PROF. ECON. JULIO CESAR SANABRIA MONTAEZ
DR. EN ECONOMIA - MG. EN FINANZAS
AMORTIZACION
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ciclo 2014-II Modulo: I Unidad: V Semana: 6
El por que del nombre de anualidad cierta por
que la anualidad tiene un numero fijo de pagos y
no un numero incierto como rentas vitalicias que dependen
de l existencia del asegurado.
Por lo tanto la estrategia es convertir una anualidad cierta
a una anualidad simple, cuyos principios bsicos son:
La tasa de inters debe ser equivalente
Las anualidades de cualquier fecha deben ser iguales
Ejemplo:
Encontrar el valor actual de una anualidad vencida de 1.000 por ao en un plazo de 5 aos, si el dinero gana 4% capitalizable trimestralmente.
Solucin:
Para encontrar la respuesta debemos analizar grficamente el problema:
Nos piden aquellos pagos trimestrales de una anualidad anual, entonces:
1.000 1.000 1.000 1.000
------------------------------------------------------------------------------
1 2 3 4 5 Aos
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w
Cada ao tiene 4 trimestre sea 4 w, segn planteamiento del problema
Ahora bien:
La expresin numrica o formula es: w * S= R (1+i)^n -1 / i = 1.000
a lo que es lo mismo
w= ^1.000 * (R (1+i)^n -1 / i)-1
Lleva el signo negativo por que estaba multiplicando al pasar al lado derecho y
por regla aritmtica a^-1 = 1/a
Por lo tanto el clculo ser:
S= 1.000 * (1+0.01)^4-1 ^-1 * 1+0.01^20 -1
0.01 0.01
Ntese que se expone al factor 4 por que se pide por trimestre, y un ao tiene 4
trimestres.
Por lo tanto: S=5.422.86
Para el valor actual la figura es la misma
A= 1.000 * 1- (1+0.01)^-4 ^-1 * 1- 1+0.01^- 20
0.01 0.01
A=4.444.28
Para hacerlo ms sencillo de explicar el valor W,
puede ser sustituido por R, notacin que conocemos
de captulos anteriores, para ello reemplazamos la
formula anterior por:
S= R (1+i)^n -1 ^-1 * (1+i)^n -1
i i
A= R 1- (1+i)^n ^-1 * 1- (1+i)^n
i i
Matemtica Financiera
Sistemas de amortizacin
Sistemas de amortizacin
Operaciones simples
Operaciones Complejas
Sistemas racionales o puros
Sistemas impuros, comerciales o directos
Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin total
Ct = P (1+i) n
Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin anticipada
CtCa =
(1+i)n-p
P (1+i) n
Ca =(1+i)n-p
Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin anticipada
Ca (1+i)n-p = P (1+i) n
P (1+i) n
Ca =(1+i)n-p
Sistema con pago nico de capital e intereses
Reembolso parcial antes del vencimiento
S = P (1+i)p - Rp
Sistema con pago nico de capital e intereses
Reembolso parcial antes del vencimiento
Rp (1+i)n-p + S (1+i)n-p = P (1+i)n
Rp (1+i)n-p
S = P (1+i)p -(1+i)n-p
Cancelacin total
Inters del periodo: P . i
Capital: P
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Cancelacin anticipada
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Cond. Sustanciales idnticas P
Para diferentes tasas:
Ca = P + P ( i-i'). a n-p :i'
Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Cond. Sustanciales idnticas S = P - Rp
Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Con diferentes tasas
P + P i sn-p :i ' = S + S i sn-p :i ' + Rp (1+ i ' )n-p
Rp (1+ i ' ) n-p
S = P - -------------------------------[ 1 + i sn-p :i ' ]
Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Con diferentes tasas
Sistemas con pago
peridico de capital e intereses
Sistema de amortizacin progresiva o Francs
Sistema de amortizacin real constante o Alemn
Sistema Americano o sinking fund
Sistema de inters directo acumulado (impuro)
Sistema de inters directo deducido (impuro)
Sistema Francs
Caractersticas principales
Cuota constante
Amortizacin creciente
Inters sobre saldos (sistema puro)
Sistema Francs
Sistema Francs
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
Capital
Inters
P =(1+i)n - 1
__________________
(1+i)n . i
C
Sistema Francs
Lmite inferior de C P. i
Sistema Francs
Cada cuota se compone de una porcin de inters y otra destinada a amortizar capital (denominada
amortizacin real).
