8/2/2019 Precalculo Unidad 4
1/42
IAMUCA ^XEDKCDUCA
DUKX]K ULGMKM
Juldgalet ]xg`alai}xgdkt Dgxduckxet,
rl
& wl
9 l
# malme l xe~xetel}k 4# =# 5#,,,la }gele tacudgl, Uc}gia ]eaxeik me Jexik},
"Met~ut me 45> kat jue meiat}xkma ~ax Klmxep Pgcet el ;774
=,;, K~cgdkdgl me cat Xekcet tahxe ck Dgxduljexeldgk Ulg}kxgk,
Ahoe}gzat,
k' Bkdex daxxet~almex liexat xekcet dal kxdat me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
h' Mejglgx ul xkmgl w er~xetkx tu e{ugzkceldgk dal ec tgt}eik terk`etgikc,
d' Ei~cekx ck dkcduckmaxk ~kxk bkdex dkihgat me ulgmkmet me iemgmkt,
^ul}at tahxe ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
Ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk me del}xa el ec axg`el dal edukdgl r5 & w5 9 ;# }gele ul ~exie}xa g`ukc
k 8 , Ec xedaxxgma me ulk zuec}k dai~ce}k tahxe ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk igme 8 ,
Kc xedaxxgma tahxe ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# ~kx)
}gelma mec ~ul}a G";#> el ec tel}gma dal}xkxga kc
iazgigel}a me ckt ikledgcckt mec xecao ~kxk cce`kx
kc ~ul}a ^"r#w# te ce cckik mgt}kldgk mec kxda G^
dal iemgmk } < ># }kc {ue m
"G^ 9 }# malme } et ul
liexa xekc ~atg}gza,
El dkihga# tg ec xedaxxgma tahxe ck dgxduljexeldgk
te bkde el ec tel}gma mec iazgigel}a me ckt k`uokt
mec xecao# ck mgt}kldgk te mela}k dal ec tg`la
le`k}gza "kt dalzelgma# m
"G^' 9 ) },
m
"G^ 9 } m
"G^' 9 ) }Ec tg`la me } tg`lgjgdk ec tel}gma? el dal}xk "& a k jkzax
") mec iazgigel}a me ckt ikledgcckt mec xecao, Ulk
zuec}k dai~ce}k et } 9 8 ) 8 ,
m
"G^ 9 4,;= m
"G^ 9 !8 ;,50 m
"G^ 9 != >,02"iemgk zuec}k "dukx}a me zuec}k "ad}kza me zuec}k
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
2/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;4
m
"G^ 9 )4!8 )=,0; m
"G^ 9 )5 );5,0; m
"G^ 9 ;4!= ;>,8;)4!8 9 ) "8 ) 5 9 ) 5!8 "8 ;4!=" 9 ;4!2 "8 me zuec}k le`k}gzkt 8 w iemgk zuec}kt le`k}gzkt ; w 5!2 zuec}kt ~atg}gzkt
Tg ck mgt}kldgk mec kxda xedaxxgma et ikwax {ue 8 :,82# tg`lgjgdk {ue te bk mkma ulk zuec}kdai~ce}k k ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk w kc`a it6 el}aldet } et g`ukc kc xet}a a xetgmua it ckt lzuec}kt dai~ce}kt {ue te bkwkl mkma, ^ax eoei~ca tg } 9 8># el}aldet } et 4 zuec}kt it ec xetgmua
me mgzgmgx 8> el}xe 8 6 a tek {ue 8> 9 4"8 & ;,;:,Ec igtia ~ul}a ^ me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk daxxet~alme k zkxgat liexat xekcet } daia?
;,;:# 8># ) 5,;8# ;4,08# 48,5:# );0,:2#,,, El `elexkc# } 9 ;,;: & 8l# malme l et dukc{ugex liexael}exa w xe~xetel}k ec liexa me zuec}kt {ue te bk (elxacckma( "kc mexedba a kc xezt dkmk liexa
xekc } el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk, ^exa# }amat etat mgjexel}et zkcaxet xekcet } te xe~xetel}kl ~ax ul
lgda ~ul}a me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# w }amat tal e{ugzkcel}et?^"} | ";,;: | ^"8> | ")5,;8 | ^";4,08 | "48,5: | ");0,:2,
m
"G^ 9 ;,;: m
"G^ 9 ;,;: & : 8> m
"G^ 9 ;,;: ) 8 ) 5,;8^";,;:9 ";,;: ^"8> | ^";,;: ^") 5,;8 | ^";,;:
El daldcutgl? K dkmk liexa xekc } ce daxxet~alme ullgda ~ul}a ^ el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk, Kc dexa xekc ce
daxxet~alme ec ~ul}a glgdgkc G";#>,
^exa# el dkihga# dkmk ~ul}a ^ me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk
daxxet~alme k gljglg}at liexat xekcet
} 9 & 8l# l _, Et}a te ca`xk bkdgelma dkmk liexaxekc } e{ugzkcel}e k it l zuec}kt,
LA]K? ]ama liexa xekc } te bkde e{ugzkcel}e k tuxetgmua eudcmea kc mgzgmgx } el}xe 8 # kt} 9 8l & , A tek {ue# }amat cat liexat xekcet te}xkltjaxikl el dcktet el ec gl}exzkca > 3 8 # malmegljglg}at liexat xekcet tal xe~xetel}kmat ~ax ec igtia
~ul}a " me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
^
)8 ) G 8
]amat cat xekcet ~atg}gzat te (elxacckl( el ckdgxduljexeldgk ulg}kxgk D tg`ugelma ec tel}gma dal}xkxga
kc iazgigel}a me ckt k`uokt mec xecao# w cat xekcet
le`k}gzat te (elxacckl( tg`ugelma ec tel}gma mec
iazgigel}a me ckt k`uokt mec xecao,
D " ? te elxacck'
} 9 8l & ^"}# malme } # ^"}D^"} | ^" malme V># 8 V "| ? e{ugzkce'
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
3/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;=
El `eaie}xk# te tkhe {ue ck cal`g}um } me ul kxda me dgxduljexeldgk et mgxed}kiel}e
~xa~axdgalkc k tu xkmga x w k ck iemgmk mec l`uca del}xkc tuh}elmgma ~ax ec kxda,
Ca kl}exgax te er~xetk daia? } 9 fx
Etda`gelma iemgmkt k~xa~gkmkt te bkde ck
dalt}kl}e me ~xa~axdgalkcgmkm f 9 ;#
w te }gele } 9 xw tg ec xkmga x 9 ;# xetuc}k? } 9,
Ck iemgmk me ul l`uca el xkmgklet# '"xkm # et ck cal`g}um a mgt}kldgk mec kxda {ue ec l`ucatuh}gelme tahxe ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
Xkmgl? Tg tahxe ulk dgxduljexeldgk ulg}kxgk te }aik ul kxda me iemgmk ula# el}aldet tuh}gelme ul
l`uca del}xkc {ue igme ; xkmgl# mela}kma ~ax ; '"xkm ,
Ergt}el# ~ax daltg`ugel}e# mat etdkckt ~kxk iemgx l`ucat? xkmat w xkmgklet,
Tg ec kxda dai~ce}a me ck dgxduljexeldgk et tuh}elmgma ~ax ul l`uca del}xkc {ue igme 4:>a#
el}aldet e{ugzkce el xkmgklet k 8 '"xkm , Cue`a te }gele {ue
Tg 4:>a
9 8 '"xkm el}aldet ;2>a 9 '"xkm # 7>a 9!8 '"xkm # =5a 9!= '"xkm ,,,
`xkmat 4:> 80> ;2> 7> :> =5 4> ;5 4: 08
xkmgklet 8 4!8 !8 !4 != !: !;8 !5 8!5
Eoei~ca ;? ^kxk tkhex dul}at `xkmat igme ;
xkmgl a hgel 8 xkmgklet el `xkmat# te }gele {ue# tg
ec kxda w ec l`uca del}xkc tal ~xa~axdgalkcet# a
tek?
Tg '"xkm 9 ;2>a
el}aldet ;'"xkm9 ;2>
a!
me malme ;'"xkm9 50,8750
a9 50
a;2'
8'"xkm9 ;;=,57;=
a9 ;;=
a4:'
Eoei~ca 8? ^kxk bkcckx ck iemgmk me ;a
el xkmgklet
a me 5a# ~kx}gelma me ck igtik g`ukcmkm kl}exgax#
te ah}gele {ue?
;2>a
9'"xkm
el}aldet ;a
9 '"xkm!;2>
me malme ;a
9 >,>;0=5'"xkm
5a
9 >,>2085'"xkm
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
4/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;5
Ck xe`ck ~kxk dalzex}gx `xkmat k xkmgklet a zgdezextk# la et a}xk {ue ulk zkxgkdgl mgxed}k?
Tg ;2>a
e{ugzkce k '"xkm # ;a 9 '"xkm !;2># el}aldet =80a
e{ugzkce k =80 '"xkm !;2> 9
0,=585, ^exa# el et}at iaiel}at dalzgele ec ei~cea me ck dkcduckmaxk# {ue lat mk ec
xetuc}kma dal tca ~xetgalkx ulk }edck? =80a
e{ugzkce k 0,=58555 xkmgklet, Ck khxezgk}uxk
~kxk ; '"xkm et ; Xkm,
Cat tg`ugel}et eoei~cat juexal ah}elgmat dal dkcduckmaxk?
4 '"xkm9 ;0;,2204
a2,5 '"xkm 9 =20,>;=;
a) 8,0 '"xkm 9 );5=,:72:
a
08,=a
9 ;,8:4: '"xkm
;78a
9 4,45; '"xkm
:54a
9 ;;,470> '"xkm
Eoexdgdgat =,;
;, El ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# cadkcgde ec ~ul}a
^# tg tu kxda G^ igme?
k!4 h )!= d 4 m ) 5 e 5 j 2` ) 8> b ) ;4,5: g 4>,5
8, Tg ec ~ul}a ^ el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk#
daxxet~alme kc kxda G^ mkma, Etdxghk et}e igtia
^ dal tu kxda el ec xedaxxgma a~uet}a?
k 8!4 h ) 0!5 d ) 5!=m )!8 e 5 j ) 2
4, ^kxk cat tg`ugel}et zkcaxet me }# m a}xa zkcax
e{ugzkcel}e xekcgklma ck kddgl glmgdkmk?
k !=# ; zuec}k "&, h ) !4# 8 zuec}kt "&d ) 4!8# ; zuec}k ") d 0!8# 8 zuec}kt "),
=, M # tg etdxghe ec kxda el ck jaxik? & 8l# V># 8 V # l 9 ># ;# 8k 5!8 h 0!4 d 7 !=m 2 e 4!= j ;8
5, M ck iemgmk erkd}k el xkmgklet "ic}g~cat ajxkddgalet me ~kxk?
k ;2> h ) 7> d 80>
m 4>> e ) =5> j ;5
:, Ei~ceklma 4,;=;: a hgel ck dkcduckmaxk#etdxghk ck iemgmk el xkmgklet "k~xargie k ckt
igctgikt ~kxk?
k ;5> h 80> d ) 7>
m ) => e 8;> j ) ;8>
0, M ck iemgmk el `xkmat# iglu}at w te`ulmat
me ckt tg`ugel}et iemgmkt el xkmgklet?
k 8!4 h!= d 5!8m 8,5 e ) 5,48 j ) 0
2, El ulk dgxduljexeldgk me xkmga ;2 di, glmg{ue
ck cal`g}um mec kxda tuh}elmgma ~ax ul l`uca
del}xkc me iemgmk g`ukc k?
k 8'"xkm
h ")!:'"xkm
d 7> m ) ;5>
Tu`exeldgk? ck cal`g}um mec kxda } 9 x '"xkm ,
7, Tg ec kxda me ck dgxduljexeldgk igme ;8 di,'duc et ec xkmga me ck igtik# tg ec l`uca del}xkc
igme?
k >,05'"xkm
h ;'"xkm
d );8> m 80>
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
5/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;:
=,8 Juldgalet ]xg`alai}xgdkt Dgxduckxet,
Ahoe}gzat?
k' Ktg`lkx k }ama ~ul}a me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk ul ~kx axmelkma me
liexat {ue zexgjg{ue tu edukdgl,
h' Mejglgx ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt dgxduckxet me ck iemgmk mec kxda me ck
dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
d' Ei~cekx ck dkcduckmaxk ~kxk ah}elex zkcaxet me ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt,
Kc cklkx ulk ~gemxk kc xa te jaxikl dxducat# dkmk ula it xklme {ue ec kl}exgax# bkt}k
~exmexte6 k{u medgiat {ue bkw ~xa~k`kdgl ~ax iemga me almkt, El Jtgdk }ama ca {ue te
~xa~k`k ~ax almkt# daia ec talgma# ck cu# eced}xgdgmkm# e}d,# }gele xeckdgl dal ckt
juldgalet dgxduckxet? tela w datela w ckt meit juldgalet# {ue tal xetuc}kma me
a~exkdgalet kc`ehxkgdkt me t}kt, El et}k teddgl }xk}kxeiat ckt a~exkdgalet# edukdgalet#
`xjgdkt w k~cgdkdgalet me et}kt juldgalet }xg`alai}xgdkt dgxduckxet,
El ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk r5 & w5 9 ;# k }ama ~ul}a ^ er}xeia me ul kxda me ck
dgxduljexeldgk me iemgmk } "dal tel}gma ~atg}gza a le`k}gza daxxet~alme ulk ~kxeok me l)
iexat "r# w# daaxmelkmkt mec ~ul}a ^"}# {ue zexgjgdk ck edukdgl me ck dgxduljexeldgk
ulg}kxgk,
Et medgx# k }ama kxda } el ck dgxduljexeldgk
ulg}kxgk te ce ktg`lk ulk ~kxeok "r# w {ue
zexgjgdk ck edukdgl me ck dgxduljexeldgk# kt
} "r# w# } # }kc {ue r5 & w5 9 ;
Eoei~cat?
k !4 84
8
; # }kc {ue ;8848
8
;
h ;=> e{ugzkce k 8,5 Xkm,# el}aldet
8,5 ") >,2# >,: }, {, ") >,25 & ">,:5 9 ;
d ) 5!8 "># ) ; }kc {ue >5 & ") ;5 9 ; } ^"} 9 "r"}# w"}# malme }
dui~ce {ue Vr"}Y8
& Vw"}Y 8 9 ;
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
6/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;0
;, Mejglgdgalet me ckt juldgalet Tela w Datela,
K ~kx}gx me {ue k dkmk kxda } me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk ce daxxet~alme ul ~ul}a ^"} w k
dkmk ~ul}a ulk ~kxeok me daaxmelkmkt "r"}# w"} me liexat xekcet# el}aldet te mejglel
mat luezkt juldgalet? ck khtdgtk r"} et ck juldgl datela me }# w ck axmelkmk w"} et ck
juldgl tela me }, Kt#r? } datela }# te khxezgk dat } w? } tela }# te khxezgk tel }
El ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# ckt daaxmelkmkt mec ~ul}a "} tal?
r"} 9 dat }# malme } # ); dat } ;w"} 9 tel }# malme } # ); tel } ;
}kc {ue dui~cel {ue dat5} & tel5} 9 ;
Eoei~ca?
