atraso Gc(s) de modo que el sistema de lazo cerrado
tenga polos en s = -3 ±j3 y error en estado estable menor de 5% ante una
entrada escalón.
1 K(s + 0.1) Gp(s) = (s + 1)(s +S) ' Gc(s) = (s + b)
Solución
K(s + 0.1) G(s) = Gp(s)Gc(s) = (s + 1)(s + S)(s + b)
. sR(s) . 1 . 1 e55 = hm = hm = hm ( )
s-+0 1 + G(s) s .... o 1 + G(s) S-+0 1 + Ks + 0.1 (s+ 1)(s +S)(s+ b)
K ;:::: 950b tambien O < b < 0.1 Condición de ángulo:
f3- (O+ fh + 92 ) = 180°(2n + 1)
SOb S - <-
SOb +k- 100
29
~
-5
S ----- -~ --------.. ----·---------.. -· .. --· -~--·---·----.-. -- j 3
-3 - 1 Figura 2.19. Condición de ángulo
ceros: s = -0.1 polos: s = -1,-5,-b
tan{180°- e1) = ~--+ e1 = 123.69°
3 tane2 = 2--+ e2 = 56.31 o
-0.1
3 tan{180°- {3) =
3 _
0_1
--+ f3 = 134.029°
134.029° .._e- 180° = -180°--+ e= 134.029°
Lo que significa que el polo del compensador coincide con el cero del mismo y se
anulan.
Condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -3 + j3
1 K(s + 0.1) 1
(s + 1)(s + 5)(s + b) = 1
1 K(-2.9 + j3) 1
(-2 + j3)(2 + j3)(b- 3 + j3) = 1
4.173K -13-~;::=.(b=-=3):;::2 =+=9 = 1
30
K::::: 3.11S.J(b- 3)2 + 9;;::: 950b
.J(b- 3)2 + 9;;::: 304.976b
(b - 3)2 + 9 ;;::: 93010.361b2
b2 - 6b + lB ;;::: 93010.361b2
93009.361b2 + 6b - 18 =::;; o 93009.361b2 + 6b $ 18
b2 + 6.4501x1o-s b :::; 1.9353x10-4
(b + 3.22505x105) 2 s; 1.934B81xlo-4
-0.01394 s; b s; 0.0139 y ademas O < b < 0.1
Se elige b = 0.01
Con lo que K~ 13.194
( ) _ 13.194(s + 0.1) Gc S - S+ 0.01
close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: k=13.194; nc=[O O k O.l*k]; dc=[1 6.01 5.06+k 0.05+0.1*k]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[1 6 6]; t=0:0.05:50; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-',t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
31
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1,----,----.----,----,----,----,----,----,----,----,
1 1 ' 1
' 1 ' 1
------+----~-~- ¡-----------t--------·----r --·-------T----o. 9 --------- ~------ ---1---------- f"=-"'-·~---~- ,:--_ -1----------1-------- __ _,' _____ -- ----~---- ------1---------- i·--- ------
j --------~--síste~a co~pensa~ j ·
0.8 ;;:_:::;/¡=-- ------·j··--- -----:------ ---¡--··-------:---------- ~--------- ¡ ----------¡-- -------+- ----' 1 ' 1 ' 1 • 1
0.7 -¡---------i----------;---------+---------f---------+---------+--------+---------i----------;-----------
; 0.6 i + ' + ' ! + ¡ j
~ 0.5 --------+--------+--------+- -- -----j-----------i-----------~--------- j - ------,----------ro , , :2 ' ' ~ 0.4 '---------i----------;----------+----------f----------i----------+-·--------j-----------1--- -----+---------
0.3 ! - -------!-- --------1---- -------1-----------i---·--- ___ ; __________ ¡ ___________ ¡ ___________ ¡_ ---------~--- -------
0.2 : ________ J _____ ~i_sJ_eiTl~ ~~-co~~n_sa~~-( _________ : _________ ) __________ ]____ _ ¡ '·· 1- 1 ··• • ,·- : : : 1 1 ' 1 1 1 1 ' 1 1
O. 1 , -------- ¡- --------- ~--- ------ --¡------ ----:---------- ¡-------- ---·-- ------ ---¡ --- ·-- ---- ¡---- ------ j-- --------
o i .' _¡__________j_ ___ __¡_ _ _____¡__ o 5 1 o 15 20 25 30 35 40 45 50
t seg
Figura 2.20. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
Como K es variable se escoge otro valor que logre una mejor compensación
cumpliendo los requisitos.
elose all; elear all; ele %diseño de un compensador o ~---------------------------~--------
%funcion de transferencia de la planta compensada: k=SO; nc=[O O k 0.1*k]; dc=[1 6.01 5.06+k O.OS+O.l*k]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[l 6 6]; t=0:0.05:10; [cl,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' )
32
~
xlabel ( 't seg' ) ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4 ----------¡ ---,--
' ' -----.,-----------.--' '
' ' ' ' 1 1 --·r----------o------ ----,-----------r ---------1------- --,-·----------' '
1.2 ' '
/\ 1 ' : sistema comPensad~
1 --!---~---+----------~-----------]------·-----~-------- --, ----------:--------- -:-- --------~------ 1
\ j /.--~--~-~-j-~---·--+----~----~--¡--------·-¡·----~------~----------¡---------r---------
. \_;.' : ; : ' : : : 1 1 1 ' 1 ' ' ' ' N o
>. 0.8 _ _J_- ------ ~---------- ~·- -------- --~--- ------ -~---- ------~--- ------ --!-- ------- -~ --------- -~------ ----~- ----------• ' ' ' ' ' 1 .....
o 1/)
~ 0.6 ro 0
' 1 ' ' 1 ' 1
¡ : ' L - - - - - - - - ~ . ------- - - ~- --- --- - - - .:... -- - - - - --- - ~ ---- ------ ... -- ---- ---- _;_- -- - - - - - - _,... - ---- - -- - -; ------ -
! i : i ¡ 1 : i i ' 1 ' ' 1 ' ' 1 1 1 1 ' . ' ' ' 1 1
0.4 1---------i---------+··------+----------f---------+--------+---------+----------i----------:: _________ _ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . sist~ma no[compe~sado l . l .
0.2 '- --- _____ ¡_ --------- i-.- ---- ____ ¡_, _____ ----f.------- __ ;,---------- -i---.------ .:. , ___ ---- __ ¡ __ ------- _;,-- --------i ' .. : :. ···:· .:. ' : .. ·-·-· :· :
o'. o
' ' ' ' ' ' . ~ : : : ' . ' '
1 3 4 5 7 8 t seg
Figura 2.21. Sistema compensado
Problema NO 2.3. Compensación en atraso
9 10
Considere el sistema de la figura. la función de transferencia del camino directo es
Gp(s). Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad kv hasta
cerca de 5 seg-1 sin modificar notablemente la localización de los polos dominantes
en lazo cerrado.
1.06 Gp(s) = s(s + l)(s + 2)
~G(,)I "'
Figura 2.22. Sistema sin compensar
33
Solución
la función de transferencia de la planta en lazo cerrado es
1.06 1.06 T(s) - - ---:---~---
- s(s + l)(s + 2) + 1.06- s3 + 3s2 + 2s + 1.06
Encontrando los polos de la ecuación característica s 3 + 3s2 + 2s + 1.06 = o
elose all; elear all; ele; %raiees del polinomio carateristico d= [ 1 3 2 l. o 6] ; roots (d) % % ans = o -6 -2.3386 9-o -0.3307 + 0.5864i 9-o -0.3307 - 0.5864i
las raíces complejas son los polos dominantes en lazo cerrado
S= -0.3307 ±j0.5864 (J:::::: 0.3307
w = 0.5864 radjseg. s =-a+ jw
S ------------------ j OJ
(}
-(J'
Figura 2.23. Ubicación del parámetros en el plano complejo
a= SWn w = wn..jr-1---(~2
a2 + w2 = Wnz a SWn
cos(} =-=-=s Wn Wn
0.5864 tan(} =
0_3307
~ (} = 60.5792°
~ = cos60.5792 o = 0.49122
wn = .Jo.33072 + 0.58642 = 0.6732 radjseg
1.06 kv= limsG(s) = lim ( 1)( Z) = 0.53
S-+0 S-+0 S + S +
34
La función de transferencia del controlador en atraso será
K(s + z) Gc(s) = conz > p
s+p 1.06K(s +z)
G(s) = Gp(s)Gc(s) = s(s + l)(s + Z)(s + p)
. . 1.06K{s + z) 0.53Kz kv= hmsG(s) =hm ( l)( Z)( ) - = 5
s->0 s->0 S + S + S + p p Kz -= 9.434 p
seleccionando z = lOp entonces K= 0.9434 escogiendo el cero en z = 0.05 entonces el polo sera p = 0.005
Con lo cual el controlador será
( ) = 0.9434(s + 0.05) Gc .S S + 0.005
S+ 0.05 G(s) = Gp(s)Gc(s) = s(s + 1)(s + 2)(s + 0.005)
S+ 0.05 T(s)---~-~---.---
- s(s + l)(s + 2){s + 0.005) + s + 0.05 S +0.05
T(s)------------- s4 + 3.005s3 + 2.015s2 + l.Ols + 0.05
close all; clear all; ele %diseño de un compensador en atraso %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O O 1 0.05]; dc=[l 3.005 2.015 1.01 0.05]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O O 1.06]; ds=[l 3 2 1.06]; t=0:0.05:40; [cl 1 xl,t]=step(nc 1 dc 1 t); [c2 1 x2 1 t]=step(ns 1 ds 1 t); plot ( t 1 el, t, el 1
1 -
1 , t 1 c2 1 t 1 c2 1
1-' )
grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado') xlabel('t seg') ylabel( 1 salidas el y c2') gtext( 1 sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
35
respuesta a un escalen unitario de sistema compensado y no compensado 1.4 ------;--;- -.------,---,------¡
' ' ' ' ' ' ' ' ' ........... 1 1
1.2 --------- -.f:. __ :·~-~--- ---!--- ---- ~----f ------- -----i-- ---------- f -------- ---~------- --- --~ ----------
;> ·· ... : siste+a com~sado ¡ 1 t l ~ -'- .. :-~--=--~ _-:-: ~ ~ -~~.~~-~~~~:~----- : .. ---·----- -· -- ~ --~. -=~--· -:-~.---·-::·------··!. ----------¡--: --
<tj j : J sistemt no com~nsado J .
~ 0.8 -----r--¡------------:------------y------------¡------------¡------------¡------------¡----------
i 0.6 ___ _j_ ___ j___ ------ , ___________ , ___________ _L_-- __ __;_ __________ , ___ -- -- _¡__ _______ _ ]! : ' : : : :
,1 : : ' ' ' ' ' l ' 1
,: ' ' 1 ' ' • 1
0.4 -··t··----:--- -:------------:------------:------------:------------:------------:--/ : : : ' : 1
1 : 1 ' ' ' '
0.2 -r-------¡------------:------------¡-----------(---------¡------------:------------¡----------.1 i : i :
QL··----~----~----L-----L---~----~-----L----~ o 5 10 15 20 25 30 35 40
t seg
Figura 2.24. Sistema compensado
Probléma N° 2.4. Diseño de un controlador PID
Si ia planta en ei sistema con controlador .PI-D tiene una función de transferencia de
1 Gp(s) =---
.s_(_s + .1)
la constante de tiempo derivativa es 0.5 seg y la constante de tiempo integral de 2 seg.
1 Gc(s) = Kp(1 + -T + Tds)
is
( 1 ) (s
2-+ 2s+ 1) Gc(s) = Kp 1 +
25 + O.Ss = Kp Zs
_ (s2 + 2s + 1) 1 _ Kp{s 2 + 2s + 1) Gp(s)Gc(s)- Kp 2 ( 1)- 2 3 2 2
s ss+ s+s
close all; clear all; ele %Problema: control PID de una planta sobreamortiguada %---------------------------------------------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[1 1 0]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia sin control
36
ns=[O O 1]; ds=[1 1 1]; step{ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc=[O 1 2 1]; dc=[2 2 O O]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema kp=4; nc=[O kp 2*kp kp]; dc=[2 2+kp 2*kp kp ]; step(nc,dc); grid figure %comparacion de respuestas en el tiempo ns=[O O 1]; ds=[1 1 1]; kp=4; nc=[O kp 2*kp kp]; dc=[2 2+kp 2*kp kp }; t=0:0.1:12; [c1,x1,t}=step(ns,ds,t); [c2,x2,t]=step(nc,dc1 t); plot{t,c1,t,c2) grid gtext('sistema sin controlador') gtext{'sistema con control PI con Kp=4')
i -0.4 f·
' -0.6j-
' -0.8'--1.2 -1
Root Locus
1
----- ______________ L _______ ~--~ -
-0.6 -0.4 -0.2
Real Axis
Figura 2.25. Lugar geométrico del sistema sin compensar
37
Step Response
1.2 ------' ; : ¡
/ ~ ' ' ' :
i/ : ~ .. : : ¡ 1 ~---------------;·/------------'------------~_:_:_:.:.:~:=-=~------~~~--~·-·~4
1 0.8 ¡.
i ~ o.af.
/ j ·-/
0.4j- - ·¡·· ........ !
- -~
í 0.21- l-
.1 oL!' ___________ ·-·--------------- ·--~---------------······ .......... l. ____________ . ___________ L __ ......................... L
o 2 4 6 8 10 12
Tirre (sec)
Figura 2.26. Respuesta en el tiempo sin compensar
Rootlocus -- -----------····- ---------- .. ----------- -·-····--------- ........... ,..
-0.5
-1 ¡·
-1.5 ... .. L .......•.... ···'······· ...... ! .............. --·- ................... .
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 o 0.5
Real Axis
Figura 2.27. Diagrama de Nyquist deJ sistema sin compensar
38
1.2 f . -
/ . 1 :/ .,
<ll 0.8f I-
~ : / t •• L/
0.4 j . f
1 0.2 !/---
·/ o¡_ ____ ---0 0.5
Step Response
..... :. ----------;
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
lirre (sec)
Figura 2.28. Respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
1.4 --------:--------,-------¡ ' ' ' ' ' '
.sistema _con co~rol Pl.con Kp=4 . '
1.2 -------. ~,~--.. ·~._::.;--------- ---- -- -~-- --------------:--------- ------:----------------:----
_,/ ! . ····· .. .-e:/..----¡~ sis~ema sin co~trolador !
----/---------~--~--~~:-:-.::-o.) ... ooo~~~--',:::::>:.+'-'-"=::=~__::::::::=:~~C:C·c::::=~"·----L-~-~~·-·-1 / : : . \ ' i 1 '
-0:8 --1---------·./··--------------~----------------¡----------------:. _______________ : ______________ _ íi
o.6 r------¡--+------- ------.------------- --.--- -----------+----- -------.---------------
o• j/Jl ! ] L i í . :
0.2 i- --¡-. --------:--------------- +----- ----.-----; ---------.------ ¡--. ------ .. ----- i ---------- ... --:;· : : : : : ' : : :
0·-'- ' . ' o 2 4 6 8 10 12
Figura 2.29. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
39
Problema NO 2.5. Diseño de un controlador PID ·
Sea -el-sistema -que se -muestra en la figura. Se desea d1señar un controlador PID
Gc(s) tal que los polos en lazo cerrado dominantes estén localizados en s = -1 ±
J.fi. Para e·t controlador PIO, seleccione a= 1 y entonces determine ·tos valores de
K y b. represente el diagrama del lugar de las raíces para el sistema diseñado.
R(s)
+
Ceros: s :::::: -a, -b
Polos: p =O, j, -j
Controlador PID Planta
.--~ K (s + a)(s + b) 1
S
Figura 2.30. Sistema con controlador PID
Solución.
G(s) = K(s + a)(s + b) s(s2 + 1)
S
Figura 2.31. Condición de ángulo
C(s)
40
Haciendo que Pz corresponda al cero en s = -b. Tenemos de la condición de
ángulo:
P1 + Pz- C81 + 8z + 83 ) = ±180°(2n + 1)
Pz = (81 + 8z + 83)- P1 ± 180°(2n + 1)
P1 = 900
-{3 -1 tan(180°- 81) ==
1 ~ 81 = 143.794°
-{3 + 1 tan(180°- 82) =
1 ~ 82 = 110.104°
e o ) -{3 o tan 180 - 83 - T ~ 83 ::::: 120
Pz ::: 143.794° + 110.104° + 120°-90°- 180°
P2 = 103.898°
S
Figura 2.32. Condición de ángulo
-{3 tan(180- p2) = tan(180- 103.898) = 4.04142 == ~b
1-b = 0.5714
41
De la condición de magnitud:
_,K(s + a)(s + b),_,K(s + 1)(s + 0.5714),_ _ _ ·_M IG(s)l- s(s2 + 1) - s(s2 + 1) - 1 ens- 1 + rv3
'
K( -1 + j..;3 + 1)(-1 + j..;3 + 0.5714)1 = 1
( -1 + jVJ)(( -1 + j.J3)2 + 1)
'
Kú..fj)( -0.4286 + jVJ)I = 1 ( -1 + j..;3)(5 - j2..f3)
IK(-J3)~43)1 = 1 entonces K= 2.3333
(2)( )
Gc(s) = K(s + a)(s + b) S
2.3333(s + 1)(s + 0.5714) Gc(s) = --------s
2.3333(s + 1)(s + 0.5714) G(s) = s(sz + 1)
2.3333(s + 1)(s + 0.5714) T(s)--~----------
- s(s2 + 1) + 2.3333(s + 1)(s + 0.5714)
2.3333s2 + 3.66655s + 1.33325 T(s) = s3 + 2.3333s2 + 4.66655s + 1.33325
close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O 2.3333 3.66655 1.33325]; dc=[1 2.3333 4.66655 1.33325]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=(O O 1]; ds=[l O 2]; t=0:0.05:12; [cl,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1 )
xlabel ( 't seg 1 )
42
ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.---- ·,----,-----;-------;------.------.
