UNIVERSIDAD DE JAEN
Escuela Politecnica Superior de Jaen
Departamento de Informatica
Modelos para Sistemas de Apoyo al Consenso
en Problemas de Toma de Decision en Grupo
definidos en Contextos Linguısticos
Multigranulares
Memoria de Tesis presentada por
Francisco Mata Mata
como requisito para
optar al grado de Doctor
en Informatica
Jaen Junio de 2006
UNIVERSIDAD DE JAEN
Escuela Politecnica Superior de Jaen
Departamento de Informatica
Modelos para Sistemas de Apoyo al Consenso
en Problemas de Toma de Decision en Grupo
definidos en Contextos Linguısticos
Multigranulares
Memoria de Tesis presentada por
Francisco Mata Mata
para optar al grado de Doctor en Informatica
Directores
Dr. Luis Martınez Lopez
Dr. Enrique Herrera Viedma
Jaen Junio de 2006
La memoria de tesis titulada Modelos para Sistemas de Apoyo al Con-
senso en Problemas de Toma de Decision en Grupo definidos en Contex-
tos Linguısticos Multigranulares, que presenta D. Francisco Mata Mata
para optar al grado de Doctor en Informatica, ha sido realizada en el Depar-
tamento de Informatica de la Universidad de Jaen bajo la direccion de los
doctores Luis Martınez Lopez y Enrique Herrera Viedma.
Francisco Mata MataDoctorando
Dr. Luis Martınez LopezDirector
Dr. Enrique Herrera ViedmaDirector
Agradecimientos y Dedicatorias
En primer lugar y como no podrıa ser de otra forma, quiero expresar mi mas
sentido agradecimiento a las dos personas que han hecho posible la elaboracion de
esta memoria de investigacion, como son mis directores de tesis, Dr. Luis Martınez
Lopez y Dr. Enrique Herrera Viedma. Gracias por su dedicacion, esfuerzo y con-
fianza depositada en mı a lo largo de todo este tiempo.
Gracias a todos mis companeros del Departamento de Informatica de la Uni-
versidad de Jaen, y en especial al apoyo y amistad del grupo con el que comparto
temas de trabajo e investigacion como son Luis G., Pedro y Manolo. Agradecer
tambien las muestras de apoyo recibidas por parte de companeros de la Uni-
versidad de Granada y de la Universidad Pontificia de Salamanca, entre ellos a
Luis Joyanes por ofrecerme la oportunidad de incorporarme a esta apasionante
profesion como es la docencia universitaria.
Y por ultimo agradecer el apoyo recibido desde mi familia, amigos y sobre
todo a mi mujer Mari Carmen, la cual ha sido “sufridora” pasiva y activa en el
proceso de redaccion de la tesis.
Gracias a todos ...
i
Indice general
Introduccion 1
1. Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso:
Modelado de Preferencias y el Enfoque Linguıstico Difuso 11
1.1. El Problema de la Toma de Decision . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1. Segun el numero de criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2. Segun el ambiente de decision . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3. Segun el numero de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Modelado de Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Estructuras para la representacion de preferencias . . . . . 20
1.2.2. Dominios de expresion de preferencias . . . . . . . . . . . 24
1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos . 31
1.3.1. Conjuntos difusos y funcion de pertenencia . . . . . . . . . 32
1.3.2. Definicion basica de conjunto difuso . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3. Tipos de funciones de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4. Principio de extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5. Numero difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1. Eleccion del conjunto de terminos linguısticos . . . . . . . 42
i
ii INDICE GENERAL
1.4.2. Semantica del conjunto de terminos linguısticos . . . . . . 45
1.5. Resolucion de Problemas de TDG en Ambiente Difuso . . . . . . 48
1.5.1. Proceso de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.2. Proceso de seleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 55
2.1. Proceso de Consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Fases del Proceso de Consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG . . . . . . . . . . 65
2.3.1. Modelo de consenso para problemas de TDG con informa-
cion difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.2. Modelo de consenso para problemas de TDG con vectores
de preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.3. Modelo de consenso para problemas de TDG multiatributo 77
2.3.4. Modelo de consenso para problemas de TDG con valoracio-
nes linguısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.5. Modelo de consenso para problemas de TDG con diferentes
estructuras de preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3.6. Modelo teorico del proceso de consenso . . . . . . . . . . . 97
3. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso para Problemas de
TDG definidos en Contextos Linguısticos Multigranulares 103
3.1. Problemas de TDG en Contextos Linguısticos Multigranulares . . 104
3.2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso para Problemas de TDG
con Informacion Linguıstica Multigranular . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.1. Caracterısticas del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3. Fases del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
INDICE GENERAL iii
3.3.1. Unificacion de la informacion . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.2. Calculo del grado de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.3. Control del consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.4. Generacion de recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC . . . . . . . . . . 148
3.4.1. Primera ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.4.2. Segunda ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.3. Tercera ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4.4. Cuarta ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 183
4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo . . . . . . . . . . . 184
4.1.1. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el
acuerdo esta muy lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.2. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el
acuerdo esta lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.1.3. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el
acuerdo esta proximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2.1. Unificacion de la informacion . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2.2. Calculo de los grados de consenso y control del grado de
consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.2.3. Busqueda adaptativa de preferencias a modificar . . . . . 197
4.2.4. Generacion de recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo . . . . . . 209
iv INDICE GENERAL
4.3.1. Primera ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3.2. Segunda ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.3.3. Tercera ronda de consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.4. Resumen de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Conclusiones y Trabajos Futuros 235
. Bibliografıa 241
Indice de figuras
1. Proceso de consenso y seleccion en problemas de Toma de Decision
en Grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Ejemplos de numeros difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2. Numero difuso trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3. Definicion semantica de la variable linguıstica altura . . . . . . . 46
1.4. Conjunto de 5 etiquetas linguısticas uniformemente distribuidas . 47
1.5. Distribuciones diferentes del concepto “excelente” . . . . . . . . . 48
1.6. Niveles de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7. Proceso de consenso y seleccion en problemas de TDG. . . . . . . 51
1.8. Fases del proceso de seleccion en problemas de TDG . . . . . . . 52
2.1. Fases del Proceso de Consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Modelo de consenso propuesto por Zadrozny . . . . . . . . . . . . 67
2.3. Representacion de los rangos de utilidad . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4. Rango de utilidad total del grupo y rango de consenso de las pre-
ferencias de los expertos DM1 y DM2 . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5. Modelo de consenso racional con valoraciones linguısticas . . . . . 82
2.6. Modelo de consenso con diferentes estructuras de preferencia . . . 93
2.7. Modelo de consenso propuesto por Saint y Lawson . . . . . . . . . 100
v
vi INDICE DE FIGURAS
3.1. Modelo de SAC para problemas de TDG . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2. Modelo de SAC para problemas de TDG definidos en contextos
linguısticos multigranulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3. Transformacion de l1 ∈ S en un conjunto difuso sobre ST . . . . . 117
3.4. Control del consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1. Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta muy lejano . . . . . 189
4.2. Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta lejano . . . . . . . 191
4.3. Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta proximo . . . . . . 193
4.4. Modelo de SAC Adaptativo para problemas de TDG con informa-
cion linguıstica multigranular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5. Busqueda adaptativa de preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Introduccion
Motivacion
La Toma de Decisiones es una tarea compleja y una de las actividades fun-
damentales de los seres humanos. Algunos autores argumentan que la Toma de
Decisiones en situaciones complejas es una caracterıstica fundamental que dife-
rencia al genero humano de los animales [19]. Constantemente nos enfrentamos a
situaciones en las que existen varias alternativas y, al menos en algunas ocasiones,
tenemos que decidir cual es mejor, o cual llevar a cabo.
La complejidad de los procesos de toma de decisiones se debe a la necesidad
de un analisis detallado de las ventajas e inconvenientes asociados a cada alterna-
tiva. Este analisis es aun mas difıcil si tenemos en cuenta que en los procesos de
decision pueden aparecer alternativas sobre las que el conocimiento no es total o
preciso e implican un determinado grado de incertidumbre. La reduccion de esta
incertidumbre ha sido uno de los objetivos perseguidos por la Teorıa Clasica de
la Decision.
La incertidumbre puede provenir principalmente de dos fuentes:
a) Desconocimiento del comportamiento preciso de algunos de los factores que
intervienen o condicionan el problema de decision. Esta incertidumbre suele
1
2
tratarse desde un punto de vista probabilıstico.
b) Aparicion de informacion vaga o imprecisa. En este caso el uso de la Logica
Difusa es habitual.
La Toma de Decisiones se aplica en distintas disciplinas, tales como, las Cien-
cias Sociales, la Economıa, la Ingenierıa, la Psicologıa, etc. Esta amplia gama de
campos de aplicacion tiene como consecuencia la existencia de diferentes modelos
de toma de decisiones [23, 26, 38]. La Teorıa Clasica de Decision proporciona gran
cantidad de modelos y metodos para apoyar la toma de decisiones pero que no
son adecuados para tratar situaciones en las que la incertidumbre se debe a la
aparicion en el problema de informacion vaga e imprecisa. En estas situaciones
hablamos de problemas de decision en contexto difuso o de Toma de Decisiones
Difusa [12, 31, 178]. Por tanto, dependiendo del conocimiento que los expertos
tengan sobre las alternativas del problema, el contexto de definicion y el modelo
de decision puede variar.
El modelado de preferencias es una actividad indispensable en los problemas
de toma de decisiones. Dependiendo de la naturaleza cuantitativa o cualitativa
de los aspectos que se esten valorando, definira el dominio de informacion que se
utilizara para valorarlos. Normalmente se asume que los individuos que participan
en un proceso de toma de decision son capaces de expresar sus preferencias sobre
el conjunto de alternativas mediante valores numericos precisos. Sin embargo, en
multitud de ocasiones, puede ocurrir que un individuo tenga que valorar aspectos
de naturaleza cualitativa que difıcilmente admitan valoraciones precisas, siendo
mas apropiado utilizar otro tipo de valores como por ejemplo terminos linguısticos.
En estos casos, el uso del Enfoque Linguıstico Difuso [171] basado en conceptos
de la Teorıa de Conjuntos Difusos [52, 170] se ha mostrado util a la hora de
Introduccion 3
modelar este tipo de aspectos [1, 5, 14, 17, 45, 47, 86, 155, 158]. El uso del enfoque
linguıstico implica la necesidad de realizar procesos para operar con palabras que
en la Toma de Decisiones Difusa se ha llevado a cabo usando distintos modelos
[45, 47, 81].
A la hora de resolver un problema de decision en los que intervienen multiples
expertos, denominados problemas de Toma de Decisiones en Grupo, podemos
distinguir dos procesos diferenciados (Figura 1):
Seleccion de alternativas. Este proceso consiste en buscar el conjunto so-
lucion de alternativas que mejor resuelve el problema de decision planteado
[64, 157]. En este proceso distinguimos dos fases [139]: (i) Una fase de Agre-
gacion en la que se combinan las preferencias individuales de los expertos
para obtener una preferencia colectiva sobre las alternativas del problema
y (ii) Una fase de Explotacion en la que a partir de las preferencias colec-
tivas se aplicara un grado de seleccion para generar el conjunto solucion de
alternativas del problema.
Consenso. El proceso de seleccion de alternativas en problemas de decision
con multiples expertos puede dar lugar a soluciones que no son aceptadas
como buenas por todos los expertos, por lo que el estudio del consenso se
ha convertido en un campo de investigacion de gran importancia dentro
de la Toma de Decisiones [16, 20, 29, 60, 89, 102, 119, 147, 165]. Podemos
decir que el Consenso es un proceso de discusion en grupo e iterativo que
es coordinado por un Moderador que ayuda a los expertos del problema
a acercar sus opiniones. El consenso se ha definido clasicamente como el
acuerdo total y unanime de todos los expertos que participan en el problema
de ahı que inicialmente se utilizaran medidas de consenso absolutas [13]. Con
4
MODERADOR
ALTERNATIVA(S)SOLUCIÓN
OPINIONES
RECOMENDACIONES
CONJUNTO DEALTERNATIVAS
CONJUNTO DEINDIVIDUOS
TOMA DE DECISIÓN EN GRUPO
PROCESO DECONSENSO
PROCESO DESELECCIÓN DEALTERNATIVAS
OPINIONESCONSENSUADAS
PROBLEMA
Figura 1: Proceso de consenso y seleccion en problemas de Toma de Decision enGrupo.
el paso del tiempo, se ha suavizado el concepto de consenso (Soft consensus)
y se han propuesto medidas difusas [16, 102, 110] que ofrecen una mayor
flexibilidad para expresar una medida vaga per se como es el consenso.
En muchas ocasiones nos encontramos con problemas de Toma de Decision
en Grupo en los que se trabaja con informacion heterogenea debido a que los
expertos pertenecen a areas de trabajo diferentes o a que tienen distinto grado
de conocimiento sobre el problema que se esta tratando. En particular, en un
contexto linguıstico, puede ocurrir que los expertos utilicen diferentes escalas o
conjuntos de terminos linguısticos para expresar sus preferencias, hablandose en
estos casos de contextos linguısticos multigranulares [73, 88, 121].
En la literatura podemos encontrar una gran cantidad de publicaciones dedica-
das a la definicion y desarrollo de modelos, operadores y procesos de seleccion
de alternativas, definidos tanto en contextos homogeneos [31, 47, 59, 72, 75,
Introduccion 5
112, 114, 117, 120, 135, 159] como en contextos heterogeneos [46, 61, 83, 86, 177].
Sin embargo respecto al consenso existen diversas limitaciones que no han sido
abordadas suficientemente. El interes de esta memoria se centra en el estudio del
proceso de consenso en problemas de Toma de Decisiones en Grupo definidos
en contextos linguısticos multigranulares con el proposito de resolver tales limita-
ciones y mejorar el comportamiento y resultados obtenidos en este proceso. Los
problemas que abordamos son los siguientes:
La existencia de una figura humana que interviene en cada ronda de con-
senso en calidad de moderador y que no permite automatizar el proceso de
consenso.
La inexistencia de operadores y medidas que permitan evaluar el nivel de
acuerdo que existe entre los expertos en contextos con informacion linguısti-
ca multigranular.
La persistencia de actuacion en los modelos de consenso repitiendo el mismo
comportamiento independientemente del nivel de acuerdo alcanzado, hace
que muchas veces estos procesos se alarguen demasiado en el tiempo y pier-
dan efectividad.
Debido a la necesidad de mejorar los procesos de consenso en problemas de
toma de decisiones en grupo en general y de problemas definidos en contextos
linguısticos multigranulares en particular, nos proponemos en esta memoria de-
sarrollar modelos que lleven a cabo los procesos de consenso de forma automatica.
Ademas, estos modelos han de ser capaces de adaptar el proceso de busqueda del
consenso al nivel de acuerdo existente en cada ronda de consenso.
6
Objetivos
Los objetivos de esta memoria son los siguientes:
Diseno de un modelo de sistema de apoyo al consenso automatico que reem-
place las diferentes tareas que se realizan de forma manual ası como a las
figuras humanas presentes en los procesos de consenso. Este modelo asu-
mira el rol desarrollado por la figura del moderador realizando las tareas
habituales del mismo como son la identificacion de los expertos mas aleja-
dos del consenso y la recomendacion de los cambios de opinion que deberıan
acometer tales expertos para mejorar el consenso.
Definir el conjunto de medidas y operadores de consenso necesarios para
que el modelo propuesto pueda ser utilizado en problemas de Toma de Deci-
sion en Grupo definidos en contextos linguısticos multigranulares, es decir,
contextos en los que cada experto pueda utilizar un conjunto de terminos
linguısticos con diferente granularidad atendiendo al grado de conocimiento
que tenga sobre las distintas alternativas del problema. Estos operadores
estaran basados en el modelo computacional difuso.
Diseno de un modelo de sistema de apoyo al consenso adaptativo que permita
mejorar y optimizar los modelos de consenso existentes en la literatura. Esta
mejora consiste en adaptar el proceso de busqueda del consenso al nivel de
acuerdo alcanzado en cada una de las rondas de consenso.
Introduccion 7
Estructura de la Memoria
Los objetivos planteados se alcanzan a lo largo de esta memoria estructurada
en cuatro capıtulos. A continuacion presentamos un breve resumen de cada uno
de ellos:
En el Capıtulo 1 se hace una breve revision de las caracterısticas de los
problemas de toma de decisiones, dedicando especial interes al modelado
de preferencias en problemas de decision con incertidumbre, centrandonos
fundamentalmente en el modelado de preferencias en contextos linguısticos
y en el Enfoque Linguıstico Difuso, puesto que sera el que utilicemos en
los modelos presentados en esta memoria. Finalizaremos introduciendo los
problemas de Toma de Decision en Grupo en ambientes difusos.
En el Capıtulo 2 se hace una amplia revision del proceso de consenso en
problemas de Toma de Decision en Grupo. Para ello, en primer lugar se
estudia el significado y evolucion del concepto de consenso a lo largo del
tiempo. A continuacion, en segundo lugar, se describen las diferentes fases
que componen un proceso de consenso estandar y se finalizara este capıtulo
haciendo una revision de distintos modelos de consenso propuestos en la
literatura.
En el Capıtulo 3 se presenta el analisis y diseno de un modelo de sistema
de apoyo al consenso automatico para problemas de Toma de Decision en
Grupo definidos en contextos con informacion linguıstica multigranular. Se
comenzara definiendo el contexto de definicion del problema y a continuacion
se presentaran las distintas fases que componen el modelo de sistema. Para
mostrar el funcionamiento del modelo presentaremos un ejemplo.
8
Los modelos de consenso revisados en el Capıtulo 2 junto al propuesto en
el Capıtulo 3 siguen siempre el mismo patron de funcionamiento indepen-
dientemente del nivel de acuerdo alcanzando entre los expertos durante el
proceso de consenso. En el Capıtulo 4 se propone un modelo de sistema de
apoyo al consenso adaptativo que pretende optimizar los procesos de con-
senso. Esta optimizacion consistira en adaptar el proceso de busqueda del
consenso al nivel de acuerdo existente en cada ronda de consenso de forma
que se mejore la convergencia hacia el acuerdo y se reduzcan el numero de
rondas y el numero de cambios conforme el grado de consenso vaya mejoran-
do. Para conseguir este objetivo se definiran tres procesos diferentes para
identificar las preferencias a cambiar segun el acuerdo este mas o menos
cercano:
• Proceso de busqueda de preferencias cuando el acuerdo esta muy lejano.
• Proceso de busqueda de preferencias cuando el acuerdo esta lejano.
• Proceso de busqueda de preferencias cuando el acuerdo esta proximo.
Las ideas recogidas en estos tres procesos y que definen el funcionamiento de
los mismos son independientes del dominio de informacion, pudiendo apli-
carse tanto en dominios homogeneos como heterogeneos. Sin embargo, con
el proposito de comparar y comprobar como la nueva propuesta mejora los
resultados obtenidos por el modelo presentado en el Capıtulo 3 para tratar
informacion linguıstica multigranular, terminaremos este capıtulo resolvien-
do el mismo problema planteado en el anterior.
Finalmente, se presentan las conclusiones y resultados mas relevantes ob-
tenidos de la investigacion realizada en esta memoria ası como las futuras
Introduccion 9
lıneas de investigacion a seguir a partir de la misma. La memoria concluye
con una recopilacion bibliografica de las contribuciones mas destacadas en
la materia estudiada.
Capıtulo 1
Problemas de Toma de Decisionen Grupo en Ambiente Difuso:Modelado de Preferencias y elEnfoque Linguıstico Difuso
En este capıtulo se hace una revision de los problemas de Toma de Decision
en Grupo definidos en un contexto difuso, es decir, problemas de decision en los
que participan varios individuos y en los que se trabaja con informacion vaga e
imprecisa.
En primer lugar describiremos las caracterısticas de los problemas de Toma
de Decision. A continuacion se abordara el concepto de modelado de preferen-
cias, haciendo una distincion entre las estructuras que utilizan para expresar y
representar las preferencias y el dominio de la informacion en el que los expertos
las expresan. En tercer lugar se hara una breve revision de nociones y conceptos
basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos que nos va a servir para introducir los
conceptos mas importantes relacionados con el Enfoque Linguıstico Difuso. Final-
mente concluiremos este capıtulo definiendo las caracterısticas de los problemas
de Toma de Decision en Grupo (TDG) en ambiente difuso sobre los que hemos
11
12 1.1. El Problema de la Toma de Decision
llevado a cabo la investigacion de esta memoria.
1.1. El Problema de la Toma de Decision
En un sentido amplio, tomar una decision consiste en elegir la mejor opcion
o alternativa de entre un conjunto de alternativas posibles. Muchas de las acti-
vidades humanas precisan en algun momento tomar decisiones. Diariamente nos
enfrentamos a situaciones en las que debemos decidir que hacer o que alternativa
tomar en funcion del entorno en el que nos encontramos. Por citar un ejemplo cer-
cano a todos nosotros, la eleccion de que carrera universitaria estudiar supuso en
su dıa un problema de toma de decision que seguro nos obligo a sopesar, analizar
y comparar las distintas alternativas con el proposito de elegir la mas adecuada.
Cada vez que se plantea la necesidad de tomar una decision, esta va acom-
panada de un conjunto de posibles alternativas que a su vez tienen una serie de
consecuencias que pueden hacernos dudar sobre la idoneidad de cada una de ellas.
La incertidumbre suele ser una companera presente en los procesos de toma de
decision que produce malestar e inseguridad a los individuos que deben tomar las
decisiones.
La Toma de Decisiones, como apuntan Keeney y Raiffa [105], intenta ayudar a
los individuos a tomar decisiones difıciles y complejas de una forma racional. Esta
racionalidad implica el desarrollo de metodos y/o modelos que permitan repre-
sentar fielmente cada problema y analizar las distintas alternativas con criterios
objetivos. Partiendo de disciplinas clasicas como la Estadıstica, la Economıa y la
Matematica, a las que se les han unido otras mas recientes como la Inteligencia
Artificial, se han desarrollado teorıas y modelos en el campo de la toma de de-
cisiones que han permitido estructurar de una forma logica y racional el proceso
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 13
de toma de decision y facilitar esta tarea a los individuos encargados de llevarla
a cabo.
Los problemas clasicos de decision presentan los siguientes elementos basicos
[35]:
1. Uno o varios objetivos por resolver.
2. Un conjunto de alternativas o decisiones posibles para alcanzar dichos ob-
jetivos.
3. Un conjunto de factores o estados de la naturaleza que definen el contexto
en el que se plantea el problema de decision.
4. Un conjunto de valores de utilidad o consecuencias asociados a los pares
formados por cada alternativa y estado de la naturaleza.
Ante la gran variedad de situaciones o problemas de decision que se pueden
presentar en la vida real, la Teorıa de la Decision ha establecido una serie de
criterios que permiten clasificar los problemas atendiendo a diferentes puntos de
vista:
1. Segun el numero de criterios o atributos que se han de valorar en la toma
de decision.
2. Segun el ambiente de decision en el que se han de tomar las decisiones.
3. Segun el numero de expertos que participan en el proceso de decision.
En los siguientes apartados se hace una breve revision de las caracterısticas
que definen cada uno de estos puntos de vista.
14 1.1. El Problema de la Toma de Decision
1.1.1. Segun el numero de criterios
El numero de criterios (tambien denominados atributos) que se tienen en cuen-
ta en los procesos de decision para obtener la solucion tambien permite clasificar
a los problemas de decision en dos tipos [26, 66, 97, 137, 157]:
1. Problemas con un solo criterio o atributo. Problemas de decision en los que
para evaluar las alternativas se tiene en cuenta un unico valor que repre-
senta la valoracion dada a esa alternativa. La solucion se obtiene como la
alternativa que mejor resuelve el problema teniendo en cuenta este unico
criterio de decision.
2. Problemas multicriterio o multiatributo. Problemas de decision en los que
para evaluar las alternativas se tienen en cuenta los valores de dos o mas
criterios o atributos que definen las caracterısticas de cada alternativa. La al-
ternativa solucion sera aquella que mejor resuelva el problema considerando
todos estos criterios o atributos.
Ambos tipos se pueden diferenciar perfectamente con el siguiente ejemplo. Su-
pongamos un problema de decision en el que nos planteamos cambiar de trabajo
y nos ofrecen tres posibles alternativas, cada una de ellas caracterizada por tres
atributos como son el sueldo, la ubicacion geografica y tipo de trabajo a desarro-
llar. Este problema puede ser muy simple si para tomar la decision consideramos
como unico criterio de decision elegir la alternativa con mejor sueldo. Sin embargo,
este mismo problema se complicarıa y el proceso para resolverlo serıa diferente si
ademas de considerar el sueldo tambien tuviesemos en cuenta el tipo de trabajo
y/o la ubicacion geografica del mismo. En este segundo caso estarıamos ante un
problema en el que hemos de considerar varios atributos o criterios antes de to-
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 15
mar un decision y por lo tanto, estarıamos hablando de un problema de decision
multicriterio o multiatributo.
Los problemas de toma de decision multicriterio son mas complejos de resolver
que los problemas en los que solo hay que tener en cuenta un criterio para obtener
la solucion. Cada criterio puede establecer un orden de preferencia particular y
diferente sobre el conjunto de alternativas. A partir del conjunto de ordenes de
preferencia particulares sera necesario establecer algun mecanismo que permita
construir un orden global de preferencia.
Existe cierta similitud entre los problemas de decision multicriterio y los pro-
blemas de TDG. En ambos casos, existen multiples ordenes de preferencia sobre
las alternativas y es necesario integrarlos en un unico orden global de preferencia.
La diferencia consiste en que en los problemas de TDG los ordenes de preferencia
representan la importancia de las alternativas segun cada persona y en los pro-
blemas multicriterio los ordenes representan la importancia de cada alternativa
respecto a cada criterio.
El numero de criterios en problemas de decision multicriterio se asume que es
finito. Sean X = {x1, x2, ..., xn} y C = {c1, c2, ..., cm} el conjunto de alternativas
y el conjunto de criterios que caracterizan una situacion de decision determinada.
Entonces, una forma de representacion de la informacion del problema puede
expresarse mediante la siguiente tabla:
Alternativas Criterios(xi) c1 c2 ... cm
x1 y11 y12 ... y1m
... ... ... ... ...xn yn1 yn2 ... ynm
Tabla 1.1: Esquema general de un problema de toma de decisiones multicriterio
16 1.1. El Problema de la Toma de Decision
Cada entrada de la tabla yij indica la preferencia de la alternativa xi respecto
del criterio cj. Segun el contexto de definicion del problema, cada yij podra es-
tar valorado en un dominio de expresion de preferencias determinado (numerico,
linguıstico,...).
1.1.2. Segun el ambiente de decision
El ambiente de decision viene definido por las caracterısticas y contexto en el
que se va a llevar a cabo la toma de decisiones. La Teorıa Clasica de la Decision
distingue tres situaciones o ambientes de decision [56, 136]:
1. Ambiente de certidumbre.
Un problema de decision esta definido en un ambiente de certidumbre cuan-
do son conocidos con exactitud todos los elementos y/o factores que inter-
vienen en el problema. Esta situacion permite asignar valores precisos de
utilidad a cada una de las alternativas presentes en el problema.
Como ejemplo, supongamos que disponemos de una determinada cantidad
de dinero que queremos invertir en alguno de los diferentes productos finan-
cieros del mercado que nos garantice la inversion realizada (ej., imposicion a
plazo fijo). Asumiendo que conocemos con exactitud la rentabilidad de cada
producto, los gastos de gestion, la duracion del mismo, deberemos decidir
en que producto invertir para maximizar la inversion realizada. En este caso
conocemos todos los factores que se han de tener en cuenta para la toma
de decision y el problema consistira en estructurar correctamente esta infor-
macion y establecer las preferencias entre las alternativas de forma que nos
permita elegir aquella que maximize el beneficio esperado.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 17
2. Ambiente de riesgo.
Un problema de decision esta definido en un ambiente de riesgo cuando
alguno de los elementos o factores que intervienen estan sujetos a las leyes
del azar. En estos casos estos problemas son resueltos utilizando la Teorıa
de la Probabilidad.
Continuando con el mismo ejemplo, si la inversion la queremos realizar en
la bolsa, inmediatamente surgen dudas sobre una posible subida o bajada
en la cotizacion de las acciones en las que se invierta el dinero. En este caso
el enfoque del problema ha de ser diferente y se utilizara una distribucion
de probabilidad para reflejar la posible subida o bajada de la bolsa que
influira en la utilidad de cada una de las posibles alternativas en las que
invertir el dinero.
3. Ambiente de Incertidumbre.
Un problema de decision esta definido en un ambiente de incertidumbre
cuando la informacion disponible sobre las distintas alternativas puede ser
incompleta, vaga o imprecisa, lo que implica que la utilidad asignada a cada
alternativa tenga que ser valorada de forma aproximada. Esta incertidumbre
surge a raız del intento de modelar la imprecision propia del comportamien-
to humano o la inherente a ciertos fenomenos que por su naturaleza son
inciertos.
Los metodos clasicos no son adecuados para tratar situaciones en los que la
incertidumbre se debe a la aparicion de informacion vaga e imprecisa como
por ejemplo la que puede surgir al intentar valorar fenomenos relacionados
con apreciaciones sensoriales y subjetivas de los expertos. Esto ha generado
la necesidad de recurrir a la definicion de nuevos modelos basados en la
18 1.2. Modelado de Preferencias
Teorıa de los Conjuntos Difusos [170] para modelar la incertidumbre como
pueden ser los Rough Sets [55, 69, 95], Conjuntos Difusos Intuicionistas
[8, 24, 25], etc.
1.1.3. Segun el numero de expertos
Finalmente, otro punto de vista a la hora de clasificar los problemas de decision
hace referencia al numero de expertos o fuentes de informacion que toman parte en
el proceso. Un proceso de toma de decision en el que participan varios expertos es
mas complejo que otro en el que la toma decision se realiza de forma individual.
Sin embargo, el hecho de que intervengan varios expertos con puntos de vista
diferentes puede ofrecer una solucion mas satisfactoria al problema.
Atendiendo al numero de expertos o fuentes de informacion que toman parte
en la toma de decision, los problemas de decision se pueden clasificar en dos tipos:
1. Unipersonales o individuales. Las decisiones son tomadas por un solo exper-
to.
2. En Grupo o Multiexperto. La decisiones son tomadas en conjunto por un
grupo de expertos que intentan alcanzar una solucion en comun al problema.
Los problemas abordados en esta memoria pertenecen al segundo tipo, tratando-
se con mayor profundidad en Seccion 1.5.
1.2. Modelado de Preferencias
El modelado de preferencias es una de las actividades inevitables en los proble-
mas de Toma de Decision, independientemente del area en el que se este trabajan-
do (Economıa [6, 44], Psicologıa [28, 41, 103], Teorıa de la Decision [65, 131, 134,
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 19
140], ...). Los expertos en base a su conocimiento, experiencias y creencias han de
emitir sus valoraciones sobre el conjunto de alternativas y establecer un orden de
preferencia sobre la idoneidad de cada una ellas como solucion al problema.
En los problemas de decision los expertos utilizan modelos de representacion
de preferencias que le resulten cercanos a sus disciplinas o campos de trabajo. Por
ejemplo, expertos que pertenecen a areas tecnicas se pueden sentir muy comodos
representando sus preferencias mediante valores numericos. Sin embargo, exper-
tos que pertenecen a otro tipo de disciplinas menos tecnicas como pueden ser las
pertenecientes a areas sociales (Psicologıa, Sociologıa, ...), pueden preferir expre-
sar sus preferencias utilizando expresiones mas cercanas al lenguaje humano tales
como palabras o terminos linguısticos. Para manejar este tipo de valoraciones se
han definido diferentes mecanismos que permiten transformar las preferencias de
los expertos en representaciones matematicas que admiten un tratamiento ma-
tematico, racional y consistente de dicha informacion.
El modelado de preferencias es un area de trabajo dentro de la Toma de
Decision dedicada a la representacion de las preferencias de los expertos [51, 131,
140]. Para hacer su revision, vamos a considerar dos puntos de vista claramente
diferenciados pero igualmente transcendentales, como son:
a) La estructura de informacion utilizada por los expertos para la representa-
cion de sus preferencias.
b) El dominio de la informacion en el que se expresan las preferencias sobre el
conjunto de alternativas al problema.
Ambos puntos de vista presentan diferentes variantes que dependeran del pro-
blema que se este tratando.
20 1.2. Modelado de Preferencias
1.2.1. Estructuras para la representacion de preferencias
En esta seccion haremos un repaso de las estructuras de informacion mas
utilizadas en la literatura para la representacion de las preferencias de los expertos
[89, 93, 149]:
Vectores de Utilidad
Ordenes de Preferencia
Relaciones de Preferencia
Cada una de ellas se representa y se interpreta de forma diferente tal y como
se recoge en los siguientes apartados.
1.2.1.1 Vectores de Utilidad
Los vectores de utilidad han sido una estructura de representacion de informa-
cion ampliamente utilizada en la literatura clasica para representar las preferencias
de los expertos [50, 118, 149]. Es una estructura muy simple basada en un vector
donde cada elemento se interpreta como la preferencia o utilidad de una de las
alternativas del problema.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n ≥ 2). Las preferencias dadas por los expertos sobre el conjunto de alternativas
X utilizando vectores de utilidades U i serıan la siguientes:
U i = {ui1, . . . , u
in}
donde uij representa la utilidad o valoracion dada por el experto i a la alternativa
j. Se asume que cuanto mayor sea el valor de uij, mas satisface la alternativa j el
objetivo del problema segun la opinion del experto i.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 21
En la Seccion 1.2.2 donde se presentaran los diferentes dominios para el mo-
delado de preferencias, aparecen mas ejemplos de representacion de preferencias
utilizando vectores de utilidad.
1.2.1.2 Ordenes de Preferencia
En esta estructura de representacion de preferencias se establece un ranking
u orden de alternativas que representa la idoneidad de cada alternativa como
solucion al problema segun el punto de vista de cada experto [93, 146, 148].
Un orden de preferencia Oi representa un orden dado por el experto i sobre el
conjunto de alternativas X atendiendo a sus preferencias. Se representa mediante
un vector ordenado decreciente del conjunto de alternativas,
Oi = {oi(1), . . . , oi(n)}
Para todo orden de preferencia Oi, suponemos sin perdida de generalidad que
cuando menor es la posicion de una alternativa en dicho orden, esta alternativa es
mas preferida que el resto para resolver el problema segun la opinion del experto i.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Las preferencias dadas por los expertos 1 y 2 sobre el conjunto de alter-
nativas X utilizando ordenes de preferencia podrıan ser las siguientes:
O1 = {3, 2, 1, 4}
O2 = {2, 3, 1, 4}
En este ejemplo, el experto 1 considera que la mejor alternativa para resolver
el problema es x3 y la peor x4. Sin embargo, para el experto 2 la mejor alternativa
es x2 y la peor tambien es x4.
22 1.2. Modelado de Preferencias
1.2.1.3 Relaciones de Preferencia
En la Teorıa Clasica de Preferencias [140], las preferencias sobre un conjunto de
alternativas X = {x1, . . . , xn} se pueden modelar como relaciones binarias entre
pares de alternativas xlRxk (xl, xk ∈ X), que se interpretan como la intensidad o
el grado de preferencia de la alternativa xl sobre la alternativa xk.
Cuando se trabaja con conjuntos de alternativas finitos, una estructura de
informacion capaz de soportar este tipo de relaciones binarias entre alternativas
son las relaciones de preferencia.
Una relacion de preferencia individual se representa como una matriz Pei⊂
X ×X, donde el valor µPei(xl, xk) = plk
i representa el grado de preferencia de la
alternativa xl sobre la alternativa xk [115, 149, 169],
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
Tradicionalmente, en los problemas de TDG en ambientes difusos, los expertos
expresan sus preferencias sobre el conjunto de alternativas X utilizando relaciones
de preferencia difusas valoradas numericamente en [0, 1] [33, 64, 102, 179],
µPei: X ×X → [0, 1]
Partiendo de esta representacion, de los valores plki se debe destacar que:
plki = 1/2, significa que hay indiferencia sobre la preferencia entre ambas
alternativas.
plki ≥ 1/2, significa que la alternativa xl es preferida sobre la xk.
plki = 1, significa que la alternativa xl es totalmente preferida sobre la xk.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 23
En los problemas de decision es importante que las opiniones de los expertos
sean consistentes. Para garantizar esta consistencia a las relaciones de preferencia
se les puede requerir que satisfagan algunas de las siguientes propiedades [86, 144]:
Reciprocidad: plki + pkl
i = 1,∀l, k = 1, . . . , n
Completitud: plki + pkl
i ≥ 1,∀l, k = 1, . . . , n
Transitividad max-min: plki ≥ min(plj
i , pjki ), ∀l, j, k = 1, . . . , n
Transitividad max-max: plki ≥ max(plj
i , pjki ), ∀l, j, k = 1, . . . , n
Transitividad max-min restrictiva: plji ≥ 0.5, pjk
i ≥ 0.5 ⇒ pjki ≥ min(plj
i , pjki ),
∀l, j, k = 1, . . . , n
Transitividad max-max restrictiva: plji ≥ 0.5, pjk
i ≥ 0.5 ⇒ pjki ≥ max(plj
i , pjki ),
∀l, j, k = 1, . . . , n
Transitividad aditiva: plji + pjk
i − 0.5 = plki , ∀l, j, k = 1, . . . , n
En las relaciones de preferencia es habitual no definir los elementos de la
diagonal principal o en el caso de hacerlo asignarles el valor plli = 1/2. Esto se
debe a que no tiene sentido comparar cada alternativa consigo misma.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Las preferencias dadas por el experto 1 sobre el conjunto de alternativas
X definido en un dominio numerico en [0, 1] utilizando una relacion de preferencia
difusa Pe1 tendrıa el siguiente aspecto:
24 1.2. Modelado de Preferencias
Pe1 =
− 0.3 0.7 0
0.7 − 0.6 0.6
0.3 0.4 − 0.2
1 0.4 0.8 −
Finalmente destacar que las relaciones de preferencia han sido utilizadas sa-
tisfactoriamente por muchos autores para resolver problemas decision en grupo
[60, 77, 85, 99, 101, 158], siendo tambien utilizadas en las propuestas de esta
memoria para representar las preferencias de los expertos.
1.2.2. Dominios de expresion de preferencias
En problemas de decision entendemos por dominio de expresion de preferencias
el dominio de informacion utilizado por los expertos para expresar sus preferencias.
En la literatura podemos encontrar problemas de toma de decision en los que
todos los expertos expresan sus preferencias en el mismo dominio de informacion,
hablandose de problemas definidos en contextos homogeneos [16, 31, 47, 59, 72,
75, 112, 114, 117, 120, 135, 159], o bien problemas en los que los expertos utili-
zan dominios de informacion diferentes, conocidos como problemas definidos en
contextos heterogeneos [46, 61, 83, 86, 177].
En problemas de TDG, la eleccion de un dominio de informacion para expresar
las preferencias puede deberse a varios motivos:
a) Expertos con diferente grado de conocimiento sobre el problema. La expe-
riencia de los expertos en la resolucion de problemas similares puede impli-
car que unos expertos opten por elegir dominios de expresion de preferencias
precisos como valores numericos exactos (0, 1, 100, 2500, ...) frente a otros
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 25
expertos con menos experiencia y que se sientan mas comodos utilizando
dominios mas flexibles como los intervalos.
b) Pertenencia de los expertos a diferentes areas de conocimiento. Siempre que
sea posible, cada experto tendera a utilizar un dominio de informacion que
le resulte cercano al tipo de informacion con el que este acostumbrado a tra-
bajar en su respectiva area de trabajo. Ası, expertos pertenecientes a areas
tecnicas se sentiran comodos utilizando valoraciones numericas mientras que
aquellos pertenecientes a areas sociales pueden preferir utilizar otro tipo de
valoraciones no numericas como las linguısticas.
c) Naturaleza cuantitativa o cualitativa de la informacion con la que se este tra-
bajando. La naturaleza del fenomeno que se este evaluando puede condicio-
nar el dominio utilizado para su valoracion. Fenomenos de naturaleza cuan-
titativa admiten mucho mejor valoraciones de tipo numerico que aquellos
otros de naturaleza cualitativa en los que al tratarse por ejemplo sensacio-
nes o percepciones de los expertos, el uso de otro tipo de valoraciones como
palabras o terminos linguısticos (“bueno”, “malo”, “mejor”, ...) puede ser
mucho mas apropiado [32, 72, 82, 98, 116].
Adaptar el modelado de preferencias al contexto en el que se desarrolla el
problema de decision consigue que los expertos se sientan mas seguros a la hora
de valorar sus preferencias y por lo tanto que la solucion final tenga mayor garantıa
de exito [51].
En la literatura [46, 59, 86, 112, 177] encontramos que los expertos utilizan
principalmente tres tipos de dominios de informacion para expresar sus preferen-
cias:
26 1.2. Modelado de Preferencias
Dominio Numerico
Dominio Intervalar
Dominio Linguıstico
Ejemplos, caracterısticas y una breve justificacion de las circunstancias en
las que es adecuado utilizar un dominio u otro se presentan en los siguientes
apartados.
1.2.2.1 Dominio Numerico
El uso del dominio numerico para modelar las preferencias implica que los
expertos expresen sus preferencias mediante valores numericos. Dentro del area de
investigacion en la que estamos trabajando, sobre este dominio podemos encontrar
dos variantes:
a) Numerico Binario. Como su propio nombre indica, el modelado numerico
binario se caracteriza por utilizar exclusivamente dos valores para cuantificar la
utilidad de cada alternativa. Normalmente se utilizan los valores {0, 1}, donde
el 0 representa una valoracion negativa de la alternativa y el 1 representa una
valoracion positiva.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Cada experto i utiliza un vector de utilidades U i = {ui
1, . . . , uin} para
expresar sus preferencias, donde a cada alternativa de X se le asigna un valor de
utilidad del dominio binario, uij ∈ {0, 1}. Los valores dados por e1 y e2 pueden ser
los siguientes:
U1 = {1, 0, 0, 1}
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 27
U2 = {0, 0, 1, 0}
donde las alternativas x1 y x4 son valoradas positivamente por el experto 1 y las
alternativas x1, x2 y x4 reciben una valoracion negativa por parte del experto 2.
El modelado de preferencias utilizando dominios binarios ha formado parte
de la vision clasica y “crisp” de la toma de decision en la que los expertos solo
podıan indicar si una alternativa era considerada como buena o mala para resolver
el problema, no teniendo la posibilidad de introducir cierta incertidumbre sobre
la utilidad o bondad de cada alternativa como solucion al problema. Esta forma
tan rıgida o “crisp” de expresion de preferencias ha ido cambiando con el tiempo
y ha tendido hacia el uso de dominios menos restrictivos que permiten reflejar la
incertidumbre presente en los problemas de decision.
b) Numerico normalizado en el intervalo [0, 1]. Los expertos utilizan un
valor numerico dentro del intervalo [0, 1] para modelar la preferencia sobre cada
alternativa [64, 86, 115]. A diferencia del dominio anterior donde solo se admiten
dos posibles valores, ahora se pueden utilizar valores reales dentro de este intervalo
que permiten establecer un orden de preferencia entre las distintas alternativas en
funcion de la utilidad asignada a cada una de ellas.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Un ejemplo de preferencias dadas por los expertos 1 y 2 sobre el conjunto
de alternativas X utilizando un dominio de expresion dentro del intervalo [0, 1] y
vectores de utilidad podrıa ser el siguiente:
U1 = {1, 0.2, 0, 0.6}
U2 = {0, 0.4, 0.7, 0.9}
28 1.2. Modelado de Preferencias
Podemos comprobar como el experto 1 considera que la alternativa x1 es la mejor
y le asigna una utilidad maxima. Por el contrario, considera la alternativa x3 peor
que la x2 asignandole una utilidad de 0 y 0.2 respectivamente. Para el experto 2,
la mejor alternativa serıa x4 y la peor la x1.
1.2.2.2 Dominio Intervalar
El hecho de considerar la incertidumbre en los problemas de decision ha ori-
ginado la necesidad de definir modelados de preferencias mas flexibles capaces
de recoger dicha incertidumbre, siendo el modelado intervalar uno de ellos. La
valoracion de alternativas por medio de intervalos [a, a] (a ≤ a) se ha mostra-
do como una tecnica eficaz para tratar la incertidumbre en ciertos problemas de
decision [2, 112, 150]. Los expertos han de valorar alternativas sobre las que no
tienen un conocimiento lo suficientemente preciso para asignarles valores exactos
mediante un valor numerico. En estos casos la utilizacion del modelado de prefe-
rencias mediante valores intervalares hace que los expertos se sientan mas seguros
en sus valoraciones y que los resultados de problema aunque no sean exactos esten
delimitados.
Un ejemplo de problema de decision donde puede apreciarse como el uso de
intervalos resuelve el problema de la incertidumbre podrıa ser el siguiente. Su-
pongamos que los expertos han de opinar sobre el consumo de combustible de
diferentes vehıculos con el proposito de elegir el vehıculo de menor consumo. Serıa
arriesgado e inapropiado que estimasen el consumo de combustible mediante un
valor numerico exacto debido a que si se llevase a cabo una prueba de consumo
real, el resultado tambien dependerıa de elementos externos no controlados por
los expertos (viento, pericia del conductor, etc) que anadirıan incertidumbre y
condicionarıan el resultado de la misma. En este caso el resultado del problema
serıa mas fiable si los expertos utilizasen intervalos [a, a] (ej., entre [5.0,6.0] li-
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 29
tros/100km) para expresar sus preferencias en lugar de utilizar valores numericos
precisos que no reflejarıan la incertidumbre del problema.
En los problemas consultados en la literatura donde se utilizan intervalos [2,
86], los expertos expresan sus preferencias mediante intervalos del tipo [a, a] ∈[0, 1]. En el caso de que no estuviesen definidos dentro de este rango tan solo
habrıa que aplicar un proceso de normalizacion en [0, 1].
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Los expertos 1 y 2 pueden expresar sus preferencias sobre el conjunto de
alternativas X utilizando un dominio de expresion intervalar en [0, 1] y vectores
de utilidad como:
U1 = {[0.5, 0.7], [0.2, 0.5], [0, 0.2], [0.7, 1]}
U2 = {[0, 0.3], [0.3, 0.7], [0.7, 0.8], [0.8, 1]}
En este ejemplo, la alternativa mejor valorada por el experto 1 es la numero 4,
pero debido a la existencia de incertidumbre, el experto ha preferido utilizar un
intervalo de utilidad [0.7, 1] en lugar de un valor numerico mas preciso.
