1 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
LÓGICA MATEMÁTICA
AUTOR: PROF ARACELIS M. NÚÑEZ R
NOVIEMBRE 2013
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PREFACIO
La ENAHP-IUT es una Institución oficial de ámbito especial, perteneciente al
Subsistema de Educación Universitaria, dependiente del Ministerio del Poder
Popular para Planificación y Finanza cuyo objetivo principal es atender las
demandas del país en cuanto a la formación de profesionales capacitados para
desempeñarse en las áreas de Aduanas y Comercio Exterior, Finanzas Públicas y
Rentas, que respondan a las necesidades establecidas en los planes y programas
de desarrollo económico, de política comercial y de política fiscal, con el fin de
consolidar la autodeterminación y la soberanía nacional.
Con tal fin, otorga los títulos de Licenciado(a) en Ciencias Fiscales: Mención
Aduanas y Comercio Exterior, Mención Finanzas Públicas y Mención Rentas
Dentro del actual Pensum de Estudios (Pensum VI) de la ENAHP-IUT se
consideró que El Licenciado en Ciencias Fiscales requería de una formación que
incorporase el uso de la lógica para su aplicación en la solución de los problemas
administrativos, financieros, sociales y locales que le surgiesen en su entorno
laboral, personal y comunitario.
La Lógica es el estudio de los métodos y principios que se usan para distinguir el
razonamiento correcto del razonamiento incorrecto.
El Lógico, está interesado esencialmente en la corrección del proceso completo
de razonamiento. El lógico pregunta ¿Tiene solución el problema? ¿Se sigue la
conclusión de las premisas que se han afirmado o supuesto? ¿ Las premisas
proporcionan buenas razones para aceptar la conclusión? Si el problema queda
resuelto, si las premisas proporcionan las bases adecuadas para afirmar la
conclusión, si afirmar las premisas constituye una verdadera garantía para afirmar
la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario,
es incorrecto.
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Esta distinción entre razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con
el que trata la lógica. Ella ha desarrollado métodos y técnicas con el propósito
fundamental de aclarar esta distinción. Entre los métodos y técnicas utilizadas
tenemos: Las Tablas de la Verdad cuando se analizan pocas proposiciones y las
Reglas de Inferencia cuando el número de proposiciones simples es muy grande.
La presente guía teórico-práctica, en la Unidad I presenta una introducción al
mundo de la lógica, que no pretende sustituir los textos que sobre el tema existen,
pero que si permitirá tener una visión sencilla, general y amena de la misma. En
la Unidad II se incorporan elementos de la Teoría de Conjuntos con sus
operaciones y propiedades y finaliza en la Unidad III con la aplicación de lo
aprendido en ejercicios sobre ecuaciones. Sistemas de ecuaciones, inecuaciones,
porcentajes y regla de tres simple y compuesta
La Unidad Curricular Lógica Matemática proporciona un aporte importante al
estudiante de la ENAHP-IUT, ya que:
La elaboración de argumentos válidos es parte inicial del pensamiento
científico requerido en toda investigación.
En Economía y Estadística se requiere de comprender la teoría de
conjuntos, sus operaciones y propiedades, ya que son la base para la
comprensión de los axiomas del cálculo de probabilidades, con lo que estas
disciplinas ganan rigor y generalidad
Nos conduce a concebir al hombre como un individuo con un sentido crítico,
participativo, activo, que utiliza la tecnología a su servicio y está
preocupado por la democratización de la sociedad y la transformación
social de la misma
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DEDICATORIA
Dedico esta guía en primer lugar a mis padres Juan Domingo Núñez Hernández y
Petra Aurora Rodríguez de Núñez seres ejemplares que con su amor, constancia
y paciencia formaron mi carácter y me permitieron alcanzar mis metas
profesionales y personales actuando siempre como el principal punto de apoyo
para mis decisiones y acciones
En segundo lugar a mi hijo Víctor Jesús Domingo Rodríguez Núñez y a mi nieto
Elián Ignacio Rodríguez Apolinar por ser las fuentes de inspiración y de alegría
que le dan sentido a mis logros profesionales.
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INDICE
Unidad I. Algebra de Proposiciones.
1. Definición de enunciados, proposición simple y compuesta…………....Pág 6
principios básicos de la lógica y uso de los distintos tipos de conectivos lógicos .
2. Postulados de unicidad. Uso de tablas de verdad para los ……………..Pág 14
distintos conectivos lógicos. Cálculo proposicional. Tautologías, Contradicciones y Contingencias. Leyes de la Lógica
3. Ejercicios propuestos del tema …………………………………….….Pág 22
Unidad II. Teoría de Conjuntos.
