7/24/2019 Guia Integrales de Linea

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Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

Campus Santiago

Mat-024 II-2014

Cristhian Montoya

Guia de problemas

Problema 1: Usar la definicin de integral de lnea para calcular

F d dondeF(x,y,z) = (yz,xz,xy) y la curva es:

Hlice que parte en el punto P = (1, 0, 0)y cuyo punto terminal es2

2 ,

2

2 ,

4

.

Lnea recta que une el punto (1, 0, 0) con2

2 , 2

2 ,

4

.

Resp: 8

Problema 2: Usando la definicin de integral de lnea, calcular

(x+y)dx+ (x+y2)dy

siendo la frontera del trapecio con vrtices (2, 0), (2, 0), (1, 1) y (1, 1).Es posible aplicar el Teorema de Green?

Resp: 0.

Problema 3. Calcular la integral de lnea con respecto a la longitud de arco.

a)C

(x+ y)ds, siendo C el tringulo de vertices (0, 0), (1, 0), (0, 1), recorrdido en

sentido contrario a las manecillas del reloj.Resp.2.

b)C

zds , siendo C la ecuacin vectorial

(t) = (t cos t, t sin t, t) 0

t

t0.

Resp. (2 +t20)

3

2 223

.

Problema 4.CalcularC

dx+dy

|x| + |y| , siendoCel contorno del cuadrado de vertices (1, 0),(0, 1), (1, 0), (0,1).Resp. 0.

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Problema 5. Sea h= h(t) una funcion continua. Demuestre que

1.

yh(xy)dx+xh(xy)dy depende solamente de los puntos final e inicial de curva.

2. Encuentre el valor de dicha integral si el punto inicial es (12 , 2) y el punto final es

(1, 1).Resp. 0.

Problema 6.SeanP y Qdos campos escalares con derivadas continuas que satisfacenPy =

Qx en todo el plano excepto en tres puntos a1, a2, a3.SeanC1, C2, C3 tres crculos

que encierran los puntosa1, a2, a3 respectivamente y ademsC1

P dx+Qdy = 12 ;

C2

P dx+Qdy= 10 ;

C3

P dx+Qdy= 15.

HalleP dx+Qdy siendo la curva en forma de ocho que encierra C1 y C3.

Problema 7. Calcular

yx2 +y2

dx+ x

x2 +y2dy

donde es cualquier curva simple con punto inicial en (1, 0) y punto final en (2, 0).Resp: 0 o 2, dependiendo del caso.

Problema 8. Sea h(t) una funcin diferenciable definida para todo t R. Se define,para todo(x, y) R2, el campo vectorial

F(x, y) = (y2h(xy2), 2xyh(xy)).

1. Pruebe que Fes conservativo.

2. Para h(t) =et determine la integral de lnea

(0,1)

(1,0)

F ds

a lo largo del arco de curva dado por x1/5 +y1/5 = 1.

Resp. 0

Problema 9.

1. Calcule el flujo del campo

F(x, y) = (x2 y2, x2 +y2)a travs de la circunferencia (x a)2 + (y b)2 = 1.Resp. 2(a+b).

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2. Suponga que a2

4 +

b2

91. Determine a y bde modo que el flujo sea mximo.

Resp. a=4

13

13 , b=

9

13

13 .

Problema 10. Considere el campo

F =z2 cos x

1 +z2 ,

2x

1 +z2,

1

1 +z2

,

y la curva de interseccin de las superficies y = z, z= sin(x) y2. Determine todoslos puntos Ppara los cuales el trabajo realizado por F a lo largo de desde (0, 0, 0)hasta Pes igual a 1.

Resp.

2k+ 2

, 2k + 2

, 1 12

(2k+ 2

)2

.

Problema 11. Sea g: R Rdiferenciable. Pruebe que el campoF(x,y,z) =g(c)(x,y,z) , c=

x2 +y2 +z2

es conservativo en R2 {(0, 0, 0)}.Sugerencia: Determine una funcin potencial.

Problema 12. Sea el campo F = (y , z , x) y la curva Cdada por la interseccon

x2 +y2 +z2 = 1, x+z= 0.

a) Determine una parametrizacin de Cy evale

C

F dr.

Resp. 22

.

b) Compruebe el Teorema de Green para una regin a eleccin, cuya frontera seaC.

Problema 13. Sea (P(x, y), Q(x, y)) un campo vectorial definido para todo (x, y)=(3, 0), con Qx= Py+ 2. Considere

C1 :x2 +y2 = 25 C2 : (x 3)2 +y2 = 1 C3 : (x+ 3)2 +y2 = 1

orientados en sentido contrario a las manecillas del reloj. CalculeC3

P dx+Qdy

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sabiendo que C1

P dx+Qdy= a;

C2

P dx+Qdy= b

Resp: a b 46.

Problema 14. Calcule la integral de lnea

C1C2

ydx+xdyx2 +y2

,

dondeC1 : x

2 +y2 = 1 , C2 : (x 2)2 +y2 = 16.Resp: 2.

Problema 15. Calcule la integral de lneaC

ydx+ (x+ arctan(1 +y2)sinh2(y))dy

donde C={(x, y) :x2 +y2 = 1, y0} Resp: .

Problema 16. Sea R una regin plana de frontera R. Demostrar queR

(aydx bxdy) = (b a)A(R),

donde A(R) es el ea de R.

Problema 17. Sea F = (P, Q) un campo vectorial de clase C1 definido en = R2 {(0, 0)} que satisface Py =Qx en todo punto de su dominio.Sea una curva cerrada simple que encierra el origen (0, 0). Pruebe que

P dx+Qdy= C1

siendo C1 una constante que resulta ser independiente de .

Problema 18. Calcule la integral de lnea

(2xy3 +yz)dx+ (3x2y2 +xz)dy+xzdz

donde es la curva cerrada que se obtiene al intersectar las esferas

x2 +y2 +z2 =r2 , x2 +y2 + (z r)2 =r2.

Resp: 0