7/26/2019 MdeWeierstrass
http://slidepdf.com/reader/full/mdeweierstrass 1/3
Universidad Autonoma de ChiapasFacultad en Ciencias Fısicas y Matematicas
Maestrıa en Ciencias Fısicas
Metodos Matematicos I
Parcial 3
Nombres: Leonardi H. S. y Noribeth F. G. Calificacion:
Antes de demostrar la Prueba M de Weierstrass, utilizaremos los resultados delos Teoremas siguientes.
1. TEOREMA (CRITERIO DE CAUCHY PARA CONVERGENCIA)Suponiendo que {Z n} es una secuencia de numeros complejos para n ∈N.Entonces {Z n} converge si y solo si, para cualquier ε > 0 existe un n ∈Ztal que | Z n − Z m |< ε para todo m, n ∈Z tal que m,n > N .
Cualquier secuencia que satisface el criterio de Cauchy es conocida como
una secuencia de Cauchy. El teorema anterior muestra tambi en que todasecuencia convergente es de Cauchy, y que cada secuencia de Cauchy esconvergente.
COROLARIO 1Si {Z n} es una secuencia que converge a Z , y N se elige tal que | Z n − Z m |<ε para todo m, n ∈Z tal que m,n > N . Entonces para cada n > N , | Z n − Z m |≤ε.
COROLARIO 2La serie
∞k=0 ak converge si y solo si para cualquier ε > 0 existe una N tal
que |∞k=0 ak |< ε para todo m, n ∈Z tal que m > n > N .
2. TEOREMA (CONVERGENCIA ABSOLUTA)Si∞
k=1 | ak | converge, entonces∞
k=1 ak converge. En otras palabras, unaserie absolutamente convergente es convergente.
Una serie ∞
k=1 ak (z ) se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos, es decir
∞k=1 | ak(z ) |, converge.
3. TEOREMA (PRUEBA POR COMPARACION)Si Σ | bk | converge y | ak | ≤ | bk |, entonces Σ | ak | converge absoluta-mente.
4. TEOREMA (CRITERIO DEL COCIENTE)Si lımk→∞ | ak+1
ak|= L, Entonces Σak converge (absolutamente) si L < 1 y
diverge si L > 1. Si L = 1, la prueba falla.
5. DESIGUALDAD DEL TRIANGULOSean z 1 y z 2 numeros complejos, entonces se cumple que: | z 1 + z 2 |≤| z 1 |+ | z 2 |
1
7/26/2019 MdeWeierstrass
http://slidepdf.com/reader/full/mdeweierstrass 2/3
Universidad Autonoma de ChiapasFacultad en Ciencias Fısicas y Matematicas
Maestrıa en Ciencias Fısicas
PRUEBA M DE WEIERSTRASSSuponiendo que {f k} es una secuencia de funciones de valores reales o comple- jos en algun conjunto E . Ademas, suponiendo que
∞k=0 M k es una serie con-
vergente, donde M k son terminos reales no-negativos. Si | f k (z ) |≤ M k para todok mayor que algun numero N y para todo z en algun conjunto E , entonces sededuce que la serie
∞k=0 f k(z ) converge uniformemente en E.
DEMOSTRACION 1:Partiendo de que
∞k=0 M k es Cauchy, podemos elegir un numero M > N talq
ue para cualquier m y n que satisface m > n > M obtenemos quem
k=n+1 M k <ε. Entonces notamos que para z en el conjunto E, nuestra serie
∞k=0 f k (z ) es
tambien Cauchy, ya que, por la desigualdad del triangulo resulta
|m
k=n+1
f k(z ) |≤m
k=n+1
| f k(z ) |≤m
k=n+1
M k < ε
por tantom
k=n+1 f k (z ) converge para toda z ∈ E. Digamos quem
k=n+1 f k(z ) con-verge a la funcion F (z ) .
Ahora, queremos mostrar quem
k=n+1 f k(z ) converge uniformemente a F (z ).Notar que podemos reescribir la anterior desigualdad en sumas parciales
|m
k=0
f k(z ) −n
k=0
f k(z ) |< ε
para todo z ∈ E donde m > n > N . Entonces aplicando el primer Corolario delCriterio de Cauchy , vemos que
| F (z ) −n
k=0
f k (z ) |≤ ε
para z ∈ E, y donde m > n > N . Por lo tanto, la convergencia uniforme esdemostrada.
