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Contenidos
I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Lineal
Programacin EnteraProgramacin No- lineal
III. Modelos ProbabilsticosProcesos Estocsticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
GestindeInvestigacindeOperaciones
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I. Introduccin a la Investigacin deOperaciones
I.1. Introduccin.
El principal objetivo de esta rea de conocimientosconsiste en formular y resolver diversos problemas
orientados a la toma de decisiones.
La naturaleza de los problemas abordados puedeser determinstica, como en los Modelos deProgramacin Matemtica, donde la teora deprobabilidades no es necesaria, o bien deproblemas donde la presencia de incertidumbretiene un rol preponderante, como en los ModelosProbabilsticos.
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ii) La funcin objetivo del problema, que permitatener un criterio para decidir entre todas lassoluciones factibles. En el ejemplo, maximizar lautilidad dada por:
z = f(x,y) = 15x + 20y
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I. Introduccin a la Investigacin deOperaciones
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En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y 8
x + 2y 6x,y 0
El ejemplo corresponde a un modelo deProgramacin Lineal. Si adems restringimos losvalores de x e y a nmeros enteros, tendramos un
modelo de Programacin Entera. Por otra parte, sihubiese retornos crecientes a escala, deberamosemplear una funcin objetivo no lineal como f(x,y) =cxa + dybcona,b >1, y tendramos un modelo deProgramacin No Lineal.
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I. Introduccin a la Investigacin deOperaciones
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BIBLIOGRFIA EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES
1. Introduccin a la Investigacin de Operaciones, F.S.Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edicin, 1997.2. Investigacin de Operaciones, una introduccin, H.A.
Taha, Prentice Hall, Mxico, Sexta Edicin, 1998.3.Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillierand G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999.
4. Model Operations Research: A practical Introduction.M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000.
5. Practical Management Science: Spreadsheet Modelingand Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M.,International Thomson Publishing Company, 1997.
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I. Introduccin a la Investigacin deOperaciones
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Contenidos
I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Lineal
Programacin EnteraProgramacin No- lineal
III. Modelos ProbabilsticosProcesos Estocsticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
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II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
Temario:
II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolucin grfica de problemas.II.3. Anlisis de Sensibilidad.
II.4. El Mtodo Simplex.
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
i) Problema de Transporte. El problema consisteen decidir cuntas unidades trasladar desde ciertospuntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertospuntos de destino (centros de distribucin,ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos detransporte, dada la oferta y demanda en dichos
puntos.Se suponen conocidos los costos unitarios detransporte, los requerimientos de demanda y laoferta disponible.
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InvestigacindeOperaciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Por ejemplo, suponga que una empresa posee dosplantas que elaboran un determinado producto encantidades de 250 y 450 unidades diarias,respectivamente. Dichas unidades deben sertrasladadas a tres centros de distribucin condemandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,
respectivamente. Los costos de transporte (en$/unidad) son:
Gestinde
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C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3
Planta 1 21 25 15
Planta 2 28 13 19
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Diagrama:
Gestinde
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Planta 1
Planta 2
C.D.2
C.D.1
C.D.3
X11
X12
X21 X22
X13
X23
Orgenes Destinos
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
xij = Unidades transportadas desde la planta i(i=1,2), hasta el centro de distribucin j (j=1,2,3)
Funcin Objetivo:
Minimizar el costo total de transporte dado por lafuncin:
21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23Gestinde
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Programacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
1) No Negatividad: xij 0
2) Demanda:
CD1 :x11 +x21 = 200CD2 : x12 +x22 = 200CD3 : x13 + x23 = 250
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
ii) Problema de la dieta: este consiste en
determinar una dieta de manera eficiente, a partirde un conjunto dado de alimentos, de modo desatisfacer ciertos requerimientos nutricionales.
Supongamos que se tiene la siguiente informacin:
Gestinde
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aciones
Leche(galon)
Legumbre(1 porcin)
Naranjas(unidad)
RequerimientosNutricionales
Niacina 3,2 4,9 0,8 13
Tianina 1,12 1,3 0,19 15
Vitamina C 32 0 93 45
Costo 2 0,2 0,25
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
x1 : galones de leche utilizados en la dieta.x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.
x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.
Funcin Objetivo:
Minimizar el costo total de la dieta, dado por:
2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3Gestinde
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Programacin Lineal
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
Requerimientos mnimos de los nutrientesconsiderados:
3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 13
1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 1532 x1+ + 9 x3 45
x1 0 ; x2 0 ; x3 0Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este
consiste en hallar una poltica ptima de produccinpara satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo,de modo de minimizar costos de produccin einventario, considerando la disponibilidad dediversos recursos escasos.
Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta150 unidades en cada uno de los 4 periodos en quese ha subdividido el horizonte de planificacin y setiene adicionalmente la siguiente informacin:G
estinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
xt : nmero de unidades elaboradas en el periodo t.
It : nmero de unidades de inventario al final delperiodo t.
Funcin objetivo:Consiste en minimizar los costos de produccin y elcosto de mantenimiento de inventario.
6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Notar que en el ptimo I4 va a ser 0, as que incluso
podramos no incluirla, pero de todos modos laconsideramos.
Restricciones del problema:
1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidadde produccin.
xt 150Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
2) Restricciones de no negatividad
xt 03) Restricciones de demanda
x1 + I0 I1 = 130 Periodo 1 I0=15
x2 + I1 I2 = 80 Periodo 2
x3 + I2 I3 = 125 Periodo 3
x4 + I3 I4 = 195 Periodo 4Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
iv) Problema de planificacin financiera:
Supongamos que un banco dispone de $250millones para destinar a 4 tipo de crditos ofrecidos,los cuales tienen las siguientes, tasas de crdito:
Primer crdito corriente :12%
Segundo crdito corriente :16%
Crdito para el hogar :16%
Crdito personal :10%Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
La asignacin de estos crditos, debe satisfacer lasiguiente poltica utilizada por la institucin:
El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,el 55% del monto asignado a los crditoscorrientes, y al menos un 25% del total del dineroprestado.