1. Definición de conjuntos, subconjuntos, universal, vacío…………………Pag 27 Diagramas de Venn .Formas de determinar un conjunto
2. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, diferencia,……………Pag 33 complemento. Partición, Cardinal, Producto cartesiano
3. Leyes fundamentales: de identidad, conmutativa, asociativa,………...Pág 42 distributivas. Leyes de Morgan aplicadas a conjuntos
4. Relación Entre La Teoría De Conjuntos Y La Lógica …………...….Pág 44 Proposicional
5. Ejercicios propuestos del tema………………………………………...Pág 46
Unidad III. Razonamiento Lógico Matemático.
1. Resolución De Problemas A Través De Ecuaciones, …………………...Pag 48 Sistemas De Ecuaciones, Inecuaciones, Razones, Proporciones Regla De Tres Simple Y Compuesta Y Porcentajes.
2. Ejercicios propuestos del tema ………………………………………….…Pág 61
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INTRODUCCIÓN
En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones. Esto significa,
que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de
partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se
concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el
cielo, deduce que va a llover, o también de "todos los mamíferos son vertebrados"
se puede concluir en "algunos mamíferos son vertebrados". Este proceso de pasar
de un conjunto de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción.
Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice
que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Sabemos
que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un
conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección. Justamente LA
LÓGICA estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si
una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los
métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.
Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la aritmética) o con
objetos más complejos como diferencial e integral, también existen reglas precisas
para manejar proposiciones. Esto último corresponde al estudio de la lógica
proposicional
LOGICA MATEMATICA
UNIDAD I
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Enunciado
Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas,
otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos.
Ejemplo 1. Son enunciados:
¿Qué hora es?
¡Que viva la familia!
2 + 5 = 7
La estados Táchira, Mérida y Trujillo están en Venezuela
2x + 3 = 5
Proposición
Ejemplos 2: Las siguientes afirmaciones son proposiciones:
Venezuela está en la América del Sur.
Simón Bolívar nació en Caracas
1 + 1 = 3
1 + 6 = 7
El cuadrado de todo número par también es par.
Notación de las Proposiciones
Usaremos las letras minúsculas p, q, r,… para simbolizar las proposiciones
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Las proposiciones pueden ser:
Simples (o atómicas) cuando en ella no interviene ningún conectivo lógico o
término de enlace. El término de enlace “no” se agrega cuando se niega esta
proposición ya que se redactan siempre en forma afirmativa
Compuestas cuando se unen una o varias proposiciones simples con un término
de enlace. Los términos de enlace son: "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si".
Ejemplos 3:
Las dos primeras afirmaciones son proposiciones simples y los restantes,
compuestas
El triángulo es un polígono
1 + 7 = 5
Si Juan va al cine, entonces tiene dinero
Un triángulo es equiángulo si, y solo si es equilátero
Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora
Enunciado abierto
Ejemplo. Son enunciados abiertos:
X + 3 = 10
X 2 + Y 2 = 20
Z + 5 < 12
El tiene 20 años
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Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" son enunciados abiertos .Los
enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina función
proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al
sustituirse la variable por una constante específica.
Ejemplo:
El enunciado abierto
2. X + 1 = 5
Es una función proposicional, el cual se convierte en proposición cuando:
i) Para x = - 3 (por ejemplo), se convierte en la proposición
2 .(-3) + 1 = 5……………………… (F) el cual tiene valor de verdad Falsa
ii) Para x = 2, entonces, será la proposición
2. (2) + 1 = 5 ……………………… (V) el cual tiene valor de verdad Verdadera
CONECTIVOS LÓGICOS:
Son aquellos símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples. Ellos
pueden ser: Conjunciones, Disyunciones (inclusiva y exclusiva), Condicionales y
Bicondicionales
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PROPOSICIÓN COMPUESTA
Término de Enlace y Símbolo Lógico
Lenguaje Simbólico
Lenguaje Coloquial
CONJUNCIÓN “ y “ , “ pero “ En el lenguaje corriente se utiliza también una "," en vez del término de enlace "y". Símbolo ( ^ )
P ^ q Se lee p y q, p pero q, p sin embargo q, p incluso q, p tanto como q, p así mismo q, p también q, p al igual que q, No sólo p también q, p no obstante q
DISYUNCIÓN INCLUSIVA: Se usa cuando se desea incluir En este caso ambas proposiciones pueden ser verdaderas
“ó” Símbolo (v)
P v q Se lee P o q
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Las alternativas son excluyentes. Se cumple que una u otra proposición es verdadera, pero no ambas
“ó” Símbolo ( v )
P v q Se lee Ó p ó q
CONDICIONAL O IMPLICACIÓN
“ Si ..Entonces..” Símbolo
P q Se lee Si p entonces q
BICONDICIONAL
"si y sólo si" Símbolo
P q Se lee P si y solo si q
NEGACIÓN : se agrega a una sola proposición
“no” Símbolo ¬ y ~
¬ p ~p
Se lee No p No es cierto p
En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la
manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos
significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a
la colocación de ciertas palabras o mediante los signos de puntuación. En lógica
la agrupación se indica por medio de paréntesis.
