Semana 07 Amortizacion - Metodos

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PROF. ECON. JULIO CESAR SANABRIA MONTAÑEZ DR. EN ECONOMIA - MG. EN FINANZAS AMORTIZACION MATEMATICAS FINANCIERAS Ciclo 2014-II Modulo: I Unidad: V Semana: 6

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  • PROF. ECON. JULIO CESAR SANABRIA MONTAEZ

    DR. EN ECONOMIA - MG. EN FINANZAS

    AMORTIZACION

    MATEMATICAS FINANCIERAS

    Ciclo 2014-II Modulo: I Unidad: V Semana: 6

  • El por que del nombre de anualidad cierta por

    que la anualidad tiene un numero fijo de pagos y

    no un numero incierto como rentas vitalicias que dependen

    de l existencia del asegurado.

    Por lo tanto la estrategia es convertir una anualidad cierta

    a una anualidad simple, cuyos principios bsicos son:

    La tasa de inters debe ser equivalente

    Las anualidades de cualquier fecha deben ser iguales

  • Ejemplo:

    Encontrar el valor actual de una anualidad vencida de 1.000 por ao en un plazo de 5 aos, si el dinero gana 4% capitalizable trimestralmente.

    Solucin:

    Para encontrar la respuesta debemos analizar grficamente el problema:

    Nos piden aquellos pagos trimestrales de una anualidad anual, entonces:

    1.000 1.000 1.000 1.000

    ------------------------------------------------------------------------------

    1 2 3 4 5 Aos

    w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w

    Cada ao tiene 4 trimestre sea 4 w, segn planteamiento del problema

  • Ahora bien:

    La expresin numrica o formula es: w * S= R (1+i)^n -1 / i = 1.000

    a lo que es lo mismo

    w= ^1.000 * (R (1+i)^n -1 / i)-1

    Lleva el signo negativo por que estaba multiplicando al pasar al lado derecho y

    por regla aritmtica a^-1 = 1/a

  • Por lo tanto el clculo ser:

    S= 1.000 * (1+0.01)^4-1 ^-1 * 1+0.01^20 -1

    0.01 0.01

    Ntese que se expone al factor 4 por que se pide por trimestre, y un ao tiene 4

    trimestres.

    Por lo tanto: S=5.422.86

  • Para el valor actual la figura es la misma

    A= 1.000 * 1- (1+0.01)^-4 ^-1 * 1- 1+0.01^- 20

    0.01 0.01

    A=4.444.28

    Para hacerlo ms sencillo de explicar el valor W,

    puede ser sustituido por R, notacin que conocemos

    de captulos anteriores, para ello reemplazamos la

    formula anterior por:

    S= R (1+i)^n -1 ^-1 * (1+i)^n -1

    i i

    A= R 1- (1+i)^n ^-1 * 1- (1+i)^n

    i i

  • Matemtica Financiera

    Sistemas de amortizacin

  • Sistemas de amortizacin

    Operaciones simples

    Operaciones Complejas

    Sistemas racionales o puros

    Sistemas impuros, comerciales o directos

  • Sistema con pago nico de capital e intereses

    Cancelacin total

    Ct = P (1+i) n

  • Sistema con pago nico de capital e intereses

    Cancelacin anticipada

    CtCa =

    (1+i)n-p

    P (1+i) n

    Ca =(1+i)n-p

  • Sistema con pago nico de capital e intereses

    Cancelacin anticipada

    Ca (1+i)n-p = P (1+i) n

    P (1+i) n

    Ca =(1+i)n-p

  • Sistema con pago nico de capital e intereses

    Reembolso parcial antes del vencimiento

    S = P (1+i)p - Rp

  • Sistema con pago nico de capital e intereses

    Reembolso parcial antes del vencimiento

    Rp (1+i)n-p + S (1+i)n-p = P (1+i)n

    Rp (1+i)n-p

    S = P (1+i)p -(1+i)n-p

  • Cancelacin total

    Inters del periodo: P . i

    Capital: P

    Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters

  • Cancelacin anticipada

    Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters

    Cond. Sustanciales idnticas P

    Para diferentes tasas:

    Ca = P + P ( i-i'). a n-p :i'

  • Reembolso parcial antes del vencimiento

    Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters

    Cond. Sustanciales idnticas S = P - Rp

  • Reembolso parcial antes del vencimiento

    Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters

    Con diferentes tasas

    P + P i sn-p :i ' = S + S i sn-p :i ' + Rp (1+ i ' )n-p

  • Rp (1+ i ' ) n-p

    S = P - -------------------------------[ 1 + i sn-p :i ' ]