El SCC, no puede exceder el 30% del total deldinero prestado, por polticas tributarias el intersrecibido por el banco no debe exceder a un retornodel 14% sobre el capital prestado.
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Cunto asignar a cada tipo de crdito, de la
manera ms eficiente, respetando la poltica delbanco?
Variables de decisin:
x1 :Monto asignado al PCC.
x2 : Monto asignado SCC.
x3 : Monto asignado al crdito para el hogar.
x4 : Monto asignado al crdito personal.Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin Objetivo:
Se propone maximizar los retornos recibidos en laasignacin, dados por:
0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
x1 0.55 ( x1 + x2 )x1 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
x2 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )
Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4 250Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
v) Problema de mezcla de productos: en este
problema una refinera produce 4 tipos de gasolina(gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos caractersticasimportantes de cada gasolina son su nmero deperformance (NP) y su presin de vapor (RVP), queestn dados por:
Gestinde
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aciones
NP RVP Barriles diarios
gas 1 107 5 3814
gas 2 93 8 2666
gas 3 87 4 4016
gas 4 108 21 1300
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente
a un precio de $2483 por barril o bien mezcladaspara obtener gasolinas de aviacin (avgas A yavgas B). La calidad de estas dos ltimas junto consus precios de venta son:
Gestinde
InvestigacindeOper
aciones
NP RV Precio por barril (US$)
avgas A Al menos 100 A lo ms 7 26,45
Avgas B Al menos 91 A lo ms 6 25,91
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los
respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas.
Se desea obtener un plan de venta de las distintasgasolinas que maximice los retornos.
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
xj: cantidad de barriles del gas j que son vendidossin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.
xA : cantidad de barriles de avgas A.
xB : cantidad de barriles de avgas B.xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.
xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin objetivo:
Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xBRestricciones: x1 + x1A + x1B = 3814
x2 + x2A + x2B = 2666
x3 + x3A + x3B = 4016x4 + x4A + x4B = 1300
x1A + x2A + x3A + x4A = xA
x1B + x2B + x3B + x4B = xBGestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
NP, avgas A:
NP, avgas B:
RVP, avgas A:
RVP, avgas B:Gestinde
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aciones
100
x
x108x87x93x107
A
A4A3A2A1
91x
x108x87x93x107
B
B4B3B2B1
7x
x21x4x8x5
A
A4A3A2A1
7
x
x21x4x8x5
B
B4B3B2B1
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
vi) Problema de expansin de la capacidad de
un Sistema de Potencia Elctrica:En este problema se desea planificar laexpansin de la capacidad de un sistemaelctrico para los siguientes T aos. La demanda
(estimada) para el ao t corresponde a dt MW parat = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistemacorresponde a ct MW para el ao t = 1, 2, ..., T.
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Existen 2 alternativas para la expansin de la
capacidad del sistema: Usar plantas trmicas a petrleo.
Usar plantas trmicas a gas.
Se requiere una inversin pt por MW instalado deuna planta a petrleo que est operativa alcomienzo del ao t, y el correspondiente costo parauna planta a gas es gt.
Gestinde
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Por razones polticas y de seguridad, se ha
decidido que no ms del 30% de la capacidadinstalada, corresponda a plantas a gas (nuevas).
Cada planta a petrleo tiene una vida de 20 aos yuna planta a gas una vida de 15 aos.
Se desea proponer un plan de expansin al mnimocosto posible.
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
xt : cantidad de MW expandidos en planta apetrleo al inicio del ao t, con t = 1, 2, ..., T.
yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas alinicio del ao t, con t = 1, 2, ..., T.
zt : cantidad total de MW disponible en plantasnuevas a petrleo al inicio del ao t.
wt : cantidad total de MW disponible en plantasnuevas a gas al inicio del ao t.
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin Objetivo:
Restricciones:
Gestinde
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aciones
T
1ttttt ygxpMin
20txz
20txz
dwzc
t
19tk
kt
t
1kkt
tttt
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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Gestinde
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aciones
0w,z,y,x
T...1t30,0wzc
w
15tyw
15tyw
tttt
ttt
t
t
14tkkt
t
1kkt
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Temario:
II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolucin grfica de problemas.
II.3. Anlisis de Sensibilidad.
II.4. El Mtodo Simplex.
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
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II.2. Resolucin grfica de problemas.
Consideremos el siguiente problema a resolvergrficamente:
Max z = 3x1 + 5x2sa: x1 4
2x2 123x1 + 2x2 18x1,x2 0
Gestinde
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II.2. Resolucin grfica de problemas.
Gestinde
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Curvas de Nivel
Regin de puntos factibles
9
6
2
4
4 6
x2
x1
x*
x* Solucin Optima
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II.2. Resolucin grfica de problemas.
En primer lugar, se debe obtener la regin depuntos factibles en el plano, obtenida por medio de
la interseccin de todos los semi - espacios quedeterminan cada una de las inecuacionespresentes en las restricciones del problema.
Gestinde
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II.2. Resolucin grfica de problemas.
Enseguida, con el desplazamiento de las curvas denivel de la funcin objetivo en la direccin de
crecimiento de la funcin (que corresponde a ladireccin del vector gradiente de la funcin,
z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la solucin ptima delproblema en la interseccin de las rectas: 2x2 = 12
y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es:
x1* = 2 x2* = 6z* = 3 x1* + 5 x2* = 36G
estinde
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II.2. Resolucin grfica de problemas.
Notar que se pueden dar otras situaciones en labsqueda de una solucin ptima para esta clase
de problemas:1) La solucin ptima exista pero haya msde una. En el ejemplo, considere la nuevafuncin objetivo: z = 6x1+4x2.2) El problema no tenga solucin, dada una regin
de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo,reemplace cada desigualdad por una .3) El problema no tenga solucin, porque noexisten puntos factibles. En el ejemplo, suponga
que agregamos la restriccin: x1 5.Gestinde
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
Gestinde
InvestigacindeOperaciones
3
4
64
y20x15Max
8y2x2:sa
8y2x0y,x
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
1) Cul es el intervalo de variacin de algn
coeficiente de la funcin objetivo, de modo que laactual solucin siga siendo la ptima?
