TEMA 3 DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO, LEY DE GAUSS Y DIVERGENCIA

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 3

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO,

LEY DE GAUSS Y DIVERGENCIA

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Sep – Dic 2009San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO

2. LEY DE GAUSS

3. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

4. DIVERGENCIA

5. PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]

6. OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO

Carga de SuperficieEl flujo eléctrico ψ a través de un área es la integral de la componente normal del campo eléctrico afectado por su permitividad, esto es:

Siendo ε= ε0 εr

El flujo eléctrico ψ también se conoce por : Desplazamiento o Flujo de Desplazamiento.

1

s

dSE

Permitividad relativa → sin dimensiones

Permitividad del aire o vacío → 8.854x10-12Fm-1

Permitividad del medio → 8.854x10-12Fm-1

Caso Uniforme Suponiendo un campo uniforme E entre 2 placas paralelas, con carga +Q y –Q respectivamente, como se muestra en la figura:

El flujo sobre el área pequeña es:Y el flujo total entre las placas: EA

Ea

[C]

Densidad de flujo D Carga por Unidad de Área

La Densidad de Flujo Eléctrico también se conoce como:

Líneas por Metro Cuadrado Densidad de Flujo de Desplazamiento Densidad de Desplazamiento

Vectorialmente → [Cm-2]

El nombre de la permitividad ε es obvio, ya que > ε implica > D. En un medio isotrópico (propiedades son independientes de la dirección), D y E están en la misma dirección y ε es una cantidad escalar. Si D y E estuvieran en direcciones diferentes, entonces ε fuera un tensor.En el caso uniforme : Q=ρsA, esto es, Q=DA, y con ρs=D, el flujo total entre las placas es: ψ=DA= ρsA=Q [C].

2

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (CONT.)

Es tan simple como … Dividir Flujo Eléctrico ψ sobre el Área A

EA

EA

AD

ED

Experimento de Faraday

1.Construcción 2 esferas concéntricas.2.La esfera exterior consiste de dos hemisferios que se pueden unir con firmeza.3.Construcción cáscaras esféricas para ocupar volumen entre las esferas concéntricas.4.Dar una carga positiva a la esfera interior [equipo desarmado].5.Colocar dieléctrico, rodeando la esfera interior cargada.6.Conectar los hemisferios de la esfera exterior a tierra [descargar] y colocar sobre el material dieléctrico que rodea a la esfera interior.7.Desconectar conexión a tierra de la esfera exterior ensamblada.

3


8. Separar esfera exterior cuidadosamente utilizando material aislante para no perturbar la carga inducida en ella.

9. Medir la carga inducida en cada hemisferio.

ALGUNAS CONCLUSIONES (a) Magnitud carga total

inducida en la esfera exterior igual a la colocada en la esfera interior, sin importar dielétrico utilizado.

(b) Desplazamiento de Carga. (c) Constante proporcionalidad

1 en sistema SI, por tanto ψ=Q.

Experimento de Faraday (Cont.)

En la siguiente figura se muestra el flujo eléctrico en la región que comprende un par de esferas concéntricas cargadas. La dirección y magnitud de D no son función del dieléctrico colocado entre las esferas

4


rr

QaD

24

La densidad de flujo eléctrico está en dirección radial y presenta el valor de:

[Esfera Interior]

[Esfera Interior] [Esfera Exterior]

Y a una distancia r, donde a≤r ≤b,

rar a

QaD

24

rbr b

QaD

24


Carga de Superficie – Caso No Uniforme

Sean 2 cargas puntuales +Q y –Q conectadas por tubos de flujo a lo largo de las líneas de campo eléctrico, como se muestra en la siguiente figura:

5

Recuerde que cada tubo contiene un valor de flujo eléctrico : Ψ=DA [C]

Sumando el flujo a través de los N tubos que llenan el espacio, se tiene : donde N es el número total de tubos.

En lugar de sumar tubos discretos para obtener la carga total, se integra D sobre una superficie esférica cerrada rodeando una carga puntual Q:

N

nnnADQ

1

s

dQ SD

6

Ejemplo 3.1:

Sea una esfera con radio r = 2m y carga puntual Q = 8nC. Encuentre ψ a través de la parte de la esfera entre ±60° latitud y ±20° longitud.