    Reembolso parcial antes del vencimiento

    Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters

    Con diferentes tasas

  • Sistemas con pago

    peridico de capital e intereses

    Sistema de amortizacin progresiva o Francs

    Sistema de amortizacin real constante o Alemn

    Sistema Americano o sinking fund

    Sistema de inters directo acumulado (impuro)

    Sistema de inters directo deducido (impuro)

  • Sistema Francs

    Caractersticas principales

    Cuota constante

    Amortizacin creciente

    Inters sobre saldos (sistema puro)

  • Sistema Francs

    Sistema Francs

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    1 2 3 4 5

    Capital

    Inters

  • P =(1+i)n - 1

    __________________

    (1+i)n . i

    C

    Sistema Francs

    Lmite inferior de C P. i

  • Sistema Francs

    Cada cuota se compone de una porcin de inters y otra destinada a amortizar capital (denominada

    amortizacin real).

    La amortizacin real de la primera cuota recibe el nombre de Fondo amortizante.

  • Sistema Francs

    1 Cuota: C = P . i + t

    Fondo amortizante

  • Sistema Francs

    1ra.Cuota: t = C P i

    2da.Cuota: t2 = C - ( P - t)i => t2 = C - Pi + ti => t2 = t + ti =>

    => t2 = t(1+i)

    3ra.Cuota: t3 = C - (P t - t2)i => t3 = c - P.i + ti + t2i =>

    t3 = t2 + t2i => t3 = t2(1+i) => t3 = t(1+i)(1+i) =>

    t3 = t(1+i)2

    Generalizando: tp = t (1+i)p-1

  • Sistema Francs

    La deuda en funcin del fondo amortizante

    V = t + t2 + t3 + . + tn

    V = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)n-1

    V = t ((1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)n-1)

    S n :i

    V = t . S n :i

  • Sistema Francs

    Total amortizado luego del pago p .

    Vp = t . S p : i y t = V . S n :i -1

    i (1+i)p 1Vp = Vn . ---------------- . ---------------

    (1+i)n - 1 i

    (1+i)p 1Vp = Vn . -----------------

    (1+i)n - 1

  • Sistema Francs

    Saldo luego del pago p .

    (1+i)p 1Vn-p = Vn - Vn . -----------------

    (1+i)n - 1

    (1+i)p 1Vn-p = Vn . 1 - -----------------

    (1+i)n - 1

  • Ejercicios

    El 25/8 obtenemos un crdito en las siguientes condiciones:Capital: $72.000,00 a reintegrar en un nico pago a dos aos.Intereses: a abonar bimestralmente. TEA 17%

    Transcurridos 6 meses desde la obtencin del crdito, deseamos plantear a nuestro acreedor un cambio en las condiciones de la operacin, para dejar de abonar intereses peridicos y cancelar la totalidad de la operacin (capital e intereses) al final del plazo originalmente convenido.Si la TEA de mercado en ese momento es del 33%, calcular el monto de la propuesta de cancelacin para mantener la equivalencia financiera.

  • Ejercicios

    Un banco desea ofrecer una lnea de prstamos personales, de hasta $5.000,00 amortizables por sistema francs en hasta 6 cuotas mensuales, con una TEA del 28%. Construir el cuadro de amortizacin para el capital y el plazo mximos.

  • Ejercicios

    De una deuda de $12.000,00, amortizable por sistema francs en 24 pagos mensuales con una tasa nominal anual del 24%, determinar:

    1. Importe de la cuota.2. Fondo amortizante.3. Total amortizado y deuda pendiente luego de

    abonar la 11 cuota.

  • Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial

    Llamamos q a la inversa de la fraccin de deuda cuyo perodo de amortizacin se desea conocer.

    La fraccin V/q se amortizar con m amortizaciones reales.

    V/q = t + t2 + t3 + + tm

    V/q = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)m-1

  • Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial

    V/q = t [ (1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)m-1]

    V/q = t . Sm:i

    Reemplazando V por su igual en funcin de t

    t. Sn:i ---------- = t . Sm:i

    q

  • Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial

    (1+i)n 1 1 (1+i)m - 1---------------- . ------- = -------------------

    i q i

    (1+i)n 1 ---------------- = (1+i)m - 1

    q

  • Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial

    (1+i)n - 1 (1+i)n - 1 + q(1+i)m = ------------------- + 1 = -------------------------

    q q

    m log (1+i) = log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log q

    log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log qm = -----------------------------------------------

    log (1+i)

  • Perodo medio de reembolso

    Perodo de tiempo necesario para que la deuda se reduzca a la mita (se amortice la mitad de la deuda).