Sea z = c1x1+c2x2
La solucin ptima de la nueva funcin, seguir
siendo: x1*= 2 ; x2*= 2 ssi:
Gestinde
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2
1
c
c1
2
1
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
II M d l d P i M t ti
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
Tambin podemos estudiar el intervalo de un slocoeficiente, dejando el resto de los parmetros fijos:
Para C1:
Para C2:
Gestinde
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20c102
1
20
c1 1
1
30c152
1
c
151 2
2
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
2) Cul es la variacin del actual valor ptimo dela funcin objetivo, si cambamos en una unidadalgn coeficiente del lado derecho de lasrestricciones ?
Estudiaremos por separado las variaciones de cada
uno de los coeficientes del lado derecho de lasrestricciones, de modo preservar la geometra delproblema, esto es, que se conserven las mismasrestricciones activas de la solucin ptima inicial.
Gestinde
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
Primera restriccin.
La mayor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en x1 = 0 y x2 = 4, de donde se obtiene:
z(0,4) = 15 x 0 + 20 x 4 = 80 y b1* = 0 + 2 x 4 = 8
La menor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en: x1 = 4 ; x2 = 0, de donde se obtiene:
z(4,0) = 15 x 4 + 20 x 0 = 60 y b1 = 4 + 2 x 0 = 4Gestinde
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s II M d l d P i M t ti
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
De aqu, se calcula el precio sombra 1, queindica la razn o tasa de cambio de la funcinobjetivo con respecto al cambio en una unidad dellado derecho:
Gestinde
InvestigacindeOperaciones
548
6080
bb
)0,4(z)4,0(z
1
*
1
1
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
s II M d l d P i M t ti
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
Segunda restriccin.
La mayor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en x1 = 6 y x2 = 0, de donde se obtiene:
z(0,4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12
La menor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en: x1= 0 ; x2= 3, de donde se obtiene:
z(4,0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b1= 2 x 0 + 2 x 3 = 6Gestinde
Investigac
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Programacin Lineal
s II M d l d P i M t ti
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II.3. Anlisis de sensibilidad.
De aqu, se calcula el precio sombra P2, queindica la razn o tasa de cambio de la funcinobjetivo con respecto al cambio en una unidad dellado derecho:
Gestinde
Investigac
indeOperaciones
5612
6090
bb
)3,0(z)0,6(z
2
*
2
2
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
s II Modelos de Programacin Matemtica
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Temario:
II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolucin grfica de problemas.
II.3. Anlisis de Sensibilidad.
II.4. El Mtodo Simplex.
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestinde
Investigac
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Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
En lo que sigue consideremos el siguienteproblema de programacin lineal en su forma
estndar.
Min c1x1 + c2x2 + ... + cnxnsa a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
xi 0, i = 1, 2, ..., n y m nGestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
Matricialmente escrito como:
Min cTxsa Ax = b
x 0
No existe prdida de la generalidad al suponer queun problema viene dado en la forma estndar. Enefecto, si tuvisemos el siguiente problema:
Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
P) Max 9u + 2v + 5zsa 4u + 3v + 6z 50
u + 2v + 3z 82u 4v + z = 5u,v 0
z IR
Es posible reformular de manera equivalente elproblema anterior usando que:
Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
1) Siempre es posible llevar un problema demaximizacin a uno de minimizacin. Si f(x) es la
funcin objetivo a maximizar y x* es la solucinptima:
f(x*) f(x), x factible
- f(x*) - f(x), x factible
x* es tambin mnimo de- f(x)Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
2) Cada restriccin del tipo puede ser llevada auna ecuacin de igualdad usando una (nueva)
variable de holgurano negativa, con un coeficientenulo en la funcin objetivo.
3) De igual modo, cada restriccin del tipo puedeser llevada a una ecuacin de igualdad usando una
variable de exceso no negativa.
4) Siempre es posible escribir una variable libre designo como la diferencia de dos variables no
negativas.Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
En resumen el problema P) puede ser escrito demanera equivalente como:
Min - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6sa: 4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 + x5 =50
x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4 - x6 = 8
2x1 - 4x2 + x3 - x4 = 5
xi 0, i=1,2,3,4,5,6.Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
Con u = x1v = x2
z = x3 - x4s1 = x5 (HOLGURA)s2 = x6 (EXCESO)
La bsqueda de la solucin ptima se restringe aencontrar un vrtice ptimo y cada vrtice delconjunto de las restricciones del problema, llamadoregin de puntos factibles, corresponde a unasolucin bsica factible del sistema Ax = b.
Gestinde
Investigac
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Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Esta solucin bsica factible, corresponde a su veza aquellas soluciones que resultan de resolver el
sistema para exactamente m variables, fijando lasrestantes n-m en cero, llamadas respectivamentevariables bsicas y no-bsicas, que adems debensatisfacer condiciones de no-negatividad.
Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
Teorema Fundamental de la Programacin Lineal:
Si un problema tiene solucin ptima, tiene unasolucin bsica factible ptima.
Dada una matriz B de m x m invertible, esta induce
una particin de las variables y parmetros delmodelo como lo muestra la siguiente diapositiva.
Gestinde
Investigac
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II.4. El Mtodo Simplex.
Gestinde
Investigac
indeOperaciones
B D
A = m
n
m n-m
B : es llamada una matriz de base
mn
m
D
B
mn
m
D
B
n
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
x
xB
:variables bsicas.
xD :variables no bsicas.
cB :costos bsicos.
cD :costos no bsicos.
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II.4. El Mtodo Simplex.
Criterio de Optimalidad:
Gestinde
Investigac
indeOperaciones
DB1T
DTD
1TB
DTDB
11TB
DDDBTBT
xxDBccbBc
xcxDBbBc
xcxcxc
valor actualde la
funcin obj.
vector decostos
reducidos.