Ec kxda } 9!4 el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# }geledaia er}xeia ec ~ul}a ^ me daaxmelkmkt
"8# 8 4 {ue daxxet~almel k cat zkcaxet me ckt
juldgalet?8
;
4dat
#8
4
4
tel
}kc {ue8
4dat
&8
4
tel
9 ;
dui~cel {ue;
8
4
8
;88
8, Mejglgdgl me ck juldgl ]kl`el}e?Ck juldgl }kl`el}e me }# te khxezgk }kl } w te mejgle daia ec dadgel}e me ck juldgl tel }mgzgmgmk ~ax ck juldgl dat }# tg dat } >,
}
}tel}
,dat
,,}kl # tg dat } >
@eai}xgdkiel}e# el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# te gl}ex~xe}kl cat zkcaxet me ckt juldgalet
kl}exgaxet# ~ax iemga me cat ckmat me cat }xgl`ucat xed}l`ucatAI^ w AX[?
El ec }xgl`uca AI^ me ck dgxduljexeldgk#
dat } 9 AItel } 9 ^I
w tgelma ec AI^ teieokl}e kc AX[#el}aldet
;da}
, [X
}
}tel
AX
[X
AI
^I
}kl } 9 [X
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
7/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;2
4, Mejglgdgalet me ckt a}xkt juldgalet dgxduckxet? ckt juldgalet xed~xadkt,
Kmeit me ckt juldgalet tela }# datela } w }kl`el}e }# cckikmkt juldgalet }xg`alai}xgdkt
dgxduckxet mgxed}kt# ergt}el a}xkt juldgalet# {ue tal ckt xed~xadkt a glzextkt "glzextktdal xet~ed}a k ck a~exkdgl me iuc}g~cgdkdgl me jxkddgalet a xkalet daladgmkt daia?
da}kl`el}e }# tedkl}e } w datedkl}e }# {ue tal xet~ed}gzkiel}e ckt xed~xadkt me }kl`el}e }#datela } w tela }6 te khxezgkl daia da} }# ted } w dtd }, W te mejglel me ck tg`ugel}e iklexk?
}}
,}kl
;,da} # tg }kl } > da} } }kl } 9 ;
}}
,dat
;,ted # tg dat } > ted } dat } 9 ;
}tel}
,
;,dtd # tg tel } > dtd } tel } 9 ;
Eoei~ca? Tg tel } 9 =!5# w dat } 9 4!5# el}aldet }kl } 9 tel }!dat } 9 =!4, Cue`a cktjuldgalet xed~xadkt texl? da} } 9 4!=# ted } 9 5!4 w dtd } 9 5!=# {ue te ah}gelel kc dkcduckx
cat glzextat me =!4# 4!5 w =!5# xet~ed}gzkiel}e,
La}k? Tg eai}xgdkiel}e el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# tela } te xe~xetel}k ~ax ckaxmelkmk mec ~ul}a tahxe ck dgxduljexeldgk w datela } ~ax ck khtdgtk, Ec zkcax ~atg}gza a
le`k}gza me ck juldgl me~elmex mec dukmxkl}e malme te uhg{ue ec kxda,
]amkt ckt juldgalet tal ~atg}gzkt el ec G Dukmxkl}e
Tel } w dtd } tal ~atg}gzkt el ec Te`ulma Dukmxkl}e]kl } w da} } tal ~atg}gzkt el ec ]exdex Dukmxkl}eDat } w ted } tal ~atg}gzkt el ec Dukx}a Dukmxkl}e
La}k? Daia ulk kwumk k ck ieiaxgk# ktadge ck glgdgkc me ckjuldgl dal ck glgdgkc mec dukmxkl}e# tel } dal te`ulma
dukmxkl}e# }kl dal }exdex dukmxkl}e#,,, w tut xed~xadkt,
Zkcaxet me ckt juldgalet ]xg`alai}xgdkt? El ulk dgxduljexeldgk dukc{ugexk me
xkmga x# ul kxda } te dkcduck dal ck jxiuck } 9 x'"xkm
6 w ~kxk ulk dgxduljexeldgk ulg}kxgk ckjxiuck et } 9 '"xkm , ^exa ~kxk jglet ~xd}gdat# te tu~xgie '"xkm w tek bkde# tgi~ceiel}e }
9# ~kxk dukc{ugex liexa xekc } el mgdbk dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
Eoei~ca ;? Ec zkcax me tel 8 et ca igtia {ue tel 8'"xkm# ~exa mgjexel}e me tel 8, Dai~xahklma
dal ulk dkcduckmaxk# ~xetgalklma ckt }edckt daxxet~almgel}et# xetuc}k?
Tel 8'"xkm
9 tel 8 9 >,7>78 mgjexel}e me tel 8 9 >,>4=27,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
8/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;;7
Eoei~ca 8? Cat tg`ugel}et zkcaxet juexal
ah}elgmat dal dkcduckmaxk?
tel 5,48 9 >,28;>; tel 5,48 9 >,>7808
dat 5,48 9 >,50>7; dat 5,48 9 >,775:7}kl 5,48 9 );,=42>7 }kl 5,48 9 >,>74;8
Eoei~ca 4? kxk dkcduckx ckt juldgalet glzextkt? da}
}# ted }# dtd }# ~xgiexa te dkcduck tu juldgl mgxed}k
w met~ut te ~xetgalk ck }edck me r);
,
^kxk dkcduckx ted 5,48#
~xgiexa te dkcduck dat 5,48 9 >,775:7
cue`a te ~xetgalk ck }edck me r);
#
w xetuc}k ted 5,48 9 ;,>>=44,
Eoexdgdgat =,8
;, Me}exigle el ck `xjgdk ckt daaxmelkmkt me
K# H# D# M
8, Zexgjg{ue tg cat ~ul}at K">,=# >,78#
H")>,5# >,2::# D")>,0;=# )>,0# M">,:# )>,2::#
E")>,;:# >,7 et}l el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk,
4, Dal ec dk}e}a daxxet~almgel}e mec }xgl`uca xed}l)
`uca mghuokma el ec dxduca ulg}kxga xe~xetel}e ec zkcax
me dkmk ulk me ckt juldgalet tg`ugel}et?
tel 8# dat =# }kl 2# tel 0># dat 0># }kl 88>,
=, El ckt tg`ugel}et jg`uxkt me dxducat ulg}kxgat
"}xdecat dal xkmga k etdkck me 8 di,
g gg
ggg gz
k Me ec zkcax k~xargikma mec l`uca del}xkc el `xkmat
w mec kxda el xkmgklet,
h Me cat zkcaxet k~xargikmat? dat }# tel } w }kl },
5, Tg } 9 5# :# )0# )2# el}aldet cadkcgde ec ~ul}a
daxxet~almgel}e el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk w dal ck
dkcduckmaxk bkcce cat zkcaxet me tel }# dat }# }kl }#
da} }# ted }# dtd },
:, Tg } 9 ;4># =>># )5;># );8>># el}aldet cadkcgde
ec ~ul}a daxxet~almgel}e el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk w
dal ck dkcduckmaxk bkcce cat zkcaxet me
tel }# dat }# }kl }# da} }# ted }# dtd },
0, Dal ck dkcduckmaxk bkcce cat zkcaxet me tel ;,7#
}kl >,=4# dat");5,0# ted 8># dtd "):>>#da} ") ;54
2, Glmg{ue el {ue dukmxkl}e cadkcgk } tg?
k tel } < ># dat } 3 > h tel } 3 ># dat } < >
d tel } 3 ># }kl } < > m da} } < ># ted } 3 >
7, Zexgjg{ue tg tal ~atghcet cat tg`ugel}et ~kxet me
zkcaxet daia daaxmelkmkt me ~ul}at me ck dgxdulje)
xeldgk ulg}kxgk?
k dat } 9
5
;# tel } 9
5
:8
h dat } 9=
; # tel } 9
=
;5
d dat } 98
; # }kl } 9
4
4
m dat } 95
4 # da} } 9
=
4
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
9/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;8>
=,4 Zkcaxet me Juldgalet ]xg`alai}xgdkt ~kxk Kxdat Gi~ax}kl}et,
Ahoe}gza?
Dkcduckx cat zkcaxet me ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt ~kxk dgex}at kxdat gi~ax}kl}et,
^kxk kc`ulat ic}g~cat w tuhic}g~cat mec kxda dai~ce}a me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk#
daia? = # 8 # # 8 # !4#!:# ,,, w tut le`k}gzat# te ah}gelel zkcaxet me ckt juldga)
let }xg`alai}xgdkt xeckdgalklma cat eceiel}at me kc`l }xgl`uca {ue ca`xk jaxikxte
mel}xa me ck dgxduljexeldgk dal ec ~ul}a }exiglkc mec kxda# ec del}xa me ck igtik w a}xa
~ul}a me ck igtik dgxduljexeldgk# kt?
Zkcaxet me Juldgalet ]xg`alai}xgdkt ~kxk?!=#!4#!:
^kxk dkcduckx ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt
duklma } 9 !=# te }xkk ulk dgxduljexeldgkulg}kxgk w te cadkcgk ec kxda } dal ~ul}a jglkc ^#
{ue te bkcck el ck xed}k w 9 r# w ~ax ca }kl}a#
^ }gele tut mat daaxmelkmkt g`ukcet?
r5 & r5 9 ; 8r5 9 ; 8
8r
Cue`a# ckt daaxmelkmkt tal?
^"!=' 9 " 8!8# 8!8
Ec zkcax me dkmk juldgl mgxed}k et}k xeckdgalkmk
dal ckt daaxmelkmkt me ^# kt?
juldgalet != ^"!='
Tel"!='88 axmelkmk me ^
Dat"!='8
8 khtdgtk me ^
]kl"!=' ; dadgel}e me kihkt
^kxk ~ul}at tgi}xgdat el cat a}xat dukmxkl}et# te
}gelel cat zkcaxet?
} 4!= 5!= 0!=tel }dat }
}kl }
8!8
) 8!8
) ;
) 8!8
) 8!8
;
) 8!8
8!8
) ;
^kxk dkcduckx ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt
duklma } 9!4# te }xkk ulk dgxduljexeldgkulg}kxgk w te cadkcgk ec kxda } dal ~ul}a jglkc
^# {ue ulgma ~ax te`iel}at me xed}k dal cat
~ul}at ">#> w ";#> jaxik ul }xgl`ucae{ugc}exa me ckma ;,
Ck kc}uxk b mec zx}gde ^ kc eoe R# te dkcduck
k~cgdklma ec }eaxeik me g}`axkt# kt?
"85 & b5 9 ; b5 9=
4 # b 98
4
Cue`a# ^"!4' 9 "8
; #8
4 ,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
10/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;8;
Ec zkcax me dkmk juldgl mgxed}k et}k xeckdgalkmk
dal ckt daaxmelkmkt me ^"!4'# kt?juldgalet !4 ^"!4'Tel "!4'
8
4 axmelkmk me ^
Dat "!4' 8;
khtdgtk me ^
]kl "!4' 4 dadgel}e me kihkt
^kxk ~ul}at tgi}xgdat el cat a}xat dukmxkl}et#
te }gelel cat zkcaxet?
} 8!4 =!4 5!4tel }
dat }}kl }
4!8
) ;!8) 4
) 4!8
) ;!84
) 4!8
;!8) 4
^kxk dkcduckx ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt
duklma } 9 !:# te }xkk ulk dgxduljexeldgkulg}kxgk w te cadkcgk ec kxda dal ~ul}a jglkc ^,
Kmeit# te }xkk ec kxda )!: dal ~ul}a glgdgkc";#> w jglkc [, Ec }xgl`uca A^[ et e{ugc}exa me
ckma ;, El}aldet# ckt daaxmelkmkt tal^"!:' 9 "
8
4 #8
; ,
Ec zkcax me dkmk juldgl mgxed}k me !: et}k
xeckdgalkmk dal ckt daaxmelkmkt me ^"!:'# kt?
juldgalet !: ^"!:'Tel"!:'
8
; axmelkmk me ^
Dat"!:'8
4 khtdgtk me ^
]kl"!:' 4!4 dadgel}e me kihkt
^kxk ~ul}at tgi}xgdat el cat a}xat dukmxkl)
}et# te }gelel cat zkcaxet?
} 5!: 0!: ;;!:tel }
dat }
}kl }
;!8
) 4!8
) 4!4
) ;!8
) 4!8
4!4
) ;!8
4!8
) 4!4
Zkcaxet me Juldgalet ]xg`alai}xgdkt ~kxk Kxdat dal ~ul}at }exiglkcet tahxe cateoet daaxmelkmat R e W,
Ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk el ec ~ckla dkx}etgkla
}gele ckt gl}exteddgalet dal cat eoet daaxmelkmat
el cat ~ul}at ";#># ">#;# ") ;#> w "># ) ;,
Et}at ~ul}at daxxet~almel xet~ed}gzkiel}e k cat
~ul}at }exiglkcet me cat kxdat# el tel}gma
dal}xkxga k ckt ikledgcckt mec xecao# dal iemgmk >#
!8# # 4!8# 8 xkmgklet6 a hgel k cat kxdat#el ec tel}gma me ckt ikledgcckt mec xecao# glmgdkmat
~ax )!8# ) # )4!8# ) 8 # w tut xet~ed}gzatic}g~cat,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
11/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;88
kxda } ) 8 )4!8 ) )!8 > !8 4!8 8
tel }
dat }
}kl }
>
;
>
;
>
>
) ;
>
) ;
>
)
>
;
>
;
>
>
) ;
>
) ;
>
)
>
;
>
Eoexdgdgat =,4
;, Mkma ec zkcax me }# cadkcgde ec ~ul}a w dai~ce}e ec tg`ugel}e dukmxa?
kxda } =!4 )=!4 0!: )!: ;;!= );45 8=> =5> 5=>
tel }
dat }
}kl }
8, @xkjg{ue cat tg`ugel}et ~ul}at w m ec zkcax me tut kxdat el xkmgklet w el `xkmat# ~kx}gelma
mec ~ul}a G"> 9 ";#> el ec tel}gma ~atg}gza w le`k}gza,
K"} 9 " 8!8# ) 8!8 H"} 9 ");!8# 4!8 D"} 9 ") 4!8# ;!8
M"} 9 " 4!8# );!8 E"} 9 ")>,0>0# >,0>0 J"} 9 ">,5# >,2::@"} 9 ")>,5# )>,2:: B"} 9 ">,2::# )>,5 O"} 9 "># ) ;
=,= Tgie}xkt me Kc`ulat ^ul}at el ck Dgxduljexeldgk Ulg}kxgk,
Ahoe}gza?