1.2.2.3 Dominio Linguıstico
Los expertos pueden utilizar un modelado de preferencias linguıstico en aque-
llas situaciones de decision en las que la informacion disponible es demasiado
imprecisa o se valoran aspectos cuya naturaleza recomienda el uso de valoraciones
cualitativas [34, 45, 72, 171, 173]. En estas situaciones, el experto puede consi-
derar mas adecuado utilizar una palabra o termino linguıstico para expresar sus
preferencias que un valor numerico mas o menos preciso.
30 1.2. Modelado de Preferencias
Son muchas las ocasiones en las que los expertos se sienten mas comodos uti-
lizando este tipo de dominios linguısticos, sobre todo si han de valorar aspectos
relacionados con percepciones humanas muchas veces expresadas de forma im-
precisa y donde es habitual utilizar palabras del lenguaje natural en lugar de
numeros. Como ejemplo podemos citar el propuesto en [116] para valorar el nivel
de confort de un vehıculo. En este caso concreto, los expertos pueden preferir uti-
lizar palabras como “malo”, “bueno”, “aceptable” para expresar su opinion sobre
el grado de confort de un vehıculo en lugar de utilizar valores numericos.
Ejemplo
Sea E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) un conjunto finito de expertos que han de expre-
sar sus preferencias sobre un conjunto finito de alternativas X = {x1, x2, . . . , xn}(n = 4). Sea S = {muy malo, malo, normal, bueno, muy bueno} el conjunto de
terminos o etiquetas linguısticas utilizadas por los expertos para expresar sus
preferencias sobre el conjunto de alternativas X. Las preferencias dadas por los
expertos 1 y 2 utilizando vectores de utilidad podrıan ser las siguientes:
U1 = {muy malo, bueno, malo, muy bueno}
U2 = {muy bueno,malo, muy malo, normal}
En este ejemplo, segun la opinion del experto 1, la alternativa mejor valorada es
x4 y la peor valorada x1. Por el contrario, el experto 2 considera que la mejor
alternativa es x1 y la peor x3.
Dentro de la Toma de Decision Difusa, el Enfoque Linguıstico Difuso [171]
ha sido la disciplina encargada de modelar las preferencias de los expertos que
utilizan valoraciones linguısticas para expresar sus preferencias [1, 5, 14, 17, 45,
47, 81, 155, 158].
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 31
Debido a la importancia del Enfoque Linguıstico Difuso en nuestras inves-
tigaciones y en concreto en los modelos de sistemas de consenso propuestos en
esta memoria, se volvera a abordar en profundidad dentro de este capıtulo en la
Seccion 1.4.
1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa
de Conjuntos Difusos
La Teorıa de los Conjuntos Difusos propuesta por L. Zadeh en la decada de los
60 [170] tuvo por objeto modelar aquellos problemas donde los enfoques clasicos
resultaban insuficientes o no operativos. Dicha teorıa generaliza la nocion clasica
de conjunto e introdujo el concepto de “conjunto difuso” como aquel conjunto
cuya frontera no es precisa. Los conjuntos difusos surgen como una nueva forma
de representar la imprecision y la incertidumbre [109, 179] diferente al tratamien-
to tradicional llevado a cabo por la Teorıa Clasica de Conjuntos y Teorıa de la
Probabilidad. A lo largo de las cuatro decadas de existencia de la Teorıa de Con-
juntos Difusos, gran cantidad de investigadores le han prestado atencion en sus
investigaciones y la han aplicado en dos vertientes principales [133]:
1. Como una teorıa matematica formal [94, 129], ampliando conceptos e ideas
de otras areas de la matematica como el Algebra, la Teorıa de Grafos, la
Topologıa, etc., al aplicar conceptos de la Teorıa de Conjuntos Difusos a
dichas areas.
2. Como una potente herramienta para tratar situaciones del mundo real en
las que aparece incertidumbre (imprecision, vaguedad, inconsistencia, etc.).
32 1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos
Debido a la generalidad de esta teorıa, esta se adapta con facilidad a dife-
rentes contextos y problemas: Teorıa de Sistemas [22, 132], Teorıa de la
Decision [66, 64], Bases de Datos [18, 168], etc. En muchas ocasiones esto
implicara adaptar los conceptos originales de la Teorıa de los Conjuntos
Difusos a los diferentes contextos en los que se este trabajando.
En este apartado haremos una pequena revision de los conceptos basicos de la
Teorıa de Conjuntos Difusos que utilizaremos en esta memoria. Esta introduccion
no pretender ser exhaustiva sino una breve presentacion de dichos conceptos. Para
mayor detalle, vease [109].
1.3.1. Conjuntos difusos y funcion de pertenencia
La nocion de conjunto refleja la idea de agrupar colecciones de objetos que
cumple una o varias propiedades que caracterizan a dicho conjunto. Una propiedad
puede ser considerada como una funcion que a cada elemento del universo de
discurso X le asigna un valor en el conjunto {0, 1}, de forma que si el elemento
pertenece al conjunto, es decir, cumple la propiedad se le asigna el valor 1 o en
caso contrario el valor 0.
Definicion 1.1. Sea A un conjunto en el universo X, la funcion caracterıstica
asociada a A, A(x), x ∈ X, se define como:
A(x) =
1, si x ∈ A
0, si x 6∈ A.
La funcion A : X −→ {0, 1} induce una restriccion, con un lımite bien definido,
sobre los objetos del universo X que pueden ser asignados al conjunto A.
El concepto de conjunto difuso lo que hace es relajar esta restriccion y admite
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 33
valores intermedios en la funcion caracterıstica, que pasa a denominarse funcion
de pertenencia.
Esta relajacion permite una interpretacion mas realista de ciertos contextos de
trabajo. La mayorıa de las categorıas que describen los objetos del mundo real no
tienen unos lımites claros y bien definidos, por ejemplo, ordenador potente, buen
sabor, coche veloz, etc. (las palabras en italica identifican fuentes de imprecision).
Si un objeto pertenece a una categorıa con un grado de pertenencia que puede ser
expresado por un numero real en el intervalo [0, 1], cuanto mas cercano a 1 sea
el grado, indicara mayor pertenencia a esa categorıa determinada y cuanto mas
cercano a 0 indicara menor pertenencia a dicha categorıa.
1.3.2. Definicion basica de conjunto difuso
Un conjunto difuso puede definirse como una coleccion de objetos con valores
de pertenencia entre 0 (exclusion completa) y 1 (pertenencia completa). Los valo-
res de pertenencia expresan los grados con los que cada objeto es compatible con
las propiedades o caracterısticas distintivas de la coleccion. Formalmente podemos
definir los conjuntos difusos como sigue [170]:
Definicion 1.2. Un conjunto difuso A sobre X esta caracterizado por una funcion
de pertenencia que transforma los elementos de un dominio, espacio, o universo
del discurso X en el intervalo [0, 1].
µA : X −→ [0, 1].
Ası, un conjunto difuso A en X puede representarse como un conjunto de pares
ordenados de un elemento generico x, x ∈ X y su grado de pertenencia µA(x):
A = {(x, µA(x))/ x ∈ X, µA(x) ∈ [0, 1]}
34 1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos
Claramente, un conjunto difuso es una generalizacion del concepto de conjunto
cuya funcion de pertenencia toma solo dos valores {0, 1}.Ejemplo
Consideremos el concepto “persona joven”, en un contexto donde se clasifica
a las personas atendiendo exclusivamente a la edad que oscila en el intervalo
E = [1, 110] anos. Una persona cuya edad sea menor o igual a 30 anos se puede
considerar como joven y por lo tanto se le asignara un valor 1 a su grado de
pertenencia al conjunto difuso de personas jovenes. Una persona con una edad
igual o superior a 65 anos no puede considerarse como una persona joven y de
ahı que se le asigne el valor 0 al grado de pertenencia al conjunto difuso de persona
joven. La cuantificacion del resto de valores puede llevarse a cabo mediante una
funcion de pertenencia µJ : E −→ [0, 1] que caracteriza el conjunto difuso J de
personas jovenes en el universo E = [1, 110].
µJ(x) =
1 x ∈ [1, 30]
1− x−3035
x ∈ (30, 65)
0 x ∈ [65, 110].
Los conjuntos difusos pueden ser definidos sobre universos finitos o infinitos usan-
do distintas notaciones. Si un universo X es discreto y finito, con cardinalidad n,
el conjunto difuso puede expresarse con un vector n-dimensional cuyos valores son
los grados de pertenencia de los correspondientes elementos de X. Por ejemplo,
si X = {x1, ..., xn}, entonces un conjunto difuso A = {(ai/xi)|xi ∈ X}, donde
ai = µA(xi), i = 1, ..., n, puede notarse por [109]:
A = a1/x1 + a2/x2 + ... + an/xn =n∑
i=1
ai/xi.
Cuando el universo X es continuo, para representar un conjunto difuso usamos la
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 35
siguiente expresion:
A =
∫
x
a/x,
donde a = µA(x) y la integral deberıa ser interpretada de la misma forma que el
sumatorio en el universo finito.
A continuacion, introducimos otros conceptos basicos a la hora de trabajar con
conjuntos difusos, como son el soporte, el nucleo y el α-corte de un conjunto
difuso:
Definicion 1.3. El soporte de un conjunto difuso A, Soporte(A), es el conjunto
de todos los elementos de x ∈ X, tales que, el grado de pertenencia sea mayor que
cero.
Soporte(A) = {x ∈ X | µA(x) > 0}.
Si esta definicion la restringimos a aquellos elementos del universo X con grado
de pertenencia igual a 1, tendrıamos el nucleo del conjunto difuso.
Definicion 1.4. El nucleo de un conjunto difuso A, Nucleo(A), es el conjunto de
todos los elementos de x ∈ X, tales que el grado de pertenencia es igual a 1.
Nucleo(A) = {x ∈ X | µA(x) = 1}.
En muchas ocasiones puede ser interesante conocer no solo los elementos que
pertenecen en algun grado al conjunto difuso, sino tambien conocer el conjunto
de aquellos elementos que lo hacen con un valor al menos igual o mayor que un
umbral determinado α. Estos conjuntos se denominan α-cortes.
Definicion 1.5. Sea A un conjunto difuso sobre el universo X, dado un numero
α ∈ [0, 1]. Se define el α-corte sobre A, αA, como un conjunto que contiene todos
los valores del universo X cuya funcion de pertenencia en A sea mayor o igual al
36 1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos
valor α:
αA = {x ∈ X | µA(x) ≥ α}.
1.3.3. Tipos de funciones de pertenencia
En principio cualquier funcion µA : X −→ [0, 1], describe una funcion de per-
tenencia asociada a un conjunto difuso A que depende no solo del concepto que
representa, sino tambien del contexto en el que se usa. Las graficas de las fun-
ciones pueden tener diferentes representaciones o formas y pueden tener algunas
propiedades especıficas (ej., continuidad).
Los conjuntos difusos suelen representarse con familias de funciones parametri-
cas. Las mas comunes son las siguientes:
1. Funcion Triangular:
µA(x) =
0 si x ≤ a
x−ab−a
si x ∈ [a, b]
c−xc−b
si x ∈ [b, c]
0 si x ≥ c,
donde b es el punto modal de la funcion triangular y a y c los lımites inferior
y superior, respectivamente, para los valores no nulos de µA(x).
2. Funcion Trapezoidal:
µA(x) =
0, si x ≤ a
x−ab−a
si x ∈ [a, b]
1 si x ∈ [b, d]
c−xc−d
si x ∈ [d, c]
0 si x ≥ c,
donde b y d indican el intervalo donde la funcion de pertenencia vale 1.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 37
3. Funcion Gaussiana:
A(x) = e−k(x−m)2 ,
donde k > 0.
1.3.4. Principio de extension
El Principio de Extension es un concepto basico de la Teorıa de Conjuntos
Difusos utilizado para generalizar conceptos matematicos no difusos a conjuntos
difusos. A lo largo del tiempo han aparecido diferentes formulaciones de este
concepto [96, 109, 171] que se puede definir como:
Definicion 1.6. Sea X el producto cartesiano de los universos X1, ..., Xr y sean
A1, ..., Ar, r conjuntos difusos en X1, ..., Xr respectivamente. Sea f una funcion
definida desde el universo X, (X = X1× ...×Xr), al universo Y , y = f(x1, ..., xr).
El Principio de Extension nos permite definir un conjunto difuso B en Y , a partir
de los conjuntos difusos A1, ..., Ar representando su imagen a partir de la funcion
f , de acuerdo a la siguiente expresion,
B = {(y, µB(y))/y = f(x1, ..., xr), (x1, ..., xr) ∈ X}
donde
µB(y) =
sup(x1,...,xr)∈f−1(y) mın{µA1(x1), ..., µAr
(xr)}, si f−1(y) 6= ∅0, en otro caso.
Para r = 1, el Principio de Extension se reduce a:
B = f(A) = {(y, µB(y))/y = f(x), x ∈ X)
donde
µB(y) =
supx∈f−1(y) µA(x), si f−1(y) 6= ∅0, en otro caso.
38 1.3. Nociones y Conceptos Basicos de la Teorıa de Conjuntos Difusos
1.3.5. Numero difuso
Entre los distintos tipos de conjuntos difusos, tienen una especial significacion
aquellos que estan definidos sobre el conjunto de los numeros reales, R.
A : R −→ [0, 1]
Bajo ciertas condiciones estos conjuntos difusos pueden ser vistos como “numeros
difusos” o “intervalos difusos”, definiendose el concepto de numero difuso como
[171]:
Definicion 1.7. Un numero difuso A es un subconjunto de R que verifica las
siguientes propiedades:
1. La funcion de pertenencia es convexa,
∀x, y ∈ R,∀x ∈ [0, 1], µA(z) ≥ min{µA(x), µA(y)}
2. Para cualquier α ∈ (0, 1], αA debe ser un intervalo cerrado.
3. El soporte de A debe ser finito.
4. A esta normalizado,
supxµA(x) = 1
Casos particulares de numeros difusos [109]:
Los numeros reales (Figura 1.1.a).
Intervalos de numeros reales (Figura 1.1.b).
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 39
Valores aproximados (Figura 1.1.c).
Intervalos aproximados o difusos (Figura 1.1.d).
Figura 1.1: Ejemplos de numeros difusos
Para terminar esta seccion dedicada a los conjuntos difusos tan solo anadir
que las operaciones aritmeticas habituales sobre numeros reales se extienden a
los numeros difusos mediante el Principio de Extension presentado en el apartado
1.3.4
1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso
Los problemas presentes en el mundo real presentan aspectos que pueden ser
de distinta naturaleza. Cuando dichos aspectos o fenomenos son de naturaleza
40 1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso
cuantitativa, estos se valoran facilmente utilizando valores numericos mas o me-
nos precisos. Sin embargo, cuando se trabaja con informacion vaga e imprecisa o
cuando la naturaleza de tales aspectos no es cuantitativa sino cualitativa, no es
sencillo ni adecuado utilizar un modelado de preferencias numerico, aconsejando-
se utilizar otro tipo de modelado como por ejemplo el linguıstico. Este tipo de
aspectos suelen aparecer frecuentemente en problemas en los que se pretende eva-
luar fenomenos relacionados con percepciones y relaciones de los seres humanos
(diseno, gusto, ...). En estos casos se suele utilizar palabras del lenguaje natural
(bonito, feo, dulce, salado, simpatico, ...) en lugar de valores numericos para emi-
tir tales valoraciones. Tal y como se indica en [33, 173], el uso de un modelado
linguıstico de preferencias puede deberse a varias razones:
1. La informacion disponible con la que trabajan los expertos es demasiado
vaga o imprecisa para ser valorada utilizando valores numericos precisos.
2. Situaciones en las que la informacion no puede ser cuantificada debido a
su naturaleza, y ası, solo puede “medirse” utilizando terminos linguısticos
(ej., como se vio anteriormente al evaluar el “confort” o el “diseno” de un
coche [116], el uso de terminos como “bueno”, “medio”, “malo” suelen ser
habituales).
3. Informacion cuantitativa que no puede medirse porque no estan disponibles
los elementos necesarios para llevar a cabo una medicion exacta o porque
el coste de su medicion es muy elevado. En este caso el uso de un “valor
aproximado” que permita reflejar los distintos valores del problema puede
ser adecuado (ej., imaginemos una situacion en la que se pretende evaluar la
velocidad de un coche y no disponemos de cronometro, sirviendonos tan solo
de nuestras percepciones, entonces se puede utilizar terminos linguısticos
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 41
como “rapido”, “muy rapido”, “lento” para medir la velocidad en lugar de
valores numericos).
El Enfoque Linguıstico Difuso, que tiene como base teorica la Teorıa de los
Conjuntos Difusos, se ha mostrado como una tecnica eficaz para valorar aspectos
de naturaleza cualitativa [1, 5, 14, 17, 45, 47, 73, 155, 158, 164]. Utiliza varia-
bles linguısticas cuyo dominio de expresion son conjuntos de palabras o terminos
linguısticos [171].
Una variable linguıstica se caracteriza por un valor sintactico o etiqueta y por
un valor semantico o significado. La etiqueta es una palabra o frase perteneciente
a un conjunto de terminos linguısticos y el significado de dicha etiqueta viene
dado por un subconjunto difuso en un universo del discurso. Al ser las palabras
menos precisas que los numeros, el concepto de variable linguıstica es una buena
propuesta para caracterizar aquellos fenomenos que no son adecuados para poder
ser evaluados mediante valores numericos. Formalmente una variable linguıstica
se definen como [171]:
Definicion 1.8. Una variable linguıstica esta caracterizada por una quıntupla
(H,T(H),U ,G,M), en la que:
H es el nombre de la variable.
T(H) es el conjunto de valores linguısticos o etiquetas linguısticas.
U es el universo de discurso de la variable.
G es una regla sintactica (que normalmente toma forma de gramatica) para
generar los valores de T(H).
42 1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso
M es una regla semantica que asocia a cada elemento de T(H) su significado.
Para cada valor L ∈ T (H), M(L) sera un subconjunto difuso de U .
Para resolver un problema desde el punto del vista del Enfoque Linguıstico
Difuso es necesario llevar a cabo dos operaciones fundamentales:
1. Eleccion de un adecuado conjunto de terminos linguısticos, T (H).
2. Definicion de la semantica asociada a cada termino linguıstico.
1.4.1. Eleccion del conjunto de terminos linguısticos
Para que una fuente de informacion (experto, juez, ...) pueda expresar con fa-
cilidad su informacion y/o conocimiento es necesario que disponga de un conjunto
apropiado de descriptores linguısticos. Un aspecto muy importante de este conjun-
to es el numero de etiquetas linguısticas disponible para expresar la informacion,
denominado la granularidad de la incertidumbre [15].
Se dice que un conjunto de terminos linguısticos tiene:
Una granularidad baja o un tamano de grano grueso cuando la cardinalidad
del conjunto de etiquetas linguısticas es pequena. Esto significa que el do-
minio esta poco particionado y que existen pocos niveles de distincion de la
incertidumbre, produciendose una perdida de expresividad.
Una granularidad alta o un tamano de grano fino cuando la cardinalidad del
conjunto de etiquetas linguısticas es alta. Esta situacion puede provocar un
aumento de la complejidad en la descripcion del dominio.
La cardinalidad de un conjunto de terminos linguısticos no debe ser demasia-
do pequena como para imponer una restriccion de precision a la informacion que
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 43
quiere expresar cada fuente de informacion, y debe ser lo suficientemente grande
para permitir hacer una discriminacion de las valoraciones en un numero limitado
de grados. Valores tıpicos de cardinalidad usados en modelos linguısticos son va-
lores impares, tales como 7 o 9, donde el termino medio representa una valoracion
de “aproximadamente 0.5”. El resto de los terminos se distribuyen alrededor de
este [15]. Estos valores clasicos de cardinalidad parecen estar dentro de la lınea de
observacion de Miller [124] sobre la capacidad humana, en la que se indica que se
pueden manejar razonablemente y recordar alrededor de siete o nueve terminos
diferentes.
Una vez establecida la cardinalidad es necesario un mecanismo para generar
los terminos linguısticos. Existen dos enfoques para esto, uno los define a partir de
una gramatica libre de contexto y el otro mediante un orden total definido sobre
el conjunto de terminos. A continuacion analizamos ambos mecanismos.
1. Enfoque basado en una Gramatica Libre de Contexto.
Una posibilidad para generar el conjunto de terminos linguısticos consiste en
utilizar una gramatica libre de contexto G, donde el conjunto de terminos perte-
nece al lenguaje generado por G [14, 17, 172]. Una gramatica generadora, G, es
una 4-tupla (VN , VT , I, P ), siendo VN el conjunto de sımbolos no terminales, VT
el conjunto de sımbolos terminales, I el sımbolo inicial y P el conjunto de reglas
de produccion. La eleccion de estos cuatro elementos determinara la cardinalidad
y forma del conjunto de terminos linguısticos. El lenguaje generado deberıa ser
lo suficientemente grande para que pueda describir cualquier posible situacion del
problema.
De acuerdo con las observaciones de Miller [124], el lenguaje generado no tiene
que ser infinito, sino mas bien facilmente comprensible.
44 1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso
Por ejemplo, entre los sımbolos terminales y no terminales de G podemos en-
contrar terminos primarios (ej.: alto, medio, bajo), modificadores (ej.: no, mucho,
muy, mas o menos), relaciones (ej.: mayor que, menor que) y conectivos (ej.: y, o,
pero). Construyendo I como cualquier termino primario, el conjunto de terminos
linguısticos T (H) = {muy alto, alto, alto o medio, ...} se genera usando P .
2. Enfoque basado en Terminos Primarios con una Estructura ordena-
da.
Una alternativa para reducir la complejidad de definir una gramatica consiste
en dar directamente un conjunto de terminos distribuidos sobre una escala con
un orden total definido [16, 76, 162, 164]. Por ejemplo, consideremos el siguiente
conjunto de siete etiquetas T (H) = {N, MB, B, M,A, MA,P}:
s0 = N = Nada s1 = MB = Muy Bajo s2 = B = Bajo
s3 = M = Medio s4 = A = Alto s5 = MA = Muy Alto
s6 = P = Perfecto
donde si < sj si y solo si i < j.
Normalmente en estos casos es necesario que los terminos linguısticos satisfa-
gan las siguientes condiciones adicionales:
1. Existe un operador de negacion. Por ejemplo, Neg(si) = sj, j = g − i (g+1
es la cardinalidad de T (H)).
2. Tiene un operador de maximizacion: max(si, sj) = si si si ≥ sj.
3. Tiene un operador de minimizacion: mın(si, sj) = si si si ≤ sj.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 45
1.4.2. Semantica del conjunto de terminos linguısticos
En la literatura existen varios enfoques para definir la semantica del conjunto
de etiquetas linguısticas [16, 153, 154, 162], siendo uno de los mas utilizados el
enfoque basado en funciones de pertenencia [15, 17, 47, 113, 151].
Este enfoque define la semantica del conjunto de terminos linguısticos utili-
zando numeros difusos en el intervalo [0, 1], donde cada numero difuso es descrito
por una funcion de pertenencia.
Un metodo eficiente desde un punto de vista computacional para caracterizar
un numero difuso es usar una representacion basada en parametros de su fun-
cion de pertenencia [14]. Debido a que las valoraciones linguısticas dadas por las
fuentes de informacion son aproximaciones, algunos autores consideran que las
funciones de pertenencia trapezoidales son lo suficientemente buenas para repre-
sentar la vaguedad de dichas valoraciones linguısticas [14, 15, 47, 151, 152]. Esta
representacion parametrica se expresa usando una 4-tupla (a, b, d, c) se muestra
en la Figura 1.2. Los parametros “b” y “d” indican el intervalo en el que la funcion
de pertenencia vale 1; mientras que “a” y “c” indican los extremos izquierdo y
derecho de la funcion de pertenencia [14].
a b cd
1
Figura 1.2: Numero difuso trapezoidal
46 1.4. El Enfoque Linguıstico Difuso
En la Figura 1.3 se muestra la semantica de una variable linguıstica que evalua
la altura de una persona utilizando numeros difusos definidos por funciones de
pertenencia trapezoidales:
T (Altura) = {Muy bajo, Bajo, Mediano, Alto, Muy Alto}
Muy Bajo = (0, 0, 1.2, 1.25)
Bajo = (1.2, 1.25, 1.35, 1.4)
Mediano = (1.35, 1.4, 1.6, 1.65)
Alto = (1.6, 1.65, 1.85, 1.9)
Muy Alto = (1.85, 1.9, 2, 2)
Figura 1.3: Definicion semantica de la variable linguıstica altura
Un caso particular de este tipo de representacion son las funciones de perte-
nencia triangulares, en las que b = d. Se representan mediante una 3-tupla (a,b,c),
donde “b” es el valor donde la funcion de pertenencia vale 1, mientras que “a” y
“c” indican los extremos izquierdo y derecho de la funcion.
La Figura 1.4 muestra el mismo conjunto visto anteriormente pero represen-
tado ahora con funciones de pertenencia triangulares.
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 47
Muy bajo Bajo Mediano Alto Muy alto
0 0.25 0.5 0.75 1
Figura 1.4: Conjunto de 5 etiquetas linguısticas uniformemente distribuidas
Otros autores usan otro tipo de funciones como por ejemplo funciones Gaus-
sianas [17].
Este enfoque implica establecer las funciones de pertenencia asociadas a cada
etiqueta. Esta tarea presenta el problema de determinar los parametros segun los
puntos de vista de todas las fuentes de informacion. En la realidad, es difıcil que
todas las fuentes de informacion propongan exactamente las mismas funciones
de pertenencia asociadas a los terminos linguısticos primarios, debido a que cada
una de ellas puede interpretar de forma parecida pero a la vez diferente el mismo
concepto. Por ejemplo, en la Figura 1.5, vemos dos percepciones muy cercanas
pero diferentes de la evaluacion del concepto “excelente”.
Por lo tanto, pueden darse el caso de terminos linguısticos con una sintaxis
similar pero con diferente semantica [73]. Este tipo de situaciones pueden pre-
sentarse en problemas de TDG en contextos linguısticos donde algunos expertos
utilizan conjuntos de terminos linguısticos iguales en sintaxis y cardinalidad pero
con diferente semantica. Este tipo de problemas son los que abordamos en esta
memoria tal y como veremos en el siguiente capıtulo.
48 1.5. Resolucion de Problemas de TDG en Ambiente Difuso
excelente excelentebueno
10
(1) (2)
0 1
bueno
Figura 1.5: Distribuciones diferentes del concepto “excelente”
1.5. Resolucion de Problemas de TDG en Am-
biente Difuso
Tomar decisiones en grupo, como su propio nombre indica, implica la parti-
cipacion de varias personas que han de tomar decisiones de forma colectiva para
alcanzar una solucion comun a un problema.
En el ambito empresarial, las decisiones de mayor relevancia han sido tomadas
normalmente por los directivos pertenecientes a los niveles intermedios y/o supe-
riores de la estructura de la organizacion [4, 57] (Figura 1.6). Tradicionalmente
estas decisiones ha sido propuestas a tıtulo individual por un unico individuo que
se ha encargado de evaluar las diferentes alternativas segun sus propios criterios,
conocimientos e intuiciones. Sin embargo, en la actualidad esta vision individua-
lizada de la toma de decision esta cambiando hacia otra vision mas moderna en
la que las decisiones son tomadas colectivamente por un grupo de individuos. Es-
tos individuos poseen puntos de vista diferentes e informacion relevante sobre el
problema que han de tenerse en cuenta para obtener la solucion final al mismo.
Un proceso de toma de decision en el que participen varios individuos o expertos,
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 49
NIVEL ESTRATÉGICO
NIVEL DE GESTIÓN
NIVEL OPERATIVO
Tras
cend
encia
de
las
Decis
ione
s
Figura 1.6: Niveles de decision
cada uno de ellos aportando sus propios conocimientos, experiencia y creatividad,
dara como resultado una decision de mayor calidad que aquella aportada por un
solo experto [136, 143].
Un problema de TDG se caracteriza por:
i) La existencia de un problema o cuestion comun a resolver.
ii) Un conjunto de posibles alternativas entre las que escoger.
X = {x1, x2, . . . , xn} (n ≥ 2)
iii) Un conjunto de individuos (jueces, expertos, ...) que expresan sus juicios,
opiniones o preferencias sobre el conjunto de alternativas y que tienen la
intencion de alcanzar una solucion en comun al problema planteado.
E = {e1, e2, . . . , em} (m ≥ 2)
Cuando el problema de TDG se lleva a cabo en un ambiente de incertidumbre
en el que los expertos trabajan con informacion vaga e imprecisa como es el caso
50 1.5. Resolucion de Problemas de TDG en Ambiente Difuso
de los problemas tratados en esta memoria, hablaremos de problemas de TDG
definidos en ambientes difusos.
En la literatura podemos encontrar muchos trabajos donde se aborda la reso-
lucion de problemas de TDG en ambientes difusos aplicando procesos de seleccion
de alternativas [46, 61, 75, 114, 120, 159, 177]. Este proceso consiste en obtener la
alternativa o conjunto de alternativas que mejor resuelve el problema de decision
planteado a partir de las preferencias expresadas por el grupo de expertos.
Un inconveniente que puede aparecer en los problemas de TDG resueltos lle-
vando a cabo exclusivamente el proceso de seleccion consiste en que una parte de
los expertos considere que sus opiniones no han sido tenidas en cuenta a la hora
de obtener la solucion y por lo tanto la rechacen. Para evitar esta situacion no
deseable, parece logico plantearse la posibilidad de llevar a cabo un proceso de
consenso previo al proceso de seleccion. En este proceso los expertos expresan y
discuten sobre sus opiniones e intentan aproximarlas con el proposito de alcanzar
un nivel de acuerdo alto antes de tomar una decision (Figura 1.7).
Ambos procesos se describen brevemente en las siguientes secciones, dedican-
dose el Capıtulo 2 a explicar en detalle el funcionamiento del proceso de consenso.
1.5.1. Proceso de consenso
El proceso de consenso consiste en un proceso de discusion entre el grupo
de expertos con el objeto de acercar sus preferencias y alcanzar un grado de
consenso mınimo antes de pasar a seleccionar el conjunto de alternativas solucion
a un problema de TDG. Esta compuesto por varias rondas de consenso donde
los expertos expresan sus preferencias sobre el conjunto de alternativas. En cada
una de estas rondas los expertos discuten y justifican sus preferencias. Como
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 51
MODERADOR
ALTERNATIVA(S)SOLUCIÓN
OPINIONES
RECOMENDACIONES
CONJUNTO DEALTERNATIVAS
CONJUNTO DEINDIVIDUOS
TOMA DE DECISIÓN EN GRUPO
PROCESO DECONSENSO
PROCESO DESELECCIÓN DEALTERNATIVAS
OPINIONESCONSENSUADAS
PROBLEMA
Figura 1.7: Proceso de consenso y seleccion en problemas de TDG.
consecuencia de esa discusion, los expertos cambian sus preferencias siguiendo las
recomendaciones de una persona que hace la funcion de moderador. El proposito
de estos cambios es aproximar las preferencias y de este modo aumentar el nivel
de acuerdo en la siguiente ronda de consenso.
Debido a la importancia que el proceso de consenso tiene en los problemas de
TDG para evitar que la solucion obtenida sea rechazada por algun miembro del
grupo, en esta memoria nos hemos planteado abordar la mejora y automatizacion
de este proceso.
1.5.2. Proceso de seleccion
El proceso de seleccion de alternativas consiste en la eleccion de la mejor o
mejores alternativas que resuelvan el problema planteado.
En los problemas de TDG, tradicionalmente el proceso de seleccion ha estado
52 1.5. Resolucion de Problemas de TDG en Ambiente Difuso
EXPLOTACIÓN
(Criterio de selección)
PREFERENCIAS DELOS EXPERTOS
AGREGACIÓN
PROCESO DE SELECCIÓN DEALTERNATIVAS
Alternativa/ssolución
(Operador de agregación)
Figura 1.8: Fases del proceso de seleccion en problemas de TDG
compuesto por las dos fases que se muestran en la Figura 1.8 [64, 139]:
a) Agregacion: La fase de agregacion consiste en la combinacion de las prefe-
rencias individuales de los expertos con el proposito de obtener una unica
preferencia colectiva que refleje de forma resumida las preferencias aporta-
das por el conjunto de expertos. Esta combinacion de preferencias se realiza
utilizando operadores de agregacion.
El problema de la agregacion de informacion ha sido ampliamente estudiado
en la literatura, existiendo una gran cantidad de publicaciones al respecto
[10, 11, 27, 42, 53, 54, 68, 161, 162]. Para llevar a cabo la operacion de agrega-
cion es necesario definir una funcion de agregacion encargada de transformar
todas las preferencias individuales en una unica preferencia colectiva.
Las distintas formas de llevar a cabo la combinacion de las preferencias
han originado que muchos autores se hayan dedicado al estudio y diseno de
operadores de agregacion de informacion, entre los que cabe destacar:
1. Agregacion de informacion cuantitativa:
Problemas de Toma de Decision en Grupo en Ambiente Difuso 53
Operadores conjuntivos (t-normas), disyuntivos (t-conormas) y ope-
radores promedio [3, 53, 125, 126].
Operadores de agregacion de informacion ponderada “MAX” y
“MIN” [53, 54].
Operadores promedio ponderados [42, 43, 161, 162].
2. Agregacion de informacion cualitativa [30, 48, 67, 76, 87, 151, 152, 163,
164, 166].
b) Explotacion: En la fase de explotacion se selecciona la/s mejor/es alternati-
va/s para resolver el problema de decision a partir de la preferencia colectiva
obtenida en la fase de agregacion.
Para llevar a cabo esta fase es necesario definir un criterio de seleccion que
permita establecer un orden entre el conjunto de alternativas al problema.
El procedimiento que normalmente se sigue es la utilizacion de una funcion
de seleccion que asigna un grado de seleccion a cada una de las alternativas.
El grado de seleccion establece un orden de preferencia entre el conjunto
de alternativas. Se utilizan funciones de seleccion que permiten medir la in-
tensidad del grado de seleccion en cada alternativa. Aquellas alternativas
con mayor intensidad son las que constituyen el conjunto de alternativas
solucion al problema de decision. Dos funciones de seleccion utilizadas fre-
cuentemente en la literatura son las siguientes [7, 71, 130, 138]:
Funcion de Dominancia. Mide e indica el grado en que una alternativa
es preferida o domina al resto de alternativas.
Funcion de No-dominancia. Mide e indica el grado en que una alterna-
tiva no es dominada por alguna del resto de alternativas.
Capıtulo 2
El Consenso en Problemas deToma de Decision en Grupo.
Segun la Real Academia de la Lengua Espanola, el termino consenso se define
como:
“Acuerdo producido por consentimiento entre todos los miembros deun grupo o entre varios grupos”
En este capıtulo se hace una revision profunda del concepto de consenso y
del proceso de busqueda del consenso en problemas de TDG. Comenzaremos des-
cribiendo la evolucion de este concepto a lo largo del tiempo continuando con
la descripcion detallada de las distintas fases que componen este proceso. Final-
mente, se concluira este capıtulo haciendo una revision de diferentes modelos de
consenso propuestos en la literatura.
2.1. Proceso de Consenso
Como se ha comentado anteriormente, en la literatura podemos encontrar gran
cantidad de trabajos relacionados con procesos de TDG en los que los problemas
55
56 2.1. Proceso de Consenso
son resueltos aplicando un proceso de seleccion de alternativas [46, 61, 75, 114,
120, 159, 177].
Sin embargo, tal y como recogen S. Saint y J. Lawson en [143], puede ocurrir
que en un proceso de TDG varios expertos consideren que sus preferencias no han
sido tenidas en cuenta para obtener la solucion final al problema y por lo tanto, la
rechacen o no se sientan identificados con ella. Para evitar esta situacion, parece
logico llevar a cabo un proceso en el que los expertos expresen sus preferencias,
las justifiquen y finalmente las aproximen con el proposito de alcanzar un nivel de
acuerdo aceptable entre todos ellos antes de tomar una decision sobre el problema.
Este proceso, al que denominaremos proceso de consenso, desarrolla la idea
del consenso en el mismo sentido en que aparece recogido en el diccionario de la
Real Academia [58], donde se define el termino consenso como:
“Acuerdo producido por consentimiento entre todos los miembros de ungrupo o entre varios grupos”
Segun esta definicion, un proceso de TDG en el que las decisiones se toman por
consenso implica que “ningun” experto esta en desacuerdo sobre tales decisiones,
aunque esto no significa que individualmente cada experto no pueda seguir pen-
sando que sus soluciones son mejores que las finalmente tomadas. Para que este
acuerdo sea posible es necesario que “todos” los expertos cambien sus opiniones
o preferencias iniciales y tiendan a aproximarlas hacia una preferencia colectiva
que consideren satisfactoria.
Al inicio de un proceso de busqueda del consenso las preferencias de los ex-
pertos suelen ser muy diferentes y por lo tanto el grado de consenso bajo. En esta
situacion consideramos que es mas apropiado que todos los expertos cambien sus
preferencias y tiendan a aproximar sus opiniones. De esta forma se consigue que
todos los expertos cedan en sus pretensiones iniciales en pos de la busqueda del
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 57
consenso y que ninguno de ellos rechace la solucion obtenida por considerar que
el si ha cambiado sus preferencias y el resto no. Conforme transcurre el proceso y
el grado de acuerdo va aumentando, tiene mas sentido que solo los expertos mas
discrepantes cambien sus preferencias. Finalmente, asumiendo que la coincidencia
unanime de las preferencias de los expertos es casi imposible, se puede considerar
que se ha alcanzado el consenso cuando la mayorıa de los expertos coincidan en
sus preferencias. La idea de adaptar la busqueda del consenso al nivel de acuer-
do ha sido recogida en la version mejorada del modelo que se presentara en el
Capıtulo 4.
La vision del concepto de consenso ha evolucionado a lo largo del tiempo.
Tradicionalmente el consenso ha sido definido como un acuerdo total y unanime
entre las preferencias del grupo de expertos. Si bien esto serıa lo deseable, no es lo
que suele ocurrir en la realidad. Ante un problema de decision, normalmente los
expertos suelen tener visiones diferentes del mismo y por lo tanto las preferencias
de cada uno de ellos suelen ser diferentes a las del resto. Esta discrepancia de
opiniones puede estar motivada por diferentes causas como por ejemplo:
Diferente grado de conocimiento sobre el problema.
La experiencia propia de cada experto en la resolucion de problemas similares.
El area de trabajo a la que pertenezca cada uno de los expertos.
Todas estas circunstancias implican que los expertos puedan valorar las al-
ternativas de forma muy distinta a la hora de resolver el mismo problema de
decision.
La interpretacion clasica del consenso como una coincidencia completa entre
las preferencias del conjunto de expertos representa una vision demasiado rıgida
o “crisp” que con el tiempo ha sido descartada. Esta interpretacion “crisp” del
58 2.1. Proceso de Consenso
consenso ademas de ser casi utopica presenta los siguientes inconvenientes:
1. Permite reflejar solamente dos estados posibles de consenso, es decir, existen-
cia o ausencia de consenso. No permite establecer diferentes niveles o grados
de consenso intermedios.
2. Las posibilidades de alcanzar un consenso total entre todos los expertos es
practicamente imposible o bien implicarıa un proceso de consenso demasiado
largo en el tiempo. Estarıamos hablando de un problema de TDG donde
todos los expertos coinciden en sus preferencias sobre todas las alternativas,
situacion que casi nunca se cumple en la vida real.
3. Para tomar una decision no es necesario alcanzar un acuerdo unanime entre
todos los expertos. Es suficiente con que una mayorıa de expertos alcance un
acuerdo sobre cual es la mejor alternativa(s) para resolver el problema.
De los inconvenientes anteriores se deduce que ha sido necesario relajar el
concepto clasico del consenso y tender hacia una interpretacion menos estricta en
la que se valore la coincidencia de las preferencias de una mayorıa mas o menos
significativa del conjunto de expertos. Dependiendo del contexto y del tipo de
problema que se este abordando, esta mayorıa se define utilizando algun tipo de
parametro cuantitativo o umbral de consenso, por ejemplo que “la mitad mas
uno” o “mas del 75 %” de los expertos esten de acuerdo.
Kacprzyk en [98, 99] profundiza en el estudio del concepto de mayorıa en pro-
blemas de TDG y propone suavizarlo hacia otro mas flexible al cual denomina
“mayorıa difusa”. Esta relajacion se consigue acudiendo al uso de cuantificadores
linguısticos difusos del tipo “la mayor parte de” o “muchos mas que la mitad”
y apoyandose en el calculo de proposiciones cuantificadas linguısticamente des-
arrollado por Zadeh [172] y Yager [160]. Continuando en esta misma direccion
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 59
en [100, 102] se propone suavizar el concepto tradicional del consenso entendido
como la coincidencia unanime y completa de las opiniones de los expertos por otro
mas acorde con la percepcion humana que se tiene sobre el mismo, surgiendo el
concepto de “soft consensus” que Kacprzyk define en [100] como:
“most of the relevant individuals agree as to almost all of the importantalternatives”1
Esta interpretacion del consenso basada en el concepto de mayorıa difusa ha
sido utilizada y referenciada por muchos autores tal y como veremos en los dis-
tintos modelos de consenso presentes en la literatura y recogidos en la Seccion 2.3
de este mismo capıtulo.
Tras este breve repaso de la evolucion del concepto de consenso nos centraremos
en el como tal. El consenso es un area de investigacion importante en el campo
de la toma de decision en grupo [16, 20, 29, 60, 62, 77, 89, 100, 102, 104, 110, 111,
119, 123, 147, 156, 176]. Son muchos los autores que han propuesto de una forma
directa o indirecta la necesidad de llevar a cabo un proceso de consenso previo al
proceso de seleccion de alternativas.
El proceso de consenso consiste en una fase de discusion en la que los expertos
expresan sus preferencias e intentan aproximarlas. Esta aproximacion se realiza a
lo largo de varias rondas de consulta o de consenso donde los expertos van cam-
biando sus preferencias iniciales. El proposito de estos cambios y por lo tanto del
proceso de consenso es alcanzar un nivel de acuerdo mınimo antes de iniciar el
proceso de seleccion de las alternativas solucion al problema de TDG. Todo este
proceso suele estar coordinado o “tutorizado” por al menos una figura humana
conocida como moderador. La figura del moderador es clave en un proceso de con-
1 La mayorıa de los expertos mas relevantes estan de acuerdo sobre la mayorıa de las alter-nativas mas importantes
60 2.2. Fases del Proceso de Consenso
senso y entre otras funciones tiene asignadas tres que se consideran fundamentales
[143]:
Evaluacion del grado de consenso alcanzado en cada ronda de consenso.
Identificacion de las preferencias que impiden la consecucion del consenso
buscado.
Recomendacion de los cambios que los expertos deben hacer sobre dichas
preferencias para conseguir mejorar el consenso.
2.2. Fases del Proceso de Consenso
Tomar una decision por consenso requiere llevar a cabo una serie de tareas en
varias fases que se han de ejecutar secuencialmente y que han de repetirse hasta
que se considere que los expertos han alcanzado un nivel de acuerdo suficiente
para poner fin al proceso de consenso.
La Figura 2.1 muestra las distintas fases basicas que componen un proceso de
consenso estandar. Si bien alguna de estas fases puede variar debido al contexto de
definicion del problema que se este resolviendo, basicamente todas ellas realizan
las operaciones que se describen en las siguientes secciones:
2.2.1. Calculo de las medidas de consenso
Inicialmente, en cualquier problema de TDG no trivial cabe esperar que las
preferencias de los expertos sean diferentes. Esto implica un grado de consenso
bajo. Conforme van transcurriendo las diferentes rondas, si el moderador dirige
correctamente el proceso, el grado de consenso debera ir aumentando. Por lo tanto
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 61
Conjunto deexpertos
CÁLCULO DE LASMEDIDAS DECONSENSO
BÚSQUEDA DE LASPREFERENCIAS A CAMBIAR <
Grado deconsenso
Umbral deconsenso
SI
NO
EXPRESIÓN DEPREFERENCIAS
PROCESO DECONSENSO
Preferencias acambiar
PROCESO DESELECCIÓN
DE ALTERNATIVAS
Moderador
CONTROL DEL GRADODE CONSENSO
Figura 2.1: Fases del Proceso de Consenso
es primordial establecer o definir operadores y medidas de capaces de calcular y
evaluar el nivel de acuerdo alcanzado entre los expertos a lo largo del proceso.
Para evaluar el grado de consenso, la mayorıa de los autores [20, 29, 98, 106,
110, 174] utilizan un valor numerico cuantificado dentro del intervalo [0, 1]. Ası,
un grado de consenso proximo a 0 indica que el nivel de acuerdo es muy bajo y
por el contrario, un valor proximo a 1 significa que las preferencias de los expertos
son muy similares2 .
2 Resaltar que Carlsson en [29] hace una interpretacion del grado de consenso justo al con-trario, es decir, un valor proximo a 0 indica un grado de consenso alto y un valor proximo a 1
62 2.2. Fases del Proceso de Consenso
Una variante al uso de valores numericos en el intervalo [0, 1] la podemos encon-
trar en [49, 77] para resolver problemas de TDG definidos en contextos linguısticos
difusos. En este tipo de problemas, donde debido a la naturaleza cualitativa de
las alternativas que se estan valorando, los expertos expresan sus preferencias
mediante terminos linguısticos y tambien se utilizan terminos linguısticos para
evaluar el nivel de acuerdo.
Para calcular el grado de consenso alcanzado en cada ronda de consenso, todos
los autores coinciden en la idea de medir la similitud entre las preferencias dadas
por los expertos a cada una de las alternativas presentes en el problema de decision.
Las propuestas se diferencian en la forma de calcular esta similitud, distinguiendo
dos posibles vıas de calculo:
1. Calculo de Distancias. La idea es muy simple y consiste en utilizar funciones
que permita medir la distancia entre las preferencias de los expertos. A partir
de esos valores es posible obtener un valor que represente el grado de consenso
alcanzado entre los expertos. Como ejemplos de funciones de distancia, los
autores han utilizado distancias clasicas como:
Distancia Euclıdea [40].
Distancia Geometrica [29].
L-1 norma [39].
El seno [9, 20] y coseno [70] del angulo entre dos vectores.