1·2 · ·- ·sís~ema-comi>$saao·-------~------ -- ---"---------- · · "--------------. ' ' ' ' ' ' /
. : ·, i ..... \: -~ .............. ·e :~~~~~~~~~J.::_:·::~::.:.~:-~:.::~~:...:::. o:.o:.::;.-.;+~00'·7·~;=:~--,,,~ //: ::
~ :'· / : :· o 8 r --~-··- r ' r ' ' ;:: . ·¡------------:------,~--------:·-------------~-: ..... ----.--·--:---------------:----·--------"· ~ : ¡ \ sist~ma no com~nsado
~ 0.6 -1------- 1-- --~------- '----+------ ----,--~------------"--~--------------+~----------···
f/) : ': : :. : ' ' : ' 1 1
1 ' ' 1 1
0.4 !···-----------¡------------~---¡----------------~---------------~---------· --;·:----········--· 1 r, , 1
f 1 1
0.2 ! ... ,: ----~---------- --·\·!·--------'---- .e --------------¡-',------------ -'- ............ .
0" o 2
·' ·' :'. ,, 4 6 8 10
t seg 12
Figura 2.33. Respuesta en el tiempo del sistema compensado.
Root Locus 2 , ......................... , ........................... ,. --------------·····:·-------·-·---·-·-··-----·r ·-- ·---- -------.-------- -------------
1.5
0.5 .!/2
~ e=- o <ti .. o ·G-----'i: ...
.!C Cl <ti .§
-0.5
-1
-1.5
-2 ' ·-·-----'-···-·---·--------·- ___ : ____________________________ :._ __ _ -- !. .............................. j
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o Real Axis
Figura 2.34. Lugar ge~métrico de las raíces del sistema compensado
43
Problema N° 2.6. Diseño de un controlador PO
Considérese un sistema con una planta inestable, como de la figura. Utilizando el
método del lugar de las rafees, diseñe un controlador proporcional derivativo (es
decir, determine los valores Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ~
del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada wn sea
0.5 rad/seg.
Controlador PO Planta
1
1 OOOCX s 2 -1.1772)
Figuran 2.35. Control PO
Solución
Polos: s2- 1.1772 =O -+ s = ±1.085
Cetos: 1 + Tds = o -+ s :;: -1/Td
( = cos8 = 0.7 =* 8 = 45.573°
s =a+ jw.
(J = (ú>n = (0.7)(0.5) = 0.35
w = wn.J1- ( 2 = 0.5.J1- (0.7) 2 = 0.357 radfseg
Los polos en lazo cerrado deseados son:
S = -035 ± j0.357
---------------------------- jaJ
e -CJ'
2.36. Ubicación del parámetros en el plano complejo
De otra formas= 0.5 ang 180° ± 45.573°
44
S
}0.351
-1.085 -Or35
¡ Figura 2.37. Condición de ángulo
se debe cumplir que: p- 81 -82 = ±180°(2n + 1)
0.357 tan81 =
1_085
_ 0
_35
-+ 81 = 25.9065 o
0.357
1.085
tan(180 o - 82) = 1
_085
+ 0
_35
-+ 82 = 166.0295 o
P = 180 + 81 + 82 = 180 + 25.9065 + 166.0295 = 371.936 = 360 + 11.936
Entonces el cero del controlador se encuentra a p = 11.936°
0.357 0.357 tanp = -x- -+ x =tan (11.936) = 1.689
1 z = Td = 0.35 +X = 0.35 + 1.689 = 2.039
Td = 0.4904 seg
El valor de la ganancia Kp se determina a partir de la condición de magnitud del
modo siguiente:
1 Kp(1 + Tds) 1 .
10000(s2 _ 1_1772) = 1 ens = -0.35 + ]0.357
1
Kp'[1 + 0.4904( -0.35 + j0.357)] 1 10000[(-0.35 + j0.357)2 -1.1772] = 1
1
Kp[0.82836 + j0.1751]
10000[-1.18215- j0.2499] = 1
Kp[.J(0.82836) 2 + (0.1751)2] ,_..;_,_,;--;:::===::::::====;:-1 = 1 10000[.J(1.18215)2 + (0.2499)2]
45
0.8467Kp 10000(1.2083) = 1
Kp = 14282.506
La función de transferencia del controlador es: Gc(s) = 14282.506(1 + 0.4904s)
close all; clear all; ele %Problema: control PD de una planta inestable %---------------------------------------------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[10000 O -11772]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia ns=[O O 1]; ds=[10000 O -11773]; step(ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc=[O 1 2.0392]; dc=[1 O -1.1772]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema nc=[O 0.7 1.4273}; dc=[l 0.7 0.25024 ]; step(nc,dc); grid
0.5
.!!1 ~ ~ o 10 e e;, 10 .§
-0.5
-1
Rootlocus .T.····-········------------
1
1
-1.5 - - ----•--------------- ----------------------- - - ------·-------- - --•----- ------------------1.5 -1 -0.5 o 0.5 1.5
Figura 2.38. Lugar geométrico del sistema sin compensar
46
~ f
Step Response 600 l"'~'~n""•• •~•• ''"'c. P-r- ,- '" 'n•-•·-~~~~····~···•-• ~ •••~ ""W~·~~·~·.·~· o<"" • "' -~ ,• ~·~ .,., ~·r•• -," '"r -·~~-·-,
500
400
300 ,_
200
100
o:__ __ ----- - -------- --~--------~---·---~---~-~--~-'--=-:::_--'
------1
/
..--""/
/
o 5 10 15
Tirre (sec)
Figura 2.39. Respuesta del sistema sin compensar
2,- ---------------------------------
l 1.5:
Root Locus
Real Axis
Figura 2.40. Lugar geométrico del sistema sin compensar
Step Responsé 6
5
4
·-------------2 4 5 e 10 14 1e 10
Time Csecl
Figura 2.41. Respuesta de1 sistema sin compensado
47
close all; clear all; ele %diseño de un compensador PD %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O 0.7 1.4273); dc=[l 0.7 0.25024]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[lOOOO O -11773]; t=0:0.05:10; [cl 1 Xl 1 t]=step(nc 1 dc,t); [c2 1 x2,t]=step(ns 1 ds,t); plot ( t 1 el, t, el 1 '-' , t 1 c2 1 t 1 c2 1 '-' )
grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 6 --¡- - _,-----· ···-- -.--~=·····=·-=::::-e-,
l.-------· : : -------: : :
: ./---- : 1 1
: /~/ ' ' /' 5 --------- f- --------- ~ ---- ~ --- --+------ ----~---:..,.<.'~- --~-------- -- +----- -----~ --------- -~-- -------- ~---- ------' ' ~// i : '
... ' /: : ' .
l/ : 4 ---------:---------- ~-- -------- -~ --/·---- --,-------- --~----- ------:---------- -~ ----------:
>,. sist~ma co~pensado : : ' ' .
'' ,/ :
/' : ' ' ' 1 / ' • --------T·---·-----,- --~- -----:-··- --- ---,..----•-- ~ -,---------- -r-. .
! ./ : / :;
' .
./] 2 -------- -;------ -j-- ~---- -------:--------- __ , ___ ------ -~-------- ---:-----------:----------- ~---------- -:----------.
' / : : : : : 1
: 1 : : : ' / 1 1
' 1
:/ ,¡ ' 1 ' 1 ' ' t 1
1 ------ -~yr-- ------ --t- --------- -¡----- ----- -t ----------1------ -----¡-- ------ ---!---- ------- t----- ------!-.. ~~~ ------/ : ' ' 1 1
/ ' 1 : 1
/ : : sist?ma no¡compe?sado_.
' ' . ' ' '
/ 1 ' 1 1 1-
¿~_ : : o~-~~~~~~~-----~~~L -d-···
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t seg
Figura 2.41. Respuesta del sistema compensado
48
~-
Problema N° 2. 7. Diseño de un controlador PI
Considerar el diseño de un controlador PI para modificar el control de un sistema de
antena. Un diagrama de bloques c¡ue muestra los polos dominantes de la planta se
presenta en la figura. Con una conversión de tipo 1 a tipo 2, el sistema es capaz de seguir a
una entrada en rampa con un error nulo en estado estacionario.
Detector de Controlador Amplificador
error PI Motor y Angula de la carga antena 0.14 e
100 y
S s(s +5.9)
Figura 2.42. Sistema de control de una antena
Solución
La función de transferencia del camino directo con el controlador PI es:
14K0 (s +a) Gc(s)Gp(s) = s2(s + 5.9)
Algunos dibujos iniciales del lugar de las raíces variando K0 (con a fqo) muestra
que el sistema es inestable o marginalmente estable para todos los valores de K0 a
menos que el cero este situado a la derecha del polo de la planta en el planos. sin
embargo si el cero esta situado cerca del origen, tiende a eliminar el efecto de uno
de los polos localizado en el origen, causando un asentamiento muy lento a la
condición de seguimiento en estado estacionario. Por lo tanto, la localización del
cero esta determinada como un compromiso entre consideraciones de estabilidad y
la posibilidad de aproximación rápida a cero del error de seguimiento frente a una
entrada en rampa. Un compromiso seleccionado sitúa el cero de forma que la
magnitud es menor que la del polo por un factor aproximado de 6; por lo tanto, el
49
cero esta situado en -1 (a= 1). Con K0 = 4, Jos polos en lazo cerrado están
localizados en -l.ly- 2.4 ±j6.7
close all; clear all; ele %Problema: control PI de una planta sobreamortiguada %------------------------------------~--------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[1 5.9 O]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia sin control ns=[O O 0.14]; ds=[1 5.9 0.14]; step(ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc:::[O O 14 14]; dc=[l 5.9 O 0]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema nc=[O O 56 56]; dc=[l 5.9 56 56]; step(nc,dc); grid
RootLocus --------·- ------------,,
2
1
3
-3
-4 [_ ________ ··-·-·-·· ------· ----- ·-·-- ·····- ·····-··' -·--··-------------7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
----=:.: -- ···-----\
---4------····· -------·
o 1
Figura 2.43. Lugar geométrico del sistema sin compensar
50
lime (sec)
Figura 2.44. Respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
Root Loous ---------¡------
t . \:·:~~~& -: .· \ RJI&: ~2.39 + 6.711 . ·DII~:o:336··. OverZfloat c.,i: ~-a~req~ncy {rodhlee): 7.1:.'f
·, ....... _ . . . . .
'----------~-~
/. -·- _______ .....--
Figura 2.45. Lugar geométrico del sistema compensado
1.5 ;-·
0.5 ¡_ / ¡-· i
1
Step Response
o ~-::-:·~----------·i -------------~--- ____________ j·-··-·-----------~-------- ______ : -----------------~------------- ---------------o 0.2 0.4 o.a o_a 1 1.2 1.4 1.6
TIJT'le(Sec)
1.8
Figura 2.46. respuesta en el tiempo del sistema compensado
51
close all; clear all; ele %diseño de un compensador en atraso %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=(O O 56 56]; dc=[l 5.9 56 56]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 0.14]; ds=[l 5.9 0.14]; t=0:0.05:40; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot ( t, el, t, el, '-' , t, c2, t, c2, 1
-1
)
grid title( 1 respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext( 1 sistema compensado') gtext('sistema no compensado')
respuesta a un escalan unitario de ststema compensado y no compensado
N o
1.5 ,-----,------,-----,----------¡------¡
i\ i' jj Ll . . ; ; : sistema comp~nsado
1 ~ l j\-c,~~~--~~-~c~~---cc- oc-----~ ce'-~~------- "t---~~---------~-~-cc-e~--c--c··cc--1••e~cc·-c--~~---: -~----~~----~- , ___ ·~- ~~---~-~ --~ ~ j V : : : : : : :
:--0.5: ------------~.----- -------; ------------r-------------i--------------: ,_:..:--------------:-------------
' .~ . -~
_¡ .. _ .. ···
5 10
... -· _ ... ··•
¡ __ .. -··
... :.-··-' '
- "-, ~ siste~a no conipensado:
_ _¡_ __ , _ __¡____ __ ._~_ ___ __L_ ___ ,
15 20 t seg
25 30 35 40
Figura 2.47. Respuesta en el tiempo del sistema compensado
52
CAPITULO 111
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
3.1 Compensación de adelanto.
Sea un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:
1 Ts + 1 s +r
Kc oc T 1 = Kc 1 (O <oc< 1) OC S+ +
s ocT
Donde oc se denomina factor de atenuación del compensador de adelanto. Tiene un
cero en s = -1/T y un polo en s = -1/oc T. Como o <oc< 1 , se ve que el cero
siempre se localiza a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que,
para un valor pequeño de oc, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor
mínimo de oc normalmente se toma alrededor de 0.05 (esto significa que el
adelanto de fase máxima que puede producir el compensador de adelanto es de
65°.) La figura siguiente muestra el diagrama polar de
jwT+l K oc----
e jw oc T + l (O <oc< 1),
Im
1 a 14------·- (1 +al-----+~
2
conKc = 1
/
Figura 3.1. Diagrama polar de un compensador de adelanto
Para un valor determinado de oc, el ángulo entre el eje real positivo y la línea
tangente dibujada desde el origen hasta el semicírculo proporciona el ángulo de
adelanto de fase máximo, c/Jm· Se llamara wtn a la frecuencia en el punto tangente.
53
El ángulo de fase en w = wm es c/Jm, donde
1-oc z- 1-oc sencp = -- = --
m 1+oc 1+oc --z
La ecuación anterior relaciona el ángulo de adelanto de fase máximo con el valor de oc. La figura siguiente muestra el diagrama de bode de un compensador de adelanto cuando Kc= 1 y oc= 1.
dB
10
o
-10
-20
oo 0.1
T
_...-/
V V
./"" ~
1
T
t -~ P'm
10 T
w en rad
"'-..._ 100 T
Figura 3.2. Diagrama de Bode de un compensador de adelanto para oc= 0.1
Si se examina la figura se ve que wm es la ·media geométrica de las dos frecuencias esquinas, o bien
1 ( 1 1 ) logwm = 2 log T + log oc T
1 úJ =-
m .JOC.T
Como puede observarse, el compensador de adelanto es básicamente un filtro pasa alto.
54
Procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el método
de respuesta en frecuencia. La función principal del compensador de adelanto es
modificar la curva de respuesta en frecuencia para proporcionar un ángulo de
adelanto de fase lo suficiente para compensar el excesivo retardo de fase asociado
con las componentes del sistema fijo. El procedimiento de diseño se plantea de la
manera siguiente:
1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:
1 Ts + 1 s +r
Defina
Entonces,
Gc(s) = Kca T 1
= Kc 1 (O< a< 1) as+ s+-
aT
Ts+ 1 Gc(s) =K T
1 as+
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
G1 (s) = KG(s)
Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante
estática de error dada.
2. Usando la ganancia K así determinada, dibuje el diagrama de Bode de
G1(jw) el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. calcule el
margen de fase.
3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario que se añada al
sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5° a 12° al ángulo de
adelanto de fase requerido, ya que la adición del compensador de adelanto
desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye
así el margen de fase.
4. Determine el factor de atenuación a a partir de la ecuación
1-a - 1-a
sencJ>m = 1 ..; a = 1 + a -z-
SS
' Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado
G1(jw) es igual a -20log C)a). Seleccione esta frecuencia como la nueva
frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a wm::::: .,; y vaT
el cambio de fase máximo cf>m ocurre en esta frecuencia.
5. Determine las frecuencias esquinas del compensador de adelanto del modo
siguiente: 1
Cero del compensador de adelanto: w = ;¡:
Polo del compensador de adelanto: w = 2.. aT
6. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de a determinado en el
paso 4, calcule la constante K, a partir de Kc = !5. a
7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Si
no es así, repita el proceso de diseño modificando la localización de polos
ceros del compensador hasta que se obtenga un resultado satisfactorio.
3.2 Compensación de atraso.
Sea un compensador de retardo que tiene la siguiente función de transferencia: 1
Ts+l s+z: 4 Gc(s) = KcP-p- = Kc 1
Ts+l s+pr CP > 1)
En el plano complejo, un compensador de retardo tiene un cero en s = -1/T y un
polo en s = -1/(/JT). El polo está localizado a la derecha del cero.
lm K e KcP
1 \Re OJ=OO m=O
Figura 3.3. Diagrama polar de un compensador de retardo
La figura 3.3 muestra un diagrama potar det compensador de retardo.
56
dB
30
20
10
o
~ ~
o o
-30°
-60°
-90°~--------~--------~------~
0.01 T
0.1 -
T {1)
1
T 10
T
Figura 3.4. Diagrama de Bode de un compensador en retardo
La figura 3.4 contiene Jos diagramas de Bode del compensador, donde Kc = 1 y
p = 10. Las frecuencias esquina del compensador de retardo están en w = 1/T y
w = 1/fJT. La magnitud del compensador en retardo es de 10 (O 20 dB) a bajas
frecuencias, y 1 (O dB) a altas frecuencias. Por lo tanto, el compensador de retardo
es esencialmente un filtro pasa bajo.
Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método
de respuesta en frecuencia. La función principal de un compensador de retardo
es proporcionar una atenuación en el rango de las altas frecuencias a fin de aportar
un margen de fase suficiente al sistema. El procedimiento de diseño se puede
plantear del modo siguiente:
1. Suponga el siguiente compensador de retardo:
Defina
Entonces,
1 rs + 1 s +r
Gc(s) = Kc/1 {JT 1 = Kc 1 (p > 1) s+ s+
7ft
Ts+ 1 Gc(s) =K fJTs + 1
57
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
G1 (s) = KG(s)
Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante de error estática de velocidad.
2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia G1 (jw) = KG(jw) no satisface las especificaciones en los márgenes de fase y ganancia, entonces encuentre la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180° mas el margen de fase requerido. Este es el margen de fase especificado más S0 a 12°. (La adición de entre so y 12° compensa el desfase que introduce el compensador de retardo.) Selecciones esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
3. Para evitar los efectos adversos del desfase producido por el compensador de retardo, el polo y el cero del compensador de retardo deben localizarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuenCia esquina w = 1/T (que corresponde al cero del compensador de retardo) entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia). Si las constantes de tiempo del compensador de retardo no se hacen demasiado grandes, la frecuencia esquina w = 1/T se puede escoger una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Obsérvese que se selecciona el polo y el cero del compensador suficientemente pequeños. Asi el retardo de fase ocurre en la región de bajas frecuencias de manera que no afecta al margen de fase.