Dkcduckx el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# ckt daaxmelkmkt me ul ~ul}a tgi}xgda ka}xa# daladgelma ckt daaxmelkmkt me dukc{ugexk me cat mat,
]ama ~ul}a me ulk dgxduljexeldgk }gele a}xa ~ul}a tgi}xgda xet~ed}a kc Eoe R# a kc
Eoe W# a kc axg`el# a k ck xed}k w 9 r# el ~kx}gduckx, El `elexkc# ulk dgxduljexeldgk et
tgi}xgdk xet~ed}a k dukc{ugex eoe a xed}k {ue ~kte ~ax tu del}xa, Ec dcduca me ckt
daaxmelkmkt me ul ~ul}a te jkdgcg}k duklma te daladel ckt daaxmelkmkt me tu tgi}xgda, Te
et}umgkxl ckt tgie}xkt it gi~ax}kl}et me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# daia?
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
12/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;84
;, Tgie}xk dal xet~ed}a kc Eoe R? Ul ~ul}a dukc{ugexk ^ me ck dgxduljexeldgkulg}kxgk }gele ul ~ul}a K tgi}xgda dal xet~ed}a kc eoe R,
Tg ^ daxxet~alme kc kxda } el}aldet tu tgi}xgda
xet~ed}a kc Eoe R et K {ue daxxet~alme kc kxda},Me iklexk {ue#
Tg ^"} 9 "dat }# tel } el}aldet
K") } 9 "dat ") }# tel ") },
Me ck `xjgdk te memude {ue
dat ") } 9 dat } dat } et ulk juldgl ~kx,tel ") } 9 ) tel } tel } et ulk juldgl gi~kx
a tek {ue ckt axmelkmkt tal me tg`la a~uet}a,
Eoei~ca?
Tg K") 4> et ec tgi}xgda me ^"4> dal xet~ed}a kc
Eoe R# el}aldet
dat ") 4> 9 dat 4> 9 >,2::
tel ") 4> 9 ) tel 4> 9 ) >,5
a tek {ue K 9 ">,2::# )>,5
et tgi}xgda me ^ 9 ">,2::# >,5
xet~ed}a kc Eoe R? tut axmelkmkt tal a~uet}kt,
8, Tgie}xk dal xet~ed}a kc Eoe W? Ul ~ul}a dukc{ugexk ^ me ck dgxduljexeldgkulg}kxgk }gele ul ~ul}a H tgi}xgda dal xet~ed}a kc eoe W,
Tg ^ daxxet~alme kc kxda } el}aldet tu tgi}xgda
xet~ed}a kc Eoe W et H {ue daxxet~alme kc kxda
) }, Me iklexk {ue#Tg ^"} 9 "dat }# tel }# el}aldet
H" ) } 9 "dat " ) }# tel " ) },
Me ck `xjgdk te memude {ue
dat " ) } 9 ) dat }tel " ) } 9 tel }
a tek {ue ckt khtdgtkt tal me tg`la a~uet}a,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
13/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;8=
Eoei~ca?
Tg H" ;5> 9 H" ;2> ) 4> et ec tgi}xgda me ^"4>
dal xet~ed}a kc eoe W# el}aldet
dat " ;5> 9 dat " ;2> ) 4>
9 ) dat 4> 9 ) >,2::
tel " ;5> 9 tel " ;2> ) 4>9 tel 4> 9 >,5
a tek {ue
H 9 ") >,2::# >,5 et tgi}xgda me ^ 9 ">,2::# >,5
Malme tut khtdgtkt tal me tg`la a~uet}a,
4, Tgie}xk dal xet~ed}a kc Axg`el? Ul ~ul}a dukc{ugexk ^ me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk}gele ul ~ul}a D tgi}xgda dal xet~ed}a kc axg`el,
Tg ^ daxxet~alme kc kxda }# tu tgi}xgda xet~ed}a
kc axg`el et D {ue daxxet~alme kc kxda } & , Meiklexk {ue#
Tg ^"} 9 "dat }# tel } el}aldet
D"} & 9 "dat "} & # tel "} &
Me ck `xjgdk te memude {ue
dat "} & 9 ) dat }tel "} & 9 ) tel }#a tek {ue tut daaxmelkmkt tal me tg`lata~uet}at
Eoei~ca?
Tg D ":
0 9 D '":
et ec tgi}xgda dal xet~ed}a kc
axg`el me ^":
# el}aldet#
dat":
0 9 dat '":
9 ) dat"
:
9 ) >,2::
tel ":
0 9 tel '":
9 ) tel"
:
9 ) >,5
D":
0 9 ") >,2::# ) >,5 et tgi}xgda kc axg`el me
^ ":
9 ">,2::# >,5,
a tek {ue tut daaxmelkmkt tal me tg`lat a~uet}at,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
14/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;85
=, Tgie}xk dal xet~ed}a k ck Xed}k ? Ul ~ul}a dukc{ugexk ^ me ck dgxduljexeldgkulg}kxgk }gele ul ~ul}a M tgi}xgda dal xet~ed}a k ck xed}k ? w 9 r,
Tg ^ daxxet~alme kc kxda }# tu tgi}xgda xet~ed}a k
w 9 r et M {ue daxxet~alme kc kxda !8}, Meiklexk {ue#Tg ^"} 9 "dat }# tel } el}aldet
M"!8} 9 "dat "!8}# tel "!8}
Me ck `xjgdk te memude {ue
dat "!8} 9 tel }tel "!8} 9 dat }
A tek {ue te glzgex}e ec axmel me ck ~kxeok,
Eoei~ca?
Tg M 4
9 M :8 et ec tgi}xgda dal xet~ed}a k ck
xed}k w 9 r# me ^ :
# el}aldet
dat 4
9 dat :8 9 tel :
9 8;
tel 4
9 tel :8 9 dat :
98
4
a tek {ue M et tgi}xgda xet~ed}a k w 9 r me ^?
M 9" 8;
#8
4 et glzexta me ^ 9"
8
4# 8
;
A}xkt ^kx}gduckxgmkmet? Te ah}gelel a}xat ~ul}at xeckdgalkmat dal "}# tg kc kxda } te cetuik a xet}k!8, Wk }xk}kiat cat dktat me tuikx a xet}kx 8 , Eoei~cgjg{ueiat?
E" } &8
9 "dat" } &8
# tel" } &8
dat" } &8
9 ) tel }# tel" } &8
9 dat }
J"} )8
9 "dat" } )8
# tel" } )8
dat" } )8
9 tel }# tel" } )8
9 ) dat }
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
15/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;8:
Eoei~cat?
k ^kxk dkcduckx dat:
5 te er~xetk
dat:
5 9dat 84 9 ) tel 4
9 )8
4
h K~xargiklma !8 k ;,50 w ei~ceklma ckdkcduckmaxk dai~xuehe {uetel 8 9 tel ">,=4 & ;,50 9 dat >,=4 9 >,7;
dat 8 9 dat ">,=4 & ;,50 9 ) tel >,=49 ) >,=8k h
Xetuiel me ckt a~exkdgalet glmgdkmkt? } ) } ) } } & } )
8
) } } &8
} )8
dat dat } dat } ) dat } ) dat } ) dat } tel } ) tel } tel }
tel tel } ) tel } tel } ) tel } ) tel } dat } dat } ) dat }
Eoexdgdgat =,=
jg`, ; jg`, 8
;, El ck jg`, ;# tg ec kxda G^ igme } 9 >,28 dal
^">,28 9 ">,:2# >,04 w tg cat ~ul}at K# H# D tal
tgi}xgdat me ^# el}aldet bkcce?
k cat kxdat GK# GH# GD,
h ckt daaxmelkmkt me cat ~ul}at K# H# D,
8, El ck jg`, 8# tg ec kxda G^ igme } 9 >,5 dal
^">,5 9 ">,22# >,=2 w tg cat ~ul}at [# X# T tal
tgi}xgdat me ^# el}aldet bkcce?
k cat kxdat G[# GX# GT,
h ckt daaxmelkmkt me cat ~ul}at [# X# T,
4, Tg ^"; 9 ">,5=# >,2=# etdxghk ec kxda mkma
daia } 9 ; # a daia } 9 ; !8 te`l tekec dkta# malme 4,;=# w bkcce ec zkcax me dkmkjuldgl k ~kx}gx me ^";?
k tel =,;= h dat 8,50 d dat ")8,50
m tel ")8,;= e tel ")>,50 j dat >,50
=, Tg ^"=> 9 ">,00# >,:=# etdxghk ec kxda mkma
daia 9 => ;2># a daia 9 => 7> te`l tek ec dkta# w bkcce eczkcax me dkmk juldgl k ~kx}gx me ^"=>?
k tel 88> h dat ;4> d tel ")5>
m dat ");=> e tel ");=> j dat 88>
5, K~cg{ue ck ~kxgmkm me ck juldgl ~kxk dai)
~xahkx {ue?
k dat " } )8
9 dat "8
) }
h dat "} ) 9 dat " ) }d tel "} )
8
9 ) tel "8
) }
h tel "} ) 9 ) tel " ) }
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
16/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;80
=,5 Jxiuckt me A~exkdgalet dal Kx`uiel}at me Juldgalet Dgxduckxet,
Ahoe}gzat?
k' Ah}elex jxiuckt ~kxk ck tuik w mgjexeldgk me kxdat l`ucat,h' Memudgx ckt jxiuckt ~kxk ec kxda mahce w ~kxk ec kxda ig}km,
Juldgalet Cglekcet "dal mejglgdgl tal ckt {ue dui~cel ckt dalmgdgalet me cglekcgmkm#
}kcet {ue?
; j"k & h 9 j"k & j"h 8 j"dk 9 d j"k
^exa ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt la dui~celet}kt dalmgdgalet me cglekcgmkm# ~ax{ue
tkheiat {ue
dat"r & 9 ) dat r mgjexel}e medat"r & dat r & dat
Kmeit te tkhe }kihgl {ue
tel "r & 8 9 dat r mgjexel}e me
tel "r & 8 tel r & tel 8 w {ue dat 8 9 ;# la et g`ukc k
8 dat 9 8"); 9 ) 8
;, Jxiuckt me ck Tuik w me ck Mgjexeldgk me Kxdat,
^exa tg ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt la tal cglekcet# te }gelel jxiuckt ~kxk mkx ec
xetuc}kma me er~xetgalet daia tel "K H# dat "K H# dat 8K# tel 8K# }kl 8K w a}xkt,
Ei~ekxeiat mklma# tgl meiat}xkx# ck jxiuck mec datela me ck mgjexeldgk me mat kxdat a
l`uca K w H "~ax }xkmgdgl te utkl K w H el cu`kx me }
dat "K ) H' 9 dat K dat H & tel K tel HEoei~ca?
K~cgdklma ck jxiuck# te }gele {ue
dat"K ) 8 9 dat K dat 8&tel K tel 8
9 dat K > & tel K ;
dat"K ) 8 9 tel K
Me ck jxiuck me ck g{ugexmk te memude ec
datela me ck tuik me K w H# etdxghgelma?
dat "K & H 9 dat VK ) ")HY
9 dat K dat")H & tel K tel ")H
~exa dat ")H 9 dat H w tel ")H 9 ) tel H
el}aldet
dat "K & H' 9 dat K dat H ) tel K tel H
Me et}kt jxiuckt te memudel }kihgl ec tela me ck tuik w me ck mgjexeldgk me K w H,
K~cgdklma ckt g`ukcmkmet dat "r )!8 9 tel r w tel "r )!8 9 ) dat r# te }gele?
k tel "K & H 9 dat V"K & H ) !8Y9 dat VK & "H )!8Y
9 dat K dat "H ) !8 ) tel K tel "H ) !89 dat K tel H ) tel K ") dat H
el}aldet te etdxghe el ul ieoax axmel kt?
tel "K & H' 9 tel K dat H & tel H dat K
h Te memude ck jxiuck me tel "K ) H# k ~kx}gx
me ck jxiuck me ck tuik# kt?
tel "K ) H 9 tel VK & ") HY
9 tel K dat ") H & tel ") H dat K
el}aldet# zkcaxklma ckt juldgalet me ) H#
tel "K ) H' 9 tel K dat H ) tel H dat K
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
17/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;82
Eoei~cat? Dkcduckx
k tel;8
5 9 tel '"=:
9 tel:
dat=
& tel=
dat:
9 84
8
8
8
8
8
;
# me malme
tel;8
5 9 '4;"=
8
h dat ;5 9 dat "=5 ) 4>
9 dat =5 dat 4> & tel =5 tel 4>
98;
88
84
88 # me malme
dat ;5 9 ';4"=
8
Kc jglkc zkiat k memudgx ck jxiuck ~kxk }kl "K H k ~kx}gx me tu mejglgdgl# kt?
telKtelHHK
KtelHHtelK
HK
HKtelHK
datdat
datdat
'dat"
'"'}kl"
mgzgmgelma }amat cat }xiglat me ck c}gik jxkddgl ~ax dat K dat H?