2. Calculo de Coincidencias. Consiste en medir el grado de coincidencia entre las
preferencias de los expertos y a partir de estas obtener el grado de consenso.
un grado de consenso bajo.
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 63
Diremos que las preferencias de dos expertos coinciden si ambos asignan los
mismos valores a dichas preferencias.
El grado de coincidencia se puede tratar desde dos puntos de vista [102]:
a) Coincidencia rıgida. Se hace una interpretacion estricta del concepto de
coincidencia, de ahı que el resultado de la comparacion entre dos preferen-
cias solo admite dos valores:
1, si los valores de las preferencias son exactamente iguales
0, en caso contrario
b) Coincidencia flexible. Se hace una interpretacion relajada del concepto de
coincidencia en el sentido de que se tiene en cuenta la proximidad o cercanıa
de los valores asignados a las preferencias. El resultado de la comparacion
entre dos preferencias admite valores entre [0, 1].
Ejemplo
Sean pe1 , pe2 las preferencias dadas por los expertos e1, e2 sobre una alternativa
xl y sea c(pe1 , pe2) ∈ [0, 1] la funcion que representa el grado de coincidencia
entre ambas preferencias.
a) Una interpretacion rıgida del grado de coincidencia asigna valores a c(pe1 , pe2)
conforme a las siguientes condiciones:
c(pe1 , pe2) =
1 para | pe1 − pe2 |= 0
0 para | pe1 − pe2 |6= 0
64 2.2. Fases del Proceso de Consenso
b) Una interpretacion flexible del grado de coincidencia asigna valores a c(pe1 , pe2)
conforme a las siguientes condiciones:
c(pe1 , pe2) =
1 para x ≤ 0.05
−10x + 1.5 para 0.05 < x < 0.15
0 para x ≥ 0.15
donde x =| pe1 − pe2 |
2.2.2. Control del grado de consenso
Una vez calculado el grado de consenso existente entre los expertos es nece-
sario establecer una condicion de parada del proceso de consenso. Esta condicion
consiste en comprobar si el nivel de acuerdo ha alcanzado un umbral de consenso
fijado previamente. Este umbral de consenso representa el valor mınimo que debe
alcanzar el grado de consenso para dar por finalizada la fase de consenso y dar
paso al proceso de seleccion de alternativas. El valor del umbral de consenso suele
estar comprendido en el intervalo [0, 1] y su valor dependera del tipo y objeti-
vos del problema que se este tratando en cada momento. Si las consecuencias de
la decision a tomar son muy importantes entonces se puede exigir que el valor
mınimo del grado de consenso sea alto (ej. 0.8). Por otro lado, si es importante
obtener la solucion al problema rapidamente, entonces se puede plantear rebajar
el umbral de consenso hasta un valor proximo a 0.5. Valores inferiores a 0.5 no
tienen sentido porque podrıan interpretarse como que existe consenso cuando ni
siquiera la mitad de los expertos estan de acuerdo en sus preferencias.
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 65
2.2.3. Busqueda de las preferencias a cambiar
Si el grado de consenso no es suficiente significa que existe bastante discre-
pancia entre las preferencias de los expertos. En esta fase el moderador identifica
a los expertos y/o preferencias que impiden que se alcance el grado de consenso
deseado de la siguiente forma:
1. Se calcula la opinion o preferencia colectiva del grupo de expertos a partir de
las preferencias individuales dadas por cada uno de ellos.
2. Se calcula la proximidad de las preferencias individuales respecto a la prefe-
rencia colectiva del grupo de expertos.
Teniendo en cuenta la proximidad es posible identificar las preferencias mas
alejadas de la opinion colectiva y por lo tanto las que mas inciden negativamente
en la consecucion del consenso. El moderador sugerira o aconsejara a los expertos
que cambien sus preferencias mas alejadas con el proposito de acercar sus opiniones
y de este modo mejorar el grado de consenso en la siguiente ronda de consenso.
Antes de finalizar este apartado tan solo anadir que estas fases pueden sufrir
variaciones y/o adaptaciones a los distintos contextos en los que se produzca la
toma de decisiones tal y como se vera en el siguiente apartado.
2.3. Modelos de Consenso para Problemas de
TDG
En esta seccion haremos una revision de distintos modelos de consenso pre-
sentes en la literatura aplicados en problemas de TDG [20, 77, 79, 89, 106, 107,
143, 176].
66 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Los modelos revisados tienen una estructura similar al modelo mostrado en
la Figura 2.1 aunque han debido de adaptarse a los distintos contextos para los
cuales fueron disenados.
Para la presentacion de cada modelo, primero se hara una breve introduccion
de las novedades mas sobresalientes de cada uno de ellos y a continuacion se
comentara de una forma resumida las caracterısticas que lo definen.
2.3.1. Modelo de consenso para problemas de TDG con
informacion difusa
Comenzaremos por el modelo presentado por Zadrozny. Este modelo recoge
el concepto de soft consensus propuesto por Kacprzyk [100, 102] y que ha sido
utilizado tambien por la mayorıa de los modelos revisados en esta seccion.
Zadrozny y otros [63, 175, 176] propusieron un modelo de consenso que se
aproximara mas a los problemas del mundo real, acudiendo a la Logica Difusa
para resolver alguno de los inconvenientes presentes en los problemas de decision
como puede ser la falta de precision en las opiniones expresadas por los expertos.
Segun sus autores, este modelo de consenso podrıa ser una parte de un modelo
mucho mas amplio de un sistema de apoyo a la decision en grupo.
En la Figura 2.2 se muestra de una forma grafica las distintas fases que se
han de llevar a cabo para alcanzar el consenso en este modelo. Iniciada la sesion
de consenso, los expertos discuten entre ellos y expresan sus preferencias indivi-
duales. A partir de estas se obtienen las preferencias del grupo. A continuacion
el moderador mide el grado de consenso. Si se ha alcanzado un nivel de acuerdo
suficiente, la fase de consenso finaliza y se llevara a cabo un proceso de seleccion
que se aplicara sobre las preferencias colectivas del grupo. En caso contrario, se
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 67
produce una realimentacion del sistema en el que se tiene en cuenta las preferen-
cias del grupo e informacion que permita a los expertos cambiar sus preferencias
para aproximar sus opiniones.
EXPRESIÓN DEPREFERENCIAS
NO
CÁLCULO DEL GRADODE CONSENSO
FASE DE DISCUSIÓN
INFORMACION DEFEEDBACK PARA LOS
EXPERTOS
¿CONSENSO ?SI
Inicio del Proceso de Consenso
Expertos:
Moderador:
PREFERENCIADEL GRUPO
PROCESO DESELECCIÓN
PROCESO DE CONSENSO
Figura 2.2: Modelo de consenso propuesto por Zadrozny
Las caracterısticas principales de este modelo son las siguientes:
a) Dado un conjunto de expertos E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2) y un conjunto de
alternativas X = {x1, . . . , xn} (n ≥ 2), los expertos expresan sus preferencias
mediante relaciones de preferencia difusas Pei⊂ X ×X,
68 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
donde cada plki ∈ [0, 1] representa la preferencia de la alternativa xl sobre xk.
b) Define la funcion del moderador como el responsable de ejecutar eficiente-
mente cada sesion de consenso. Tambien es el encargado de medir el grado de
consenso entre los expertos.
c) Lleva a cabo un “analisis de la estructura del grupo de expertos” que consiste
en agrupar el conjunto de expertos en diferentes subgrupos en funcion de la
coincidencia de sus preferencias.
d) Calculo de grado de consenso. Para evaluar el grado de consenso alcanzado
entre los expertos, Zadrozny hace una extension del concepto de soft consensus
propuesto por Kacprzyk [99, 100] y define el consenso en este contexto como:
“Existe consenso entre los expertos si la mayorıa de los pares de expertos mas
importantes estan de acuerdo sobre la mayorıa de los pares de alternativas
mas relevantes”. Teniendo en cuenta esta definicion y que para representar
formalmente el concepto de mayorıa utiliza el calculo de proposiciones cualifi-
cadas linguısticamente propuesto por Zadeh [172], el grado de consenso entre
el conjunto de expertos E sobre el conjunto de alternativas X, CON(X, E),
se calcula como:
CON(X, E) = Q2ei,ej
(µIEE(ei, ej), Q1xl,xk
(µIXX(xl, xk), ν1(ei, ej, xl, xk)
))
donde Q2 y Q1 representan los cuantificadores linguısticos, µIEE es la funcion
de pertenencia del conjunto difuso que define la importancia de los pares de
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 69
expertos, µIXX es la funcion de pertenencia del conjunto difuso que define
la relevancia de los pares de alternativas y ν1(ei, e,xl, xk) es una funcion que
devuelve el grado de consenso entre el experto i y el experto j sobre el par de
alternativas (xl, xk). Una descripcion detallada del calculo de CON(X, E) se
puede encontrar en [100, 176].
e) Define diferentes indicadores de consenso. Ademas de medir el grado de con-
senso entre los expertos, CON(X,E), define otros dos grupos de indicadores
de consenso, uno a nivel individual y el otro a nivel del grupo de expertos.
Estos indicadores permiten conocer la similitud de las preferencias de los ex-
pertos y la contribucion de cada experto al consenso. Pueden ser utilizados
tanto por los expertos como por el moderador para conocer los detalles del
proceso de consenso y para cambiar aquellas preferencias que no contribuyan
a la busqueda del acuerdo.
1. Indicadores de consenso individuales. Los siguientes indicadores per-
miten conocer la situacion de las preferencias de cada experto dentro del
espacio de preferencias del grupo de expertos.
Contribucion al consenso, CTC(ei). Dado un experto i, la contribucion al
consenso de este experto CTC(ei) ∈ [−1, 1] se obtiene como la diferencia
entre el grado de consenso de todos los expertos y el grado de consenso
de los expertos excluyendo al experto i.
CTC(ei) = CON(X,E)− CON(X, E − {ei})
Este indicador permite medir la influencia de la opinion del experto i en
70 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
la busqueda del consenso y se interpreta como:
CTC(ei)
< 0 ei influye negativamente en el consenso
= 0 ei es indiferente para el consenso
> 0 ei influye positivamente en el consenso
Grado de consenso personal, PCD(ei). Dado un experto i, el grado de
consenso personal PCD(ei) ∈ [0, 1] mide la similitud entre las preferen-
cias de ei y la mayorıa de los expertos mas importantes en la mayorıa de
los pares de alternativas mas relevantes:
PCD(ei) = Q2ei
(µIE(ej), Q1xl,xk
(µIXX(xl, xk), ν1(ei, ej, xl, xk)
))
donde Q2, Q1 son los cuantificadores linguısticos y µIE es la funcion de
pertenencia del conjunto difuso que define la importancia de los expertos.
Los valores de PCD(ei) pueden interpretarse de la siguiente forma:
PCD(ei) =
0 las preferencias de ei no son compartidas por
la mayorıa de los expertos importantes del grupo
0.5 la coincidencia de preferencias es intermedia
1 las preferencias de ei son compartidas por la
mayorıa de los expertos importantes del grupo
Grado de consenso personal detallado, DPCD(ei, xl, xk). Dado un ex-
perto i, el grado de consenso personal detallado DPCD(ei, xl, xk) ∈ [0, 1]
sobre el par de alternativas (xl, xk), mide la similitud entre la preferencia
de ei y las preferencias de la mayorıa de expertos importantes dadas al
par (xl, xk). Se obtiene como:
DPCD(ei, xl, xk) = Q2ei
(µIE(ej), ν1(ei, ej, xl, xk)
)
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 71
donde ν1(ei, ej, xl, xk) representa el grado de consenso entre los expertos
i, j sobre el par de alternativas l, k. Como se puede observar es similar al
grado de consenso personal PCD(ei) pero ahora centrado en un par de
alternativas (xl, xk) concretas.
2. Indicadores de consenso a nivel de grupo. Estos indicadores proporcio-
nan informacion adicional al moderador sobre el estado actual del consenso
dentro del grupo:
Contribucion al consenso por alternativas, CTCO(xl). Dada la alternati-
va xl, la contribucion al consenso de dicha alternativa CTCO(xl) ∈ [−1, 1]
se obtiene como la diferencia entre el grado de consenso teniendo en cuen-
ta todas las alternativas y el grado de consenso excluyendo xl.
CTCO(xl) = CON(X, E)− CON(X − {xl}, E)
Este indicador permite conocer como afecta al consenso las preferencias
sobre cada una de las alternativas. Los valores de CTCO(xl) pueden ser
interpretados en el mismo sentido que los de CTC(ei).
Grado de consenso de la alternativa, OCD(xl). Dada la alternativa xl, el
grado de consenso de la alternativa OCD(xl) ∈ [0, 1] mide la coinciden-
cia de preferencias de la mayorıa de los expertos importantes sobre esta
alternativa. Se calcula como:
OCD(xl) = Q2ei,ej
(µIEE(ei, ej), Q1xk
ν1(ei, ej, xl, xk))
donde µIEE es la funcion de pertenencia del conjunto difuso que define
la importancia de los pares de expertos. Los valores de este indicador se
72 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
interpretan como sigue:
OCD(xl) =
= 0 nula coincidencia de los expertos mas
importantes sobre las preferencias dadas a xl
< 0.5 coincidencia de las preferencias sobre xl baja
> 0.5 coincidencia de las preferencias sobre xl alta
= 1 coincidencia total de los expertos mas
importantes sobre las preferencias dadas a xl
Como se puede deducir de los puntos anteriores, este modelo define muchos
indicadores de consenso que permiten analizar en detalle la similaridad de las
preferencias de los expertos y la forma en la que contribuyen cada uno de ellos al
acuerdo. A partir de estos indicadores y apoyandose en un mecanismo de reali-
mentacion se pueden mejorar aquellas preferencias que contribuyen negativamente
al proceso de busqueda del consenso (Figura 2.2).
2.3.2. Modelo de consenso para problemas de TDG con
vectores de preferencia
Bryson presenta en [20, 21] un modelo de consenso que ha sido de gran in-
teres para nuestra investigacion al proponer algunas ideas que hemos recogido en
nuestra propuesta:
En [20] presenta un algoritmo detallado de los distintos pasos que se han de
llevar a cabo para ir consensuando la opinion final del grupo.
Este algoritmo contempla la posibilidad de ejecutarse cıclicamente hasta al-
canzar el grado de consenso deseado o bien un numero maximo de ciclos fijado
previamente (MAXCICLOS).
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 73
Utiliza medidas de similitud que permiten medir la semejanza entre las pre-
ferencias de los expertos y ası obtener indicadores de consenso tanto a nivel
individual como a nivel del grupo.
Como consecuencia del punto anterior, se utilizan las medidas de similaridad
para identificar las preferencias y expertos mas alejados y se apoya en un
mecanismo de realimentacion para recomendar las preferencias que han de
cambiar.
Las caracterısticas mas sobresalientes de este modelo son las siguientes:
a) Dado un conjunto de expertos E = {e1, . . . , em} (m ≥ 2), cada experto i
expresa su opinion utilizando un vector de preferencia,
wi = (w1i , . . . , w
ni )
que cumple que∑
L wli = 1 y que wl
i > 0 para l = 1, . . . , n, siendo n el numero
de alternativas al problema. En esta representacion, el ratio (wli/w
ki ) refleja
la preferencia del experto i sobre la idoneidad de la alternativa l frente a la
alternativa k [21].
b) Para obtener wi, es necesario que cada experto defina una matriz de compa-
racion de pares de alternativas Ai = {alki },
Ai =
a11i · · · a1n
i
.... . .
...
an1i · · · ann
i
donde cada alki es un valor numerico que representa la importancia relativa de
la alternativa l sobre la alternativa k.
74 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
c) El resultado final es un vector de preferencia colectivo
wGM = (w1, ..., wn)
que representa la preferencia del grupo de expertos y que se obtiene a partir
de una matriz de comparacion colectiva AGM = {alk}. Los valores alk de
esta matriz se calculan como la media geometrica de todas las matrices de
comparacion individuales,
alk = (∏i∈T
alki )1/m
donde T es el ındice del conjunto de expertos y M el numero de expertos.
d) Para evaluar el grado de acuerdo que existe entre dos vectores de preferencia
wi y wj, define la siguiente medida de similitud,
s(wi, wj) = 1− seno(wi, wj)
e) Define dos umbrales de consenso α y δ de forma que:
Si s(wi, wj) ≥ α entonces existe un gran acuerdo entre las preferencias de
los expertos i, j.
Si s(wi, wj) ≤ δ entonces existe un gran desacuerdo entre las preferencias
de los expertos i, j.
f) Define varios indicadores de consenso que permiten conocer tanto el nivel de
acuerdo alcanzado entre los expertos ası como aquellos expertos que contri-
buyen positiva o negativamente a alcanzar el consenso. Por citar algunos de
estos indicadores, destacaremos:
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 75
GSAQ. Mide la proporcion de expertos con un nivel de acuerdo alto. Se
obtiene como:
GSAQ =∑t∈T
Γ(t, GM)/m
donde Γ(t, GM)/m = 1 si s(wi, wGM) ≥ α y Γ(t, GM)/m = 0 si s(wi, wGM) <
α.
GSDI. Calcula el valor del nivel de acuerdo mas bajo entre dos miembros
cualesquiera del grupo de expertos. Se obtiene como:
GSDI = min{s(wi, wj)− δ, ∀ i, j ∈ T}
ISAQ. Mide el grado de consenso entre las preferencias de un experto i y
las preferencias del grupo de expertos. Se obtiene como:
ISAQi =∑r∈T
Γ(i, r)/m
Como hemos comentado anteriormente, en [20] Bryson describe con detalle
el procedimiento a seguir para obtener una solucion consensuada al problema
planteado. Los distintos pasos que se ejecutaran en dicho procedimiento son los
siguientes:
Paso 0. Preparacion
Especificar el numero maximo de ciclos que se ejecutara este procedimiento,
MAXCICLOS.
Especificar los umbrales de consenso α, y δ que se utilizaran para comprobar
si se ha alcanzado el consenso buscado y ası poner fin al proceso de consenso.
Inicializar el contador de ciclos, CICLO=0.
76 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Paso 1. Discusion en grupo
Los expertos se reunen, discuten y argumentan sus opiniones segun sus propios
puntos de vista.
Paso 2. Determinacion de las preferencias individuales
CICLOS= CICLOS+1.
Cada experto i expresa sus preferencias mediante su matriz de comparacion
de pares de alternativas Ai = {alki } a partir de la cual se calcula su vector de
preferencias wi.
Paso 3. Calculo de los indicadores de consenso
Se calculan los indicadores de consenso tanto a nivel individual como a nivel
del grupo de expertos.
GSAQ =∑t∈T
Γ(t, GM)/m
GSDI = min{s(wi, wj)− δ, ∀ i, j ∈ T}
ISAQi =∑r∈T
Γ(i, r)/m
Paso 4. Finalizacion del procedimiento
IF (GSAQ ≥ α) OR (CICLO = MAXCICLOS)
THEN
• El procedimiento termina obteniendo el vector de preferencia colectivo
wGM = (w1, ..., wn)
ELSE
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 77
• Ayudados por la figura de un moderador o facilitador del consenso, los
miembros discuten y cambian sus opiniones teniendo en cuenta los valores
de los indicadores de consenso.
• Ir al paso 2.
2.3.3. Modelo de consenso para problemas de TDG mul-
tiatributo
S.H. Kim y otros han propuesto en [106, 107, 108] un procedimiento para bus-
car el consenso denominado Procedimiento Interactivo para problemas de TDG
multiatributo con informacion incompleta (imprecisa o parcial). Este procedimien-
to trata la medicion del grado de consenso y el proceso para alcanzar el consenso
de forma muy diferente a la del resto de modelos vistos en esta memoria. Se ba-
sa en la idea de representar las preferencias de los expertos mediante intervalos
valorados entre 0 y 1 a los que denominan rangos de utilidad. Este tipo de repre-
sentacion permite comprobar facilmente el grado de consenso existente entre los
expertos y agregar las preferencias individuales de cada experto en una preferen-
cia colectiva del grupo de expertos. Tambien permite comparar rapidamente las
preferencias de un experto respecto a la del grupo e identificar de esta manera a
los expertos que no contribuyen positivamente al consenso.
Este modelo propone resolver el problema del consenso comparando el tamano
y los lımites de los rangos de utilidad, descartando la utilizacion de medidas de
distancia utilizadas en otros modelos.
El procedimiento esta compuesto por cuatro pasos que describiremos a conti-
nuacion:
Paso 1. Calculo de los rangos de utilidad individuales
78 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Dado un conjunto de expertos E = {ei, ..., ek} (k ≥ 2), un conjunto de
alternativas X = {x1, ..., xm} (m ≥ 2) y el conjunto de atributos a valorar
para cada alternativa C = {c1, ..., cn} (n ≥ 2), los expertos expresan sus
preferencias sobre X utilizando rangos de utilidad individuales uki (xm) (Figura
2.3).
Cada rango de utilidad individual uki (xm) se interpreta como la utilidad o
preferencia del experto k sobre el atributo i de la alternativa m. Se representa
como el intervalo I([0, 1]) calculado como:
uki (xm) = (min uk
i (xm),max uki (xm))
donde min uki (xm) y max uk
i (xm) representan el valor mınimo y maximo de
valoraciones dadas a los i = 1, . . . , n atributos de la alternativa xm.
Figura 2.3: Representacion de los rangos de utilidad
Paso 2. Agregacion de preferencias
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 79
Se calcula el rango de utilidad del grupo de expertos para cada alternativa m
sobre cada atributo i, agregando los rango de utilidad individuales.
Se definen dos tipos de rangos de utilidad del grupo cuyo significado se muestra
graficamente en la Figura 2.3:
1. Rango total del grupo. Representa el rango que se obtiene tras la union de
todos los rangos de utilidad individuales,
Rango total = (minkminUkiuk
i (xm),maxkmaxUkiuk
i (xm))
2. Rango de consenso del grupo. Representa el rango que se obtiene como la
interseccion de los rangos de utilidad individuales,
Rango de consenso = (maxkminUkiuk
i (xm),minkmaxUkiuk
i (xm))
Paso 3. Proceso de interaccion entre los miembros del grupo de ex-
pertos
En esta parte del procedimiento los expertos interaccionan al comparar sus
preferencias individuales con la preferencia colectiva del grupo. Las compara-
ciones se realizan comparando la anchura de los rangos de utilidad individuales
y del grupo.
Para cada alternativa m y atributo i se calcula la anchura del rango total del
grupo y del rango del consenso del grupo:
anchoRTotali(xm) = (maxkmaxUkiuk
i (xm)−minkminUkiuk
i (xm)) (2.1)
anchoRConsensoi(xm) = (minkmaxUkiuk
i (xm)−maxkminUkiuk
i (xm)) (2.2)
80 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
El grado de consenso entre los expertos sobre la alternativa m y atributo i se
define como el cociente entre ambos rangos:
vi(xm) =anchoRConsensoi(xm)
anchoRTotali(xm)
donde el grado de consenso vi(xm) ∈ [0, 1] representa el ratio entre la anchura
del rango de consenso respecto al rango total.
Respecto al valor vi(xm) puede darse los siguientes tres casos que se muestran
en la Figura 2.4:
1) Caso 1: vi(xm) ≤ 0. En este caso nos encontramos ante una posible incon-
sistencia de preferencias. Esto implica que todas los expertos deben revisar
y modificar sus preferencias.
2) Caso 2: 0 < vi(xm) < δi. En este caso encontramos que existe un determi-
nado grado de consenso pero no lo suficiente alto para superar un umbral
mınimo de consenso δi para el atributo i que permita finalizar el proceso de
consenso. El valor δi es previamente fijado por los expertos en funcion de las
caracterısticas del problema. En este caso se recomendara que los expertos
cambien sus rangos de utilidad individuales con el objetivo de acercar sus
preferencias.
3) Caso 3: vi(xm) ≥ δi. En esta situacion, se puede afirmar que los expertos
han alcanzado un grado de consenso satisfactorio en la alternativa m y atri-
buto i. Si esta circunstancia se produce en todas las alternativas y atributos,
se puede asumir que existe un consenso suficiente entre los expertos dando
paso a la busqueda de la solucion al problema que se realiza en el Paso 4.
Paso 4. Busqueda de relaciones de dominancia entre alternativas
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 81
Figura 2.4: Rango de utilidad total del grupo y rango de consenso de las prefe-rencias de los expertos DM1 y DM2
La solucion al problema se obtiene estableciendo un orden de seleccion de
alternativas aplicando criterios de dominancia entre alternativas a partir de
los rangos de utilidad del grupo de expertos.
Paso 5. Valoracion del resultado
Si algun miembro del grupo de expertos no esta satisfecho con la solucion
obtenida, puede revisar sus preferencias comenzando de nuevo todo el proceso
por el Paso 1. En caso contrario el procedimiento finaliza con el resultado
obtenido en el Paso 4.
2.3.4. Modelo de consenso para problemas de TDG con
valoraciones linguısticas
F. Herrera y otros [77, 78, 79] propusieron a mediados de los 90 un mode-
lo de consenso que nos ha servido de punto de partida para el desarrollo de los
82 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
modelos propuestos en esta memoria. En [77] se propuso un modelo para proble-
mas de TDG definidos en un contexto linguıstico, caracterıstica que lo diferencia-
ba de otros modelos presentes en la literatura centrados en dominios numericos
[100, 175]. En el modelo inicial proponen un conjunto de medidas para evaluar
el grado de consenso. Posteriormente, en [79] el modelo fue revisado y mejorado
anadiendole medidas de consistencia que permitıan comprobar la consistencia de
las opiniones de los expertos. Segun los autores, si los valores de ambas medidas
eran considerados como suficientes, la figura de un moderador pondrıa fin al pro-
ceso de consenso. En caso contrario, el moderador utilizarıa estas medidas para
recomendar los cambios en las preferencias de los expertos con el proposito de
mejorar el grado de consenso en las siguientes rondas de consenso (Figura 2.5).
En este modelo ademas de calcular el nivel de acuerdo alcanzado en cada ronda,
CONJUNTODE
EXPERTOS
MODERADOR
MEDICIÓN DE LA CONSISTENCIA
MEDICIÓN DEL CONSENSO
RELACIONES DEPREFERENCIALINGÜÍSTICA
MEDIDAS DECONSENSO
MEDIDAS DECONSISTENCIA
RECOMENDACIONES
RELACIONES DEPREFERENCIALINGÜÍSTICA
FIN DEL PROCESO DECONSENSO
Figura 2.5: Modelo de consenso racional con valoraciones linguısticas
tambien se calcula la distancia o proximidad de la preferencia de cada experto
respecto a una preferencia colectiva. El significado de ambas medidas ası como
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 83
otros detalles importantes de este modelo se presentan a continuacion:
a) Dado un conjunto de expertos E = {e1, ..., em} (m ≥ 2), estos expresan
sus preferencias sobre el conjunto de alternativas X = {x1, . . . , xn} (n ≥ 2)
utilizando un conjunto de etiquetas linguısticas S = {s0, ..., sT} apropiado
para valorar X.
b) Los expertos utilizan relaciones de preferencia linguısticas Pi ⊂ X ×X para
representar sus preferencias sobre X,
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
donde cada plki ∈ S representa la preferencia de la alternativa xl sobre xk.
c) A diferencia de otros modelos donde el consenso se valora numericamente, en
este modelo el grado de consenso se expresa en un dominio linguıstico.
d) El grado de consenso y la proximidad de las preferencias de cada experto se
calcula a nivel de experto, alternativa y pares de alternativas.
e) Contempla la posibilidad de que tanto los expertos como las alternativas ten-
gan un grado de importancia o relevancia diferente.
f) El consenso se evalua a partir del numero de expertos que coinciden en la
preferencia dada sobre cada par de alternativas (xl, xk).
g) Lleva a cabo de tres procesos principales. Para conocer los detalles en profun-
didad de cada uno de ellos, consultar [77]:
84 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
1) Proceso de recuento. Se calcula el numero de expertos que coinciden en
la misma preferencia sobre cada par de alternativas (xl, xk) y se almacena
en un vector de coincidencia V lkC . Para hacer esto, primero se calcula un
vector V lk[st] para las T + 1 etiquetas linguısticas del conjunto S. Cada
V lk[st] representa los expertos que han utilizado la etiqueta st para valorar
la preferencia sobre el par (xl, xk). Cada V lk[st] se calcula segun la siguiente
expresion:
V lk[st] = {i | plki = st, i = 1, . . . , m}, ∀st ∈ S.
Una vez calculados todos los V lk[st], el vector de coincidencias individual
V lkC contiene el numero de expertos que han coincidido en asignar la etiqueta
st al par de alternativas (xl, xk),
V lkC [st] = ](V lk[st]), ∀st ∈ S
donde # representa la cardinalidad del conjunto de terminos.
2) Proceso de coincidencia. Este proceso se basa en la idea de evaluar la
coincidencia entre las preferencias de los expertos, entendiendo por coinci-
dencia la asignacion de la misma etiqueta st a un par de alternativas (xl, xk).
En este proceso se persiguen dos objetivos:
1) Obtener la relacion de consenso denominada LCR = (lcrlk), donde cada
elemento lcrlk representa la etiqueta de consenso sobre el par de alternati-
vas (xl, xk). Esta etiqueta se obtiene agregando las etiquetas linguısticas
st obtenidas a partir de V lkC [st] tal que V lk
C [st] > 1. Para agregar estas
etiquetas linguısticas, se utiliza el operador de agregacion LOWA con
cuantificador FQ1 definido en [87] tal que:
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 85
lcrlk =
FQ1(l1, . . . , lq) si ](M lk) > 1 y lj ∈ M lk, j = 1, . . . , q
lq si ](M lk) = 1 y lq ∈ M lk
Indefinido en caso contrario
donde q = ](M lk) y M lk contiene las etiquetas linguısticas elegidas por
mas de un experto para evaluar el par de alternativas (xl, xk),
M lk = {sy | V lkC [sy] > 1, sy ∈ S}.
2) Obtener una relacion de consenso individual denominada ICR = (icrlk)
donde cada elemento icrlk representa el numero proporcional de expertos
cuyos valores de preferencia han sido utilizados para obtener la etiqueta
de consenso lcrlk. Se obtiene como una media aritmetica del vector de
coincidencia V lkC [st]:
icrlk =
∑sy∈Mlk (V lk
C [sy]/m)
](M lk)si ](M lk) 6= 0
0 en caso contrario
3) Proceso de calculo de las medidas de consenso linguısticas. Los auto-
res proponen calcular dos tipos diferentes de medidas de consenso:
a) Grados de consenso linguıstico. Utilizadas para evaluar el grado de consenso
existente entre los expertos y decidir si el proceso de consenso debe continuar
o no. Estas medidas se calculan a nivel de pares de alternativas, alternativas
y relaciones de preferencia.
Grado de consenso linguıstico a nivel de pares de alternativas. Mide el
grado de consenso alcanzado entre los expertos sobre la preferencia dada
86 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
a cada par de alternativas (xl, xk). Se representa mediante una matriz
n× n denominada PCR, donde cada PCRlk se obtiene como:
PCRlk = Q2(icrlk)
donde i, j = 1, . . . , n, i 6= j y Q2 es un cuantificador linguıstico utilizado
para representar el concepto de mayorıa difusa.
Grado de consenso linguıstico a nivel de alternativas. Mide el grado de
consenso alcanzado entre los expertos sobre cada una de las alternativas
xl y se denota PCRl. Se calcula como:
PCRl = Q2[ n∑
k=1l6=k
icrlk/(n− 1)]
con l = 1, . . . , n.
Grado de consenso linguıstico a nivel de relacion. Mide el grado de con-
senso total alcanzado entre los expertos. Se denomina RC y se calcula
como:
RC = Q2[(
n∑
l
n∑
k=1l 6=k
icrlk)/(n2 − n)].
b) Distancias linguısticas. Utilizadas para evaluar la distancia de la preferen-
cias individuales de cada experto respecto a la preferencia colectiva. Per-
miten identificar las opiniones mas discordantes. Estas medidas tambien se
calculan a nivel de pares de alternativas, alternativas y relaciones de prefe-
rencia.
Distancia linguıstica a nivel de pares de alternativas. Mide la distancia
entre las preferencia dada por un experto i sobre el par (xl, xk) y su
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 87
respectiva etiqueta de consenso. Se denomina Dlki y se calcula como:
Dlki =
plki − lcrlk si plk
i > lcrlk
lcrlk − plki si lcrlk >= plk
i , l 6= k
sT en caso contrario
con l, k = 1, . . . , n y i = 1, . . . ,m.
Distancia linguıstica a nivel de alternativas. Mide la distancia entre los
valores de preferencia de un experto i sobre una alternativa y su respectiva
etiqueta de consenso. Se denomina Dki y se calcula como:
Dli = FQ1(Dlk
i , k = 1, . . . , n, l 6= k)
donde i = 1, . . . , m, l = 1, . . . , n, y FQ1 es el operador de agregacion
LOWA con cuantificador Q1.
Distancia linguıstica a nivel de relaciones. Mide la distancia entre los
valores de preferencia de un experto i sobre todas las alternativas y su
respectiva etiqueta de consenso. Se representa como DRi y se calcula como:
DRi = FQ1(Dlk
i , l, k = 1, . . . , n, l 6= k)
con i = 1, . . . ,m.
Con el proposito de introducir racionalidad y consistencia al proceso de toma
de decisiones, en [79] anadieron a este modelo nuevas medidas que permitıan
medir el grado de consistencia de las opiniones de cada experto. Para definir
estas medidas de consistencia partieron del concepto de “acyclicity” propuesta
por Sen [145] y de la idea de considerar que la consistencia de los expertos puede
tratarse como un concepto difuso propuesta por Montero en [127, 128]. Ası, la
88 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
consistencia puede ser vista como un conjunto difuso definido por una apropiada
funcion de pertenencia llamada medida de consistencia difusa. Esta funcion de
pertenencia asocia valores de consistencia entre 0 y 1 a las preferencias de cada
experto. Desarrollaron e introdujeron en el modelo de consenso ambas ideas para
definir dos medidas de consistencia aplicadas en un contexto linguıstico.
Medida de consistencia individual. Utilizada para evaluar el grado de consis-
tencia individual de la opinion de cada experto.
Medida de consistencia del grupo de experto. Utilizada para evaluar el grado
de consistencia que el grupo de expertos presenta en sus opiniones.
Ambas medidas fueron enfocadas desde dos perspectivas diferentes, una cuali-
tativa donde se pretendıa medir la intensidad de la naturaleza de las inconsisten-
cias y otra cuantitativa donde se evaluaba el numero de inconsistencias detectadas
en las preferencias de los expertos.
De este modo, el modelo propuesto en [79] (Figura 2.5) llevarıa a cabo dos
grandes procesos en paralelo, uno para obtener las medidas de consenso y otro
para obtener las medidas de consistencia. Una vez obtenidas ambas medidas, estas
serıan utilizadas por el moderador para sugerir los cambios en las preferencias de
los expertos y ası mejorar el consenso en la siguiente ronda de consenso. Este mo-
delo permitio trasladar los problemas de TDG que hasta ese momento habıan sido
resueltos en un contexto numerico a un contexto linguıstico. Ademas, anadiendo
las medidas de consistencia se consiguio aportar mayor racionalidad a los procesos
de toma de decision en grupo.
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 89
2.3.5. Modelo de consenso para problemas de TDG con
diferentes estructuras de preferencia
F. Chiclana y otros han publicado diferentes trabajos [36, 37, 89] donde han
abordado el problema del consenso en problemas de toma de decision en grupo
con distintas estructuras de representacion de preferencias. En concreto, en [89]
proponen un modelo de consenso para problemas de TDG en la que los expertos
expresan sus preferencias utilizando cuatro estructuras de preferencia diferentes:
vectores de utilidad, ordenes de preferencia, relaciones de preferencia difusas y
relaciones de preferencia multiplicativas.
Antes de enumerar las caracterısticas mas sobresalientes de esta propuesta,
nos gustarıa resaltar una de ellas por ser novedosa y diferente a la del resto de
modelos tratados en este capıtulo. En la mayorıa de los modelos consultados en
la literatura, primero se lleva a cabo un proceso de consenso donde los expertos
discuten y cambian sus preferencias y a continuacion se lleva a cabo el proceso
de seleccion donde se selecciona la mejor o mejores alternativas para resolver
el problema. A diferencia del resto de modelos, en este se propone cambiar el
orden de ambos procesos. En primer lugar los expertos llevan a cabo de forma
individual un proceso de seleccion de alternativas cuyo resultado es un conjunto
de soluciones individuales y particulares al problema. A continuacion se llevarıa
a cabo el proceso de consenso sobre el conjunto de soluciones individuales con el
proposito de obtener una solucion consensuada que pueda ser considerada como
solucion final al problema. Este cambio del orden de ejecucion de ambos procesos
ya ha sido tratado por otros autores entre los que podemos citar a [20]. Segun sus
autores, esta forma de proceder se debe a que al utilizar los expertos diferentes
estructuras para representar sus preferencias no resulta trivial intentar establecer
90 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
comparaciones entre las mismas, siendo mas sencillo aplicar el proceso de consenso
sobre el conjunto de soluciones individuales.
Las caracterısticas de este modelo son las siguientes:
a) Dado un conjunto de expertos E = {e1, ..., em} (m ≥ 2), estos expresan
sus preferencias sobre el conjunto de alternativas X = {x1, . . . , xn} (n ≥ 2)
utilizando las siguientes estructuras de preferencia:
Vectores de utilidad. El experto i expresa sus preferencias sobre X mediante
un conjunto de valores de utilidad,
U i = {ui1, . . . , u
in}
donde cada uij representa la utilidad dada por ei a la alternativa xj. En el
apartado 1.2.1 puede consultarse algunos ejemplos de este tipo de represen-
tacion de preferencias.
Ordenes de preferencia. El experto i expresa sus preferencias sobre X me-
diante un orden de preferencias individual,
Oi = {oi(1), . . . , oi(n)}
es decir, mediante un vector con las alternativas ordenadas desde la mejor
hasta la peor. En el apartado 1.2.1 puede consultarse una definicion mas
precisa de esta estructura ası como algunos ejemplos.
Relaciones de preferencia difusas. El experto i expresa sus preferencias sobre
X mediante una matriz Pi ⊂ X ×X,
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 91
donde cada elemento de la matriz plki representa el grado de preferencia de
la alternativa xl sobre la alternativa xk dada por dicho experto. Algunos
ejemplos de este tipo de estructuras pueden consultarse en 1.2.1.
Relaciones de preferencia multiplicativas. El experto i expresa sus preferen-
cias sobre X mediante una matriz Ai ⊂ X ×X, donde cada elemento de la
matriz plki representa la razon de intensidad de la preferencia de la alternati-
va xl sobre la alternativa xk, es decir, que xl es plki veces mejor que xk para
el experto i. Saaty [141, 142] recomienda como rango para los elementos
de la matriz Ai el intervalo cerrado [1/9, 9] y que se cumpla la condicion
de reciprocidad multiplicativa alki · akl
i = 1; alki > 0,∀l, k. Un ejemplo de
preferencias dadas por los expertos i, j utilizando relaciones de preferencia
multiplicativas serıa el siguiente:
Pei=
− 1/2 1/3 4
2 − 1/3 1/9
3 3 − 7
1/4 9 1/7 −
Pej=
− 1/5 1/4 1/2
5 − 2 4
4 1/2 − 3
2 1/4 1/3 −
b) Medidas de consenso. Se definen dos tipos de medidas:
Grado de consenso. Con esta medida se evalua el nivel de acuerdo existente
entre todos los expertos y se utiliza para poner fin al proceso de consenso
cuando se haya alcanzado el grado de consenso deseado.
Proximidad de cada experto. Esta medida evalua el grado de coincidencia
entre las soluciones individuales de cada experto y la solucion colectiva.
92 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Ambos criterios se obtienen comparando las posiciones de las alternativas en
las soluciones individuales de los expertos respecto a solucion colectiva del
grupo.
c) Contempla la posibilidad de llevar a cabo un proceso de realimentacion que
permite a los expertos cambiar sus preferencias con el proposito de acercar
sus opiniones y ası aumentar el nivel de acuerdo.
d) Otorga mayor protagonismo a la figura del moderador. No solo calcula el grado
de consenso sino que tambien se encarga de recomendar las preferencias que
deben cambiar los expertos y llevar a cabo el proceso de seleccion.
e) Utiliza relaciones de preferencia difusas como estructura base para unificar
el resto de estructuras de representacion de preferencias utilizadas por los
expertos.
La representacion grafica del funcionamiento del modelo se muestra en la Fi-
gura 2.6.
Teniendo en cuenta dicha representacion, el modelo llevarıa a cabo los siguien-
tes pasos:
1. Los expertos expresan sus preferencias sobre el conjunto de alternativas X.
Estas preferencias se representan mediante ordenes de preferencia, vectores de
utilidad, relaciones de preferencia difusas y relaciones de preferencia multipli-
cativas.
2. Comienza una fase para hacer uniformes las preferencias dadas por los exper-
tos en el cual se transforman las diferentes estructuras de preferencia en una
unica representacion uniforme. Para llevar a cabo esta fase se definen fun-
ciones de transformacion que se encargan de transformar las estructuras de
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 93
SI
NO
EXPERTOS EXPRESAN SUSPREFERENCIAS INICIALES
Órdenes de preferenciaVectores de utilidad
Relaciones de preferencia difusasRelaciones de preferencia
multiplicativas
PROCESO DE SELECCIÓN
Vector ordenado dealternativas colectivo
temporal
Vectores ordenados dealternativas individuales
CÁLCULO DEL GRADO DECONSENSO
¿Grado de consensosuficiente?
El vector ordenado dealternativas colectivo esla solución al problema
CÁLCULO DE LAS MEDIDASDE PROXIMIDAD
EXPERTOS CAMBIAN SUSPREFERENCIAS
REPRESENTACIÓN UNIFORME DELA INFORMACIÓN
Figura 2.6: Modelo de consenso con diferentes estructuras de preferencia
preferencia individuales en relaciones de preferencia difusas individuales. En
[36] se estudiaron funciones para transformar ordenes de preferencia y vecto-
res de utilidad en relaciones de preferencia difusa, proponiendo la funcion de
transformacion,
plki = ϕ
(λl
i, λki
)=
1
2
[1 + ψ
(λl
i, λki
)− ψ(λl
i, λki
)],
94 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
donde plki representa un elemento de la relacion de preferencia difusa obtenida
para el experto i, λli representa la evaluacion dada por el experto i a la alter-
nativa xl y ψ es una funcion que ha de cumplir las siguiente dos condiciones:
a) ψ(z, z) = 12, ∀z ∈ R.
b) ψ es no decreciente en el primer argumento y no creciente en el segundo
argumento.
En [37] obtuvieron una funcion para transformar relaciones de preferencia
multiplicativas en relaciones de preferencia difusas,
plki = f
(alk
i
)=
1
2
(1 + log9 alk
i
).
donde alki representa los valores de la relacion de preferencia multiplicativa.
3. Se aplica el proceso de seleccion. Este proceso esta compuesto por dos fases:
Fase de agregacion. En esta fase se obtiene una relacion de preferencia difusa
colectiva Pc que representa la preferencia global del grupo. Pc se calcula
agregando las relaciones de preferencia difusas individuales {Pei, ..., Pem}.
La operacion de agregacion es llevada a cabo utilizando el operador OWA
φQ [161],
plkc = φQ
(plk
1 , . . . , plkm
)=
n∑z=1
wz · plkz ,
donde Q es un cuantificador linguıstico difuso [172] que representa el con-
cepto de mayorıa difusa.
Fase de explotacion. En esta fase se obtiene un orden de alternativas que
representan la solucion al problema. Para establecer este ranking de alter-
nativas se utilizan dos criterios de seleccion: grado de dominancia guiado
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 95
por cuantificador de la alternativa xl,
QGDDl = φQ
(plk
c , l = 1, . . . , n)
y el grado de no dominancia guiado por cuantificador de la alternativa xl,
QGNDDl = φQ
(1− pkl
s , k = 1, . . . , n)
donde pkls = max{pkl
c −plkc , 0} representa el grado de dominancia estricta en
el que xl es estrictamente dominado por xk.
El proceso de seleccion se aplica en dos direcciones:
a) Sobre la relacion de preferencia colectiva Pc obtenida en el proceso de agre-
gacion. El resultado es un vector ordenado de alternativas colectivo tempo-
ral (es decir, no definitivo),
Vc = (V 1c , ..., V n
c )
donde cada V lc representa la posicion de la alternativa xl segun las prefe-
rencias del grupo de expertos.
b) Sobre cada una de las relaciones de preferencia difusas individuales {Pe1 , ...,
Pem}, obteniendo un vector ordenado de alternativas individual Vi para cada
experto i,
Vi = (V 1i , ..., V n
i )
donde cada V li representa la posicion de la alternativa xl segun las prefe-
rencias del experto i
Estos vectores representan las soluciones al problema segun la opinion colec-
tiva del grupo de expertos y segun las opiniones individuales de cada experto.
96 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
4. Se calcula el grado de consenso sobre cada alternativa C(xj), comparando la
coincidencia de la posicion de la alternativa j entre la solucion individual del
experto Vi y la colectiva Vc,
C (xj) = 1−m∑
i=1
pi(xj)
m
donde pi(xj) representa la proximidad del experto i respecto a la alternativa
j que se obtiene comparando su posicion en la solucion individual y en la
solucion colectiva:
pi(xj) = p (Vi, Vc) (xj) = f
(∣∣V jc − V j
i
∣∣n− 1
)
5. A continuacion, se calcula el grado de consenso total CX agregando todos los
grados de consenso a nivel de alternativas C(xj). Para hacer esta agregacion
se utiliza el operador de agregacion S-OWA OR-LIKE definido por Yager y
Filev en [167]:
CX = SOWA OR−LIKE({C(xs); xs ∈ Xsol} ,
{C(xt); xt ∈ X −Xsol}) =
(1− β) ·ν∑
t=1
C(xt)
ν+ β ·
ρ∑s=1
C(xs)
ρ,
donde ρ es el cardinal del conjunto Xsol, ν es el cardinal del conjunto X−Xsol
y β ∈ [0, 1] es un parametro de control del comportamiento del operador de
agregacion.
Si CX es mayor que un umbral de consenso fijado previamente, entonces po-
demos dar por concluido el proceso de consenso y la solucion final al problema
sera el vector ordenado de preferencias colectivo obtenido temporalmente
Vc = (V 1c , ..., V n
c ).
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 97
En caso contrario se continuara por el punto 6.