Solución:

1.Recordamos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas :


ddd

ddd

sin

sin2rS

rrS

s

dQ SD

2. Sustituimos datos del problema y el diferencial dS en la Ecuación :

3. Resultando :

pCC

ddQ

ddQ

ddQ

ddrr

QdSD

s

s s

76910769.0

cos94

1028sin

4

sin4

sin4

sin4

9

150

30

99

9

150

30

20

20

150

30

22

00

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

7

D3.1

Una carga puntual de 60 μC se localiza en el origen. Calcular el flujo eléctrico que pasa a través de:

a)→

b)La superficie encerrada ρ=26cm y z=±26 cm.

c)El plano z=26 cm.

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:a)7.5 μCb)60 μCc)30 μC2

0

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

8

D3.2

Encontrar D (en coordenadas cartesianas) en P(2,-3,6) causado por :

a)Una carga puntual QA = 55 mC en Q(-2,3,-6).

b)Una línea de carga uniforme ρLB = 20 mC/m en el eje x.

c)Una superficie cargada con una densidad uniforme ρSC = 120 μC/m2 en el plano z = -5m.


Respuestas:a)6.38ax – 9.57ay – 19.14az

μC/m2

b)-212ay + 424az μC/m2

c)60az μC/m2

9

Enunciado de la Ley de Gauss:

“El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”

En la figura se muestra la densidad de flujo eléctrico Ds en P debido a la carga Q. El flujo total que pasa a través de ∆S es Ds. ∆S. La superficie cerrada, real o imaginaria puede ser denominada → Superficie Gaussiana.

LEY DE GAUSS

Recuerde que el elemento de superficie tiene un carácter vectorial, y tiene dirección normal a un plano (para evitar ambigüedades se elige la normal hacia fuera del plano).

10

Enunciado de la Ley de Gauss (Cont.):

Por tanto, el flujo a través de ∆S que resulta es:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie ∆S, por tanto la carga superficial es :

La carga encerrada pueden componerla varias cargas puntuales, esto es: > Una línea de carga

> Una carga superficial

Por tanto, para : > Una distribución de carga volumétrica

LEY DE GAUSS (CONT.)

SD s

Qdds

s SD Ley de Gauss

N

nnQQ

1

vol

v

s

s

L

dvQ

dSQ

dLQ

vol

v

s

s dvd SD

11

RAZONANDO

A continuación se comprueban los resultados del experimento de Faraday mediante la aplicación de la Ley de Gauss.

Colocamos una carga puntual Q en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, y elegimos como superficie cerrada una esfera de radio a.

Observe que la densidad de flujo eléctrico D es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempre tiene una magnitud constante en dichos puntos.


El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.

12

Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : Solución:

1.Recordemos que la intensidad de campo eléctrico para una carga puntual es:

y que la densidad de flujo eléctrico es:

2.En la superficie de la esfera se tiene:


rr

QaE

204

rr

QaED

20 4

rs a

QaD

24

rddrd

ddaddrdS

aS

sin

sinsin2

22

3. El diferencial de superficie en coordenadas esféricas es:

4. El integrando es:

rrs ddaa

Qd aaSD

sin

42

2

ddQ

ds sin4

SD

Sigue

13

Comprobación Experimento Faraday mediante Ley de Gauss (Cont.) : Solución (Cont.):

5.Sustituyendo en la integral de superficie cerrada :

se tiene:


CONCLUSIÓN

El resultado muestra que Q Coulombs de flujo eléctrico atraviesa la superficie, puesto que la carga encerrada es de Q Coulombs.

La generalización del experimento de Faraday conduce a la definición de la Ley de Gauss.

QdQ

dQ

ddQ

2

0

2

0

0

2

0 0

2

cos4

sin4

Qdds

s SD

Ejemplos Jaula de Faraday

El mal funcionamiento de los teléfonos móviles en el interior de ascensores o edificios con estructura de rejilla de acero.

Una manera de comprobarlo es con una radio sintonizada en una emisora de onda media. Al rodearla con un periódico, el sonido se escucha correctamente. Sin embargo, si se sustituye el periódico con un papel de aluminio la radio deja de emitir sonidos: el aluminio es un conductor eléctrico y provoca el efecto jaula de Faraday.