HtelH
KtelK
HtelH
KtelK
HKtelKtelH
HKHK
HKKtelH
HKHtelK
datdat
datdat
datdatdatdatdatdat
datdat
dat
datdat
dat
;
tut}g}uwelma ~ax ck mejglgdgl me }kl`el}e# te }gele {ue
HK
HKHK
}kl}kl;
}kl}kl'}kl"
w
HK
HKHK
}kl}kl;
}kl}kl'}kl"
8, Jxiuckt mec Kxda a l`uca Mahce
tel 8K 9 8 tel K dat K ~ax{ue tel "K & K 9 tel K dat K & tel K dat K,
dat 8K 9 dat5 K ) tel5 K ~ax{ue dat "K & K 9 dat K dat K ) tel K tel K,
K
KK
8}kl;
}kl88}kl
~ax{ue
KK
KKKK
}kl}kl;
}kl}kl'}kl"
Eoei~cat?
k ^kxk dkcduckx }kl ;> tg te dalade }kl 5 9 ) 4,42#
el}aldet
5}kl;
5}kl858}kl;>}kl
8
:=2,>=8,;>
0:,:
'42,4";
'42,4"88
h ^kxk dkcduckx dat 7> daladgma dat w tel me =5#
el}aldet
dat 7> 9 dat "8=5 9dat5 =5 ) tel5 =5
9 ">,0>05 ) ">,0>05 9 >
4, Jxiuckt mec Kxda a l`uca Ig}km,
Tkheiat {ue dat5 K & tel5 K 9 ; w {ue dat 8K 9 dat5 K ) tel5 K el}aldet te
tut}g}uwe el ck te`ulmk g`ukcmkm tel5 K dat5 K ~ax tu jxiuck e{ugzkcel}e me ck
~xgiexk? tel5 K 9 ; ) dat5 K # dat5 K 9 ; ) tel5K# w te ah}gele ck jxiuck me cktjuldgalet dgxduckxet ~kxk ec l`uca "a kxda ig}km?
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
18/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;87
dat 8K 9 dat5K ) tel5 K
dat 8K 9 dat5K ) "; ) dat5K
dat 8K 9 8dat5 K ) ;
Me malme met~eoklma dat5K te }gele
dat5 K 9 "dat 8K & ;!8# xeckdgl me K dal 8K,
8dat;
8;dat KK
8dat;
8; KKtel
Eoei~ca?
Tg dat =5 9 88; el}aldet dat 88,5# tel 88,5
te dkcduck k~cgdklma ck jxiuck kl}exgax?
78=,>8
;5,88dat 8
8
424,>8
;5,88 8
8
tel
Eoexdgdgat =,5
;, Dai~xuehe dal ck dkcduckmaxk {ue?
k tel 5 tel 8 & tel 4 h dat =,5 dat 8 & dat 8,5 d }kl 0 }kl ;> ) }kl 4m dat 4 dat =,8 ) dat ;,8 e tel : 8 tel 4 j dat 7 4 dat 4
8, K~cgdklma ckt jxiuckt# dkcduce er~xetklma dal xkmgdkcet?
k '":84
8 teltel h 'dat"dat:=;8
d '":=;8
teltel
m '}kl"}kl:=;8
5 e 'dat"dat4=;8
0 j '}kl"}kl4=;8
0
4, Xemudk ck er~xetgl k ulk juldgl me r k~cgdklma ckt jxiuckt "dai~kxe dal ck teddgl =,=?
k tel "r h ted "r d }kl "r
m dtd "r 8
e dat "r 8
j da} "r 8
=, Dai~xuehe tu~algelma r 9 =?k tel 8r 8 tel r h dat 4r 4 dat r d 8 tel 8r tel r
m 8 dat r dat 8 r e = }kl 4r }kl r j }kl 4r 4 }kl r
5, Tg tel r 9 4!5 w dat r 9 =!5# el}aldet dkcduce?
k tel 8r h ted 8r d }kl 8r m dat8
; r e dtd8
; r
:, Tg tel r 9 ) =!5 w dat w 9 5!;4 w tg r et} el ec }exdex dukmxkl}e w w et} el ec dukx}a dukmxkl}e#
el}aldet bkcce cat zkcaxet me
k tel "r & w# h dat "r ) w# d tel 8r# m dat 8w# e }kl8
; r,
0, Tg tel 9 >,2 w dat 9 ) >,5# w tg et} el ec te`ulma dukmxkl}e w el ec }exdex dukmxkl}e#
el}aldet bkcce cat zkcaxet me?
k tel " ) h dat " & d }kl " & m tel 8 e dat 8
2, Elduel}xe ck juldgl }xg`alai}xgdk me ul taca liexa "k~cg{ue ckt jxiuckt?
k tel 5 dat 4 ) tel 4 dat 5 h dat ;: dat 7 & tel ;: tel 7 d :,;;}kl5,4}kl;:,;;}kl5,4}kl
m dat 8; dat 2,4 ) tel 8; tel 2,4 e dat5 5 ) tel5 5 j 8 tel 2,: dat 2,:
7, Xkale ~ax {u tgei~xe dat 8K & ; et ~atg}gza a dexa# w ~ax daltg`ugel}e te ~ueme er}xkex xk
dukmxkmk, G`ukc tudeme ~kxk ; ) dat 8K,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
19/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;4>
=,: Gmel}gmkmet ]xg`alai}xgdkt Dgxduckxet
Ahoe}gzat?
k' Mejglgx ulk gmel}gmkm w tu maiglga
h' ]xkltjaxikx jxiuckt dai~cgdkmkt el a}xkt e{ugzkcel}et w it teldgcckt,
Ulk er~xetgl }xg`alai}xgdk dai~cgdkmk ~ueme }xkltjaxikxte# iemgkl}e dkihgat ~ax
jxiuckt e{ugzkcel}et# el ulk er~xetgl teldgcck w me xkl u}gcgmkm ~kxk cat dcducat,
El et}k teddgl tg`uel tgelma gi~ax}kl}et ckt jxiuckt et}umgkmkt ~kxk ck dgxduljexeldgk
ulg}kxgk# tahxe}ama ck cckikmk gmel}gmkm ~g}k`xgdk? tel5 r & dat5 r 9 ;# dgex}k ~kxk }ama r
xekc# ck mejglgdgl me }kl r 9 tel r!dat r# tg dat r > w }amkt ckt jxiuckt {ue te memudel
me et}kt g`ukcmkmet# daia ckt tg`ugel}et {ue ~kx}el me ck
Gmel}gmkm g}k`xgdk? tel5 r & dat5 r 9 ;# el}aldet
k }kl5 r & ; 9 ted5 r# {ue te ah}geleKc mgzgmgx ck gmel}gmkm ~g}k`xgdk ~ax dat5 r >
rr
r
r
rtel88
8
8
8
dat
;
dat
dat
dat w tut}g}ugx ~ax tu jxiuck
}kl8
r & ; 9 ted8
r
h da}5 r & ; 9 dtd5 r# {ue te ah}geleKc mgzgmgx ck gmel}gmkm ~g}k`xgdk ~ax tel5 r >
rtelrtel
r
rtel
rtel88
8
8
8 ;dat w tut}g}ugx ~ax tu jxiuck
; & da}8
r 9 dtd8
r
Ulk g`ukcmkm daia "; & tel r ";tel r 9 ; ) tel 8 r# {ue et dgex}k ~kxk }amat cat zkcaxet
xekcet me ck zkxgkhce r el kihat igeihxat# et cckikmk ulk gmel}gmkm }xg`alai}xgdk, Ck
dai~xahkdgl me et}kt gmel}gmkmet me~elme me ckt mejglgdgalet me ckt juldgalet a jxiuckt
}xg`alai}xgdkt w me ckt a~exkdgalet kc`ehxkgdkt,
Daia eoei~ca dai~xahkxeiat {ue rrtelr }kl
8
8dat; # tg tel 8r >,
rrtel
rtel
rrtel
rtelrtel
rrtel
rtelr
rrtel
rtelr
rtel
r
,dat,8
8
,dat,8,dat,8
'dat;"
,dat,8
'"dat;
8
8dat;8888888
r
r
rtel
,}kl,dat
,
Me etk iklexk te dai~xuehk a meiuet}xk ck g`ukcmkm# zexgjgdlmate ck gmel}gmkm a
e{ugzkceldgk me kihat igeihxat# {ue et dgex}k ~kxk }ama r tgei~xe {ue tel 8r >,
Mejglgdgl me Gmel}gmkm? Ulk gmel}gmkm et ulk g`ukcmkm me jxiuckt {ue tal zexmkmexkta te zexgjgdkl ~kxk }amat cat zkcaxet me tu maiglga,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
20/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;4;
Ec i}ama ~kxk meiat}xkx a dai~xahkx ulk gmel}gmkm daltgt}e el?
;, Me}exiglkx ec maiglga dail ~kxk kihat igeihxat me ck g`ukcmkm# {ue texl catxekcet erde~}uklma cat zkcaxet ~xabghgmat ~kxk ck zkxgkhce r,
8, Bkdex ckt a~exkdgalet kc`ehxkgdkt el ec igeihxa it dai~cgdkma,4, Tut}g}ugx cat }xiglat ~ax jxiuckt e{ugzkcel}et,
La}k? Bkw {ue }elex dugmkma kc u}gcgkx a~exkdgalet {ue dalmudkl k jxiuckt la e{ugzkcel}et,El ~kx}gduckx# bkw {ue }elex dugmkma dal ecezkdgl kc dukmxkma me kihat igeihxat a ck
er}xkddgl me xk dukmxkmk,
Me ck gmel}gmkm dat5r & tel5r 9 ;
te memude {ue tel5r 9 ; ) dat5r,
Cue`a# rrtel 8dat;,
Ec mahce tg`la uhgdk kc kxda r el }amat catdukmxkl}et mec ~ckla,
A}xk jaxik daxxed}k me etdxghgx tel r et
rrtel8
dat;,
El dkihga tg te etdxghe daia ~atg}gza
rrtel 8dat;,
tca te et} xejgxgelma kc kxda r mec G w GGdukmxkl}et mec ~ckla,
Eoei~cat me meiat}xkdgalet me a}xkt gmel}gmkmet?
k rr
telr
telr
r,dtd8
dat;
dat;
#
^xgiexa# ec maiglga tal cat xekcet ielat cat zkcaxet
malme tel r 9 > w "; & dat r 9 >,
Te`ulma# ejed}ukx ck tuik w tgi~cgjgdkdgl el ec ;ex,
igeihxa# kc jglkc tut}g}ugx ~ax tu e{ugzkcel}e?
',dat;",
'"dat,dat8;
',dat;",
',dat;"
,dat;,
,,dat;
8888
rrtel
rtelrr
rrtel
rtelr
rrtel
rtelr
rrtelrrtel
r
rrtelr ,dtd8
,8
',dat;",
',dat;"8
',dat;",;,dat8;
??
hrrr
rrtel
ted;
;
datdat8
;dat88
8
^xgiexa# ec maiglga tal cat xekcet ielat cat zkcaxet
malme te kluckl cat melaiglkmaxet,
Te`ulma# bkdex tut}g}udgalet el ec ;ex, igeihxa?
'dat;'"dat;"'dat;"
datdat8
'dat;"'dat;"
;dat8'dat;"
datdat8
;dat8 8
8
8
8
8
rrrrr
rr
rr
rr
rrtel
rrrr
rr
rr
rr
r
rr
dat!'dat;"dat!dat
dat;dat
'dat8'"dat;"
'dat8"dat
'Ydat;";dat'V;"
'dat8"dat
rr
ted;
;
;
;
dat;
Eoexdgdgat =,:
Meiuet}xe ckt tg`ugel}et gmel}gmkmet# me}exiglklma tu
maiglga ~xezgkiel}e?
;, rrr dat8datdat==
8, rrrrtel
dtd'da}"dat;
'"
4, telrrtelrtelrtelr '"'"'"dat8 =, ; ) dat 8r 9 8 tel5 r
5, rrr da}
}kl;da};
:, telrrr
ted}kl
0, rtelrrrtelr 8
da}}klted
2,telrr
rtelr
;dat
dat;
7, dat"r & w dat w & tel"r & w tel w 9 dat r
;>, tel r "da} r & dtd r 9 ; & dat r
;;, tel 8r }kl r 9 8 tel5 r
;8, da} r tel 8r ) ; 9 dat 8r
;4, ; & dat 8r 9 8 dat5 r
;=, dat=
r ) tel=
r 9 dat 8r
;5, tel =r dat 8r & tel 8r dat =r 9 8 tel 4r dat 4r
;:, }kl r "; & dat 8r 9 tel 8r
;0, = dat5 r ) = dat=
r 9 tel5 8r
;2, }kl 8r "; & dat r 9 tel r
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
21/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;48
=,0 @xjgdkt me ckt Juldgalet ]xg`alai}xgdk Dgxduckxet,
Ahoe}gzat?
k' Mejglgx ckt juldgalet ~exgmgdkt,
h' @xkjgdkx ckt juldgalet }xg`alai}xgdktd' Klkcgkx tut `xjgdkt? Gl}exteddgalet dal cat eoet# mgtdal}glugmkmet# ktl}a}kt#
gl}exzkcat me dxedgigel}a w me medxedgigel}a# zkcaxet irgiat w ilgiat#
~kxgmkm# w a}xat,
Ckt xjgdkt me ckt juldgalet tel } w dat } tal me jaxik (almuckmk(# a ieoax tal duxzkt ualmkt tglutagmkcet {ue te xe~g}el glmejglgmkiel}e# et medgx tal ~exgmgdkt,Et}kttglutagmet tal gi~ax}kl}et el ckt dgeldgkt# }kl}a el ckt lk}uxkcet daia el ckt tadgkcet,
Juldgl exgmgdk?El cel`ukoe jkigcgkx# ulk juldgl et ~exgmgdk duklma tut zkcaxet "a `xjgdk te xe~g}e dkmk
dgex}a gl}exzkca, Me iklexk jaxikc mkxeiat ck tg`ugel}e mejglgdgl?
Mejglgdgl? Ulk juldgl la dalt}kl}e j"r et ulk juldgl ~exgmgdk tg ~kxk }ama r xekc#r 9 k & ~l# el}aldet j"r 9 j"k & l~ 9 j"k# malme ~ < ># l et el}exa w > k3 ~, Te cckik~exama me ck juldgl kc ielax liexa xekc ~atg}gza ~ {ue zexgjgdk ck g`ukcmkm j"r & ~ 9j"r,
Ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt dgxduckxet dat }# tel } tal juldgalet ~exgmgdkt me ~exgama
8 # ~ax{ue dat "} & 8l 9 dat }# ~kxk }ama l el}exa
tel "} & 8l 9 tel }# ~kxk }ama l el}exa
Ck juldgl }kl } et ~exgmgdk me ~exama # daia ca tkhx met~ut# kul{ue wk ~ueme zexgjgdkxca dalck dkcduckmaxk# kt?