4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a O dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de -20logf1 , determine el valor de p. A continuación se obtiene la otra frecuencia esquina (que corresponde al polo del compensador de retardo) a partir de w = 1/(PT).
5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de p determinado en el paso 4, calcule la constante K, a partir de
K K-c-p
58
3.3 Compensación atrasa.adelanto
Sea el compensador de retardo-adelanto obtenido mediante.
Produce el efecto de una red de adelanto, y el término
1 s+r, (Ts+1) ----,1~2 = {J R; S + 1 , {J > 1 s+- PZ
fJTz
produce el efecto de una red de retardo. Al diseñar un compensador de retardo
adelanto, es común seleccionar y = {J. El diagrama polar del compensador de
retardo-adelanto con Kc = 1 y y= {J es el que se muestra en la figura.
1m K =1 r=/3 e
m=oo
Re
o
m=O
Figura 3.5. Diagrama polar de un compensador de retardo-adelanto con Kc = 1 y y = f3
Obsérvese que para o< w < w1 , el compensador actúa como un compensador de
retardo, mientras que para w1 < w < oo, funciona como un compensador de
adelanto. La frecuencia w1 es aquella en la cual el ángulo de fase es cero. Viene
dada por
59
10
o
dB -10
-20
-30
"" "" r=P
~ ¡...... _ _.. V
-90° 0.001
T¡ 0.01
r; 0.1
r; {J)
/ /
/ ,.,-
1
r;
~
10
T¡ 100
r;
Figura 3.6. Diagrama de Bode de un compensador de reatrdo-adelanto Kc = 1 y y ::::: {3 y T2 = 10T1
Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método
de respuesta en frecuencia. El diseño de un compensador de retardo-adelanto
mediante el método de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de
las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la
compensación de retardo.
Supóngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente:
( (T1s + 1)(T2s + 1) (s + *) (s + ~)
Gc s) = Kc (T ) = Kc ( f3) 1 donde {3 > 1 js + 1 ({3T2s + 1) s + T
1 (s + {3T
2)
La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que
contiene T1) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de
adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de
ganancia. La parte de retardo de fase (la parte que contiene T2 ) proporciona una
atenuación cerca y por encima de la frecuencia de cruce de ganancia y, por lo
tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias que
mejora el comportamiento en estado estacionario.
60
Problema N° 3.1. Compensación en adelanto
Sea el sistema que se muestra en la figura. Se quiere diseñar un compensador
para el sistema de modo que la constante de error estático de velocidad sea de 20
seg·1, el margen de fase sea al menos de 50° y el margen de ganancia sea al
menos de 10 dB.
Figura 3.7. Sistema sin compensar
1
Solución 4
Gp(s) ~ s(s+ 2) 1
s + T Ts + 1 Gc(s) = Kc 1 = Kca T
1 1 Kca =K 1 z = ap
s+- as+ aT
. ( Ts + 1 ) ( 4K ) G(s) = Gc(s). Gp(s) = aTs + 1 s(s +2)
4K G1 (s) = KGp(s) = s(s + 2)
Kv = lim G(s) = 2K = 20--.. K= 10 s ... o
elear all; elose all; ele; n=[O o 40]; d=[l 2 O]; w=logspaee(O,l,lOO); bode(n,d,w); grid;
40 Gt(s) = s(s+ 2)
Del grafico se puede, medir el margen de fase MF y la frecuencia correspondiente.
Este valor también se puede calcular en forma analítica al cumplir la condición de
cruce de ganancia,
-¡.~::::::;: = 1 wvw 2 + 4
w4 + 4w2 -1600 =o .... w = 6.1685 radjseg MF = 180° + LG1 (s)
61
. 40 40L0° 0
G¡(jw) = jw(jw + 2) = (6.1685L90°)(6.4846L72.036°) = lL - 162·036
MF = 180°- 162.036° = 17.964°
2Sk---···· --
20[--·-- ~----~-~~---·- -·-·· --:.
: ------------· ····---~-- ..
~----------- -~----...............
~ 15~---- -
-- -·-··--·-----··· -- ----·--- ....... L ......... _¡ _________ _¡
' -120~~ ----··
! -------------L ~ ¡f
··--·:
-~-~---'· .. ·. :..!..~---~--~-·-·---.. -- __ ,_,_::..i~_, __ , __ ,._,._.--- .. -:,o •.. :..· •• t. •• :. ·.- .. -.:.L .. : ... :..L· ___ ,_.,__._,_:i
10'
Ffe<JJeo<:Y (radfsee)
Figura 3.8. Diagrama de Bode
Dado que MF requerido debe ser mayor a 50°, entonces la fase del compensador
debe ser:
MF = 17.964 + l/Jc + lPcorreccíon
Se encuentra así que el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el
requisito de estabilidad relativa es de 32.036°. Considerando el desplazamiento de
la frecuencia de cruce de ganancia, se puede suponer que lf>m , el adelanto de fase
máximo requerido, es de aproximadamente 32.036° +5o= 37.036° (esto significa
que se han añadido 5o para compensar el desplazamiento en la frecuencia de
cruce de ganancia.)
1- senlf>m a= ~ a= 0.248
1 + senlf>m
Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta en frecuencia a
la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir
IGc(s)l = Jix = 2.008 -+En dB es 6.056 dB
IGc(s)IIGt (s)l = 1
62
1 1 IGl(s)l = IGc(s)l = 2.008 = 0.498
40 --;~~ = 0.498 w..Jw2 + 4
w4 + 4w2 - 6451.509 =O --+ w = 8.8513 radfseg
IG1 (s)l = 0.498 a la frecuencia w = 8.8513 radfseg. Se selecciona esta frecuencia
como la nueva frecuencia de cruce wc. Teniendo en cuenta que esta frecuencia
corresponde a
1 ú) =-
e .faT
1 T = Wc.fa
1 1 T = 4.408, aT = 17.774
El compensador de adelanto asr determinado es
s+4.408 Gc(s) = Kc S+ 17.774
K 10 Kc = '(; = 0.248 = 40.323
S+ 4.408 Gc(s) = 40.323 S+ 17.774
C(s) 4 -- = · sin compensar R(s) s 2 + 2s + 4
C(s) 161.292s + 706.782 - = compensado R(s) s 3 + 19.671s2 + 196.634s + 706.782
63
close all; clear all; ele %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------
%planta sin compensar %G(s)=4/(sA2+2s+4) ns=[O O 4]; ds=[l 2 4]; %----------------~---------------
%planta compensada en frrecuencia nc=[O O 161.296 710.993]; dc=[1 19.774 196.844 710.993); t=0:0.05:10; [c1,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '- 1 ,t,c2,t,c2, 1
-1);
grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 1 t seg 1
) ;
ylabel( 1 salidas el y c2 1);
gtext( 1 sisterna compensado'); gtext( 1 sistema no compensado');
respuesta a un escalon unnaóo de sistema compensado y no compensado
1.4 ---¡---T--¡-----r-----¡----~----r- ¡---
Sistema crmpensado ' : ' ' , : , : ·r\·· r···· <•··~~~:·············:········· :············:·············, ............. , .......... . -¡-----~""-" ___ ~---~-~-~-------·--¡------·-----::_.._:;:_r----:::------ ---4--:.·:: - ~~---~ ..... :....·=----~-----~~t· ... ------ · -- ---- \- -·--j :.: i ' : ' : :
.. 1 t 1 ' 1 - -..--------------o·--- •-------- • r-- -----------' --------- •--- ~-- •---------- r----- •------ -~------------- •-- •• •----- • • • ' ' ' ' 1 ' ' . .
' ' ' ' ' ' ' ' ' : en , , , tU . ' 1 '
~-Q.-~ ;---------'-+-----------+------------r-------------f-------------r-------------f-------------f-------------;-------------1------------• 1 1 ' 1 1
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' --,-------------,---- ----- ~ T-- "-- -- ------ i--- .. --------
' '
0.2 t- __ , _______ -r- _. ______ --+ _______ -----r _______ ----+- __________ ~----- ________ 1
_______ . ____ -;--- __________ ¡- _________ ---: ____________ _ ' ' ' ' ' '
_ _j_ __ -----', ____ j__ ____ j ___ ___j ___ __j_ __ _j __ __j__ ____ j __ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 seg
Figura 3.9. Respuesta del sistema compensado
64
Problema N° 3.2
Sea el sistema que se muestra en la figura {a). Diseñe un compensador tal que el
sistema en lazo cerrado satisfaga los requisitos siguientes constante de error
estático de velocidad = 20 seg-1 , margen de fase = so o y margen de ganancia
;:::: 10dB.
•
Figura 3.1 O. Diagramas de bloque del sistema sin compensar
y del sistema con compensador
Solución
...
Para satisfacer las especificaciones, se intentara un compensador en adelanto de
la forma
Ts+ 1 Gc(s) =K T l ª s+
10 Gp(s) = ( 1)
ss+
10K ( Ts + 1) G(s) = Gc(s)Gp(s) = s(s + 1) aTs + 1
10K G1(s) = ( 1) s s+ .
10K ( Ts + 1) Kv= limsG{s) = limsGc(s)Gp(s) = lims (
1) T
1 = 10K = 20
s_.O s_.o s_.o S s + . a S + . K=2
20 G (s) ----
1 - s(s+ 1)
El margen de fase se puede calcular en forma analítica al cumplir la condición de
cruce de ganancia,
65
IG1(s)l = 1s(s2~ 1)1 = 1
20 --;=;;::= = 1 w:Jw. 2 + l
w 4 + w2 - 400 =O --7 w = 4.4166 radfseg
MF = 180° + LG1(s)
. 20 20L0° . . . 0
G1 (jw) = jw(jw + 1) = (4.4166L90°)(4.5284L77.2423°) = 1L- 167·2423
! : o -135i-.!! ¡ ..
: :
-180: -io::r·~ .....
MF = 180°- 167.2423° = 12.7577°
Bode llagram
Figura 3.11. Diagrama de Bode
' ::: ¡
El margen de ganancia es +oo dB. Como la especificación requiere un margen de
fase de 50°, el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito de
margen de fase de 50°- 12.7577° = 37.2423°. Un compensador de adelanto puede
contribuir con esta cantidad.
Si se toma en consideración el desplazamiento de la frecuencia de cruce de
ganancia., se puede suponer que </Jm = 37.2423° +so= 42.2423°
1- sen</Jm a = -+ a = 0.196
1 + sentPm
66
Con este valor, se procede a calcular la magnitud de fa respuesta en frecuencia a
la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir 1
IGc(s)l =.¡a= 2.259
IGc(s)IIGl(s)l = 1
1 1 lG¡(s)l = !Gc(s)l = 2.259 = 0.443
1scs2~ 1)1 = 0.443
20 --;=;;::= = 0.443 w..Jw2 + 1
w4 + w2- 2038.227 = O ~ w = 6.6820 radfseg
IG1 (s)l = 0.443 a la frecuencia ·w = 6.6820 radfseg. Se selecciona esta frecuencia
como la nueva frecuencia de cruce wc. Teniendo en cuenta que esta frecuencia
corresponde a
1 w =--
e ..Jar 1 T = Wc..J(i
1 1 T = 2.958, aT == 15.093
El compensador de adelanto así determinado es
S+ 2.958 Gc(s) = Kc S+ 15.093
K 2 Kc =a= 0_196 = 10.204
S+ 2.958 Gc(s) = 10.204
5 + 15.093
C(s) 10 - = sin compensar R(s) s2 + s + 10
C(s) 102.04s + 301.83432 R(s) = s 3 + 16.093s2 + 117.133s + 301.83432 compensado
67
elose all; elear all; ele %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------
%planta sin compensar %G(s)=4/(sÁ2+2s+4) ns=[O O 10]; ds=[l 1 10]; %--------------------------------%planta compensada en frrecueneia nc=[O O 102.04 301.83432]; dc=[l 16.093 117.133 301.83432]; t=0:0.05:10; [el,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot ( t, el, t, el, '-' , t, e2, t, c2, '-' ) ; grid; title('respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 't seg' ) ; ylabel('salidas el y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado');
respuesta a un escalan unitariO de sjstema compensado y no compensado 1.8-
r-~ ~---:--~-----r-----r-----. . ' ' . j 1 1 ' ' '
1 1 ' 1 1 ' ' '
1'6 ----------~ ... -·r\_\ ____ SiStérñB"fC~ádO---;--------------¡--------------r-------------r-------------,:-------------;--------------r------------. 1 1 1 1 ' ' ' '
' ' 1 ' ' ' 1 1 ' 1 • ' 1 1 1 ' ' 1 '
1.4 ------- __ ¿ __ ~ --- ~-.--- -------1------------ --f---- ----------:-------------- +--- -----------:-------------.:.------------ -~------- ------ -~- -----------f : ¡ : : : : :
' ' ' ' 1.2 ~- ~ .;·:\_j ~ --- ~-- -- -~.----- ---:- ~-- ---- ~:·~·-.,_~- ----- ·- ~+----- ·· ---- ---~ -- · ---------- -¡--- ---------- -~ -------- -· ---,- ---- ~ --- · · --r-- ~ · ------- ·
Í \ sis~ema c~pensa~ : : : 1 \ ' ·. ' ' ' ' 1 , • ' • •. ···r- -. •
~ 1 -j--- -,"-- '~i-~-----'~-----j------.-----j-------_:--\ ____ T ______ ~"-~~--+--~~-"--~-~+~--~-~~"~C:C~t-=-cccoc--.-~-=~--------~"==~=c~"-- -----j 08 ! ' : \ : : '- + / i i ! : ~ · -.r -- -¡-------1: _____ -----·-;---T----.---------:-------------~.:.--------- -----1.---------- ---l: ___ ----- ---- --r:·---- ---------:.:.---------- ----r: ------------
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; ; : ¡ ¡ ¡ : ; ¡ ¡ ¡ ----------·- -,--------------,---------- ----r··------------,-------------·r···-- --------,---· ----------r-· ------ ----·¡·-------------,------------ --
' ' : : : ! j : ¡ : 0.2 '-'----------j--------------:--------------j- --- ------:·------------j·---- ---~------------
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
2 4 5 6 7 9 10 t seg
Figura 3.12. Respuesta del sistema compensado
68
Problema N° 3.3. Compensación en retardo
Sea el- sistema que se muestra en la figura. Se desea compensar el sistema de
forma que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 5 seg·1, el margen
de fase sea al menos de 40° y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.
1
s(s + 1)(0.5s + 1)
Figura 3.13. Sistema sin compensar
Solución
Se utilizara un compensador de retardo de la forma
1 Ts + 1 s +y
Gc(s) = KcP prs + 1 = Kc 1 CP > 1) s+ PT
KcP=K K
G1 (s):::: KG(s) = s(s + l)(O.Ss + 1)
G (s) - G (s) G (s) - _K_(T_s_+_1_) 1
- e · P - PTs + 1 s(s + 1)(0.5s + 1)
K Gl(s) = KGp(s) = s(s + 1)(0.5s + 1)
Kv = Jirn G(s) = K == S s-+0
K=S
5 G ( s) - -:--::-::-:---:---
1 - s(s + 1)(0.5s + 1)
elear all; elose all; ele; n=[O O O 5]; d=[0.5 1.5 1 O]; %w=logspace(O,l,100); %bode(n,d,w); bode(n,d); grid;
69
BodeOsgram 50:-
¡-----;-·-----, -----·---------
·50
-100:-.
·13':i:-
10
Frequency (radlsec)
Figura 3.14. Diagrama de Bode
Se observa que el margen de fase es -20°, lo que significa que el sistema no
compensado pero ajustado en ganancia es inestable. Se debe permitir al MF la
adición entre 5° y 12° con el fin de que de que el MF requerido compense la
modificación de la curva de fase.
Como la frecuencia correspondiente a un MF = 40°. Como la frecuencia
correspondiente a un margen de fase de 40° es de 0.7 rad/seg, la nueva frecuencia
de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse cercano a
este valor. Para evitar constantes de tiempo muy grandes en el compensador de
retardo, se debe elegir la frecuencia esquina w = 1/T (que corresponde al cero del
compensador de retardo) como 0.1 rad/seg. Se añade 12° al MF proporcionado y el
MF requerido es ahora 52°.
El ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto no compensada es
de -128° en la cercanía de w = 0.5~, por tanto se escoge la la nueva frecuencia seg
de cruce de ganancia como 0.5 rad/seg.
Para traer la curva de magnitud hasta O dB en esta nueva frecuencia de cruce de
ganancia, el compensador de retardo debe proporcionar ta atenuación necesaria,
que en este caso es de -20 dB. Por tanto.
70
1 20log p == -20
{3 = 10
La otra frecuencia esquina w = 1/PT, que corresponde al polo del compensador de
retardo, se determina como
1 pr = 0.01 radfseg
K 5 Kc = {3 :::::: 10 = O.S
Así, la función de transferencia del compensador de retardo es
s+0.1 Gc(s) = 0.5 s + 0.01
C(s) 1 R(s) = O.Ss3 + 1.Ss2 + s + 1 sin compensar
C(s) SOs+ S R(s) = 50s4 + 1SO.Ss3 + 101.Ss2 + 51s +S compensado
close all; clear all; ele >6diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------
%planta sin compensar ns=[O O O 1]; ds=[O.S 1.5 1 1]; %------------------~~-~----------
%planta compensada en frrecuencia nc=[O O O 50 5]; dc=[SO 150.5 101.5 51 5]; t=0:0.05:40; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-'); grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 't seg') ; ylabel('salidas el y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado');
71
respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4,---~~c-r~~~-,----~,-!-------,---~-,----,------,--~-..........,
·¡¡/ ',
t.2 __________ i .... ,/:.~---------~'".:_~·~t~~:~: ____ _. __________________ f-----·····-------¡---·------------·j------------------:--·--------------' 1 : ', ·•. ' ' ,' !, ! \ : ··-·., :
1 ---- -•---j--·-~---:-----•--- ••-~~~-~~~-~=::::·:,:::::-=-~:~~~~~ w------=--~:- ~:-: ___ ::-:;:-;.-_--: ~-. -- ---,_~---------•--------"i---~~~~-,........ 1 : . : ·- ... 1 : \ : \
~ ' 1 1 1
1
1
/ ¡ sist~a no compensado ! , ! : ! ~ 0.8 -· -· -"--¡------¡: ------ ·-·--· -----~.:.- ·------------ ----:--------· -----· ---r: --- ·------------ -¡. ----· ------ -----·1: ______ ------------¡:- ·----·------- ·--
r / : 1
u 1 1 ' ' ' 1 ' ' 1
i ,, .... ;¡ ...... • ................. ; ............. ·····~· .................................. •········ ... ··:·················J ............... . 1 ' ' 1
0.4 r--.-- ,- 4---------- ~ ------ ... --- ----~ -----------.------:---------- .. ----- _,.- -- -·------ ---- .; .. - ---- - . ----- --~ ----------------- ~- ----------------¡ i i i ' : ; 1 ' .