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
La ecuacin que define cada uno de los costosreducidos es:
Donde j es el ndice de variable no-bsica y Aj larespectiva columna en A de esa variable.
La actual solucin bsica factible es ptima ssirj j,existe una variable no bsica xp con costoreducido negativo, que entra a la nueva base.
Gestinde
Investigac
indeOperaciones
j1T
Bjj ABccr
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Para decidir quin deja la base, es necesariocalcular el mayor valor que puede tomar la variable
entrante que garantiza la factibilidad de la nuevasolucin bsica, con:
y se debe calcular:
Gestinde
Investigac
indeOperacione
pm
p2
p1
j1
0m
02
01
1
y
y
y
AB
x
x
y
bB
baseladejax0y/y
yMin
y
ykip
ip
0i
kp
0k
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Ejemplo.
Resolver el siguiente problema de P.L.
Max 40x + 60ysa: 2x + y 70
x + y 40x + 3y 90x,y 0
Gestinde
Investigac
indeOperacione
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II.4. El Mtodo Simplex.
Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 , x2 ,x3 var.bsicas), y llevar a forma estndar (x4 = x yx5 = y).
Min -40x4 60x5
sa: x1 + 2x4 + x5 = 70
x2 + x4 + x5 = 40
x3 + x4 + 3x5 = 90
xi 0, i = 1, 2, 3, 4, 5Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
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es II. Modelos de Programacin Matemtica
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II.4. El Mtodo Simplex.
Tabla inicial:
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x51 0 0 2 1 70
0 1 0 1 1 40
0 0 1 1 3 90
0 0 0 -40 -60 0
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II.4. El Mtodo Simplex.
Usamos como variable entrante a la base x5(puesr5
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II.4. El Mtodo Simplex.
Actualizando, queda la siguiente tabla (no ptima),donde la variable entrante a la base es x4 (pues
r4
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II.4. El Mtodo Simplex.
Actualizando, queda la siguiente tabla final:
Como todos los costos reducidos son mayores oiguales que cero nos encontramos en la solucinptima.G
estinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x51 -5/2 0 0 15
0 -1/3 -1/2 1 0 15
0 1/3 0 1 25
0 20 10 0 0 2100
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
z* = - 40 x 15 - 60 x 25 = - 2100
En la formulacin inicial, tenemos como solucinptima x*=15, y *=25, con valor ptimo 2.100.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
0
0
x
x
x2515
15
xx
x
x 3
2
D
5
4
1
B
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Resumen del Mtodo Simplex:
Paso 0 : Escribir el problema de programacinlineal en su forma estndar.Paso 1 : Escoger una solucin bsica factibleinicial.
Paso 2 : Escoger una variable no - bsica concosto reducido negativo que determina la variableentrante y seguir al paso tres. Sin embargo, si todoslos costos reducidos son mayores que cero , parar,ya que la actual solucin es la ptima.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad quedetermina que variable deja la base. Si todos los
cuocientes son negativos: problema no - acotado,parar.
Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar elvalor de las nuevas variables bsicas, los costosreducidos y el valor de la funcin objetivo. Volver alPaso 2.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
No siempre es fcil obtener una solucin bsicafactible inicial, en las variables originales del
modelo. Para conseguir esto existen variosprocedimientos como son:
Mtodo Simplex de dos fases. Mtodo de la M grande.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Fase 1: Se considera un problema auxiliar queresulta de agregar tantas variables auxiliares a lasrestricciones del problema, de modo de obtener unasolucin bsica factible. Resolver por Simplex un
nuevo problema que considera como funcinobjetivo la suma de las variables auxiliares. Si elvalor ptimo es cero ir a la Fase 2. En casocontrario, no existe solucin factible.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Fase 2: Resolver por Simplex el problema original apartir de la solucin bsica factible hallada en laFase1.
Ejemplo: Max 2x1
+ x2sa: 10x1 + 10x2 9
10x1 + 5x2 1x1,x2 0
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
gProgramacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Se debe agregar una variable de holgura (x3) y unavariable de exceso (x4), y llevarlo a su formaestndar.
Min -2x1 - x2sa: 10x1 + 10x2 +x3 =9
10x1 + 5x2 - x4 = 1x1,x2, x3, x4 0
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Aplicamos Simplex de dos Fases :
Fase 1: Min x5sa: 10x1 + 10x2 +x3 =9
10x1 + 5x2 - x4 + x5 = 1x1,x2, x3, x4, x5 0
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Quedando la siguiente tabla:
donde:
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
0 0 0 0 1 0
0
0
0
x
x
x
x1
9
x
xx
4
2
1
D
5
3
B
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Luego se hace cero el costo reducido de la variablex5 de la tabla anterior, y queda la siguiente tablainicial.
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
-10 -5 0 1 0 -1
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
La variable entrante a la base es x1( pues r1 < 0).
Calculamos Min { 9/10, 1/10}= 1/10, por lo tantosale x5.G
estinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
-10 -5 0 1 0 -1
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Obtenindose la siguiente tabla final:
Gestinde
Investigac
indeOpe
racione
x1 x2 x3 x4 x50 5 1 1 -1 8
1 0 -1/10 1/10 1/10
0 0 0 0 1 0
0
0
0
x
x
x
x8
10/1
x
xx
5
4
2
D
3
1
B
Programacin Lineal
es II. Modelos de Programacin Matemtica
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Donde, al anterior, corresponde a la solucinptima del problema en la Fase 1, con valor ptimo0. De aqu entonces tomamos x1 y x3 comovariables bsicas.