}kl "} & l 9 }kl }# malme l et dukc{ugex el}exa,
Eoei~cat? Dai~xuehe ei~ceklma ck dkcduckmaxk?
tel ;4,0:: 9 tel ";,8 & = 9 tel ;,8 9 >,748
dat ");0,:5 9 dat ";,8 ) : 9 dat ;,8 9 >,4:4
}kl =,4=8 9 }kl ";,8 & 9 }kl ;,8 9 8,508
}kl ");=,5>2 9 }kl ";,8 ) 5 9 }kl ;,8 9 8,508
}kl "0,=24 9 }kl ";,8 & 8 9 }kl ;,8 9 8,50>
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
22/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;44
@xjgdk me Tela? j "}' 9 tel },
Ck juldgl tela } et ck axmelkmk daxxet~almgel}e kc ~ul}a "} el ck dgxduljexeldgkulg}kxgk, K }ama zkcax xekc } ck juldgl tela } ce ktg`lk ul zkcax mec gl}exzkca V);# ;Y,
^kxk }xkkx ck `xjgdk me tel }# tkhgelma {ue et juldgl gi~kx w me ~exama 8 # glgdgkxeiatdal cat zkcaxet mec ~xgiex ~exama 8 e{ugzkcel}e k ulk zuec}k dai~ce}k k ck
dgxduljexeldgk ulg}kxgk "el ec tel}gma ~atg}gza, Dkcduckiat zkcaxet ~kxk j"} 9 tel }# el ec
~exama > } 3 8 w xkl`a ); tel } ;# {ue }khuckiat el ec tg`ugel}e dukmxa?
kxda } > !: != !4 !8 8!4 4!= 5!:
tel } > >,5 >,0; >,20 ; >,20 >,0; >,5 >
kxda } 0!: 5!= =!4 4!8 5!4 0!= ;;!: 8
tel } > )>,5 )>,0; )>,20 ) ; )>,20 )>,0; ) >,5 >
Ck juldgl j"} 9 tel } et ~exgmgdk me ~exama 8 # el}aldet tu almk tglutagmkc dai~ce}k
}xkkmk el ec gl}exzkca V># 8 V te xe~g}e el cat tg`ugel}et ~examat V8 # = V# V= # : V#
,,, w ~kxk cat le`k}gzat V)8 # >V# V)= # )8 V# ,,,
Ec maiglga me j"} 9 tel } et ec daloul}a me
cat liexat xekcet a tek }ama ec eoe R# {ue
te (elxacck( "el kihat tel}gmat el ck
dgxduljexeldgk ulg}kxgk6 w tu xkl`a et ecgl}exzkcaV );# ;Y,
Ck juldgl et gi~kx# tel ")} 9 ) tel }# ~ax
daltg`ugel}e tca bkhx {ue dkihgkx tg`la k
}amat cat zkcaxet me } w me tel } ~kxk }elex
cat zkcaxet mec gl}exzkca V)8 # > V# w }xkkxck `xjgdk dai~ce}k el V)8 # 8 V?
j"} 9 tel }
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
23/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;4=
@xjgdk me Datela? j "}' 9 dat },
Ck juldgl dat } et ck khtdgtk daxxet~almgel}e kc ~ul}a "} el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk, K}ama zkcax xekc } ck juldgl datela } ce ktg`lk ul zkcax mec gl}exzkca V);# ;Y,
^kxk }xkkx ck `xjgdk me dat }# tkhgelma {ue et juldgl ~kx w me ~exama 8 # glgdgkxeiatdal cat zkcaxet mec ~xgiex ~exama 8 e{ugzkcel}e k ulk zuec}k dai~ce}k k ck
dgxduljexeldgk ulg}kxgk "el ec tel}gma ~atg}gza, Dkcduckiat zkcaxet ~kxk j"} 9 dat }# el ec
~exama > } 3 8 w xkl`a ); dat } ;# {ue }khuckiat el ec tg`ugel}e dukmxa?
kxda } > !: != !4 !8 8!4 4!= 5!:
dat } ; >,20 >,0; >,5 > )>,5 )>,0; )>,20 );
kxda } 0!: 5!= =!4 4!8 5!4 0!= ;;!: 8
dat } ); )>,20 )>,0; )>,5 > >,5 >,0; >,20 ;
Ck juldgl j"} 9 dat } et ~exgmgdk me ~exama 8 # el}aldet tu almk tglutagmkc }xkkmk el
ec gl}exzkca V># 8 V te xe~g}e el cat tg`ugel}et ~examat V8 # = V# V= # : V# ,,, w ~kxk
cat le`k}gzat V)8 # >V# V)= # )8 V# ,,,
Ec maiglga me j"} 9 dat } et ec daloul}a
me cat liexat xekcet a tek }ama ec eoe R#
{ue te (elxacck( el ck dgxduljexeldgk
ulg}kxgk, Tu xkl`a et ec gl}exzkca V);# ;Y,
Ck juldgl et ~kx# dat ")} 9 dat }# ~ax
daltg`ugel}e tca bkhx {ue dkihgkx
tg`la k }amat cat zkcaxet me } w daltexzkx
cat igtiat me dat }# el ckt }khckt
kl}exgaxet# ~kxk }elex cat zkcaxet mec
gl}exzkca V)8 # > V# w }xkkx ck `xjgdkdai~ce}k el V)8 # 8 V?
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
24/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;45
La}k? ;, Ahtexze {ue tg el ck xjgdk me tel } te }xktckmk ec Eoe W k } 9!8 te ah}gele ck `xjgdkme dat }# ~ax{ue dat } 9 tel "} &! 8, El dkihga# tg el ck xjgdk me dat } te }xktckmk ec Eoe W k } 9)!8 te ah}gele ck `xjgdk me tel }# ~ax{ue tel } 9dat "} )! 8,
8, ^kxk ec lgzec me et}e duxta te ~xejgexe zkcaxkx } dal liexat xekcet el cu`kx me } el ec
gl}exzkca V)4:># 4:>V#
@xjgdkt me ckt meit Juldgalet? }kl`el}e }# da}kl`el}e }# tedkl}e } w datedkl}e}# talxetuc}kmat me mgzgtgalet# w ~ax daltg`ugel}e me tu maiglga te erdcuwel cat zkcaxet {ue
kluckl kc mgzgtax, El et}at zkcaxet dexat mec melaiglkmax# mgdbkt juldgalet tal
mgtdal}glukt w mkl axg`el k ktl}a}kt zex}gdkcet {ue me}exiglkl tut `xjgdkt,
@xjgdk me ]kl`el}e? j"}' 9 }kl }?
Ck juldgl }kl } et ec dadgel}e tel }!dat }# malme dat }
> w tu xe~xetel}kdgl# el ckteddgl =,8# te bga dal ec dk}e}a me ecezkdgl [X mec }xgl`uca AX[ teieokl}e kc
}xgl`uca AI^ el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk, Et}e dk}e}a et ck }kl`el}e el ec ~ul}a
X ";#> gl}exde~}kmk ~ax ck ~xacal`kdgl me ck bg~a}elutk a xkmga A^, Ck juldgl }kl } et
mgtdal}gluk el cat zkcaxet me } malme dat } et dexa# }kc {ue tal ~xabghgmat cat zkcaxet me
} 98
# 8
4 #8
5 #,,, w el `elexkc# } 9 "8l & ;8
# a tek {ue }amat cat ic}g~cat gi~kxet
"8l & ; me !8 daxxet~almel k tut ktl}a}kt zex}gdkcet, Tu maiglga tal cat xekcet#
erde~}uklma cat zkcaxet me mgtdal}glugmkm? M 9 ) v} 9 "8l & ;8
# malme
l _y w tu xkl`a tal cat liexat xekcet ,
^kxk }xkkx ck `xjgdk me }kl } el ec gl}exzkca V># 8 V# te }khuckl kc`ulat zkcaxetgi~ax}kl}et el ec tg`ugel}e dukmxa?
kxda } > !: != !4 !8 8!4 4!= 5!:
}kl } > >,52 ; ;,04 );,04 ); )>,52 >
kxda } 0!: 5!= =!4 4!8 5!4 0!= ;;!: 8
}kl } > >,52 ; ;,04 );,04 ); )>,52 >
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
25/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;4:
Ck juldgl j"} 9 }kl } et dxedgel}e w dal ~exama #
tu ~xgiex gl}exzkca dai~ce}a et88
} ,
Kmeit# ck juldgl }kl } et gi~kx
~ax{ue }} }}tel
}}tel ,}kl'}kl" ,dat
,'dat"'"
me iklexk {ue tca bkhx {ue dkihgkx tg`la k }amat
cat zkcaxet }khuckmat ~kxk `xkjgdkx ckt a}xkt xkikt
daxxet~almgel}et k }kl } el cat xekcet le`k}gzat,
j"} 9 }kl }# dal M 9 ) v} 9 "8l & ;8
# l _y
X 9 ,
@xjgdk me Da}kl`el}e? j"}' 9 da} }?
Et}k juldgl da} } et ck xed~xadk me }kl }# a tek ;!}kl } 9 dat }!tel }# malme tel } ># el
`elexkc } l # a tek }amat cat ic}g~cat me daxxet~almel k tut ktl}a}kt zex}gdkcet, Tu
maiglga tal cat xekcet erde~}uklma cat zkcaxet me mgtdal}glugmkm# el}aldet M 9 ) v} 9
l # malme l _y w tu xkl`a tal cat liexat xekcet , Ck juldgl da} } et gi~kx w
medxedgel}e,
^kxk }xkkx ck `xjgdk me da} } el ec gl}exzkca V># 8 V# te }khuckl kc`ulat zkcaxet
gi~ax}kl}et el ec tg`ugel}e dukmxa?
kxda } > !: != !4 !8 8!4 4!= 5!:
da} } ;,04 ; >,52 > )>,52 ); );,04
kxda } 0!: 5!= =!4 4!8 5!4 0!= ;;!: 8
da} } ;,04 ; >,52 > )>,52 ); );,04
Ck juldgl j"} 9 da} } et medxedgel}e w dal ~exama #
tu ~xgiex gl}exzkca dai~ce}a et > 3 } 3 ,
Kmeit# ck juldgl da} } et gi~kx ~ax{ue
Da} ")} 9 ;!}kl")} 9 ) ;!}kl } 9 ) da} },
me iklexk {ue tca bkhx {ue dkihgkx tg`la k }amat
cat zkcaxet }khuckmat ~kxk xkjgdkx a}xkt xkikt
daxxet~almgel}et k da} }# ~ax tgie}xk kc axg`el,
j"} 9 da} }# dal M 9 ) v} 9 l # l _y
X 9 ,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
26/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;40
@xjgdk me Tedkl}e? j"}' 9 ted },
Ck juldgl ted } et ck xed~xadk me dat }#
ted } 9}dat
; # tg dat } >, Cat ~ul}at me
mgtdal}glugmkm tal cat dexat me dat }# el
#,,,## 85848; }
El `elexkc#8
';8" l} # et ck edukdgl me tut
ktl}a}kt, M 9 ) v"8l & ;8
# l_y w xkl`a et
X 9 Y) # ) ;Y V;# V,
@xjgdk me Datedkl}e? j"}' 9 dtd },
Ck juldgl dtd } et ck xed~xadk me tel }#
dtd } 9tel}
; # tg tel } >, Cat ~ul}at me
mgtdal}glugmkm tal cat dexat me tel }# el
} 9 ># # 8 # ,,,
El `elexkc# } 9 let ck edukdgl me tut ktl}a}kt,
M 9 ) v l # l_y w xkl`a etX 9 Y) # ) ;Y V;# V,
Eoexdgdgat =,0
;, Tg ckt juldgalet tel } w dat } tal juldgalet
~exgmgdkt me ~exama 8 :,82 a hgel 4:>#el}aldet etdxghk ck juldgl j"} & 8l 9 j"}
j"} & 4:>l 9 j"}# malme } V># 8 V a
} V># 4:>V# l et ul liexa el}exa l_,
k tel 4 h dat =>> d tel ;>>>m dat 2,82 e tel ")8,82 j dat ;5,4
` tel ;8,4 b dat ") ;> g dat ")82>
8, Tg juldgalet dukcet{ugexk tal ~exgmgdkt dal
~exama ~ }kc {ue j"k & ~l 9 j"k# tg k V># ~Vw l _# w tg el ~kx}gduckx te }gele?k j"k & 4l 9 j"k el}aldet xemudk j"2
h j"k & 8,5l 9 j"k el}aldet xemudk j";=
d j"k & 4,;l 9 j"k el}aldet xemudk j");>
4, Dal ckt `xjgdkt me ckt juldgalet }xg`alai)
}xgdkt# glmg{ue?
k Maiglga w xkl`a me dkmk ulk w tu ~exama,
h Dcktgj{ueckt el dal}glukt w mgtdal}glukt, M
cat ~ul}at me mgtdal}glugmkm w ckt ktl}a}kt,
d Gl}exzkcat me dxedgigel}a w medxedgigel}a el
ec gl}exzkca ~xgldg~kc,
m Zkcaxet irgiat w ilgiat me dkmk
juldgl,
e Klkcgde ck ~kxgmkm me dkmk juldgl,
=, Etdxghk daia juldgl me }# te`l ec eoei~ca?