La amortizacin real de la primera cuota recibe el nombre de Fondo amortizante.
Sistema Francs
1 Cuota: C = P . i + t
Fondo amortizante
Sistema Francs
1ra.Cuota: t = C P i
2da.Cuota: t2 = C - ( P - t)i => t2 = C - Pi + ti => t2 = t + ti =>
=> t2 = t(1+i)
3ra.Cuota: t3 = C - (P t - t2)i => t3 = c - P.i + ti + t2i =>
t3 = t2 + t2i => t3 = t2(1+i) => t3 = t(1+i)(1+i) =>
t3 = t(1+i)2
Generalizando: tp = t (1+i)p-1
Sistema Francs
La deuda en funcin del fondo amortizante
V = t + t2 + t3 + . + tn
V = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)n-1
V = t ((1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)n-1)
S n :i
V = t . S n :i
Sistema Francs
Total amortizado luego del pago p .
Vp = t . S p : i y t = V . S n :i -1
i (1+i)p 1Vp = Vn . ---------------- . ---------------
(1+i)n - 1 i
(1+i)p 1Vp = Vn . -----------------
(1+i)n - 1
Sistema Francs
Saldo luego del pago p .
(1+i)p 1Vn-p = Vn - Vn . -----------------
(1+i)n - 1
(1+i)p 1Vn-p = Vn . 1 - -----------------
(1+i)n - 1
Ejercicios
El 25/8 obtenemos un crdito en las siguientes condiciones:Capital: $72.000,00 a reintegrar en un nico pago a dos aos.Intereses: a abonar bimestralmente. TEA 17%
Transcurridos 6 meses desde la obtencin del crdito, deseamos plantear a nuestro acreedor un cambio en las condiciones de la operacin, para dejar de abonar intereses peridicos y cancelar la totalidad de la operacin (capital e intereses) al final del plazo originalmente convenido.Si la TEA de mercado en ese momento es del 33%, calcular el monto de la propuesta de cancelacin para mantener la equivalencia financiera.
Ejercicios
Un banco desea ofrecer una lnea de prstamos personales, de hasta $5.000,00 amortizables por sistema francs en hasta 6 cuotas mensuales, con una TEA del 28%. Construir el cuadro de amortizacin para el capital y el plazo mximos.
Ejercicios
De una deuda de $12.000,00, amortizable por sistema francs en 24 pagos mensuales con una tasa nominal anual del 24%, determinar:
1. Importe de la cuota.2. Fondo amortizante.3. Total amortizado y deuda pendiente luego de
abonar la 11 cuota.
Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
Llamamos q a la inversa de la fraccin de deuda cuyo perodo de amortizacin se desea conocer.
La fraccin V/q se amortizar con m amortizaciones reales.
V/q = t + t2 + t3 + + tm
V/q = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)m-1
Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
V/q = t [ (1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)m-1]
V/q = t . Sm:i
Reemplazando V por su igual en funcin de t
t. Sn:i ---------- = t . Sm:i
q
Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
(1+i)n 1 1 (1+i)m - 1---------------- . ------- = -------------------
i q i
(1+i)n 1 ---------------- = (1+i)m - 1
q
Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
(1+i)n - 1 (1+i)n - 1 + q(1+i)m = ------------------- + 1 = -------------------------
q q
m log (1+i) = log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log q
log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log qm = -----------------------------------------------
log (1+i)
Perodo medio de reembolso
Perodo de tiempo necesario para que la deuda se reduzca a la mita (se amortice la mitad de la deuda).
En la frmula anterior hacemos q = 2
log [ (1+i)n + 1 ] - log 2m = -------------------------------------
log (1+i)
Ejercicio:
Calcular el tiempo que ser necesario para amortizar la mitad de una deuda de
$750.000,00, pagadera por sistema francs en 84 cuotas trimestrales, con una TEA del 18%.