Notemos que, si nos fijamos en la Prueba de Comparacion vemos que se trata de un caso especial de la Prueba M de Weierstrass, donde f k (z ) es sim-
plemente una funci on constante.
DEMOSTRACION 2:El residuo de la serie Σf k (z ) despues de n terminos es Rk(z ) = f k+1(z ) + f k+2(z ) +· · · . Ahora
| Rn(z ) |=| f k+1(z ) + f k+2(z ) + · · · | ≤ | f k+1(z ) + f k+2(z ) | + · · ·≤ M n+1 + M n+2 + · · ·
donde en el segundo paso hemos usado la Desigualdad del Triangulo, ademasM k+1 + M k+2 + · · · se puede hacer menor que ε eligiendo n > N , puesto que ΣM kconverge. Ya que N es claramente independiente de z , tenemos | Rk(z ) |< ε paran > N , y la serie es uniformemente convergente. Podemos ademas demostrarla convergencia absoluta, la cual se deduce inmediantamente de la Prueba por
Comparacion.
2
7/26/2019 MdeWeierstrass
http://slidepdf.com/reader/full/mdeweierstrass 3/3
Universidad Autonoma de ChiapasFacultad en Ciencias Fısicas y Matematicas
Maestrıa en Ciencias Fısicas
Nota: Llamamos Rk (z ) = f k+1(z ) + f k+2(z ) + · · · = S(z ) − Sk(z ) el residuo de la serie infinita
∞k=1 f k (z ) despu´ es de n t erminos, se puede decir equivalente-
mente que la serie es uniformemente convergente a S(z ) en E si dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un n ´ umero N tal que para todo z en E, | Rn(z ) |=|S(z ) − Sn(z ) |< ε, para todo n > N .
Ejemplo 1:Mostrar que la funcion exponencial f (z ) = ez es uniformemente convergenteen cualquier conjunto acotado S ⊂C.
Dem: Escribimos ez como la serie∞
k=0z k
k! .Ahora vamos a demostrar que esta serie es uniformemente convergente en al-
guno disco D de radio r centrado en el origen. Para demostrar esto debemosencontrar algun M k tal que | z k
k! |≤ M k para toda z ∈ D.
Tomando que | z k |≤| z |k , y que | z |∈ R. Entonces | z |≤ r ∈ R y siguiendo que
| z k
k! |≤ |z |k
k! < r k
k! . Notamos que Rk
k! ∈ R, ası que ahora M k = r k
k! .
Para poder aplicar la prueba M de Weierstrass debemos demostrar que la serie∞k=0 M k converge.
Usando el criterio del cociente , notemos que
lımk
→∞
M k+1
M k= lım
k
→∞
r k+1
(k+1)!
r k
k!
= lımk
→∞
r
k + 1 = 0
⇒ ∞k=0 M k converge. Entonces por la prueba M de Weierstrass notamos que∞
k=0z k
k! es uniformemente convergente en algun disco D de radio r centradoen el origen.
Ejemplo 2: Probar la convergencia uniforme en la region indicada:
(a)
∞
k=1
z k
k√
k + 1, | z |≤ 1; (b)
∞
k=1
1
k2 + z 2, 1 <| z |< 2.
(a) Si f k (z ) = z k
k√
k+1, entonces | f k(z ) |= |z |k
k√
k+1≤ 1
k3 / 2 si | z |≤ 1. Llamando M k =
1k3 / 2 , vemos que ΣM k converge (una serie p con p = 3
2 ). Por esto, el criterio M de
Weierstrass da la convergencia uniforme (y absoluta) para
|z
|≤1.
(b) La serie dada es 112+z 2
+ 122+z 2
+ 132+z 2
+ · · · . Los primeros dos terminos sepueden omitir sin afectar la convergencia uniforme de la serie. Para k ≤ 3 y1 <| z |< 2, tenemos
| k2 + z 2 |≥| k2 | − | z 2 |≥ n2 − 4 ≥ n2 o | 1
k2 + z 2 |≤ 2
k2
Puesto que∞
k=32
k2 converge, se deduce del criterio M de Weierstrass (con M n =
2 /k 2) que la serie dada converge uniformemente (y absolutamente) para 1 <|z |< 2.
Observe que la convergencia, y de este modo la convergencia uniforme, nose tiene si | z |= 1 o | z |= 2 (simplemente en z = ±i y z ± 2i). Por esto la serie nopuede converger uniformemente para 1
≤|z |≤
2.
3