6. Se produce un proceso de realimentacion del modelo para cambiar las prefe-
rencias de los expertos mas alejados de la preferencia colectiva. Para hacer esto
es necesario calcular la proximidad de la solucion de cada experto i respecto
a la preferencia colectiva. Esta proximidad, denominada P iX , se obtiene agre-
gando las proximidades a nivel de alternativas pi(xs) y utilizando de nuevo el
operador S-OWA OR-LIKE:
P iX = SOWA OR−LIKE({1− |pi(xs)| ; xs ∈ Xsol} ,
{1− |pi(xt)| ; xt ∈ X −Xsol}).
De esta operacion se obtienen los expertos mas alejados y por lo tanto los
que deberan cambiar sus preferencias sobre X. A continuacion se produce la
realimentacion que permitira repetir de nuevo todo el proceso hasta que se
alcance un grado de consenso suficiente o bien se haya llevado a cabo un
numero de rondas maximo fijado previamente y controlado por un contador.
2.3.6. Modelo teorico del proceso de consenso
Finalizaremos la revision de los modelos de consenso presentando un modelo de
consenso teorico. En este modelo se describe en detalle las diferentes operaciones
y fases que se llevan a cabo en los procesos de consenso tal y como se desarrollan
en situaciones reales dentro de una empresa u organizacion.
S. Saint y J.R. Lawson [143] aportan su vision del consenso desde una optica
empresarial donde la toma de decisiones por acuerdo o consenso ha ido desplazado
poco a poco a la toma de decisiones individual o apoyada en una sola persona.
98 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
Ambos autores se dedican profesionalmente al asesoramiento de empresas que han
optado por introducir esta tecnica de decision en sus organos de direccion.
En [143] se presenta una descripcion de los pasos, circunstancias y agentes que
pueden intervenir en un proceso de consenso. El modelo es demasiado complejo
para ser implementado directamente, pero es interesante porque aporta una vision
diferente a la del resto de autores citados en esta memoria respecto al concepto y
proceso a seguir para alcanzar el acuerdo.
S. Saint y J. Lawson define el consenso como:
“A state of mutual agreement among members of a group where all legiti-mate concerns of individuals have been addressed to the satisfaction of thegroup”3
Esta definicion hace una interpretacion mas filosofica del consenso al consi-
derarlo como el sentimiento o creencia por parte de los expertos de que todas
sus opiniones han sido oıdas y tenidas en cuenta para la eleccion de la decision
final. Hace mas hincapie en la forma de alcanzar el consenso que en la valoracion
cuantitativa del mismo.
El hecho de que todas las opiniones o posibles inconvenientes sobre una deter-
minada propuesta sean consideradas antes de tomar una decision final, asegura
que todos los expertos se sientan partıcipes del proceso de toma de decision. De
esta forma se evitan situaciones en las que parte de los expertos puedan estar
molestos porque sus opiniones no han sido tenidas en cuenta y por lo tanto no
consideren la decision final como la solucion al problema planteado.
Esta vision del consenso difiere de la visiones anteriores basadas en la idea de
medir el consenso exclusivamente como el “acuerdo de la mayorıa de los exper-
tos”, no teniendo en cuenta las opiniones de las minorıas. En los modelos vistos
3 Estado de mutuo acuerdo entre los miembros de un grupo donde todas las preocupacioneso inconvenientes de los individuos han sido tenidos en cuenta para la satisfaccion del grupo
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 99
anteriormente, el consenso se alcanza cambiando las preferencias de los expertos
cuyas opiniones estan mas alejadas de una opinion colectiva. El moderador inter-
viene recomendando que los expertos mas alejados cambien sus preferencias con
el proposito de aproximarlas a las del resto de expertos. Esto implica que solo
algunos expertos cambien de opinion y por lo tanto que se imponga la opinion de
la mayorıa sobre la minorıa.
En este modelo se propone que todos los expertos cambien sus preferencias y
acerquen sus opiniones utilizando como ultimo recurso si no se alcanza el consenso
deseado la imposicion de la opinion de la mayorıa. Esta idea nos ha parecido muy
interesante y enriquecedora, de ahı que la hayamos incluido en la propuesta que
se presentara en el Capıtulo 4.
En la Figura 2.7 se muestra una representacion grafica del modelo propuesto
por Saint y Lawson, el cual se puede dividir en tres fases principales:
1. Asimilacion de la propuesta. En esta fase se lleva a cabo la presentacion y
aclaracion de las posibles dudas que pueden surgir sobre la propuesta que se
pretende aprobar por consenso. Tambien se hace una primera consulta sobre
la existencia de algun inconveniente a que la propuesta inicial sea considerada
como la solucion idonea al problema planteado.
2. Resolucion de inconvenientes. Esta fase esta compuesta por varias rondas de
consenso donde los expertos expresan, discuten e intentan resolver los inconve-
nientes individuales que atribuyen a la propuesta inicial. Al final de cada ronda
de consulta se comprueba si se ha alcanzado el acuerdo deseado.
3. Cierre del proceso. Llegar a esta fase significa que los expertos no han sido capa-
ces de alcanzar un consenso sobre la idoneidad de la alternativa propuesta en el
100 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
PRESENTACIÓN DE LA PROPUESTA
ACLARACIÓN DE DUDAS
EXPOSICIÓN DE INCOVENIENTES INDIVIDUALES
¿HAY INCOVENIENTES?NO
SI
LISTADO DE INCONVENIENTES
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE INCONVENIENTES
EVALUACIÓN DE LA PROPUESTA DEL GRUPO
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE INCONVENIENTES
¿HAY CONSENSO?
EVALUACIÓN DE LOS MOTIVOS PERSONALES
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE INCONVENIENTES
¿HAY CONSENSO?(última consulta)
Añadir mástiempo
Opinión de lamayoría
Exclusión deexpertos
Retirada de lapropuesta
1ª ETAPAASIMILACIÓN DE LA
PROPUESTA
2ª ETAPARESOLUCIÓN DE
INCONVENIENTES
3ª ETAPACIERRE DEL PROCESO
EX
IST
EN
CIA
DE
CO
NS
EN
SO
SI
SI
SI
NO
NO
NO
¿HAY CONSENSO?
Figura 2.7: Modelo de consenso propuesto por Saint y Lawson
periodo de tiempo inicialmente establecido. Por lo tanto es necesario proceder
al cierre la sesion de consenso tomando alguna de las siguientes medidas:
a) Retirar la propuesta.
b) Anadir mas tiempo a la fase de resolucion de inconvenientes.
c) Tomar como decision final la opinion de la mayorıa.
2. El Consenso en Problemas de Toma de Decision en Grupo. 101
d) Excluir a los expertos que impiden alcanzar el consenso.
Finalmente resaltar que nos ha parecido interesante incluir en esta seccion la
clasificacion que realizan los autores de los diferentes papeles que deben asignarse
a los individuos que participan en el proceso de consenso. A diferencia de los
modelos anteriores donde solo se menciona la figura del moderador, Saint y Lawson
proponen las siguientes figuras:
a) Moderador. El moderador (tambien denominado monitor, mediador o facili-
tador) es una figura clave del proceso de consenso. Como ya hemos comentado
varias veces, su funcion es la puesta en marcha de todo el proceso y el control de
la correcta ejecucion del mismo. Es el encargado de aconsejar a los participantes
que cambien las opiniones mas discrepantes y las acerquen a las del resto de
miembros del grupo. Ademas de estas funciones, tambien se puede encargar de
observar el flujo emocional del proceso, es decir, identificar a los participantes
mas tımidos y reprobar a los que quieran imponer sus opiniones al resto. Se
aconseja que no sea una persona perteneciente a los niveles directivos de la or-
ganizacion para impedir que algunos de los participantes se sientan cohibidos a
la hora de expresar sus opiniones.
b) Redactor del acta. Como su propio nombre indica, esta persona es la encar-
gada de redactar el acta de cada sesion de consenso donde se ha de recoger por
escrito las conclusiones o decisiones que se hayan alcanzado. Es necesario que
antes de abandonar la reunion, se proceda a la lectura del acta para evitar que
los miembros la abandonen con ideas diferentes sobre las decisiones acordadas.
c) Controlador del tiempo. Al igual que ocurre en cualquier reunion donde se
vayan a abordar varios asuntos, es necesario asignar un tiempo determinado
102 2.3. Modelos de Consenso para Problemas de TDG
a cada una de las fases que componen la sesion de consenso. El controlador
de tiempo trabaja junto al moderador para controlar que se cumpla y no se
exceda el tiempo asignado a cada una de estas fases. Se encargara de ir recor-
dando periodicamente a los participantes el tiempo restante de cada fase con el
proposito de sean conscientes del momento en el que se encuentran dentro de
todo el proceso de consenso.
Capıtulo 3
Modelo de Sistema de Apoyo alConsenso para Problemas deTDG definidos en ContextosLinguısticos Multigranulares
En este capıtulo presentamos un modelo de sistema de apoyo al consenso
para problemas de Toma de Decision en Grupo definidos en contextos linguısticos
multigranulares.
Comenzaremos describiendo el contexto de definicion del problema y a con-
tinuacion se presentara en detalle el modelo de sistema de apoyo al consenso
propuesto, analizando una por una las distintas fases en las que esta dividido.
Finalmente se concluira este capıtulo con un ejemplo completo del funciona-
miento de dicho modelo.
103
104 3.1. Problemas de TDG en Contextos Linguısticos Multigranulares
3.1. Problemas de TDG en Contextos Linguısti-
cos Multigranulares
Como ya se comento en el Capıtulo 1, un problema de TDG se define como
una situacion de decision en la que intervienen varios expertos que pueden tener
diferentes percepciones, actitudes y conocimiento sobre el problema y que intentan
encontrar en comun la mejor solucion al mismo.
En los problemas de decision, los expertos pueden valorar cuestiones o aspec-
tos de naturaleza cuantitativa que admiten valoraciones numericas mas o menos
precisas o bien aspectos cuya naturaleza cualitativa difıcilmente admiten valora-
ciones numericas. En este ultimo caso es mas apropiado que los expertos utilicen
un modelado de preferencias que se adapten mejor a ese tipo de aspectos, como
puede ser un modelado de preferencias linguıstico.
El uso del Enfoque Linguıstico Difuso [171] ha dado buenos resultados en la re-
presentacion y valoracion de informacion cualitativa, utilizando variables linguısti-
cas para representar este tipo de informacion [1, 5, 14, 17, 45, 47, 73, 155, 158, 164].
En los problemas de TDG es recomendable que intervengan un grupo amplio y
variado de expertos que pertenezcan a diferentes areas de trabajo. Cuanto mayor
sea el numero de fuentes de informacion diferentes, mayor sera el numero de puntos
de vista desde los que se analizara el problema y mayor la garantıa de exito de la
solucion final que se obtenga.
En esta memoria centramos nuestro interes en problemas de TDG con infor-
macion vaga o imprecisa en los que se evaluan fenomenos que por su naturaleza
cualitativa recomiendan el uso de terminos linguısticos para expresar las prefe-
rencias. El hecho de que participen expertos de diferentes ambitos puede implicar
que tengan diferentes grados de conocimiento sobre el problema y de ahı que uti-
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 105
licen conjuntos de terminos linguısticos distintos para expresar sus preferencias.
Si bien esta variedad de procedencias de los expertos es una condicion deseable,
puede traer consigo el problema de tener que trabajar con conjuntos de termi-
nos linguısticos con una semantica y/o granularidad diferente. En este tipo de
situaciones diremos que el problema TDG esta definido en un contexto linguıstico
multigranular [73, 80, 84, 88].
Formalmente, un problema de TDG esta definido en un contexto linguıstico
multigranular cuando dado un conjunto de expertos
E = {e1, . . . , em},
cada ei utiliza un conjunto de terminos linguısticos diferente
Si = {si0, s
i1, . . . , s
igi}
para expresar sus preferencias sobre un conjunto de alternativas
X = {x1, . . . , xn}.
Cada Si esta caracterizado por su propia granularidad de la incertidumbre y/o
semantica,
#(Si) = gi + 1.
Sirva como ejemplo un problema de TDG donde dados dos expertos ei y ej,
el experto i utiliza un conjunto con nueve terminos o etiquetas linguısticas Si =
{a0, . . . , a8} para dar sus preferencias y el experto j otro diferente con solo cinco
etiquetas Sj = {c0, . . . , c4} para dar las suyas.
1063.2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso para Problemas de TDG
con Informacion Linguıstica Multigranular
3.2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso
para Problemas de TDG con Informacion
Linguıstica Multigranular
En cualquier problema de TDG cada experto tiene su propia opinion sobre
cual es la mejor alternativa/s para resolver el problema planteado. Hemos vis-
to que en la literatura este tipo de problemas ha sido resuelto llevando a ca-
bo un proceso de seleccion de alternativas que consiste en realizar una serie de
operaciones (agregacion y explotacion) con el proposito de buscar la mejor al-
ternativa solucion al problema a partir del conjunto de preferencias dadas por
los expertos. Los detalles de este proceso pueden consultarse en el apartado
1.5.2 de esta memoria o en la numerosa bibliografıa existente sobre el mismo
[16, 31, 46, 47, 59, 61, 72, 75, 112, 114, 117, 120, 135, 159, 177].
Ahora bien, el hecho de resolver un problema de TDG llevando a cabo exclu-
sivamente el proceso de seleccion no garantiza que la solucion final obtenida sea
asumida como la mejor por todo el grupo de expertos. De hecho puede existir
expertos que a tıtulo individual tengan la sensacion de que sus preferencias no
han sido tenidas en cuenta para obtener la solucion y por lo tanto la rechacen.
Para evitar estas situaciones no deseables, es recomendable realizar un pro-
ceso de consenso previo al proceso de seleccion. En este proceso, que ya ha sido
descrito en detalle en la Seccion 2.1, los expertos proponen, discuten y cambian
sus preferencias con el fin de acercar sus opiniones y alcanzar un nivel de acuerdo
mınimo que garantice que la solucion final sea aceptada por todos ellos.
El intento de modelar este proceso de consenso nos ha llevado a proponer un
modelo de sistema de apoyo al consenso (SAC) capaz de llevar a cabo el proceso
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 107
de busqueda del consenso de forma automatica y sin la intervencion de la figura
del moderador humano.
En la Figura 3.1 se describe graficamente el papel que desempenarıa un modelo
de SAC en el esquema general de resolucion de un problema de TDG.
PROCESO DE SELECCIÓN
SISTEMA DE APOYOAL CONSENSO
CONJUNTO DEEXPERTOS
GC+ Suficiente grado de consenso
GC- Insuficiente grado de consenso
ALTERNATVA(S)SOLUCIÓN
OPINIONES DE LOSEXPERTOS
RECOMENDACIONES
GC+
GC-
PROBLEMA
CONJUNTO DEALTERNATIVAS
PROCESO DE CONSENSO
MECANISMO DEREA LIMENTACIÓN
TOMA DE DECISIÓN EN GRUPO
Figura 3.1: Modelo de SAC para problemas de TDG
Como se observa, una vez que los expertos han expresado sus opiniones, un
proceso de consenso calcula el nivel de acuerdo entre ellos. Si el grado de consenso
es aceptable, se da por finalizado el proceso de consenso, en caso contrario, se
generan una serie de recomendaciones que apoyandose en un mecanismo de reali-
mentacion se hacen llegar a los expertos. A continuacion se repite de nuevo todo
el proceso.
El modelo que presentamos en este capıtulo ha sido pensado para aplicarse en
problemas de TDG en los que los expertos utilizan diferentes conjuntos de termi-
1083.2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso para Problemas de TDG
con Informacion Linguıstica Multigranular
nos linguısticos para expresar sus preferencias, es decir, problemas definidos en
contextos linguısticos multigranulares. Por este motivo, ademas de proponer una
metodologıa para tratar con informacion linguıstica multigranular, se han definido
una serie de medidas que permiten evaluar el nivel de acuerdo que existe entre
los expertos en este tipo de contextos. Para conseguir automatizar el proceso de
consenso, se ha disenado un sistema de recomendaciones orientado cuya finalidad
es identificar las preferencias en las que no existe suficiente acuerdo y recomen-
dar a los expertos la direccion en las que han de cambiar tales preferencias con
el proposito de aproximarlas y ası mejorar el grado de consenso en la siguiente
ronda de consenso.
Las caracterısticas y funcionamiento del modelo se presentan en los siguientes
apartados de este capıtulo.
3.2.1. Caracterısticas del modelo
Siguiendo una estructura similar a la utilizada en la presentacion de los mo-
delos de consenso vistos en el Capıtulo 2, antes de pasar a describir las distintas
fases que componen el modelo propuesto, comentaremos las caracterısticas mas
sobresalientes del mismo:
a) Expresion de preferencias. Los expertos expresan sus preferencias sobre el con-
junto de alternativas utilizando relaciones de preferencia linguısticas difusas.
Una descripcion mas formal del contexto de definicion del problema serıa la
siguiente. Sea X = {x1, x2, . . . , xn} (n ≥ 2) el conjunto de alternativas finito
valoradas por un conjunto de expertos E = {e1, e2, . . . , em} (m ≥ 2). Cada
experto ei proporciona sus preferencias sobre X por medio de una relacion de
preferencia difusa Pei: X × X con funcion de pertenencia µPei
: X × X → Si,
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 109
donde cada valor µPei(xl, xk) = plk
i denota el grado de preferencia de la alter-
nativa xl sobre la alternativa xk expresada por el experto ei,
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
Si = {si0, s
i1, . . . , s
igi} representa el conjunto de terminos linguısticos utilizados
por ei para dar sus preferencias y esta caracterizado por su cardinalidad #(Si) =
gi + 1.
Las relaciones de preferencia permiten trabajar con tres niveles de informacion
diferentes:
A nivel de pares de alternativas. Fijada una alternativa xl y una alternativa
xk, es posible conocer la informacion disponible sobre el par (xl, xk).
A nivel de alternativas. Fijada una alternativa xl, es posible conocer la infor-
macion disponible sobre esa alternativa a partir de los pares que la componen,
(xl, xk) con k = 1, . . . , n
A nivel de relacion. Teniendo en cuenta la informacion aportada por todas
las alternativas, se puede obtener un valor que represente la informacion
contenida en la relacion de preferencia.
Al considerar nuestra propuesta como un modelo general, en los ejemplos pre-
sentados en esta memoria no se requerira que las relaciones de preferencia satis-
fagan las propiedades enumeradas en la pagina 23, dejando para cada problema
particular la posibilidad de exigir el cumplimiento de alguna de estas propieda-
des.
1103.2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso para Problemas de TDG
con Informacion Linguıstica Multigranular
b) Medicion del consenso. Se definen dos tipos de medidas para estudiar el con-
senso:
1) Grados de consenso. El grado de consenso mide el grado o el nivel de acuerdo
alcanzado entre los expertos en cada una de las rondas que componen el
proceso de busqueda del consenso. Esta valorado dentro del intervalo [0,1]
de forma que un valor cercano a 1 indica un grado de consenso muy alto
mientras que un valor cercano a 0 indica un grado de consenso muy bajo.
2) Medidas de proximidad. Las medidas de proximidad miden la distancia que
existe entre las preferencias dadas por cada experto y la preferencia colectiva
dada por el grupo de expertos. Al igual que el grado de consenso, la pro-
ximidad tambien se valora en [0,1] de forma que una proximidad cercana a
1 indica que la opinion del experto esta muy proxima a la opinion colecti-
va, mientras que un valor cercano a 0 indica que ambas opiniones son muy
diferentes.
Ambas medidas se calcularan en los tres niveles descritos anteriormente:
Pares de alternativas. Permiten conocer el grado de consenso y la proximidad
de las valoraciones dadas a cada par de alternativas (xl, xk).
Alternativas. Permiten conocer el grado de consenso y la proximidad que
existe en cada una de las alternativas al problema.
Relaciones. Permiten conocer el grado de consenso total que existe entre los
expertos ası como la proximidad del conjunto de preferencias dadas por cada
experto respecto a la opinion colectiva.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 111
Con ambas medidas se podra identificar por ejemplo los pares de alternativas
en los que no hay consenso o aquellos expertos cuya opinion global este mas
alejada de la opinion del grupo.
El calculo y estudio del grado de consenso y proximidad a nivel de pares de
alternativas, alternativas y relaciones permite conocer en detalle la contribucion
de cada uno de ellos a la consecucion del consenso buscado.
c) Sistema de recomendaciones orientado. En un proceso de consenso, la tarea de
identificar a los expertos mas discrepantes y recomendar que cambien sus pre-
ferencias ha sido siempre desempenada por la figura del moderador, siendo esta
una actividad fundamental para conseguir alcanzar el consenso en un periodo
de tiempo no demasiado grande. En este modelo se propone un modulo al que
hemos denominado sistema de recomendaciones orientado que se encargara de
realizar esta tarea sirviendose para ello de las medidas de consenso presentadas
anteriormente, conseguiendose de esta forma automatizar las tareas del mode-
rador. Este modulo tiene asignada dos funciones:
Identificar aquellas preferencias que no contribuyen a alcanzar un grado de
consenso satisfactorio.
Recomendar a los expertos los cambios que deben hacer en sus preferencias
para mejorar el grado de consenso.
Comentadas las caracterısticas mas importantes del modelo, en la siguiente
seccion describiremos las diferentes fases que lo componen.
112 3.3. Fases del Modelo
3.3. Fases del Modelo
En la Figura 3.2 se presenta un esquema general del modelo de SAC para
problemas de TDG definidos en contextos linguısticos multigranulares.
CÁLCULO DE LOS GRADOS DECONSENSO
GENERACIÓN DERECOMENDACIONES
CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE PROXIMIDAD
Proceso deSelección deAlternativas
Preferencias e_1
MODELO DE SAC
Preferencias e_2
Preferencias e_m
Recomendaciones
UNIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN
CONTROL DEL CONSENSO
SISTEMA DE RECOMENDACIONES ORIENTADO
Figura 3.2: Modelo de SAC para problemas de TDG definidos en contextoslinguısticos multigranulares
El modelo esta dividido en cuatro grandes fases que presentamos brevemente a
continuacion y que se describiran en detalle en distintos apartados de esta seccion:
1. Unificacion de la informacion. En esta fase se lleva a cabo un proceso para
unificar bajo un unico dominio linguıstico todas las preferencias de los expertos
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 113
expresadas en distintos dominios linguısticos. Este proceso de unificacion es
necesario para poder calcular las medidas de consenso descritas anteriormente.
2. Calculo de los grados de consenso. En esta fase se calcula el grado de
consenso alcanzado a nivel de pares de alternativas, alternativas y a nivel de
relaciones de preferencia. Para hacer estos calculos se definira una funcion para
medir la similaridad entre las preferencias de los expertos.
3. Control del consenso. En esta fase se comprueba el grado de consenso alcan-
zado entre los expertos. Puede ocurrir que este grado de consenso sea suficiente,
dando por finalizado el proceso de consenso, o bien insuficiente, continuando el
modelo por la siguiente fase.
4. Generacion de recomendaciones. Finalmente, en la ultima fase el modelo
genera el conjunto de recomendaciones que los expertos deberıan seguir pa-
ra aproximar sus preferencias y mejorar el grado de consenso en la siguiente
ronda. Para hacer esto, primero se calcularan las medidas de proximidad. A
continuacion un sistema basado en reglas utilizara los grados de consenso y las
medidas de proximidad para identificar y sugerir los cambios de preferencias
que recomendara a los expertos.
Como puede verse en la descripcion grafica del modelo, estas cuatro fases se
ejecutan secuencialmente y dentro de un ciclo que se corresponde con lo que po-
drıamos entender por una “ronda de consenso”. El modelo de SAC recibe las pre-
ferencias de los expertos expresadas mediante relaciones de preferencia linguısticas
multigranulares. El modelo aplica un proceso de unificacion de la informacion a
partir del cual es posible calcular el grado de consenso alcanzado entre los exper-
tos. A continuacion se compara el grado de consenso alcanzado en esa ronda con
114 3.3. Fases del Modelo
un umbral de consenso γ. Este umbral representa el grado de consenso mınimo
que debe alcanzarse para dar por finalizado la fase de consenso y habra sido acor-
dado previamente por el conjunto de expertos e introducido como un parametro
al modelo. Si el grado de consenso es mayor que γ, finaliza el proceso de con-
senso y comenzara el proceso de seleccion de alternativas, en caso contrario, se
generara un conjunto de recomendaciones que a traves de un mecanismo de rea-
limentacion seran propuestas a los expertos.
Observacion: Antes de presentar en detalle las diferentes fases, indicar que nos
apoyaremos en un ejemplo sencillo al que hemos denominado “Ejemplo modelo”
para explicar las distintas operaciones, calculos y medidas obtenidas por el modelo.
Ejemplo modelo
Sean e1 y e2 dos expertos y sean S1 = {a0, . . . , a8} y S2 = {c0, . . . , c4} los dos
conjuntos de terminos linguısticos de cardinalidades 9 y 5 utilizados por e1 y e2
respectivamente para expresar sus preferencias sobre un conjunto de 4 alternativas
X = {x1, . . . , x4}. Las preferencias de los expertos utilizando ambos conjuntos de
terminos y relaciones de preferencia linguısticas son las siguientes:
Pe1 =
− a1 a4 a3
a5 − a8 a4
a4 a1 − a2
a5 a4 a7 −
Pe2 =
− c0 c0 c2
c4 − c3 c4
c3 c0 − c1
c2 c1 c3 −
3.3.1. Unificacion de la informacion
Trabajar con informacion linguıstica multigranular significa que los expertos
expresan sus preferencias utilizando conjuntos de terminos linguısticos con dife-
rente granularidad, es decir, conjuntos con diferente cardinalidad y/o semantica.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 115
Para operar con este tipo de informacion necesitamos llevar a cabo un proceso
de unificacion de la informacion, debido a que no existe operadores que traba-
jen directamente con informacion linguıstica multigranular. La fase de unificacion
consiste en un proceso de transformacion que permita expresar todas las preferen-
cias linguısticas dadas por los expertos en sus respectivos dominios particulares
Si en un unico dominio linguıstico normalizado al que denominaremos conjunto
basico de terminos linguısticos y que notaremos como ST .
La primera cuestion que debemos resolver antes de llevar a cabo el proceso de
transformacion es la eleccion de un adecuado ST . Este conjunto basico de terminos
linguısticos ha de ser capaz de recoger los diferentes grados de incertidumbre
presentes en los conjuntos de terminos linguısticos individuales utilizados por los
expertos para expresar sus preferencias. De forma general y dentro de un contexto
linguıstico multigranular, para la eleccion de un ST apropiado se procede de la
siguiente forma:
Si existe un unico conjunto de terminos linguısticos con maxima granularidad,
entonces los seleccionaremos como ST .
Si existen dos o mas conjuntos de terminos linguısticos con maxima granulari-
dad, entonces la eleccion de ST dependera de la semantica asociada a cada uno
de ellos teniendo en cuenta los siguientes casos:
1. Si todos los conjuntos tienen identica semantica (aunque con terminos linguısti-
cos diferentes), entonces cualquiera de ellos puede ser elegido como ST .
2. Si dos o mas de estos conjuntos tienen diferente semantica, entonces ST de-
bera ser un conjunto de terminos linguısticos con una cardinalidad mayor que
116 3.3. Fases del Modelo
el numero de terminos que normalmente una persona es capaz de discriminar
(alrededor de 7 o 9 terminos [124]).
Una vez seleccionado ST , ya se puede llevar a cabo el proceso para unificar to-
das las preferencias de los expertos en un solo dominio linguıstico. Para hacer esta
unificacion, definiremos una funcion de transformacion multigranular τSiST(·) que
convierte cada etiqueta linguıstica en un conjunto difuso definido sobre ST , [73].
Definicion 3.1. Sea S = {l0, . . . , lp} y ST = {c0, . . . , cg} dos conjuntos de
terminos linguısticos con g ≥ p. Definimos una funcion de transformacion multi-
granular, τSSTcomo:
τSST: S −→ F (ST )
τSST(li) = {(ch, αh) | h ∈ {0, . . . , g}}, ∀li ∈ S
αh = maxymin{µli(y), µch(y)}
donde F (ST ) es el conjunto de conjuntos difusos definidos sobre ST , siendo µli(y)
y µch(y) las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos asociados a los
terminos li y ch, respectivamente.
Por tanto, el resultado de τSSTpara cualquier etiqueta linguıstica de S es un
conjunto difuso definido sobre el conjunto basico de terminos linguısticos ST .
Ejemplo
Sean S = {l0, l1, . . . , l4} y ST = {s0, s1, . . . , s6} dos conjuntos de terminos
linguısticos con la siguiente semantica asociada cuya representacion mediante
numeros difusos triangulares se muestra en la Figura 3.3:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 117
l0 = (0, 0, 0.25) s0 = (0, 0, 0.16)
l1 = (0, 0.25, 0.5) s1 = (0, 0.16, 0.34)
l2 = (0.25, 0.5, 0.75) s2 = (0.16, 0.34, 0.5)
l3 = (0.5, 0.75, 1) s3 = (0.34, 0.5, 0.66)
l4 = (0.75, 1, 1) s4 = (0.5, 0.66, 0.84)
s5 = (0.66, 0.84, 1)
s6 = (0.84, 1, 1)
l 1
0 0.25 0.5 0.75 1
0 0.16 0.5 0.84 1
l 2 l 3 l 4l 0
S0
S1
S2 S3 S4 S5 S6l 1
Figura 3.3: Transformacion de l1 ∈ S en un conjunto difuso sobre ST
El conjunto difuso obtenido despues de aplicar la funcion de transformacion
multigranular τSSTpara la etiqueta l1 es:
τSST(l1) = {(s0, 0.39), (s1, 0.85), (s2, 0.85), (s3, 0.39), (s4, 0), (s5, 0), (s6, 0)}
Para unificar todas las preferencias de los expertos definimos una funcion de
118 3.3. Fases del Modelo
transformacion τSiST(·) para cada conjunto de terminos linguısticos Si. En parti-
cular, teniendo en cuenta que las preferencias de cada experto i se expresan por
medio de relaciones de preferencia Pei,
Pei=
p11i · · · p1n
i
.... . .
...
pn1i · · · pnn
i
cada preferencia linguıstica plki sera transformada en un conjunto difuso definido
sobre ST = {c0, . . . , cg} y que notaremos por plki :
plki = τSiST
(plki ) = {(ch, α
lkih) | h = 0, . . . , g}
αlkih = max
ymin{µplk
i(y), µch
(y)}
donde al menos ∃ αlkih > 0 y ∀ αlk
ih ∈ [0, 1].
Para simplificar la notacion, utilizaremos solo los grados de pertenencia (αlki0, . . . , α
lkig)
para representar cada conjunto difuso plki , transformado las relaciones de prefe-
rencia en matrices de conjuntos difusos:
Pei=
p11i = (α11
i0 , . . . , α11ig ) · · · p1n
i = (α1ni0 , . . . , α1n
ig )
.... . .
...
pn1i = (αn1
i0 , . . . , αn1ig ) · · · pnn
i = (αnni0 , . . . , αnn
ig )
Ejemplo modelo
Volviendo sobre el ejemplo propuesto, los expertos 1 y 2 utilizan los conjun-
tos de terminos linguısticos S1 = {a0, . . . , a8} y 2 = {c0, . . . , c4} con cardinalidad
#(S1) = 9 y #(S2) = 5 para dar sus preferencias. Como los dos conjuntos tienen
diferente granularidad, segun los criterios comentados anteriormente se seleccio-
nara como ST el conjunto con mayor granularidad, en este caso, ST = S1. Para lle-
var a cabo la unificacion se aplican las funciones de transformacion {τS1ST, τS2ST
}
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 119
que transforman las etiquetas linguısticas de ambos conjuntos en los conjuntos
difusos definidos sobre ST que se muestran en la siguiente Tabla 3.1:
τS1ST: τS2ST
:
a0 7→ (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) c0 7→ (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0)a1 7→ (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) c1 7→ (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0)a2 7→ (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) c2 7→ (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0)a3 7→ (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) c3 7→ (0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33)a4 7→ (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) c4 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1)a5 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)a6 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)a7 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)a8 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
Tabla 3.1: Conjuntos difusos obtenidos en la fase de unificacion
Observacion. Al utilizar como conjunto basico de terminos linguısticos ST el
propio S1, el resultado de aplicar la funcion de transformacion τS1STa cada eti-
queta linguıstica de S1 es un conjunto difuso con todos los grados de pertenencia
αlkih = 0 salvo el que coincida en el ındice con la etiqueta que se este valorando
que tomara un valor maximo, es decir, 1.
3.3.2. Calculo del grado de consenso
Una vez que han sido unificadas todas las preferencias en un solo dominio,
ya es posible operar con tales preferencias y calcular el grado de consenso que
existe entre los expertos. Para calcular el grado de consenso es necesario medir la
similaridad que existe entre las preferencias de los expertos comparandolas entre
sı y comprobando como de parecidas o diferentes son sus valoraciones.
120 3.3. Fases del Modelo
3.3.2.1 Funcion de similaridad
El proceso de unificacion transforma cada preferencia plki en un conjunto difuso
plki = (αlk
i0, . . . , αlkig)
definido sobre el conjunto basico de terminos linguısticos ST .
Para medir la similaridad entre las preferencias decidimos utilizar funciones
de distancia. En un primer momento interpretamos el conjunto difuso plki como
un vector de grados de pertenencia y optamos por utilizar funciones de distancia
clasicas como la Distancia Euclıdea entre dos preferencias plki y plk
j
δE(plki , plk
j ) =
√√√√g∑
h=0
(αlkih − αlk
jh)2
Analizando los resultados devueltos por esta funcion en varios ejemplos como
el que presentamos a continuacion, se pudo comprobar que estos no eran los
resultados esperados.
Ejemplo 1
Sean p121 = (1, 0, 0, 0, 0, 0), p12
2 = (0, 0, 0, 1, 0, 0) y p123 = (0, 0, 0, 0, 0, 1) los
tres conjuntos difusos obtenidos tras el proceso de unificacion de las preferencias
iniciales dadas por los expertos e1, e2 y e3 sobre el par de alternativas (x1, x2). Asu-
miendo que la informacion contenida en p121 se encuentra escorada a la izquierda,
la contenida en p122 aproximadamente centrada y la de p12
3 escorada a la derecha,
si se evalua la similaridad de las tres preferencias cabe esperar que la similaridad
entre p121 y p12
2 sea mayor que la similaridad entre p121 y p12
3 . Si embargo, si se
mide la similaridad utilizando la Distancia Euclıdea como funcion de similaridad
se obtienen identicos valores:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 121
d(p121 , p12
2 ) =
√√√√g∑
h=0
(α121h − α12
2h)2 =√
2 ; d(p121 , p12
3 ) =
√√√√g∑
h=0
(α121h − α12
3h)2 =√
2
Por lo tanto de este ejemplo se deduce que la Distancia Euclıdea no es una
funcion valida para evaluar la similaridad entre preferencias en el contexto en
el que estamos trabajando. El problema reside en que para poder trabajar con
el conjunto difuso plki = (αlk
i0, . . . , αlkig) es necesario tener en cuenta no solo el
valor de cada grado de pertenencia αlkih sino tambien su posicion h (h = 0, . . . , g)
dentro del conjunto difuso. Para resolver este problema decidimos calcular el valor
central de cada conjunto difuso, cv(plki ) [46, 109]. El valor central representa la
posicion o el centro de gravedad de la informacion contenida en el conjunto difuso
plki = (αlk
i0, . . . , αlkig) y se calcula como:
cv(plki ) =
∑gh=0 index(si
h) · αlkih∑g
h=0 αlkih
, (3.1)
donde index(sih) = h.
El rango de valores del valor central es el intervalo cerrado [0, g]. De hecho, de
las siguientes desigualdades:
0 ≤ index(sih) ≤ g y 0 ≤ αlk
ih ∀ i, h, k, l
se obtiene que
0 ≤ index(sih) · αlk
ih ≤ g · αlkih ∀ i, h, k, l
y
0 ≤g∑
h=0
index(sih) · αlk
ih ≤ g ·g∑
h=0
αlkih ∀ i, k, l.
Finalmente dividiendo por∑g
h=0 αlkih se obtiene que
0 ≤∑g
h=0 index(sih) · αlk
ih∑gh=0 αlk
ih
≤ g ∀ i, k, l
122 3.3. Fases del Modelo
es decir, cv(plki ) ∈ [0, g] ∀i, l, k.
En el siguiente ejemplo se muestra el calculo del valor central de varias prefe-
rencias de un experto.
Ejemplo 2
Sean p141 = (0.3, 0.8, 0.6, 0, 0, 0), p24
1 = (0, 0.3, 0.8, 0.6, 0, 0) y p341 = (0, 0, 0,
0.3, 0.8, 0.6) tres conjuntos difusos que representan las preferencias dadas por el
experto 1. Aplicando (3.1) se obtiene que el valor central de cada conjunto difuso
es:
cv(p141 ) =
0.3 · 0 + 08 · 1 + 0.6 · 20.3 + 0.8 + 0.6
= 1.18
cv(p241 ) =
0.3 · 1 + 08 · 2 + 0.6 · 30.3 + 0.8 + 0.6
= 2.18
cv(p341 ) =
0.3 · 3 + 08 · 4 + 0.6 · 50.3 + 0.8 + 0.6
= 4.18
Como se puede observar, conforme la informacion contenida en el conjunto
difuso se va trasladando de izquierda a derecha, el valor central tambien se va
desplazando en la misma direccion.
Considerando que el valor central representa la informacion contenida en un
conjunto difuso, ya estamos en disposicion de evaluar la similaridad entre los
conjuntos difusos en los que han sido transformadas las preferencias de los expertos
en la fase de unificacion. Para ello definiremos la funcion de similaridad s(·) entre
dos conjuntos difusos plki y plk
j evaluada en el intervalo unidad [0, 1] como:
s : F (ST )× F (ST ) → [0, 1]
s(plki , plk
j ) = 1−∣∣∣∣∣cv(plk
i )− cv(plkj )
g
∣∣∣∣∣ (3.2)
Un valor de s(plki , plk
j ) cercano a 1 significa que ambas valoraciones son muy
parecidas, mientras que un valor de s(plki , plk
j ) proximo a 0 significa que ambas
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 123
valoraciones son muy diferentes.
Con la funcion s(·), el problema que se nos presento en el ejemplo 1 al utilizar
la Distancia Euclıdea queda ahora resuelto:
Ejemplo 3
Dados los tres conjuntos difusos del ejemplo 1 que representan la preferencias
de tres expertos, p121 = (1, 0, 0, 0, 0, 0), p12
2 = (0, 0, 0, 1, 0, 0), p123 = (0, 0, 0, 0, 0, 1),
la similaridad entre las preferencias utilizando la funcion definida en (3.2) devuelve
los siguientes valores:
s(p121 , p12
2 ) = 1−∣∣∣∣cv(p12
1 )− cv(p122 )
5
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣0− 3
5
∣∣∣∣ = 0.4
s(p121 , p12
3 ) = 1−∣∣∣∣cv(p12
1 )− cv(p123 )
5
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣0− 5
5
∣∣∣∣ = 0
Tal y como cabrıa esperar, la similaridad entre los conjuntos difusos s(p121 , p12
2 )
ha de ser mayor que la que existe entre los conjuntos difusos s(p121 , p12
3 ), siendo
esta ultima mınima puesto que representan dos valoraciones que se encontrarıan
en los extremos de un posible rango de valores.
3.3.2.2 Grados de consenso
Definida la funcion de similaridad propuesta en (3.2), el modelo de SAC lleva
a cabo la siguiente secuencia de operaciones con el proposito de calcular el grado
de consenso existente entre los expertos:
1. Calculo de los valores centrales. Se calcula el cv(plki ) de cada conjunto
difuso plki = (αlk
i0, . . . , αlkig) obtenido despues del proceso de unificacion. Los
valores centrales se calculan a partir de la formula definida en (3.1),
124 3.3. Fases del Modelo
cv(plki ) =
∑gh=0 index(si
h) · αlkih∑g
h=0 αlkih
Ejemplo modelo
Para no repetir la misma operacion sobre todas las preferencias dadas por los
expertos tan solo se muestran los calculos realizados para las siguientes prefe-
rencias:
p121 = a1 7→ p12
1 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
p431 = a7 7→ p43
1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)
p122 = c0 7→ p12
2 = (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
p412 = c2 7→ p41
2 = (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0)
Los valores centrales de estas preferencias se calculan como:
cv(p121 ) = 1·1
1= 1
cv(p431 ) = 7·1
1= 7
cv(p122 ) = 0·1+1·0.67+2·0.33
1+0.67+0.33= 1.33
2= 0.67
cv(p412 ) = 2·0.33+3·0.67+4·1+5·0.67+6·0.33
0.32+0.66+1+0.68+0.34= 12.06
3= 4.02
En las Tablas 3.2 y 3.3 se muestran los valores centrales calculados para ambos
conjuntos de terminos linguısticos.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 125
S1 p cv(p)
a0 (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0a1 (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1a2 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 2a3 (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) 3a4 (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) 4a5 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) 5a6 (, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) 6a7 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) 7a8 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) 8
Tabla 3.2: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales utilizadospor el experto 1.
S2 p cv(p)
c0 (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0.67c1 (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0) 2.02c2 (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0) 4.02c3 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33) 6.02c4 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1) 7.34
Tabla 3.3: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales utilizadospor el experto 2.
2. Calculo de las matrices de similaridad. Las matrices de similaridad repre-
sentan la coincidencia o similaridad entre las preferencias de los expertos. Se
calcula una matriz de similaridad SMij =(smlk
ij
)para cada par de expertos
(ei, ej) (i < j),
SMij =
sm11ij · · · sm1n
ij
.... . .
...
smn1ij · · · smnn
ij
donde cada elemento de la matriz se obtiene aplicando la funcion de similaridad
126 3.3. Fases del Modelo
definida en (3.2),
smlkij = s(plk
i , plkj ).
Cada SMij representa la similaridad entre las preferencias de los expertos i y j
comparada a nivel de pares de alternativas.
Ejemplo modelo
La matriz de similaridad que se obtiene a partir de las preferencias de los ex-
pertos 1 y 2 es:
SM12 =
− 0.96 0.58 0.88
0.71 − 0.75 0.58
0.75 0.96 − 1
0.88 0.75 0.88 −
Todos sus elementos se calculan de forma similar a los dos siguientes:
sm1212 = s(p12
1 , p122 ) = 1−
∣∣∣∣cv(p12
1 )− cv(p122 )
8
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣1− 0.67
8
∣∣∣∣ = 0.96
sm4112 = s(p41
1 , p412 ) = 1−
∣∣∣∣cv(p41
1 )− cv(p412 )
8
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣5− 4.02
8
∣∣∣∣ = 0.88
3. Calculo de la matriz de consenso. Conceptualmente esta matriz representa
la similaridad entre todas las preferencias de todos los expertos y contiene la
informacion a partir de la cual se va a calcular el grado de consenso,
CM =
cm11 · · · cm1n
.... . .
...
cmn1 · · · cmnn
Cada elemento de la matriz se obtiene agregando a nivel de pares de alternativas
todas las matrices de similaridad,
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 127
cmlk = φ(smlkij ); i, j = 1, . . . , m ∧ ∀ l, k = 1, . . . , n ∧ i < j.
En esta memoria se propone utilizar como funcion de agregacion φ(·) la media
aritmetica ya que consideramos a todos los expertos igualmente importantes,
sin embargo podrıan utilizarse otros operadores de agregacion si los expertos
tuviesen distinta importancia en el proceso de decision.
Ejemplo modelo
Al existir en este ejemplo solo dos expertos, se calcula una unica matriz de
similaridad SM12, de ahı que no sea necesario realizar el proceso de agregacion
y que la matriz de consenso coincida con la matriz de similaridad, CM = SM12:
CM = SM12 =
− 0.96 0.58 0.88
0.71 − 0.75 0.58
0.75 0.96 − 1
0.88 0.75 0.88 −
4. Calculo de los grados de consenso. Una de las caracterısticas de este mo-
delo es la posibilidad de conocer con detalle la distribucion del consenso dentro
del conjunto de preferencias dadas por los expertos. No solo se mide el grado
de consenso general alcanzado entre los expertos sino que tambien se mide el
grado de consenso que existe en una alternativa o en cada par de alternativas
concreto. Este conocimiento exhaustivo de la contribucion de cada preferen-
cia a alcanzar el consenso permite al modelo identificar de forma muy precisa
aquella/s preferencias en las que existe mayor discrepancia y proponer que los
cambios les afecten exclusivamente a ellas. De este modo se garantiza que las
128 3.3. Fases del Modelo
preferencias en las que existe suficiente acuerdo no sean modificadas y aque-
llas en las que no existe, se pueda alcanzar en un futuro siempre y cuando los
cambios se realicen en la direccion adecuada. Los detalles para llevar a cabo
los cambios en las preferencias se veran mas adelante en el apartado dedicado
a la generacion de recomendaciones, centrandonos ahora en las operaciones del
calculo de los distintos grados de consenso.
El modelo propone calcular el grado de consenso a nivel de pares de alternativas,
alternativas y relaciones de preferencia:
Nivel 1. Consenso sobre pares de alternativas. El grado de consenso a nivel
de pares de alternativas, denominado cplk, mide el nivel de acuerdo alcanza-
do entre todos los expertos sobre el par de alternativas (xl, xk). Este viene
definido por el elemento (l,k) de la matriz de consenso CM,
cplk = cmlk, ∀l, k = 1, . . . , n ∧ l 6= k.
Con esta medida se puede identificar los pares de alternativas en los que existe
un mayor o menor grado de consenso.
Ejemplo modelo.
Volviendo sobre nuestro ejemplo y teniendo en cuenta la matriz de consenso
CM calculada anteriormente, el grado de consenso que existe entre ambos
expertos a nivel de pares de alternativas es el siguiente:
cp12 = 0.96 cp13 = 0.58 cp14 = 0.88
cp21 = 0.71 cp23 = 0.75 cp24 = 0.58
cp31 = 0.75 cp32 = 0.96 cp34 = 1
cp41 = 0.88 cp42 = 0.75 cp43 = 0.88
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 129
Nivel 2 Consenso sobre alternativas. El grado de consenso a nivel de alterna-
tivas, denominado cal, mide el grado de acuerdo alcanzado entre todos los
expertos sobre las preferencias dadas a una alternativa concreta xl. Fijada
una alternativa xl, se calcula como la media aritmetica de todos los cplk,
cal =
∑nk=1, l 6=k cplk
n− 1
Con esta medida se puede saber el grado de consenso que existe sobre las
preferencias dadas a cada alternativa.
