7/24/2019 Guia Integrales de Linea
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Universidad Tcnica Federico Santa Mara
Departamento de Matemtica
Campus Santiago
Mat-024 II-2014
Cristhian Montoya
Guia de problemas
Problema 1: Usar la definicin de integral de lnea para calcular
F d dondeF(x,y,z) = (yz,xz,xy) y la curva es:
Hlice que parte en el punto P = (1, 0, 0)y cuyo punto terminal es2
2 ,
2
2 ,
4
.
Lnea recta que une el punto (1, 0, 0) con2
2 , 2
2 ,
4
.
Resp: 8
Problema 2: Usando la definicin de integral de lnea, calcular
(x+y)dx+ (x+y2)dy
siendo la frontera del trapecio con vrtices (2, 0), (2, 0), (1, 1) y (1, 1).Es posible aplicar el Teorema de Green?
Resp: 0.
Problema 3. Calcular la integral de lnea con respecto a la longitud de arco.
a)C
(x+ y)ds, siendo C el tringulo de vertices (0, 0), (1, 0), (0, 1), recorrdido en
sentido contrario a las manecillas del reloj.Resp.2.
b)C
zds , siendo C la ecuacin vectorial
(t) = (t cos t, t sin t, t) 0
t
t0.
Resp. (2 +t20)
3
2 223
.
Problema 4.CalcularC
dx+dy
|x| + |y| , siendoCel contorno del cuadrado de vertices (1, 0),(0, 1), (1, 0), (0,1).Resp. 0.
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Problema 5. Sea h= h(t) una funcion continua. Demuestre que
1.
yh(xy)dx+xh(xy)dy depende solamente de los puntos final e inicial de curva.
2. Encuentre el valor de dicha integral si el punto inicial es (12 , 2) y el punto final es
(1, 1).Resp. 0.
Problema 6.SeanP y Qdos campos escalares con derivadas continuas que satisfacenPy =
Qx en todo el plano excepto en tres puntos a1, a2, a3.SeanC1, C2, C3 tres crculos
que encierran los puntosa1, a2, a3 respectivamente y ademsC1
P dx+Qdy = 12 ;
C2
P dx+Qdy= 10 ;
C3
P dx+Qdy= 15.
HalleP dx+Qdy siendo la curva en forma de ocho que encierra C1 y C3.
Problema 7. Calcular
yx2 +y2
dx+ x
x2 +y2dy
donde es cualquier curva simple con punto inicial en (1, 0) y punto final en (2, 0).Resp: 0 o 2, dependiendo del caso.
Problema 8. Sea h(t) una funcin diferenciable definida para todo t R. Se define,para todo(x, y) R2, el campo vectorial
F(x, y) = (y2h(xy2), 2xyh(xy)).
1. Pruebe que Fes conservativo.
2. Para h(t) =et determine la integral de lnea
(0,1)
(1,0)
F ds
a lo largo del arco de curva dado por x1/5 +y1/5 = 1.
Resp. 0
Problema 9.
1. Calcule el flujo del campo
F(x, y) = (x2 y2, x2 +y2)a travs de la circunferencia (x a)2 + (y b)2 = 1.Resp. 2(a+b).
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2. Suponga que a2
4 +
b2
91. Determine a y bde modo que el flujo sea mximo.
Resp. a=4
13
13 , b=
9
13
13 .
Problema 10. Considere el campo
F =z2 cos x
1 +z2 ,
2x
1 +z2,
1
1 +z2
,
y la curva de interseccin de las superficies y = z, z= sin(x) y2. Determine todoslos puntos Ppara los cuales el trabajo realizado por F a lo largo de desde (0, 0, 0)hasta Pes igual a 1.
Resp.
2k+ 2
, 2k + 2
, 1 12
(2k+ 2
)2
.
Problema 11. Sea g: R Rdiferenciable. Pruebe que el campoF(x,y,z) =g(c)(x,y,z) , c=
x2 +y2 +z2
es conservativo en R2 {(0, 0, 0)}.Sugerencia: Determine una funcin potencial.
Problema 12. Sea el campo F = (y , z , x) y la curva Cdada por la interseccon
x2 +y2 +z2 = 1, x+z= 0.
a) Determine una parametrizacin de Cy evale
C
F dr.
Resp. 22
.
b) Compruebe el Teorema de Green para una regin a eleccin, cuya frontera seaC.
Problema 13. Sea (P(x, y), Q(x, y)) un campo vectorial definido para todo (x, y)=(3, 0), con Qx= Py+ 2. Considere
C1 :x2 +y2 = 25 C2 : (x 3)2 +y2 = 1 C3 : (x+ 3)2 +y2 = 1
orientados en sentido contrario a las manecillas del reloj. CalculeC3
P dx+Qdy
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sabiendo que C1
P dx+Qdy= a;
C2
P dx+Qdy= b
Resp: a b 46.
Problema 14. Calcule la integral de lnea
C1C2
ydx+xdyx2 +y2
,
dondeC1 : x
2 +y2 = 1 , C2 : (x 2)2 +y2 = 16.Resp: 2.
Problema 15. Calcule la integral de lneaC
ydx+ (x+ arctan(1 +y2)sinh2(y))dy
donde C={(x, y) :x2 +y2 = 1, y0} Resp: .
Problema 16. Sea R una regin plana de frontera R. Demostrar queR
(aydx bxdy) = (b a)A(R),
donde A(R) es el ea de R.
Problema 17. Sea F = (P, Q) un campo vectorial de clase C1 definido en = R2 {(0, 0)} que satisface Py =Qx en todo punto de su dominio.Sea una curva cerrada simple que encierra el origen (0, 0). Pruebe que
P dx+Qdy= C1
siendo C1 una constante que resulta ser independiente de .
Problema 18. Calcule la integral de lnea
(2xy3 +yz)dx+ (3x2y2 +xz)dy+xzdz
donde es la curva cerrada que se obtiene al intersectar las esferas
x2 +y2 +z2 =r2 , x2 +y2 + (z r)2 =r2.
Resp: 0