Este fenómeno también se aplica en aviones o en la protección de equipos electrónicos delicados, tales como repetidores de radio, discos duros y televisión situados en cumbres de montañas y expuestos a las perturbaciones electromagnéticas causadas por las tormentas.

14

Piensa en la forma de evitar un ruido molesto que resulta de una interferencia, dejar sin señal un celular o un modem o un radio sintonizado a una frecuencia determinada.


15


Ejemplo Anillo Halo

16


Ejemplo Anillo Halo (Cont.)

17

D3.2

Dada la densidad de flujo eléctrico D=0.3r2ar nC/m2 en el espacio libre. Encontrar:

a)E en el punto P(r=2, θ=25°,Ф=90°).b)La carga total dentro de la esfera r=3.c)El flujo eléctrico total que sale de la esfera de r=4.


Respuestas:a)135.5ar V/mb)305 nCc)965 nC


18


Ejemplo 3.2:

Sea un cubo con densidad de flujo D sobre las 6 caras. La densidad de carga volumétrica es ρ.

Solución:

1.El flujo eléctrico total del cubo es:

Por un lado:

Y por el otro:

vol

v

s

s dvd SD

1 11 11 1

0 00 00 0

222x y

z

x z

y

y z

x

s

s dxdyDdxdzDdydzDdSD

1 1 1

0 0 0

111

x y z

vol

v volumenzyxdxdydzdv

Combinando las integrales de superficie y volumen se obtiene la Ley de Gauss para campos eléctricos, que establece que la densidad de flujo D sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.

19

D3.4

Encontrar el flujo eléctrico total que sale de la superficie cúbica que forman los seis planos x, y, z = ±5 si la distribución de carga es:

a)Dos cargas puntuales de 0.1 μC en (1,-2,3) y 1/7 μC en (-1,2,-2).b)Una línea de carga uniforme de π μC/m en x=-2 y y=3. c)Una carga de superficie uniforme de 0.1 μC/m2 en el plano y=3x.


Respuestas:a)0.243 μCb)31.4 μCc)10.54 μC


20

Condiciones que Ds debe satisfacer :

1.En cualquier punto normal o tangencial a la superficie cerrada, se verifica que Ds.dS se convierte en DsdS o en cero, respectivamente.

2.Sobre la porción de la superficie cerrada para la cual Ds.dS no es cero, Ds = constante.

APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS

s

s dQ SD

rs

s

s

s

s

s

r

Qr

QD

DrQ

ddrDQ

dSDQ

aD2

2

2

2

0 0

2

4

4

4

sin

1er Ejemplo: Superficie Gaussiana para una Carga Puntual → Esférica.

Ds es normal a la superficie en todas partes y se dirige radialmente hacia fuera. Por tanto, se verifica que:

rr

QaE

204

21

2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme.

Considerando que ρL está distribuida a lo largo del eje z desde -∞ hasta +∞. La Superficie Gaussina para una línea de carga finita y uniforme es un cilindro circular recto de longitud L y radio ρ. D es constante en magnitud y es perpendicular a la superficie cilíndrica en cada uno de sus puntos; D es paralelo a las tapas de dicho cilindro.

APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.)

22

2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme (Cont.)

Una superficie cilíndrica es la única superficie para la cual Dρ es normal en todas partes, y pueden encerrarla superficies planas normales el eje z.

Aplicando la Ley de Gauss, se verifica:


aD

SD

D

E

L

L

L

QDD

LDQ

dzdDQ

dSdSdSDQ

dQ

L

LLs

s

L

z

s

abajoparte

arribapartelados

s

s

s

0

0

2

0

2

222

2

00

23

3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial

Dos conductores cilíndricos coaxiales que forman un cable coaxial proporcionan una densidad de flujo eléctrico uniforme dentro de los cilindros dada por:

El cable interior es de radio a y el exterior es de radio b, los dos de longitud infinita y distribución de carga ρs en la superficie exterior del conductor interno.


sa

D

24

3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.)

