CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 3
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO,
LEY DE GAUSS Y DIVERGENCIA
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Sep – Dic 2009San Cristóbal, RD
TABLA DE CONTENIDO
1. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
2. LEY DE GAUSS
3. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
4. DIVERGENCIA
5. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
6. OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
Carga de SuperficieEl flujo eléctrico ψ a través de un área es la integral de la componente normal del campo eléctrico afectado por su permitividad, esto es:
Siendo ε= ε0 εr
El flujo eléctrico ψ también se conoce por : Desplazamiento o Flujo de Desplazamiento.
1
s
dSE
Permitividad relativa → sin dimensiones
Permitividad del aire o vacío → 8.854x10-12Fm-1
Permitividad del medio → 8.854x10-12Fm-1
Caso Uniforme Suponiendo un campo uniforme E entre 2 placas paralelas, con carga +Q y –Q respectivamente, como se muestra en la figura:
El flujo sobre el área pequeña es:Y el flujo total entre las placas: EA
Ea
[C]
Densidad de flujo D Carga por Unidad de Área
La Densidad de Flujo Eléctrico también se conoce como:
Líneas por Metro Cuadrado Densidad de Flujo de Desplazamiento Densidad de Desplazamiento
Vectorialmente → [Cm-2]
El nombre de la permitividad ε es obvio, ya que > ε implica > D. En un medio isotrópico (propiedades son independientes de la dirección), D y E están en la misma dirección y ε es una cantidad escalar. Si D y E estuvieran en direcciones diferentes, entonces ε fuera un tensor.En el caso uniforme : Q=ρsA, esto es, Q=DA, y con ρs=D, el flujo total entre las placas es: ψ=DA= ρsA=Q [C].
2
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)
Es tan simple como … Dividir Flujo Eléctrico ψ sobre el Área A
EA
EA
AD
ED
Experimento de Faraday
1.Construcción 2 esferas concéntricas.2.La esfera exterior consiste de dos hemisferios que se pueden unir con firmeza.3.Construcción cáscaras esféricas para ocupar volumen entre las esferas concéntricas.4.Dar una carga positiva a la esfera interior [equipo desarmado].5.Colocar dieléctrico, rodeando la esfera interior cargada.6.Conectar los hemisferios de la esfera exterior a tierra [descargar] y colocar sobre el material dieléctrico que rodea a la esfera interior.7.Desconectar conexión a tierra de la esfera exterior ensamblada.
3
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)
8. Separar esfera exterior cuidadosamente utilizando material aislante para no perturbar la carga inducida en ella.
9. Medir la carga inducida en cada hemisferio.
ALGUNAS CONCLUSIONES (a) Magnitud carga total
inducida en la esfera exterior igual a la colocada en la esfera interior, sin importar dielétrico utilizado.
(b) Desplazamiento de Carga. (c) Constante proporcionalidad
1 en sistema SI, por tanto ψ=Q.
Experimento de Faraday (Cont.)
En la siguiente figura se muestra el flujo eléctrico en la región que comprende un par de esferas concéntricas cargadas. La dirección y magnitud de D no son función del dieléctrico colocado entre las esferas
4
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)
rr
QaD
24
La densidad de flujo eléctrico está en dirección radial y presenta el valor de:
[Esfera Interior]
[Esfera Interior] [Esfera Exterior]
Y a una distancia r, donde a≤r ≤b,
rar a
QaD
24
rbr b
QaD
24
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)
Carga de Superficie – Caso No Uniforme
Sean 2 cargas puntuales +Q y –Q conectadas por tubos de flujo a lo largo de las líneas de campo eléctrico, como se muestra en la siguiente figura:
5
Recuerde que cada tubo contiene un valor de flujo eléctrico : Ψ=DA [C]
Sumando el flujo a través de los N tubos que llenan el espacio, se tiene : donde N es el número total de tubos.
En lugar de sumar tubos discretos para obtener la carga total, se integra D sobre una superficie esférica cerrada rodeando una carga puntual Q:
N
nnnADQ
1
s
dQ SD
6
Ejemplo 3.1:
Sea una esfera con radio r = 2m y carga puntual Q = 8nC. Encuentre ψ a través de la parte de la esfera entre ±60° latitud y ±20° longitud.