J 1 ' : 1 : : '
0.2 --f!- _- .. ------- ¡-- .. ------ ------- r---- -------.--- -+--- --------.---- -¡- ------------.---1
--- -·-- --.----.-- i---.-- ----------- +- ---------------. ' ' '
i i i i : i o 35 40
Figura 3. 15. Respuesta del sistema compensado
Problema N° 3.4. Compensación retardo-adelanto
Sea el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo
abierto es
K G (s) - --:------:--
P - s(s + l)(s + 2)
Se desea que la constante de error estático de velocidad sea de 1 O seg·\ que el
margen de fase sea de 50° y que el margen de ganancia sea de 1 O dB o más.
Solución
Usando compensador retardo-adelanto
( ) (T1s + 1)(T2s + 1) ( s + *) (s + ~)
G, s = K, (T ) = Kc ( p) l js+ 1 (PT2s+ 1) s+Yt (s+ py
2)
. . KcK Kv= hmG(s) = hm Gc(s)Gp(s) = -
2 = 10
s-+0 s-+0
asumiendo K, = 1 tenemos que K = 20
20 20 G (s)- -----
P - s(s + l)(s + 2) s3 + 3s2 + 2s
donde P > 1
72
50
-50
-100 -00.
-225
-270'
10
20
10
¡¡;-~
-8 ~ (i ,¡¡
t -2G
-30
-110 135
-1S:i
~ ~
f. -2?5
-2?0:
1d'
•
Bode [)agram
-- --...
System sys
Sy&tem ¡,ys Frequency (radlsec): 2.4 Mogniude (dB); 0.144
Frequency (radlsec); 1.41 ~se{deg): -180
Frequency (n~cVsec)
Figura 3.16 Diagrama de Bode
System sys Frequency (radlsec}: 1.o62 Mogo ..... (d8); 10.3
--.......
--· -. Sys~m sys Frequency (radlsec): 1.o62 . ..._ Rla&e{dag): -180
-- . Bode Oiagram
System ¡,ys Frequency (radfsec): 2.42 Magnlude (dB}: 0.029
System sys Frequency (radfteo): 2.42
-·· (deg); -208 .. ___ ....
Frequency (radlsec)
····--.
Figura 3.17. Diagrama de Bode más especifico
El MF del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es de -32°, lo que
indica que el sistema es inestable.
El paso siguiente es seleccionar una nueva frecuencia de cruce de ganancia. A
partir de la curva de fase de Gp(w), se observa que LGp(w) = -180° en w =
73
10'
10
1.5 radjseg. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia como
1.5 rad/seg, a fin de que el adelanto de fase requerido en 1.5 rad/seg sea alrededor
de 50°, lo que es muy posible mediante una red de retardo adelanto.
Una vez que se ha seleccionado ia frecuencia de cruce de ganancia en 1.5 rad/seg
se puede determinar la frecuencia esquina de la parte de retardo de fase del
compensador de retardo adelanto. Se selecciona la frecuencia esquina w = 1/T2
(que corresponde al cero de la parte de retardo del de fase del compensador) que
se encuentra una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia,
o en 015 rad/seg. Recuerde que para el compensador de adelanto, el máximo
adelanto de fase 4>m viene dado por
1 1-p {J-1
senc/Jm ==- = --1+1 /1+1
71 Para el caso actual, sustituyendo a= 1/P
1-a -- 1-a
sen4> = 2 =-m 1+a 1+a -z
para P = 10 entonces 4>m = 54.9°
Como se necesita un MF de 50°, se puede seleccionar p = 10. Así a la frecuencia
esquina w = 1/T2 que corresponde al polo de la parte de retardo de fase del
compensador) es 0.015 rad/seg. La función de transferencia de la parte de retardo
de fase del compensador de retardo-adelanto es
s + 0.15 (6.67s + 1) ---=10----s + 0.015 (66.7s + 1)
La parte de adelanto de fase se puede determinar del modo siguiente. Como la
nueva frecuencia de cruce de ganacia es 1.5 rad/seg, de la figura se encuentra que
Gp01.5) es de 13 dB. A partir de este requisito, es posible dibujar una línea recta
de pendiente 20dB/dec, que pasa por el punto (1.5 rad/seg, -13 dB). Las
intersecciones de esta línea con las líneas O dB y -20 dB determinan las
frecuencias esquinas.asi, las frecuencias esquinas pára la parte de adelanto son
0.7 rad/seg y 7 rad/seg. En este caso la función de transferencia del compensador
en adelanto es
74
s + 0.7 (1.43s + 1) ---=0.1-----s + 7 (0.143s + 1)
Si se combinan las funciones de transferencia
. (S + 0. 7) S + 0.15 Gc(s) = S+ 7 (s + 0.015)
C(s) 20
R(s) = s3 + 3s2 + 2s + 20
C(s) 95.381s2 + 81s + 10 R(s) = 4.769ss + 47.7287s4 + 110.3026s3 + 163.724s2 + 82s + 10
8x 10"' ~---.----~-----,-----.-----:-----.-----~
6 ----------"-¡--------------¡--------------:--------------¡--------------¡------ ------¡--------------¡------ (\·--' ' 1 1 ' 1 ' i: • ------------~--------------r--------------:--------------;------- ------¡------ -- ---~----------- -r------rr
2 ------- -----:--------------:---~----------:---- ----------:--------------;------------- :------------ --,:-\_-----r--1--, ' ' 1 1 1 ,, \ 1 \
· · · ~-=·····-~=¡·~·······• -=~···· ~r-~.=:r=:~=r.c[\/[•\•f·•t• ~---- --------- ~---- --------) ------------- ~--- -- ·-- -- __; ------------- -~-- -------- ----~- ------------ -~-- _',j_ --- -l- i
\ ' \ \ ¡ i ¡ ; ¡ .a --- -·--- ----- ~- ----------- --~---- ----------:-------------- ~-- ----- ---··-- -:------------- -~-- ------------ ~ -------- --.¡-
~ ____________ j _____________ +-------------:--------------¡-----------)-------------j--------------r-----------1- : -10 ---------- --~--- ------- ----~-- ---------- __ ;_- ----------- -~ ------------ __ ;_ ------------ -~-- ---------- --~ ----------- ~ i
-12 o
' ' ' 1 ' ' 1 1!
i : i : : : : \/ 10
Figura 3.18. Respuesta del sistema sin compensar
Step Response 1.4 - ------· ............. -- ...
1.2 , __
Time (sec)
Figura 3.19. Respuesta del sistema compensado
75
CAPITULO IV
CONTROLADORES PID Y CONTROLADORES PIO MODIFICADO
4.1 Reglas de Ziegler Nichols para la sintonía de controladores PIO.
Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se
usan hoy en día utilizan esquemas de control PID o PIO modificado (1-PD y PIO con
dos grados de libertad). En particular, cuando el modelo matemático de la planta no
se conoce y por lo tanto, no se pueden emplear métodos anaHticos, es cuando los
controles PID resultan más útiles.
Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia
proporcional, el tiempo integral y del tiempo derivativo basándose en las
características de respuesta transitoria de una planta dada.
+ 1 Kp(l+--+Tss) Planta
T;s ,~-
Figura 4.1. Sistema de control PID
Primer método. La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se
obtiene de manera experimental, tal como se muestra en la figura.
lé u= __ ___, .. ..,.., Planta lt---..., .. ~
Figura 4.2. Salida de reacción
Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la
curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la
figura.
76
Tales curvas de respuesta escalón se pueden generar experimentalmente o a partir
de una simulación dinámica de la planta. L es el tiempo de retardo, T es la
constante de tiempo.
En este caso, la función de transferencia C(s)/R(s) se aproxima mediante un
sistema de primer orden con un retardo del modo siguiente:
c(t)
C(s) Ke-Ls
R(s) = Ts+ 1
Figura 4.3. Curva de reacción
Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la formula que se muestra en la tabla siguiente
Tipo de controlador Kp Ti Td
p T/l 00 o
PI 0.9T/l L/0.3 o
PIO 1.2T/l 2L O.SL
( 1 ) T ( 1 ) (S + f)
2 Gc(s) =Kv 1 + Tis + Tds = 1.2 L 1 + ZLs + O.SLs = 0.6T s
Por lo tanto el controlador PIO tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-1/L,
Segundo método. Primero se fija Ti= o0 y Td =o. Usando solo la acción de
control proporcional, se incrementa desde O hasta un valor crítico Kcr• en donde la
salida presente oscilaciones sostenidas. (si la salida no presenta oscilaciones
77
sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este método no se
puede apticar.) Asi, ta ganancia crítica Kcr y et periodo Pcr correspondiente se
determinan experimentalmente.
u(t) c(t) Planta
Figura 4.4. Sistema proporcional
c(t)
Figura 4.5. Respuesta oscilatoria
Ziegler y Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp,
Ti y Td de acuerdo con la formula que se muestra en la tabla siguiente.
Tipo de Kp Ti Td controlador
p
PI
PIO
O.SKcr 00 o 0.45Kcr {1/1.2)Pcr o 0.6Kcr O.SPcr 0.125Pcr
Gc(s) = Kp ( 1 + T~s + Tds) = 0.6Kcr ( 1 + O.S~crs + 0.125Pcrs)
4 2 (s+-)
= 0.075K Pcr -·-- .... cr S
Por lo tanto, el controlador tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-4/Pcr.
Problema N° 4.1. Segundo método de sintonía
Sea el sistema de control que se muestra en la figura, en el cual se usa un
controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de
transferencia
78
Controlador PIO Planta
R(s) s(s + l)(s + 5)
C(s)
Figura 4.6 sistema de control PID
Diseñe el controlador PID aplicando la regla de sintonía de Ziegler-Nichols para
determinar los parámetros. Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y
compruebe si el sistema diseñado presenta una sobreelongación de
aproximadamente el 25%. Si la sobreelongación es excesiva (40% o más), haga
una sintonía fina y reduzca la cantidad de sobreelongación al 25% o menos.
Solución
Como la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo método de sintonía de
Ziegler -Nichols.
Fijando Ti = oo 1 Td =O 1 Gc(s) = Kp
Kv G(s) = Gc(s)Gp(s) = s(s+ l)(s+S)
Kp Kv T(s) = s(s + l)(s +S)+ Kv- s 3 + 6s2 + Ss +Kv
s 3 + 6s2 + Ss + Kp =O ecuacion característica
Por Routh
s3 1 S
s2 6 Kv
30-K sl p o
6 so Kv
Para que el sistema sea estable Kv > O 1 tambien 30-Kp O -> 6
Es decir cuando o < Kv < 30 el sistema es estable. Si Kv = 30 el sistema oscila.
Formamos el polinomio auxiliar P(s) = 6s2 + 30 = O con lo que s = ±j.JS = ±jw
w = ...f5 = 2nf
79
f = 0.35588 Hz
E1 periodo de osci1ación es T = } = 2.8099
Los parámetros del PID serán:
Kp = 0.6Kcr = (0.6)(30) = 18
Ti == Q,5Pcr = (0,5)(2J3099) = 1.40495 Td = 0.125Pcr = (0.125)(2.8099) :::: 0.3512375
( 1 ) 6.3223(s + 1.4235) 2
Gc(s) = 18 1 + 1.4055 + 0.35124s = s
6.3223(s + 1.4235)2
G(s) = Gc(s)Gp(s) = 52 (s + 1)(s +S)
C(s) 6.3223(s + 1.4235)2
T(s) = R(s) = s2(s + 1)(s + 5) + 6.3223(s + 1.4235)2
6.3223s2 + 18s + 12.811 T(s) - ~--=-------::::----
- s4 + 6s3 + 11.3223s2 + 18s + 12.811
La función de transferencia del sistema sin controlador
C(s) 1 1 T(s) = R(s) = s(s + l)(s +5) + 1 - s 3 + 6s2 + 5s + 1
elose all; elear all; ele %diseño de un controlador PID por el metodo de Ziegler-Nichols
%------------------------------------%funcion de transferencia de la planta sin compensara:
ns=ro o o 1]; ds=[l 6 51]; %funcion de transferencia de la planta con controlador PID nc=[O O 6.3223 19 12.81lj; dc=[1 6 11.3223 18 12.811]; t=0:0.05:40; [el,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,el, '-' ,t,c2,t,e2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema controlado y
no controlado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2~)
gtext('sistema controlado')
80
gtext('sistema no controlado')
respuesta a un escalon unitalio de sistema controlado y no controlado
1.8,..-->01-.65-,!----.-!----,1. ----,------¡!----..-----¡-----, Y: 1.618 , , i , '
1.6c---:r---------+----------------¡----------------¡-----------------¡-----·----------¡-----------------¡----------------¡----------------
1.4 ··!···:·····- -¡--·-------- -----¡---------------·¡·-------- -------¡----------------¡- ...... --------¡----------------¡-- ------ ------: sistema c()nlrolado : : : :
1.2 _j_ -- _, __ -- -- --j----------- ------~ -- ---------- ___ ;_- ------- ----·-·:······-·· -------j ------- --- -----~- --------------. i. -- ------------l :' \ :
N 1 ,: \ : ~ 1 -¡-----+-----·r----~-----=--:-~-.y-----.-.----·-·-·--- -~--- ___ ....... ----· ··-
. ~ t ·, : : : ' : 1
~ 0.8 :··------~~-.;·-¡----~~~~~~-~~~~~-------------¡-----------------¡----------------¡-----------------¡----------------:--·-------------
0.6 r· __________ ---¡-----------------¡---------------- ¡------------- __ --¡-. ___ . -------. --¡ ____________ . _ ---¡-- __ .. __ --------¡ ------ _________ _ 0.4 ~'---------------~----------------+----------------1----------------+----------------1··--------------+----------------1----------------
. . . . . . ' . ------ ~---------------- -'-----' . ' ' __ ... _________________ .... ------~----------------0.2 . -------- - . ' . ' ' ' i i ¡ ' i i
00~--~---~10------1~5---~~~--~25~--~~----~~--~~
t seg
Figura 4. 7 Sistema controlado
Mp = 1.618 que resulta 61.8%
Esta sobreelongación es excesiva se puede reducir mediante una sintonía fina.
Acercando los ceros del controlador al origen
6.3223(s + 0.71175)2
Gc(s) = ------s
6.3223(s + 0.71175)2
G(s) = Gc(s)Gp(s) = s 2 (s + 1)(s + 5)
6.3223(s + 0.71175) 2
T(s) - ---:::--::-------,-----------:- s 2 (s + 1)(s + 5) + 6.3223(s + 1.4235)2
6.3223s2 + 9s + 3.2028 T(s)------~---
- s 4 + 6s3 + 11.3223s2 + 9s + 3.2028 close all; clear all; ele %diseño de un controlador PID por el metodo de Ziegler-Nichols
%------------------------------------%funcion de transferencia de la planta sin compensara: ns=[O O O 1]; ds=[1 6 51]; %funcion de transferencia de la planta con controlador PID %sintonia fina nc=[O O 6.3223 9 3.2028]; dc=[1 6 11.3223 9 3.2028]; t=0:0.05:40;
81
cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema controlado y no controlado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema controlado') gtext('sistema no controlado')
respuesta a un escalan unitario de sistema controlado y no controlado 1.4¡------,-----,--------,------,-----,------,------¡-----,
X:2.4 Y: 1246 : , , , : , : /."' : : : : : : : "C/ '\]:.=..: i 1 : . ~
11-·-,-------------i~-~~c-~.-:---L---- ·-- ___ ¡ ___________ __¡ ______ ¡
~ 0.8 _¡_ ____________ ; _______ - -- ____ [ ________________ ( ________________ ~-----------------,------- - -- -y------- -- -- --,------- ------ -
>- / : sistema no ~ntrolado ' : :
" ' ' ~ 1 j ¡ 1 1 ' ' 1
~ OBf-j--------------¡-----------------:-----------------¡----------------¡-----------------~----------------:-----------------¡----------------
1 : : : : : :
0.4 t·-- -------+----------------(----------------+- --+- -- ----------f ----------- ----f-----------------i----------------1 : : : : 1 : : : 1 ' : :
1 ' ' ' ' ' ' ' 0.2!+---------------~-----------------; _________________ ~----------------~-----------------~----------------~-----------------i----------------; : : : : : : :
i : i ' : i ¡: ¡: j
0o 10 15 20 25 30 35 40 t seg
Figura 4.8. Sistema compensado con sintonía fina
Mp = 1.246 que resulta 24.6%
) 6.3223(s + 0.71175) 2 6.3223(s2 + 1.4235s + 0.5066)
Gc(S = = ------------S S
( 0.5066 )
Gc(s) = 6.3223 1.4235 + S + s
( 0.5066 S )
Gc(s) = (6.3223)(1.4235) 1 + 1
_4235
s + 1
_4235
Gc(s) = Kp ( 1 + T~s + Tds) = 9 ( 1 + 2_~1s + 0.7025s)
Los nuevos parámetros del PID sintonizados son:
Kp = 9 1 Ti = 2.81 seg 1 Td = 0.7027 seg
82
4.2 Diseño de controladores PID mediante el método de respuesta en
frecuencia.
En esta sección se presenta un diseño de un controlador PID basado en el método
de respuesta en frecuencia.
Problema N° 4.2
Considérese el sistema que se muestra en fa figura. Diséñese un controlador PID
utilizando el método de la respuesta en frecuencia tal que la constante de error
estático de velocidad sea 4 seg-1, el margen de fase sea de al menos 50° y el
margen de ganancia de al menos 1 O dB. Obténgase las curvas de respuesta a un
escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema controlado con un PID en
Matlab.