Ejemplo modelo.
A partir de la matriz de consenso CM, el consenso a nivel de cada alternativa
se calcula como la media aritmetica de los valores de cada fila l:
ca1 =0.96 + 0.58 + 0.88
3= 0.81
ca2 =0.71 + 0.75 + 0.58
3= 0.68
ca3 =0.75 + 0.96 + 1
3= 0.9
ca4 =0.88 + 0.75 + 0.88
3= 0.83
Nivel 3 Consenso sobre las relaciones de preferencia. El grado de consenso a
nivel de relacion, denominado cr, mide el grado de acuerdo “general” alcan-
zado entre todas las preferencias de todos los expertos, es decir, el grado de
consenso que existe entre todos los expertos del problema de TDG. Se calcula
como la media aritmetica del consenso a nivel de alternativas cal,
cr =
∑nl=1 cal
n
Este valor es fundamental ya que es utilizado por el modelo de SAC para
conocer el nivel de acuerdo alcanzado en cada ronda y como condicion de
parada del proceso de consenso tal y como veremos en el apartado 3.3.3.
130 3.3. Fases del Modelo
Ejemplo modelo.
El grado de consenso alcanzado a nivel de relaciones de preferencia cr en este
ejemplo es:
cr =0.81 + 0.68 + 0.9 + 0.83
4= 0.81
Como puede verse, un valor de cr = 0.8 puede considerarse como un nivel de
consenso bastante alto debido principalmente en este caso a la participacion
de tan solo dos expertos. Si el numero de expertos fuese mayor y asumiendo
que cada uno de ellos aporta un conjunto de preferencias diferente, el grado
de consenso cr en las primeras rondas logicamente serıa inferior.
Para cualesquiera de las medidas presentados en este apartado tan solo anadir
que un valor proximo a 1 indica un grado de consenso alto mientras que un
valor proximo a 0 indica un grado de consenso bajo.
3.3.3. Control del consenso
En esta fase el modelo de SAC lleva a cabo el control del consenso alcanzado
entre los expertos. Este control consiste en comprobar si cr supera un umbral de
consenso γ que se considera mınimo para dar por finalizado el proceso de busqueda
del consenso. En caso de no superarlo, el modelo continuarıa por la siguiente fase
del proceso.
El umbral de consenso (γ/γ ∈ [0, 1]), como su propio nombre indica, representa
el nivel de acuerdo mınimo que los expertos han de alcanzar para que el modelo de
SAC considere que existe un grado entendimiento suficiente entre los expertos para
poner fin al proceso de consenso y dar paso al proceso de seleccion de alternativas.
El valor de γ debe de ser acordado y fijado previamente al comienzo del proceso
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 131
e introducido como un parametro al modelo. Su valor puede depender de las
caracterısticas y circunstancias del problema de decision que se este tratando. Por
ejemplo, en problemas en los que las consecuencias de las decisiones que se tomen
sean muy importantes, se puede exigir un umbral de consenso muy alto (valores
de γ proximos al 0.9). En otros casos, donde lo mas importante es obtener una
solucion rapida, se puede optar por un umbral de consenso proximo a 0.5.
En la Figura 3.4 se muestra graficamente como se realiza el control teniendo
en cuenta las siguientes condiciones :
Si cr >= γ, entonces los expertos han alcanzado el grado de consenso deseado,
dandose por finalizado el proceso de consenso y dando lugar al comienzo del
proceso de seleccion de alternativas.
Si cr < γ, el proceso de consenso debe continuar.
cr >=
Nºronda < Max_rondas
SI
NO
NO
SI
γ
CONTROL DEL CONSENSO
Proceso de Selecciónde Alternativas
Figura 3.4: Control del consenso
132 3.3. Fases del Modelo
Es necesario destacar que si el valor del umbral de consenso γ es muy alto,
es posible que los expertos nunca alcancen un grado de consenso igual o superior
a γ o bien que el tiempo empleado para alcanzarlo sea demasiado largo. Para
evitar esta situacion, se ha definido un parametro denominado Max rondas1 que
impide que se lleven a cabo un numero mayor de rondas de consenso al previsto
inicialmente. Si se llega a esta situacion, hay varias formas de proceder tal y como
se indica en [143], habiendose optado en esta propuesta por la opcion de dar por
terminado el proceso de consenso, indicando que no se ha alcanzado el acuerdo
deseado y dando paso al proceso de seleccion de alternativas.
Ejemplo modelo
Considerando un umbral de consenso γ = 0.85, el resultado de la fase de
control serıa continuar con el proceso de consenso puesto que:
cr = 0.81 < γ = 0.85
3.3.4. Generacion de recomendaciones
Cuando se explico el funcionamiento de los procesos de busqueda del consenso
en la Seccion 2.1, comentamos que una tarea fundamental del moderador era la
de aconsejar o recomendar a los expertos hacer cambios en sus preferencias mas
discrepantes para acercar sus posiciones y ası incrementar el nivel de acuerdo.
Este es el objetivo que se persigue en esta fase.
En la mayorıa de los modelos revisados en el Capıtulo 2 los autores comentan
la idoneidad de llevar a cabo un proceso de recomendaciones pero ninguno de ellos
describe en detalle un mecanismo para realizarlo. Desde el primer momento en el
que nos planteamos proponer un modelo de SAC consideramos primordial desa-
1 Al igual que γ, el valor de Max rondas debe fijarse previamente e introducirse comoparametro al modelo de SAC.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 133
rrollar un mecanismo automatico capaz de realizar esta labor de asesoramiento
a los expertos, con el fin de ayudarles a cambiar sus preferencias en la direccion
adecuada y ası conseguir reducir el tiempo necesario para alcanzar el consenso
deseado.
El resultado de las operaciones que se realizan en esta fase es un conjunto de
recomendaciones donde se sugiere la direccion en la que los expertos deben cambiar
las preferencias mas discrepantes. Para hacer esto, primero es necesario calcular la
medidas de proximidad de cada experto y a continuacion aplicar un mecanismo de
recomendaciones al que hemos denominado sistema de recomendaciones orientado.
Cada una de estas operaciones se describen en las siguientes subsecciones.
3.3.4.1 Medidas de proximidad
Las medidas de proximidad evaluan la distancia entre las preferencias indivi-
duales de cada uno de los expertos y una preferencia colectiva que representa la
preferencia del grupo de expertos. Son utilizadas en nuestro modelo para identifi-
car los expertos cuyas opiniones estan mas alejadas de la opinion del grupo y de
ahı que puedan ser consideradas como las mas discrepantes.
Para calcular estas medidas el modelo realiza las siguientes operaciones:
1. Calculo de la relacion de preferencia colectiva.
Para identificar las preferencias mas alejadas es necesario calcular previamente
una preferencia que represente la posicion intermedia en la que se encuentran
todos los expertos. La relacion de preferencia colectiva Pec se obtiene a partir
de las relaciones de preferencia individuales y representa la preferencia media
dada por el conjunto de expertos. Se calcula agregando todas las relaciones de
preferencia individuales {Pe1 , . . . , Pem} a nivel de pares,
134 3.3. Fases del Modelo
Pec =
p11c · · · p1n
c
.... . .
...
pn1c · · · pnn
c
Cada elemento de la matriz de preferencia colectiva plkc = (αlk
c0, . . . , αlkcg) es un
conjunto difuso definido sobre ST y calculado agregando todas la preferencias
individuales plki = (αlk
i0, . . . , αlkig):
αlkcj = ψ(αlk
1j, . . . , αlkmj), ∀j : 0, . . . , g
donde ψ es un “operador de agregacion”.
Ejemplo modelo
En el ejemplo propuesto, la matriz de preferencia colectiva Pec se calcula agre-
gando las matrices de preferencia individuales Pe1 , Pe2 a nivel de pares de al-
ternativas. Para el caso concreto del par p12c , este se obtiene agregando las
siguientes preferencias:
p121 = a1 7→ p12
1 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
p122 = c0 7→ p12
2 = (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
Utilizando como operador de agregacion la media aritmetica αlkcj =
∑mi=1 αlk
ij
m,
calculamos cada uno de los grados de pertenencia del valor colectivo p12c ,
α12c0 =
0 + 1
2= 0.5
α12c1 =
1 + 0.67
2= 0.83
α12c2 =
0 + 0.33
2= 0.17
...
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 135
α12c8 =
0 + 0
2= 0
dando como resultado el conjunto difuso colectivo p12c = (0.5, 0.83, 0.17, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
El resto de valores de Pec se calculan de la misma forma:
p12c = (0.5, 0.83, 0.17, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
p13c = (0.5, 0.33, 0.17, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0)
p14c = (0, 0, 0.17, 0.83, 0.5, 0.33, 0.17, 0, 0)
p21c = (0, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0.17, 0.33, 0.5)
p23c = (0, 0, 0, 0, 0.17, 0.33, 0.5, 0.33, 0.67)
p24c = (0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0.17, 0.33, 0.5)
p31c = (0, 0, 0, 0, 0.67, 0.33, 0.5, 0.33, 0.17)
p32c = (0.5, 0.83, 0.17, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
p34c = (0.17, 0.33, 1, 0.33, 0.17, 0, 0, 0, 0)
p41c = (0, 0, 0.17, 0.33, 0.5, 0.83, 0.17, 0, 0, )
p42c = (0.17, 0.33, 0.5, 0.33, 0.67, 0, 0, 0, 0)
p43c = (0, 0, 0, 0, 0.17, 0.33, 0.5, 0.83, 0.17)
2. Calculo de la matriz de proximidad. Una vez calculada la matriz de pre-
ferencias colectiva Pec , se calcula una matriz de proximidad para cada experto,
PMi,
PMi =
pm11 · · · pm1n
.... . .
...
pmn1 · · · pmnn
donde los elementos de esta matriz representan la distancia entre las preferencias
individuales del experto y la preferencia colectiva. Para medir esta distancia se
136 3.3. Fases del Modelo
utiliza la funcion de similaridad de definida en la expresion (3.2),
pmlki = s(plk
i , plkc )
Ejemplo modelo
Las matrices de similaridad de ambos expertos son respectivamente:
PM1 =
− 0.97 0.72 0.91
0.81 − 0.81 0.72
0.81 0.97 − 1
0.91 0.81 0.91 −
PM2 =
− 0.99 0.86 0.97
0.90 − 0.94 0.86
0.94 0.97 − 1
0.97 0.94 0.97 −
Los valores de los elementos de ambas matrices se han calculado tal y como se
muestra en los siguientes ejemplos:
pm121 = s(p12
1 , p12c ) = 1−
∣∣∣∣cv(p12
1 )− cv(p12c )
8
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣1− 0.78
8
∣∣∣∣ = 0.97
pm312 = s(p31
2 , p31c ) = 1−
∣∣∣∣cv(p31
2 )− cv(p31c )
8
∣∣∣∣ = 1−∣∣∣∣6.02− 5.5
8
∣∣∣∣ = 0.94
donde los valores cv(p121 ) = 1 y cv(p31
2 ) = 6.02 ya han sido calculados anterior-
mente (Tablas 3.2 y 3.3) y los valores de cv(p12c ) y cv(p31
c ) se obtienen como:
cv(p12c ) =
0 · 0.5 + 1 · 0.83 + 2 · 0.17
0.5 + 0.87 + 0.17=
1.17
1.5= 0.78
cv(p31c ) =
4 · 0.67 + 5 · 0.33 + 6 · 0.5 + 7 · 0.33 + 8 · 0.17
0.67 + 0.33 + 0.5 + 0.33 + 0.17=
11
2= 5.5
3. Calculo de las medidas de proximidad. Utilizando un razonamiento similar
al utilizado para justificar el calculo de las medidas de consenso en diferentes
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 137
niveles, el modelo tambien calcula proximidad a nivel de pares de alternativas,
alternativas y relaciones de preferencia.
Nivel 1. Proximidad de los pares de alternativas. Dado un experto i, la medi-
da de proximidad del par de alternativas (xl, xk), denominada pplki , mide la
distancia que existe en ese par entre la preferencia del experto y la preferencia
colectiva, coincidiendo con la posicion (l, k) de la matriz de proximidad PMi,
es decir,
pplki = pmlk
i , ∀l, k = 1, . . . , n ∧ l 6= k.
Ejemplo modelo
Como acabamos de decir, la proximidad a nivel de pares de alternativas coin-
ciden con los valores contenidos en las matrices de proximidad PM1 y PM2.
Por lo tanto la proximidad de algunos de estos pares serıa:
pm121 = 0.97 pm12
2 = 0.99
pm131 = 0.72 pm13
2 = 0.86
pm211 = 0.81 pm21
2 = 0.9
pm411 = 0.91 pm41
2 = 0.97
Observacion. La proximidad del experto 1 y experto 2 a la preferencia
colectiva en el par de alternativas (x1, x2) es muy alta (0.97 y 0.99 respecti-
vamente), por lo que cabe pensar que las preferencias de ambos expertos han
de ser muy parecidas. Siendo esto ası, entonces el grado de consenso sobre ese
par tambien debe ser muy alto tal y como se puede comprobar en la matriz
138 3.3. Fases del Modelo
de consenso calculada en al pagina 127, donde cp12 = 0.96. El mismo razona-
miento puede aplicarse sobre el par de alternativas (x2, x4), donde un grado de
consenso relativamente bajo cp24 = 0.58 ha de implicar que las proximidades
de los expertos en ese par sean inferiores (pp241 = 0.72, pp24
2 = 0.86).
Nivel 2. Proximidad de las alternativas. Dado un experto i, la medida de pro-
ximidad de la alternativa l, denominada pal, mide la distancia entre las pre-
ferencias del experto y la preferencia colectiva evaluada a nivel de esa alter-
nativa. Fijada una alternativa l, pali se calcula como la media aritmetica de
todos los pplki ,
pali =
∑nk=1,k 6=l pp
lki
n− 1
Ejemplo modelo
A partir de las matrices de proximidad de cada experto, la proximidad de
cada alternativa se calcula como la media aritmetica de los valores de cada
fila l:
pa11 = 0.97+0.72+0.91
3= 0.87 pa1
2 = 0.99+0.86+0.973
= 0.94
pa21 = 0.81+0.81+0.72
3= 0.78 pa2
2 = 0.9+0.94+0.863
= 0.9
pa31 = 0.81+0.97+1
3= 0.93 pa3
2 = 0.94+0.99+13
= 0.97
pa41 = 0.91+0.81+0.91
3= 0.88 pa4
2 = 0.97+0.94+0.973
= 0.96
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 139
Nivel 3. Proximidad de la relacion. Dado un experto i, la medida de proxi-
midad de la relacion de preferencia Pei, denominada pri, mide la distancia
global entre el conjunto de preferencias del experto y la preferencia colectiva.
Se calcula como la media aritmetica de las proximidades a nivel de alterna-
tivas pal,
pri =
∑nl=1 pal
i
n
Ejemplo modelo.
La proximidad a nivel de relaciones de preferencia de cada experto es:
pr1 =0.87 + 0.78 + 0.93, 0.88
4= 0.86
pr2 =0.94 + 0.9 + 0.97, 0.96
4= 0.94
Respecto a los valores del conjunto de medidas de proximidad, valores cercanos
a 1 indican que las preferencias del experto estan muy proximas a las preferen-
cias del grupo de expertos y por lo tanto podemos asumir que las preferencias
del experto contribuyen positivamente a alcanzar el consenso. En caso contra-
rio, valores cercanos a 0 indican que las preferencias del experto estan muy
alejadas de las preferencias del grupo y por lo tanto penalizan la consecucion
del consenso.
3.3.4.2 Sistema de Recomendaciones Orientado
Un proceso de busqueda del consenso puede verse como un proceso de acer-
camiento de unas posturas u opiniones iniciales que inexorablemente va a llevar
aparejado una serie de cambios en las preferencias de los expertos. Un problema
que se les puede plantear a los expertos a la hora de cambiar sus preferencias es
140 3.3. Fases del Modelo
la eleccion de la direccion mas adecuada en la que han de hacer los cambios para
conseguir acercar sus opiniones. Hemos de tener en cuenta que si los cambios no
se realizan en la direccion correcta se producira un alejamiento de las preferencias
y por lo tanto una disminucion en el grado de consenso. En situaciones de decision
del mundo real este problema queda resuelto con la intervencion del moderador
que al conocer con detalle las opiniones de los expertos, recomienda la direccion
de los cambios mas idonea para aproximar las preferencias.
En nuestro modelo esta funcion la realiza un sistema de recomendaciones orien-
tado consiguiendo de esta forma eliminar la figura del moderador. Este sistema
tiene asignados dos objetivos:
1) Identificar de una forma precisa los expertos, alternativas y pares de alternativas
que no contribuyen favorablemente a la consecucion del consenso.
2) Recomendar la direccion en la que los expertos deben cambiar sus preferencias
para aproximar sus opiniones y por lo tanto incrementar el grado de acuerdo
en las siguientes rondas de consenso.
Para conseguir ambos objetivos se han definido dos conjuntos de reglas cuya
descripcion y funcionamiento se presentan a continuacion:
A) Reglas de identificacion (IR). Las reglas identificacion seleccionan los pares
de alternativas que los expertos han de cambiar. Con estas reglas se consigue
que el modelo propuesto recomiende cambiar solo aquellas preferencias en las
que no existe suficiente consenso dejando de lado aquellas otras en las que el
consenso es satisfactorio. De este modo se asegura que el nivel de acuerdo vaya
aumentando a lo largo del proceso de consenso siempre y cuando los cambios
se produzcan en la direccion apropiada.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 141
Hemos definido tres reglas que se aplican secuencialmente que identifican en
primer lugar a los expertos que han de cambiar sus preferencias, a continuacion
las alternativas en las que no hay consenso y finalmente los pares mas alejados
en dichas alternativas y por lo tanto las que deben modificarse.
IR.1) Regla para la identificacion de expertos.
Esta regla identifica los expertos que han de cambiar alguna de sus preferencias.
Para llevar a cabo esta identificacion es necesario dar respuesta a las siguientes
dos cuestiones:
i) ¿Que expertos deben cambiar sus preferencias?
Parece logico pensar que los expertos mas alejados han de ser los que cambien
sus preferencias, por lo tanto aquellos cuya proximidad a nivel de relacion pri
sea menor.
ii) ¿Cuantos expertos han de cambiar sus preferencias?
Para resolver esta cuestion se ha definido un parametro noex que va a contener
el numero o tanto por ciento de expertos que deben cambiar sus preferencias.
Si se quiere que la mayorıa de los expertos cambien sus preferencias, entonces
se elegira un valor noex alto, por ejemplo noex=75%. En caso contrario, si
noex=25% entonces implicara que solo los expertos mas alejados cambiaran
sus preferencias.
El valor noex debe ser fijado e introducido al modelo antes de comenzar el
proceso de consenso. Se utilizara para definir el conjunto de expertos que han
de cambiar sus preferencias, denominado EXPCH,
EXPCH = {eσ(1), . . . , eσ(noex)},
142 3.3. Fases del Modelo
donde σ es una permutacion sobre el conjunto de proximidades de las relaciones
de preferencia definida como prσ(j) ≤ prσ(i) ∀ j ≤ i.
Formalmente esta regla se expresarıa de la siguiente forma:
IR.1 ∀ ei ∈ (E ∩ EXPCH), ei debera cambiar alguna de sus preferencias.
IR.2) Regla para la identificacion de alternativas .
Esta regla identifica las alternativas en las que no existe un grado de consenso
suficiente y por lo tanto las que contienen las preferencias que los expertos
ei ∈ EXPCH deberıan cambiar. El modelo utiliza el grado de consenso a nivel
de alternativas {cal, l = 1, . . . , n} para definir el conjunto de alternativas que
deben cambiar:
ALT = {xl ∈ X| cal < γ}
donde γ es el umbral de consenso definido anteriormente.
Una descripcion mas formal de esta regla serıa la siguiente:
IR.2. ∀xl ∈ (X ∩ ALT ) y ∀ei ∈ EXPCH, ei deberıa considerar cambiar
alguna de sus valoraciones asociadas al conjunto de pares de alternativas
{(xl, xk), k = 1, . . . , n}, asociadas a la alternativa l.
IR.3) Regla para la identificacion de pares de alternativas.
Una vez identificados los expertos ei ∈ EXPCH y las alternativas xl ∈ ALT ,
tan solo resta identificar los pares de alternativas concretos (xl, xk) que deben ser
cambiados. Para hacer esto el modelo de SAC utiliza las medidas de proximidad
a nivel de pares de alternativas, definiendo el conjunto de pares de alternativas
que cada experto i debe cambiar como:
PALTi = {(xl, xk) | xl ∈ ALT ∧ ei ∈ EXPCH ∧ pplki < β}.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 143
El parametro β actua como un umbral de proximidad para seleccionar el con-
junto de pares que han de cambiar. Cuanto mayor sea su valor, mayor sera el
numero de cambios que se recomendara realizar a los expertos.
Formalmente esta regla se puede expresar ası:
IR.3. ∀ (xl ∈ ALT ∧ ei ∈ EXPCH), si (xl, xk) ∈ PALTi entonces ei deberıa
cambiar la preferencia plki .
Ejemplo modelo
Aplicaremos estas tres reglas para identificar el experto, alternativas y pares de
alternativas en nuestro ejemplo que deberan cambiar. Previamente al comienzo
del proceso de consenso deberemos decidir la proporcion de expertos a cambiar.
Tanto para este ejemplo como para el presentado en la siguiente seccion se
ha considerado apropiado que la mitad de los expertos deberıan cambiar sus
preferencias, por lo tanto noex = (no de expertos)/2.
IR.1) Expertos. En este caso con tan solo dos expertos, solo uno de ellos debera cam-
biar sus preferencias, es decir noex=1. Teniendo en cuenta las proximidades
de los expertos ordenadas de mayor a menor, pr2 = 0.94 y pr1 = 0.85, el
conjunto de expertos que deben cambiar sus preferencias es:
EXPCH = {e1}
IR.2) Alternativas. Supuesto un umbral de consenso γ = 0.85, el conjunto de alter-
nativas en el que el grado de consenso no es suficiente es:
ALT = {xl ∈ X| cal < 0.85} = {x1, x2, x4}.
Aplicando la regla IR.2 el modelo indicara que e1 debera cambiar alguna de
las preferencias dadas para tales alternativas.
144 3.3. Fases del Modelo
IR.3) Pares de alternativas. Supuesto un umbral de proximidad β = 0.75, el sistema
obtiene el conjunto de pares de alternativas que deben cambiar:
PALTi = {(xl, xk) | xl ∈ ALT ∧ ei ∈ EXPCH ∧ pplki < 0.75}
PALT1 = {(x1, x3), (x2, x4)}
Finalmente aplicando la regla IR.3 el sistema recomendara que el experto 1
cambie las valoraciones dadas sobre los pares de alternativas (x1, x3), (x2, x4).
B) Reglas de direccion (DR). Identificado los pares de alternativas (xl, xk) ∈PALTi que cada experto i debe modificar, el sistema recomienda la direccion
en la que han de hacerse tales cambios para mejorar el acuerdo. El resultado de
aplicar las reglas de direccion sera recomendar que se incremente o decremente
las valoraciones de las preferencias a cambiar. Por ejemplo, si un experto i ha
de cambiar la preferencia plki = sj, entonces el sistema le recomendara incre-
mentarla, plki = sj+1, o decrementarla, plk
i = sj−1.
Para sugerir la direccion de los cambios, el modelo calcula dos pares de parame-
tros a los que hemos llamado parametros de direccion. Un par para el conjunto
difuso plki que representa la preferencia del experto a cambiar y otro para el
conjunto difuso de la preferencia colectiva plkc . Estos pares de parametros de
direccion contienen la posicion (pos) y el grado de pertenencia (val) de la pri-
mera (ml ∈ ST ) y segunda (sl ∈ ST ) etiqueta mas significativa de los conjuntos
difusos plki y plk
c entendiendo por mas significativas aquellas con mayor grado
de pertenencia. Por lo tanto para cada par de alternativas (xl, xk) ∈ PALTi se
obtiene el siguiente conjunto de parametros:
plki → (plk
i (mlpos), plki (mlval), p
lki (slpos), p
lki (slval))
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 145
plkc → (plk
c (mlpos), plkc (mlval)p
lkc (slpos), p
lkc (slval))
Las reglas de direccion comparan los valores de los parametros de direccion
entre las preferencias individuales plki y la colectiva plk
c , obteniendo la direccion
de los cambios conforme a las siguientes condiciones:
DR.1. Si plki (mlpos) > plk
c (mlpos) entonces el experto i deberıa decrementar la
valoracion dada al par de alternativas (xl, xk).
DR.2. Si plki (mlpos) < plk
c (mlpos) entonces el experto i deberıa incrementar la
valoracion dada al par de alternativas (xl, xk).
DR.3. Si plki (mlpos) = plk
c (mlpos) entonces las reglas DR.1 y DR.2 se aplican
comparando los valores de los grados de pertenencia de la etiqueta principal,
plki (mlval) y plk
c (mlval).
DR.4. Si(plk
i (mlpos) = plkc (mlpos) ∧ plk
i (mlval) = plkc (mlval)
), entonces las reglas
DR.1, DR.2, y DR.3 se aplican comparando la posicion y el valor del grado
de pertenencia de la segunda etiqueta mas significativa sl.
Respecto a la aplicacion de las reglas de direccion es necesario tener en cuenta
un par de excepciones:
Excp 1): El decremento o incremento de las valoraciones asociadas a las prefe-
rencias se llevara a cabo siempre que sea posible, es decir, siempre y cuando el
valor actual de la preferencia no se corresponda ni con la primera ni con la ulti-
ma etiqueta del conjunto de terminos linguısticos utilizado por el experto para
dar sus preferencias. Si se diese alguno de estos casos el experto no modificara su
valoracion actual.
146 3.3. Fases del Modelo
Excp 2): En los conjuntos difusos plki y plk
c puede darse la circunstancia de
que dos o mas etiquetas puedan ser consideradas como ml.2 Si se diese esta
situacion, el sistema optara por descartarlas y seguira buscando la etiqueta ml
entre las restantes, pudiendo incluso darse el caso de que quedara sin asignarse.
Ejemplo modelo
Identificadas las preferencias que el experto 1 ha de cambiar, PALT1 = {(x1, x3),
(x2, x4)}, el sistema de recomendaciones procede de la siguiente forma:
1. Calcula los parametros de direccion de cada par (xl, xk) ∈ PALT1 de la prefe-
rencia individual y colectiva . Dadas las preferencias a cambiar y sus respectivos
conjuntos difusos individuales y colectivos,
p131 = a4 7→ p13
1 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) p13c = (0.5, 0.33, 0.17, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0)
p241 = a4 7→ p24
1 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) p24c = (0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0.17, 0.33, 0.5)
los parametros de direccion de estas preferencias se muestran en la Tabla 3.4:
(plki (mlpos),plk
i (mlval),plki (slpos),plk
i (slval)) (plkc (mlpos),plk
c (mlval),plkc (slpos),plk
c (slval))
p131 (4, 1, ∗) (1, 0.33, 2, 0.17)(∗∗)
p241 (4, 1, ∗) (7, 0.33, 6, 0.17)(∗∗)
Tabla 3.4: Parametros de direccion
(*) El * lo utilizaremos para indicar que no ha sido posible asignar valores a la
etiqueta secundaria sl conforme a la Excp 2).
(**) En los conjuntos difusos p13c y p24
c tambien se produce la Excp 2) al existir
dos etiquetas que pueden actuar como primarias ml, procediendo a descartarlas
y eligiendo la siguiente etiqueta mas significativa.
2 Tambien puede darse el caso en las etiquetas secundarias sl
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 147
2. Aplica las reglas de direccion:
Como p131 (mlpos) = 4 > p13
c (mlpos) = 1 entonces segun la regla DR1 el experto
1 deberıa decrementar la valoracion dada a esta preferencia, es decir:
p131 = a4 → a3
Como p241 (mlpos) = 4 < p24
c (mlpos) = 7, entonces segun la regla DR2 el
experto 1 deberıa incrementar la valoracion dada a esta preferencia, es decir:
p241 = a4 → a5
148 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de
SAC
A lo largo de este capıtulo hemos utilizado un ejemplo sencillo para explicar el
funcionamiento del modelo y mostrar como se obtienen las medidas de consenso
y proximidad. En esta seccion presentaremos un ejemplo mas completo de su
funcionamiento en un problema de toma de decision real.
Supongamos que una cadena de supermercados a nivel nacional se ha plan-
teado la compra y distribucion en exclusividad de una marca de vinos de mesa.
Consultados varios productores, se han decantado por comprar una marca con-
creta entre cuatro posibles:
x1, Marques de Caceres, Denominacion de Origen Rioja.
x2, Los Molinos, Denominacion de Origen Valdepenas.
x3, Vina Mayor, Denominacion de Origen Ribera del Duero.
x4, Rene Barbier, Denominacion de Origen Penedes.
Para ayudarles a tomar la decision, los directivos de la empresa han decidido
contratar un panel de 8 expertos-catadores E = {e1, . . . , e8} que daran sus prefe-
rencias sobre las distintas marcas de vino. Los expertos han acordado alcanzar un
grado de consenso mınimo entre sus preferencias antes de llevar a cabo el proceso
de seleccion en el que se elegira el mejor vino.
Para expresar sus preferencias, los expertos van a utilizar valoraciones linguısti-
cas en lugar de valoraciones numericas, utilizando tres conjuntos de terminos
linguısticos con diferente cardinalidad:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 149
Los expertos e3 y e7 proporcionan sus preferencias utilizando un conjunto con
9 terminos linguısticos, A = {a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}.
Los expertos e4, e5 y e8 proporcionan sus preferencias utilizando un conjunto
con 7 terminos linguısticos, B = {b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6}.
Los expertos e1, e2 y e6 proporcionan sus preferencias utilizando un conjunto
con 5 terminos linguısticos, C = {c0, c1, c2, c3, c4}.
Cada conjunto de terminos tiene su propia semantica que se representa me-
diante numeros difusos triangulares (Tabla 3.5):
ConjuntoA ConjuntoB ConjuntoC
a0 = (0, 0, 0.13) b0 = (0, 0, 0.17) c0 = (0, 0, 0.25)a1 = (0, 0.13, 0.25) b1 = (0, 0.17, 0.33) c1 = (0, 0.25, 0.5)a2 = (0.12, 0.25, 0.38) b2 = (0.17, 0.33, 0.5) c2 = (0.25, 0.5, 0.75)a3 = (0.25, 0.38, 0.5) b3 = (0.33, 0.5, 0.67) c3 = (0.5, 0.75, 1)a4 = (0.38, 0.5, 0.63) b4 = (0.5, 0.67, 0.83) c4 = (0.75, 1, 1)a5 = (0.5, 0.63, 0.75) b5 = (0.67, 0.83, 1)a6 = (0.63, 0.75, 0.88) b6 = (0.83, 1, 1)a7 = (0.75, 0.88, 1)a8 = (0.88, 1, 1)
Tabla 3.5: Semantica de los conjuntos de etiquetas
Consultados los expertos, estos aportan sus preferencias utilizando las siguien-
tes relaciones de preferencia linguısticas:
Pe1 =
− c0 c0 c2
c4 − c3 c4
c3 c0 − c1
c2 c1 c3 −
Pe2 =
− c2 c0 c4
c1 − c1 c1
c3 c3 − c1
c0 c4 c3 −
150 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
Pe3 =
− a1 a4 a3
a5 − a8 a4
a4 a1 − a2
a5 a5 a7 −
Pe4 =
− b0 b4 b5
b6 − b1 b6
b3 b4 − b2
b0 b1 b4 −
Pe5 =
− b4 b1 b6
b2 − b3 b2
b4 b3 − b2
b0 b5 b3 −
Pe6 =
− c2 c3 c1
c2 − c0 c1
c0 c4 − c4
c4 c4 c0 −
Pe7 =
− a0 a3 a7
a8 − a0 a4
a4 a8 − a5
a1 a4 a3 −
Pe8 =
− b6 b1 b3
b0 − b0 b5
b6 b6 − b5
b4 b1 b0 −
A partir del conjunto de preferencias de los expertos, utilizaremos el modelo
de SAC propuesto en este capıtulo para automatizar el proceso de busqueda del
consenso e intentar alcanzar un nivel de acuerdo satisfactorio antes de aplicar el
proceso de seleccion de alternativas.
Previamente a la puesta en marcha del proceso de consenso, es necesario fijar
los valores del conjunto de parametros de entrada al modelo:
El umbral de consenso mınimo deseado (γ) para dar por finalizado el proceso
de consenso. Para este ejemplo se ha fijado un valor γ = 0.75.
El umbral de proximidad (β) utilizado para seleccionar las preferencias que
deben ser cambiadas. Se ha fijado un valor β = 0.8.
El numero de expertos que han de cambiar sus preferencias (noex ). Hemos
considerado que la mitad de los expertos deben cambiar sus preferencias, por
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 151
lo tanto noex=4.
El numero maximo de rondas de consenso (Max rondas) que llevara a cabo el
modelo si previamente no se ha alcanzado el consenso deseado. Se ha fijado un
valor Max rondas = 10.
El valor de estos parametros puede ser acordado previamente por la directiva o por
el conjunto de expertos segun las caracterısticas del problema que se este tratando.
3.4.1. Primera ronda de consenso
Comienza la primera ronda de consenso. El modelo de SAC tomara como
informacion de entrada las preferencias iniciales dadas por los expertos y apli-
cara secuencialmente las distintas fases descritas en la Seccion 3.3
1. Unificacion de la informacion
En esta fase se lleva a cabo el proceso de unificacion de las preferencias de los
expertos. Para hacerlo el modelo selecciona el conjunto de terminos linguısticos
basicos ST mas apropiado conforme a las condiciones descritas en el apartado
3.3.1. En este caso el conjunto de terminos con mayor cardinalidad es A, siendo
este el conjunto utilizado para unificar el resto de conjuntos, es decir, ST = A. A
continuacion se unifican las preferencias aplicando las funciones de transformacion
{τAST, τBST
, τCST}, obteniendo para cada termino linguıstico un conjunto difuso
sobre ST tal y como se muestra en la Tabla 3.6.
2. Calculo de los grados de consenso
En esta fase el modelo de SAC calcula el grado de consenso a nivel de pares de
alternativas, alternativas y relaciones de preferencia llevando a cabo las siguientes
152 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
τAST: τBST
: τCST:
a0 7→ (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b0 7→ (1, 0.57, 0.14, 0, 0, 0, 0, 0, 0) c0 7→ (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0)a1 7→ (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b1 7→ (0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0, 0, 0, 0, 0) c1 7→ (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0)a2 7→ (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b2 7→ (0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43, 0, 0, 0, 0) c2 7→ (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0)a3 7→ (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) b3 7→ (0, 0, 0.14, 0.57, 1, 0.57, 0.14, 0, 0) c3 7→ (0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33)a4 7→ (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) b4 7→ (0, 0, 0, 0, 0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0) c4 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1)a5 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) b5 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43)a6 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) b6 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.14, 0.57, 1)a7 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)a8 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
Tabla 3.6: Conjuntos difusos obtenidos tras el proceso de unificacion
operaciones:
1. Calculo de los valores centrales: Se calcula el valor central de todas las etiquetas
linguısticas utilizadas por los expertos para expresar sus preferencias (Tablas
3.7, 3.8, 3.9):
A p cv(p)
a0 (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0a1 (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1a2 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 2a3 (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) 3a4 (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) 4a5 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) 5a6 (, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) 6a7 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) 7a8 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) 8
Tabla 3.7: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos A.
2. Matrices de similaridad:
El modelo propuesto calcula una matriz de similaridad para cada par de ex-
pertos. Los valores de estas matrices representan la similaridad entre las prefe-
rencias de cada experto respecto al resto de expertos. Se obtienen comparando
todas las preferencias de todos los expertos a nivel de pares de alternativas:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 153
B p cv(p)
b0 (1, 0.57, 0.14, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0.5b1 (0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0, 0, 0, 0, 0) 1.38b2 (0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43, 0, 0, 0, 0) 2.63b3 (0, 0, 0.14, 0.57, 1, 0.57, 0.14, 0, 0) 4b4 (0, 0, 0, 0, 0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0) 5.38b5 (0, 0, 0, 0, 0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43) 6.63b6 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.14, 0.57, 1) 7.5
Tabla 3.8: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos B.
C p cv(p)
c0 (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0.67c1 (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0) 2.02c2 (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0) 4.02c3 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33) 6.02c4 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1) 7.34
Tabla 3.9: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos C.
SM12 =
− 0.58 1 0.58
0.33 − 0.5 0.33
1 0.33 − 1
0.58 0.33 1 −
SM13 =
− 0.96 0.58 0.88
0.71 − 0.75 0.58
0.75 0.96 − 1
0.88 0.63 0.88 −
SM14 =
− 0.98 0.41 0.67
0.98 − 0.42 0.98
0.75 0.41 − 0.92
0.56 0.92 0.92 −
SM15 =
− 0.41 0.91 0.56
0.41 − 0.75 0.41
0.92 0.58 − 92
0.56 0.42 0.75 −
154 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
SM16 =
− 0.58 0.33 0.75
0.58 − 0.33 0.33
0.33 0.17 − 0.33
0.58 0.33 0.33 −
SM17 =
− 0.92 0.71 0.63
0.92 − 0.25 0.58
0.75 0.08 − 0.63
0.63 0.75 0.63 −
SM18 =
− 0.15 0.91 1
0.15 − 0.31 0.91
0.81 0.15 − 0.42
0.83 0.92 0.31 −
SM23 =
− 0.63 0.58 0.46
0.63 − 0.25 0.75
0.75 0.38 − 1
0.46 0.71 0.88 −
SM24 =
− 0.56 0.41 0.91
0.31 − 0.92 0.31
0.75 0.92 − 0.92
0.98 0.26 0.92 −
SM25 =
− 0.83 0.91 0.98
0.92 − 0.75 0.92
0.92 0.75 − 0.92
0.98 0.91 0.75 −
SM26 =
− 1 0.33 0.33
0.75 − 0.83 1
0.33 0.83 − 0.33
0.17 1 0.33 −
SM27 =
− 0.5 0.71 0.96
0.25 − 0.75 0.75
0.75 0.75 − 0.63
0.96 0.58 0.63 −
SM28 =
− 0.56 0.91 0.58
0.81 − 0.81 0.42
0.81 0.81 − 0.42
0.41 0.26 0.31 −
SM34 =
− 0.94 0.83 0.55
0.69 − 0.17 0.56
1 0.45 − 0.92
0.44 0.55 0.80 −
SM35 =
− 0.45 0.67 0.44
0.7 − 0.5 0.83
0.83 0.63 − 0.92
0.44 0.8 0.63 −
SM36 =
− 0.63 0.75 0.88
0.88 − 0.08 0.75
0.58 0.21 − 0.33
0.71 0.71 0.21 −
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 155
SM37 =
− 0.88 0.88 0.5
0.63 − 0 1
1 0.13 − 0.63
0.5 0.88 0.5 −
SM38 =
− 0.19 0.67 0.88
0.44 − 0.06 0.67
0.56 0.19 − 0.42
0.95 0.55 0.19 −
SM45 =
− 0.39 0.5 0.89
0.39 − 0.67 0.39
0.83 0.83 − 1
1 0.34 0.83 −
SM46 =
− 0.56 0.92 0.42
0.56 − 0.91 0.31
0.58 0.76 − 0.41
0.15 0.26 0.41 −
SM47 =
− 0.94 0.7 0.95
0.94 − 0.83 0.56
1 0.67 − 0.7
0.94 0.67 0.7 −
SM48 =
− 0.13 0.5 0.67
0.13 − 0.89 0.89
0.56 0.73 − 0.5
0.39 1 0.39 −
SM56 =
− 0.83 0.42 0.31
0.83 − 0.58 0.92
0.41 0.58 − 0.41
0.15 0.91 0.58 −
SM57 =
− 0.33 0.8 0.94
0.33 − 0.5 0.83
0.83 0.5 − 0.7
0.94 0.67 0.88 −
SM58 =
− 0.73 1 0.56
0.73 − 0.56 0.5
0.73 0.56 − 0.5
0.39 0.34 0.56 −
SM67 =
− 0.5 0.63 0.38
0.5 − 0.92 0.75
0.58 0.92 − 0.71
0.21 0.58 0.71 −
SM68 =
− 0.56 0.42 0.75
0.56 − 0.98 0.42
0.15 0.98 − 0.91
0.76 0.26 0.98 −
SM78 =
− 0.06 0.8 0.63
0.06 − 0.94 0.67
0.56 0.94 − 0.8
0.45 0.67 0.69 −
156 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso se obtiene agregando a nivel de pares el conjunto de
matrices de similaridad calculadas previamente. Como operador de agregacion,
se utiliza la media aritmetica. Esta matriz representa el consenso existente entre
los expertos en cada ronda y se utiliza para obtener las diferentes medidas de
consenso.
CM =
− 0.6 0.69 0.68
0.58 − 0.58 0.66
0.71 0.58 − 0.69
0.61 0.61 0.63 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk. El grado de consenso en
cada par de alternativas (xl, xk) coincide con las posiciones (l, k) de la matriz
de consenso CM .
cp12 = 0.6 cp13 = 0.69 cp14 = 0.68
cp21 = 0.58 cp23 = 0.58 cp24 = 0.66
cp31 = 0.71 cp32 = 0.58 cp34 = 0.69
cp41 = 0.61 cp42 = 0.61 cp43 = 0.63
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El consenso a nivel de alternativas
se obtiene como la media aritmetica de todos los pares pertenecientes a cada
alternativa:
ca1 = 0.65 ca2 = 0.6 ca3 = 0.66 ca4 = 0.62
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 157
Level 3. Consenso sobre las relaciones, cr. Este valor mide el grado de consen-
so actual alcanzado por los expertos y se obtiene como la media aritmetica
del consenso evaluado a nivel de alternativas. En esta primera ronda el grado
de consenso general es:
cr = 0.634
3. Control del consenso
En esta fase el modelo de SAC lleva a cabo el control del grado de consenso
alcanzado, comparando el grado de consenso a nivel de relaciones cr = 0.634 con
el umbral de consenso γ = 0.75.
Como cr < γ, esto significa que no se ha alcanzado el acuerdo suficiente para
dar por terminado el proceso de consenso, debiendo continuar el modelo por la
siguiente fase.
4. Generacion de recomendaciones
El sistema genera un conjunto de recomendaciones donde sugiere a los expertos
las preferencias que han de cambiar para conseguir aproximar sus opiniones y por
lo tanto incrementar el grado de consenso en la siguiente ronda. Para hacer esto
lleva a cabo dos tareas:
4.1 Calculo de las medidas de proximidad.
1. Calculo de la relacion de preferencias colectiva. Para poder calcular las medidas
de proximidad previamente es necesario obtener una relacion de preferencias co-
lectiva Pec que represente las preferencias del grupo de expertos. Esta relacion
se obtiene agregando las relaciones de preferencia individuales, utilizando co-
mo operador de agregacion la media aritmetica aplicada a nivel de pares de
alternativas. Los valores de Pec en esta primera ronda son:
158 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
p12c = (0.38, 0.28, 0.14, 0.17, 0.3, 0.27, 0.19, 0.11, 0.13)
p13c = (0.36, 0.38, 0.26, 0.2, 0.22, 0.19, 0.21, 0.12, 0.04)
p14c = (0.04, 0.08, 0.18, 0.36, 0.29, 0.19, 0.21, 0.39, 0.3)
p21c = (0.17, 0.19, 0.27, 0.27, 0.22, 0.21, 0.1, 0.15, 0.38)
p23c = (0.47, 0.35, 0.29, 0.19, 0.21, 0.15, 0.14, 0.08, 0.17)
p24c = (0.08, 0.2, 0.34, 0.27, 0.39, 0.03, 0.15, 0.26, 0.3)
p31c = (0.13, 0.08, 0.06, 0.07, 0.51, 0.35, 0.38, 0.27, 0.21)
p32c = (0.13, 0.21, 0.06, 0.07, 0.22, 0.26, 0.29, 0.27, 0.42)
p34c = (0.08, 0.24, 0.55, 0.38, 0.19, 0.16, 0.13, 0.19, 0.18)
p41c = (0.38, 0.35, 0.12, 0.08, 0.18, 0.32, 0.17, 0.12, 0.13)
p42c = (0.15, 0.3, 0.3, 0.15, 0.17, 0.16, 0.17, 0.27, 0.3)
p43c = (0.25, 0.15, 0.07, 0.2, 0.26, 0.35, 0.36, 0.33, 0.08)
2. Matrices de proximidad, PMi. Se calcula una matriz de proximidad para cada
experto:
PM1 =
− 0.67 0.72 0.89
0.6 − 0.61 0.61
0.86 0.45 − 0.8
0.91 0.73 0.78 −
PM2 =
− 0.92 0.72 0.69
0.73 − 0.89 0.72
0.86 0.88 − 0.8
0.68 0.6 0.78 −
PM3 =
− 0.71 0.86 0.76
0.9 − 0.36 0.97
0.89 0.49 − 0.8
0.78 0.89 0.66 −
PM4 =
− 0.65 0.69 0.78
0.58 − 0.81 0.59
0.89 0.96 − 0.88
0.65 0.65 0.86 −
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 159
PM5 =
− 0.74 0.81 0.67
0.81 − 0.86 0.8
0.94 0.87 − 0.88
0.65 0.69 0.97 −
PM6 =
− 0.92 0.61 0.64
0.98 − 0.73 0.72
0.47 0.71 − 0.53
0.49 0.6 0.55 −
PM7 =
− 0.58 0.99 0.74
0.52 − 0.64 0.97
0.89 0.63 − 0.83
0.72 0.98 0.84 −
PM8 =
− 0.48 0.81 0.89
0.54 − 0.7 0.7
0.67 0.69 − 0.62
0.74 0.65 0.53 −
3. Medidas de proximidad. Se calcula la proximidad de las preferencias de cada
experto a nivel de pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Proximidad sobre pares de alternativas, pplki . La proximidad a nivel
de cada par de alternativas (xl, xk) queda recogida en las posiciones (l, k) de
cada una de las matrices de proximidad PMi.