Fase 2:
Gestinde
Investigac
indeOpe
racion
x1 x2 x3 x40 5 1 1 8
1 0 -1/10 1/10
-2 -1 0 0 0
Programacin Lineal
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
En la tabla hacemos 0 los costos reducidos devariables bsicas
Luego la variable entrante a la base es x4 (puesr4
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Quedando:
donde la solucin ptima del problema resulta ser:
Gestinde
Investigac
indeOpe
racion
x1 x2 x3 x40 5 1 1 8
1 1 0 1/10 9/10
0 1 1/5 0 9/5
0
0
x
xx
8
10/9
x
xx
3
2
D
4
1
B
Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
Algunos casos especiales
1) Problema Infactible. Esta situacin se detectacuando el valor ptimo del problema de la Fase 1
da mayor que cero.2) Mltiples soluciones ptimas. Esta situacinse detecta cuando existen costos reducidos igualesa cero en una o ms de las variables bsicasptimas.G
estinde
Investigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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P i Li l
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II.4. El Mtodo Simplex.
Mtodo Simplex de dos Fases.
3) Problema no acotado. Esta situacin se detectacuando al realizar el clculo de la variable que dejala base, todos los elementos ykj de la columna j enla tabla, son negativos para j el ndice de una
variable no bsica con costo reducido negativo.
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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P i Li l
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Temario:
II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolucin grfica de problemas.
II.3. Anlisis de Sensibilidad.
II.4. El Mtodo Simplex.
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
P i Li l
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98/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Consideremos un ejemplo de produccin de 2productos finales que hacen uso de tres recursos
escasos (mquinas), cuyas disponibilidades enhoras corresponden a los lados derechos de lasrestricciones.
P) Max 40x1 + 60x2
sa: 2x1+2x2 70x1 + x2 40x1 + 3x2 90x1, x2 0G
estindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
P i Li l
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99/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
La solucin ptima y el valor ptimo del problemaP) esta dada por:
x1* = 5x2* = 25
z = v(p) = 2100
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
P i Li l
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100/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
En lo que sigue, combinaremos las distintasrestricciones del problema, ponderando por los
valores 1, 2 y 3 cada una, respectivamente, demodo de obtener la mejor cota superior del valorptimo del problema P). Vale decir:
1(2x1+2x2) + 2(x1+x2) + 3(x1+3x2) 70 1 +40 2 + 90 3
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
P i Li l
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101/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Para garantizar que el lado derecho de esta ltimadesigualdad sea una cota superior de la funcin
objetivo se debe cumplir que :
2 1 + 2 + 3 402 1 + 2 + 3 3 60
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Lineal
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102/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
La mejor eleccin de esta cota se obtendra alresolver:
D) Min 70 1 + 40 2 + 90 3sa: 2 1 + 2 + 3 40
2 1 + 2 + 3 3 60
1, 2, 3 0
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
nes II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Este problema se conoce como el problema Dual
D) asociado al problema Primal P).
Tambin resulta que al formular el problema dualde D) se obtiene el problema primal (o unoequivalente).
Cualquiera de los dos entrega la misma informaciny el valor ptimo alcanzado es el mismo.
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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Programacin Lineal
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104/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Ms generalmente, si el problema primal es:
P)
GestindeInvestigac
indeOpe
racion
m,...,2,1j0x
n,...,2,1ibxa:sa
xcMax
j
n
1jijij
n
1jjj
Programacin Lineal
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Programacin Lineal
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105/368
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
su dual resulta el problema:
D)
GestindeInvestigac
indeOpe
racion
m,...,2,1i0
n,...,2,1jca:sa
bMin
i
m
1ijiij
m
1iii
Programacin Lineal
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Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Lo que se puede expresar en forma matricial como:
P) Max cTxsa: Ax b
x 0
D) Min bT sa: AT c
0GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Si el problema primal corresponde a:
P) Max -cTx
sa: Ax bx 0
Su dual resulta ser:
D) Min -bT sa: AT c
0Es decir, el dual del dual es el problema primal
GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Teorema de dualidad dbil:
Si x IRn
, es una solucin factible del problemaprimal P) y IRm, una solucin factible delproblema dual D), entonces:
En particular, si ambas soluciones son los ptimosde sus respectivos problemas, sus valores ptimoscumplen que :
v(P) v(D)GestindeInvestigac
indeOpe
racion
Tn
1j
m
1iiijj
T bbxcxc
Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Teorema de dualidad fuerte:
Si x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T
, es una solucin ptimaproblema primal P), entonces el problema dual D)tiene solucin ptima * = ( 1*, 2*, ..., m*)T quesatisface:
Adems:
i)Si P) es no-acotado entonces D) es infactible.
ii)Si D) es no-acotado entonces P) es infactible.GestindeInvestigac
indeOpe
racion
)D(vb*b*xc*xc)P(v Tn
1j
m
1iiijj
T
Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Ejemplo: P) Min 3x1 + 4x2 + 5x3sa: x1+ 2x2 + 3x3 5
2x1 + 2x2 + x3 6x1, x2, x3 0
D) Max 5 1 + 6 2
sa: 1 + 2 2 32 1 + 2 2 43 1 + 2 5
1, 2 0GestindeInvestigac
indeOpe
racion Programacin Lineal
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Resolvemos D) por Simplex, en su forma estndar:
Luego la variable entrante a la base es 2 (puesr2
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Luego la variable entrante a la base es 1 (puesr2
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Sol. ptima de D):
1* = 1; 2* = 1; v(D) = 11
Sol. ptima de P):
x1* = 1; x2* = 2; x3* = 0; v(P) = 11GestindeInvestigacindeOpe
racio
1 2 3 4 50 1 1 -1/2 0 1
1 0 -1 1 0 1
0 0 2 -5/2 1 1
0 0 1 2 0 11 0
0x
1
1
1
x
4
3
D
5
2
1
B
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La idea de este mtodo consiste en resolver dealguna manera el problema dual asociado a P) enla tabla y variables del problema primal P), segnveremos en su aplicacin a un problema primal(ejercicio anterior).