    En la frmula anterior hacemos q = 2

    log [ (1+i)n + 1 ] - log 2m = -------------------------------------

    log (1+i)

  • Ejercicio:

    Calcular el tiempo que ser necesario para amortizar la mitad de una deuda de

    $750.000,00, pagadera por sistema francs en 84 cuotas trimestrales, con una TEA del 18%.

  • Sistema Alemn

    Caractersticas principales

    Amortizacin constante

    Inters sobre saldos (sistema puro)

    Cuota decreciente.

  • 050

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    1 2 3 4 5

    Intereses

    Capital

    Sistema Alemn

  • Perodo Saldo inicial Amortizacin Inters Cuota Saldo final

    1 1.000,00 200,00 100,00 300,00 800,00

    2 800,00 200,00 80,00 280,00 600,00

    3 600,00 200,00 60,00 260,00 400,00

    4 400,00 200,00 40,00 240,00 200,00

    5 200,00 200,00 20,00 220,00 0,00

    Sistema Alemn

  • Sistema Alemn: clculo del saldo

    Momento Saldo

    Inicial V

    Pagada la cuota 1 V - V/n = V . (1 - 1/n) = V . [ (n-1)/n]

    Pagada la cuota 2 V - 2.V/n = V . (1 - 2/n) = V . [ (n-2)/n]

    ,,,,,,,,,,,,,,,

    Pagada la cuota n-2 V - (n-2). V/n = V .[ 1 - (n-2)/n ] = V . [ 2/n]

    Pagada la cuota n-1 V - (n-1). V/n = V .[ 1 - (n-1)/n ] = V . [ 1/n]

  • Sistema Alemn: clculo de la cuota

    Cuota Capital + Inters

    1 V/n + V.i

    2 V/n + V . [ (n-1)/n] . i

    3 V/n + V . [ (n-2)/n] . i

    ,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,

    n-1 V/n + V . [ 2/n] . i

    n-1 V/n + V . [ 1/n] . i

  • Sistema Alemn: clculo de la cuota

    Frmula general

    Cp = V/n + V. i . {[n (p-1)] /n }

  • Sistema Alemn

    Comprobacin de la variacin entre cuotas

    Restamos 2 cuotas consecutivas. Por. ej.:

    Cuota 2 : V/n + V.i [(n-1)/n] (1)Cuota 3 : V/n + V.i [(n-2)/n] (2)

    Si a (1) le restamos (2) queda:

    V/n + V.i [(n-1)/n] - V/n - V.i [(n-2)/n]

  • Sistema Alemn

    Comprobacin de la variacin entre cuotas

    (n-1) -(n-2)=> V . i [ ----------------- ]

    n

    => (V . i) / n

    Cuota decreciente en progresin aritmtica

  • Ejercicio

    Una empresa contrajo una deuda de $35.000,00 amortizable por sistema alemn en 12 cuotas mensuales con una TEA del 12%. Calcular:

    1. Valor de la 1 y de la ltima cuota.2. Total amortizado luego del 6 pago.3. Perodo medio de reembolso.

  • Ejercicio

    Una concesionaria desea vender un automvil en 24 cuotas mensuales por sistema alemn, al 24% nominal anual. Si la 1 cuota es de $2.960,00 se pide calcular:

    A- Valor contado del vehculoB- Importe en el que ir decreciendo

    mensualmente la cuota.

  • Sistema Americano

    Es una adaptacin del sistema de pago

    nico de capital y pago peridico de

    inters, al combinarlo con una operacin

    de reconstruccin del capital.

    Surge para solucionar el problema de

    reinversin afrontado por el prestamista y

    el problema de la dificultad financiera del

    pago ntegro del capital para el deudor.

  • Por un lado el deudor paga peridicamente

    los intereses sobre el total de su deuda, a

    una tasa activa i.

    Por otro lado deposita peridicamente una

    suma constante en una cuenta que generar

    un valor final V que permita cancelar el

    crdito al momento n, a una tasa pasiva i.

    Sistema Americano

  • Sistema Americano

    La cuota total a pagar ser:

    Ca = V . i + V . S n :i -1

  • Ejercicio

    Una persona obtiene un crdito de $10.000,00 por sistema americano. Calcular el importe que

    deber abonarse mensualmente, si la tasa de inters de la deuda es 1,8% mensual, el inters de fondo es de 1,5% mensual y se pacta un plazo de

    12 meses para su devolucin.

  • Ejercicio

    Un banco pone en vigencia una lnea de crdito de $20.000,00 a 12 meses vencidos por sistema

    americano, a una tasa del 2% mensual y con un fondo de reconstruccin del capital al 1%

    mensual. Calcular:1. Importe mensual de la cuota.2. Tasa efectiva mensual neta de la operacin.