Level 2. Proximidad de las alternativas, pali. La proximidad de cada alterna-
tiva xl de cada experto i se calcula como la media aritmetica de las proximi-
dades de todos los pares pertenecientes a xl:
160 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
x1 x2 x3 x4
pa11 = 0.76 pa2
1 = 0.61 pa31 = 0.70 pa4
1 = 0.81
pa12 = 0.78 pa2
2 = 0.78 pa32 = 0.85 pa4
2 = 0.69
pa13 = 0.78 pa2
3 = 0.74 pa33 = 0.73 pa4
3 = 0.78
pa14 = 0.71 pa2
4 = 0.66 pa34 = 0.91 pa4
4 = 0.72
pa15 = 0.74 pa2
5 = 0.82 pa35 = 0.89 pa4
5 = 0.77
pa16 = 0.72 pa2
6 = 0.81 pa36 = 0.57 pa4
6 = 0.55
pa17 = 0.77 pa2
7 = 0.71 pa37 = 0.78 pa4
7 = 0.85
pa18 = 0.72 pa2
8 = 0.65 pa38 = 0.66 pa4
8 = 0.64
Level 3. Proximidad de la relacion, pri. La proximidad de cada experto se
obtiene como la media aritmetica de las proximidades a nivel de alternativas.
Esta medida indica la proximidad de la opinion de cada experto respecto a
la opinion colectiva. Las proximidades de los 8 expertos son las siguientes:
pr1 = 0.72 pr2 = 0.77 pr3 = 0.76 pr4 = 0.75
pr5 = 0.81 pr6 = 0.66 pr7 = 0.78 pr8 = 0.67
4.2. Sistema de Recomendaciones Orientado
El modelo utiliza un sistema basado en reglas para identificar las preferencias
de los expertos que deben ser cambiadas y la direccion de estos cambios. El sig-
nificado y funcionamiento de estas reglas ya ha sido presentado en el apartado
3.3.4.
A. Reglas de Identificacion, IR.
1. IR1. Identificacion del conjunto de expertos que han de cambiar sus preferen-
cias, EXPCH. Se establece un ranking de los expertos ordenados de mayor a
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 161
menor segun sus valores de proximidad: {e5, e7, e2, e3, e4, e1, e8, e6}. Se utiliza el
parametro noex=4 para seleccionar el conjunto de expertos que al tener menor
proximidad han de cambiar sus preferencias:
EXPCH = {e4, e1, e8, e6}.
2. IR2. Identificacion del conjunto de alternativas cuyas valoraciones han de ser
modificadas, ALT . Los expertos han de modificar todas las alternativas cuyo
consenso a nivel de alternativas sea menor que el umbral de consenso:
ALT = {xl ∈ X| cal < 0.75} = {x1, x2, x3, x4}.
3. IR3. Identificacion de los pares de alternativas que han de cambiarse, PALTi.
En este punto el SAC utiliza el umbral de proximidad β = 0.8 para identificar las
preferencias plki que el experto i deberıa cambiar. En este ejemplo se obtendrıan
los siguientes conjuntos:
PALT1 = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x2, x4),
(x3, x2), (x3, x4), (x4, x2), (x4, x3)}
PALT4 = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x1), (x2, x4),
(x4, x1), (x4, x2)}
PALT6 = {(x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x1),
(x3, x2), (x3, x4), (x4, x1), (x4, x2), (x4, x3)}
PALT8 = {(x1, x2), (x2, x1), (x2, x3), (x2, x4)(x3, x1),
(x3, x2), (x3, x4), (x4, x1), (x4, x2), (x4, x3)}
162 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
B. Reglas de direccion DR.
1. Parametros de direccion. Se calculan los parametros de direccion ml y sl de
las preferencias individuales y colectiva. A continuacion mostramos los valores
de los conjuntos difusos individuales y colectivos del experto 1 a partir de los
cuales se calculan los parametros de direccion.
p121 = c0 7→ p12
1 = (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) p12c = (0.38, 0.28, 0.14, 0.17, 0.3, 0.27, 0.19, 0.11, 0.13)
p131 = c0 7→ p13
1 = (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) p13c = (0.36, 0.38, 0.26, 0.2, 0.22, 0.19, 0.21, 0.12, 0.04)
p211 = c4 7→ p21
1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1) p21c = (0.17, 0.19, 0.27, 0.27, 0.22, 0.21, 0.1, 0.15, 0.38)
p231 = c3 7→ p23
1 = (0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33) p23c = (0.47, 0.35, 0.29, 0.19, 0.21, 0.15, 0.14, 0.08, 0.17)
p241 = c4 7→ p24
1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1) p24c = (0.08, 0.2, 0.34, 0.27, 0.39, 0.03, 0.15, 0.26, 0.3)
p321 = c0 7→ p32
1 = (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) p32c = (0.13, 0.21, 0.06, 0.07, 0.22, 0.26, 0.29, 0.27, 0.42)
p341 = c1 7→ p34
1 = (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0) p34c = (0.08, 0.24, 0.55, 0.38, 0.19, 0.16, 0.13, 0.19, 0.18)
p421 = c1 7→ p42
1 = (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0) p42c = (0.15, 0.3, 0.3, 0.15, 0.17, 0.16, 0.17, 0.27, 0.3)
p431 = c3 7→ p43
1 = (0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33) p43c = (0.25, 0.15, 0.07, 0.2, 0.26, 0.35, 0.36, 0.33, 0.08)
Para el resto de preferencias se procede de la misma forma teniendo en cuenta los
conjuntos difusos mostrados en la Tabla 3.6 y los conjuntos difusos colectivos.
En la Tabla 3.10 se muestran los parametros de direccion de las preferencias a
cambiar:
2. Aplicacion de las reglas de direccion.
Segun la regla DR1, los expertos han de decrementar las valoraciones dadas
a las siguientes preferencias:
p211 = c4 → c3 p13
4 = b4 → b3 p136 = c3 → c2 p12
8 = b6 → b5
p231 = c3 → c2 p14
4 = b5 → b4 p326 = c4 → c3 p41
8 = b4 → b3
p241 = c4 → c3 p21
4 = b6 → b5 p346 = c4 → c3 p24
8 = b5 → b4
p341 = c1 → c0 p24
4 = b6 → b5 p416 = c4 → c3 p31
8 = b6 → b5
p431 = c3 → c2 p42
6 = c4 → c3 p328 = b6 → b5 p34
8 = b5 → b4
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 163
(plki (mlpos),plk
i (mlval),plki (slpos),plk
i (slval)) (plkc (mlpos),plk
c (mlval),plkc (slpos),plk
c (slval))
p121 (0, 1, 1, 0.67) (0, 0.38, 4, 0.3)
p131 (0, 1, 1, 0.67) (1, 0.38, 0, 0.36)
p211 (8, 1, 7, 0.64) (8, 0.38, 4, 0.22)
p231 (6, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
p241 (8, 1, 7, 0.64) (4, 0.39, 2, 0.34)
p321 (0, 1, 1, 0.67) (8, 0.42, 6, 0.29)
p341 (2, 1, ∗) (2, 0.55, 3, 0.38)
p421 (4, 1, ∗) (8, 0.3, 7, 0.27)
p431 (6, 1, ∗) (6, 0.36, 5, 0.35)
p124 (0, 1, 1, 0.57) (0, 0.38, 4, 0.3)
p134 (5, 0.86, 6, 0.71) (1, 0.38, 0, 0.36)
p144 (7, 0.86, 6, 0.71) (7, 0.39, 3, 0.36)
p214 (8, 1, 7, 0.57) (8, 0.38, 4, 0.22)
p244 (8, 1, 7, 0.57) (4, 0.39, 2, 0.34)
p414 (0, 1, 1, 0.57) (0, 0.38, 1, 0.35)
p424 (1, 0.86, 2, 0.71) (8, 0.3, 7, 0.27)
p136 (6, 1, ∗) (1, 0.38, 0, 0.36)
p146 (2, 1, ∗) (7, 0.39, 3, 0.36)
p236 (0, 1, 1, 0.67) (4, 0.39, 2, 0.34)
p246 (2, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
p316 (0, 1, 1, 0.67) (4, 0.51, 6, 0.38)
p326 (8, 1, 7, 0.64) (8, 0.42, 6, 0.29)
p346 (8, 1, 7, 0.64) (3, 0.38, 1, 0.24)
p416 (8, 1, 7, 0.64) (0, 0.38, 1, 0.35)
p426 (8, 1, 7, 0.64) (8, 0.3, 7, 0.27)
p436 (0, 1, 1, 0.67) (6, 0.36, 5, 0.35)
p128 (8, 1, 7, 0.57) (0, 0.38, 4, 0.3)
p218 (0, 1, 1, 0.57) (8, 0.38, 4, 0.22)
p238 (0, 1, 1, 0.57) (0, 0.47, 1, 0.35)
p248 (7, 0.86, 6, 0.71) (4, 0.39, 2, 0.34)
p318 (8, 1, 7, 0.57) (4, 0.51, 6, 0.38)
p328 (8, 1, 7, 0.57) (8, 0.42, 6, 0.29)
p348 (7, 0.86, 6, 0.71) (2, 0.55, 3, 0.38)
p418 (5, 0.86, 6, 0.71) (0, 0.38, 1, 0.35)
p428 (1, 0.86, 2, 0.71) (8, 0.3, 7, 0.27)
p438 (0, 1, 1, 0.57) (6, 0.36, 5, 0.35)
Tabla 3.10: Parametros de direccion
164 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
Segun la regla DR2, los expertos han de incrementar las valoraciones dadas
a las siguientes preferencias:
p131 = c0 → c1
p321 = c0 → c1
p421 = c2 → c3
p424 = b1 → b2
p146 = c1 → c2
p316 = c0 → c1
p246 = c1 → c2
p436 = c0 → c1
p218 = b0 → b1
p428 = b1 → b2
p438 = b0 → b1
Segun la excepcion Excp 1), los expertos no modificaran las siguientes prefe-
rencias:
p121 , p12
4 , p414 , p23
6 , p238
3.4.2. Segunda ronda de consenso
Para evitar extender demasiado el ejemplo y no volver a repetir los resultados
de algunos pasos intermedios que no son interesantes para comprobar el funciona-
miento del modelo, no incluiremos en esta ronda ni en las sucesivas los resultados
devueltos por las matrices de similaridad.
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 165
1. Modificacion de las preferencias.
Siguiendo las recomendaciones dadas por el modelo, los expertos e1, e4, e6 y
e8 cambiaran sus preferencias dando comienzo a una nueva ronda de consenso.
Los cambios afectaran solo a las preferencias en negrita manteniendose todas las
demas.
Pe1 =
− c0 c1 c2
c3 − c2 c3
c3 c1 − c0
c2 c2 c2 −
Pe4 =
− b0 b3 b4
b5 − b1 b5
b3 b4 − b2
b0 b2 b4 −
Pe6 =
− c2 c2 c2
c2 − c0 c2
c1 c3 − c3
c3 c3 c1 −
Pe8 =
− b5 b1 b3
b1 − b0 b4
b5 b5 − b4
b3 b2 b1 −
2. Calculo de los grados de consenso
1. Calculo de los valores centrales: No han cambiado respecto a los calculados en
la primera ronda.
2. Matrices de similaridad:
Se calculan de nuevo las matrices de similaridad para cada par de expertos.
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso obtenida en la segunda ronda es:
166 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
CM =
− 0.63 0.8 0.74
0.64 − 0.62 0.76
0.78 0.65 − 0.72
0.67 0.73 0.7 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk. El grado de consenso en
cada par de alternativas (xl, xk) es:
cp12 = 0.63 cp13 = 0.8 cp14 = 0.74
cp21 = 0.64 cp23 = 0.62 cp24 = 0.76
cp31 = 0.78 cp32 = 0.65 cp34 = 0.72
cp41 = 0.67 cp42 = 0.73 cp43 = 0.7
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El grado de consenso en cada alter-
nativa es:
ca1 = 0.72 ca2 = 0.68 ca3 = 0.71 ca4 = 0.7
Level 3. Consenso sobre las relaciones, cr. El grado de consenso alcanzado en
la segunda ronda es:
cr = 0.703
3. Control del consenso
Como puede observarse, los cambios recomendados por el sistema de recomen-
daciones orientado y realizados por los expertos en sus preferencias han producido
un incremento en el grado de consenso, pasando del 0.634 de la primera ronda
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 167
al 0.703 de esta segunda ronda. Aunque el incremento del grado de consenso es
considerable todavıa no alcanza el umbral fijado inicialmente γ = 0.75 y por lo
tanto el proceso debe continuar.
4. Generacion de recomendaciones
De nuevo se pone en marcha el proceso para generar las recomendaciones.
4.1 Calculo de las medidas de proximidad.
1. Calculo de la matriz de preferencias colectiva. Los nuevos valores de la matriz
colectiva son:
p12c = (0.38, 0.28, 0.14, 0.17, 0.3, 0.31, 0.26, 0.14, 0.05)
p13c = (0.27, 0.38, 0.4, 0.43, 0.42, 0.15, 0.06, 0, 0)
p14c = (0, 0, 0.1, 0.36, 0.43, 0.35, 0.25, 0.32, 0.25)
p21c = (0.09, 0.23, 0.35, 0.31, 0.26, 0.33, 0.26, 0.19, 0.22)
p23c = (0.47, 0.35, 0.33, 0.27, 0.29, 0.15, 0.06, 0, 0.13)
p24c = (0.04, 0.12, 0.26, 0.27, 0.57, 0.31, 0.35, 0.23, 0.09)
p31c = (0.04, 0.08, 0.14, 0.15, 0.55, 0.38, 0.45, 0.31, 0.14)
p32c = (0.04, 0.21, 0.14, 0.15, 0.3, 0.38, 0.45, 0.31, 0.26)
p34c = (0.17, 0.24, 0.47, 0.3, 0.24, 0.32, 0.21, 0.12, 0.04)
p41c = (0.38, 0.35, 0.14, 0.15, 0.29, 0.36, 0.18, 0.08, 0.04)
p42c = (0, 0.07, 0.22, 0.3, 0.4, 0.33, 0.3, 0.27, 0.22)
p43c = (0.09, 0.19, 0.27, 0.4, 0.39, 0.35, 0.27, 0.24, 0.04)
2. Matrices de proximidad, PMi. Se calcula la matriz de proximidad de cada ex-
perto.
168 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
PM1 =
− 0.66 0.94 0.86
0.76 − 0.81 0.79
0.86 0.64 − 0.66
0.88 0.9 0.99 −
PM2 =
− 0.92 0.77 0.72
0.74 − 0.94 0.71
0.86 0.86 − 0.83
0.7 0.68 0.74 −
PM3 =
− 0.71 0.81 0.74
0.89 − 0.31 0.96
0.89 0.51 − 0.83
0.76 0.97 0.62 −
PM4 =
− 0.64 0.81 0.96
0.68 − 0.86 0.71
0.89 0.94 − 0.91
0.68 0.73 0.82 −
PM5 =
− 0.75 0.86 0.7
0.82 − 0.81 0.79
0.93 0.89 − 0.91
0.68 0.77 0.99 −
PM6 =
− 0.92 0.81 0.86
0.99 − 0.77 0.96
0.64 0.86 − 0.67
0.63 0.85 0.76 −
PM7 =
− 0.58 0.94 0.76
0.51 − 0.69 0.96
0.89 0.61 − 0.79
0.74 0.9 0.88 −
PM8 =
− 0.59 0.86 0.86
0.66 − 0.75 0.87
0.78 0.78 − 0.75
0.88 0.73 0.68 −
3. Medidas de proximidad. Se calcula la proximidad de las preferencias de los
expertos a nivel de pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Proximidad sobre pares de alternativas, pplki . Coinciden con los valores
de las matrices de proximidad, PMi.
Level 2. Proximidad de las alternativas, pali. Las proximidades a nivel de al-
ternativas de cada experto son:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 169
x1 x2 x3 x4
pa11 = 0.82 pa2
1 = 0.79 pa31 = 0.72 pa4
1 = 0.93
pa12 = 0.8 pa2
2 = 0.79 pa32 = 0.85 pa4
2 = 0.71
pa13 = 0.75 pa2
3 = 0.72 pa33 = 0.75 pa4
3 = 0.78
pa14 = 0.81 pa2
4 = 0.75 pa34 = 0.91 pa4
4 = 0.74
pa15 = 0.77 pa2
5 = 0.8 pa35 = 0.91 pa4
5 = 0.81
pa16 = 0.86 pa2
6 = 0.91 pa36 = 0.73 pa4
6 = 0.75
pa17 = 0.76 pa2
7 = 0.72 pa37 = 0.77 pa4
7 = 0.84
pa18 = 0.77 pa2
8 = 0.76 pa38 = 0.77 pa4
8 = 0.76
Level 3. Proximidad de la relacion, pri. Proximidades de los 8 expertos en la
segunda ronda:
pr1 = 0.81 pr2 = 0.79 pr3 = 0.75 pr4 = 0.8
pr5 = 0.82 pr6 = 0.81 pr7 = 0.77 pr8 = 0.77
4.2. Sistema de Recomendaciones Orientado
A. Reglas de Identificacion, IR.
1. IR1. Identificacion del conjunto de expertos que han de cambiar sus preferen-
cias, EXPCH. Se establece el ranking de los expertos ordenados de mayor a
menor segun sus valores de proximidad: e5, e1, e6, e4, e2, e7, e8, e3. El conjunto de
expertos que han de cambiar sus preferencias es:
EXPCH = {e2, e7, e8, e3}.
2. IR2. Identificacion del conjunto de alternativas cuyas valoraciones han de ser
modificadas, ALT . Los expertos han de modificar todas las alternativas cuyo
170 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
consenso a nivel de alternativas sea menor que el umbral de consenso:
ALT = {xl ∈ X| cal < 0.75} = {x1, x2, x3, x4}.
3. IR3. Identificacion de los pares de alternativas que han de cambiarse, PALTi.
Utilizando como umbral de proximidad β = 0.8 las preferencias que los expertos
deberıan cambiar en esta ronda son:
PALT2 = {(x1, x3), (x1, x4), (x2, x1), (x2, x4),
(x4, x1), (x4, x2), (x4, x3)}
PALT3 = {(x1, x2), (x1, x4), (x2, x3),
(x3, x2), (x4, x1), (x4, x3)}
PALT7 = {(x1, x2), (x1, x4), (x2, x1), (x2, x3),
(x3, x2), (x3, x4), (x4, x1)}
PALT8 = {(x1, x2), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x1),
(x3, x2), (x3, x4), (x4, x2), (x4, x3)}
B. Reglas de direccion DR.
1. Parametros de direccion. Los parametros de direccion ml y sl de estas prefe-
rencias se muestran en la Tabla 3.11:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 171
(plki (mlpos),plk
i (mlval),plki (slpos),plk
i (slval)) (plkc (mlpos),plk
c (mlval),plkc (slpos),plk
c (slval))
p132 (0, 1, 1, 0.67) (3, 0.43, 4, 0.42)
p142 (8, 1, 7, 0.67) (4, 0.43, 3, 0.36)
p212 (2, 1, ∗) (2, 0.35, 5, 0.33)
p242 (2, 1, ∗) (4, 0.57, 6, 0.35)
p412 (0, 1, 1, 0.67) (0, 0.38, 5, 0.36)
p422 (8, 1, 7, 0.67) (4, 0.4, 5, 0.33)
p432 (6, 1, ∗) (3, 0.4, 4, 0.39)
p123 (1, 1, ∗) (0, 0.38, 5, 0.31)
p143 (3, 1, ∗) (4, 0.43, 3, 0.36)
p233 (8, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
p323 (1, 1, ∗) (6, 0.45, 5, 0.38)
p413 (5, 1, ∗) (0, 0.38, 5, 0.36)
p433 (7, 1, ∗) (3, 0.4, 4, 0.39)
p127 (0, 1, ∗) (0, 0.38, 5, 0.31)
p147 (7, 1, ∗) (4, 0.43, 3, 0.36)
p217 (8, 1, ∗) (2, 0.35, 5, 0.33)
p237 (0, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
p327 (8, 1, ∗) (6, 0.45, 5, 0.38)
p347 (5, 1, ∗) (2, 0.47, 5, 0.32)
p417 (1, 1, ∗) (0, 0.38, 5, 0.36)
p128 (7, 0.86, 6, 0.71) (0, 0.38, 5, 0.31)
p218 (1, 0.86, 2, 0.71) (2, 0.35, 5, 0.33)
p238 (0, 1, 1, 0.57) (0, 0.47, 1, 0.35)
p318 (7, 0.86, 6, 0.71) (4, 0.55, 6, 0.45)
p328 (7, 0.86, 6, 0.71) (6, 0.45, 5, 0.38)
p348 (5, 0.86, 6, 0.71) (2, 0.47, 5, 0.32)
p428 (3, 0.84, 2, 0.71) (4, 0.4, 5, 0.33)
p438 (1, 0.86, 3, 0.71) (3, 0.4, 4, 0.39)
Tabla 3.11: Parametros de direccion
2. Aplicacion de las reglas de direccion.
Segun la regla DR1, los expertos han de decrementar las valoraciones dadas
172 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
a las siguientes preferencias:
p142 = c4 → c3 p14
7 = a7 → a6
p212 = c1 → c0 p21
7 = a8 → a7
p422 = c4 → c3 p32
7 = a8 → a7
p432 = c3 → c2 p34
7 = a5 → a4
p123 = a1 → a0 p41
7 = a1 → a0
p233 = a8 → a7 p12
8 = b5 → b4
p413 = a5 → a4 p31
8 = b5 → b4
p433 = a7 → a6 p32
8 = b5 → b4
p348 = b4 → b3
Segun la regla DR2, los expertos han de incrementar las valoraciones dadas
a las siguientes preferencias:
p132 = c0 → c1
p242 = c1 → c2
p143 = a3 → a4
p323 = a1 → a2
p218 = b1 → b2
p428 = b2 → b3
p438 = b1 → b2
Segun la excepcion Excp 1), los expertos no modificaran las siguientes prefe-
rencias:
p412 , p12
7 , p237 , p23
8
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 173
3.4.3. Tercera ronda de consenso
1. Modificacion de las preferencias.
Siguiendo las recomendaciones dadas por el modelo, los expertos e2, e3, e7 y e8
cambiaran sus preferencias:
Pe2 =
− c2 c1 c3
c0 − c1 c2
c3 c3 − c1
c0 c3 c2 −
Pe3 =
− a0 a4 a4
a5 − a7 a4
a4 a2 − a2
a4 a5 a6 −
Pe7 =
− a0 a3 a6
a7 − a0 a4
a4 a7 − a4
a0 a4 a3 −
Pe8 =
− b4 b1 b3
b2 − b0 b4
b4 b4 − b3
b3 b3 b2 −
Con estos nuevos valores comenzara la tercera ronda.
2. Calculo de los grados de consenso
1. Calculo de los valores centrales: No han cambiado respecto a los calculados en
la primera ronda.
2. Matrices de similaridad:
Se calculan de nuevo las matrices de similaridad para cada par de expertos.
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso obtenida en la tercera ronda es:
174 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
CM =
− 0.65 0.83 0.81
0.66 − 0.66 0.81
0.81 0.73 − 0.76
0.67 0.8 0.8 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk. Grado de consenso en cada
par de alternativas:
cp12 = 0.65 cp13 = 0.83 cp14 = 0.81
cp21 = 0.66 cp23 = 0.66 cp24 = 0.81
cp31 = 0.81 cp32 = 0.73 cp34 = 0.76
cp41 = 0.67 cp42 = 0.8 cp43 = 0.8
Si comparamos con la matriz de consenso obtenida en la segunda ronda pode-
mos comprobar como practicamente se mejora el grado de consenso en todos
los pares de alternativas.
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El grado de consenso al nivel de
alternativas es:
ca1 = 0.76 ca2 = 0.71 ca3 = 0.77 ca4 = 0.76
Level 3. Consenso sobre las relaciones o consenso total, cr. El grado de con-
senso total en la tercera ronda es:
cr = 0.749
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 175
3. Control del consenso
El grado de consenso en la tercera ronda se ha quedado a una milesima del
umbral de consenso que estamos buscando, cr = 0.749 < γ = 0.75. El modelo
seguira ejecutando la siguiente fase y recomendara de nuevo hacer cambios en las
preferencias de los expertos, dando lugar a una cuarta ronda. Es de prever que con
estos nuevos cambios y estando tan cerca el umbral de consenso, este se alcance
en la siguiente ronda.
4. Generacion de recomendaciones
4.1 Calculo de las medidas de proximidad.
1. Calculo de la matriz de preferencias colectiva. Los nuevos valores de la matriz
colectiva son:
p12c = (0.5, 0.15, 0.14, 0.17, 0.36, 0.38, 0.26, 0.07, 0)
p13c = (0.19, 0.38, 0.49, 0.52, 0.46, 0.15, 0.06, 0, 0)
p14c = (0, 0, 0.1, 0.24, 0.6, 0.43, 0.46, 0.19, 0.17)
p21c = (0.13, 0.15, 0.26, 0.3, 0.27, 0.33, 0.26, 0.32, 0.09)
p23c = (0.47, 0.35, 0.33, 0.27, 0.29, 0.15, 0.06, 0.13, 0)
p24c = (0, 0.03, 0.17, 0.27, 0.65, 0.39, 0.39, 0.23, 0.09)
176 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
p31c = (0.04, 0.08, 0.14, 0.15, 0.61, 0.45, 0.45, 0.24, 0.08)
p32c = (0.04, 0.08, 0.27, 0.15, 0.36, 0.45, 0.45, 0.36, 0.08)
p34c = (0.17, 0.24, 0.49, 0.37, 0.44, 0.15, 0.14, 0.08, 0.04)
p41c = (0.5, 0.23, 0.14, 0.15, 0.42, 0.24, 0.18, 0.08, 0.04)
p42c = (0, 0.03, 0.15, 0.26, 0.51, 0.48, 0.4, 0.27, 0.14)
p43c = (0.04, 0.12, 0.32, 0.55, 0.52, 0.35, 0.32, 0.03, 0)
2. Matrices de proximidad, PMi. Se calcula una matriz de proximidad para cada
experto.
PM1 =
− 0.69 0.92 0.88
0.77 − 0.8 0.83
0.84 0.66 − 0.69
0.87 0.89 0.97 −
PM2 =
− 0.89 0.92 0.87
0.56 − 0.95 0.92
0.84 0.84 − 0.86
0.71 0.86 0.97 −
PM3 =
− 0.61 0.83 0.88
0.9 − 0.43 0.92
0.91 0.66 − 0.86
0.87 0.99 0.72 −
PM4 =
− 0.67 0.83 0.95
0.69 − 0.87 0.76
0.91 0.92 − 0.94
0.69 0.72 0.79 −
PM5 =
− 0.72 0.85 0.69
0.81 − 0.8 0.74
0.91 0.91 − 0.94
0.69 0.78 0.97 −
PM6 =
− 0.89 0.83 0.88
0.98 − 0.78 0.92
0.66 0.84 − 0.64
0.62 0.86 0.78 −
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 177
PM7 =
− 0.61 0.95 0.87
0.65 − 0.7 0.92
0.91 0.72 − 0.89
0.63 0.89 0.91 −
PM8 =
− 0.72 0.85 0.88
0.81 − 0.76 0.91
0.91 0.92 − 0.89
0.87 0.89 0.86 −
3. Medidas de proximidad:
Level 1. Proximidad sobre pares de alternativas, pplki . Coinciden con los valores
de las matrices de proximidad, PMi.
Level 2. Proximidad de las alternativas, pali. Los valores de proximidad de ca-
da alternativa para cada experto son:
x1 x2 x3 x4
pa11 = 0.83 pa2
1 = 0.8 pa31 = 0.73 pa4
1 = 0.91
pa12 = 0.9 pa2
2 = 0.81 pa32 = 0.85 pa4
2 = 0.85
pa13 = 0.77 pa2
3 = 0.75 pa33 = 0.81 pa4
3 = 0.86
pa14 = 0.82 pa2
4 = 0.77 pa34 = 0.92 pa4
4 = 0.74
pa15 = 0.75 pa2
5 = 0.78 pa35 = 0.92 pa4
5 = 0.81
pa16 = 0.86 pa2
6 = 0.89 pa36 = 0.72 pa4
6 = 0.75
pa17 = 0.81 pa2
7 = 0.75 pa37 = 0.84 pa4
7 = 0.81
pa18 = 0.81 pa2
8 = 0.83 pa38 = 0.91 pa4
8 = 0.87
Level 3. Proximidad de la relacion, pri. Los valores de proximidad obtenidos
son:
pr1 = 0.82 pr2 = 0.85 pr3 = 0.8 pr4 = 0.81
pr5 = 0.82 pr6 = 0.81 pr7 = 0.8 pr8 = 0.86
178 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
4.2. Sistema de Recomendaciones Orientado
A. Reglas de Identificacion, IR.
1. IR1. Identificacion del conjunto de expertos que han de cambiar sus preferen-
cias, EXPCH. El ranking de expertos ordenados de mayor a menor segun sus
valores de proximidad es: e8, e2, e1, e5, e4, e6, e3, e7. El conjunto de expertos que
han de cambiar sus preferencias es:
EXPCH = {e4, e6, e3, e7}.
2. IR2. Identificacion del conjunto de alternativas cuyas valoraciones han de ser
modificadas, ALT . El conjunto de alternativas que han de cambiar los expertos
es:
ALT = {xl ∈ X| cal < 0.75} = {x2}.
En la tercera ronda los cambios deben afectar exclusivamente a las preferencias
de la alternativa x2, de ahı que el numero de cambios debe reducirse conside-
rablemente.
3. IR3. Identificacion de los pares de alternativas que han de cambiarse, PALTi.
Utilizando como umbral de proximidad β = 0.8, las preferencias que los expertos
deben cambiar en esta ronda son:
PALT3 = {(x2, x3)}PALT4 = {(x2, x1), (x2, x4)}PALT7 = {(x2, x1), (x2, x3)}PALT6 = {(x2, x3)}
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 179
B. Reglas de direccion DR.
1. Parametros de direccion.
(plki (mlpos),plk
i (mlval),plki (slpos),plk
i (slval)) (plkc (mlpos),plk
c (mlval),plkc (slpos),plk
c (slval))
p233 (7, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
p214 (7, 0.86, 6, 0.71) (5, 0.33, 7, 0.32)
p244 (7, 0.86, 6, 0.71) (4, 0.65, 3, 0.27)
p236 (0, 1, 1, 0.67) (0, 0.47, 1, 0.35)
p217 (7, 1, ∗) (5, 0.33, 7, 0.32)
p237 (0, 1, ∗) (0, 0.47, 1, 0.35)
Tabla 3.12: Parametros de direccion
2. Aplicacion de las reglas de direccion.
Segun la regla DR1, los expertos han de decrementar las valoraciones dadas
a las siguientes preferencias:
p233 = a7 → a6 p21
7 = a7 → a6
p214 = b5 → b4
p244 = b5 → b4
Segun la excepcion Excp 1), los expertos no modificaran las preferencias:
p236 , p23
7
3.4.4. Cuarta ronda de consenso
1. Modificacion de las preferencias.
Los expertos e3, e4, e6 y e7 modifican las preferencias recomendadas en la ter-
cera ronda:
180 3.4. Ejemplo de Funcionamiento del Modelo de SAC
Pe3 =
− a0 a4 a4
a5 − a6 a4
a4 a2 − a2
a4 a5 a6 −
Pe4 =
− b0 b3 b4
b4 − b1 b4
b3 b4 − b2
b0 b2 b4 −
Pe6 =
− c2 c2 c2
c2 − c0 c2
c1 c3 − c3
c3 c3 c1 −
Pe7 =
− a0 a3 a6
a6 − a0 a4
a4 a7 − a4
a0 a4 a3 −
2. Calculo de los grados de consenso
1. Calculo de los valores centrales: No han cambiado respecto a los calculados en
la primera ronda.
2. Matrices de similaridad:
Se calculan de nuevo las matrices de similaridad para cada par de expertos tal
y como se muestra en la ronda primera.
3. Matriz de consenso.
CM =
− 0.65 0.83 0.81
0.72 − 0.69 0.85
0.81 0.73 − 0.76
0.67 0.8 0.8 −
4. Calculo de los grados de consenso:
Modelo de SAC para Problemas de TDG en Contextos LinguısticosMultigranulares 181
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk:
cp12 = 0.65 cp13 = 0.83 cp14 = 0.81
cp21 = 0.72 cp23 = 0.69 cp24 = 0.85
cp31 = 0.81 cp32 = 0.73 cp34 = 0.76
cp41 = 0.67 cp42 = 0.8 cp43 = 0.8
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El grado de consenso al nivel de
alternativas es:
ca1 = 0.76 ca2 = 0.75 ca3 = 0.77 ca4 = 0.76
Se puede comprobar como ha mejorado el grado de consenso de la alternativa
2 a raız de los cambios propuestos en la anterior ronda pasando de 0.71 a 0.75.
Level 3. Consenso sobre las relaciones o consenso total, cr. El grado de con-
senso total en la cuarta ronda es:
cr = 0.759
3. Control del consenso
El grado de consenso en la cuarta ronda ha superado el umbral de consenso
que se fijo al inicio del proceso, cr = 0.759 > γ = 0.75. Por tanto el SAC indica
que se ha alcanzado el consenso buscado y pone fin al proceso de consenso.
A partir de este momento ya se puede llevar a cabo el proceso de seleccion de
alternativas tomando como punto de partida las preferencias de los expertos tal
y como han quedado tras el proceso de consenso.
Capıtulo 4
Modelo de Sistema de Apoyo alConsenso Adaptativo
El intento de mejorar y optimizar la automatizacion de los procesos de consenso
ha dado como resultado la propuesta de un nuevo modelo de sistema de apoyo al
consenso al que hemos denominado modelo de SAC Adaptativo. En este modelo
se adapta el proceso busqueda del consenso al nivel de acuerdo existente en cada
ronda de consenso.
Comenzaremos este capıtulo presentando las propuestas de mejora del modelo
de sistema de apoyo al consenso. A continuacion y tomando como base el modelo
presentado en el Capıtulo 3, aplicaremos estas mejoras para optimizar el proce-
so de consenso en problemas de TDG en contextos linguısticos multigranulares.
Finalmente aplicando el modelo de SAC Adaptativo resolveremos el problema
planteado en el capıtulo anterior con el proposito de establecer una comparacion
entre los resultados obtenidos por ambos modelos.
183
184 4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo
4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adapta-
tivo
Como ha quedado de manifiesto en el Capıtulo 2, han sido varios los auto-
res que han tratado en sus investigaciones los procesos de busqueda de consenso
[20, 77, 89, 106, 143, 176]. Practicamente todos ellos han definido mecanismos,
medidas y operadores para evaluar el consenso desde diferentes puntos de vista
y para diferentes contextos. Sin embargo, en todas estas investigaciones, consi-
deramos que hay una cuestion que no ha sido tratada suficientemente como es
la optimizacion de los procesos de consenso. En este capıtulo abordamos esta
cuestion y proponemos optimizar el proceso de consenso adaptando el numero de
preferencias a cambiar al nivel de acuerdo conseguido en cada ronda de consenso.
En cualquier problema de decision en el que participan varios expertos, inicial-
mente las preferencias de los expertos suelen ser bastante diferentes y por tanto
el grado de consenso bajo. En esta situacion es logico pensar que el moderador
(en nuestro caso el modelo de consenso) recomendara hacer muchos cambios con
el proposito de acercar las opiniones. Asumiendo que los expertos siguen las re-
comendaciones del modelo, conforme se van desarrollando las diferentes rondas
de consenso, el grado de consenso se ira incrementando y el numero de cambios
reduciendo, conseguiendose finalmente alcanzar el acuerdo deseado. Esta idea es
la que esta recogida en los modelos presentes en la literatura ası como en el presen-
tado en el Capıtulo 3 para tratar el caso concreto de problemas con informacion
linguıstica multigranular.
Todos estos modelos tienen en comun que siempre llevan a cabo la misma
secuencia de operaciones independientemente del nivel de acuerdo existente, lo que
ha llevado a plantearnos la siguiente interrogante, ¿el patron de funcionamiento
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 185
de un proceso de consenso debe ser siempre el mismo?. Parece logico pensar que
las operaciones que se realicen para buscar el consenso han de depender del nivel
de acuerdo existente en cada ronda. Esto significa que el proceso de busqueda
del consenso ha de cambiar conforme el grado de consenso vaya mejorando. Esta
idea es la que hemos intentado recoger proponiendo un nuevo modelo de sistema
de apoyo al consenso, denominado modelo de SAC Adaptativo. Este modelo se
comportara de forma diferente segun el grado de consenso alcanzado en cada una
de las rondas que componen el proceso de consenso. De este modo, en aquellas
rondas en las que el grado de consenso se considere bajo, esto indicara que el
acuerdo esta aun muy lejano y propondremos que todos los expertos cambien
todas las preferencias en las que no hay consenso. Por el contrario, cuando el grado
de consenso haya mejorado pero sin ser aun lo suficientemente alto para finalizar
el proceso de consenso, propondremos que solo los expertos mas discrepantes
cambien las preferencias en las que no haya suficiente acuerdo.
El hecho de utilizar diferentes criterios para buscar las preferencias a cambiar
puede interpretarse como una optimizacion del proceso de consenso con el cual se
consiguen tres objetivos:
Aumentar la velocidad de convergencia hacia el nivel de acuerdo buscado.
Reducir el numero de rondas necesarias para alcanzarlo.
Disminuir el numero de cambios de preferencias en las rondas finales del proceso
de consenso.
El nuevo modelo se caracteriza por proponer tres procesos diferentes para
llevar a cabo la busqueda de las preferencias que el sistema recomendara cambiar
a los expertos. La ejecucion de cada uno de estos procesos dependera del grado de
186 4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo
consenso alcanzado en cada una de las rondas de consenso y devolvera un conjunto
diferente de preferencias.
La descripcion basica de estos tres procesos es la siguiente:
a) Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta muy
lejano. Se lleva a cabo en situaciones en las que el grado de consenso es ba-
jo. Identifica los pares de alternativas en los que no hay suficiente consenso y
recomienda a todos los expertos que los cambien.
b) Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta lejano. Se
lleva a cabo en situaciones en las que el grado de consenso toma un valor que se
considera intermedio. Identifica las alternativas y pares de alternativas pertene-
cientes a estas alternativas en las que no hay suficiente consenso. Recomienda
que sean cambiados solo por aquellos expertos que en dichas alternativas se
encuentren mas alejados de la opinion colectiva del grupo de expertos.
c) Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta proxi-
mo. Se lleva a cabo en situaciones en las que el grado de consenso es alto y
esta cercano al umbral de consenso buscado. Identifica las alternativas y pares
de alternativas en las que no hay suficiente consenso y recomienda que sean
cambiados solo por aquellos expertos que en esas alternativas y pares concretos
se encuentren mas alejados de la opinion colectiva.
Cada uno de estos procesos realiza un analisis del consenso desde un punto de
vista diferente, vinculandolo a los tres niveles de representacion de la informacion
en las relaciones de preferencia, de forma que:
Cuando el acuerdo este muy lejano, se analizara el consenso a nivel de pares de
alternativas.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 187
Cuando el acuerdo este lejano, se analizara el consenso a nivel de alternativas.
Cuando el acuerdo este proximo, se analizara el consenso a nivel de expertos.
Antes de finalizar este apartado y dar paso a los siguientes en los que se comen-
tan detalladamente el funcionamiento y objetivos de cada proceso, cabe destacar
que esta propuesta de modelo de SAC Adaptativo puede ser aplicada en cualquier
problema de TDG en el que los expertos proporcionen sus opiniones por medio
de relaciones de preferencia, independientemente del dominio de informacion en
el que expresen sus preferencias y siempre que utilicen las medidas de consenso
apropiadas a cada contexto de definicion del problema.
4.1.1. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuan-
do el acuerdo esta muy lejano
Al comienzo de un proceso de consenso, en la primera o primeras rondas del
mismo, las preferencias de los expertos suelen ser bastante diferentes y por lo
tanto el consenso esta aun muy lejano. En esta situacion el nivel de acuerdo es
bajo y sera necesario que los expertos modifiquen muchas de sus opiniones para
intentar aproximarlas. En el contexto en el que estamos trabajando esta situacion
se traduce en recomendar a los expertos que modifiquen muchas de sus preferencias
con el proposito de acercarlas entre sı y ası mejorar el grado de consenso en la
siguiente ronda de consenso.
Llegado a este punto nos debemos plantear que expertos han de cambiar sus
preferencias. En el modelo presentado en el capıtulo anterior se propone que un
tanto por ciento de los expertos mas alejados cambien sus preferencias. En esta
nueva propuesta se recomienda que cuando se considere que el acuerdo esta muy
lejano, “todos” los expertos han de cambiar sus preferencias iniciales. Antes de
188 4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo
continuar nos gustarıa profundizar un poco mas en esta idea que ya fue presentada
en la Seccion 2.1 dedicada a los procesos de consenso. El termino consenso deberıa
implicar que ninguno de los expertos rechace la solucion propuesta por considerar
que sus preferencias u opiniones no han sido escuchadas ni tenidas en cuenta.
Para conseguirlo es necesario que todos los expertos modifiquen sus posiciones
iniciales y tiendan a aproximar sus preferencias. Si el proceso de consenso no se
desarrolla de esta forma y solo algunos de ellos cambian sus preferencias, estos
podrıan considerar que estan siendo forzados a la busqueda del consenso y rechazar
por este motivo la solucion propuesta. Esta forma de proceder es conocida en
la literatura como “Tiranıa de la Mayorıa” y consiste en imponer consciente o
inconscientemente las preferencias de un grupo mayoritario de expertos al resto
de miembros del grupo, haciendoles a estos tender hacia las opiniones del grupo
mayoritario. En estos casos pensamos que se estarıa haciendo un uso incorrecto
del termino consenso coincidiendo en esta idea con las manifestadas por Saint y
Lawson en [143]. Sin querer extendernos demasiado en estas reflexiones y teniendo
en cuenta que tambien podrıa darse el caso contrario de la imposicion de la opinion
de las minorıas, en este modelo proponemos una solucion mas razonable. Esta
consiste en recomendar que todos los expertos cambien sus preferencias cuando el
grado de consenso sea bajo y por lo tanto el acuerdo este muy lejano. Conforme el
grado de consenso vaya mejorando se ira seleccionando y por lo tanto reduciendo
el numero de expertos que deberan cambiar sus preferencias.
Volviendo sobre las preferencias a cambiar, hemos destacado que se pretende
llevar a cabo un numero elevado de cambios. Para conseguirlo proponemos que
todos los expertos cambien todos los pares de alternativas (xl, xk) en los que no
se alcance suficiente consenso.
Ambas ideas se muestran de forma grafica en la Figura 4.1.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 189
ρlk
MATRIZ DE CONSENSO
...
...........
cp < ρrs ..........
...cp <
........................
lk_1
...
...........
p _1 ..........
... p
........................
lk _i
...
...........
p _i ..........
...p
........................
lk
...
...........
p _m ..........
... p
........................
e =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e =_i
e =_m
_1
CAMBIOS
rs
rs
rs
_m
Preferencias a cambiar cuando elacuerdo está muy lejano
Figura 4.1: Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta muy lejano
Definido el umbral de consenso ρ que representa el valor mınimo que ha de
alcanzar el consenso a nivel de pares de alternativas para ser considerado como
suficiente, se identifican las preferencias en la matriz de consenso presentada en
el Capıtulo 3 cuyo grado de consenso es inferior a ρ, cplk < ρ. A continuacion
se recomendara a todos los expertos {e1, . . . , em} cambiar las preferencias dadas
sobre esos pares. De esta forma se consigue que en situaciones en las que el nivel
de acuerdo es muy bajo, todos los expertos cambien todas las preferencias en las
que no hay acuerdo, generandose por lo tanto un numero elevado de cambios.
190 4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo
4.1.2. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuan-
do el acuerdo esta lejano
Tras la primera/s ronda/s de consenso y asumiendo que los expertos han rea-
lizado los numerosos cambios propuestos por el anterior proceso, cabe esperar que
el nivel de acuerdo haya mejorado. En esta situacion, las preferencias de los exper-
tos se encuentran ahora mas proximas y de ahı que parezca logico reducir tanto el
numero expertos como el numero de preferencias a modificar de aquı en adelante.
Este nuevo proceso se lleva a cabo en situaciones en las que el nivel de acuerdo ha
mejorado pero se considera que el consenso esta aun lejano. Supone un cambio en
la estrategia seguida para buscar las preferencias y expertos a cambiar, anadiendo
dos nuevas restricciones que afectan a la seleccion de preferencias y expertos a
modificar:
a) Preferencias. En el proceso anterior se propone cambiar todos los pares de
alternativas en los que no existe un consenso suficiente. Ahora nos centraremos
exclusivamente en las alternativas en las que no hay acuerdo y dentro de estas
en los pares en los que el consenso es insuficiente.
b) Expertos. En el proceso anterior se propone que cambien todos los expertos,
ahora proponemos cambiar solo los expertos mas alejados a nivel de alternativas,
es decir, aquellos expertos cuya proximidad a nivel de alternativas es menor que
un umbral de proximidad especıfico βl11 ,
{ei | pali < βl
1, βl1 ∈ [0, 1], i ∈ {1, ..., m}}.
La descripcion grafica del proceso se muestra en la Figura 4.2.
1 El parametro βl1 representa un umbral de proximidad a nivel de alternativas utilizado para
seleccionar los expertos mas alejados y dependera del problema en cuestion que se este resol-viendo en cada momento.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 191
ρlk
MATRIZ DE CONSENSO
...
...........
cp < ρrs ..........
...cp < ca <
........................
lk_1
...
...........
p _1..................
... p
........................
lk_i
...
...........
p _i
... p
........................
lk
...
...........
p _m
... p
........................
e =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e =_i
e =_m
_1
CAMBIOS
rs
rs
rs
_m
ρl
ca >= ρr
pa <_il
pa >= β_m
l
β
pa <_1l
β
Preferencias a cambiar cuando elacuerdo está lejano
_1
_1
_1
l
l
l
..................
..................
Figura 4.2: Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta lejano
Como puede observarse descartamos cambiar aquellos pares que pertenezcan
a alternativas en las que existe suficiente consenso, centrandonos en aquellas pre-
ferencias en las que tanto a nivel de alternativas como de pares no hay suficiente
consenso, cplk < ρ y cal < ρ. Respecto al numero de expertos, solo los exper-
tos mas alejados en las alternativas en las que no hay consenso son los que deben
cambiar sus preferencias, pali < βl
1. Como puede comprobarse, ambas restricciones
producen una disminucion importante en el numero final de cambios propuestos,
cumpliendose uno de los objetivo planteados inicialmente de reducir el numero de
cambios de preferencias conforme el grado de consenso va aumentando.