Min 3x1 + 4x2 + 5x3sa: x1+ 2x2 + 3x3 5
2x1 + 2x2 + x3 6x1, x2, x3 0G
estindeInvestigacindeOpe
racio
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
Min 3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5sa: x1 + 2x2 + 3x3 - x4 5 x(-1)
2x1 + 2x2 + x3 - x5 6 x(-1)x1, x2, x3, x4, x5 0
GestindeInvestigacindeOpe
racio
x1 x2 x3 x4 x5-1 -2 -3 1 0 -5
-2 -2 -1 0 1 -6
3 4 5 0 0 0
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
En la tabla anterior se toman dos variables deexceso x4 y x5 , y se multiplica por un nmeronegativo con la finalidad de encontrar la matrizidentidad IRn, adems es necesaria la condicin deque los costos reducidos de la tabla sean mayores
que cero ( lo que en este caso se cumple).
GestindeInvestigacindeOpe
racio
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
En la tabla anterior se escoge, usando el ladoderecho, alguna variable con valor negativo.
Escogemos x5 , variable que dejar la base.Enseguida , se obtiene la variable entrante
calculando:Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2.
De donde resulta que x1 entra a la base.GestindeInvestigacindeOpe
racio
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La tabla posee an un lado derecho negativo(costos reducidos negativos del problema dual), porlo cual no es factible en P).
GestindeInvestigacindeOpe
racio
x5x4x3x2x1-2-1/21-5/2-10
1
1
0
1
-93/207/2
3-1/201/2
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
x4 (=-2) deja la base, luego calculamos :
Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por loque x2 entra a la base.
GestindeInvestigacindeOpe
racio
x1 x2 x3 x4 x50 1 5/2 -1 2
1 0 -2 1 -1 1
0 0 1 1 1 -11
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La tabla posee lados derechos no-negativos (costosreducidos positivos del problema dual) y tambinlos costos reducidos de las variables no bsicas x3,x4 y x5son no-negativos , por lo que tenemos unasolucin factible en P) que es la solucin ptima delproblema.
GestindeInvestigacindeOpe
racio
11)P(v
0
2
1
x
x
x
x
3
2
1
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
1) Qu ocurre con las actuales variables bsicassi se cambia algn coeficiente del lado derecho (b)?
Si calculamos: y se cumple:
Las mismas variables bsicas lo son tambin de lanueva solucin ptima, calculada con el nuevo .
Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar elMtodo Simplex Dual.
GestindeInvestigacindeOpe
racio
bBx 1B
b
0xB
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
2) Qu ocurre con la actual solucin ptima si seagrega una nueva variable al problema ?
Para decidir si la actual solucin bsica es ptimapara el nuevo problema, calculamos el costoreducido de la nueva variable mediante la formula:
GestindeInvestigacindeOpe
racio
k1T
Bkk ABccr
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
donde k es el ndice de la nueva variable y Ak surespectiva columna en la matriz de coeficientes. Si
se cumple que rk 0 se conserva la actual solucinptima. En caso contrario, se sigue con el Simplex.
GestindeInvestigacindeOpe
racio
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
3) Que ocurre con la actual solucin ptima delproblema P) si se cambian los coeficientes que
definen la funcin objetivo ?
Supongamos que el vector de coeficientes en lafuncin objetivo cambia a un vector
La actual solucin ptima tambin lo es paracon:
GestindeInvestigacindeOpe
racio
nIRc
P
0x
bAx:sa
xcMin)PT
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Siempre que los nuevos costos reducidos seanmayores o iguales a cero (notar que tambincambia el valor de la funcin objetivo en la actual
solucin ptima). Es decir se debe cumplir que:
En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de latabla final de P) con los nuevos costos reducidos ynuevo valor de la actual solucin bsica.
GestindeInvestigacindeOpe
racio
j0ABccr
ementeequivalento0DBccr
j1T
Bjj
1TBDD
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Veamos los cambios que tienen lugar cuando slovara un coeficiente del vectorc de la funcin obj.
a) Cambio de un coeficiente asociado a unavariable no-bsica xJ:Se conserva la misma solucin ptima del problema
P) ssi. para esa variable xJ:
Gestind
eInvestigacindeOperacio
j0ABccr j1T
Bjj
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Consideremos :
Por lo tanto se conserva la misma solucin ssi:
Gestind
eInvestigacindeOperacio
jcc jj
jjjj rccrj
g
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
b) Cambio en un coeficiente de la funcin objetivoasociado a una variable bsica:
En este caso para tener la misma solucin ptima,se debe cumplir que el costo reducido de todas las
variables.a cero.
Gestind
eInvestigacindeOperacio
0ABccr j1T
Bjj
iB
0
1
0
BBiiieciccicc
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Si el incremento es cualquiera en el siguienteintervalo, se conserva la misma solucin ptima:
donde rj es el costo reducido de la respectivavariable no bsica en la actual solucin ptima y loscoeficientesyijdenotan las entradas en la tabla finaldel Simplex asociadas a la variable bsicaxi(cuyocosto cambia) y la respectiva variable no bsicaxjG
estind
eInvestigacindeOperacio
0y/y
rMini0y/
y
rMax ij
ij
j
ij
ij
j
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
a) Variar los recursos ( lado derecho):Las xB del problema primal no cambian como baseptima, si los valores asociados a estas variables.
Para calcular estos intervalos de recursos, senecesita la matriz inversa asociada a las variablesbsicas del tabla final.
