Método Simplex

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Anaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464 Investigación De Operaciones I Martínez Solis Luis Ignacio Pachuca De Soto A 22 De Octubre 2009 1. Problema Con El Método Simplex. 2. Problema Con El Método De La Gran M. 3. Problema Con El Método De Doble Fase. PROBLEMARIO Unidad II

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Anaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464

Investigación De Operaciones I

Martínez Solis Luis Ignacio

08 Otoño

P a c h u c a D e S o t o A 2 2 D e O c t u b r e 2 0 0 9

1. Problema Con El Método Simplex. 2. Problema Con El Método De La Gran M. 3. Problema Con El Método De Doble Fase.

PROBLEMARIO Unidad II

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1. Problema Con El Método Simplex.

Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 dólares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Sean las variables de decisión:

X1= Numero de bicicletas de paseo vendidas.

X2= Numero de bicicletas de montaña vendidas.

Tabla de material empleado:

Acero Aluminio Paseo 1 Kg. 3 Kg. Montaña 2 Kg. 2 Kg.

Max F (X)= 200 X1 + 150 X2

Sujeto A:

1X1 + 2X2≤80

3X1 + 2X2≤120

X1.X2≥0

Estandarizado:

Max F (X) -200 X1 - 150 X2=0

Sujeto A:

1X1 + 2X2 +h1=80

3X1 + 2X2+h2=120

X1.X2,h1,h2≥0

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2. Problema Con El Método De La Gran M.

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg de vitamina B-1

(tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto periodo de

tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el

paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca A Marca B Requerimientos mínimos

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg

B-1 10 mg 15 mg 2100 mg

B-2 5 mg 15 mg 1500 mg

Costo 0.06 0.08

Problema Original

Min f(x) = 6x1 + 8x2

sujeta a: 40x1 + 10x2 ≥ 2400

10x1 + 15x2 ≥ 2100

5x1 + 15x2 ≥ 1500

x1, x2 ≥ 0

Problema Estandarizado

Min f(x) = 6x1 + 8x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3

sujeta a: 40x1 + 10x2 - h1 + a1 = 2400

10x1 + 15x2 - h2 + a2 = 2100

5x1 + 15x2 - h3 + a3 = 1500

x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0

Igualar a cero la función objetivo

f(x) - 6x1 - 8x2 - Ma1 - Ma2 - Ma3 = 0 M=100

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Solución Optima

f(x) 1140

x1 30

h3 450

x2 120

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3. Problema Con El Método De Doble Fase.

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada uno de los tres metales. la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. sabiendo que el costo diario de la operación es de $2,000 en cada mina. ¿Cuántos días deben trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

Mina A Mina B Cantidad

Hierro 1 2 80

Bronce 3 2 160

Cobre 5 2 200

X1= Producción por tonelada en la mina A

X2= Producción por tonelada en la mina B

Problema Original

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3

sujeta a: x1 + 2x2 ≥ 80

3x1 + 2x2 ≥ 160

5x1 + 2x2 ≥ 200

x1, x2 ≥ 0

Problema Estandarizado

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0

sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80

3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160

5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200

x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0

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Fase I Se hace el tableau y se itera con el método Simplex

Se hace cero los coeficientes de las variables básicas por el método gaussiano.

Se procede a iterar con el método Simplex

A qui termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solución

del renglón objetivo.

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Fase II

Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los

de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el renglón objetivo.

Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0

Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución

f(x) 1 -2000 -2000 0 0 0 0

x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20

x2 0 0 0 1 -2 1 40

h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40

Se hacen cero las variables no básicas.

Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución

f(x) 1 0 0 -500 -500 0 120000

x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20

x2 0 0 0 1 -2 1 40

h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40

Así queda la solución optima ya que no hay ninguna variable no básica mas positiva en el renglón objetivo.

Solución

f(x) 120000

x1 20

x2 40

h3 40