192 4.1. Fundamentos del Modelo de SAC Adaptativo
4.1.3. Proceso de busqueda de preferencias a cambiar cuan-
do el acuerdo esta proximo
En las ultimas rondas, si el proceso de consenso se va desarrollando correcta-
mente, un numero pequeno de cambios puede conseguir que se alcance el consenso
deseado. En esta situacion podemos considerar que el acuerdo esta proximo y pro-
ponemos cambiar de nuevo la estrategia para buscar e identificar las preferencias
y expertos a cambiar.
El proposito de este proceso es buscar solo las preferencias mas discrepantes.
De esta forma y considerando que el consenso esta muy proximo, con unos pocos
cambios se consigue alcanzar el consenso buscado.
La descripcion grafica del funcionamiento del proceso se muestra en la Figura
4.3.
En el proceso anterior, cuando el consenso esta lejano, se propone cambiar las
preferencias en las que no existe suficiente acuerdo de los expertos mas alejados a
nivel de alternativas. Ahora, en este proceso, se anade una nueva restriccion a las
restricciones anteriores con el fin de seleccionar solo aquellos expertos que ademas
de ser los mas lejanos a nivel de alternativas tambien lo sean a nivel de pares,
es decir que pali < βl
1 y pplki < βlk
2 . Al igual que βl1, el parametro βlk
2 tambien es
un umbral de proximidad utilizado para seleccionar los expertos mas alejados a
nivel de pares de alternativa. Con esta restriccion se consigue refinar aun mas el
proceso de busqueda de preferencias a cambiar identificando de forma muy precisa
las preferencias que entorpecen la consecucion del consenso.
En la Figura 4.3 es sencillo comprobar como el numero de preferencias que
recomienda modificar este proceso es inferior al recomendado por los dos procesos
anteriores.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 193
ρlk
MATRIZ DE CONSENSO
...
...........
cp <ρrs ..........
...cp < ca <
........................
lk_1
...
...........
p _1
........ p
........................
lk_i
...
...........
p _i ...............
p
........................
lk
...
...........
p _m
........ p
........................
e =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e =_i
e =_m
_1
CAMBIOS
rs
rs
rs
_m
ρl
ca >= ρr
pa <_1
l
pa < β ,_il
pa >=_m
l
pp <_ilk
pp >=_i
lk
Preferencias a cambiar cuando elacuerdo está próximo
_1 β _2........
...............
...............
β ,_1 β _2
β _1
lkl
l
l
lk
Figura 4.3: Preferencias a cambiar cuando el acuerdo esta proximo
4.2. Modelo de SAC Adaptativo para Proble-
mas de TDG definidos en Contextos Linguısti-
cos Multigranulares
Como ya hemos comentado anteriormente, el proposito del modelo de SAC
Adaptativo es optimizar el proceso de consenso en problemas de TDG definidos
en cualquier dominio, de ahı que lo hayamos utilizado para perfeccionar el modelo
de SAC presentado en el Capıtulo 3 y ası mejorar su comportamiento en contextos
linguısticos multigranulares. La optimizacion se consigue mejorando el ritmo de
1944.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
convergencia hacia el consenso y reduciendo el numero de rondas necesarias para
alcanzar el consenso. Tambien se consigue reducir el numero de cambios de prefe-
rencias cuando el acuerdo esta proximo, tal y como se comprobara en el ejemplo
presentado en la seccion 4.3.
El nuevo modelo esta compuesto por las cuatro fases que se muestran en la
Figura 4.4.
PROCESO DESELECCIÓN DEALTENATIVAS
e1 on 1
UN
IFIC
AC
IÓN
DE
LA
IN
FO
RM
AC
IÓN
e1
e2
em
P S
P S
P S em on m
e2 on 2
RELACIONES DEPREFERENCIALINGÜÍSTICAS MULTIGRANULARES
CÁLCULODE LOS
GRADOS DECONSENSO
GENERACIÓN DERECOMENDACIONES
Recomendaciones
BÚSQUEDAADAPTATIVA DEPREFERENCIASA MODIFICAR
CONTROLDEL GRADO
DECONSENSO
Figura 4.4: Modelo de SAC Adaptativo para problemas de TDG con informacionlinguıstica multigranular
Algunas de las fases son muy similares a las presentadas en el modelo anterior
y por lo tanto apenas les dedicaremos atencion. El resto son diferentes y seran
explicadas con detalle en los siguientes apartados.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 195
4.2.1. Unificacion de la informacion
Dado un conjunto de expertos
E = {e1, . . . , em},
un conjunto de alternativas
X = {x1, . . . , xn}
y un conjunto de relaciones de preferencia
{Pe1 , . . . , Pem}
utilizadas por los expertos para expresar sus preferencias sobre X utilizando con-
juntos de terminos linguısticos
Si = {si0, s
i1, . . . , s
igi}
caracterizadas por su granularidad
#(Si) = gi + 1,
en esta fase se lleva a cabo la unificacion de los Si en un unico dominio normali-
zado al que hemos denominado conjunto basico de terminos linguısticos ST . Las
operaciones que se llevan a cabo en esta fase son practicamente identicas a las
realizadas en el modelo anterior (ver Seccion 3.3.1).
De forma resumida este conjunto de operaciones se agrupan en dos principales:
1. Eleccion del conjunto de terminos linguısticos mas apropiado que hara la funcion
de ST .
1964.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
2. Transformacion de todos los terminos linguısticos pertenecientes a los diferentes
Si en conjuntos difusos definidos sobre ST . Para realizar esta operacion se defi-
nen diferentes funciones de transformacion τSiST(·) que transforman cada prefe-
rencia linguıstica plki en un conjunto difuso plk
i definido sobre ST = {c0, . . . , cg}:
plki = τSiST
(plki ) = {(ch, α
lkih) | h = 0, . . . , g}
αlkih = max
ymin{µplk
i(y), µch
(y)}
donde al menos ∃ αlkih > 0 y ∀ αlk
ih ∈ [0, 1].
A partir de esta transformacion las relaciones de preferencia seran consideradas
como matrices de conjuntos difusos:
Pei=
p11i = (α11
i0 , . . . , α11ig ) · · · p1n
i = (α1ni0 , . . . , α1n
ig )
.... . .
...
pn1i = (αn1
i0 , . . . , αn1ig ) · · · pnn
i = (αnni0 , . . . , αnn
ig )
4.2.2. Calculo de los grados de consenso y control del gra-
do de consenso
En esta fase se llevan a cabo dos operaciones principales:
1. Calculo de los grados de consenso. El modelo realiza todas las operaciones
necesarias para calcular las medidas de consenso presentadas en la Seccion 3.3.2.
2. Control del grado de consenso. El modelo controla y decide si el proceso de
consenso debe terminar o continuar. Para ello utiliza el umbral de consenso
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 197
γ acordado previamente por los expertos y el grado de consenso a nivel de
relaciones cr obtenido en el punto anterior conforme a las siguientes condiciones:
Si cr >= γ, esto significa que los expertos han alcanzado el grado de acuer-
do suficiente para finalizar el proceso de consenso y dar paso al proceso de
seleccion de alternativas.
Si cr < γ, esto significa que el acuerdo no es todavıa lo suficientemente alto
para finalizar el proceso de consenso, continuando por la siguiente fase del
modelo.
Al igual que en el modelo anterior, aquı tambien se evita un posible bucle
infinito en el caso de que no se llegue a alcanzar nunca el grado de consenso
deseado, utilizando el parametro Max rondas para limitar el numero de rondas
maximo a llevar a cabo.
4.2.3. Busqueda adaptativa de preferencias a modificar
Esta fase es la que imprime el caracter adaptativo al modelo al adaptar el
proceso de busqueda de las preferencias a cambiar al grado de consenso existente
en cada ronda de consenso. Si el grado de consenso es bajo significa que existen
bastantes discrepancias entre las preferencias de los expertos y por lo tanto estos
deberan acometer muchos cambios para acercar sus opiniones. Sin embargo, si el
grado de consenso es alto significa que existe bastante coincidencia entre las sus
preferencias y por lo tanto solo los expertos mas discrepantes deberan cambiar
sus opiniones.
La idea de disminuir el numero de cambios conforme el nivel de acuerdo se va
incrementado la hemos recogido desarrollando tres procedimientos diferentes para
1984.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
buscar las preferencias a modificar (PBp). Estos tres procedimientos desarrollan
las ideas propuestas en los tres procesos descritos en Seccion 4.1. Cada PBp se
ejecutara dependiendo del grado de consenso alcanzado en cada ronda.
PBp cuando elgrado de consenso
es bajo
Elección del PBp
BÚSQUEDA ADAPTATIVA DEPREFERENCIAS A MODIFICAR
Preferencias acambiarGrado de
consenso PBp cuando elgrado de consenso
es medio
PBp cuando elgrado de consenso
es alto
Figura 4.5: Busqueda adaptativa de preferencias
Las operaciones de esta fase se agrupan en dos tareas principales (Figura 4.5):
1) Eleccion del PBp mas apropiado. El modelo de SAC Adaptativo establece una
serie de condiciones en las que se tiene en cuenta el grado de consenso general
alcanzado en la ronda actual cr y dos umbrales de consenso θ1 y θ2 utilizados
para diferenciar tres posibles situaciones en las que se encuentra el acuerdo:
muy lejano, lejano y proximo.
El algoritmo que implementa estas condiciones se muestra en la Tabla 4.1.
Los umbrales de consenso θ1, θ2 son acordados por los expertos y dependeran
del tipo de problema que se este abordando.
2) Ejecucion del PBp. Segun el grado de consenso cr el modelo recomendara eje-
cutar uno de los tres PBps. Cada PBp analiza el consenso desde un punto de
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 199
INPUTS:cr, θ1, θ2
BEGINIF cr ≤ θ1
THENEjecutar PBp cuando el grado de consenso es bajo
ELSEIF cr ≤ θ2
THENEjecutar PBp cuando el grado de consenso es medio
ELSEEjecutar PBp cuando el grado de consenso es alto
END-IFEND-IF
END
Tabla 4.1: Algoritmo para la seleccion del PBp.
vista diferente:
El PBp cuando el grado de consenso es bajo analiza el consenso desde el punto
de vista de los pares de alternativas.
El PBp cuando el grado de consenso es medio analiza el consenso desde el
punto de vista de las alternativas.
El PBp cuando el grado de consenso es alto analiza el consenso desde el punto
de vista de las relaciones de preferencia de los expertos.
Ademas, para cada experto i, cada PBp devuelve un conjunto diferente de pre-
ferencias a cambiar a los que llamaremos respectivamente PREFECHBi , PREFE
CHMi y PREFECHA
i .
El modelo recomendara cambiar las preferencias contenidas en estos conjuntos
sugiriendo la direccion en la que se han de hacer los cambios para conseguir apro-
ximar las preferencias y aumentar el acuerdo en la siguiente ronda de consenso.
En los siguientes subapartados se describen las caracterısticas y el funciona-
miento de cada uno de estos procedimientos.
2004.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
4.2.3.1 PBp cuando el grado de consenso es bajo
El modelo de SAC Adaptativo lleva a cabo este procedimiento en situaciones
en las que el grado de consenso es considerado como bajo y el acuerdo esta aun
muy lejano, es decir,
cr ≤ θ1
El proposito de este procedimiento es identificar los pares de alternativas
(xl, xk) en los que existe menor grado de consenso y proponer que todos los ex-
pertos cambien dichos pares. El resultado de este procedimiento es el conjunto de
preferencias que cada experto i debera cambiar en la siguiente ronda de consenso
y que representaremos como PREFECHBi .
Las caracterısticas principales de este procedimiento se recogen en la siguiente
tabla:
Grado de Consenso Foco de atencion Expertos afectados
por los cambios
Bajo Pares de alternativas Todos los expertos
Para buscar las preferencias a cambiar este procedimiento lleva a cabo las
siguientes operaciones:
1. A partir de la matriz de consenso CM ,
CM =
cm11 · · · cm1n
.... . .
...
cmn1 · · · cmnn
y teniendo en cuenta que,
cplk = cmlk, ∀l, k = 1, . . . , n ∧ l 6= k
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 201
se identifican todos los pares de alternativas (xl, xk) en los que el grado de
consenso es menor que un determinado umbral de consenso ρ definido a nivel
de pares, dando origen al conjunto P:
P = {(l, k) | cplk < ρ, l, k = 1, ..., n}.
El valor de este umbral ρ puede ser estatico y fijado antes de comenzar el pro-
ceso de consenso o bien dinamico y que se vaya actualizando y adaptando al
nivel de acuerdo alcanzado en cada ronda. Si se opta por la primera opcion
es necesario prestar mucha atencion al valor que se le asigne porque un valor
demasiado alto puede implicar que los expertos tengan que cambiar todas sus
preferencias mientras que un valor demasiado bajo puede implicar no hacer ape-
nas cambios, situaciones ambas no deseables. Nosotros hemos decidido utilizar
un valor dinamico que vaya cambiando durante el proceso de consenso de forma
que recomiende cambiar aproximadamente la mitad de las preferencias de los
expertos. Para conseguirlo hemos considerado como umbral de consenso la me-
dia aritmetica del consenso a nivel de pares de alternativas, ρ = cp, quedando
el conjunto P como sigue:
P = {(l, k) | cplk < cp, l, k = 1, ..., n}.
2. Se obtiene el conjunto de preferencias que el sistema recomendara cambiar a
todos los expertos ei ∈ E:
PREFECHBi = {(l, k) | (l, k) ∈ P}, ∀ei ∈ E.
4.2.3.2 PBp cuando el grado de consenso es medio
El modelo propone ejecutar este procedimiento en situaciones en las que el
acuerdo esta todavıa lejano y el grado de consenso ha alcanzado un valor inter-
2024.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
medio, es decir,
θ1 < cr ≤ θ2.
Antes de llegar a esta situacion podemos suponer que ya se han realizado una o va-
rias rondas de consenso en la que todos los expertos han cambiado sus preferencias
y han acercado sus opiniones.
El proposito de este procedimiento es identificar las alternativas xl y pares de
alternativas (xl, xk) pertenecientes a estas alternativas en las que no hay suficiente
consenso y proponer que sean cambiadas solo por los expertos cuyas proximidades
en esas alternativas sean inferiores.
El resultado de este procedimiento es el conjunto de preferencias que cada
experto i debera cambiar en la siguiente ronda de consenso y que representaremos
como PREFECHMi .
Utilizando la misma tabla que en el procedimiento anterior, las caracterısticas
principales de este procedimiento son:
Grado de Consenso Foco de atencion Expertos afectados
por los cambios
Medio Alternativas Expertos mas alejados
en las alternativas
en desacuerdo
Para identificar las preferencias a cambiar el procedimiento lleva a cabo las
siguientes operaciones:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 203
1. A partir de la matriz de consenso CM ,
CM =
cm11 · · · cm1n
.... . .
...
cmn1 · · · cmnn
se obtiene todos los grados de consenso a nivel de pares de alternativas
cplk = cmlk, ∀l, k = 1, . . . , n ∧ l 6= k
y se calculan los grados de consenso a nivel de alternativas:
cal =
∑nk=1, l 6=k cplk
n− 1
2. Se identifican las alternativas en las que grado de consenso es menor que el
umbral de consenso. Al igual que en el procedimiento anterior, el umbral puede
ser un valor fijo o un valor dinamico. En este caso tambien hemos optado por
utilizar un umbral dinamico asignandole el valor medio del grado de consenso a
nivel de alternativas, ca, definiendo el conjunto de alternativas a cambiar como:
Xch = {l | cal < ca}.
3. Se identifican los pares pertenecientes a estas alternativas en las que no hay
consenso,
P = {(l, k) | l ∈ Xch, cplk < cp}.
4. Utilizando la matriz de proximidad de cada experto PMi,
PMi =
pm11 · · · pm1n
.... . .
...
pmn1 · · · pmnn
2044.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
y teniendo en cuenta que la proximidad a nivel de pares coincide con la posicion
(l, k) de PMi, ,
pplki = pmlk
i , ∀l, k = 1, . . . , n ∧ l 6= k.
se calcula la proximidad de cada experto a nivel de alternativas de las alterna-
tivas en las que no hay consenso,
{pali | pal
i =
∑nk=1,k 6=l pp
lki
n− 1, l ∈ Xch}, ∀ei ∈ E.
5. Se calcula el umbral de proximidad βl1 que utilizara el sistema para seleccionar
los expertos que han de cambiar sus preferencias. Se seleccionara a aquellos
expertos que en las alternativas en las que no hay suficiente consenso se en-
cuentren mas alejados que el resto. Para ello se asigna a βl1 el valor medio de la
proximidad en las alternativas en las que no hay consenso,
{βl1 = pal | pal =
∑mi=1 pal
i
m, l ∈ Xch}.
6. Finalmente, para cada experto i que cumpla que su proximidad en la alternativa
xl es menor que la media de las proximidades en esa alternativa, pali < pal, el
modelo obtiene el conjunto de preferencias que dicho experto debera cambiar:
PREFECHMi = {(l, k) | l ∈ Xch ∧ (l, k) ∈ P ∧ pal
i < pal}.
Teniendo en cuenta las nuevas restricciones que afectan al numero de preferen-
cias y numero de expertos a cambiar, es facil comprobar que | ⋃i PREFECHMi |≤|
⋃i PREFECHB
i |, siendo | ⋃i PREFECHM
i | y | ⋃i PREFECHB
i | la cardi-
nalidad del conjunto obtenido despues de la union de todos los conjuntos de
preferencias individuales.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 205
4.2.3.3 PBp cuando el grado de consenso es alto
Este procedimiento se ejecuta en situaciones en las que el acuerdo esta proxi-
mo y por lo tanto el grado de consenso esta cercano al umbral de consenso γ
considerado para que el modelo finalice el proceso de consenso, es decir,
θ2 < cr < γ.
Llegado este momento, un numero relativamente pequeno de cambios de opinion
puede hacer que se alcance el consenso en la siguiente ronda. Esto se consigue
anadiendo una nueva restriccion a las ya existentes en el procedimiento anterior
cuyo resultado es la reduccion del numero de expertos que han de cambiar sus
preferencias.
El proposito de este procedimiento es identificar las alternativas xl y pares
de alternativas (xl, xk) en los que no existe suficiente consenso y proponer que
sean cambiados solo por aquellos expertos que en esos pares se encuentren mas
alejados.
Las caracterısticas de este procedimiento quedarıan recogidas en la siguiente
tabla:
Grado de Consenso Foco de atencion Expertos afectados
por los cambios
Alto Expertos Expertos mas alejados
en pares y alternativas
en desacuerdo
Para conseguir su proposito lleva a cabo los siguientes pasos:
2064.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
1. Realiza las mismas operaciones numeradas del 1-5 descritas en el PBp cuando
el grado de consenso es medio.
2. Calcula el umbral de proximidad βlk2 utilizado para seleccionar los expertos mas
alejados en los pares de alternativas en las que no hay consenso. Para ello asigna
a βlk2 el valor medio de la proximidad de cada uno de estos pares,
{βlk2 = pp lk | pp lk =
∑mi=1 pplk
i
m, (l, k) ∈ P}.
3. Utilizando como umbrales de proximidad los valores βl1 = pa l y βlk
2 = pp lk,
el procedimiento recomendara que cambien sus preferencias aquellos expertos
cuya proximidad a nivel de alternativas y a nivel de pares en los que no hay
consenso sea inferior a la media, es decir,
pali < pa l y pplk
i < pp lk.
Para cada uno de estos expertos obtiene el conjunto de preferencias a cambiar
PREFECHAi ,
PREFECHAi = {(l, k) | l ∈ Xch ∧ (l, k) ∈ P ∧ pal
i < pa l ∧ pplki < pp lk}.
Con esta nueva condicion se puede comprobar que | ⋃i PREFECHA
i |≤|⋃
i PREFECHMi |, y dado que | ⋃
i PREFECHMi |≤| ⋃
i PREFECHBi |, se
puede concluir asumiendo que nuestra propuesta de modelo de SAC Adaptati-
vo adapta su funcionamiento al grado de consenso existente en cada momento,
reduciendo el numero de cambios conforme el grado de consenso va aumentando.
4.2.4. Generacion de recomendaciones
Para conseguir que en cada nueva ronda de consenso el acuerdo entre los
expertos sea mayor y el numero de cambios a realizar por los expertos menor, es
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 207
necesario que estos cambien sus preferencias mas alejadas en la direccion correcta.
En caso contrario, si los cambios se realizan de forma arbitraria, el modelo de SAC
Adaptativo no puede garantizar que el grado de consenso mejore.
En el modelo presentado en el Capıtulo 3 se propone un sistema de recomenda-
ciones orientado (Seccion 3.3.4) que utiliza un conjunto de reglas y parametros de
direccion para resolver esta cuestion. En la practica se ha podido comprobar que el
sistema de recomendaciones funciona satisfactoriamente aunque presenta ciertas
excepciones que sin ser muy frecuentes es posible que aparezcan. El tratamiento
de estas excepciones se ha explicado en la pagina 145 de esta memoria.
Cuando nos planteamos disenar un nuevo modelo para optimizar los procesos
de consenso, tambien nos planteamos intentar resolver los problemas o excepciones
detectadas en el sistema de recomendaciones orientado. Tras un estudio y analisis
de las circunstancias en las que se producıan las excepciones, intentamos mejorarlo
introduciendo nuevos parametros que tuviesen en cuenta las etiquetas vecinas
mas significativas, pero los resultados no fueron satisfactorios y por el contrario
complicaron el sistema al anadir nuevas reglas. Esto nos llevo a plantear un nuevo
mecanismo de recomendaciones que evitase estas excepciones.
Al igual que su predecesor, el nuevo mecanismo contemplado en la fase de
generacion de recomendaciones tiene como proposito generar una serie de reco-
mendaciones en las que se sugiere a los expertos la direccion en la que han de
cambiar las preferencias obtenidas por los PBps, con el objetivo de aproximar las
preferencias mas alejadas y ası mejorar el grado de consenso en la siguiente ronda.
Antes de continuar, recordar que las preferencias de los expertos han sido
transformadas en conjuntos difusos sobre ST :
plki = (αlk
0 , . . . , αlkg )
2084.2. Modelo de SAC Adaptativo para Problemas de TDG definidos en
Contextos Linguısticos Multigranulares
y que agregando todas las preferencias individuales,
plkc = ψ(plk
1 , . . . , plkm)
se obtienen las preferencias colectivas plkc que representan la opinion del grupo
de expertos.
El proceso de aproximacion consiste en acercar las preferencias individuales
mas alejadas a las preferencias colectivas. Para ello se necesita conocer la posicion
actual de ambas preferencias. Estas posiciones se obtienen calculando los valores
centrales de los conjuntos difusos que representan las preferencias individuales y
colectivas. Tal y como comentamos en la Seccion 3.3.2, el valor central se define
como la posicion o el centro de gravedad de la informacion contenida en el conjunto
difuso plki = (αlk
i0, . . . , αlkig) y se calcula como:
cv(plki ) =
∑gh=0 index(si
h) · αlkih∑g
h=0 αlkih
,
donde index(sih) = h.
Una vez conocidas las posiciones de las preferencias individuales y colectivas,
ya es posible definir un conjunto de reglas que permitan identificar la direccion
en las que se han de cambiar las preferencias individuales para aproximarlas a las
colectivas.
4.2.4.1 Reglas de Direccion.
Las reglas de direccion comparan los valores centrales de los conjuntos difu-
sos que representan las preferencias individuales y colectivas. El resultado de esta
comparacion sera recomendar incrementar o decrementar las valoraciones indivi-
duales dadas por los expertos para acercarlas a las valoraciones colectivas.
Proponemos tres reglas de direccion que se aplicaran sobre los conjuntos de
preferencias a modificar devueltos por los PBps:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 209
DR.1. Si (cv(plki ) − cv(plk
c )) < 0, el experto i deberıa incrementar la valoracion
dada al par de alternativas (xl, xk).
DR.2. Si (cv(plki ) − cv(plk
c )) > 0, el experto i deberıa decrementar la valoracion
dada al par de alternativas (xl, xk).
DR.3. Si (cv(plki )− cv(plk
c )) = 0, el experto i no modificara la valoracion dada al
par de alternativas (xl, xk).
4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC
Adaptativo
En el Capıtulo 3 se ha visto el funcionamiento del modelo de consenso en un
problema de toma de decision real relacionado con la distribucion por parte de
una cadena de supermercados de una determinada marca de vinos entre cuatro
posibles marcas:
x1, Marques de Caceres, Denominacion de Origen Rioja.
x2, Los Molinos, Denominacion de Origen Valdepenas.
x3, Vina Mayor, Denominacion de Origen Ribera del Duero.
x4, Rene Barbier, Denominacion de Origen Penedes.
En esta seccion se volvera a reproducir el proceso de consenso sobre el mismo
problema pero aplicando el modelo de SAC Adaptativo presentado a lo largo de
este capıtulo.
Con el proposito de comprobar las mejoras que la nueva propuesta aporta al
proceso de consenso, se realizaran numerosas comparaciones entre los resultados
210 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
obtenidos por ambos modelos en las distintas fases del proceso. Del mismo modo,
al final de este capıtulo, en la Tabla 4.6 se mostraran de forma resumida los
resultados devueltos por ambos modelo.
Para que la comparativa tenga sentido, se parte de las mismas opiniones de
los expertos utilizadas en el Capıtulo 3 y expresadas mediante relaciones de pre-
ferencia:
Pe1 =
− c0 c0 c2
c4 − c3 c4
c3 c0 − c1
c2 c1 c3 −
Pe2 =
− c2 c0 c4
c1 − c1 c1
c3 c3 − c1
c0 c4 c3 −
Pe3 =
− a1 a4 a3
a5 − a8 a4
a4 a1 − a2
a5 a5 a7 −
Pe4 =
− b0 b4 b5
b6 − b1 b6
b3 b4 − b2
b0 b1 b4 −
Pe5 =
− b4 b1 b6
b2 − b3 b2
b4 b3 − b2
b0 b5 b3 −
Pe6 =
− c2 c3 c1
c2 − c0 c1
c0 c4 − c4
c4 c4 c0 −
Pe7 =
− a0 a3 a7
a8 − a0 a4
a4 a8 − a5
a1 a4 a3 −
Pe8 =
− b6 b1 b3
b0 − b0 b5
b6 b6 − b5
b4 b1 b0 −
Antes de poner en marcha el modelo es necesario fijar los valores de los si-
guientes parametros:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 211
El umbral de consenso mınimo deseado para dar por finalizado el proceso de
consenso, γ = 0.75.
Respecto a los dos umbrales de consenso θ1 y θ2 utilizados para diferenciar las
tres situaciones de consenso, se considera que el grado de consenso es bajo si cr
es inferior a θ1 = 0.65, medio si es inferior a θ2 = 0.72 y alto en caso contrario.
Numero maximo de rondas de consenso a llevar a cabo, Max rondas = 10.
4.3.1. Primera ronda de consenso
1. Unificacion de la informacion
En primer lugar se elige el conjunto de terminos linguısticos basicos ST mas
apropiado conforme a las condiciones descritas en el apartado 3.3.1 y a continua-
cion se aplican las funciones de transformacion {τAST, τBST
, τCST} para realizar la
unificacion, obteniendo para cada termino linguıstico el conjunto difuso sobre ST
que se muestra en la Tabla 4.2.
τAST: τBST
: τCST:
a0 7→ (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b0 7→ (1, 0.57, 0.14, 0, 0, 0, 0, 0, 0) c0 7→ (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0)a1 7→ (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b1 7→ (0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0, 0, 0, 0, 0) c1 7→ (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0)a2 7→ (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) b2 7→ (0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43, 0, 0, 0, 0) c2 7→ (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0)a3 7→ (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) b3 7→ (0, 0, 0.14, 0.57, 1, 0.57, 0.14, 0, 0) c3 7→ (0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33)a4 7→ (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) b4 7→ (0, 0, 0, 0, 0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0) c4 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1)a5 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) b5 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43)a6 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) b6 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.14, 0.57, 1)a7 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)a8 7→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
Tabla 4.2: Conjuntos difusos obtenidos tras el proceso de unificacion
2. Calculo de los grados de consenso y control del proceso de consenso
El modelo calcula el grado de consenso a nivel de pares de alternativas, alter-
nativas y relaciones de preferencia. Este ultimo es utilizado para controlar si se
212 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
ha alcanzado el nivel de consenso suficiente para finalizar el proceso de consenso.
2.1 Calculo de los grado de consenso
Para calcular los diferentes grados de consenso seguiremos el mismo proceso
utilizado en el modelo anterior:
1. Calculo de los valores centrales: Se calcula el valor central de todas las etiquetas
linguısticas utilizadas por los expertos para expresar sus preferencias (Tablas
4.3, 4.4, 4.5):
A p cv(p)
a0 (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0a1 (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1a2 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 2a3 (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) 3a4 (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) 4a5 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) 5a6 (, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) 6a7 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) 7a8 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) 8
Tabla 4.3: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos A.
2. Matrices de similaridad:
Se calcula una matriz de similaridad para cada par de expertos utilizando la
funcion de similaridad s(·) presentada en 3.2. Los valores de estas matrices
representan la similaridad entre las preferencias de cada experto respecto al
resto de expertos:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 213
B p cv(p)
b0 (1, 0.57, 0.14, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0.5b1 (0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0, 0, 0, 0, 0) 1.38b2 (0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43, 0, 0, 0, 0) 2.63b3 (0, 0, 0.14, 0.57, 1, 0.57, 0.14, 0, 0) 4b4 (0, 0, 0, 0, 0.43, 0.86, 0.71, 0.29, 0) 5.38b5 (0, 0, 0, 0, 0, 0.29, 0.71, 0.86, 0.43) 6.63b6 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.14, 0.57, 1) 7.5
Tabla 4.4: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos B.
C p cv(p)
c0 (1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0.67c1 (0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0, 0, 0) 2.02c2 (0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33, 0, 0) 4.02c3 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1, 0.67, 0.33) 6.02c4 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.33, 0.67, 1) 7.34
Tabla 4.5: Etiquetas linguısticas, conjuntos difusos y valores centrales del conjuntode terminos linguısticos C.
SM12 =
− 0.58 1 0.58
0.33 − 0.5 0.33
1 0.33 − 1
0.58 0.33 1 −
SM13 =
− 0.96 0.58 0.88
0.71 − 0.75 0.58
0.75 0.96 − 1
0.88 0.63 0.88 −
SM14 =
− 0.98 0.41 0.67
0.98 − 0.42 0.98
0.75 0.41 − 0.92
0.56 0.92 0.92 −
SM15 =
− 0.41 0.91 0.56
0.41 − 0.75 0.41
0.92 0.58 − 92
0.56 0.42 0.75 −
214 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
SM16 =
− 0.58 0.33 0.75
0.58 − 0.33 0.33
0.33 0.17 − 0.33
0.58 0.33 0.33 −
SM17 =
− 0.92 0.71 0.63
0.92 − 0.25 0.58
0.75 0.08 − 0.63
0.63 0.75 0.63 −
SM18 =
− 0.15 0.91 1
0.15 − 0.31 0.91
0.81 0.15 − 0.42
0.83 0.92 0.31 −
SM23 =
− 0.63 0.58 0.46
0.63 − 0.25 0.75
0.75 0.38 − 1
0.46 0.71 0.88 −
SM24 =
− 0.56 0.41 0.91
0.31 − 0.92 0.31
0.75 0.92 − 0.92
0.98 0.26 0.92 −
SM25 =
− 0.83 0.91 0.98
0.92 − 0.75 0.92
0.92 0.75 − 0.92
0.98 0.91 0.75 −
SM26 =
− 1 0.33 0.33
0.75 − 0.83 1
0.33 0.83 − 0.33
0.17 1 0.33 −
SM27 =
− 0.5 0.71 0.96
0.25 − 0.75 0.75
0.75 0.75 − 0.63
0.96 0.58 0.63 −
SM28 =
− 0.56 0.91 0.58
0.81 − 0.81 0.42
0.81 0.81 − 0.42
0.41 0.26 0.31 −
SM34 =
− 0.94 0.83 0.55
0.69 − 0.17 0.56
1 0.45 − 0.92
0.44 0.55 0.80 −
SM35 =
− 0.45 0.67 0.44
0.7 − 0.5 0.83
0.83 0.63 − 0.92
0.44 0.8 0.63 −
SM36 =
− 0.63 0.75 0.88
0.88 − 0.08 0.75
0.58 0.21 − 0.33
0.71 0.71 0.21 −
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 215
SM37 =
− 0.88 0.88 0.5
0.63 − 0 1
1 0.13 − 0.63
0.5 0.88 0.5 −
SM38 =
− 0.19 0.67 0.88
0.44 − 0.06 0.67
0.56 0.19 − 0.42
0.95 0.55 0.19 −
SM45 =
− 0.39 0.5 0.89
0.39 − 0.67 0.39
0.83 0.83 − 1
1 0.34 0.83 −
SM46 =
− 0.56 0.92 0.42
0.56 − 0.91 0.31
0.58 0.76 − 0.41
0.15 0.26 0.41 −
SM47 =
− 0.94 0.7 0.95
0.94 − 0.83 0.56
1 0.67 − 0.7
0.94 0.67 0.7 −
SM48 =
− 0.13 0.5 0.67
0.13 − 0.89 0.89
0.56 0.73 − 0.5
0.39 1 0.39 −
SM56 =
− 0.83 0.42 0.31
0.83 − 0.58 0.92
0.41 0.58 − 0.41
0.15 0.91 0.58 −
SM57 =
− 0.33 0.8 0.94
0.33 − 0.5 0.83
0.83 0.5 − 0.7
0.94 0.67 0.88 −
SM58 =
− 0.73 1 0.56
0.73 − 0.56 0.5
0.73 0.56 − 0.5
0.39 0.34 0.56 −
SM67 =
− 0.5 0.63 0.38
0.5 − 0.92 0.75
0.58 0.92 − 0.71
0.21 0.58 0.71 −
SM68 =
− 0.56 0.42 0.75
0.56 − 0.98 0.42
0.15 0.98 − 0.91
0.76 0.26 0.98 −
SM78 =
− 0.06 0.8 0.63
0.06 − 0.94 0.67
0.56 0.94 − 0.8
0.45 0.67 0.69 −
216 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso se obtiene agregando a nivel de pares de alternativas el
conjunto de matrices de similaridad calculadas previamente. Como operador de
agregacion, se utiliza la media aritmetica. Esta matriz representa el consenso
existente entre los expertos en cada ronda. Es utilizada por el modelo para
obtener las diferentes medidas de consenso.
CM =
− 0.6 0.69 0.68
0.58 − 0.58 0.66
0.71 0.58 − 0.69
0.61 0.61 0.63 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk. El grado de consenso en
cada par de alternativas (xl, xk) coincide con las posiciones (l, k) de la matriz
de consenso CM .
cp12 = 0.6 cp13 = 0.69 cp14 = 0.68
cp21 = 0.58 cp23 = 0.58 cp24 = 0.66
cp31 = 0.71 cp32 = 0.58 cp34 = 0.69
cp41 = 0.61 cp42 = 0.61 cp43 = 0.63
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El consenso a nivel de alternativas
se obtiene como la media aritmetica de todos los pares pertenecientes a cada
alternativa:
ca1 = 0.65 ca2 = 0.6 ca3 = 0.66 ca4 = 0.62
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 217
Level 3. Consenso sobre las relaciones o consenso total, cr. Este valor mide
el grado de consenso actual alcanzado por los expertos y se obtiene como
la media aritmetica del consenso evaluado a nivel de alternativas. En esta
primera ronda el grado de consenso general es:
cr = 0.634
Observacion: Como era de esperar el grado de consenso en la primera ronda
es el mismo en ambos modelos puesto que las preferencias iniciales dadas por
los expertos son iguales.
2.2 Control del proceso de consenso
El sistema lleva a cabo el control del grado de consenso alcanzado comparando
el grado de consenso general cr = 0.634 con el umbral de consenso γ = 0.75.
Como cr < γ, no se ha alcanzado el acuerdo suficiente para dar por terminado
el proceso, debiendo continuar el modelo por la siguiente fase.
3. Busqueda adaptativa de preferencias a modificar
En esta fase el modelo procede a buscar las preferencias que recomendara cam-
biar a cada experto. Esta busqueda e identificacion de preferencias se realiza eje-
cutando uno de los tres posibles procedimientos de busqueda de preferencias a
modificar. La eleccion del procedimiento depende del grado de consenso alcanza-
do en esta primera ronda.
3.1 Eleccion del PBp mas apropiado
Teniendo en cuenta el algoritmo descrito en 4.1 y que el grado de consenso
a nivel de relaciones, cr = 0.634 ≤ θ1 = 0.65, el modelo adaptativo considera
que el nivel de acuerdo alcanzado en esta primera ronda es bajo y que el acuerdo
218 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
esta muy lejano, recomendando ejecutar el PBp para situaciones en las que el
grado de consenso es bajo.
3.2 Ejecucion del PBp cuando el grado de consenso es bajo
El objetivo de este procedimiento es identificar los pares de alternativas (xl, xk)
en los que el consenso no es suficiente y recomendar que todos los expertos los
cambien. Para hacer esto el modelo realiza las operaciones descritas en este pro-
cedimiento:
1. Identificacion de las preferencias en los que no existe suficiente consenso. A
partir de la matriz de consenso
CM =
− 0.6 0.69 0.68
0.58 − 0.58 0.66
0.71 0.58 − 0.69
0.61 0.61 0.63 −
se identifican los pares tal que:
P = {(l, k) | cplk < cp lk, l, k = 1, ..., n}
P = {(l, k) | cplk < 0.634∗}
P = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
(*) Aclarar que el valor medio del consenso a nivel de pares de alternativas
coincide con el valor del consenso a nivel de relaciones cr = 0.634
2. Definicion de los conjuntos de preferencias a cambiar por cada experto i.
PREFECHBi = {(l, k) | (l, k) ∈ P}, ∀ei ∈ E.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 219
En este caso se obtienen los siguientes conjuntos de preferencias:
PREFECHL1 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL2 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL3 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL4 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL5 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL6 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL7 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
PREFECHL8 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
220 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
4. Generacion de recomendaciones
En esta fase el modelo recomienda la direccion que deben seguir los expertos
a la hora de modificar sus preferencias en la segunda ronda de consenso. Dado
que el modelo puede calcular los valores centrales de las preferencias individuales
y colectivas, ya esta en disposicion de aplicar las reglas de direccion. Por tanto:
Segun la regla DR1, los expertos han de incrementar las valoraciones dadas a
las preferencias:
p121 = c0 → c1 p41
5 = b0 → b1
p321 = c0 → c1 p43
5 = b3 → b4
p421 = c1 → c2 p21
6 = c2 → c3
p212 = c1 → c2 p23
6 = c0 → c1
p232 = c1 → c2 p43
6 = c0 → c1
p412 = c0 → c1 p12
7 = a0 → a1
p123 = a4 → a5 p23
7 = a0 → a1
p323 = a1 → a2 p41
7 = a1 → a2
p124 = b0 → b1 p42
7 = a4 → a5
p234 = b1 → b2 p43
7 = a3 → a4
p414 = b0 → b1 p21
8 = b0 → b1
p424 = b1 → b2 p23
8 = b0 → b1
p215 = b2 → b3 p42
8 = b1 → b2
p325 = b3 → b4 p43
8 = b0 → b1
Segun la regla DR2, los expertos han de decrementar las valoraciones dadas
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 221
a las preferencias:
p211 = c4 → c3 p32
4 = b4 → b3
p231 = c4 → c3 p43
4 = b4 → b3
p411 = c2 → c1 p12
5 = b4 → b3
p431 = c3 → c2 p23
5 = b3 → b2
p122 = c2 → c1 p42
5 = b5 → b4
p322 = c3 → c2 p12
6 = c2 → c1
p422 = c4 → c3 p32
6 = c4 → c3
p432 = c3 → c2 p41
6 = c4 → c3
p213 = a5 → a4 p42
6 = c4 → c3
p233 = a8 → a7 p21
7 = a8 → a7
p413 = a5 → a4 p32
7 = a8 → a7
p423 = a5 → a4 p12
8 = b6 → b5
p433 = a7 → a6 p32
8 = b6 → b5
p214 = b6 → b5 p41
8 = b4 → b3
4.3.2. Segunda ronda de consenso
1. Modificacion de las preferencias.
Todos los expertos cambiaran sus preferencias siguiendo las recomendaciones
anteriores sugeridas por el modelo, dando comienzo a la segunda ronda de con-
senso. Las nuevas preferencias aparecen resaltadas en negrita:
222 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
Pe1 =
− c1 c0 c2
c3 − c2 c4
c3 c1 − c1
c1 c2 c2 −
Pe2 =
− c1 c0 c4
c2 − c2 c1
c2 c3 − c1
c1 c3 c2 −
Pe3 =
− a2 a4 a3
a4 − a7 a4
a4 a2 − a2
a4 a4 a6 −
Pe4 =
− b1 b4 b5
b5 − b2 b6
b3 b3 − b2
b1 b2 b3 −
Pe5 =
− b3 b1 b6
b3 − b2 b2
b4 b4 − b2
b1 b4 b4 −
Pe6 =
− c1 c3 c1
c3 − c1 c1
c0 c3 − c4
c3 c3 c1 −
Pe7 =
− a1 a3 a7
a7 − a1 a4
a4 a7 − a5
a2 a5 a4 −
Pe8 =
− b5 b1 b3
b1 − b1 b5
b6 b5 − b5
b3 b2 b1 −
2. Calculo de los grados de consenso y control del proceso de consenso
2.1 Calculo de los grado de consenso
1. Calculo de los valores centrales: No han cambiado respecto a los calculados en
la primera ronda.
2. Matrices de similaridad:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 223
Se calculan de nuevo las matrices de similaridad para cada par de expertos.
Debido a que el proceso es identico al realizado en la primera ronda, no han
sido incluidas para no extender demasiado el ejemplo.
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso obtenida en la segunda ronda es:
CM =
− 0.77 0.69 0.68
0.73 − 0.73 0.66
0.72 0.71 − 0.69
0.77 0.8 0.78 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk. El grado de consenso en
cada par de alternativas (xl, xk) es:
cp12 = 0.77 cp13 = 0.69 cp14 = 0.68
cp21 = 0.73 cp23 = 0.73 cp24 = 0.66
cp31 = 0.72 cp32 = 0.71 cp34 = 0.69
cp41 = 0.77 cp42 = 0.8 cp43 = 0.78
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El grado de consenso en cada alter-
nativa es:
ca1 = 0.71 ca2 = 0.7 ca3 = 0.71 ca4 = 0.78
224 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
Level 3. Consenso sobre las relaciones, cr. El grado de consenso general o
total alcanzado en la segunda ronda es:
cr = 0.73
Observacion: Comparado el cr alcanzado en la segunda ronda entre ambos
modelos, se puede comprobar como el cr = 0.73 del modelo de SAC Adaptativo
mejora el cr = 0.703 obtenido por el modelo anterior. Este incremento en el
grado de consenso ya nos hace intuir que el acuerdo deseado se puede alcanzar
en un numero de rondas inferior a las llevadas a cabo en el Capıtulo 3.
2.2 Control del grado de consenso
Aunque el incremento del grado de consenso es considerable todavıa no alcanza
el umbral fijado inicialmente γ = 0.75 para finalizar el proceso de consenso, por
lo que el proceso debe continuar con la siguiente fase.
3. Busqueda adaptativa de preferencias a modificar
3.1 Eleccion del PBp mas apropiado
Dado que cr = 0.73 ≥ θ2 = 0.72, el modelo considera que el nivel de acuerdo
alcanzado en la segunda ronda es alto y que el acuerdo esta proximo. Bajo estas
circunstancias recomienda ejecutar el PBp para situaciones en las que el grado de
consenso es alto.
3.2 Ejecucion del PBp cuando el grado de consenso es alto
El proposito de este procedimiento es identificar las alternativas y pares de
alternativas en las que no hay suficiente consenso y proponer que las cambien solo
aquellos expertos que en esos pares concretos se encuentren mas alejados. De esta
forma se consigue que con pocos cambios se alcance el nivel de acuerdo buscado.
Para hacer esto el sistema realiza las operaciones descritas en este procedimiento:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 225
1. Calculo de los grados de consenso a nivel de alternativas. A partir de la matriz
de consenso
CM =
− 0.77 0.69 0.68
0.73 − 0.73 0.66
0.72 0.71 − 0.69
0.77 0.8 0.78 −
se calculan los grados de consenso a nivel de alternativas:
ca1 = 0.71 ca2 = 0.7 ca3 = 0.71 ca4 = 0.78
2. Identificacion de las alternativas en las que no existe suficiente consenso.
Xch = {l | cal < ca l}
Xch = {l | cal < 0.73∗} = {x1, x2, x3}
(*)El valor medio del consenso a nivel de alternativas coincide con el valor del
consenso a nivel de relaciones cr = 0.73
3. Identificacion de los pares de alternativas pertenecientes a Xch en los que tam-
poco existe suficiente consenso.
P = {(l, k) | l ∈ Xch, cplk < cp lk}
P = {(l, k) | l ∈ Xch, cplk < 0.73} = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4)}.
4. Calculo de la proximidad de las alternativas que pertenecen a Xch para cada
uno de los expertos. Para ello necesitamos calcular las matrices de proximidad
de cada experto:
226 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
PM1 =
− 0.91 0.72 0.89
0.85 − 0.87 0.61
0.81 0.64 − 0.8
0.89 0.93 0.95 −
PM2 =
− 0.91 0.72 0.69
0.9 − 0.87 0.72
0.94 0.86 − 0.8
0.89 0.82 0.95 −
PM3 =
− 0.91 0.86 0.76
0.9 − 0.5 0.97
0.94 0.64 − 0.8
0.86 0.93 0.7 −
PM4 =
− 0.83 0.69 0.78
0.78 − 0.96 0.59
0.94 0.89 − 0.88
0.81 0.76 0.95 −
PM5 =
− 0.84 0.81 0.67
0.9 − 0.96 0.8
0.89 0.94 − 0.88
0.81 0.9 0.78 −
PM6 =
− 0.91 0.61 0.64
0.85 − 0.88 0.72
0.52 0.86 − 0.53
0.61 0.82 0.8 −
PM7 =
− 0.78 0.99 0.74
0.73 − 0.75 0.97
0.94 0.74 − 0.83
0.89 0.94 0.95 −
PM8 =
− 0.51 0.81 0.89
0.57 − 0.8 0.7
0.63 0.78 − 0.62
0.86 0.76 0.72 −
A partir de estos valores se calcula la proximidad de cada alternativa:
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 227
x1 x2 x3
pa11 = 0.84 pa2
1 = 0.78 pa31 = 0.75
pa12 = 0.77 pa2
2 = 0.83 pa32 = 0.87
pa13 = 0.85 pa2
3 = 0.79 pa33 = 0.79
pa14 = 0.77 pa2
4 = 0.77 pa34 = 0.9
pa15 = 0.77 pa2
5 = 0.88 pa35 = 0.9
pa16 = 0.72 pa2
6 = 0.82 pa36 = 0.64
pa17 = 0.84 pa2
7 = 0.82 pa37 = 0.83
pa18 = 0.74 pa2
8 = 0.69 pa38 = 0.68
5. Calculo del umbral de proximidad βl1 utilizado para seleccionar a nivel de cada
alternativa xl a los expertos mas alejados.