-)H G,(s) H-kl
Figura 4.9. Sistema de control
Solución
Sea el controlador PIO escogido el siguiente:
e ) K(as + l)(bs + 1) Gc S = ------
S
Como la constante de error estático de velocidad Kv es 4 seg-1 , se tiene
. 1 . K(as + 1)(bs + 1) 1 Kv= hms Gc(s) 2 1
= hm K 2 1 =K= 4
s .... o s + s--o s s +
( ) 4(as + 1)(bs + 1)
Gcs =-----s
. A continuación se dibuja el diagrama de Bode de
4 G(s)---
- s(s2 + 1)
83 ~
elose all; elear all; ele; num=[O O O 4]; den=[1 0.00000000001 1 O]; w=logspaee(-1,1,200); bode(num,den,w) title('Diagrama de Bode de 4/[s(sA2+1)] ') grid
Diagrama de Bode de 4/[s(s2+1)) --,----r··-----------·····-··-----·-·;· ---·--------,-------------
o
-50 --- - ----- -- ---· ~ ....
-90 ;~~~---~~---«~~O~-'"~~----~~~,~-~~~--,.~~---~·"'"'""'-_..,.,-;-·---.---
-135
l Q;' -180 (/) (U
.S::
a. -225
-270 10-1
10°
Frequency (rad/sec)
Figura 4.10. Diagrama de Bode 4/[s(s2 + 1)]
Se necesita un margen de fase de al menos 50° y un margen de ganancia de al
menos 10 dB. Del diagrama de Bode se observa que fa frecuencia de cruce de
ganancia es aproximadamente w = 1.8 radfseg.
Supóngase que la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado toma
cualquier valor entre w = 1 y w = 10 radfseg. Sabiendo que
Gc(s) = 4(as + 1)(bs + 1) S
84-1
Se escoge a= 5. Entonces (as+ 1) contribuirá hasta con 90° de adelanto de fase
en la región de altas frecuencias. El programa Matlab siguiente realiza el diagrama
de Bode de
elose all; elear all; ele; num=[O O 20 4]; den~[l 0.00000000001 1 0]; w=logspaee(-2,1,101); bode(num,den,w)
4(5s + 1)
s(s2 + 1)
title('Diagrama de Bode de G(s)=4(5s+1)/[s(sA2+1)] ') grid
Diagrama de Bode de G(s)=4(5s+1)/[s(s~1)] 60 i'" .•. , . ._.,.,.,.,.T'''"''''""\" .... ,_,., ,., ....... ,., .• ," n· , ..... -.- .,. '"" •.--- --·-·e ... ··-- - ., .... ,, ·-,--"'-'e··•·-~----- .. ,., ..
r--~-------~------L • . . . • . • • !\ ~ 40' -~-~------_:-~· ~· _.;) \
; :
~ 20 ¡.. - ·- " ·--· ' '. . •... : _', ; ___ ,_ . '""'-: i ' . ' :"'-~" : : ' . ' : i o ---·· --- ., ·: - -:~~_:::¡
~: -20
o
-45
~ -90 CJ)
~ -135
-180
-225 10'2
Frequency (rad/sec)
Figura 4.11. Diagrama de Bode de 4(5s + 1)/s(s2 + 1)
Basándose en el diagrama de Bode de la figura 4. 11 se escoge el valor de b. El
término (bs + 1) tiene que dar el margen de fase de al menos 50°. Mediante
simples tanteos se comprueba que b = 0.25 proporciona un margen de fase de al
menos 50° y un margen de ganancia de +oo dB. Por lo tanto seleccionando
b = 0.25 se obtiene
85
4(Ss + 1)(0.25s + 1) Gc(s) = ___ ...;...._ __ _ S
Y fa función de transferencia en lazo abierto del sistema diseñado resulta
4(Ss + 1)(0.25s + 1) 1 Ss2 + 21s + 4 S s 2 + 1 -
El programa Matlab genera el diagrama de Bode de la función de transferencia en
lazo abierto. En la figura 4.12 se muestra el diagrama de Bode resultante. De esta
figura se observa que la constante de error estático de velocidad es 4 seg-1 , el
margen de fase es 55° y el margen de ganancia es +oo dB.
close all; clear all; ele; num=[O 5 21 4]; den=[1 O 1 O); w=logspaee(-2,2,100); bode(num,den,w) title('Diagrama de Bode de 4(5s+1) (0.25s+1)/(s(sl\2+1)) ') grid
~
1 f
60 ············o······-···········
40
20
' 0\---
-20i
-40 45;·
o' .
~ -45!
! -90
-135' .......... , ..
Diagrama de Bode de 4(5s+1)(0.25s+1)/[s(s2+1)]
-180' 10-2
.: ~--·-·· -·~_..;._·.:., .-,_-__ -_,._ ·-
10-1 10°
Frequency (rad/sec)
Figura 4.12. Diagrama de Bode de 4(Ss + 1)(0.25s + 1)/[s(s2 + 1)]
Por lo tanto, el sistema diseñado satisface todas las especificaciones y se puede
considerar aceptable. A continuación, se obtendrán las respuestas a un escalón
86
' unitario y una rampa unitaria del sistema diseñado. La función de transferencia en
lazo cerrado es
C(s) Ss2 + 21s + 4
R(s) = s 3 + 5s2 + 22s + 4
Obsérvese que los ceros en lazo cerrado están localizados en
S = -4, S = -0.2
Los polos en lazo cerrado están localizados en
S= -2.4052 + j3.9119
S= -2.4052- j3.9119
S= -0.1897
Los polos en lazo cerrado son complejos conjugados tienen una razón de
amortiguamiento de 0.5237. el programa Matlab escrito abajo genera las
respuestas a un escalón unitario y una rampa unitaria.
En las figuras 4.13 y 4.14 se muestran, respectivamente, la respuesta a un escalón
unitario y una rampa unitaria. Obsérvese que el poto en lazo cerrado en s = -0.1897
y el cero en s= -0.2 producen una larga cola de pequeña amplitud en la respuesta a
un escalón unitario.
elose all; elear all; ele; %-----respuesta a un escalen unitario------num=[O 5 21 4]; den=[1 5 22 4]; t=0:0.01:14; c=step(num,den,t); plot(t,e) grid title('respuesta a un escalen unitario del sistema compensado') xlabel('t(seg) ') ylabel('Salida c(t) ') figure %-----respuesta a una rampa unitaria num1=[0 O 5 21 4]; denl=[l 5 22 4 0]; t=0:0.02:20; e=step(num1,denl,t); plot ( t, e, '-' , t, t, 1
-' )
title('Respuesta a rampa unitaria del sistema compensado') xlabel('t(seg) ') ylabel ('Entrada de rampa unitaria y salida e (t) ') text ( 10.8, 8, 1 Sistema Compensado') grid
87
respuesta a un escalon unitario del sistema compensado 1.4 ,-----,--------,---,------,-----,-------.--
1'2 t\-·-----+------------r-------------1--------------i--------------:~-------------1-------------, '\ : : : : : : 1 ' ' ' ' ' '
1 L.L ~----------- _: _______ : _______ -- _:_ ________ - ! ----oo.c=•-~~~~~~•-1 \_./¡-------~-~ --~:------¡ ---i :
~ o 8 j_ __________ j ______________ c_ _____________ , ______________ , ______________ , ______________ .__
~. i : 1 : : : :
o 1 : : : 1
m ( , . , ~ ¡ ¡ : ¡ ¡ ¡ : (1) 0.6 --------- ---~-. ----------- -~---- ---.----- ~--- --------- --~- -------------:--------. -----;- --- ···- -----
' 1 ' 1
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 ' 1
1 ' ' ' 1 ---------L--------------'--------------L------·-------'--------------•------------1 1 ' 1 1
1 ' ' ' ' 1 1 1 ' 1
1 ' 1 1 '
' ' ' ' ' ' '
0.2 ------------~--------------f------- ·---- -:--------------: -------------,------- ------,--------' 1 r o 1 ' ' 1
' ' ' '
2 4 6 8 10 12 14 t(seg)
Figura 4.13. Curva de respuesta a un escalón unitario
Respuesta a rampa unitaria del sistema compensado 20 1--,---,-----,--------,--,-----,-----·T------¡ _.-;:>·
18 ' ' ' ' : : _ _;.::.;:.-· ________ , _________ , __ -- ··"----------·----------·- ----- :---- ----:--· ---- ·;··: . .:-;~?( _____ _
~ 16 --- -:-·-------:---------: -- _; ________ , _________ c.. -·-¡--·:~)~:-?'_ --·--- ____ _
j :: :•••••••••; LT T/)>:f ;••e '§ 10 --------~---------i---------1--------+-···:,);;;:':~----+------+··-·----j-··------i-----···
! : ••••••••:••i·•••••L2J"'"~ Ls''teotn .. ··-=•••••i•••••·· ~ ________ ¡ _______ ~;:(~<L ______ j_ -------~--------L.- - [__ _______ ;_______; _______ _ w
4 -:'/: ,: i i ' i
1 .,;· .. " : : : : :
1 <"-'+ 1 1 ' ' 2 ________ ;[ _______ ; _________ ;_. _______ ; __________ c _________ c _________ ; _________ ; _________ ; _______ _ /.··¡ ' ¡ : : ¡ : j ! 1
o ¿_-_\__ ___ : : : : L___j
o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t(seg)
Figura 4.14. Respuesta a una entrada de referencia en rampa unitaria
y la curva de salida
88
*
4.3 Diseño de controladores PID mediante el método de la optimización
computacional.
En esta sección se explorara como obtener un conjunto óptimo de valores de
parámetros de los controladores PID que satisfagan la especificación de respuesta
transitoria mediante el uso de Matlab.
Problema N° 4.3
Sea el sistema que se muestra en la figura que está controlado por un controlador
PID. El controlador esta dado por
+
(s + a)2
Gc(s) =K--S
,__~ K ( s + a i ,___.... _-----::-__ 1_.2--=---- 1---r--.... s 0.36? +1.8W +2.5s+l
Figura 4.15. Sistema controlado con un PID
Se desea encontrar una combinación de K y a tal que el sistema en lazo cerrado
sea sobre amortiguado y su sobreelongación máxima en la respuesta a un escalan
unitario sea menor que el 1 O % ..
Obsérvese que la ganancia K no debería ser demasiado grande para evitar que el
sistema necesite innecesaria unidad de potencia.
Se supone que la región para buscar K y a esta acotada por
2 :S K :S 3 y 0.5 :S a :S 1.5
Si en esta región no existe una solución será necesario ampliarla close all; clear all; ele; %valores de 'k' y 'a' para comprobar K=[2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0]; a=[O.S 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5]; %evaluar la respuesta en lazo cerrado a un escalan unitario en %cada combinacion de 'K' y 'a' que dara sobreelongacion maxima %menor que el 10% t=0:0.01:5; g=t f ( [ l. 2 ] 1 [ o . 3 6 l. 8 6 2 . 5 1 ] ) ; k=O; for i=1:6;
for j=l:6; gc=tf(K(i)*[l 2*a(j) a(j)A2), [1 0]); %controlador
89
~
G=gc*g/(l+gc*g); %funcion de transferencia en lazo cerrado y=step(G,t}; m=max(y}; if m<l.lO
k=k+l; solution(k, :)=[K(i} a(j) m];
end end
end solution %imprime tabla solucion sortsolution=sortrows(solution,3) %imprime tabla solucion ordenada %por la columna 3 %representa la respuesta con la mayor sobreelongacion que es que el 10% K=sortsolution(k,l} a=sortsolution(k,2) gc=t f (K* [ 1 2 *a a" 2] , [ 1 O] } ; G=gc*g/(1+gc*g); step(G,t) grid figure %Si desea representar la respuesta con la sobreelongacion mas pequena %que es mayor que O, introduzca los siguientes valores de 'K' y 'a' K=sortsolution(ll,l) a=sortsolution(l1,2) gc=tf (K* [1 2*a a"2], [1 O]}; G=gc*g/ ( l+gc*g} ; step(G,t) grid
solution =
2.0000 0.5000 0.9002 2.0000 0.7000 0.9807 2.0000 0.9000 1.0614 2.2000 0.5000 0.9114-2.2000 0.7000 0.9837 2.2000 0.9000 1.0772 2.4000 0.5000 0.9207 2.4000 0.7000 0.9859 2.4000 0.9000 1.0923 2.6000 0.5000 0.9283 2.6000 0.7000 0.9877 2.8000 0.5000 0.9348 2.8000 0.7000 1.0024 3.0000 0.5000 0.9402 3.0000 0.7000 1.0177
sortsolution =
2.0000 0.5000 0.9002 2.2000 0.5000 0.9114 2.4000 0.5000 0.9207
90
k
2.6000 2.8000 3.0000 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000 2.0000 2.2000 2.4000
K= 2.4000 a= 0.9000 K= 2.8000 a= 0.7000 >>
Q) "O :::1 ;s; Q.
~
0.5000 0.5000 0.5000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.9000 0.9000 0.9000
0.8
0.6 ¡ / t. 0.4t / '
1 J :
0.2¡- .¡ f
¡/
0.9283 0.9348 0.9402 0.9807 0.9837 0.9859 0.9877 1.0024 1.0177 1.0614 1.0772 1.0923
o: .................. L. .... ·-·········'-····
o 0.5 1
Step Response
' . _ -----·-·-·L·-··-·--·----·---·-··l ......• _ .. _ ~-------- ; -------- ·-----------------.. -- .. ·--·-
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Time (sec)
Figura 4.16. Respuesta a un escalón unitario del sistema
con K=2.4 y a=0.9 (la máxima sobreelongación es 9.23%)
5
91
1.4 r -----
<11 0.8 -g -= 0..
~ 0.6
0.4
/ I
!/ l--
í. /::---/
0.2: J
/ o/ ___ -·- ------- ---------·-o 0.5 1.5
Step Response
- - - ! •. -----·----- l --------···------·-- ---- -·-· ··- --~---
2 2.5 3 3.5 4 4.5
T¡me (sec)
Figura 4.17. Respuesta a un escalón unitario del sistema
con K=2.8 y a=0.7 (la máxima sobreelongación es 0.24%)
5
para representar la curva respuesta a un escalon unitario del sistema con cualquier
conjunto mostrado en la tabla ordenada, se especifican los valores de K y a
introduciendo una orden sqrtsolution apropiada.
Observe que para una especificación de que la sobreelongación máxima este entre
el 10% y el 5%, habría tres conjuntos soluciones:
K= 2.0000, a= 0.9000, m= 1.0614
K e 2.2000, a= 0.9000, m= 1.0772
K= 2.4000, a= 0.9000, m= 1.0923
Observase que el sistema con la ganancia K más grande tiene un tiempo de subida
menor y una sobreelongación máxima mayor. Cuál de estos tres sistemas es mejor
depende del objetivo del sistema.
Problema N° 4.4
Sea el sistema que se muestra en la figura. Se desean encontrar todas las
combinaciones de K y a tal que el sistema en lazo cerrado tenga una
sobreelongación máxima en la respuesta a un escalón unitario menor que el 15%
pero mayor que el 10%. Además, el tiempo de asentamiento debe ser menor de 3
seg. En este problema, se supone que la región para buscar K y a esta acotada
por
3 :::;; K :::;; S y 0.1 :::;; a :::;; 3
Determine cual es la mejor elección de los parámetros K y a
Figura 4.18. Sistema controlado con un PID simplificado
elose all; elear all; ele; t=O:O.Ol:8; k=O; for K=3:0.2:5;
end
for a=O.l:0.1:3;
end
num=[4*K 8*K*a 4*K*aA2]; den=[1 6 8+4*K 4+8*K*a 4*K*aA2); y=step(num,den,t); s=801;while y(s)>0.98&y(s)<l.02; s=s-1; end; ts=(s-1)*0.01; %ts=settling time; m=max (y) ; if m<1.15&m>1.10;if ts<3.00;
k=k+1;
end
solution(k, :)=[K a m ts]; end
solution ';;imprime tabla solucion
..
sortsolution=sortrows(solution,3} %imprime tabla solucion ordenada %por la columna 3 %representa la respuesta con la menor sobreelongacion que aparece en la %tabla sortsolution K=sortsolution(l,l) a=sortsolution(1,2) num=[4*K 8*K*a 4*K*aA2]; num den=[1 6 8+4*K 4+8*K*a 4*K*aA2];
93
den y~step(num,den,t);
plot (t, y) grid title('respuesta escalen unitario') xlabel ( 't seg') ylabel ('Salida y (t) ')
solution =
3.0000 1.0000 1.1469 2.7700 3.2000 0.9000 1.1065 2.8300 3.4000 0.9000 1.1181 2.7000 3.6000 0.9000 1.1291 2.5800 3.8000 0.9000 1.1396 2.4700 4.0000 0.9000 1.1497 2.3800 4.2000 0.8000 1.1107 2.8300 4.4000 0.8000 1.1208 2.5900 4.6000 0.8000 1.1304 2.4300 4.8000 0.8000 1.1396 2.3100 5.0000 0.8000 1.1485 2.2100
sortsolution =
3.2000 4.2000 3.4000 4.4000 3.6000 4.6000 4.8000 3.8000 3.0000 5.0000 4.0000
K= 3.2000 a= 0.9000
num=
0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 0.8000 0.9000 1.0000 0.8000 0.9000
1.1065 1.1107 1.1181 1.1208 1.1291 1.1304 1.1396 1.1396 1.1469 1.1485 1.1497
12.8000 23.0400 10.3680
den=
2.8300 2.8300 2.7000 2.5900 2.5800 2.4300 2.3100 2.4700 2.7700 2.2100 2.3800
1.0000 6.0000 20.8000 27.0400 10.3680 >>
94
respuesta escalon unitario 1.4 r------.----,-----,--
' ' 1. 2 ---------.- -t --· --- ---· --- t-· -----------!--- -··--.- ---- j -------- ·- --. ~-.- ---- -· ---- ~----- ---------:-----.---- ---·
/~"'" ¡ ' ·~. ' ' ' ' ' '
1 -------¡---¡-------~~~==;_=+-- ---------~-------------~---~-~--¡·~-~-~ .... ~ ... -..~-.=~--! ! j : :
~ o. 8 -- -f -----:---------- ---f ---------- -- ¡----- --------1----------- --¡---- ------ --· r-- ---------- -¡-- ·- . -------
"C ¡· :.' ' f6 w O. 6 ---- -¡--- ----;------ ----- ; ------------- ~--- -------- -~--------- ---- ~-------- .. ·-- --·- -·-- --- -·-- --
¡ ' : : ' '
1 ' 1 ! 0.4 -- -!--- ----- -~- ------ ----------:------------ -~--- -------- - ~---------- -----:-- ----------.,.--- .. -------
1 : :
0:~ 1 ! .............. , __ -- -- --__.____---:------____¡_··· .. ,_ ....... ~-~ .
o 1 2 3 4 5 6 7 8 t seg
Figura 4.19. Respuesta a un escalón unitario del sistema con K = 3.2 y a = 0.9
4.4 Modificaciones de los esquemas de control PID.
Sea el sistema de control PID básico que se muestra en la figura, donde el sistema
está sujeto a perturbaciones y ruido.