}}tel
}
}
}tel} ,da}
,
,dat
dat'}kl"
8
8
8
k ted ")} h }kl ")} d da} "} &
m dtd 8
} e ted 8
} j dtd }8
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
27/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;42
=,2 @elexkcgmkmet me ck @xjgdk me Tela,
Ahoe}gzat?
k' @xkjgdkx ck juldgl `elexkc j"r' 9 K tel "H r & D',
h' Me}exiglkx ck ki~cg}um# ~exama w jkte "metjkte' me ck juldgl,
Ki~cg}um w Jkte "metjkte',Duklma ulk juldgl ~exgmgdk }gele ul zkcax irgia I w ul zkcax ilgia i# te mgde {ue
ck ki~cg}um et ck ig}km me ck mgjexeldgk el}xe ec zkcax irgia I w ec zkcax ilgia i# atek 8 "I ) i, Tg ec zkcax irgia me tel r et ; w ec ilgia et );# el}aldet tu ki~cg}um et
ula# a tek 8V; ) ");Y 9 8"8 9 ;,
Duklma ck juldgl ~exgmgdk }gele gl}exzkca ~xgldg~kc k r 3 h ~kxk ulk duxzk dai~ce}k#
el}aldet tu ~exama et ck mgt}kldgk me mgdba gl}exzkca h ) k6 w ck jkte et
r 9 k {ue et ec zkcax me r malme daigelk ck xjgdk, Tg tel r }gele daia gl}exzkca> r 3 8 tu ~exama et 8 ) > 9 8 w jkte ># et medgx daigelk el ec axg`el mectgt}eik me daaxmelkmkt tu almk ck dai~ce}k "dxet}k)zkcce el ec gl}exzkca me > k 8 ,
Te et}umgkxl dal eoei~cat kc`ulkt zkxgkdgalet me ck juldgl j"r 9 tel r duklma cat
daejgdgel}et me ck juldgl w mec kx`uiel}a r tal mgt}gl}at me ;,
@xjgdk me j"r' 9 4 tel r,
Duklma r 9 8 a hgel r 9 8 & 8l# te
ah}gele 4 daia zkcax irgia me 4 tel r#cue`a ec daejgdgel}e 4 et ck ki~cg}um me ck almk
tglutagmkc,
El `elexkc# tg j"r 9 K tel r# el}aldet K et ck
ki~cg}um me ck almk,
Ec ~exama tg`ue tgelma 8 ~kxkj"r9 4 tel r a ~kxk j"r9 K tel r,
@xjgdk me j"r' 9 tel 8r,
Duklma ec kx`uiel}a me tela et 8r# t}e zkxk el
ec gl}exzkca
> 8r 3 8 {ue e{ugzkce k> r 3 # cue`a ec ~exama et ~kxk ulk almk dai~ce}k me ki~cg}um ;,
El `elexkc# tg j"r 9 tel Hr# el}aldet tu ~exama
et 8!H,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
28/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;47
@xjgdk me j"r' 9 tel "r & !=',
Duklma ec kx`uiel}a me tela et r & != t}ezkxk el ec gl}exzkca
>
r & != 3 8 {ue e{ugzkce k)!= r 3 0!=# cue`a ck jkte "metjkte et )!= ~kxk ulk almk dai~ce}k me ki~cg}um ;,
El `elexkc# tg j"r 9 tel "Hr & D# el}aldet tu
jkte et ) D!H a tek ulk }xktckdgl el ec eoe R,
El xetuiel# ck zkxgkdgl me xjgdkt ~kxk "r 9 tela r# te ~xetel}kl k dal}glukdgl?
j"r 9 8 tel r j"r 9 tel "4r j"r 9 tel "4r;
@elexkcgmkmet meck xjgdk mec Tela?j"r' 9 K tel "Hr & D',
^kxk et}k juldgl ck ki~cg}um me almk et K,
Duklma ec kx`uiel}a me tela et Hr & D# t}e
zkxk el ec gl}exzkca
> Hr & D 3 8 {ue e{ugzkce k)D!H r 3 "8 ) D!H# cue`a
ec ~exama et "8 ) D!H") D!H 9 8!Hw tu jkte "a metjkte et ) D!H# malme daigelk ckalmk# a tek ulk }xktckdgl el ec Eoe R#,
Tg j"r 9 8 tel "4r; el}aldet tu ki~cg}um et
8# tu ~exama et 8!4# w tu jkte et ;!4,
Eoexdgdgat =,2
@xkjg{ue ckt tg`ugel}et juldgalet e glmg{ue tu ki~cg}um# ~exama w jkte# tg?
k w 9 ) tel r h w 9 4 tel 8r d w 9 8 tel "r ) !=
m w 9 8 tel "8r )!4 e w 9 4 dat 8r j w 9 }kl "r & !8` w 9 4 }kl 8r b w 9 8 dat "r ) != g w 9 }kl "4r ) !8
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
29/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=>
=,7 Juldgalet ]xg`alai}xgdkt Glzextkt,
Ahoe}gzat?
k' Mejglgx cat daloul}at kxd tel k# kxd dat k# w cat meit,h' Mejglgx ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt glzextkt ~kxk ckt juldgalet xet}xgl`gmkt,
d' Dkcduckx zkcaxet me juldgalet glzextkt,
Zkcaxet Glzextat,
El teddgalet kl}exgaxet dkcduckiat ckt juldgalet dgxduckxet ~kxk kxdat me ck dgxduljexeldgk
ulg}kxgk a ~kxk l`ucat del}xkcet iemgmat el xkmgklet a `xkmat, Utkiat ckt daaxmelkmkt
mec ~ul}a me ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# ck dkcduckmaxk a jxiuckt e{ugzkcel}et ~kxk
dkcduckx? tel!: 9 >,5# }kl != 9 ;# dat ;5> a 9 ) >,2::,,,
Kbaxk }xk}kxeiat ec ~xahceik glzexta# ~ax eoei~ca tg tel } 9 >,5 duc et ec zkcax me }1 Te
zk k xetaczex ck edukdgl tel } 9 k# bkccklma cat zkcaxet me }# ca {ue e{ugzkce k xetaczex tu
glzextk# mela}kmk ~ax } 9 kxd tel k# a hgel# tela glzexta me k "tel ; k 9 },
Ck `xjgdk me j"r 9 tel r dal w 9;!8#
jaxikl ck edukdgl tel r 9 # duwk
tacudgl tal zkxgat zkcaxet me r daia cattg`ugel}et?!:# 5!:# ;4!:# ;0!:#) 0!:# ) ;;!:#,,, "dax}et me ckt xjgdkt
Cue`a# T et ck tacudgl rkxd tel # T9 v!: & 8l # 5!: & 8l # l _y
Ck edukdgl tel r 9 k }gele gljglg}kt tacudgalet {ue dalt}g}uwel ec daloul}a mela}kma ~ax
kxd tel k# {ue te cee kxda tela me k, ]amk edukdgl dal juldgalet }xg`alai}xgdktdgxduckxet }gele ul daloul}a kxd,,, daia tacudgl ~kxk r# kt?
j"r9 k tel r 9 k dat r 9 k }kl r 9 k da} r 9 k ted r 9 k dtd r 9 k
r T 9 kxd tel k kxd dat k kxd }kl k kxd da} k kxd ted k kxd dtd k
El ck dkcduckmaxk te ah}gele tca ec zkcax ~xgldg~kc me cat kxd ~xetgalklma ckt }edckt malme te
cee tel ; k# dat ; k# }kl ; k "ec er~alel}e; la tg`lgjgdk ;!tel k#,,, ^exa ~kxk ckt juldgalet {uela k~kxedel te dkcduckl dal ck e{ugzkceldgk? kxd da} k 9 kxd }kl ;!k# kxd ted k 9 kxd dat ;!k#
kxd dtd k 9 kxd tel ;!k# tg k >, Ck dkcduckmaxk mga cat tg`ugel}et zkcaxet ~xgldg~kcet?
; kxd dat ") >,2:: 9 8,:;07 9 5!:8 kxd ted ") 4 9 kxd dat ");!4 9 ;,7;>:
4 kxd }kl "}kl !4 9 kxd }kl ;,04;>5 9 ;,>=8> 9 !4
= dat "kxd dat 4!8 9 dat!: 9 4!8
5 kxd dat "}kl ") 4!= 9 kxd dat ; 9 >
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
30/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=;
La}k? El ck dkcduckmaxk ec zkcax me kxd tel >,05= et >,25=# ~exa kxd tel 8 ikxdk exxax# ~ax{ue 8 laet} el ec Maiglga me kxd tel r# xeduexme {ue ec zkcax irgia me tel r et ;,
Eoei~ca ;?
Bkcce ec daloul}a kxd dat ") 8!8,
kxd dat ") 8!8 9 vr ? dat r 9 ) 8!8y9 v4!=# 5!=# ) 4!=# ) 5!=#,,,y9 v4!= & 8l# 5!= & 8l# l _y
Eoei~ca 8,
Bkcce ec daloul}a kxd dtd 8! 4 ,
kxd dtd 8! 4 9 vr ? dtd r 9 8! 4 y
9 v!4# 8!4# ) =!4# ) 5!4#,,,y9 v!4 & 8l# 8!4 & 8l # l _y
Eoei~ca 4, Tg } kxd }kl4
; bkcce tel },
Tg } kxd }kl4
; }kl } 94
;
Te tkhe {ue }kl5 } & ; 9 ted5 }# el}aldet
7
; & ; 9 ted5 },
Cue`a7
;> 9 ted5 } ;>
7 9 dat5 }#
tel5 } 9 ; ) dat5 } 9 ; );>
7 9;>
;
tel } 9;>
;> el ec G dukmxkl}e
tel } 9 );>
;> el ec GGG dukmxkl}e
Eoei~ca =,
^xahkx {ue kxd ted k 9 kxd datk
; # tg k >,
Meiat}xkdgl?
Tek } 9 kxd ted kted } 9 k, ^exa ted } 9 }dat; #
El}aldet #}dat
; 9 k dat } 9k
;
Me malme# }kihgl } 9 kxd datk
;
Cue`a# kxd ted k 9 kxd datk
; # tg k >,
Xet}xgddgalet me ckt Juldgalet ]xg`alai}xgdkt, Mejglgdgalet me tutGlzextkt,
Ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt dgxduckxet tal ~exgmgdktte xe~g}el el tu maiglga~ax
daltg`ugel}e la tal juldgalet glwed}gzkt "la tal ula k ula, Ckt glzextkt me et}kt
juldgalet la tal juldgalet, Te gl}ex~xe}kl me ck tg`ugel}e iklexk?
Juldgl mgxed}k Tu glzextk La et juldgl, La gl}ex~xe}e daia g`ukcet
w 9 tel r r 9 tel w w 9 kxd tel r 9 tel ; r tel ; r "tel r ; 9 telr;
w 9 dat r r 9 dat w w 9 kxd dat r 9 dat ; r dat ; r "dat r ; 9rdat
;
w 9 }kl r r 9 }kl w w 9 kxd }kl r 9 dat ; r }kl ; r "}kl r ; 9 telr;
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
31/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=8
^kxk {ue ckt glzextkt me ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt dgxduckxet tekl juldgalet# et ledetkxga bkdex
glwed}gzkt k ckt juldgalet mgxed}kt iemgkl}e ck xet}xgddgl me tut maiglgat k ul gl}exzkca
dalzelgel}e malme tu `xjgdk tek tca dxedgel}e a medxedgel}e,
Et}k juldgl xet}xgl`gmk# te mela}k etdxghgelma tu glgdgkc dal ce}xk ikwtduck? Tel# Dat# ]kl#,,, et
glwed}gzk dal tu xet~ed}gzk juldgl glzextk? Kxd tel# Kxd dat# Kxd }kl#,,,
;, Ck juldgl dgxduckx w 9 tel r et ~exgmgdk el }ama tu
maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl dal}gluk
w tu glzextk w 9 kxd tel r la et juldgl,
Ec xedukmxa iuet}xk ck xet}xgddgl ledetkxgk ~kxk {ue
w 9 tel r # tek ulk juldgl glwed}gzk?
) !8 r !8 w ) ; w ;,
Ck juldgl w 9 tel r xet}xgl`gmk et dxedgel}e
Ck juldgl w 9 Tel r et ck xet}xgl`gmk mew 9 tel r kc gl}exzkca ) !8 r !8 daiamaiglga# w dal ) ; w ; daia xkl`a,
Me et}k iklexk# ck juldgl
w 9 Tel r tg et glwed}gzk w }gele juldgl glzextk w9 Kxd tel rduwa maiglga et V);# ;Y w xkl`a et V)!8#!8Y
w 9 Tel r w 9 Kxd tel r
Me iklexk teieokl}e te mejglel ckt meit juldgalet glzextkt ~kxk ckt xet}kl}et juldgalet
}xg`alai}xgdkt xet}xgl`gmkt,
8, Ck juldgl dgxduckx w 9 dat r et ~exgmgdk el }ama tu
maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl dal}gluk
w tu glzextk w 9 kxd dat r la et juldgl,
Ec xedukmxa iuet}xk ck xet}xgddgl ledetkxgk ~kxk {ue
w 9 dat r # tek ulk juldgl glwed}gzk?
> r w ) ; w ;,
Ck juldgl w 9 dat r xet}xgl`gmk et medxedgel}e
Ck juldgl w 9 Dat r et ck xet}xgl`gmk mew 9 dat r kc gl}exzkca
> r daia maiglga# w); w ; daia xkl`a,
El}aldet tu juldgl glzextk et
w 9 Kxd dat r# dalmaiglga ); r ; w xkl`a > w
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
32/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=4
=, Ck juldgl dgxduckx w 9 }kl r et ~exgmgdk el }ama tu
maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl
mgtdal}gluk el r 9 "8l & ;8
# tg "8l & ; tal
gi~kxet w tu glzextk w 9 kxd }kl r la et juldgl,
Ckt ktl}a}kt zex}gdkcet iuet}xkl ck xet}xgddgl
ledetkxgk "ck xkik ~xgldg~kc ~kxk {ue w 9 }kl r #
tek ulk juldgl glwed}gzk?
) !8 3 r 3!8 w ) 3 w 3
Ck juldgl w 9 }kl r et dxedgel}e
Ck juldgl w 9 ]kl r et ck xet}xgl`gmk mew 9 }kl r kc gl}exzkca
) !8 3 r 3!8 daia maiglga# w) 3 w 3 daia xkl`a,
El}aldet tu juldgl glzextk et
w 9 Kxd }kl r# dalmaiglga Y) # V w xkl`a Y) !8# !8V
=, Ck juldgl dgxduckx w 9 da} r et ~exgmgdk el }ama tu
maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl
mgtdal}gluk el r 9 l # l _ wtu glzextk w 9 kxd da} r la et juldgl,
Ckt ktl}a}kt zex}gdkcet iuet}xkl ck xet}xgddgl
ledetkxgk "ck xkik ~xgldg~kc ~kxk {ue
w 9 da} r # tek ulk juldgl glwed}gzk?