Solución:
1.Recordamos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas :
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)
ddd
ddd
sin
sin2rS
rrS
s
dQ SD
2. Sustituimos datos del problema y el diferencial dS en la Ecuación :
3. Resultando :
pCC
ddQ
ddQ
ddQ
ddrr
QdSD
s
s s
76910769.0
cos94
1028sin
4
sin4
sin4
sin4
9
150
30
99
9
150
30
20
20
150
30
22
00
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
7
D3.1
Una carga puntual de 60 μC se localiza en el origen. Calcular el flujo eléctrico que pasa a través de:
a)→
b)La superficie encerrada ρ=26cm y z=±26 cm.
c)El plano z=26 cm.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:a)7.5 μCb)60 μCc)30 μC2
0
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
8
D3.2
Encontrar D (en coordenadas cartesianas) en P(2,-3,6) causado por :
a)Una carga puntual QA = 55 mC en Q(-2,3,-6).
b)Una línea de carga uniforme ρLB = 20 mC/m en el eje x.
c)Una superficie cargada con una densidad uniforme ρSC = 120 μC/m2 en el plano z = -5m.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:a)6.38ax – 9.57ay – 19.14az
μC/m2
b)-212ay + 424az μC/m2
c)60az μC/m2
9
Enunciado de la Ley de Gauss:
“El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”
En la figura se muestra la densidad de flujo eléctrico Ds en P debido a la carga Q. El flujo total que pasa a través de ∆S es Ds. ∆S. La superficie cerrada, real o imaginaria puede ser denominada → Superficie Gaussiana.
LEY DE GAUSS
Recuerde que el elemento de superficie tiene un carácter vectorial, y tiene dirección normal a un plano (para evitar ambigüedades se elige la normal hacia fuera del plano).
10
Enunciado de la Ley de Gauss (Cont.):
Por tanto, el flujo a través de ∆S que resulta es:
El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie ∆S, por tanto la carga superficial es :
La carga encerrada pueden componerla varias cargas puntuales, esto es: > Una línea de carga
> Una carga superficial
Por tanto, para : > Una distribución de carga volumétrica
LEY DE GAUSS (CONT.)
SD s
Qdds
s SD Ley de Gauss
N
nnQQ
1
vol
v
s
s
L
dvQ
dSQ
dLQ
vol
v
s
s dvd SD
11
RAZONANDO
A continuación se comprueban los resultados del experimento de Faraday mediante la aplicación de la Ley de Gauss.
Colocamos una carga puntual Q en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, y elegimos como superficie cerrada una esfera de radio a.
Observe que la densidad de flujo eléctrico D es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempre tiene una magnitud constante en dichos puntos.
LEY DE GAUSS (CONT.)
El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.
12
Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : Solución:
1.Recordemos que la intensidad de campo eléctrico para una carga puntual es:
y que la densidad de flujo eléctrico es:
2.En la superficie de la esfera se tiene:
LEY DE GAUSS (CONT.)
rr
QaE
204
rr
QaED
20 4
rs a
QaD
24
rddrd
ddaddrdS
aS
sin
sinsin2
22
3. El diferencial de superficie en coordenadas esféricas es:
4. El integrando es:
rrs ddaa
Qd aaSD
sin
42
2
ddQ
ds sin4
SD
Sigue
13
Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : Solución (Cont.):
5.Sustituyendo en la integral de superficie cerrada :
se tiene:
LEY DE GAUSS (CONT.)
CONCLUSIÓN
El resultado muestra que Q Coulombs de flujo eléctrico atraviesa la superficie, puesto que la carga encerrada es de Q Coulombs.
La generalización del experimento de Faraday conduce a la definición de la Ley de Gauss.
QdQ
dQ
ddQ
2
0
2
0
0
2
0 0
2
cos4
sin4
Qdds
s SD
Ejemplos Jaula de Faraday
El mal funcionamiento de los teléfonos móviles en el interior de ascensores o edificios con estructura de rejilla de acero.
Una manera de comprobarlo es con una radio sintonizada en una emisora de onda media. Al rodearla con un periódico, el sonido se escucha correctamente. Sin embargo, si se sustituye el periódico con un papel de aluminio la radio deja de emitir sonidos: el aluminio es un conductor eléctrico y provoca el efecto jaula de Faraday.