Entrada de
Controlador PIO
Perturbación D(s)
Señal observada B(s)
Figura 4.20. Sistema controlado PID
Salida Y(s)
+ Ruido N(s)
95
Para que se anule los efectos de la perturbación y del ruido, se debe cumplir que:
__ G.....:.p-::-(s-::-)--:--:-D(s) _ Gc(s)Gp(s) N(s) = 0 1 + Gc(s)Gp(s) 1 + Gc(s)Gp(s)
Es decir
D(s) = Gc(s)N(s)
D(s)
Y(s)
B(s)
Figura 4.21. Diagrama de bloques equivalente
La figura siguiente es un diagrama de bloques modificado del mismo sistema. En
el sistema de control PID básico, si la entrada de referencia es una función
escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la
variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una función delta). En la
práctica, es imposible realizar un verdadero diferenciador. Por lo tanto es necesario
aproximar el diferenciador verdadero Tds mediante
Tds
Una forma de realizar un diferenciador aproximado es utilizar un integrador en el
camino de realimentación. (En los diferenciadores que se encuentran disponibles
comercialmente, el valor de y se establece como 0.1.)
C(s)
Figura 4.22. Diferenciador
96
La función de transferencia del sistema es 1
Obsérvese que semejante diferenciador con un retraso de primer orden reduce el
ancho de banda del sistema de control en lazo cerrado y el efecto nocivo de las
señales de ruido.
Por lo tanto, cuando la entrada de referencia es una función escalón, la variable
manipulada u(t) no contendrá una función impulso, sino una función en forma de un
pulso estrecho. Tal fenómeno se denomina patada en el punto de consigna.
Control PI-O. Para evitar el fenómeno de la patada en el punto de consigan, se
puede operar la acción derivativa solo en el camino de realimentación, a fin de que
la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal
de referencia. El esquema de control dispuesto de esta forma se denomina control
PI-D. a partir de la figura se observa que la señal manipulada U(s) está dada por
U(s) =Kv ( 1 + T~s) R(s)- Kv ( 1 + T~s + Tds) B(s)
Obsérvese que en ausencia de perturbaciones y ruido, la función de transferencia
en lazo cerrado del sistema de control PID básico y el sistema de control PI-O se
obtienen, respectivamente, mediante
Y(s) ( 1 ) KvGv(s) --= 1+-+Tds R(s) Tis 1 + (1 +_!_+T. s)K G (s) Tis d P P
D(s)
E(s) 1 Y(s)
T¡s
B(s)
Figura 4.23. Sistema de control PI-O
97
Y(s) ( 1 ) KpGp(s)
R(s) = 1
+ Tts 1 + (1 + 1 + T s) K G (s) r:s d p p l
Es importante señalar que, en ausencia de la entrada de referencia y de ruido, la
función de transferencia en lazo cerrado entre la perturbación D(s) y la salida Y(s)
es igual en cualquier caso y se obtiene mediante
Y(s) Gp(s)
R(s) = 1+(1+~+Tds)KpGp(s)
Controii-PD. Se considera otra vez el caso en el que la entrada de referencia es
una función escalón. Tanto el control PID como el control PI-O implican una función
escalón en la señal manipulada. En muchas ocasiones, tal cambio escalón en la
señal manipulada puede no resultar conveniente. Por tanto, puede convenir mover
la acción proporcional y la acción derivativa al camino de realimentación, a fin de
que estas acciones solo afecten a la señal de realimentación. La figura muestra tal
esquema de control, que se denomina controii-PD.
D(s)
E(s) Y(s)
I'¡s
Figura 4.24. Sistema de control 1-PD
La señal manipulada está dada por
U(s) = Kp T~s R(s)- Kp ( 1 + T~s + Tds) B(s)
Obsérvese que la entrada de referencia R(s) solo aparece en la parte de control
integral.
98
Por tanto, en el control 1-PD es imprescindible tener la acción de control integral
para una operación adecuada del sistema de control.
La función de transferencia en lazo cerrado Y(s)IR(s) en ausencia de las entradas
de perturbación y ruido es
Y(s) ( 1 ) KpGp(s)
R(s) = Tis 1 + (1 + _!_ + T. s) K G (s) Trs d P P
l
Se observa que en ausencia de la entrada de referencia y de ruido, la función de
transferencia en lazo cerrado entre la entrada de perturbación y la salida viene
dada por
Y(s) Gp(s) - = -----,--=-------D(s) 1 + ( 1 + T~s + Tds) KpGp(s)
Esta expresión es la misma que para el control PIDo el control PI-D.
Control PIO con dos grados de libertad. Se ha demostrado que el control PI-D se
obtiene moviendo la acción de control derivativa al camino de realimentación y que
el control 1-PD se obtiene moviendo las acciones de control proporcional y
derivativo al camino de realimentación. En lugar de mover la acción de control
derivativa completa o la acción de control proporcional al camino de realimentación,
es posible mover solo partes de estas acciones de control al camino de
realimentación, conservando las partes restantes en el camino directo. Tales
esquemas de control conducen a un esquema de control más general con dos
grados de libertad.
4.5 Control con dos grados de libertad.
Sea el sistema de la figura siguiente, en la cual el sistema está sujeto a la entrada
de perturbación D(s) y a la entrada de ruido N(s) además de la entrada de
referencia, Gc(s) es la función de transferencia del controlador y Gp(s) es la función
de transferencia de la planta. Se supone que Gp(s) es fija e inalterable.
99
D(s)
r---r-- Y(s)
B(s)
N(s)
Figura 4.25. Sistema de control de un grado de libertad
Para este sistema se deduce que:
Se deduce tres funciones de transferencia G = _Y (_s) = _c_cC_s )_G...;...p_(s_) _
yr R(s) 1 + Gc(s)Gp(s)
G _ _ Y(_s) _ Gp(s) yd - D(s) - 1 + Gc(s)Gp(s)
_ Y(s) _ Gc(s)Gp(s) G - --- - ____ ...____ yn N(s) 1 + Gc(s)Gp(s)
Los grados de libertad del sistema de control se refieren al número de funciones de
transferencia en lazo cerrado que son independientes. En el caso actual se tiene
que
Si una de las tres funciones de transferencia en lazo cerrado Gyr , Gyn y Gyd esta
dada, las dos restantes están fijas. Esto significa que el sistema de la figura es un
sistema de control de un grado de libertad.
A continuación se considera el sistema que se muestra en la figura siguiente,
donde Gp(s) es la función de transferencia de la planta.
100
D(s)
r--....--• Y(s)
+ N(s)
Figura 4.26. Sistema de control con dos grados de libertad
Para este sistema, las funciones de transferencia en lazo cerrado son
Y(s) Ge1 Gp Gyr =-= ------'---
R(s) 1 + (Ge1 + Ge2)Gp Y(s) Gp Gyd = -- = ___ ,;:.___ __ D(s) 1 +(Gel+ Gez)Gp
Y(s) (Gel +Gez)Gp Gyn = -- = ____ ;,.,._:.._ N(s) 1 +(Gel+ Gez)Gp
Por tanto se tiene que Gyd- Gp
Gyr = Gel Gyd, Gyn = --::..----'-GP
En este caso, si Gyd esta dada, entonces Gyn esta fija, pero Gyr no lo está, porque
Ge1 es independiente de Gyd· Así, dos funciones de transferencia en lazo cerrado
entre las tres funciones de transferencia en lazo cerrado Gyr , Gyn y Gyd son
independientes. En este caso, se trata de un sistema de control con dos grados de
libertad. Análogamente, el sistema que se muestra en la figura siguiente, también
es un sistema de control con dos grados de libertad, porque para esta sistema
R(s)
B(s)
+
N(s)
Figura 4.27. Sistema de control con dos grados de libertad
101 k'
Gyd- Gp Gyn = --=----'
Gp
Es evidente que, si se da Gyd entonces Gyn esta fija, pero Gyr no lo está, porque Gc2
es independiente de Gyd·
Coordenadas generalizas y Grados de libertad. Para poder describir el
movimiento físico de un sistema se necesita elegir un conjunto de variables o
coordenadas, las cuales se conocen con el nombre de coordenadas generalizadas.
La cantidad mínima de coordenadas independientes que se requieren para
describir el movimiento de un sistema se denomina como grados de libertad de un
sistema.
Cualquier partícula libre en el espacio tiene tres grados de libertad. El péndulo en el
plano que se mueve a través de un pívot; ya que el péndulo tiene una longitud
constante, se puede utilizar la variable () para describir el movimiento del péndulo,
la cual es una coordenada independiente que califica como coordenada
generalízada.
Como solo se necesita una variable o coordenada independiente para describir el
movimiento del péndulo, un péndulo de longitud constante en el plano tiene un
grado de libertad.
102 ~
CAPITULO V
VARIACIONES EN EL DISEÑO DEL CONTROLADOR
5.1 Corrélación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados
* + y
Figura 5.1. Sistema de control multivariable MIMO
Tomando transformadas de La place a las ecuaciones de estado y de salida
Se obtiene
Que implica
x=Ax+Bu
y= Cx+Du
sX(s)- x(O) = AX(s) + Bu(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
X(s) = (si- A)-1x(O) +(si- A)-1BU(s)
Y(s) = C(sl- A)-1x(O) + C(sl- A)-1x(O)BU(s) + DU(s)
Si la condición inicial x(O) =O
X(s) =(si- A)-1BU(s)
Y(s) ::;:: C(sl- A)-1x(O)BU(s) + DU(s)
La función de transferencia será
Y(s) = C(sl- A)-18 + D U(s)
la ecuación característica es: lsl- Al
103
5.2 Asignación de polos utilizando realimentación del estado
Las matrices A, B, C y O se utilizan para describir un modelo de planta lineal e
invariante en el tiempo, en el que u(t) es la entrada a la planta y x(t) e y(t) son los
vectores de estado y salida, respectivamente. El modelo del sistema global se
completa entonces aumentando el modelo de planta para incluir la compensación
por realimentación.
Realimentación de estados: un modelo vectorial
La realimentación de estados se implementa utilizando una combinación lineal de
variables de estados como una señal de realimentación negativa. Las ganancias de
los caminos de realimentación se suponen que son ajustables de forma
independiente con factores de ganancia k1 , k2, .... , kn· De ahí, la señal realimentada
vuelve a la entrada de la planta que es igual a k1x1 (t) + k2x2 (t) + .... + knxn(t).
La señal compuesta es un escalar y la formación de esta señal ya se ha descrito en
notación matricial con la definición de una matriz fila K tal que
Kx(t) = [k1 k2 ... kn]
x1(t) x2 (t)
Xn(t)
Si se supone una única entrada y una única salida, el diagrama de bloques que
muestra la realimentación de estados se presenta en la figura.
Planta
r g e t---. Y
Kx K
Figura 5.2. Un sistema SISO con realimentación de estados
104
Para permitir que r(t) se exprese en el mismo nivel que la salida deseada, se
introduce un factor multiplicador constante g. esto permite que la suma de la
entrada y las señales realimentadas ocurran con una versión escala de r(t).
Considerar la planta con realimentación de estados,
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
u(t) = gr(t) - Kx(t)
x(t) = Ax(t) + B[gr(t)- Kx(t)]
Tomando transformadas de Laplace:
sX(s)- x(O) = AX(s) + B[gR(s)- KX(s)]
sX(s)- AX(s) + BKX(s) = x(O) + +BgR(s)
(si- A+ BK)X(s) = x(O) + BgR(s)
X(s) =(si- A+ BK)-1x(O) +(si- A+ BK)-1BgR(s)
Y(s) = C(sl- A+ BK)-1x(O) + C(sl- A+ BKr1BgR(s)
Asumiendo que el sistema esta inicialmente en reposo, la relación de transferencia
en lazo cerrado es
X(s) = (si- A+ BK)-1BgR(s)
Y(s) = C(sl- A+ BK)-1BgR(s)
Con el modelo de planta expresado en términos de una única salida, Y(s) es un
escalar y C es una matriz fila. En este caso, g se puede evaluar de forma que r(t)
este expresado en el mismo nivel que la salida deseada y(t). Esta condición se
establece si g es
1 g = C(-A + BK)-18
La ecuación característica es
Ll(s) = det(sl- A+ BK) =O
Con libertad para ajustar los elementos de la matriz K, la realimentación de estados
se utiliza para tener el control de la situación de las raíces de la ecuación
característica. Las raíces se desplazan para obtener el comportamiento transitorio
deseado.
lOS
5.3 Controlabilidad
Un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción u(t)
que pueda llevar cualquier estado inicial x(t0 ) a cualquier otro estado deseado x(t)
en un tiempo finito, t 0 :5 t :5 T.
Para el sistema
x::: Ax +Bu
Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición
algebraica
rango[B AB A2B ... An-18]:::;: n
La matriz a tiene dimensión n x n y B tiene dimensión n x l. Para sistemas con
múltiples entradas, B es de n x m, donde m es el número de entradas.
Para un sistema de única entrada, única salida, la matriz de Controlabilidad Me se
describe en términos de A y B como
Me ::: [B AB A 2 B ... An-18] :::;: n
Que es una matriz n x n. Por lo tanto, si el determinante de Me es distinto de cero,
el sistema es controlable.
5.4 Observabilidad
Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito T de
forma que el estado inicial x(O) se pueda determinar a partir de la observación de
la historia y(t) dado el control u(t).
Considerar el sistema de una entrada-una salida
x = Ax + Bu e y = Cx
Donde C es un vector fila 1 x n y x es un vector columna n x l. Este sistema es
completamente observable cuando el determinante de la matriz de Observabilidad
M0 es distinto de cero, donde
r e j CA
Mo =
CAn-1
que es una matriz n x n
106
Problema 5.1
Un sistema esta descrito por las ecuaciones matriciales mostradas. Determinar si el
sistema es controlable y observable.
elose all; elear all; ele;
A=[O 1; O -3]; B= [O; l]; C= [O 2]; Pe=[B A*B] detPe=det(Pc) Po=[C;C*A] detPo=det(Po)
Pe=
o 1
1 -3
detPc = -1
Po=
o 2
o -6
detPo =O
X = [~ !3] X + [~] u
y= 2x2
Solución
Pe= [B AB]
Po= [e~] y= [O 2]x
de los resultados obtenidos el sistema es controlable y no observable.
107
5.5 Estimación del estado
Si el estado de la planta se puede estimar, entonces la compensación por
realimentación se puede implementar utilizando el estado estimado. Un observador
de estado completo utiliza solamente la entrada a la planta, u(t) y la salida y(t) tal
como se muestra en la figura, para proporcionar una estima x de todas las
variables de estado. Una gran ventaja del uso del observador es la capacidad de
implementar compensación por realimentación con una reducción en el número de
variables medidas. La medida de las variables de planta puede ser difícil y la
disponibilidad y coste de los sensores apropiados puede ser un factor significativo
en la selección de esta opción de diseño. Para proporcionar la operación deseada
un observador debe constituir una simulación dinámica en tiempo real que es
capaz de dar una estimación aceptablemente precisa de las variables de planta.
Más aun, puede existir una diferencia en los valores iniciales de las variables de
estado reales y estimadas y el observador debe tener la capacidad de producir una
atenuación rápida de error inicial.
x(O) u
.. r
..
Planta
X
x= Ax+Bu e
~ " .. Observado
x(O) • r
.. ro- ~ y
.. > ..
Figura 5.3. Una planta con un observador de estado completo.
Si el estado estimado se describe como x, entonces la diferencia entre los estados
real y estimado se puede definir como el error e, con
e=x-x
108
~·
Como las entradas al observador son u(t) e y(t) se propone un modelo de
observador dinámico con
¡ = A0 x + B 0 u(t) + Gy(t)
Donde A0 , 8 0 y G deben definirse de forma tal que hay una tendencia a minimizar
el error. Observe que Gy(t) se puede expresar también como GCx(t), entonces
e= .t- ¡ = Ax +Bu- A0 x- B 0u- GCx
Si A0 se fija igual a A- GC y B 0 se fija igual a 8 entonces la diferencia entre el
estado real y el estado estimado se controla por un modelo dinámico con
.t-¡= (A-GC)(x-x)
e= (A- GC)e
La función de error dinámico es el modelo matemático de un sistema no forzado y
si los valores propios de A - GC se colocan en el semiplano izquierdo, e(t) tendera
hacia cero cuando t -+ oo. En otras palabras, cualquier diferencia inicial entre el
estado real y el estimado decaerá asintóticamente a cero.
Asi, el modelo del observador es
i = (A - GC)x + Bu + Gy
Como G no ha sido especificado, los elementos de la matriz G se pueden
seleccionar para dar una colocación aceptable de los valores propios de A- GC. La
ecuación característica del observador es
det(sl - A + GC) = O
Y la velocidad a la cual el error inicial entre el estado real y el estado estimado
decae es independiente de la colocación de las raíces de esta ecuación.
Es una práctica deseable colocar las raíces del observador de forma tal que el
decaimiento del error ocurre rápidamente con respecto al tiempo de respuesta
transitoria que queda determinado por las constantes de tiempo dominantes del
sistema en lazo cerrado. Sin embrago, si los polos del observador se colocan
arbitrariamente lejos a la izquierda en el plano s, una demanda innecesariamente
excesiva se coloca sobre el observador en términos del tiempo de respuesta
requerido y del ancho de banda correspondiente. Esta situación puede imponer
problemas prácticos que incluyen un aumento innecesario en el nivel del ruido del
sensor que se introduce en el sistema. Para proporcionar un comportamiento
109
aceptable sin imponer demanda exces1va s-obre el nbt~vador, a las rafoosc se !e
asignan normalmente posiciones que se obtienen muttfpticando IOB vaiores ·de :os
pvsidón de Jos polos) por un factor de 3 o 4.