> 3 r 3 w ) 3 w 3
Ck juldgl w 9 da} r et medxedgel}e
Ck juldgl w 9 Da} r et ck xet}xgl`gmk
me w 9 da} r kc gl}exzkca
> 3 r 3 daia maiglga# w) 3 w 3 daia xkl`a,
El}aldet tu juldgl glzextk et
w 9 Kxd da} r# dal
maiglga Y) # V w xkl`a Y># V
La}k? ^ueme dai~kxkx ckt `xjgdkt me cat zkcaxet ~xgldg~kcet Kxd }kl r dal Kxd da} r w zexgjgdkx{ue? ^kxk }ama liexa xekc r# Kxd da} r 9
8
) Kxd }kl r,
"Ck `xjgdk me Kxd da} r te ah}gele dal cat a~uet}at me Kxd }kl r w }xktckmlmack8
el ec Eoe W,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
33/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;==
5, Ck juldgl dgxduckx w 9 ted r et ~exgmgdk el }ama
tu maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl
mgtdal}gluk el r 9 "8l & ;!8# l _ wtu glzextk w 9 kxd ted r la et juldgl,
Ckt xed}kt zex}gdkcet iuet}xkl ck xet}xgddgl
ledetkxgk ~kxk {ue
w 9 ted r # tek ulk juldgl glwed}gzk?
> 3 r 3 w ) 3 w 3
Ck juldgl w 9 Ted r et ck xet}xgl`gmkme
w 9 ted r kc gl}exzkca
V># !8V Y !8# Y daia maiglga#w
Y) # );Y V;# V daia xkl`a,
El}aldet tu juldgl glzextk et
w 9 Kxd ted r# dalmaiglga Y) # );Y V;# V
w xkl`a V># !8V Y !8# Y
:, Ck juldgl dgxduckx w 9 dtd r et ~exgmgdk el }ama
tu maiglga xekc w la et glwed}gzk, Et ulk juldgl
mgtdal}gluk el r 9 l # l _ w
tu glzextk w 9 kxd dtd r la et juldgl,
Ckt xed}kt zex}gdkcet iuet}xkl ck xet}xgddgl
ledetkxgk ~kxk {ue
w 9 ted r # tek ulk juldgl glwed}gzk?
)!8 3 r 3!8 w ) 3 w 3
Ck juldgl w 9 Dtd r et ck xet}xgl`gmk
me w 9 dtd r kc gl}exzkca
V)!8# !8Y ) v > y daia maiglga# w
Y) # );Y V;# V daia xkl`a,
El}aldet tu juldgl glzextk et
w 9 Kxd dtd r# dal
maiglga Y) # );Y V;# V
w xkl`a V)!8# !8Y ) v > y
La}k? Ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt glzextkt }gelel daia maiglga w daia xkl`a tuhdaloul}at mecat liexat xekcet, ueme klkcgkx el ckt xjgdkt tu dal}glugmkm# mgtdal}glugmkm# ktl}a}kt#
gl}exzkcat me dxedgigel}a w!a me medxedgigel}a# e}d,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
34/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=5
Cat ku}axet mgjgexel tahxe cat zkcaxet ~xgldg~kcet me ckt juldgalet dgxduckxet glzextkt, El}ama dkta# tgei~xe } 9 )!4 et e{ugzkcel}e k } 9 5!4# e}d,,, exa me kduexma k ckt `xjgdkt
kl}exgaxet# daltgmexkxeiat cat zkcaxet ~xgldg~kcet a xkl`at# kt?
Maiglga Kxd tel r Kxd dat r Kxd }kl r Kxd da} r Kxd ted r Kxd dtd rr3> V)!8# >V Y!8# Y Y)!8# >V Y!8# V Y!8# Y V)!8# >Vr > V># !8Y V># !8Y V># !8V Y>#!8Y V ># !8V Y ># !8Y
A~exkdgalet dal Juldgalet Dgxduckxet Glzextkt,
^kxk ck xekcgkdgl me ck dai~atgdgl me ulk juldgl mgxed}k dal tu glzextk te }gele el
duel}k ck xet}xgddgl me tut maiglgat w xkl`at, Zexgjg{ue cat tg`ugel}et eoei~cat?
;, Kxd dat "dat 8 9 Kxd dat ") >,=;:; 9 8, ^ax{ue Kxd dat "r 3 > Y!8# Y,
8, Kxd dat "dat )=
9 Kxd dat "8
8 9=
, ^ax{ue Kxd dat "r < > Y >#!8Y,
4, Kxd }kl "}kl "8 9 Kxd }kl "8,;25 9 ;,;=8, ^ax{ue Kxd }kl "r < > V># !8V,
=, tel "Kxd tel8
; 9 tel:
98
; , ^ax{ue Kxd tel "r < > V># !8V,
5, dtd "Kxd dtd "4 9 dtd ") >,58= 9 ) 8 ^ax{ue Kxd dtd "r 3 > V)!8# >V
^kxk a}xkt a~exkdgalet te ei~cekl ckt jxiuckt me gmel}gmkmet? gmel}gmkm ~g}k`xgdk# tuik#
xet}k# kxda mahce# ig}km me cat kx`uiel}at me ckt juldgalet, Kmeit# tgei~xe {ue tek
~atghce ~ueme dai~xahkx dal ck dkcduckmaxk,
Eoei~ca ;? Bkcce ec zkcax me dat "Kxd }kl ;85
,Te mehe dkcduckx? dat K# malme
K 9 Kxd }kl;8
5 # }kc {ue K Y >#!8Y,
]kl K 9;8
5 , ^exa ; & }kl8
K 9 ted8
K# el}aldet
; & ";8
5 8
9;==
;:7 9 ";8
;4 8
dat K 9;4
;8 # "~atg}gza ~ax{ue K Y >#!8Y,
dat "Kxd }kl;8
5 9;4
;8
Eoei~ca 8? Bkcce ec zkcax me }kl 8"Kxd dat 54
,Te mehe dkcduckx? }kl 8 K# malme
K 9 Kxd dat5
4 # }kc {ue K Y >#!8Y,
Dat K 95
4 , ^exa ; ) dat 8 K 9 tel 8 K
;"5
4 8 985
;:
Tel K 95
= }kl K 9K
telK
dat9
4
=
El}aldet }kl 8 K 9K
K8
}kl;
}kl8
9
8
4
=
4
=
'";
8
9 )
0
8= ,
}kl 8"Kxd dat5
4 9 )0
8= ,
Eoei~ca 4?
Zexgjg{ue? Kxd tel5
; & Kxd tel5
8 9 8
^kxk zexgjgdkxca te tu~ale {ue
K & H 9 8 w tel "K & H 9 tel 8
9 ;,
Cue`a# tg K & H 9 8 # K# H Y >#!8Y#malme
K 9 Kxd tel5
; # H 9 Kxd tel5
8
El}aldet# tel K 95
; # tel H 95
8 ,
W k~cgdklma tel8
} & dat8
} 9 ; te ah}gelel?
dat K 95
8 dat H 95
; ,
Metkxxaccklma w tut}g}uwelma el
Tel "K & H 9 Tel K dat H & tel H dat K
95
;
5
; &5
8
5
8 9 ; 9 tel 8
^ax ca }kl}a et dgex}a {ue K & H 9 8
a hgel
Kxd tel5
; & Kxd tel5
8 9 8
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
35/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=:
Eoexdgdgat =,7
;, Etdxghk el kihkt jaxikt ck glzextk me ckt
edukdgalet tg`ugel}et?
k dat r 9 h tel } 9 )
d }kl r 9 ) 8 m ted 9 4
8, Me}exigle cat eceiel}at mec gl}exzkca V># 8 V{ue jaxikl cat daloul}at?
k kxd dat 4!8 h kxd tel ") ;
d kxd }kl 4 m kxd ted ") 8 4!4
e tel);
>,5 j dat);
8!8
4, M ec ikwax zkcax el ec daloul}a V># 8 V ~kxk?
k kxd dat "dat!: h kxd dat " dat ")!=d kxd }kl "}kl ")!4 m dat "kxd dat ;e }kl "kxd }kl ; j ted "kxd ted 8
` tel "kxd }kl 4 b dat "kxd ted 8 4!4
=, Tg ck glzextk mkmk et }# el}aldet bkcce ck juldgl
glmgdkmk k tu ckma?
k Kxd dat 8!8# tel } h Kx} }kl 4 # ted }
d Kxd dtd 8 # }kl } m Kxd tel 4!8# dat }
5, ^kxk dkmk `xjgdk me ckt juldgalet }xg`alai}xgdkt
glzextkt glmg{ue? maiglga# xkl`a# ~ul}at memgtdal}glugmkm# ktl}a}kt# gl}exzkcat me dxedgigel}a w
me medxedgigel}a# zkcaxet irgiat w ilgiat el ec
dkta me {ue ck `xjgdk ~atek etkt dkxkd}ext}gdkt,
:, Bkcce w cadkcgde el tu xet~ed}gzk `xjgdk cat
zkcaxet me?
k Kxd tel >,245 h Kxd dat ") >,548
d Kxd }kl 5,8= m Kxd da} ") 8,48
e Kxd ted ")=,>45 j Kxd dtd 4,2=
0, Ezkce ckt tg`ugel}et er~xetgalet?
k da} "Kxd dat ;4;8 h dat "Kxd tel ") =4
d da} "Kxd }kl ")4
; m tel"8
; Kxd }kl ")8=
0
e dat "Kxd tel "5
= & Kxd }kl ");5
2
2, Er~xete el }xiglat me r e w?
k dat "Kxd tel 8r# r >
h tel"8
; Kxd dat w# w >
d dat "8 Kxd dat r# r < 8!8
m tel "Kxd }kl rKxd }kl w,
7, xuehe ckt gmel}gmkmet?k Kxd }kl
4
8 & Kxd }kl5
; 9 !=
h Kxd tel5
= & Kxd }kl=
4 9 !8
=,;> Edukdgalet ]xg`alai}xgdkt
Ahoe}gza?
Xetaczex edukdgalet }xg`alai}xgdkt,
Xetacudgl me Edukdgalet ]xg`alai}xgdkt,
^kxk me}exiglkx ec maiglga me ulk gmel}gmkm bkw {ue erde~}ukx cat zkcaxet {ue bkdel dexa
kc melaiglkmax a le`k}gza kc xkmgdklma me ulk xk dukmxkmk# el}aldet et ledetkxga
xetaczex edukdgalet e gledukdgalet }xg`alai}xgdkt daia ~ax eoei~ca?
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
36/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=0
k Xetaczex tel r 9 >,El ec gl}exzkca ~xgldg~kc# ckt tacudgalet tal?
r 9 ># # ~kxk > r 3 8 #
T 9 v># y,
^exa el elexkc ckt tacudgalet tal?
r 9 ># # 8 # 4 # ,,,
T 9 v l # l _ y
h Xetaczex 8 dat r & ; 9 ># e{ugzkce k
dat r 9 ) 8,
El}aldet ckt tacudgalet tal?
r 9 8!4 el ec GG dukmxkl}er 9 =!4 el ec GGG dukmxkl}e#
a tek el ec gl}exzkca ~xgldg~kc > r 3 8 ?
T 9 v 8!4# =!4 yEl `elexkc#
T 9 v8!4 & 8l# =!4 & 8l# l _ y
d Xetaczex }kl r ) ; ># el V># 8 Ve{ugzkce k }kl r ;#
@xjgdkiel}e ck tacudgl et
!= r 3!8 el ec G dukmxkl}e5!= r 3 4!8 el ec GGG dukmxkl}e
T 9V!=#!8V V5!=# 4!8V
Mejglgdgl? Ulk edukdgl }xg`alai}xgdk et ulk g`ukcmkm me juldgalet }xg`alai}xgdkt malme etledetkxga xetaczex a eldal}xkx cat zkcaxet me cat kxdat a l`ucat? gld`lg}kt me ck edukdgl,
Xetaczex Kxd dat "8r8
) ; 9 8 Kxd dat8
; ,
El}aldet Kxd dat "8r8
) ; 9 8"4
8r8
) ; 9 dat 8"4
8r8
) ; 9 )8
; r8
9=
;
r 9 8
; , T 9 v8
; y
Dai~xahkdgl? Kxd dat ")8
; 94
8 9 8 Kxd dat8
; ,
Xetaczex Kxd }kl r & Kxd }kl ";r 9 Kxd }kl4
=
Tekl K 9 Kxd }kl r r 9 }kl KH 9 Kxd }kl ";r ;r 9 }kl H
}kl "K & H 9 }kl "Kxd }kl4
= 94
=
>';8"8
4=
;
;';";
';"
}kl}kl;
}kl}kl8
r
rrrr
rr
HKHK
r 98
; , T 9 v8
; y, Dai~xuehe,
La bkw xe`ckt ~xd}gdkt ~kxk xetaczex ulk edukdgl }xg`alai}xgdk, Ckt ~xa~gemkmet me ulgjaxigmkm
me tuikx a iuc}g~cgdkx kihat igeihxat me ck edukdgl tg`uel tgelma }gcet# tgei~xe {ue te }el`k
ec dugmkma me iuc}g~cgdkx a mgzgmgx ~ax er~xetgalet la luckt, El a}xat dktat te ~ueme gl}el}kx
etdxghgx }amk ck edukdgl el ulk tack juldgl me ulk igtik zkxgkhce, A}xkt zedet te ~ueme gl}el}kx
metdai~alex el jkd}axet a k~cgdkx ck jxiuck me ck dukmx}gdk duklma ul dkihga me zkxgkhce tek
k~xa~gkma,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
37/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=2
Kc`ulat ~xademgigel}at texl gcut}xkmat dal eoei~cat w ck xet~uet}k te mkx ~kxk ec gl}exzkca
~xgldg~kc > r 3 8 , El dkta me {ue te metee `elexkcgkx# te ce tuikxl l ~examat k dkmktacudgl,
;, Xetaczex?8 tel5 r ) 4 tel r & ; 9 > el V># 8 V,
Te }xk}k ec ~xgiex igeihxa daia ul ~acglaiga me
te`ulma `xkma el tel r w jkd}axgkhce# kt
"8 tel r ) ;"tel r ) ; 9 >
Cue`a dkmk jkd}ax et g`ukc k dexa?
k 8 tel r ) ; 9 ># me malmetel r 9 8 r 9 kxd tel 8# el}aldetr 9 !:# G dukm,# r 9 5!:# GG dukm,
h tel r ) ; 9 >tel r 9 ; r 9 kxd tel ;# el}aldetr 9 !8
T 9 v !:# 5!:# !8 y
8, Xetaczex tel r & dat r 9 ; el V># 8 V,
El}aldet tel r 9 ;dat r te tut}g}uwe el ck
gmel}gmkm dat5 r & tel5 r 9 ;,
Xetuc}k dat5 r & ";dat r 5 9 ;
dat5 r & ; ) 8 dat r & dat5 r 9 ;
8 dat5 r ) 8 dat r 9 >
8 dat r "dat r ) ; 9 >
G`ukcklma dkmk jkd}ax k dexa# te }gele
k dat r 9 > r 9 !8# 4!8h dat r 9 ; r 9 >
T 9 v !8# 4!8# > y
4,Xetaczex dat5 8r & 4 tel 8r ) 4 9 > el V># 8 V
Tg dat5K & tel5 K 9 ;# el}aldet te memude
dat5 8r 9 ; ) tel5 8r,
Cue`a te tut}g}uwe el ck edukdgl mkmk?