Sistema Alemn
Caractersticas principales
Amortizacin constante
Inters sobre saldos (sistema puro)
Cuota decreciente.
050
100
150
200
250
300
350
1 2 3 4 5
Intereses
Capital
Sistema Alemn
Perodo Saldo inicial Amortizacin Inters Cuota Saldo final
1 1.000,00 200,00 100,00 300,00 800,00
2 800,00 200,00 80,00 280,00 600,00
3 600,00 200,00 60,00 260,00 400,00
4 400,00 200,00 40,00 240,00 200,00
5 200,00 200,00 20,00 220,00 0,00
Sistema Alemn
Sistema Alemn: clculo del saldo
Momento Saldo
Inicial V
Pagada la cuota 1 V - V/n = V . (1 - 1/n) = V . [ (n-1)/n]
Pagada la cuota 2 V - 2.V/n = V . (1 - 2/n) = V . [ (n-2)/n]
,,,,,,,,,,,,,,,
Pagada la cuota n-2 V - (n-2). V/n = V .[ 1 - (n-2)/n ] = V . [ 2/n]
Pagada la cuota n-1 V - (n-1). V/n = V .[ 1 - (n-1)/n ] = V . [ 1/n]
Sistema Alemn: clculo de la cuota
Cuota Capital + Inters
1 V/n + V.i
2 V/n + V . [ (n-1)/n] . i
3 V/n + V . [ (n-2)/n] . i
,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,
n-1 V/n + V . [ 2/n] . i
n-1 V/n + V . [ 1/n] . i
Sistema Alemn: clculo de la cuota
Frmula general
Cp = V/n + V. i . {[n (p-1)] /n }
Sistema Alemn
Comprobacin de la variacin entre cuotas
Restamos 2 cuotas consecutivas. Por. ej.:
Cuota 2 : V/n + V.i [(n-1)/n] (1)Cuota 3 : V/n + V.i [(n-2)/n] (2)
Si a (1) le restamos (2) queda:
V/n + V.i [(n-1)/n] - V/n - V.i [(n-2)/n]
Sistema Alemn
Comprobacin de la variacin entre cuotas
(n-1) -(n-2)=> V . i [ ----------------- ]
n
=> (V . i) / n
Cuota decreciente en progresin aritmtica
Ejercicio
Una empresa contrajo una deuda de $35.000,00 amortizable por sistema alemn en 12 cuotas mensuales con una TEA del 12%. Calcular:
1. Valor de la 1 y de la ltima cuota.2. Total amortizado luego del 6 pago.3. Perodo medio de reembolso.
Ejercicio
Una concesionaria desea vender un automvil en 24 cuotas mensuales por sistema alemn, al 24% nominal anual. Si la 1 cuota es de $2.960,00 se pide calcular:
A- Valor contado del vehculoB- Importe en el que ir decreciendo
mensualmente la cuota.
Sistema Americano
Es una adaptacin del sistema de pago
nico de capital y pago peridico de
inters, al combinarlo con una operacin
de reconstruccin del capital.
Surge para solucionar el problema de
reinversin afrontado por el prestamista y
el problema de la dificultad financiera del
pago ntegro del capital para el deudor.
Por un lado el deudor paga peridicamente
los intereses sobre el total de su deuda, a
una tasa activa i.
Por otro lado deposita peridicamente una
suma constante en una cuenta que generar
un valor final V que permita cancelar el
crdito al momento n, a una tasa pasiva i.
Sistema Americano
Sistema Americano
La cuota total a pagar ser:
Ca = V . i + V . S n :i -1
Ejercicio
Una persona obtiene un crdito de $10.000,00 por sistema americano. Calcular el importe que
deber abonarse mensualmente, si la tasa de inters de la deuda es 1,8% mensual, el inters de fondo es de 1,5% mensual y se pacta un plazo de
12 meses para su devolucin.
Ejercicio
Un banco pone en vigencia una lnea de crdito de $20.000,00 a 12 meses vencidos por sistema
americano, a una tasa del 2% mensual y con un fondo de reconstruccin del capital al 1%
mensual. Calcular:1. Importe mensual de la cuota.2. Tasa efectiva mensual neta de la operacin.