Este fenómeno también se aplica en aviones o en la protección de equipos electrónicos delicados, tales como repetidores de radio, discos duros y televisión situados en cumbres de montañas y expuestos a las perturbaciones electromagnéticas causadas por las tormentas.
14
Piensa en la forma de evitar un ruido molesto que resulta de una interferencia, dejar sin señal un celular o un modem o un radio sintonizado a una frecuencia determinada.
LEY DE GAUSS (CONT.)
17
D3.2
Dada la densidad de flujo eléctrico D=0.3r2ar nC/m2 en el espacio libre. Encontrar:
a)E en el punto P(r=2, θ=25°,Ф=90°).b)La carga total dentro de la esfera r=3.c)El flujo eléctrico total que sale de la esfera de r=4.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:a)135.5ar V/mb)305 nCc)965 nC
LEY DE GAUSS (CONT.)
18
LEY DE GAUSS (CONT.)
Ejemplo 3.2:
Sea un cubo con densidad de flujo D sobre las 6 caras. La densidad de carga volumétrica es ρ.
Solución:
1.El flujo eléctrico total del cubo es:
Por un lado:
Y por el otro:
vol
v
s
s dvd SD
1 11 11 1
0 00 00 0
222x y
z
x z
y
y z
x
s
s dxdyDdxdzDdydzDdSD
1 1 1
0 0 0
111
x y z
vol
v volumenzyxdxdydzdv
Combinando las integrales de superficie y volumen se obtiene la Ley de Gauss para campos eléctricos, que establece que la densidad de flujo D sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.
19
D3.4
Encontrar el flujo eléctrico total que sale de la superficie cúbica que forman los seis planos x, y, z = ±5 si la distribución de carga es:
a)Dos cargas puntuales de 0.1 μC en (1,-2,3) y 1/7 μC en (-1,2,-2).b)Una línea de carga uniforme de π μC/m en x=-2 y y=3. c)Una carga de superficie uniforme de 0.1 μC/m2 en el plano y=3x.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:a)0.243 μCb)31.4 μCc)10.54 μC
LEY DE GAUSS (CONT.)
20
Condiciones que Ds debe satisfacer :
1.En cualquier punto normal o tangencial a la superficie cerrada, se verifica que Ds.dS se convierte en DsdS o en cero, respectivamente.
2.Sobre la porción de la superficie cerrada para la cual Ds.dS no es cero, Ds = constante.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS
s
s dQ SD
rs
s
s
s
s
s
r
Qr
QD
DrQ
ddrDQ
dSDQ
aD2
2
2
2
0 0
2
4
4
4
sin
1er Ejemplo: Superficie Gaussiana para una Carga Puntual → Esférica.
Ds es normal a la superficie en todas partes y se dirige radialmente hacia fuera. Por tanto, se verifica que:
rr
QaE
204
21
2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme.
Considerando que ρL está distribuida a lo largo del eje z desde -∞ hasta +∞. La Superficie Gaussina para una línea de carga finita y uniforme es un cilindro circular recto de longitud L y radio ρ. D es constante en magnitud y es perpendicular a la superficie cilíndrica en cada uno de sus puntos; D es paralelo a las tapas de dicho cilindro.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
22
2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme (Cont.)
Una superficie cilíndrica es la única superficie para la cual Dρ es normal en todas partes, y pueden encerrarla superficies planas normales el eje z.
Aplicando la Ley de Gauss, se verifica:
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
aD
SD
D
E
L
L
L
QDD
LDQ
dzdDQ
dSdSdSDQ
dQ
L
LLs
s
L
z
s
abajoparte
arribapartelados
s
s
s
0
0
2
0
2
222
2
00
23
3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial
Dos conductores cilíndricos coaxiales que forman un cable coaxial proporcionan una densidad de flujo eléctrico uniforme dentro de los cilindros dada por:
El cable interior es de radio a y el exterior es de radio b, los dos de longitud infinita y distribución de carga ρs en la superficie exterior del conductor interno.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
sa
D
24
3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.)