Un cilindro circular de longitud L, y radio ρ elegido en Superficie Gaussiana donde a< ρ<b, resulta en:

La carga total y la densidad en esta longitud L del conductor interior será:


En la superficie interior del cilindro exterior, se verifica una carga total:

Encontrando que:

Si ρ > b, la carga total encerrada sería cero por haber cargas iguales y opuestas en cada cilindro del conductor. Por tanto:

LDQ s 2

aD s

sss

L

z

ss

a

a

L

aL

L

QD

aLdzadQ

2

2

2

20

2

0

InteriorCilindros

ExteriorCilindro aLQ 2

InteriorCilindro

ExteriorCilindro

InteriorCilindro

ExteriorCilindro

ss

ss

b

a

aLbL

22

0

20

s

s

D

LD

25

3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.)

Si ρ < a, el resultado es similar al verificado cuando ρ > b. Por tanto, el cable coaxial o condensador no tienen campo externo [conductor externo es un blindaje], y tampoco hay campo en conductor central.


Si la longitud L del cable coaxial es finita y se cumple que está abierto en los extremos y que es mayor que el radio b, se forma un dispositivo llamado Condensador Coaxial.

26

Ejemplo 3.3:

Considérese un cable coaxial de 50 cm de longitud, con un radio interior de 1 mm y un radio exterior de 4 mm. Se supone que el espacio entre ambos conductores está lleno de aire. La carga total en el conductor interior es de 30 nC. Se desea conocer la densidad de carga en cada conductor, así como los campos E y D.

Solución:

1.Encontramos la densidad de carga superficial en el cilindro interior:

2.La densidad de carga negativa en la superficie interior del cilindro externo es:

3.Calculando para la región 1 < ρ < 4 mm:


2

3

9

/55.95.0102

1030

2mC

aL

QInteriorCilindro

sInteriorCilindro

2

3

9

/39.25.01042

1030

2mC

bL

QExteriorCilindro

sExteriorCilindro

mVD

E

mnCa

D s

/1079

10854.8

1055.9

/55.91055.910

12

9

0

293

¿Qué valores presentan E y D para ρ < 1 mm ó ρ > 4 mm?

27

Problema 13:

Tres superficies esféricas ubicadas en r=2,4 y 6 m tienen densidades uniformes de superficie de carga de 20 nC/m2, -4 nC/m2 y ρs0, respectivamente. Encontrar:

a)D en r=1, 3 y 5 m.b)Determinar ρs0 tal que D =0 en r=7m.


Respuestas: Apéndice E del libro.


DIVERGENCIA

Divergencia de un Vector ALa divergencia de A en un punto dado P es el flujo hacia afuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P.

Por tanto,

28

Ilustración de la divergencia de un campo vectorial en P:

(a)Divergencia positiva (vector se aparta de P – diverge ).(b)Divergencia negativa (vector converge en P).(c)Divergencia cero.

Es decir, la divergencia es positiva en un punto de origen en el campo, negativa en un punto de confluencia, y cero cuando no hay confluencia ni origen.

v

d

divdeaDivergenci s

v

SA

AA0

lim

DIVERGENCIA (CONT.)

Divergencia de un Vector A (Cont.)

Suponga que se quiere evaluar la divergencia de un campo vectorial A en el punto P, y que dicho punto está encerrado por un volumen diferencial como se muestra en la figura:

La integral de superficie :

se puede obtener a partir de :

1

s

dSA

debajoarribaderechoizquierdoposterioranteriors

ddddddd SASASASASASASA

DIVERGENCIA (CONT.)


Desarrollando Ax en Serie de Taylor alrededor de P se tiene:

Respecto al lado anterior, . Así que :

Respecto al lado posterior, . Así que:

1

.sup.,,,, 000000 térmz

Azz

y

Ayy

x

AxxzyxAzyxA

P

x

P

x

P

xxx

xdydzdydx

xx aS 20

antetrior P

xx térm

x

AdxzyxAdydzd .sup.

2,, 000SA

)(20 xdydzdydx

xx aS

posterior P

xx térm

x

AdxzyxAdydzd .sup.

2,, 000SA

DIVERGENCIA (CONT.)