{βl1 = pal | pal =
∑mi=1 pal
i
m, l ∈ Xch}
pa 1 = 0.79 pa 2 = 0.8 pa 3 = 0.79
6. Calculo del umbral de proximidad βlk2 utilizado para seleccionar a nivel de pares
de alternativas los expertos mas alejados y por lo tanto los que deben cam-
biar sus preferencias. A partir de las matrices individuales de proximidad PMi,
se calculan la media aritmetica de la proximidad de cada par de alternativas
(xl, xk),
{βlk2 = pp lk | pplk =
∑mi=1 pplk
i
m, (l, k) ∈ P}
obteniendo los siguientes valores:
pp 12 = 0.83 pp 13 = 0.78 pp 14 = 0.76
pp 21 = 0.81 pp 23 = 0.82 pp 24 = 0.76
pp 31 = 0.82 pp 32 = 0.79 pp 34 = 0.62
pp 41 = 0.83 pp 42 = 0.86 pp 43 = 0.85
228 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
7. Definicion de los conjuntos de preferencias a cambiar por cada experto,
PREFECHAi = {(l, k) | l ∈ Xch ∧ (l, k) ∈ P ∧ pal
i < pa l ∧ pplki < pp lk}
obteniendo los conjuntos de preferencias:
PREFECHA1 = {(2, 4), (3, 1), (3, 2)}
PREFECHA2 = {(1, 3), (1, 4)}
PREFECHA3 = {(3, 2)}
PREFECHA4 = {(1, 3), (2, 4)}
PREFECHA5 = {(1, 4)}
PREFECHA6 = {(1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4)}
PREFECHA7 = {No debe cambiar ninguna preferencia}
PREFECHA8 = {(2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4)}
Observacion: En el modelo no adaptativo propuesto en el Capıtulo 3 se reco-
mienda en la segunda ronda realizar 28 cambios de preferencias, en cambio, ahora
el modelo propone realizar tan solo 17, produciendose una reduccion considerable
del numero de cambios.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 229
4. Generacion de recomendaciones
Aplicando las reglas de direccion el modelo de SAC Adaptativo recomienda
los siguientes cambios de direccion:
Segun la regla DR1, los expertos han de incrementar las valoraciones dadas a
las siguientes preferencias:
p321 = c1 → c2 p14
6 = c1 → c2
p132 = c0 → c1 p31
6 = c0 → c1
p323 = a2 → a3
Segun la regla DR2, los expertos han de decrementar las valoraciones dadas
a las siguientes preferencias:
p241 = c4 → c3 p13
6 = c3 → c2
p311 = c3 → c2 p34
6 = c4 → c3
p142 = c4 → c3 p24
8 = b5 → b4
p134 = b4 → b3 p31
8 = b6 → b5
p244 = b6 → b5 p32
8 = b5 → b4
p145 = b6 → b5 p34
8 = b5 → b4
4.3.3. Tercera ronda de consenso
1. Modificacion de las preferencias.
Los expertos modifican solo las preferencias recomendadas por el modelo man-
teniendo los valores de todas las demas:
230 4.3. Ejemplo de Aplicacion del Modelo de SAC Adaptativo
Pe1 =
− c1 c0 c2
c3 − c2 c3
c2 c2 − c1
c1 c2 c2 −
Pe2 =
− c1 c1 c3
c2 − c2 c1
c2 c3 − c1
c1 c3 c2 −
Pe3 =
− a2 a4 a3
a4 − a7 a4
a4 a3 − a2
a4 a4 a6 −
Pe4 =
− b1 b3 b5
b5 − b2 b5
b3 b3 − b2
b1 b2 b3 −
Pe5 =
− b3 b1 b5
b3 − b2 b2
b4 b4 − b2
b1 b4 b4 −
Pe6 =
− c1 c2 c2
c3 − c1 c1
c1 c3 − c3
c3 c3 c1 −
Pe8 =
− b5 b1 b3
b1 − b1 b4
b5 b4 − b4
b3 b2 b1 −
Con estos nuevos valores comenzara la tercera ronda.
2. Calculo de los grados de consenso y control del proceso de consenso
2.1 Calculo de los grado de consenso
1. Calculo de los valores centrales: No han cambiado respecto a los calculados en
la primera ronda.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 231
2. Matrices de similaridad:
Se calculan de nuevo las matrices de similaridad para cada par de expertos.
3. Matriz de consenso.
La matriz de consenso obtenida en la tercera ronda es:
CM =
− 0.77 0.8 0.77
0.73 − 0.73 0.73
0.82 0.8 − 0.76
0.77 0.8 0.78 −
4. Calculo de los grados de consenso. Se calcula el grado de consenso a nivel de
pares de alternativas, alternativas y relaciones de preferencia:
Level 1. Consenso sobre pares de alternativas, cplk.
cp12 = 0.77 cp13 = 0.8 cp14 = 0.77
cp21 = 0.73 cp23 = 0.73 cp24 = 0.73
cp31 = 0.82 cp32 = 0.8 cp34 = 0.76
cp41 = 0.77 cp42 = 0.8 cp43 = 0.78
Observacion: Comparando con la matriz de consenso obtenida en la ronda
anterior podemos comprobar como mejora o se mantiene el grado de consenso
en todos los pares de alternativas.
Level 2. Consenso sobre alternativas, cal. El grado de consenso al nivel de
alternativas es:
ca1 = 0.78 ca2 = 0.73 ca3 = 0.8 ca4 = 0.78
232 4.4. Resumen de los Resultados
Level 3. Consenso sobre las relaciones o consenso total, cr. El grado de con-
senso total en la tercera ronda es:
cr = 0.77
2.2 Control del proceso de consenso
El grado de consenso en la tercera ronda ha superado el umbral de consenso
que se fijo al inicio del proceso, cr = 0.77 > γ = 0.75. Por tanto el modelo de SAC
Adaptativo indica que se ha alcanzado el consenso buscado y pone fin al proceso
de busqueda del consenso.
4.4. Resumen de los Resultados
En la Tabla 4.6 aparecen los resultados mas significativos que describen el
comportamiento de ambos modelos en lo referente al numero de rondas, grado de
consenso alcanzado y numero de cambios realizados en cada ronda.
Como puede observarse a tenor de los resultados obtenidos, el modelo adap-
tativo consigue mejorar el ritmo de convergencia hacia el consenso al incrementar
en un 10% el grado de consenso entre la primera y segunda ronda, frente al 7%
que se obtiene en el modelo no adaptativo.
En lo que respecta al numero de cambios, tambien se produce una mejora signi-
ficativa reduciendo en un 39% (17 frente a 28) el numero de cambios de preferencia
en aquellas situaciones en las que se considera que el acuerdo esta proximo.
Finalmente indicar que con la propuesta del modelo de sistema de consenso
adaptativo se consigue alcanzar uno de los objetivos propuestos al inicio de esta
memoria, que consistıa en desarrollar un modelo capaz de optimizar el proceso de
busqueda de consenso.
4. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo 233
Modelo de SAC adaptativo Modelo de SAC no adaptativo
No Rondas 3 4
1a Ronda cr=0.634 cr=0.634cambios=56 cambios=36
2a Ronda cr=0.73 cr=0.703cambios=17 cambios=28
3a Ronda cr=0.77 cr=0.749cambios=6
4a Ronda cr=0.759
Tabla 4.6: Resultados obtenidos por ambos modelos
Conclusiones y Trabajos Futuros
A continuacion revisamos cuales han sido las principales propuestas y los resul-
tados obtenidos a lo largo de esta memoria. Finalizaremos presentando las lıneas
de investigacion y trabajos futuros que nos planteamos construir a partir de estos
resultados.
Propuestas y resultados obtenidos
Los procesos de consenso en la vida real implican la participacion de una
persona que realiza las funciones de moderador. Este se ha de encargar de evaluar
el grado de consenso alcanzado en cada una de las rondas que lo componen y
recomendar a los expertos como deben cambiar sus opiniones para aproximarlas.
En problemas de decision en los que los expertos tratan con informacion im-
precisa o intentan valorar aspectos de naturaleza cualitativa, es aconsejable que
utilicen un modelado de preferencias linguıstico para expresar sus opiniones. En
particular, en problemas de TDG puede ocurrir que cada experto utilice su pro-
pio conjunto de terminos linguısticos para expresar sus opiniones y que este sea
diferente al del resto de expertos.
Teniendo en cuenta estas circunstancias y los objetivos que nos planteamos al
principio de la memoria, hemos presentado dos propuestas de modelos de sistemas
235
236
de apoyo al consenso cuyos resultados pueden resumirse en los siguientes puntos:
1. Modelo de SAC para problemas de TDG definidos en contextos linguısti-
cos multigranulares.
El modelo propuesto consigue automatizar los procesos de consenso sustitu-
yendo la figura del moderador humano y realizando las operaciones que este
tiene asignadas.
Dentro de un contexto linguıstico multigranular, se han definido un conjun-
to de medidas y operadores para evaluar el nivel de acuerdo alcanzado a lo
largo del proceso de consenso. Al trabajar con informacion linguıstica multi-
granular, se ha utilizado una metodologıa apoyada en conjuntos difusos para
unificar la informacion linguıstica y poder operar con ella.
El modelo incorpora un Sistema de Recomendaciones Orientado basado en un
conjunto de reglas que permite identificar las preferencias mas discrepantes
y recomendar la direccion en la que los expertos han de modificarlas para
conseguir aproximarlas a las del resto de expertos y de este modo incrementar
el grado de consenso paulatinamente.
2. Modelo de Sistema de Apoyo al Consenso Adaptativo.
Los modelos de consenso presentes en la literatura que hemos revisado en el
Capıtulo 2 no abordan el problema de la optimizacion del proceso de consenso.
En esta memoria hemos propuesto un nuevo modelo adaptativo para optimizar
los procesos de consenso cuyos resultados han sido los siguientes:
Se han definido tres procedimientos para buscar las preferencias a cambiar.
Dependiendo del grado de consenso alcanzado en cada ronda, se ejecutara un
Conclusiones y Trabajos Futuros 237
procedimiento diferente, adaptando de esta forma su funcionamiento el mo-
delo al nivel de acuerdo existente.
En el modelo de SAC propuesto en el Capıtulo 3 se puso de relieve la exis-
tencia de varias excepciones relacionadas con el sistema de recomendaciones
orientado que podrıan hacer que el modelo no tuviese el comportamiento
esperado. En el modelo adaptativo se propone un nuevo sistema de recomen-
daciones que evita la aparicion de excepciones en su funcionamiento.
Comparando los resultados devueltos por ambos modelos, se puede compro-
bar como el modelo adaptativo optimiza el proceso de consenso mejorando
la velocidad de convergencia hacia el consenso y reduciendo el numero de
rondas a llevar a cabo para alcanzarlo.
En relacion a la difusion y publicacion de los resultados de nuestra investigacion
en este campo, destacaremos las siguientes publicaciones:
E. Herrera-Viedma, L. Martınez, F. Mata y F Chiclana. A Consensus Support
System Model for Group Decision-making Problems with Multi-granular Lin-
guistic Preference Relations. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 13, (2005),
pp. 644-658, [90].
E. Herrera-Viedma, F. Mata y L. Martınez. An Adaptive Module for the Con-
sensus Reaching Process in Group Decision Making Problems. Modeling De-
cisions for Artificial Intelligence, Lecture Notes in Computer Science (2005),
[92].
L. Martinez, L.G. Perez, M. Barranco y F. Mata. A Multi-granular Linguistic
238
Based-Content Recommender System Model. 10th International Conference on
Fuzzy Theory and Technology, Salt Lake City (Utah) USA, 2005, [121].
E. Herrera-Viedma, F. Mata, L. Martınez, F Chiclana y L.G. Perez. Measure-
ments of Consensus in Multi-granular Linguistic Group Decision Making. Mode-
ling Decisions for Artificial Intelligence, Lecture Notes in Artificial Intelligence
3131 (2004) pp.194-204, [91].
F. Mata, L. Martınez, E. Herrera-Viedma y F. Chiclana. Modelando el Consenso
en Problemas de Toma de Decisiones en Grupo con Informacion Linguıstica
Multi-Granular. XII Congreso Espanol sobre Tecnologıas y Logica Fuzzy. Jaen,
2004, pp. 461-466, [122].
F. Herrera, E. Herrera-Viedma, L. Martinez, F. Mata y P.J. Sanchez. A Multi-
Granular Linguistic Decision Model for Evaluating the Quality of Network Ser-
vices, en: Intelligent Sensory Evaluation: Methodologies and Applications, Ruan
Da, Zeng Xianyi (Eds.) Springer, pp. 71-92, 2004, [74].
Trabajos futuros
Consideramos que el consenso es un tema importante en el area de la Toma
de Decisiones en Grupo, habiendose convertido en una tecnica de decision apli-
cada no solo en el ambito empresarial sino tambien en otro tipo de ambientes
donde se llevan a cabo procesos de negociacion (laboral, polıtico, etc.). Teniendo
presente esto, nuestros trabajos futuros se encaminan en las siguientes lıneas de
investigacion:
Conclusiones y Trabajos Futuros 239
1. Si bien los modelos de sistemas de apoyo al consenso propuestos en esta memoria
han sido aplicados en problemas TDG definidos en contextos linguısticos mul-
tigranulares, es nuestra intencion modificarlos de forma que puedan extenderse
a problemas de TDG definidos en otros contextos que incluyan por ejemplo
valores numericos, intervalares, etc.
2. Profundizar en el estudio de tecnicas de busqueda de consenso e incorporarlas
al modelo. El proposito de esta lınea de investigacion es la de representar situa-
ciones que pueden darse en problemas del mundo real como puede ser el hecho
de considerar que las opiniones de unos expertos son mas relevantes que las de
otros (relevancia de preferencias), o en el caso de que alguno de los expertos
no siga las recomendaciones del sistema, tener la posibilidad de penalizar sus
opiniones o incluso excluirlo del proceso de consenso (sistema de penalizacion).
3. Disenar e implementar un sistema de apoyo al consenso en el entorno de una
Intranet que utilizando los servicios propios de la misma permita llevar a cabo
un proceso de consenso sin necesidad de que los expertos esten presentes en el
mismo lugar fısico y sin la intervencion de un moderador humano. El sistema
presentara un interface grafico que permita representar la evolucion del consenso
y visualizar la situacion de las preferencias de cada experto respecto al resto
con el proposito de que sirva de guıa al experto para modificar sus preferencias.
Este sistema se integrarıa como un modulo de consenso dentro de un Sistema
de Apoyo a la Toma de Decision (DSS) mas amplio y general.
Bibliografıa
[1] G.I. Adamopoulos and C.P. Pappis. A fuzzy linguistic approach to a mul-
ticriteria sequencing problem. European Journal of Operational Research,
92(3):628–636, 1996.
[2] C. Alcalde, A. Burusco, and R. Fuentes-Gonzalez. A constructive method
for the definition of interval-valued fuzzy implication operators. Fuzzy Sets
and Systems, 153(2):211–227, 2005.
[3] C. Alsina, E. Trillas, and L. Valverde. On some logical connectives for fuzzy
sets theory. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 93:15–26,
1983.
[4] R. Anthony. Planning and Control Systems: A Framework for Analisys.
Harvard Business School Division or Reseach Press, 1965.
[5] B. Arfi. Fuzzy decision making in politics: A linguistic fuzzy-set approach.
Political Analysis, 13(1):23–56, 2005.
[6] W. Armstrong. Uncertainity and utility function. Economics Journal, 58:1–
10, 1948.
[7] K.J. Arrow. Social Choice and Individual Values. Yale University Press,
1963.
241
242 BIBLIOGRAFIA
[8] K. Atanassov and G. Gargov. Interval valued intuitionistic fuzzy-sets. Fuzzy
Sets and Systems, 31(3):343–349, 1989.
[9] A. Basilevsky. Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences. Elsevier,
1983.
[10] G. Beliakov, R. Mesiar, and L. Valaskova. Fitting generated aggregation
operators to empirical data. International Journal of Uncertainty Fuzziness
and Knowledge-Based Systems, 12(2):219–236, 2004.
[11] G. Beliakov and J. Warren. Appropriate choice of aggregation operators
in fuzzy decision support systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,
9(6):773–784, 2001.
[12] R.E. Bellman and L. Zadeh. Decision making in a fuzzy enviroment. Ma-
nagement Science, 17(4):141–164, 1970.
[13] J.C. Bezdek, B. Spillman, and R. Spillman. A fuzzy relation space for group
decision theory. Fuzzy Sets and Systems, 1:255–278, 1978.
[14] P.P. Bonissone. Approximate Reasoning in Decision Analysis, chapter A
fuzzy sets based linguistic approach: Theory and applications, pages 329–
339. North-Holland Publishing Company, 1982.
[15] P.P. Bonissone and K.S. Decker. Selecting Uncertainty Calculi and Gra-
nularity: An Experiment in Trading-Off Precision and Complexity, pages
217–247. Uncertainty in Artificial Intelligence. North-Holland, 1986.
[16] G. Bordogna, M. Fedrizzi, and G. Pasi. A linguistic modeling of consensus
in group decision making based on OWA operators. IEEE Transactions on
BIBLIOGRAFIA 243
Systems, Man and Cybernetics, Part A: Systems and Humans, 27:126–132,
1997.
[17] G. Bordogna and G. Pasi. A fuzzy linguistic approach generalizing boolean
information retrieval: A model and its evaluation. Journal of the American
Society for Information Science, 44:70–82, 1993.
[18] P. Bosc, D. Kraft, and F. Petry. Fuzzy sets in database and information
systems: Status and opportunities. Fuzzy Sets and Systems, 3(156):418–426,
2005.
[19] D. Bouyssou, T. Marchant, M. Pirlot, P. Perny, and A. Tsoukia‘s. Evaluation
and Decision Models: A Critical Perspective. Kluwer Academic Publishers,
2000.
[20] N. Bryson. Group decision-making and the analytic hierarchy process: Ex-
ploring the consensus-relevant information content. Computers and Opera-
tional Research, 1(23):27–35, 1996.
[21] N. Bryson and A. Joseph. Generating consensus priority point vectors: a
logarithmic goal programming approach. Computers and Operational Re-
search, 6(26):637–643, 1999.
[22] Z. Bubnicki. Analysis and Decision Making in Uncertain Systems. Springer-
Verlag, 2004.
[23] T.X. Bui. A Group Decison Support System for Cooperative Multiple Cri-
teria Group Decison-Making. Springer-Verlag, 1987.
244 BIBLIOGRAFIA
[24] H. Bustince, E. Barrenechea, and V. Mohedano. Intuitionistic fuzzy implica-
tion operators: An expression and main properties. International Journal of
Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 12(3):387–406, 2004.
[25] H. Bustince and P. Burillo. Perturbation of intuitionistic fuzzy relations.
International Journal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Sys-
tems, 9(1):81–103, 2001.
[26] R. Caballero and G. M. Fernandez. Toma de Decisiones con Criterios Multi-
ples. Revista de Comunicaciones y Trabajos de ASEPUMA, 2002.
[27] T. Calvo, R. Mesiar, and RR. Yager. Quantitative weights and aggregation.
IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 12(1):62–69, 2004.
[28] E. Capurso and A. Tsoukias. Decision aiding and psychotherapy. Bulletin
of the EURO Working Group on MCDA, 2003.
[29] C. Carlsson, D. Ehrenberg, P. Eklund, M. Fedrizzi, P. Gustafsson, P. Lind-
holm, G. Merkuryeva, T. Riissanen, and A.G.S. Ventre. Consensus in distri-
buted soft environments. European Journal of Operational Research, 61:165–
185, 1992.
[30] C. Carlsson and R. Fuller. Benchmarking and linguistic importance weighted
aggregations. Fuzzy Sets and Systems, 114:35–41, 2000.
[31] C. Carlsson and R. Fuller. Fuzzy Reasoning in Decision Making and Opti-
mization. Springer-Verlag, 2001.
[32] C.T. Chen. Applying linguistic decision-making method to deal with service
quality evaluation problems. International Journal of Uncertainty, Fuzzi-
ness and Knowledge-Based Systems, 9(Suppl.):103–114, 2001.
BIBLIOGRAFIA 245
[33] S.J. Chen and C.L. Hwang. Fuzzy multiple attribute decision-making met-
hods and applications. Springer-Verlag, 1992.
[34] C-H. Cheng and Y. Lin. Evaluating the best main battle tank using fuzzy
decision theory with linguistic criteria evaluation. European Journal of Ope-
rational Research, 142:174–186, 2002.
[35] H. Chernoff. Elementary Decision Theory. Dover Publications, 1987.
[36] F. Chiclana, F. Herrera, and E. Herrera-Viedma. Integrating three repre-
sentation models in fuzzy multipurpose decision making based on fuzzy
preference relations. Fuzzy Sets and Systems, 97:33–48, 1998.
[37] F. Chiclana, F. Herrera, and E. Herrera-Viedma. Integrating multiplicative
preference relations in a multipurpose decision making model based on fuzzy
preference relations. Fuzzy Sets and Systems, 122:277–291, 2001.
[38] R.T. Clemen. Making Hard Decisions. An Introduction to Decision Analisys.
Duxbury Press, 1995.
[39] W. Cook and M. Kress. Ordinal ranking with intensity of preference. Ma-
nagement Science, 31:26–32, 1985.
[40] W. Cook and L. Seiford. Priory ranking and consensus formation. Mana-
gement Science, 24:1721–1732, 1978.
[41] C. Coombs and J. Smith. On the detection of structures in attitudes and
developmental processes. Psychological Reviews, 80(5):337–351, 1973.
[42] V. Cutello and J. Montero. Hierarchies of aggregation operators. Interna-
tional Journal of Intelligent Systems, 9(11):1025–1045, 1994.
246 BIBLIOGRAFIA
[43] V. Cutello and J. Montero. Hierarchies of intensity preference aggregations.
International Journal of Approximate Reasoning, 10(2):123–133, 1994.
[44] G. Debreu. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equili-
brium. John Wiley and Sons Inc., 1959.
[45] R. Degani and G. Bortolan. The problem of linguistic approximation in
clinical decision making. International Journal of Approximate Reasoning,
2:143–162, 1988.
[46] M. Delgado, F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and L. Martınez. Combinig
numerical and linguistic information in group decision making. Information
Sciences, 107:177–194, 1998.
[47] M. Delgado, J.L. Verdegay, and M.A Vila. Linguistic decision making mo-
dels. International Journal of Intelligent Systems, 7:479–492, 1992.
[48] M. Delgado, J.L. Verdegay, and M.A Vila. On aggregation operations of
linguistic labels. International Journal of Intelligent Systems, 8:351–370,
1993.
[49] M. Delgado, J.L. Verdegay, and M.A. Vila. A model for linguistic partial
information in decision making problem. International Journal of Intelligent
Systems, 9(5):365–378, 1994.
[50] L. Dombi. Fuzzy Logic and Soft Computing, chapter A General Frame-
work for the Utility-Based and Outranking Methods, pages 202–208. World
Scienti-fic, 1995.
[51] J. Doyle. Prospects for preferences. Computational Intelligence, 20(2):111–
136, 2004.
BIBLIOGRAFIA 247
[52] D. Dubois and H. Prade. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications.
Kluwer Academic, 1980.
[53] D. Dubois and H. Prade. A review of fuzzy set aggregation connectives.
Information Science, 36:85–121, 1985.
[54] D. Dubois and H. Prade. Weighted minimum and maximum operations in
fuzzy set theory. Information Science, 39:205–210, 1986.
[55] D. Dubois and H. Prade. Rough fuzzy-sets and fuzzy rough sets. Interna-
tional Journal of General Systems, 13(2-3):191–209, 1990.
[56] R. Duncan and H. Raiffa. Games and Decision. Introduction and Critical
Survey. Dover Publications, 1985.
[57] C. Edwards, J. Ward, and A. Bytheway. Fundamentos de Sistemas de In-
formacion. Prentice Hall, 1998.
[58] Real Academia Espanola. Diccionario de la Lengua Espanola. Vigesima
Segunda Edicion. Espasa, 2001.
[59] Z-P. Fan, J. Ma, and Q. Zhang. An approach to multiple attribute decision
making based on fuzzy preference information alternatives. Fuzzy Sets and
Systems, 131(1):101–106, 2002.
[60] Z.P Fan and X. Chen. Consensus measures and adjusting inconsistency of
linguistic preference relations in group decision making. Lecture Notes in
Artificial Intelligence, 3613:130–139, 2005.
[61] Z.P. Fan, S.H. Xiao, and G.F. Hu. An optimization method for integrating
two kinds of preference information in group decision-making. Computers
Industrial Engineering, 46(2):329–335, 2004.
248 BIBLIOGRAFIA
[62] M. Fedrizzi, M. Fedrizzi, and R.A. Marques Pereira. Soft consensus and
network dynamics in group decision making. International Journal of Inte-
lligent Systems, 14(1):63–77, 1999.
[63] M. Fedrizzi, J. Kacprzyk, and S. Zadrozny. An interactive multi-user deci-
sion support system for consensus reaching processes using fuzzy logic with
linguistic quantifiers. Decision Support System, (4):313–337, 1988.
[64] J. Fodor and M. Roubens. Fuzzy preference modelling and multicriteria
decision support. Kluwer Academic Publishers, 1994.
[65] P. Fortemps and R. Slowinski. A graded quadrivalent logic for ordinal pre-
ference modelling: Loyola-like approach. Fuzzy Optimization and Decision
Making, 1:93–111, 2002.
[66] RA. Gheorghe, A. Bufardi, and P. Xirouchakis. Fuzzy multicriteria decision
aid method for conceptual design. Cirp Annals-Manufacturing Technology,
54(1):151–154, 2005.
[67] L. Godo and V. Torra. On aggregation operators for ordinal qualitative
information. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 8(2):143–154, 2000.
[68] D. Gomez and J. Montero. A discussion on aggregation operators. Kyber-
netika, 40(1):107–120, 2004.
[69] S. Greco, B. Matarazzo, and R. Slowinski. Rough sets theory for multicrite-
ria decision analysis. European Journal of Operational Research, 129(1):1–
47, 2001.
[70] L. Hamer, Y. Hemeryck, G. Herweyers, M. Janssen, H. Keters, R. Rous-
seau, and A. Vanhoutte. Similarity measures in scientometric research: The
BIBLIOGRAFIA 249
jaccard index versus salton´s cosine formula. Information Processing and
Management, 25(3):315–318, 1989.
[71] F. Herrera and E. Herrera-Viedma. Choice functions and mechanisms for
linguistic preference relations. European Journal of Operational Research,
120:144–161, 2000.
[72] F. Herrera and E. Herrera-Viedma. Linguistic decision analysis: Steps for
solving decision problems under lingusitic information. Fuzzy Sets and Sys-
tems, 115:67–82, 2000.
[73] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and L. Martınez. A fusion aproach for
managing multi-granularity linguistic term sets in decision making. Fuzzy
Sets and Systems, 114:43–58, 2000.
[74] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, L. Martinez, F. Mata, and P.J. Sanchez.
Intelligent Sensory Evaluation: Methodologies and Applications, chapter A
Multi-Granular Linguistic Decision Model for Evaluating the Quality of Net-
work Services, pages 71–92. Springer, 2004.
[75] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and J.L. Verdegay. A sequential selection
process in group decision making with linguistic assessment. Information
Sciences, 85:223–239, 1995.
[76] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and J.L. Verdegay. Direct approach proces-
ses in group decision making using linguistic OWA operators. Fuzzy Sets
and Systems, 79:175–190, 1996.
250 BIBLIOGRAFIA
[77] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and J.L. Verdegay. A model of consensus in
group decision making under linguistic assessments. Fuzzy Sets and Systems,
79:73–87, 1996.
[78] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and J.L. Verdegay. Consensus Under Fuz-
ziness, chapter Consensus based on fuzzy coincidence for group decision
making in linguistic setting, pages 121–146. Kluwer Academic Publishers,
1997.
[79] F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and J.L Verdegay. A rational consensus mo-
del in group decision making linguistic assessments. Fuzzy Sets and Systems,
88:31–49, 1997.
[80] F. Herrera and L. Martınez. A selection method based on the 2-tuple lin-
guistic representation model for decision-making with multi-granularity lin-
guistic information. In Proceedings of the Eusflat-Estylf Joint Conference
99, pages 453–456, Palma de Mallorca (Spain), September 1999.
[81] F. Herrera and L. Martınez. A 2-tuple fuzzy linguistic representation model
for computing with words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 8(6):746–
752, 2000.
[82] F. Herrera and L. Martınez. The 2-tuple linguistic computational model.
Advantages of its linguistic description, accuracy and consistency. Inter-
national Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems,
9(Suppl.):33–49, 2001.
[83] F. Herrera and L. Martınez. A model based on linguistic 2-tuples for dea-
ling with multigranularity hierarchical linguistic contexts in multiexpert
BIBLIOGRAFIA 251
decision-making. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics.
Part B: Cybernetics, 31(2):227–234, 2001.
[84] F. Herrera, L. Martınez, E. Herrera-Viedma, and F. Chiclana. Fusion of
multigranular linguistic information based on the 2-tuple fuzzy linguistic
representation method. In Proceedings of Ninth International Conference
IPMU 2002, pages 1155–1162, Annecy (France), 2002.
[85] F. Herrera, L. Martinez, and P.J. Sanchez. Managing heterogeneous in-
formation in group decision making. In Proceedings Ninth International
Conference IPMU 2002, pages 439–446, Annecy (France), 2002.
[86] F. Herrera, L. Martınez, and P.J. Sanchez. Managing non-homogeneous
information in group decision making. European Journal of Operational
Research, 166(1):115–132, 2005.
[87] F. Herrera and J.L. Verdegay. Linguistic assessments in group decision.
In First European Congress on Fuzzy and Intelligent Technologies, pages
941–948, Aachen, 1993.
[88] E. Herrera-Viedma, O. Cordon, M.Luque, and A.N. Munoz A.G. Lopez. A
model of fuzzy linguistic irs based on multi-granular linguistic information.
International Journal of Approximate Reasoning, 34(3):221–239, 2003.
[89] E. Herrera-Viedma, F. Herrera, and F. Chiclana. A consensus model for mul-
tiperson decision making with different preference structures. IEEE Tran-
sactions on Systems, Man and Cybernetics-Part A: Systems and Humans,
32(3):394–402, 2002.
252 BIBLIOGRAFIA
[90] E. Herrera-Viedma, L. Martınez, F. Mata, and F. Chiclana. A consen-
sus support system model for group decision-making problems with multi-
granular linguistic preference relations. IEEE Transactions on Fuzzy Sys-
tems, 13(5):644–658, 2005.
[91] E. Herrera-Viedma, F. Mata, L. Martınez, F Chiclana, and L.G. Perez. Mea-
surements of consensus in multi-granular linguistic group decision making.
Lecture Notes in Artificial Intelligence, 3131:194–204, 2004.
[92] E. Herrera-Viedma, F. Mata, L. Martınez, and L.G. Perez. An adaptive mo-
dule for the consensus reaching process in group decision making problems.
Lecture Notes in Artificial Intelligence, 3558:89–98, 2005.
[93] H.Nurmi. Assumptions of Individual Preferences in the Theory of Voting
Procedures, pages 142–155. In: J. Kacprzyk and M. Roubens, Eds., Non con-
ventional Preference Relations in Decision Making. Springer-Verlag, 1988.
[94] U. Hohle. Mathematics of fuzzy sets. Kluwer Academic Publishers, 1998.
[95] M. Inuiguchi. Generalizations of rough sets: From crisp to fuzzy cases.
Lecture Notes in Artificial Intelligence, 3066:26–37, 2004.
[96] R. Jain. Tolerance analysis using fuzzy sets. International Journal Systems
Science, 12(7):1393–1401, 1976.
[97] A. Jimenez, S. Rıos-Insua, and A. Mateos. A decision support system for
multiattribute utility evaluation based on imprecise assignments. Decision
Support Systems, 36(1):65–79, 2003.
[98] J. Kacprzyk. Group decision making with a fuzzy linguistic majority. Fuzzy
Sets and Systems, 18:105–118, 1986.
BIBLIOGRAFIA 253
[99] J. Kacprzyk. The Analysis of Fuzzy Information, chapter On Some Fuzzy
Cores and “Soft” Consensus Measures in Group Decision Making, pages
119–130. In: J. Bezdek. (Ed.). CRC Press, 1987.
[100] J. Kacprzyk and M. Fedrizzi. A “soft” measure of consensus in the setting
of partial (fuzzy) preferences. European Journal of Operational Research,
34:316–325, 1988.
[101] J. Kacprzyk, M. Fedrizzi, and H.Nurmi. Group decision making and con-
sensus under fuzzy preferences and fuzzy majority. Fuzzy Sets and Systems,
49:21–31, 1992.
[102] J. Kacprzyk, M. Fedrizzi, and H.Nurmi. “Soft” degrees of consensus under
fuzzy preferences and fuzzy majorities. Kluwer Academic Publishers, 1997.
[103] D. Kahneman, P. Slovic, and A. Tversky. Judgement under uncertainty:
Heuristics and biases. Cambridge University Press, 1981.
[104] N.I. Karacapilidis and C.P. Pappis. A framework for group decision making
support systems: Combining ai tools and or thecniques. European Journal
of Operational Research, 103:373–388, 1997.
[105] R.L. Keeney and H. Raiffa. Decisions with Multiple Objetives: Prefereces
and Value Tradeoffs. Cambridge University Press, 1993.
[106] J.K. Kim, S.H. Choi, C.H. Han, and S.H. Kim. An interactive procedure
for multiple criteria group ddecision making with incomplete information.
Computers and Industrial Engineering, 35(1,2):295–298, 1998.
[107] S.H. Kim, S.H. Choi, and B.S. Ahn. Interactive group decision process with
evolutionary database. Decision Support Systems, 23:333–345, 1998.
254 BIBLIOGRAFIA
[108] S.H. Kim, S.H. Choi, and J.K. Kim. An interactive procedure for multiple
attribute group decision making with incomplete information: Range-based
approach. European Journal of Operational Research, 118:139–152, 1999.
[109] G.J. Klir and B. Yuan. Fuzzy sets an fuzzy logic: Theory and Applications.
Prentice-Hall PTR, 1995.
[110] L.I. Kuncheva. Five measures of consensus in group decision making using
fuzzy sets. In International Conference on Fuzzy Sets and Applications
IFSA-95, pages 141–144, 1991.
[111] L.I. Kuncheva and R. Krishnapuram. A fuzzy consensus aggregation ope-
rator. Fuzzy Sets and Systems, 79:347–356, 1996.
[112] S. Kundu. Min-transitivity of fuzzy leftness relationship and its application
to decision making. Fuzzy Sets and Systems, 86:357–367, 1997.
[113] H.M. Lee. Applying fuzzy sets theory for evaluating the rate of aggregative
risk in software development. Fuzzy Sets and Systems, 79:323–336, 1996.
[114] H.M. Lee. Generalization of the group decision making using fuzzy sets
theory for evaluating the rate of aggregate risk in software development.
Information Sciences, 113:301–311, 1999.
[115] H.S. Lee. On fuzzy preference relation in group decision making. Interna-
tional Journal of Computer Mathematics, 82(2):133–140, 2005.
[116] E. Levrat, A. Voisin, S. Bombardier, and J. Bremont. Subjective evaluation
of car seat comfort with fuzzy set techniques. International Journal of
Intelligent Systems, 12:891–913, 1997.
BIBLIOGRAFIA 255
[117] D. Li and J.B. Yang. A multiattribute decision making approach using
intuitionistic fuzzy sets. In Proceedings Eusflat 2003, pages 183–186, Zitau,
2003.
[118] R.D. Luce and P. Suppes. Handbook of Mathematical Psychology, chapter
Preferences, Utility and Subject Probability, pages 249–410. Wiley, 1965.
[119] G.H. Marakas. Decision support systems in the 21th century. 2nd edition.
Pearson, 2003.
[120] M. Marimin, M. Umano, I. Hatono, and H. Tamura. Linguistic labels for
expressing fuzzy preference relation in fuzzy group decision making. IEEE
Transaction on Systems, Man and Cybernetics, Part B: Cybernetics, 28:205–
218, 1998.
[121] L. Martinez, L.G. Perez, M. Barranco, and F. Mata. A multi-granular
linguistic based-content recommender system model. In 10th International
Conference on Fuzzy Theory and Technology, Salt Lake City (Utah) USA,
2005.
[122] F. Mata, L. Martınez, , E. Herrera-Viedma, and F. Chiclana. Modelando
el consenso en problemas de toma de decisiones en grupo con informacion
linguıstica multi-granular. In Actas Del XII Congreso Espanol sobre Tecno-
logıas y Logica Fuzzy, Estylf 2004, Jaen, Septiembre 2004.
[123] L. Mich, L. Gaio, and M. Fedrizzi. On fuzzy logic-based consensus in group
decision. In Fifth International Fuzzy Systems Association World, pages
698–700, Seoul, 1993.
256 BIBLIOGRAFIA
[124] G.A. Miller. The magical number seven plus or minus two: Some limits
on our capacity of processing information. Psychological Review, 63:81–97,
1956.
[125] M. Mizumoto. Pictorial representations of fuzzy connectives, part i: Cases t-
norms, t-conorms and averaging operators. Fuzzy Sets and Systems, 31:217–
242, 1989.
[126] M. Mizumoto. Pictorial representations of fuzzy connectives, part ii: Cases
of compensatory operators and self-dual operators. Fuzzy Sets and Systems,
32:45–79, 1989.
[127] J. Montero. Arrow’s theorem under fuzzy rationality. Behavioural Science,
32:267–273, 1987.
[128] J. Montero. Social welfare functions in a fuzzy environment. Kybernetes,
16:241–245, 1987.
[129] J.N. Morderson and P.S. Nair. Fuzzy mathematics. Physica-Verlag, 1998.
[130] S.A. Orlovsky. Decision-making with a fuzzy preference relation. Fuzzy Sets
Systems, 1:155–167, 1978.
[131] M. Ozturk, A. Tsoukias, and Ph. Vincke. Preference Modelling, pages 27–72.
In: State of the Art in Multiple Criteria Decsioin Analysis, M. Ehrgott, S.
Greco and J. Figueira (Ed.). Wiley Series on Intelligent Systems. Springer-
Verlag, 2005.
[132] W. Pedrycz. Fuzzy modeling: Paradigms and practice. Kluwer Academic,
1996.
BIBLIOGRAFIA 257
[133] W. Pedrycz and F. Gomide. An introduction to fuzzy sets: Analysis and
Design (Complex Adaptive Systems). Bradford Book, 1998.
[134] P. Perny and A. Tsoukias. On the continuous extension of a four Valued
logic for preference modelling. pages 302–309, Paris, 1998. IPMU.
[135] M.H. Rasmy, S.M. Lee, W.F. Abd El-Wahed, A.M. Ragab, and M.M. El-
Sherbiny. An expert system for multiobjective decision making: Application
of fuzzy linguistic preferences and goal programming. Fuzzy Sets and Sys-
tems, 127:209–220, 2002.
[136] S. Rios, C. Bielza, and A. Mateos. Fundamentos de los Sistemas de Ayuda
a la Decision. Ra-Ma, 2002.
[137] C. Romero. Teorıa de la Decision Multicriterio: Conceptos, Tecnicas, Apli-
caciones. Alianza Universidad, 1993.
[138] M. Roubens. Some properties of choice functions based on valued binary
relations. European Journal of Operational Research, 40:309–321, 1989.
[139] M. Roubens. Fuzzy sets and decision analysis. Fuzzy Sets and Systems,
90:199–206, 1997.
[140] M. Roubens and Ph. Vincke. Preference modelling. Springer-Verlag, 1985.
[141] Th. L. Saaty. Exploring the interface between hierarchies, multiple objecti-
ves and fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 1:57–68, 1978.
[142] Th. L. Saaty. Fundamentals of Decision Making and Priority Theory with
the Analytic Hierarchy Proces. RSW Publications, 1994.
258 BIBLIOGRAFIA
[143] S. Saint and J. R. Lawson. Rules for Reaching Consensus. A Modern Ap-
proach to Decision Making. Jossey-Bass, 1994.
[144] M. Salles. Handbook of Utility Theory, chapter Fuzzy Utility. Kluwer Aca-
demic Publishers, 1998.
[145] A.K. Sen. Social choice theory: A re-examination. Econometrica, 45:53–89,
1977.
[146] F. Seo and M. Sakawa. Fuzzy multiattribute utility analysis for collective
choice. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 15:45–53,
1985.
[147] E. Szmidt and J. Kacprzyk. A consensus reaching process under intuitionis-
tic fuzzy preference relations. International Journal of Intelligent System,
18(7):837–852, 2003.
[148] T. Tanino. Fuzzy preference orderings in group decision making. Fuzzy Sets
and Systems, 12:117–131, 1984.
[149] T. Tanino. On Group Decision Making Under Fuzzy Preferences, pages 172–
185. in: J. Kacprzyk and M. Fedrizzi, Eds., Multiperson Decision Making
Using Fuzzy Sets and Possibility Theory. Kluwer Academic Publishers, 1990.
[150] J.F. Le Teno and B. Mareschal. An interval version of PROMETHEE for
the comparison of building products’design with ill-defined data on envi-
ronmental quality. European Journal of Operational Research, 109:522–529,
1998.
BIBLIOGRAFIA 259
[151] M. Tong and P.P. Bonissone. A linguistic approach to decision making with
fuzzy sets. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 10:716–
723, 1980.
[152] M. Tong and P.P. Bonissone. Linguistic solution to fuzzy decision problems.
Studies in the Management Science, 20:323–334, 1984.
[153] V. Torra. Negation function based semantics for ordered linguistic labels.
International Journal of Intelligent Systems, 11:975–988, 1996.
[154] V. Torra. Linguistic aggregation in non-unified domains. In EUROFUSE-
SIC 99, pages 188–193, Budapest, 1999.
[155] V. Torra. Aggregation of linguistic labels when semantics is based on an-
tonyms. International Journal of Intelligent Systems, 16:513–524, 2001.
[156] V. Torra and U. Cortes. Towards an automatic consensus generator tool:
Egac. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics, 25(5):888–894,
1995.
[157] E. Triantaphyllou. Multi-Criteria Decision Making Methods: A comparative
Study. Kluwer Academic Publishers, 2000.
[158] Z.S. Xu. A method based on linguistic aggregation operators for group
decision making with linguistic preference relations. Information Science,
166:19–30, 2004.
[159] Z.S. Xu. Uncertain linguistic aggregation operators based approach to multi-
ple attribute group decision making under uncertain linguistic environment.
Information Sciences, 168:171–184, 2004.
260 BIBLIOGRAFIA
[160] R.R. Yager. Quantifiers in the formulation of multiple objective decision
functions. Information Science, 131:107–139, 1983.
[161] R.R. Yager. On ordered weighted averaging aggregation operators in multi-
criteria decision making. IEEE Transactions on Systems, Man and Cyber-
netics, 18:183–190, 1988.
[162] R.R. Yager. Aggregation operators and fuzzy system modelling. Fuzzy Sets
and Systems, 67:129–145, 1993.
[163] R.R. Yager. On weighted median aggregation. International Journal of
Uncertainty, Fuzzines and Knowledge-Based Systems, 2:101–113, 1994.
[164] R.R. Yager. An approach to ordinal decision making. International Journal
of Approximate Reasoning, 12:237–261, 1995.
[165] R.R. Yager. Consensus Under Fuzziness, chapter Protocol for Negotiations
among Multiple Intelligent Agents, pages 165–174. Kluwer Academic Pu-
blishers, 1997.
[166] R.R. Yager. Fusion of ordinal information using weighted median aggrega-
tion. International Journal of Approximate Reasoning, 18:32–35, 1998.
[167] R.R. Yager and D.P. Filev. Parametrized “andlike” and “orlike” owa ope-
rators. International Journal of General Systems, 22:297–316, 1994.
[168] A. Yazici and R. George. Fuzzy Database Modeling. Phisyca-Verlag, 1999.
[169] C.Y. Yue, S.B Yao, and P. Zhang. Rough approximation of a preference
relation for stochastic multi-attribute decision problems. Lecture Notes in
Artificial Intelligence, 3613:1242–1245, 2005.
BIBLIOGRAFIA 261
[170] L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965.
[171] L.A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its applications to
approximate reasoning. Information Sciences, Part I, II, III, 8,8,9:199–
249,301–357,43–80, 1975.
[172] L.A. Zadeh. A computational approach to fuzzy quantifiers in natural lan-
guages. Computers and Mathematics with Applications, 9(1):149–184, 1983.
[173] L.A. Zadeh. Fuzzy logic = computing with words. IEEE Transactions on
Fuzzy Systems, 4(2):103–111, 1996.
[174] L.A. Zadeh. Toward a theory of fuzzy information granulation and its cen-
trality in human reasoning and fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems, 90:111–
127, 1997.
[175] S. Zadrozny. Computer based consensus reaching support employing the
elements of fuzzy logic. Ph.D. Thesis, IBS PAN, Warszawa, Polish, 1993.
[176] S. Zadrozny. Consensus under fuzziness, chapter An approach to the consen-
sus reaching support in fuzzy environment, pages 83–109. Kluwer Academic
Publishers, 1997.
[177] Q. Zhang, J.C.H. Chen, and P.P. Chong. Decision consolidation: Criteria
weight determination using multiple preference formats. Decision Support
Systems, 38(2):247–258, 2004.
[178] H.J. Zimmermann. Fuzzy sets, decision making and expert systems. Kluwer
Academic, 1987.
[179] H.J. Zimmermann. Fuzzy sets: Theory and its applications. Kluwer Acade-
mic, 1996.
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