Anaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464

Investigación De Operaciones I

Martínez Solis Luis Ignacio

08 Otoño

P a c h u c a D e S o t o A 2 2 D e O c t u b r e 2 0 0 9

1. Problema Con El Método Simplex. 2. Problema Con El Método De La Gran M. 3. Problema Con El Método De Doble Fase.

PROBLEMARIO Unidad II

1. Problema Con El Método Simplex.

Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 dólares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Sean las variables de decisión:

X1= Numero de bicicletas de paseo vendidas.

X2= Numero de bicicletas de montaña vendidas.

Tabla de material empleado:

Acero Aluminio Paseo 1 Kg. 3 Kg. Montaña 2 Kg. 2 Kg.

Max F (X)= 200 X1 + 150 X2

Sujeto A:

1X1 + 2X2≤80

3X1 + 2X2≤120

X1.X2≥0

Estandarizado:

Max F (X) -200 X1 - 150 X2=0

Sujeto A:

1X1 + 2X2 +h1=80

3X1 + 2X2+h2=120

X1.X2,h1,h2≥0

2. Problema Con El Método De La Gran M.

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg de vitamina B-1

(tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto periodo de

tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el

paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca A Marca B Requerimientos mínimos

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg

B-1 10 mg 15 mg 2100 mg

B-2 5 mg 15 mg 1500 mg

Costo 0.06 0.08

Problema Original

Min f(x) = 6x1 + 8x2

sujeta a: 40x1 + 10x2 ≥ 2400

10x1 + 15x2 ≥ 2100

5x1 + 15x2 ≥ 1500

x1, x2 ≥ 0

Problema Estandarizado

Min f(x) = 6x1 + 8x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3

sujeta a: 40x1 + 10x2 - h1 + a1 = 2400

10x1 + 15x2 - h2 + a2 = 2100

5x1 + 15x2 - h3 + a3 = 1500

x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0

Igualar a cero la función objetivo

f(x) - 6x1 - 8x2 - Ma1 - Ma2 - Ma3 = 0 M=100

Solución Optima

f(x) 1140

x1 30

h3 450

x2 120

3. Problema Con El Método De Doble Fase.

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada uno de los tres metales. la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. sabiendo que el costo diario de la operación es de $2,000 en cada mina. ¿Cuántos días deben trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

Mina A Mina B Cantidad

Hierro 1 2 80

Bronce 3 2 160

Cobre 5 2 200

X1= Producción por tonelada en la mina A

X2= Producción por tonelada en la mina B

Problema Original

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3

sujeta a: x1 + 2x2 ≥ 80

3x1 + 2x2 ≥ 160

5x1 + 2x2 ≥ 200

x1, x2 ≥ 0

Problema Estandarizado

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0

sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80

3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160

5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200

x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0

Fase I Se hace el tableau y se itera con el método Simplex

Se hace cero los coeficientes de las variables básicas por el método gaussiano.

Se procede a iterar con el método Simplex

A qui termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solución

del renglón objetivo.

Fase II

Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los

de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el renglón objetivo.

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0

Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución

f(x) 1 -2000 -2000 0 0 0 0

x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20

x2 0 0 0 1 -2 1 40

h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40

Se hacen cero las variables no básicas.

Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución

f(x) 1 0 0 -500 -500 0 120000

x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20

x2 0 0 0 1 -2 1 40

h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40

Así queda la solución optima ya que no hay ninguna variable no básica mas positiva en el renglón objetivo.

Solución

f(x) 120000

x1 20

x2 40

h3 40