Un cilindro circular de longitud L, y radio ρ elegido en Superficie Gaussiana donde a< ρ<b, resulta en:
La carga total y la densidad en esta longitud L del conductor interior será:
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
En la superficie interior del cilindro exterior, se verifica una carga total:
Encontrando que:
Si ρ > b, la carga total encerrada sería cero por haber cargas iguales y opuestas en cada cilindro del conductor. Por tanto:
LDQ s 2
aD s
sss
L
z
ss
a
a
L
aL
L
QD
aLdzadQ
2
2
2
20
2
0
InteriorCilindros
ExteriorCilindro aLQ 2
InteriorCilindro
ExteriorCilindro
InteriorCilindro
ExteriorCilindro
ss
ss
b
a
aLbL
22
0
20
s
s
D
LD
25
3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.)
Si ρ < a, el resultado es similar al verificado cuando ρ > b. Por tanto, el cable coaxial o condensador no tienen campo externo [conductor externo es un blindaje], y tampoco hay campo en conductor central.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
Si la longitud L del cable coaxial es finita y se cumple que está abierto en los extremos y que es mayor que el radio b, se forma un dispositivo llamado Condensador Coaxial.
26
Ejemplo 3.3:
Considérese un cable coaxial de 50 cm de longitud, con un radio interior de 1 mm y un radio exterior de 4 mm. Se supone que el espacio entre ambos conductores está lleno de aire. La carga total en el conductor interior es de 30 nC. Se desea conocer la densidad de carga en cada conductor, así como los campos E y D.
Solución:
1.Encontramos la densidad de carga superficial en el cilindro interior:
2.La densidad de carga negativa en la superficie interior del cilindro externo es:
3.Calculando para la región 1 < ρ < 4 mm:
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
2
3
9
/55.95.0102
1030
2mC
aL
QInteriorCilindro
sInteriorCilindro
2
3
9
/39.25.01042
1030
2mC
bL
QExteriorCilindro
sExteriorCilindro
mVD
E
mnCa
D s
/1079
10854.8
1055.9
/55.91055.910
12
9
0
293
¿Qué valores presentan E y D para ρ < 1 mm ó ρ > 4 mm?
27
Problema 13:
Tres superficies esféricas ubicadas en r=2,4 y 6 m tienen densidades uniformes de superficie de carga de 20 nC/m2, -4 nC/m2 y ρs0, respectivamente. Encontrar:
a)D en r=1, 3 y 5 m.b)Determinar ρs0 tal que D =0 en r=7m.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas: Apéndice E del libro.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)
DIVERGENCIA
Divergencia de un Vector ALa divergencia de A en un punto dado P es el flujo hacia afuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P.
Por tanto,
28
Ilustración de la divergencia de un campo vectorial en P:
(a)Divergencia positiva (vector se aparta de P – diverge ).(b)Divergencia negativa (vector converge en P).(c)Divergencia cero.
Es decir, la divergencia es positiva en un punto de origen en el campo, negativa en un punto de confluencia, y cero cuando no hay confluencia ni origen.
v
d
divdeaDivergenci s
v
SA
AA0
lim
DIVERGENCIA (CONT.)
Divergencia de un Vector A (Cont.)
Suponga que se quiere evaluar la divergencia de un campo vectorial A en el punto P, y que dicho punto está encerrado por un volumen diferencial como se muestra en la figura:
La integral de superficie :
se puede obtener a partir de :
1
s
dSA
debajoarribaderechoizquierdoposterioranteriors
ddddddd SASASASASASASA
DIVERGENCIA (CONT.)
Divergencia de un Vector A (Cont.)
Desarrollando Ax en Serie de Taylor alrededor de P se tiene:
Respecto al lado anterior, . Así que :
Respecto al lado posterior, . Así que:
1
.sup.,,,, 000000 térmz
Azz
y
Ayy
x
AxxzyxAzyxA
P
x
P
x
P
xxx
xdydzdydx
xx aS 20
antetrior P
xx térm
x
AdxzyxAdydzd .sup.
2,, 000SA
)(20 xdydzdydx
xx aS
posterior P
xx térm
x
AdxzyxAdydzd .sup.
2,, 000SA
DIVERGENCIA (CONT.)