En consecuencia:

Siguiendo pasos análogos, se obtiene:

Al sustituir en la definición de la divergencia, considerando que ∆v=dxdydz, se tiene:

1

antetrior posterior P

x térmx

Adxdydzdd .sup.SASA

.sup.térmy

Adxdydzdd

izquierdo derecho P

y

SASA

.sup.térmz

Adxdydzdd

arriba abajo P

z

SASA

P

s

v z

Az

y

Ay

x

Ax

v

d

div

SA

A0

limLos términos de orden superior tienden a cero conforme ∆v→0.

DIVERGENCIA (CONT.)


Divergencia en coordenadas rectangulares:

Divergencia en coordenadas cilíndricas:

Divergencia en coordenadas esféricas:

29

z

Az

y

Ay

x

Axdiv

A

z

AzAAdiv

11A

A

r

A

rr

Ar

rdiv r

sin

1sin

sin

11 2

2A

La divergencia se aplica a un vector y su resultado es un escalar.

DIVERGENCIA (CONT.)

30

Ejercicio:

Determine la divergencia de estos campos vectoriales:(a)

(b)

(c)

aaaT

aaaQ

aaP

coscossincos1

cossin

2

2

2

rr

zz

xzyzx

r

z

zx


Respuestas:

coscos2

cossin2

2

c

b

xxyza

PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA)

31

Recordamos que la divergencia en coordenadas rectangulares se expresa :

y que :

z

D

y

D

x

Ddiv zyx

D

v

Q

v

d

v

s

v

00

limlim

SD

vdiv DForma Puntual

de la Ley de Gauss

Esta ley establece que el flujo eléctrico por unidad de volumen que sale de un pequeño volumen unitario es exactamente igual a la densidad de carga volumétrica que existe en él.

La ley de Gauss relaciona el flujo que sale de cualquier superficie cerrada, y la primera ecuación de Maxwell establece lo mismo, pero lo hace por unidad de volumen y para un volumen cada vez más pequeño que en el límite se reduce en un punto.

1era. Ec. Maxwell (Electrostática)

Puesto que la divergencia se expresa como la suma de derivadas parciales, a la primera Ec. de Maxwell también se la llama Forma Diferencial de la Ley de Gauss. Y a la Ley de Gauss Forma Integral de la 1era Ec. De Maxwell.

32

Ejercicio:

Sea D = zρcos2φaz C/m2, calcule la densidad de carga en (1,π/4,3) y la carga total encerrada por un cilindro de radio 1m con -2 ≤ z ≤ 2 m.

2. En el punto (1,π/4,3) , se tiene:

3. La Carga total encerrada se puede determinar:

2cos

z

Ddiv z

v D

32 /5.04

cos.1 mCv

CQ

dddzQ

dzdddvQ

z

z

v v

v

3

4

3

14

cos

cos

2

2

2

0

1

0

22

2

Solución:

1.Aplicamos directamente la 1era Ec. Maxwell :

PRIMERA EC. DE MAXWELL (ELECTROSTÁTICA) (CONT.)

33

Operador Vectorial Nabla

Se define el operador vectorial nabla , asociando vectores unitarios a los escalares de los términos de la divergencia. Esto es:

Sea el producto punto :

De donde se verifica que :

El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA

zyxzyx

z

D

y

D

x

D

DDDzyx

zyx

zyx

D

zyxzyxD

DD div

34

Teorema de la Divergencia

Recordemos que:

Sustituyendo una en otra se verifica que:

El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA (CONT.)

v

s

v

v

Qd

dvQ

D

SD.

vv

v

s

dvdvQd DSD

vs

dvd DSD Teorema de la Divergencia

Se enuncia:La integral de la componente normal a cualquier campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de ese campo a través del volumen encerrado por la superficie cerrada.

En otras palabras, la divergencia de la densidad de flujo en todo el interior de un volumen es igual al flujo neto que atraviesa la superficie que lo encierra.

35

Ejercicio:

Determine el flujo de :sobre la superficie cerrada del cilindro 0 ≤ z ≤ 1, ρ = 4. Compruebe con el Teorema de la Divergencia.


Respuesta:64π

El OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DELA DIVERGENCIA (CONT.)

aaD sincos22 z

GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN

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