Corts~den:~ndo d modelo de fa ~anta descr1to en aste ejemplo, d1sefíar un • -1 ' . > • • • . ca-· • t ,¡ d 1 • • • 'b. 1 n.ns(?r!/f~vm O.H· r,**::uin ;e;;ornp:•:.ho p;.;¡ra. esümar ·G~ ~S.JlüO e ,-'3 f.H3nta y OC$C:n 1r s
Ei modelo de1 observador e;;
. r:() X-··¡
-- l~-2
'i = (A-- GC)x + Bu + Gy
G = fDtl •D'J..i
A=== A~-- GC
;2.:::.:: Ax+ Bu+ Gy
1 ] f5g oj r .~-5g1 -:1 -tsu~ o = l--z ---Soz
los valores propios dei observador (como función de g1 y g2) sG pueden
01--; -5¡}1 sl t-z -- sn2
---1: 1 s+3J
det.(sl ~- íi) = (s + 5gt){s + 3) + 2 + 5!Jz ::::: s 2 + (3 + 5g1)s + 2 + 5;t:h + lSg 1
=O
(s + 15)(s + 15) :.:::: il 1-- 30s -t· 225 ::~o
3 + 51J1:::. 30
2 + Sg~ + 15g1 = 225
110
Resolviendo
91-= 5.4
92 = 28.4
A= {_=-12:4 El modelo del observador es entonces
j; ~ { -;~ _;Jx +[~]u+ [{3~] y
Y el estado estimado x esta disponible para implementar la compensación por
reaHmentación.
é = {z1-GC)e
e:::;: Ae
. { -27 e== -144
Suponiendo la condición inicial
e(O) = f2] tl
close all; clear all; ele; %trayectoria del observador A=(-27 1; -144 -3]; B= [2; 1] ; t=0:0.01:0.6; [x,z,t]=step(A,B,A,B,1,t); x1=[1 O]*x'; x2:::.::[0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2); title('Respuesta a condicion inicial'); xlabel ( 't seg') ; ylabel('Variables de estado xl, x2'); grid; gtext ( 'x1 ' ) ; gtext ( 'x2 ' ) ;
111
Respuesta a condícion inicial
2\ ' ' ' '-- ' -:--l \ : : : : : : :
1 '\·~1i· · · ·· ······ r· ········· ·· ·· · ·· · ·· r ········ ·i ... · ·· · ... ¡ ........ ···-··· • N Q \ "'r '=• r~-:_, ----- ..... rj: : -1 \-- ---------- ~ --------------- :_ ______ ----_-7'--{-<----- ------+----------- .; ................ l ........ ------ : X / i i : i 1 -2 --~-- -·-- -------i ··----- ----- ---1·.:::/:-- __ )_ ------------- -~----- ------ ----i-------- ---- __ ) ___ -·----. -----:
y~ : -8 -3 -\------------ ; · ---- -- ----/i·-- ------------1------------ --·- -:· ------- .. -----: ---- · ------- --r·--- ---· ----- : ..0~ / 1 : : : :
' '
-~ 4 -T-------.--¡------/--- --j---- ------ ---- j----- ---------·t-- ·----- ----(-------- -----! -------------- i
~ 1 1 : : : : : -5 ---'---------i---l---------i---------------~----------------1------------- _ _¡ ________________ ¡ ______________ _
\ : / ¡ l i i ' ' ' '
: ~~:::J_~-~I~~~-~I~~:J=~=~c-~=c..=J o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
t.seg
Figura 5.4. Respuesta a condición inrcial
5.6 Realimentación de la salida
r
Planta .------_j ________ l
X
E~ x = Ax +Bu J==~
bservado,~=;-¡ i(O)C::::~ ...... __ ........,
Figura 5.5. Realimentación de salida utilizando un observador
112
~
El sistema de la figura presenta un modelo del sistema que muestra realimentación
de salida. En lugar de devolver las variables de estado medidas para implementar
realimentación de estado, la realimentación se formula como una combinación
lineal de variables de estado estimadas. Esta configuración se realiza con la
incorporación de un observador de orden completo y la adición de este observador
duplica el orden del sistema. Si el modelo del observador se combina con el
modelo de la planta, entonces el modelo revisado es
u= gr-Kx
y= Cx
El modelo de la planta en lazo cerrado es
[~]=[te A-~~~ BK] [~] + [~] gr
Con el empleo de un observador de orden completo, se revela una característica
particularmente útil los valores propios del modelo del sistema en lazo cerrado son
simplemente las arices de det[s/- A+ GC] =O y las raíces de det[s/- A+ BK] =
o. Esta característica se hace aparente con alguna manipulación del modelo. Si se
redefinen las variables de estado para contener x y e (en lugar de x y x), entonces
la transformación de variables es
Y las expresiones para x y e, se desarrollan rápidamente para obtener una
formulación alternativa del modelo del sistema en lazo cerrado con
[!] = [A -OBK A ~~el [:J + [~] gr
La ecuación característica queda por supuesto inalterada; y es aparente del modelo
de la ecuación anterior que la ecuación característica para el sistema en lazo
cerrado se pueda expresar como det[s/ -A + BK] det[sl -A + GC] = O. Así, los
polos del sistema total incluyen las raíces de det[s/- A+ BK] =O y las raíces de
det[sl- A+ GC] =o. El primer grupo comprende los polos que se obtienen
utilizando realimentación de estado puro y el segundo grupo lo constituyen los
113
poios dei observador. Esto significa que se· pu€'de· dtseñar K basándose solamente
,en ~a reaHmentación det estado y G en la estimación dei estado, aunque· se
c:oncn:;.:; como ~i principio de separación, que pmduce un proce--so de d1seño dtrecto.
r fl i: :::;. ¡'' -
.-2
y~ rs oJx
Pr1mEzrQi ve-rific:Emre ~Z,i E'} zis.t.em~ e~ cctntroh~.h}~ y ~An~{;f''i'f:~.l:t5c;::
Me= [B ltBJ
;!B -:."~ f -0. 1: .• l f0] ~ f 3 1 t--2 -s.l L3 l--9 ..
M ::::;· fO 3 ,~ e l3 -9J
det(i''t1c) ~ -9 ::f; O entonces el. sistema es controlable
Al! _re 1 ~,~o - lcAJ
CA.:::.. {5 oJL~z 1 ' ' ., ] ·-3 ={O S]
[S 01 l'4o.,.;: O si
dct(M0) :::::: 25 -=t- O entonces el sistema es observalJle
Ya que ei sistems es controiat,le y observable· Sf; puette aplicar ~a reaHmE~ltad6n
de estados.
C:dcu!o de dct(sl - A + BK] ~ e
l A .D'" fS s -- J"i + b.!"\. :.:._":; lo
detfs!- A+ BK];::;: s 2 + (3 + 3k2Js + 2 + 3k1 ;:: O
114
(s + S)(s +S) =" s 2 + lOs + 25
3 + 3k2 =lO
7 kz =3
2 + 3k1 = 25
23 k1=3
K =e33 ~J Calculo de det{sf -A + GC] == O
si- A+ GC = I~ -~]- [_~2 !3] +~~][S O]= g: ~;~ 5~13] det[sl -A + GC] : s 2 + {3 + Sg1)s + 2 + 15g1 + 5g2 = O
(s + l.S)(s + 15) = s 2 + 30s + 225
Utilizando el observador
3 + 5g1 = 30
27 B1=-·
5
2 + 15g1 + 5g2 = 225
142 gz=-
5
G ~ Ffzj
{!] = ·[GAC -BK ] fX] tB] A. A - GC- BK LX + B gr
[ 27 o] O]:=: .142 O
~1 =-·[O O] 3 23 7
[ o 1 ] [ 2 7 o] [ o 01 r -2 7 A-- GC- BK = ·-2 -3 - 112 o - 23 7~ = L-167
115
~'1] o -·:- =1;; 142
2
1 -3 o o
o -23 -27 -167
o_i ] [~:j + [i] gr
-10 x2 -3
close all; clear all; ele % respuesta en el tiempo en variables de estado A=[O 1; -2 -3]; B=[O; 3]; C=[S 0]; D= [O] ;
step(A,B,C,D); t=O:O.l:lO [y,x,t]=step(A,B,C,D,l,t); xl-= [ 1 O] *x' ; x2= [O 1] *x *;
plot(t,x1,t,x2); grid; gtext ( 'xl') ; gtext ( 'x2 ' ) ; figure; y=5*x1; plot(t,y); grid; gtext('y=5*xl');
1.s ,----,----,---,----/--~·---------~---,_: =-=-r---:-T----r--
: / :/ '
/
_,V 3C1 //:
1
: /: ; ' 1 1 ' 1 '
1 --------j-----¡--i---------;---------j---------¡---------;---------j---------i---------;--------: / i : ' i
x2! 1 !/ !X f \ i' \
0.5 -1-- --¡ ~---- -\--- i ------ ---~- -------1---------; ----- ----~ --- -- --+- ------- ~-------- +- ------1 1 i \! i i ¡ i : i ¡ i 1 j \ j j j j j j j
! ¡· ' i '' : i i ! : ; : '·' ' : ' ; . ··r··--........... . . / ! ~ ..... -:~ ... - '
o _i
o 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 5.6. Respuesta con realimentación de salida
116
8 ¡-------¡---,----,--' ' ' ' l y=5 .. ~!---~---~~----:--~;---:--
, ' _-. ' 1 1 1 1 7 ------ _! -------~---------;- ..___-_-.:-: ___ :---- -----1- -·------~---------:-- --------;----- ---t--------
i //r i i i i i 6 --------!-----) ,/:") ________ ~-- ___ j ________ j___ --~---------!--- -- ! __ - ---
' 1/ 1 1 ' 1 1 ' '
¡ . ./· j ! ! ! i 1
1
: ••••••••l••tl• T••·••r r••••••r r••••••c••••••••••••••• , ~ j. L [ .j ij. i ! ...
2 ---¡-:--------:---------:---------¡--------.-------1--------·---------;--------;-------
1 --1----i---- ----{- -------+ -------!--- ----- i------ ---i -- ------i- ------ --f---- ____ ¡ _______ _ / : : : : : : : : :
// :' :' :' :' :' :' :' ,' :' o _ __L___L~ -
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 5.7 respuesta en el tiempo
Problema 5.4
Considerar la aplicación de la realimentación de estados del modelo de planta
descrito en este ejemplo. El modelo describe un sistema motor que se utiliza para
controlar la posición angular de la base de un telescopio. la variable x1 representa
el ángulo¡ x2 representa la velocidad angular del eje del motor, y x3 representa la
corriente del motor. Utilizando este modelo¡ determinar la ecuación característica
con la realimentación de estados aplicada y completar el diseño de realimentación
de estados de forma que los polos en lazo cerrado estén, situados en -10 ± jS y
-80. El modelo de la planta es
r;231] = [ooo -~. 1 6~ l ¡::] + [ ~ l u G -1.4 -50 X3 10
y= [1 O O] ~~:l Solución
Primero se determina la Controlabilidad y Observabilidad del sistema para que se
pueda asignar los por los utilizando realimentación de estados.
x = Ax+Bu
y= Cx+Du
det(sl - A) = O ecuacion característica
117
si-A=~~ o ;¡- [~
5 :o l = [~ -5
o l S -0.1 s+ 0.1 -60 o -1.4 -50 o 1.4 s+ 50
S -5 o det o s+0.1 -60 = s[(s + 0.1)(s +50)+ (1. 4)(60)] =O o 1.4 s+ 50
s(s2 + 50. 1s + 89) = O
S= 0,-1.8443,-48.2557
La matriz de Controlabilidad es:
Me=[B
[o 5
A= O -0.1 o -1.4
6°0 ¡, B = [ ~ l -50 10
5
A.B = [~ o ][o] [ o ] 60 o = 600 -50 10 -500
-0.1 -1.4
s o ] [o -0.1 60 o -1.4 -50 o
5 -0.1 -1.4
o l [ o l [ 3000 l 60 o = -30060 -50 10 24160
[o o 3000 l
Me= O 600 -30060 10 -500 24160
det(M e) = -18000000 '* O
Por lo tanto el sistema es controlable.
La matriz de Observabilidad es:
Mo = ~~ ~ g ] o -0.5 300
det(M 0 ) = 1500 '* O
A =A-BK
A = [~ _;_ 1 :o ]-[ ~ ] [k1 kz k3] o -1.4 -50 10
A=[~ -~.1 6°o ]- [ ~ ~ g l O -1.4 -50 10k1 10k2 10k3
118
[sOO] [O 5
si -A = o s o - o -o. 1 O O s -10k1 -1.4 -10k2
o l 60 -so -1ok3
[
S -5 0 l si -A = o s + o. 1 -60
10k1 1.4 + 10k2 s +50+ 10k3
det( si - A) = o es la ecuación característica del sistema con realimentación de
estados.
s3 + (50. 1 + 10k3)s2 + (89 + k3 + 600k2)s + 3000k1 = O
Para situar todos los polos en lazo cerrado como se requieren, el polinomio
característico es deseado es
(s + 10- j5)(s + 10 + jS)(s + 80) = s 3 + 100s2 + 1. 725s + 10000
50. 1 + 10k3 = 100
89 + k3 + 600k2 = 1. 725
3000kt = 10000
k¡= 3.33
k2 = 2. 72
k3 = 4.99
K= (3.33 2. 72 4.99]
elear all; elose all; ele; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A=[O 5O; O -0.1 60; O -1.4 -50]; B= [ O ; O ; 1 O ] ; C=[1 O 0]; O= [O] ; t=O:O.l:lOO; [y,x,t]=step{A,B,C,D,1,t); x1=[1 O O]*x'; x2=[0 1 O]*x'; x3=[0 O l]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=xl=salida del sistema'); gtext ( 1 x2 1
) ;
gtext ( 1 x3 1 ) ;
119
3500r--~--r ---- r····---r· .. ··¡ ---·--r··-·r··--r· ···¡···---·-¡--··~:.··
: : : __.//
3000 -------~------+-----+----+ ------,---- -- ~-------~--------~--- ./~-----: : ' : // :
e t,/'
1 t t : o ,.....r·~: t
2500 ------ -'-- ---- ·-'-- ----- ~-- ------~ ------- ~----- ---~--- --- -~ ---:,. .. -::.--- ~-- ----- ~-------
: : : i ,¡./ : : : : /y-=lc1=salida del sistema
zooo -------:¡--------+-------+ ----- --f- ------+----:-~Y------+-------¡-·-----+-------: : ' ;,// ¡ : 1 '
: : 1 ' _...··-:-' : : ' '
1500 ------ -~------ --f-- ------1------- t~:~:~·-r:<-~-- ---- --j- ------1-- ··-- ---j--- -----¡- ------: : "< : : :
1ooo _______ j ________ : ________ L< ____ : _______ .; ________ ~----···J·-···---~-------L ..... . \ , ____ /'"': ! x2 ¡ : ~ : :,..../ : : ' ~f ' 1
_/'
500 -------',---:/---~------ ' ' ' ' :./ : T---·-··c··,c3·--T·······:···- .. , ....... , ....... ,_ ..... .
f,.--,.-·/f
0 ?
o 10 20 30 J
40
Figura 5.8 Respuestas del sistema
cl-ear all; clos-e all; -ele; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A"" ( O S O ¡ O -O . 1 6 O ; O -l. 4 -5O ] ; B= [ O ; O ; 1 O ] ; C=[1 O 0]; D=[O]; t=0:0.1:100; [y,x, t]=step(A, B,C, D, 1, t}; x1=[1 O O]*x'; x2=[0 1 O] *x'; x3=[0 O 1]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3}; grid; gtext('y=xl=salida del sistema'}; gtext ( 'x2' ) ; gtext ( 'x3 ' ) ; figure K=[3. 33 2. 72 4. 99]; AS=A-B*K; EtB*K-A; EI,inv(E) invg=C*EI*B; g=l/invg; ss~ro; o; lO*gJ; t=O:O.Ol:l; [y,x,t]=step(AS,BS,C,D,l,t); xl=[l O 0] *x'; x2=[0 1 O]*x'; x3=tO O 1]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=xl=salida del sistema'); gtext ( 'x2' ) ; gtext ( 'x3' ) ;
12-G
1.2 ___ l __ T_T ___ ¡ ____ !_T ____ ,_¡-------T-~·-·¡----: \ ' j y=*" =sali~a del s!stema j
------ __ f ___ ----- -r ----- -----;- --- -~.~--~-1~-=~--~:_:;.~----·f---¡--------t-------t---: : >/ : :
,¡--... ' ,... 1
0.8 ···--/:·:·--::\ .. ;.--~;/~-(-········-\··········+---······1········-·f·······---i----------~---······ 1 ' ' ' / ' ' ' '
a. a ____ (_.:__ ______ )( ________ ¡__ ______ L ______ .:.. _______ ] _________ ¡ ____ , ____ _l_. _______ L ____ __ f i / i\. x2 i i · · i i i
i ¡/ j \\ : i i ~ :
o.4 -¡----.. L;-----i----\:·;----------:-----------:---------r--------~----------~- ----- -~---------: V . . : : : : . . .
0.2 f\--/!- ------- --! ---------- !- :.·,~:---+- -------· +·.-...... ; ... --- ----!-- ... --- ·-! ---------~---------
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' ' ' ' ' ' ' ' '
Figura 5.9 Respuesta con realimentación de estados
Problema 5.5
Dado el modelo de planta descrito por la siguiente ecuación, aplicar realimentación
-de estado y determinar la ecuación característica en términos de k 1 y k2 y -otros
parámetros de! sistema.