Divergencia de un Vector A (Cont.)
En consecuencia:
Siguiendo pasos análogos, se obtiene:
Al sustituir en la definición de la divergencia, considerando que ∆v=dxdydz, se tiene:
1
antetrior posterior P
x térmx
Adxdydzdd .sup.SASA
.sup.térmy
Adxdydzdd
izquierdo derecho P
y
SASA
.sup.térmz
Adxdydzdd
arriba abajo P
z
SASA
P
s
v z
Az
y
Ay
x
Ax
v
d
div
SA
A0
limLos términos de orden superior tienden a cero conforme ∆v→0.
DIVERGENCIA (CONT.)
Divergencia de un Vector A (Cont.)
Divergencia en coordenadas rectangulares:
Divergencia en coordenadas cilíndricas:
Divergencia en coordenadas esféricas:
29
z
Az
y
Ay
x
Axdiv
A
z
AzAAdiv
11A
A
r
A
rr
Ar
rdiv r
sin
1sin
sin
11 2
2A
La divergencia se aplica a un vector y su resultado es un escalar.
DIVERGENCIA (CONT.)
30
Ejercicio:
Determine la divergencia de estos campos vectoriales:(a)
(b)
(c)
aaaT
aaaQ
aaP
coscossincos1
cossin
2
2
2
rr
zz
xzyzx
r
z
zx
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
coscos2
cossin2
2
c
b
xxyza
PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA)
31
Recordamos que la divergencia en coordenadas rectangulares se expresa :
y que :
z
D
y
D
x
Ddiv zyx
D
v
Q
v
d
v
s
v
00
limlim
SD
vdiv DForma Puntual
de la Ley de Gauss
Esta ley establece que el flujo eléctrico por unidad de volumen que sale de un pequeño volumen unitario es exactamente igual a la densidad de carga volumétrica que existe en él.
La ley de Gauss relaciona el flujo que sale de cualquier superficie cerrada, y la primera ecuación de Maxwell establece lo mismo, pero lo hace por unidad de volumen y para un volumen cada vez más pequeño que en el límite se reduce en un punto.
1era. Ec. Maxwell (Electrostática)
Puesto que la divergencia se expresa como la suma de derivadas parciales, a la primera Ec. de Maxwell también se la llama Forma Diferencial de la Ley de Gauss. Y a la Ley de Gauss Forma Integral de la 1era Ec. De Maxwell.
32
Ejercicio:
Sea D = zρcos2φaz C/m2, calcule la densidad de carga en (1,π/4,3) y la carga total encerrada por un cilindro de radio 1m con -2 ≤ z ≤ 2 m.
2. En el punto (1,π/4,3) , se tiene:
3. La Carga total encerrada se puede determinar:
2cos
z
Ddiv z
v D
32 /5.04
cos.1 mCv
CQ
dddzQ
dzdddvQ
z
z
v v
v
3
4
3
14
cos
cos
2
2
2
0
1
0
22
2
Solución:
1.Aplicamos directamente la 1era Ec. Maxwell :
PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA) (CONT.)
33
Operador Vectorial Nabla
Se define el operador vectorial nabla , asociando vectores unitarios a los escalares de los términos de la divergencia. Esto es:
Sea el producto punto :
De donde se verifica que :
El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA
zyxzyx
z
D
y
D
x
D
DDDzyx
zyx
zyx
D
zyxzyxD
DD div
34
Teorema de la Divergencia
Recordemos que:
Sustituyendo una en otra se verifica que:
El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA (CONT.)
v
s
v
v
Qd
dvQ
D
SD.
vv
v
s
dvdvQd DSD
vs
dvd DSD Teorema de la Divergencia
Se enuncia:La integral de la componente normal a cualquier campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de ese campo a través del volumen encerrado por la superficie cerrada.
En otras palabras, la divergencia de la densidad de flujo en todo el interior de un volumen es igual al flujo neto que atraviesa la superficie que lo encierra.
35
Ejercicio:
Determine el flujo de :sobre la superficie cerrada del cilindro 0 ≤ z ≤ 1, ρ = 4. Compruebe con el Teorema de la Divergencia.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuesta:64π
El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA (CONT.)
aaD sincos22 z