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Ejemplo:
O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se
refugiaron en las montañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:
P: Los soldados encontraron cerrado el paso.
Q: Los soldados temieron un ataque enemigo.
R: Los soldados se refugiaron en las montañas.
La proposición compuesta es:
PvQR) La cual tiene un sentido distinto de la proposición:
(PQ) R. La cual se lee “Si los soldados encontraron cerrado el paso o temieron un ataque
enemigo, se refugiaron en las montañas
Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta
una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos.
La convención es:
"" y "" dominan a "" y "".
así: S PR significa S (P R)
P Q r significa P (Q R)
ACTIVIDADES
1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:
p: "está lloviendo"……...q: "el sol esta brillando"……r: "hay nubes en el cielo"
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Traduciremos las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras
asignadas y los conectivos lógicos:
1 Está lloviendo y el Sol brillando p ^ q
2 Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo
P r
3 Si está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo
p (¬ q ^ r )
4 El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo
q ¬ p
5 Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando
¬ r q
6 O está lloviendo o el sol está brillando P v q
2. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a
oraciones en español:
(p ^ ¬q ) r Si está lloviendo y el sol no está brillando entonces hay nubes en el cielo
¬p (q v ¬ r ) No está lloviendo si y solo si el sol está brillando o no hay nubes en el cielo
P r ¬q Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo, de aquí que el sol no está brillando. Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo, de ser esto cierto entonces el sol no está brillando
3. Selecciona un artículo de periódico o de una revista: identifica, proposiciones
simples, conjunciones, disyunciones e implicaciones.
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4. Construye funciones proposicionales, proposiciones verdaderas y falsas y
enunciados
La proposición: "si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo" se
simboliza:
Ejercicio: Simbolice y redacte la recíproca, inversa y contrarecíproca
Lenguaje Lógico o Simbólico
Lenguaje Español o Coloquial
Recíproca r p Si hay nubes en el cielo entonces está lloviendo
Inversa ¬p ¬r Si no está lloviendo entonces no hay nubes en el cielo
Contrarecíproca ¬r ¬p Si no hay nubes en el cielo entonces no está lloviendo
Negación de Proposiciones
NEGACION DE UNA PROPOSICION
LENGUAJE SIMBOLICO Y EQUIVALENCIA
Negación De Una Conjunción
¬ (P ^ q) equivale a ¬p v ¬ q
Negación De Una Disyunción ¬ ( p v q ) equivale a ¬ p ^ ¬ q
Negación De Un Condicional ¬ ( p q) equivale a p ^ ¬ q
Negación De Una Negación ¬ ( ¬ p ) equivale a p
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Traduzca las siguientes proposiciones simbólicas a lenguaje coloquial, con p,q y r
las proposiciones del ejercicio anterior
Negación De Una Conjunción ¬ (P ^ q) equivale a ¬p v ¬ q
No es cierto que “Está lloviendo y el sol está brillando” (¬ (P ^ q)) es equivalente a *NO ESTA LLOVIENDO O EL SOL NO ESTA BRILLANDO (¬p v ¬ q)
Negación De Una Disyunción ¬ ( p v q ) equivale a ¬ p ^ ¬ q
No es cierto que “Está lloviendo o que el sol está brillando” (¬ ( p v q )) es equivalente a *NO ESTA LLOVIENDO Y EL SOL NO ESTA BRILLANDO (¬ p ^ ¬ q) *NI ESTA LLOVIENDO, NI EL SOL ESTA BRILLANDO
Negación De Un Condicional ¬ ( p q) equivale a p ^ ¬ q
No es cierto que “Si está lloviendo entonces hay nubes en el cielo”( ¬ ( p q)) es equivalente a *ESTA LLOVIENDO Y NO HAY NUBES EN EL CIELO (p ^ ¬ q)
Negación De Una Negación ¬ ( ¬ p ) equivale a p
No es cierto que” No está lloviendo “ ( ¬ ( ¬ p )) es equivalente a *ESTA LLOVIENDO
La Negación de la conjunción y de la disyunción son conocidas como las Leyes de
Morgan
CÁLCULO PROPOSICIONAL
OBJETIVOS
Calcular el valor de verdad de proposiciones compuestas
Construir razonamientos válidos en matemática
La Lógica Proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica.
Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y
manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea.
La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que
primero evalúa proposiciones simples, las cuales que tienen un valor asociado ya
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sea verdadero (V) , o falso (F) y dependiendo de la naturaleza de los conectivos
lógicos involucrados le asigna valores de veracidad a las proposiciones
compuestas,.
Ahora bien, ¿ qué procedimiento utiliza la lógica para asignar un valor de verdad a
una proposición compuesta? . Esto lo hace a través de las tablas de verdad ,las
cuales varían dependiendo de los conectivos lógicos involucrados
1. Tabla de la Negación
2. Tabla de la Disyunción (inclusiva o débil)
La Disyunción Inclusiva es verdadera, si al menos una de las proposiciones
componentes es verdadera, resultando falso únicamente cuando las dos
proposiciones son falsas.
3. Tabla de la Disyunción (exclusiva o fuerte)
La Disyunción Exclusiva es verdadera cuando sólo una de las proposiciones que
la compone es verdadera, resultando falso en cualquier otro caso.
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4. Tabla de la Conjunción
La Conjunción es únicamente verdadera cuando los valores de las proposiciones
que la compone son ambas verdaderas, resultando falso en cualquier otro caso.
5. Tabla de la Condicional
y se lee: Si p, entonces q. A la proposición "p" se le llama antecedente
o hipótesis y a "q" consecuente o tesis.
Esta es su tabla de verdad:
Si analizamos la palabra "entonces", la podemos entender como
una deducción (que se puede realizar en base a la experiencia o por simple
razonamiento mental)
ACTIVIDAD
Justificaremos las líneas 3 y 4 de la tabla condicional mediante ejemplos. (Los dos
primeros quedaran como ejercicios)
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¿Es posible deducir una verdad, partiendo de una falsedad?
Aunque esto contradiga nuestra intuición, si es posible. Veamos el siguiente
ejemplo:
Si ( 2 = 3 ), entonces ( 5 = 5 )
Falso Verdadero
Analizando el antecedente o hipótesis se tiene:
Si 2 = 3, podemos escribir como 3 = 2
Sumando miembro a miembro las igualdades
2 = 3 3 = 2 2 + 3 = 3 + 2 5 = 5
Entonces decimos que:
De la falsedad de (2 = 3) hemos deducido una verdad (5 = 5)
i. ¿Es posible deducir una falsedad a partir de una falsedad?
También es posible. Veamos el siguiente ejemplo:
Si ( 2 = 3 ) entonces ( 4 = 6 ) Falsa Falsa
Analizando la hipótesis se tiene:
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i. Multiplicando ambos miembros por 2
2 x 2 = 3 x 2
4 = 6
ii. Hemos deducido que:
De la falsedad de (2 = 3), hemos deducido la falsedad (4 = 6)
6. Tabla de la Bicondicional o Doble Implicación
Dadas las proposiciones simples "p" y "q", se llama bicondicional a la proposición
definida por la conjunción de la proposición condicional con su recíproca.
La Bicondicional será verdadera solo si ambas proposiciones son falsas o ambas
proposiciones son verdaderas. Nótese que la bicondicional p q significa una
deducción doble: de "p" se puede deducir "q" y de "q" se puede deducir "p"
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7. Cálculo De Valores De Verdad De Proposiciones Compuestas
Utilizando los conectivos lógicos, se pueden combinar cualquier número finito de
proposiciones simples, para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad
pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad.
Para efectuar el número de combinaciones de los valores de las proposiciones,
recurrimos a la relación 2n, donde n representa el número de proposiciones.
Ejemplo 1. Construir la tabla de verdad de la proposición:
[¬ p (q ᶺ p) ] ¬ q Solución Las combinaciones posibles son 2n = 22 = 4, porque tenemos dos proposiciones
p q ¬p (q ᶺ p) [¬ p (q ᶺ p)] ¬q [¬ p (q ᶺ p)] ¬q
V V F V V F F
V F F F V V V
F V V F F F V
F F V F F V V
Ejemplo 2. Construir las tablas de la verdad de la proposición
[¬ p ᶺ (q v r ) ] [( p v r ) ᶺ q ]
Solución
Las combinaciones posibles son 2n = 23 = 8, porque tenemos tres proposiciones
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p q r ¬p (q v r) [¬ p ᶺ (q v r ) ] (p v r ) [( p v r ) ᶺ q ]
[¬ p ᶺ (q v r ) ] [( p v r ) ᶺ q ]
V V V F V F V V F
V V F F V F V V F
V F V F V F V F V
V F F F F F V F V
F V V V V V V V V
F V F V V V F F F
F F V V V V V F F
F F F V F F F F V
Ejemplo 3. Dadas las proposiciones p, q r cuyos valores de verdad son: p = V,
q = F, r = F .Hallar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta
¬ r ^ ( p v ¬ q)
Solución
¬ r ^ ( p v ¬ q) = ¬ F ^ (V v ¬ F) = V ^ (V v V ) = V ^ V = V
8. Proposiciones Lógicamente Equivalentes
Dos proposiciones son equivalentes cuando el resultado de sus tablas de verdad
son iguales.