1!~} = L~2 !4] {;~] + l~l u, y= [1 O] r=~I Solución
Para aplicar realimentación de estados, primero se determina fa Observabmdad y
Controlabitidad del sistema.
la matriz de Controlabilidad es
Me-= tB AB]
AH :~ f O l lfO} ·.;;~ [ 2 1-t-2 -4J L2 . -8
1u: _[O 21 me- 2 -~ 8.
lü 21 IMcl = 2
_8
= -4 * O entonces el sistema es controlable
121
La matriz de Observabilidad es:
M0 = [~)
CA= [1 o] [_~2 !4
] = [o 1]
M0 = [~ ~]
!Mol= ~~ ~~ = 1 *O entonces el sistema es observable
Luego se puede aplicar la realimentación de estados. La ecuación característica es
det(sl- A)= O
A =A - BK = [_~2 _14] - [~] fk1 kz] = [_~2 ! 4] - [z~1 z~J
= [-2 ~ 2k1 -4 ~ 2kJ
si- A=[~ ~]- (_z ~ Zk1 -4 ~ zkJ = [z +s2k1 -1 ]
s + 4 + 2k2
1 S -1 1
2 + Zk1 s + 4 + Zkz = s 2 + ( 4 + 2k2)s + 2 + 2k1 = O
Problema 5.6
Considerando el modelo de planta del problema 11.1 , determinar un modelo del
sistema con realimentación de estado de forma tal que el tiempo de asentamiento
al 2% con una entrada en salto es de 1.00 seg, la razón de amortiguamiento es de
0.707; y(t) es igual a r(t) bajo condiciones de estado estacionario con una entrada
en salto.
Solución
g=1
( = 0.707
4 t =-
S (J
u=4
122
. ( 1 )2 w;:;;: wnJ1- ( 2 = 4-!2. 1 ...... J2 = 4 radjse.g
s = -CJ±jw = -4 ±j4
(s + 4 + j4)(s + 4-j4) = (s2 + Bs + 32) = O
'Comparando con el problema anterior
4 + 2k2 = 8 -+ k2 = 2
2 +2k1 =32 "4k1 = 15
Entonces eJ controladores K= [15 2]
Problema 5~7
Dado el modelo de planta mostrado en fa ecuación siguiente, implementar
n$aiirnentaoión de -~stado y determinar k 1 ., k2 y k3 para colocar los polos del
sistema en -8.0 y -12 ± j4
f±1] f 0 4- O 1 fX1i HH . fXt1
1±2 = f-·3 O ! l.l'~¿~ + ~~jl-u:, y~ j1 O O.!lx~~ Lt3. f_ 0 0 2. 3J L.~ X . ._.
Controtabindad:
Solución
ro 4 A~:: t-3 o
. o o f o 4 f
A.B = j-3 o lo o
ro • . ·1
·'·· n -A A· n ~ ·:< 1-t D - • i. D - f-.; i o
ro o Me= lo 4
[z -4
123
Observabilidad:
Mo = [ ¿] CA 2
Mo = [ ~ ~ ~8] -12 o det(M0 ) ::::: 32 =f:; O
Por lo tanto el sistema es observable
A = A - BK = ~~3 ¿ ~ ]- ~~] [k1 kz k3 ]
o o -2 2
[o 4 o] [o o o] .A= -3 o 2 - o o o O O -2 2k1 2k2 2k3
A~[ ~3 4
-Z~Zk,] o -2kt -2k2
si-A=~~ o o] [ o 4
-2 ~ZkJ S o - -3 o o S -2kt -Zkz
si-A= p -4 o l S -2
2kl 2k2 S+ 2 + 2k3
det(sl -.A) = o es la ecuación característica del sistema con realimentación de
estados.
s3 + (2 + 2k3)s2 + (12 + 4k2)s + 4k1 + 24k3 + 24 = O
Para situar todos los polos en lazo cerrado como se requieren, el polinomio
característico es deseado es
(s + 12- j4)(s + 12 + j4)(s + 8) = s3 + 12s2 + 52s + 160
2 + 2k3 = 12
12 + 4k2 =52
4kl + 24k3 + 24 = 160
k1 = 4, k2 = 10, k 3 = S
K= [4 10 S]
124
IV. REFERENCIALES
BAEZ LOPEZ, DAVID. Matlab con aplicaciones a la ingeniería, física y finanzas. Espana: Alfaomega, 2006.
BOL TON, W. Ingeniería de control. Mexico: Alfaomega, 2001
BOLZERN, PAOLO. SCATTOLINI, RICCARDO. SCHIAVONI, NICOLA. Fundamentos de control automático. Espana: Me Graw Hill, 2009
DORF, RICHARD. BISHOP, ROBERT. Sistemas de control moderno. Espana: Pearson educativa, 2005.
FRANKLIN, GENE. POWELL, DAVID, EMAMI-NAEINI, ABBAS. Control de sistemas dinamicos con retroalimentacion. USA: Addison Wesley, 1991.
GOMARIZ CASTRO, SPARTACUS. BIEL SOLE, DOMINGO. MATAS ALCALA, JOSE. REYES MORENO, MIGUEL. Teoría de control diseño electrónico. Espana: Alfaomega, 1999.
KUO, BENJAMIN. Sistemas de control automatico. Mexico: Prentice Hall, 1996.
LEWIS, PAUL. YANG, CHANG. Sistemas de control en ingenierla. Espana: Prentice Hall, 2000.
MOORE, HOLL Y. Matlab para ingenieros. Mexico: Pearson, 2007
NAVARRO VIADANA, RINA. Ingeniería de control. Mexico: Me Graw Hill, 2004.
OGATA, KATSUHIKO. Ingeniería de control moderna. Espana: Pearson educacion, 201 O.
UMEZ-ERONINI, ERONINI. Dinamica de sistemas y control. Mexico: Thomson, 2001.
125
~
V. APENDICE (Autoría propia)
Diseño de un sistema de tercer orden
Considere el sistema de tercer orden con la ecuación diferencial
ji+ Sy + 3y + 2y = u
x1 = y -+ ±1 = y = x2
x2 = Y -+ ±2 = Y = X3
Ordenando y completando coeficientes
±1 = Ox1+x2 + Ox3 + Ou
±2 = Ox1+0x2 + x3 + Ou
X3 = -2X1-3x2 - 5x3 +U
Arreglando en forma matricial
u=-Kx
.X = Ax - BKx = (A - BK)x = Ax
126
La matriz de realimentación de estado es
[o 1
ol n A =A-BK=- O o !5
- · ~- [kt kz k3] -2 -3
r 1
q-r~ o o] [ o 1 o l íi =. o o o o - o o
-5~k3 -2 -3 -5 kt k2 k3 -2- kt -3-k2
L\(s) = det(sl- íi) = s 3 + (5 + k3)s2 + (3 + k2)s + (2 + k 1) =O
Si se desea una respuesta rápida con un sobreimpulso pequeño, se selecciona la
ecuación característica de forma que
~(~} = (~ + § b!n)(~-2 + Ef~ri:~ + ~~} Se selecciona ~ = 0.8 para obtener un sobreimpulso mínimo y wn = 6 para
satisfacer los requisitos de tiempo de asentamiento.
4 4 Ts = ~Wn = (0.8)(6) l:::: l
5 + k3 = 14.4
3 + k2 = 82.1
2 + kt = 172.8
k3 = 9.4
k2 = 79.1
kt = 170.8
K= {!::7~_.-!) 79.-1- 9_.~]
127
Diseño de un compensador _para el _péndulo invertido
Este es el problema clásico y fascinante del péndulo invertido montado en un carro,
como se muestra en la figura.
m
mg
1------· y ( t)
M t--_.,.. u(t)
Figura A 1. Carro más péndulo invertido
El carro debe moverse de forma que la masa m este siempre vertical. Las variables
de estado deben expresarse en función de la rotación angular 8(t) y la posición del
carro y(t).
las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema pueden
obtenerse escribiendo la suma de fuerzas en dirección horizontal y fa suma de
momentos respecto al punto pivote. Se supondrá que M » m y que el ángulo de
rotación 8 es pequeño, de forma que las ecuaciones son lineales.
la suma de fuerzas en la dirección horizontal es
Mji + _m l.~ - _t.t = _O
La suma de momentos de torsión respecto del punto pivote es
_rnJji + rnl2 ¡j - '111:lB = O
Eligiendo las variables de estado como
it=Y
i2 =y i3= 8
i4 = iJ
128
Por lo tanto las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden escribirse como
X1 = Xz
.- mg 1 Xz =-M x3 +M u
La representación del modelo en variables de estado del péndulo invertido en lo
alto de un carro en movimiento es
.X=
Donde
x1 es la posición del carro
x2 es la velocidad del carro
-0
o
. .Q o
1 o -mg o
M o- o
9 o -l
y= [1 o
o o 1· o -
x+ M u 1 o
-1 o Ml
o O]x -
x3 es la posición angular del péndulo (medida desde la vertical
x4 es la velocidad angular del péndulo
u es la entrada aplicada al carro
Se puede medir la variable de estado x3 = 8 utilizando un potenciómetro unido al
_ej~; _o m_e.<;f:ir x4 = iJ _utiJ~z~_ncjo lJ.n ~ac<)r:n_etro. ~i- -~lll_b~f-Q(),- _s~- _s_t¿tp_cm_e _qt:J_e _s_e -~_isp()n_~
de un sensor para medir la posición del carro. ¿Es posible mantener la posición
angular del péndulo en el valor deseado (8 =O/ cuando únicamente esta
disponible y= x1 (la posición del carro).
Sean los parámetros del sistema
elose all; elear all; ele;
l = 0.098m
9 = ?·~"!-1~2 m= 0.825Kg
M= 8.085Kg
129
~parametros del sistema 1=0.098; g=9.8; m=0.825; M=8.085; A=[O 1 O O; O O -m*g/M O; O O O 1; O O g/1 O] B= [O; 1/M; O; -1/ (M* l) ]
· C::= [ 1 O O O] Pc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] detPc=det(Pc) Po=[C; C*A; C*A*A; C*A*A*A] detPo=det(Po)
A=
o 1 o o o o o o
B= o
0.1237 o
-1.2621 C=
o o -1 o o 1
100 o
1 o o o
Pe= o 0.1237 o 1.2621
0.1237 o 1.2621 o o -1.2621 o -126.2100
-1.2621 o -126.2100 o
detPc = 196.4902 Po=
1 o o 1 o o o o
detPo = 1
o o o o -1 o o -1
det(Pc) = 196.49 * O por lo tanto el sistema es completamente controlable
det(Po) = 1 * O por lo tanto el sistema es completamente observable
130
Ahora se puede proceder con los tres pasos del proceso de diseño, sabiendo de
antemano que se puede determinar una matriz de control de ganancia K y una
matriz de ganancia del observador L para situar todos los polos del sistema en lazo - . - .
cerrado en las posiciones deseadas.
De acuerdo con Luenber~er, el observador de estados completo para el sistema
x=Ax+Bu
y=Cx
Donde la estimación del estado esta dado por
x = :A.~ + 1111- t ¡;:y
y=y-cx
la matriz Les la la matriz de ganancia y se determina como parte del procedimiento . . .
de diseño del observador. El observador de estados completo se muestra en la
figura A2. El observador tiene dos entradas u e y y una salida x. . . - -
u Y-
i Observador + .-:--=:=-===- f = Ag +Bu + L)f -------
Figura A2. Observador de estados completo
El objetivo del observador es dar una estimación del estado x. De modo que . .
x -4 x cuando t -4 oo
Recuérdese que no se conoce x(t0 ); por lo tanto, se debe proporcionar al
observador una estimación inicial x(t0 ).
Se define el error de estimación del observador como
e=x-x
El diseño del observador debería generar un observador con la pr~piedad de que
e -4 O cuando t -4 oo. Uno de los resultados principales de la teoría de sistemas de
control es que si el sistema es completamente observable, siempre se puede
131
determinar L de manera que error de seguimiento es asintóticamente estable como ' --
se desea.
Paso 1: Diseño de la ley de control por realimentación de estados completa - - -
Las ecuaciones dinámicas del péndulo son:
ft,fji + mJO = ~ mlji + ~l20 = mlg(J
Tomando transformadas de Laplace:
Ms 2Y(s) + mls2B(s) = U(s)
T1J-{~zy_(§) + rn:l_2§_2fJ(~} = _TTJ_l-gfJ(~-)
s2Y(s) + ls 2 B(s) = yB(s)
s-2Y(s) B(s) =- - --
9 -ls2
MsiY(s) + mls2(§2
Y(§})- = U(s) B -ls2
Y(s) _l?-2- 9
UCs) = l(M- m)s4 - Mys 2 (1)
Y(s) = {B- _l~s- 2}fJ(s) s2
B(s) B(s) Y(s) ( s2
)·( ls2
- B )-U(s) = Y(s) U(s) =- y- ls 2 -- l(M- m)s4 - Mys2-
B(s) -s2
U(s) = l(M- m)s4 - Mys2 (2)
De (1) y (2) los polos en lazo abierto son: - - -
l(M- m)s4 - Mgs 2 = O
§2fl{i\!- _T1J-}§·2
- _1\!Bl = 9 Resolviendo las raíces o polos son:
s = 0.0. J(MM! m)'-J(MM! m)
s =O, 0, 10.553,-10.553
132
Es evidente que el sistema en lazo abierto es inestable (hay un polo en el
semiplano derecho). Se supone que la ecuación característica deseada del sistema
en lazo cerrado está dada por
q(s) = (s2 + 2{wns + wn 2)(s2 +as+ b)
Donde se selecciona el par ({, wn) de manera que esos polos sean polos
dominantes y el par e a, b) en posiciones apartadas del semiplano izquierdo de
manera que no dominan la respuesta. Para obtener un tiempo de asentamiento . .
T5 = 4/({wn) menor que 10 segundos con un sobreimpulso pequeño se puede
seleccionar (f,·wn) = _(0.8, 0.5). Entonces se selecciona la separación entre los
polos dominantes y los restantes polos de 20, de donde se tiene que (a, b) = (16, 100). El valor de separación entre los polos dominantes y los no dominantes es - - - - -
un parámetro que se puede variar como parte del proceso de diseño. Cuanto
mayor sea la separación seleccionada, mas alejados en el semiplano izquierdo
estarán situados los polos no dominantes, y por lo tanto mayores serán las
ganancias requeridas en la ley de control. -- . '
s = -(J ±jw = -{ Wn ± wn.J1- { 2 = -0.4 ±j0.3
§2 + l--9~ + 1--99 = 9 ~ §· = -? ± i9
La especificación de las raíces deseadas es
det (si - (A - BK) = (s + 8 -~ j6)(s + 0.4 _t j0.3)
los polos situados en s = -0.4 ± j0.3) son los dominantes. Utilizando la formula de
Ackerman se obtiene la matriz de ganancia para la realimentación. . . .
K = [O O ··· 1]Pc-1 q(A)
g(s) = (~2 + lo-§~n? + ~n2)(s2 + (l? + _b) = (~- + ? + i9}(~ + 9-~ ± i9}) q(s) = s 4 + 16.8s3 + 113.05s2 + 84s + 25
g(s) = § 4 + 5-!·1~3 + !-!z§ 2 + 5-!3§ + ~4 a 1 = 16.8, a 2 = 113.05, a 3 = 84, a4 = 25
g(A) = A4 + ~-tA·3 + _(lz~-2 + cx3:~· + ~4_1 clase all; clear all; ele; %parametros del sistema 1=0. 0.9.8; g=9.8; m=0.825; M=8.085; A=[O 1 O O; O O -m*g/M O; O O O 1; O O g/1 0]
133
B=[O; 1/M; O; -1/(M*l)] C= [ 1 O O O] Pc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] detPc=det(Pc) Po= [C; CfA; C*A*A; tfAfA*A] detPo=det(Po) %calculo de K, la matriz de ganancia para la realimentacion InvPc=inv(Pc) a1=16.8; a2=113.05; a3=84; á4=25.;-I=[1 O O O; O 1 O O; O O 1 O; O O O 1]; qA=A*A*A*A+a1*A*A*A+a2*A*A+a3*A+a4*I K=[O O O 1]*InvPc*qA
A=
B
e
Pe
o o o o
o 0.1237
o -1.2621
1
o 0.1237
o -l. 2621
detPt: =
196.4902
Po =
1 o o o
detPo =
1
InvPc =
o 9.0038
o -0-.0900
1 o o o
o
o 1 o o
o -1 o
lOO
o o 1 o
o o
0.1237 o
-l. 2621 o
o 1.2621
o -126.2100
o o o o
-1 o o -1
9.0038 o
-0.0900 o
o 0.0900
o -0.0088
1.2621 o
-126.2100 o
0.0900 o
-0.0088 o
134
qA = l. Oe+005 *
K
0.0003 o o o
0.0008 0.0003
o o
-0.0021 -0.0176
0.2133 l. 7640
-0.0002 -0.0021
0.0176 0.2133
-2.2509 -7.5632 -169.0265 -14.0523
Paso 2: Diseño del observador
El observador necesita proporcionar una estimación de los estados que no son
directamente observables. El objetivo consiste en lograr una estimación precisa tan
rápido sea posible sin que resulte una matriz de ganancia L demasiado grande. A - . - . . - -
efectos de diseño, se intentara asegurar una separación entre los polos deseados
del sistema en lazo cerrado y los polos del observador en un orden de 2 a 1 O. La
ecuación característica del observador deseado se selecciona de la forma
p(s} = (~2 + ~-rs + ~z)z Donde las constantes c1 y c2 se eligen de manera apropiada. Como primer intento
se selecciona c1 = 32 y c2 = 711.11. Estos valores deberían producir una respuesta
a un error de estimación de estado inicial que se asiente en menos de 0.5
segundos con un sobreimpulso mínimo. Si se utiliza la formula de Ackermann se
determina que la ganancia del observador que logra las situaciones deseadas de
los polos del observador
det(si- (A- LC)) = (s + 16 ±j21.3)2
[
64.0 l. L =. 2546.22 .
-5.191E04 -7.6030EOS
Paso 3: Diseño del compensador
El paso final del diseño consiste en conectar el observador a la ley de control - -
realimentado de estados completos mediante u= -Kx. El péndulo inicialmente
esta estacionario en 00 = S. 72 o y el carro esta inicialmente parado. La estimación
inicial del estado en el observador se fija en cero.
135
VI. ANEXOS
En el desarrollo del texto no se ha utilizado tablas, cuadros figuras graficas como
fuente de información.
136
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