Método Simplex
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Anaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464
Investigación De Operaciones I
Martínez Solis Luis Ignacio
08 Otoño
P a c h u c a D e S o t o A 2 2 D e O c t u b r e 2 0 0 9
1. Problema Con El Método Simplex. 2. Problema Con El Método De La Gran M. 3. Problema Con El Método De Doble Fase.
PROBLEMARIO Unidad II
1. Problema Con El Método Simplex.
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 dólares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Sean las variables de decisión:
X1= Numero de bicicletas de paseo vendidas.
X2= Numero de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
Acero Aluminio Paseo 1 Kg. 3 Kg. Montaña 2 Kg. 2 Kg.
Max F (X)= 200 X1 + 150 X2
Sujeto A:
1X1 + 2X2≤80
3X1 + 2X2≤120
X1.X2≥0
Estandarizado:
Max F (X) -200 X1 - 150 X2=0
Sujeto A:
1X1 + 2X2 +h1=80
3X1 + 2X2+h2=120
X1.X2,h1,h2≥0
2. Problema Con El Método De La Gran M.
Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg de vitamina B-1
(tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto periodo de
tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el
paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
Marca A Marca B Requerimientos mínimos
Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
B-1 10 mg 15 mg 2100 mg
B-2 5 mg 15 mg 1500 mg
Costo 0.06 0.08
Problema Original
Min f(x) = 6x1 + 8x2
sujeta a: 40x1 + 10x2 ≥ 2400
10x1 + 15x2 ≥ 2100
5x1 + 15x2 ≥ 1500
x1, x2 ≥ 0
Problema Estandarizado
Min f(x) = 6x1 + 8x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3
sujeta a: 40x1 + 10x2 - h1 + a1 = 2400
10x1 + 15x2 - h2 + a2 = 2100
5x1 + 15x2 - h3 + a3 = 1500
x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0
Igualar a cero la función objetivo
f(x) - 6x1 - 8x2 - Ma1 - Ma2 - Ma3 = 0 M=100
Solución Optima
f(x) 1140
x1 30
h3 450
x2 120
3. Problema Con El Método De Doble Fase.
Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada uno de los tres metales. la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. sabiendo que el costo diario de la operación es de $2,000 en cada mina. ¿Cuántos días deben trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?
Mina A Mina B Cantidad
Hierro 1 2 80
Bronce 3 2 160
Cobre 5 2 200
X1= Producción por tonelada en la mina A
X2= Producción por tonelada en la mina B
Problema Original
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3
sujeta a: x1 + 2x2 ≥ 80
3x1 + 2x2 ≥ 160
5x1 + 2x2 ≥ 200
x1, x2 ≥ 0
Problema Estandarizado
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0
sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80
3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160
5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200
x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0
Fase I Se hace el tableau y se itera con el método Simplex
Se hace cero los coeficientes de las variables básicas por el método gaussiano.
Se procede a iterar con el método Simplex
A qui termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solución
del renglón objetivo.
Fase II
Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los
de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el renglón objetivo.
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0
Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución
f(x) 1 -2000 -2000 0 0 0 0
x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20
x2 0 0 0 1 -2 1 40
h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40
Se hacen cero las variables no básicas.
Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución
f(x) 1 0 0 -500 -500 0 120000
x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20
x2 0 0 0 1 -2 1 40
h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40
Así queda la solución optima ya que no hay ninguna variable no básica mas positiva en el renglón objetivo.
Solución
f(x) 120000
x1 20
x2 40
h3 40