Ejemplo. Las proposiciones ( p q) y (¬ p v q) son equivalente, ya que:
p q p q p q ¬ p ¬ p v q
V V V V V F V
V F F V F F F
F V V F V V V
F F V F F V V
Como observamos sus tablas de verdad son iguales
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La equivalencia entre dos proposiciones p y q lo escribimos como p ≈ q
La proposición p q es equivalente a (p q ) ^ ( q p)
Nota: La relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva
9. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS
Una expresión proposicional se llama Tautología, si los valores de verdad
de su operador principal son todos verdaderos.
Se llama Contradicción o anti tautología, si los valores de verdad de su
operador principal son todos falsos.
Se llama Contingencia, cuando los valores de verdad hay valores
verdaderos y falsos
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
DENOMINACIÓN REPRESENTACIÓN LÓGICA
Leyes Equipotenciales A => B = ~A v B
A ^ ~A = F
A v ~A = V
Leyes Conmutativas A ^ B = B ^ A
A v B = B v A
Leyes Distributivas A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C)
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A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C)
Leyes Asociativas A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C
A v (B v C) = (A v B) v C
Leyes Absortivas A ^ (A v B) = A
A v (A ^ B) = A
Leyes de DeMorgan ~(A ^ B) = ~A v ~B
~(A v B) = ~A ^ ~B
BIBLIOGRAFIA
Burgos ,Alfonso. Iniciación a la Lógica Matemática. Ediciones Vega S.R.L.
Huisa Sanizo , Rodolfo. Lógica Proposicional. Monografías. Com
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/capitulo_01.html
www.educared.org/wikiEducared/Lógica_proposicional.html
1. De los siguientes enunciados cuales son de proposiciones y cuáles no.
Justifica tu respuesta
a) Todos los planetas giran alrededor del sol
b) Si un número es divisible por 8 también lo es por 2
c) a + b + 10 = 20
d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7
e) Batman es el hombre murciélago
f) ¡Socorro!
g) Todo organismo viviente se adapta a su medio físico
h) ¿Habrá juicio final?
EJERCICIOS PROPUESTOS. TALLER DE LOGICA
PROPOSICIONAL
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2. Lectura
"Caía una espesa lluvia. Juan se despertó y lanzó un gemido ¡Aj,… aj,… el
colegio! Se levantó de la cama y se sentó en una silla. Oyó la bocina de un auto o
el silbato de un policía. Entonces se estremeció. Por causa del frío o del miedo.
Estaban haciendo tanto ruido. Repentinamente se le iluminó la cara. ¡Qué bien! Se
habían acordado de algo. Las clases no empiezan hoy, sino mañana"
Actividades
a). Señala 5 proposiciones simples ( p, q, r, s, t )de la lectura realizada
b). En base a lectura señala 5 proposiciones compuestas y escríbelas en lenguaje
simbólico
3. Dadas las siguientes proposiciones compuestas exprésalas en forma
simbólica como p,q,r , etc con sus correspondientes conectivos lógicos
a) O el barco se hundió por causa de un temporal o porque estaba mal
construido o porque choco con algo
b) si los chinos son amarillos y los alemanes tienen los pies grandes entonces
los cubanos son calvos
c) Juan es inteligente y Pedro es estudioso
d) Si a las ranas les gusta el agua entonces a las hormigas le gusta el vino
e) O a los elefantes le gusta bailar la rumba o a las tortugas le gusta la
velocidad
f) A los monos le gustan las bananas pero a los leones no
4. Si p: significa que Margarita es alta y q : significa que Margarita es
estudiosa escribir en lenguaje simbólico
a) a.-Margarita es alta y estudiosa
b) b.- No es cierto que Margarita sea baja y estudiosa
c) c.- Margarita es alta pero no es estudiosa
d) d.- Margarita es baja o es alta y estudiosa
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e) e.- Margarita no es ni alta ni estudiosa
f) f.-No es cierto que Margarita sea estudiosa ni alta
5. Si p: significa hace sol y q: significa está lloviendo se pide expresar en
lenguaje coloquial las siguientes proposiciones
a. p v q b. p ^ q c. p ^ ¬ q d. ¬ p v q e. ¬ p ^ ¬q f. ¬ ( ¬ q ) g. ¬ ( ¬p v ¬ q ) h. p ¬q i. ¬ ( p q) j. ¬ (p ¬ q)
6. Dado p : hace frio q : esta nublado y r : está lloviendo . Redacte en
lenguaje coloquial de dos formas diferentes las siguiente proposiciones
compuestas
¬(r p)
¬ ( p v q )
¬ ( p ^ r)
¬ (¬ q)
¬ ( q r )
¬ ( q v r )
¬ (r ^ p)