"; ) tel5 8r & 4 tel 8r ) 4 9 >
) tel5 8r & 4 tel 8r ) 8 9 >
tel5 8r ) 4 tel 8r & 8 9 >
Te jkd}axgk ~kxk }elex?
"tel 8r ) 8"tel 8r ) ; 9 ># me malme
k tel 8r ) 8 9 > tel 8r 9 8# el}aldet labkw tacudgl ~ax{ue tel } V);# ;Yh tel 8r ) ; 9 > tel 8r 9 ;# el}aldet me
8r 9 !8# xetuc}k r 9 !=
T 9 v!= y
=, Xetaczex ted r & }kl r 9 > el V># 8 V,
Tut}g}uwk ckt juldgalet ~ax tut mejglgdgalet?
>datdat
;
r
telr
r >
dat
;
r
telr# tg dat r >
El}aldet# tel r 9 ) ; r 9 4!8~exa dat 4!8 9 > "la bkw tacudgl
T 9
Eoexdgdgat =,;>
;,Xetaczex ckt tg`ugel}et edukdgalet w mkx tu xet~uet}k
el ec gl}exzkca ~xgldg~kc > r 3 8 ?
k dat r 9 dat 8r h dat 8r 9 8
d 8 dat5 r ) dat r 9 > m dat 8r & dat r 9 ) ;
e tel 8r 9 4!8 j tel =r & tel 8r 9 >
` dtd r & da} r 9 4 b }kl 4r 9 ;
g }kl r & 4 da} r 9 = o 8 dat r 9 ; ) tel r
f 8 dat r & ted r 9 4 c ; & tel r 9 8 dat r
i }kl5 r ) 4 9 > l tel5r ) 8 tel r 9
);
da}5 r ) dtd r 9 ; a tel =r 9 ;
~ da}5 r & da} r 9 > { dtd5 r & ; 9 8 dtd r
8, M ck tacudgl `elexkc me dkmk edukdgl w ~xuehe tg
te }xk}k me ulk gmel}gmkm?
k =48
4
8
88
telrtelrtel h
48484
telteltel rr
d dat=
4r ) tel=
4r 9 dat :r
m tel 8r }kl5 8r ) }kl 8r 9 tel 8r
4,Xetueczkdkmk ulk me ckt tg`ugel}et edukdgalet?k Kxd }kl 8r & Kxd }kl r 9 !=h Kxd }kl r & Kxd }kl 4r 9 Kxd }kl 8
d Kxd dat r & 8Kxd tel r 9 Kxd dat ") # r < >,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
38/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;=7
XET^UET]KT ME CAT EOEXDGDGAT
ULGMKM =? Juldgalet ]xg`alai}xgdkt Dgxduckxet,Eoexdgdgat =,;;,
; m ; e ; j ; b
8 k ^"8!4 9 ^") =!4 h ^") 0!5 9 ^"4!5 d ^") 5!= 9 ^"4!=m ^")!8 9 ^"4!8 e ^"5 9 ^") ;,82 j ^") 2 9 ^"=,5:,
4, k 7!= h ;;!4 d ) 0!8 m ) !8,=,
} k h d m e j !8
4!8
!45!4
!=0!=
;,08
=,5:
4!=5!=
5,08
>,5:
5, k h ) !8 d 4!8 m 5!4 e ) 5!8 j !;8 ,:, k 5!: 8,:;2 h 4!8 =,0;8 d ) !8 ) ;,50;
m ) 8!7 ) >,:72 e 0!: 4,::5 j ) 8!4 ) 8,>7=,
0, k ;8> a h =5a d =5> a m ;=4a;= 8> e' ) 4>=a =2 5> j' =>;a = ;82, k 4: di, h 7,=8 di, d 82,80 di, m =0,;8 di,7, k ;: di, h ;8 di, d 5,04 di, m 8,55 di,
Eoexdgdgat =,8;, K "!4 9 ">,5# >,2::# H "5!: 9 ") >,2::# >,5# D "4!8 9 "># ) ;# M "> 9 ";# >,8, Cat ~ul}at K# H w D k~xargikmkiel}e et}l el ck dgxduljexeldgk ulg}kxgk# M w E la et}l,4, La te bgdgexal ckt `xkjgdkt,=, k g 4> a# !: gg ;8>a# 8!4 ggg;8> a# ) 8!4 gz4> a# ) !:,
h Tal zkcaxet me kxdat gi~ax}kl}et {ue te elduel}xkl el ec }er}a,
5, } tel } dat } }kl } da} } ted } dtd }5 ) >,7: >,82= ) 4,42; ) >,87: 4,58; ) ;,>=8
) 2 ) >,727 ) >,;=: :,2 >,;=0 ) :,25 ) ;,>;;
:,} tel } dat } }kl } da} } ted } dtd }
=>>a
>,:=4 >,0:: >,247 ;,;78 ;,4>5 ;,555
) 5;>a
) >,5 ) >,2:: >,500 ;,048 ) ;,;55 ) 8
0,tel ;,7 }kl >,=4 dat ") ;5,0 ted 8> dtd ") :>>' da} ") ;52'
>,7=: >,=57 ) >,777 ;,>:= ;,;55 ;,7:4
2, k GG# h GZ# d GGG# m GGG, 7, La dui~ce d,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
39/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;5>
Eoexdgdgat =,4;,
kxda } =!4 )=!4 0!: )!: ;;!= );45 8=> =5> 5=>tel } ) 4!8 4!8 )
8
; )8
; 8
8 )8
8 ) 4!8 ; >
dat })
8
; )8
; ) 4!8 4!8 )8
8 )8
8 ) 8; > );
}kl }4 ) 4 4!4 ) 4!4 ) ; ; 4 >
8,^"} K"} H"} D"} M"} E"} J"} @"} B"} O"}
} 0!= 8!4 5!: ;;!: 4!= !4 =!4 0!: 4!8
} ) 8 ) != )=!4 )0!: ) !: )5!= )5!4 )8!4 )5!: )!8
Eoexdgdgat =,=;, K"8,488 9 ")>,:2# >,04# H"4,7:8 9 ") >,:2# ) >,04# D"5,=:4 9 ">,:2# ) >,04,8, [";,>0; 9 ">,=2# >,22# X"8,>0; 9 ") >,=2# >,22# T"5,024 9 ">,22# ) >,=2,4,
tel =,;= dat 8,50 dat ") 8,50 tel ")8,;= tel ") >,50 dat ">,50
) tel ; ) tel ; dat " 8,50 ) tel ; ) dat ; tel ;
) >,2= ) >,2= ) >,2= ) >,2= ) >,5= >,2=
=,tel 88>
adat ;4>
atel ") 5>
a dat ") ;=>
a tel ") ;=>
a dat 88>
a
) tel =>a
) tel =>a
) dat =>a
) dat =>a
) tel =>a
) dat =>a
) >,:= ) >,:= ) >,00 ) >,00 ) >,:= ) >,005, dat ")} 9 dat }# tel ") } 9 ) tel },
Eoexdgdgat =,5;, k>,757 >,7>7 & >,;=; h>,8;; ) >,=;:>,2>; d >,20; >,:=2 & >,;=4
m>,77> ) >,=7>>,4:8 e>,807 >,828 j>,7;; ) 8,70>,8,
k h d m e j
4!8=
8 " 4 & ;=
8 " 4 ) ; " 4 & 4 8!:
=
8 "; ) 4 ) " ; & 4 8!8
4,k h d m e j
) tel r) tel r ) ted r) ted r }kl r}kl r ted r) ted r ) tel rtel r ) }kl r) }kl r
=, k >,727= ) ;,5;4: h >,2=47 ) ;,7:>7 d ;,2;2: ) >,05:2m>,48:2 ) >,=;:; e :,887: ;,;502 j>,:457 4,=045
5, k 8=!85 h 85!0 d 8=!0 m 4 ;>!;> e ;> ,:,
dat r tel w k h d m e
) 4!5 ) ;8!;4 ) ;:!:5 44!:5 8=!85 ) ;;7!;:7 8
0, dat 9 ) >,:# tel9 ) >,2::,k>,7;7: h >,7782 d >,;8>5 m >,2:: e >,5
2, k tel 8 h dat 0 d }kl ;5,; m dat 87,4 e dat ;> j tel ;0,87, ^ax{ue sdat s ;# ~kxk }ama ,
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
40/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;5;
Eoexdgdgat =,:^kxk ckt meiat}xkdgalet mehex metkxxacckx ckt jxiuckt ~kxk tel "r w# dat "r w#tel 8r# dat 8r# ,,, Tut}g}ugx ckt juldgalet }kl r# da} r# ted r# dtd r ~ax tut mejglgdgalet el juldgl
me tela w datela, Kmeit bkdex a~exkdgalet kc`ehxkgdkt {ue mel daia xetuc}kma ec te`ulma
igeihxa me ck gmel}gmkm,
Eoexdgdgat =,0;, k tel h dat =>a d tel 82>a m dat 8,82 e tel =
j dat 8,0= ` tel :,>8 b dat 8,5: g dat 2>a,
8, kj"8 h j";,5 d j"8,=,4,
k h d m e
tel r M 9
X 9 V);# ;Y
^ 9 8
Dal}gluk el
MDxede el Y) 8
# 8
V
Medxede el
Y 8
# 84
V
^ul}at irgiat?
" 8
&8l# ;,
^ul}at ilgiat?
" 84
&8l# ) ;
gi~kx
dat r M 9
X 9 V);# ;Y
^ 9 8
Dal}gluk el
M
Dxede el Y # 8 VMedxede el Y># V
^ul}at irgiat?
"8l# ;,^ul}at ilgiat?
" "8l & ;# );
~kx
}kl r M 9 ) v8
"8l & ;y
X 9
^ 9
Mgtdal}gluk
el r 9
8
"8l & ;
Dxede el tu M, ^ul}at irgiat
khtacu}at,
^ul}at ilgiat
khtacu}at,
gi~kx
da} rM 9
) vlyX 9
^ 9
Mgtdal}gluk
el r 9 lMedxede el tu M, ^ul}at irgiat
khtacu}at,
^ul}at ilgiat
khtacu}at,
gi~kx
ted r M 9 ) v8
"8l & ;y
X 9 ) Y);# ;V
^ 9 8
Mgtdal}gluk
el r 9
8
"8l & ;
Dxede el
Y># 8
V Y 8
# V
Medxede el
Y # 84
V Y 84
#8 V
^ul}at irgiat?
" "8l & ;# ) ;^ul}at ilgiat?
"8l# ;,
~kx
dtd r M 9 ) vly
X 9 ) Y);# ;V
^ 9 8
Mgtdal}gluk
el r 9 lDxede el
Y 8
# V Y # 84
V
Medxede elY># 8
V Y 8
4#8 V
^ul}at irgiat?
" 84
&8l#) ;
^ul}at ilgiat?" 8
&8l# ;
gi~kx
=, k ted } h}kl } d da} } m ted } e dtd } j ted },
Eoexdgdgat =,2
k h d
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
41/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;58
m e j
` b g
j"r k h d m e j ` b g
ki~cg}um ; 8 8 ;!8 8 8
~exgama 8 8 !8 8 !4metjkte > > != !: > ) # > ) != != >
Eoexdgdgat =,7
;, k r 9 kxd dat 9 dat ; h } 9 kxd tel ") 9 tel ; ") d r 9 kxd }kl ") 8 9 }kl
;")8 m 9 kxd ted 4 9 ted
;4,
8, k v!:# ;;!:y h v4!8y d v!4# =!4ym v5!:# 0!:y e v!:# 5!:y j v!=# 0!=y,
4, k ;;!: h 0!= d 5!4 m ;
e ; j 8 ` ) 4!8 b 4!8,
=, k 8!8 h 8 d ; m ;!8,5,
J"r Kxd tel r Kxd dat r Kxd }kl r Kxd da} r Kxd ted r Kxd dtd r
Maiglga
Xkl`a
V);#;Y
V) 8
# 8
Y
V);# ;Y
V>#
Y
Y ) 8
# 8
V
Y># V
) Y);#;V
V># Y)v 8
y
) Y);#;V
V) 8
# 8
Y) v>yDal}glugmkm
Ktl}a}kt
Dal}gluk Dal}gluk Dal}gluk
w 9) 8
# 8
Dal}gluk
w 9 ># Mgtd,Y);#;V
w 9 8
Mgtd,Y);#;V
w 9 >
Gl}exzkcat Dxede el M Medxede Dxede el M Medxede Dxede Medxede
Irgiat
ilgiat
I";# 8
i") ;# ) 8
I");#
i ";#>
I");#
i ";#>
I";# 8
i") ;# ) 8
:, k >,722 h 8,;48 d ;,428 m 8
) }kl;
")8,48 9 8,045 e ;,28; j >,8:4,
0, k ;8!5 h ) 0!= d )4 m ) 8!;> e 00!25
8/2/2019 Precalculo Unidad 4
42/42
ppp,ik}ecklmgk,ax`;54
2, k 8=; r h 8; w
d 8r8
) ; m88
;; wr
wr
7, k K~cgdkx k kihat igeihxat }kl`el}e# metkxxacckx }kl "K & H 9 ;,h K~cgdkx k kihat igeihxat tel# metkxxacckx tel "K & H 9 ;,
Eoexdgdgat =,;>
;, k v># 8!4# =!4y h v!:# 5!:y d v!8# 4!8# !4# 5!4ym v!8# 4!8# 8!4# =!4y e v!:# !4y j v># !8# !4# 8!4y` v!4y b v!;8# 5!;8y g v;,8=7# !=# 5!=y o v5,:470# !8yf v># !4# 5!4y c v>,:=45# 4!8y i v!4# =!4y l v!8y v!:# 5!:# 4!8y a v!2y ~ v!8# 4!8# 4!=# 0!=y { v!8y,
8, k v5!2# 0!2y h v8!4# ;>!4y d gmel}gmkm m v># !8# !:# 5!:y,4, k r 9 >,82>2 h r 9 ;!4 d r 9 ,
Top Related