Gestind
eInvestigacindeOperacio
0xcumpleseybBx B1
B
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Intervalo recurso 1:
Gestind
eInvestigacindeOperacio
75/2150/1
15/115/4B
401
104B 1
04000
b6000x
75/2150/1
15/115/4 1
0150b
150100000
15b4
1520000 11
10000b5000b 11
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Intervalo recurso 2:
Gestind
eInvestigacindeOperacio
16000b1000
10000b5000
1
1
0b4000
6000x
75/2150/1
15/115/4
2
24000b1500
20000b2500
2
2
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Variable x1:
Max {0} C1
Min {((20/3)/(7/3)),((10/3)/(5/3))}
0 D1 2 10 C1* 12
Variable x4:
Mx {((20/3)/(-1/30))} D4 Min {((10/3)/(1/30))}
-200 D4 100 -60 C4* 240Gestind
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II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Variable x2:
C2*
= C2 + 2 C2 = -202 - r2 C2* - 20 - ( 20/3)
C2* - 80/3
Variable x3:
C3* = C3 + 3 C3 = -18
3 - r3 C3* - 18 - ( 10/3)C3* - 64/3G
estind
eInvestigacindeOperaci
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DIRECCIONES ELECTRNICAS EN PROGRAMACIN LINEAL
Preguntas de consulta frecuente en Programacin Lineal:http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html
Servidor NEOS, gua de software de Programacin Lineal:http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html
Servidor NEOS, ejemplo problema de la dieta:http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.html
Gua de software de Programacin Lineal en revista OR&MS Today(INFORMS Magazine):http://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml
Gestind
eInvestigacindeOperaci
Contenidosio
nes
http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html7/31/2019 Investigacion_Operaciones NO LINEAL
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I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal
Programacin Entera
Programacin No- linealIII. Modelos Probabilsticos
Procesos Estocsticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestind
eInvestigacindeOperaci
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Entera
iones
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140/368
Temario:
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolucin de problemas de P. E.
III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Gestind
eInvestigacindeOperaci
iones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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141/368
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
a) Problema de la mochila.
Una empresa est pensando invertir en cuatroproyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a loms en 3 aos. Los flujos de caja requeridos encada ao junto con el Valor Presente Neto de cadaproyecto, concludos los aos de ejecucin, y las
disponibilidades de recursos financieros seresumen en la siguiente tabla:
Gestind
eInvestigacindeOperaci
iones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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142/368
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Interesa determinar en cules proyectos invertir demodo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversin.
Gestind
eInvestiga
cindeOperaci
Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos
Ao 1 10 8 6 12 30
Ao 2 8 15 4 0 15
Ao 3 18 0 16 0 12
V.P.N. 35 18 24 16
iones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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143/368
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
Funcin objetivo:
Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
4,3,2,1iconosin,0
iproyectoeleninviertesesi,1xi
iones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Restricciones (tres alternativas):
1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en unperodo:
Ao1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30
Ao2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1
Ao3: 18x1 + 16x3 12 + s2
xi {0,1} i = 1,2,3,4
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
2) Sin invertir el dinero no utilizado en un perodo,pero utilizando el retorno de los proyectos
concludos:
Ao1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30
Ao2: 8x1 + 15x2 + 4x3 15 + 16x4
Ao3: 18x1 + 16x3 12 + 18x2xi {0,1} i = 1,2,3,4
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un perodoy, tambin el retorno de proyectos concludos:
Ao1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30
Ao2: 8x1+ 15x2+ 4x3 + s2 = 15 + s1 + 16x4
Ao3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2
xi {0,1} i = 1,2,3,4
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Notar que el conjunto de las soluciones factibles esfinito. Esto ocurrir generalmente con losproblemas de Programacin Entera (puros). En elejemplo, el nmero de soluciones factibles nosupera el nmero de las soluciones binarias delproblema (variables restringidas slo a valores 0 o1) que son 24 = 16, dado el nmero de variables
utilizadas, de hecho las soluciones factibles sonmenos de 16 pues en particularxi=1 para i=1,2,3,4no satisface las disponibilidades de capital encualquiera de las tres alternativas.
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
ciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Supongamos que adicionalmente la inversinefectuada requiera nuevas restricciones.
i) Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primerosproyectos:
x1 + x2 + x3 1
i) El proyecto 2 no puede ser tomado a menos queel proyecto 3 si sea tomado:
x2 x3Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
iii) Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero noambos:
x3 + x4 1
iv) No se puede invertir en ms de dos proyectos:
x1 + x2 + x3 + x4 2
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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Programacin Entera
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
b) Cumplimiento de un subconjunto de lasrestricciones de un problema.
Consideremos un problema que posee lassiguientes restricciones:
12x1 + 24x2 + 18x3 240015x1 + 32x2 + 12x3 1800
20x1 + 15x2 + 20x3 2000Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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Programacin Entera
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Supongamos adems, que nos basta con obteneralguna solucion ptima que verifique el
cumplimiento de al menos 2 de las 3 restriccionesanteriores.
Variables de decisin:
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
osin,0
satisfacesejnrestriccilasi,1y j
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Cada inecuacin anterior la reemplazamos por:
12x1
+ 24x2
+ 18x3
2400 + M1
(1- y1
)
15x1 + 32x2 + 12x3 1800 + M2 (1- y2)
20x1 + 15x2 + 20x3 2000 + M3 (1- y3)
Adems, debemos agregar la restriccin quepermita que a lo ms una de las restricciones no secumpla:
y1 + y2 + y3 2 Mi = constante lo suf. grandeGestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
c) Inclusin de costos fijos.
Supongamos que se desea tener lotes de comprade un producto dado, para satisfacer demandasque fluctan en el tiempo sobre un horizonte deplanificacin dividido en T perodos.
Asumimos conocidos: una estimacin de lademanda dt, con t = 1, 2, ..., T, los costos fijosasociados a la compra de una unidad pt,G
estind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
los costos asociados al mantenimiento de unaunidad en inventario de cada perodo ht y los
costos fijos asociados a la gestin de compra en elperodo t, st.
Observacin: no se permite unidades de faltante.
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin
xt
: nmero de unidades compradas en t.
It : nivel de inventario al final del perodo t.
con t: 1, 2, ..., T
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
osin,0
tperiodoelencompraunahacesesi,1yt
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin objetivo
Restricciones
xt + It-1 - It = dt t = 1, 2, ..., T
I0 = inventario inicial
xt Mt yt t = 1, 2, ..., T
Mt = cte. grandeGestind
eInvestiga
cindeOperac
tttt
T
1ttt IhxpysMin
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
d) Problema de cobertura:
Dado un nmero de regiones o zonas, en lascuales se ha subdividido una comuna, cuidad,pas, etc., digamos que un total de m, se deseainstalar un cierto nmero de servidores (escuelas,
centros de atencin primaria de salud, compaasde bomberos, etc.) de entre un conjunto de npotenciales servidores ubicados en alguna de laszonas dadas.