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7.-Expresa en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones
O no hace frio o no esta nublado
No es cierto que haga frio o que este nublado
No es cierto que si Juan no tiene tareas entonces va al cine
Luis este fin de semana ni va a la playa ni juega Softball
Margarita es inteligente pero no es alta
Margarita no es inteligente y no es gorda
Si Miguel no estudia entonces no aprueba el año escolar
No es cierto que Luis no es alto o no es gordo
8.-Señala el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) p v ¬p b) ¬ ( p ^ ¬ q) c) (p v q ) v ¬ p d) ¬ ( p ¬ q) e) ( p q ) v ¬ p f) ( p q ) ^ ¬ q g) ¬p ^ ( q v r) h) (p ^ q ) v ( q ^ r) i) ( p v r) ^ ( p q) j) ( p v q ) (q v r)
9.- Demuestre la equivalencia de las proposiciones usando las tablas de la verdad
p q es equivalente a (p q ) ^ ( q p)
10.- Demuestre que la proposición p q es equivalente a ¬ ( p ^ ¬ q )
mediante la construcción de sus tablas de verdad
11.- Demuestre que la proposición ¬ ( p v q) es equivalente a ¬ p ^ ¬ q
mediante la construcción de sus tablas de verdad
26 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
12.- Demuestre que la proposición ¬ ( p ^ q) es equivalente a ¬ p v ¬ q
mediante la construcción de sus tablas de verdad
13.- Señale si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o
contingencias
a.- (p ^ ¬ q ) (¬ p v ¬ q ) b.-( ¬ p ^ ( q v r )) ((p v r) ^ q ) c.- ¬ ( p ¬ q ) ( q ¬ p 14.- Dada la proposición p : Juan es inteligente y q: Juan es excelente estudiante, construye la proposición condicional, la recíproca , la inversa y la contrarecíproca 15.- Construye las tablas de la verdad de la proposición condicional, la recíproca, la inversa y la contrarecíproca y señala cuál de ellas son equivalente
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TEORIA DE CONJUNTOS Y OPERACIONES
CONJUNTO
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un
objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas,
números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es
un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del
arcoíris es:
A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas cualesquiera: A, B, ,…..X, Y, Z.
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada
elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es
infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede
realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado,
son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el
resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su
estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría
de conjuntos.
UNIDAD II
28 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
A los objetos que forman un conjunto lo llamaremos elementos de ese conjunto.
Se establece así una relación de pertenencia, en donde utilizaremos como
símbolo la letra griega épsilon (Є), para decir que el elemento “a” pertenece al
conjunto B, lo cual denotamos por “ a ∈ B “ .
Ejemplo
Dado el conjunto A = { a, b,c,d } podemos decir que “ b pertenece al conjunto A” y
se denota por b ∈ A , así también decimos que “ k no pertenece al conjunto A” lo
cual se denota como k ∉ A.
DETERMINACION DE CONJUNTOS
Decimos que un conjunto está bien determinado, cuando se puede decir , sin lugar
a dudas si un elemento cualquiera es o no es de ese conjunto .
Ejemplo
1.- El conjunto A = {Los días de la semana} está bien determinado, porque
podemos saber sin lugar a dudas cuáles son sus elementos
2.- El conjunto B = {Las muchachas feas} no está bien determinado, porque si
eliges una mujer no podrás decidir fácilmente hasta que edad se es “muchacha” ni
tampoco si es fea o no por cuanto esto es cuestión de gusto personal.
FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO
Utilizaremos dos formas de determinar un conjunto: Por extensión y por
comprensión
POR EXTENSION
Un conjunto está determinado por Extensión cuando se nombran cada uno de sus
elementos
29 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Así los conjuntos
A = { 1,3,5,7 } B = {-2, -1, 0, 1, 2 } C= { Junio, Julio } D = { Lara, Mérida }
Están determinados por extensión
POR COMPRENSION
Un conjunto está determinado por Comprensión cuando se da una propiedad que
verifican todos sus elementos y solo ellos. Para determinar un conjunto por
comprensión se acostumbra el uso de la siguiente notación.
A = {x /x cumple la propiedad p} que se lee “A es el conjunto de todos los x, tal que
x cumple la propiedad p “
Así por ejemplo tenemos los siguientes conjuntos expresados por comprensión
E = {X Є N / X es impar}
M = { y / y es un animal cuadrúpedo } y N = { m / m es una ciudad de Venezuela }
Ejemplo.
Dado los siguientes conjuntos por Extensión expresarlos por Comprensión
A = { a ,e, i,o,u } B = { 4,6,8,10 }
Solución
A = { Las Vocales } B = { X Є N y X es número par / 4 ≤ X ≤ 10 }
Ejemplo .
Dados los siguientes conjuntos por Comprensión expresarlos por extensión
C = { Las capitales de: Táchira, Mérida y Trujillo} D= {X ∈ Z / -2 ≤ X < 4 }
30 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Solución
C = { San Cristóbal, Mérida, Trujillo} D = { -2,-1,0,1,2,3 }
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Para representar los conjuntos suelen utilizarse los llamados DIAGRAMAS DE
VENN, que consisten en curvas cerradas, dentro de los cuales escribimos los
elementos del conjunto. Por ejemplo el conjunto A = {1, 2, 3,4} lo podemos
representar mediante un Diagrama de Venn , así:
A
CONJUNTO UNIVERSAL
El Conjunto Universal O Referencial, que normalmente se denota por las letras,
U, V ó E, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.
Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las
cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente
porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell.
Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por
ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto
referencial sería el conjunto formado por todas las letras del alfabeto.
.1
.2 .3
31 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Propiedades
Todo conjunto A es subconjunto de U:
Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto universal da U:
Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto universal resulta
el mismo conjunto:
CONJUNTO VACIO
Se denomina así al conjunto que no posee elementos. Lo denotamos con el
símbolo ( )
Los siguientes conjuntos son vacíos
A = {x / x es un polígono de dos lados} B = {x/x es una vaca con alas}
Propiedades
El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío:
El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal:
32 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
SUBCONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B diremos que “ B es Subconjunto de A”, si se cumple
que “Cada elemento del conjunto B es a su vez un elemento del conjunto A”
Simbólicamente A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,
a A a B.
Ejemplo .Dados los conjuntos A = { 1, 2, 4, 6 } y B = { 2,4 }, podemos decir que
B es subconjunto de A ya que :
“Todos los elementos del conjunto B pertenecen totalmente al conjunto A”. Usando un
Diagrama de Venn tenemos
A
Si un conjunto no es subconjunto de otro, se denota como:
CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no poseen elementos en común Ejemplo. Los conjuntos A = { 2,4,5 } y B = { 7,1,9 } son conjuntos disjuntos
B . 1
.6
.2
.4
33 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
INTERSECCION DE CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Simbólicamente = { X / X Є A y X Є B }
Graficamente
La zona sombreada es
Ejemplo 1
A = { 1,2,3,4,5,6,7,9 } y B = { 1,3,5,7,9,11,13 } .Calcula la intersección de ellos
La intersección de A y B será el conjunto formado por los elementos comunes a
los dos conjuntos
= { 1,3,5,7,9 }
34 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 2
A = { X Є N / X ≤ 5} y B = { X Є Z / -1 ≤ X < 3 }. Calcula la intersección de
ellos
A = { 0, 1,2,3,4,5 } y B = { -1,-2,0,1,2 } = { 0, 1,2 }
UNION DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los
elementos de A y de B
Simbólicamente = { X / X Є A ó X Є B }
Gráficamente
La zona sombreada es
Ejemplo 1
A = { a,b,c,d } y B = { a,c,e,f } .Calcula la unión de ellos
La unión de A y B será el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al
conjunto A y al conjunto B
= { a,b,c,d,e,f, }
35 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 2
A = { X Є N / X< 4 } y B = { X Є N / 2 < X ≤ 5 }. Calcula la unión de ellos
A= { 0, 1,2,3 } y B = { 3,4,5 } = { 0, 1,2,3,4,5 }
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A
El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los
elementos que no pertenecen a A.
Simbólicamente A∁ = X / X ∉ A
Gráficamente tenemos
La zona sombreada es A∁
36 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo. Dado el siguiente gráfico tenemos:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A CON RESPECTO A OTRO CONJUNTO B
Dados dos conjuntos A y B , tales que “A С B” , ( A es subconjunto de B), se
denomina “ Complemento de A con respecto a B “ al conjunto formado por los
elementos de B que no pertenecen al conjunto A. El complemento de A con
respecto a B lo denotamos como sigue
Simbólicamente С AB = { X / X ∈ B y X ∉ A. siendo A C B } .