Gestind
eInvestiga
cindeOperac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Se conoce la informacin relativa a que zonaspueden ser atendidas por cada uno de los n
potenciales servidores, es decir, se conoce lamatriz de incidencia A = (aij) donde :
Gestind
eInvestiga
cindeOp
erac
n,...,2,1jym,...,2,1iconosin,0
jservidorelporatendidaserpuedeizonalasi,1aij
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Se desea determinar cules son los servidores quedeben ser instalados de modo de dar cobertura a
cada zona, dados los costos de instalacin cj delservidor j.
Variables de desicin:
Gestind
eInvestiga
cindeOp
erac
osin,0jservidorelinstalasesi,1x j
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin objetivo:
Restricciones:Para cada zona i
Se agrega la siguiente restriccin, siadicionalmente, hay algn lmite en el nmero deservidores que se pueden instalar (digamos k) :
Gestind
eInvestiga
cindeOp
erac
n
1jjj xcMin
1xan
1jjij
kxm
1jj
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Sean cj los costos asociados a la instalacin de laplanta j , vj el costo unitario de produccin de la
planta j y tij el costo de transporte de una unidaddesde la planta j al cliente i .
Se desea decidir cules plantas abrir y el tamaode cada una de modo de satisfacer las demandas
estimadas.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
erac
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisin:
xij = el nmero de unidades elaboradas en laplanta j para satisfacer el cliente i, con j = 1,...,n y
i = 1,....,m.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
erac
osin,0
jplantalaabresesi,1y j
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Funcin objetivo:
Costo de Costo de Costo de
Instalacin Produccin Transporte
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
n
1j
m
1iijij
n
1j
m
1iij
n
1jjjj xtxvycMin
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III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
Restricciones:
1) Demanda cliente i:
2) Relacionar variables de produccin con lasasociadas a la apertura de plantas (variablesbinarias):
donde Mj es una constante grande (por ejemplo,capacidad mxima de produccin de la planta j),con xij 0 e yj {0,1}.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
jj
n
1jij yMx
i
m
1i ij
dx
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Programacin Entera
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Temario:
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolucin de problemas de P. E.
III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Supongamos que tenemos el siguiente problemade programacin lineal:
PL) Max cT
xs.a. A x = b
x 0
Pero todas o una parte de las variables debenrestringir su valor a nmeros enteros, dando origena un problema de Programacin Entera (puro) ode Programacin Entera- Mixta, respectivamente.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Por ejemplo:
PLE) Max cTx
s.a. A x = b
x 0, xj entero
El problema PL) corresponde a la relajacincontinua del problema PLE), que resulta deeliminar las condiciones de integralidad de lasvariables de decisin en PLE).
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
El valor ptimo de PL) provee slo una cotasuperior del valor ptimo de PLE). Notar sin
embargo, que si la solucin ptima de PL) cumplecon la integralidad de los valores requiridos,entonces esta solucin es tambin solucin ptimade PLE).
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Ejemplo
PLE) Max x2s.a. - 2x1 + 2x2 1
2x1 + x2 7x1 0, x2 0 enteros
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
aciones
II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
7
3.5
- 2x1 + 2x2 12x1 + x2 7
x1
x2
. .. . .. . . .
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Alternativamente, podemos resolver la relajacincontinua asociada al problema PLE). Si la solucin
ptima de la relajacin continua da una solucinentera, esa es la solucin ptima no solo delproblema lineal sino que tambin lo es delproblema lineal entero.
En el ejemplo, la solucin de la relajacin continua
es:
x1 = 3/2x2 = 2
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
A partir de esta ltima solucin podemosredondear o truncar los valores que no salieron
enteros, obteniendo respectivamente en elejemplo:
x1 = 2 x1 = 1x2 = 2 x2 = 2
las cuales no son soluciones factibles de PLE), demodo que desde el punto de vista de unaresolucin numrica no es suficiente con resolverla relajacin continua.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.2. Resolucin de problemas de P. E.
Todava podran resultar soluciones factibles dePLE), pero no neceasariamente ptimas. Porejemplo:
PLE) Max f(x1, x2) = x1 + 5x2
s.a. x1 + 10x2 10
x1 1x1 0, x2 0 enteros
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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aciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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Temario:
III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolucin de problemas de P. E.
III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
aciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Consideremos el siguiente problema deprogramacin entera:
PLE) Max 21x1 + 11x2s.a. 7x2 + 4x2 13
x1 0x
2 0
x1, x2 enteros
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
aciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Consideremos inicialmente la resolucin de la
relajacin continua de PLE), que consiste en
eliminar las condiciones de integralidad.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
aciones II. Modelos de Programacin Matemtica
Programacin Entera
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
x1
x2
1
2
3
21x1+11x2
21x1+11x2=39
7x1+4x2=13
x2 = 3
x2 = 2
x2 = 1
x1 = 1 x1 = 2
13/7 sol. relajada
3/2
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Descripcin del mtodo Branch and Bound(maximizacin)
Paso 0
HacerP0), la relajacin continua de PLE)
Fijar la cota inferior del v(PLE) en - .
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Paso1
Seleccionar un problema no resuelto, Pi)
Resolver Pi) como problema de programacinlineal.
Agotar este problema, usando:
(i) que se encontr una solucin entera(ii) que el problema resulta infactible
(iii) que el problema no provee un valor mejor quela actual cota del valor ptimo v(PLE).G
estind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Si el problema Pi) resulta agotado y da solucinentera, mejorar el valor de la cota inferior de
v(PLE).Si todos los problemas estn agotados, parar.
Solucin ptima de PLE), la solucin enteraasociada a la actual cota inferior de v(PLE), siexiste (si no existe entonces PLE) es infactible)
Si el problema no est agotado pasar al paso 2.
Gestind
eInvestiga
cindeOp
era
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Programacin Entera
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III.3. Mtodo de Branch and Bound.
Paso 2
Seleccionar una variab
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