37 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Gráficamente tenemos
B
La zona sombreada representa al conjunto С AB
Ejemplo 1. Determina el complemento de A con respecto a B
Si A = { a, b, e } y B = { a, b, c, d, e, f } С AB = { c, d, f }
Ejemplo 2. Determina el complemento de B con respecto a G
G = { X Є N / X< 8 } y B = { X Є N / X < 5 }.
G = { 0,1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 0,1,2,3,4 } luego С BG = { 5,6,7 }
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos cualesquiera A y B , llamaremos “ Diferencia de A menos B
“al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia
entre A y B en ese orden la denotaremos A – B
Simbólicamente
A
38 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Gráficamente tenemos
La zona sombreada es A – B Ejemplo . Dado el siguiente gráfico se cumple que :
y además
Ejemplo
Dados los conjuntos A = { 2,3,4,5 } y B = { 3,0,4,-1 }. Determina A – B y B – A
A – B = { 2,5 } elementos de A que no están en B
B – A = { 0,-1 } elementos de B que no están en A
39 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
PARTICION DE UN CONJUNTO
Se denomina Partición de un Conjunto A , lo cual se denota por P { A } al
conjunto formado por los subconjuntos A1, A2,…,An del conjunto A, tales que se
cumple que:1) los subconjuntos son no vacíos, 2) los subconjuntos son disjuntos
dos a dos y 3) la unión de los subconjuntos nos da el conjunto A
Ejemplo 1. Dado el conjunto A = { a, b ,c, d ,e ,f, g } , consideremos los siguientes
subconjuntos de A, no vacíos
A1 = {a, b } A2 = { c, f, g } y A3 = { e, d }
En ellos se cumple que:
1.- A1, A2 y A3 son no vacíos
2.-A1 ∩ A 2 = , A2 ∩ A 3 = , A1 ∩ A 3 = ósea A1 , A 2 y A3 son disjuntos
dos a dos, ya que sus intersecciones nos da como resultado el conjunto vacío , en
todas las combinaciones posibles entre cada par de subconjuntos construidos
3. A1 U A 2 U A3 = { a, b ,c ,d ,e ,f ,g } = A
Se dice entonces que los subconjuntos A1 , A 2 y A3 forman una partición de A
P {A} = { A1 , A2 , A3 }
Ejemplo 2
Si consideramos el conjunto N = {números naturales} y los subconjuntos
P = {números pares} e I = {números impares} tendremos que
1.- P e I son conjuntos no vacíos
2.- P ∩ I =
3.- P U I = N
40 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Luego los conjuntos P e I forman una partición del conjunto de los números
naturales N
P{N} = { P , I }
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera se denomina Cardinal al número de elementos
distintos entre sí, de ese conjunto, lo cual se denota con el símbolo # A
Ejemplo 1
Dado el conjunto A = { a, b ,c , d, e, f, g } su cardinal es # A = 7 ya que posee 7
elementos
Ejemplo 2. Dado el conjunto B = {x, x, e, e, a, a} su cardinal es #B = 3 ya que hay
3 elementos distintos entre sí
Si poseemos dos conjuntos se cumple que # ( A U B ) = # A + # B - # ( )
Ejemplo 3. Dado A = {1,3,6,9 } y B = {3,7,1,2,6}.Encuentra el cardinal de A U B. y
demuestra que la fórmula dada es correcta
A U B = {1,3,6,9,2,7} luego # (A U B ) = 6
Al aplicar la formula dada tenemos
# ( A U B ) = # A + # B - # ( ) = 4 + 5 – 3 = 6
lo que se corresponde con el cardinal de A U B calculado
= {1,3,6} de donde # = 3. Además tenemos que # A = 4 y
# B = 5
Si tenemos tres conjuntos utilizamos los Diagramas de Venn para resolver
problemas de cardinales
41 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 4
Según la preferencia de 420 personas que ven los canales A, B ó C. Se observa
que 180 ven el canal A,240 ven el canal B, 150 no ven el canal C, los que ven por
lo menos dos canales son 230. ¿Cuántos ven los tres canales?
Solución
42 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
PRODUCTO CARTESIANO.
El Producto Cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B
Ejemplo. Dado A = { a, b ,c } y B = { 1,2 }
Determina los Productos Cartesianos A x B y B x A
A x B = { (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2) }
B x A = { (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c) }
Algunas de las operaciones con conjuntos poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo:
la unión y la intersección son conmutativas y asociativas.
El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano.
El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional
LEYES FUNDAMENTALES
Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:
Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:
43 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ley conmutativa:
Ley asociativa:
Ley distributiva
Proposición 2: Existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío
Ley de identidad:
Ley de complemento:
44 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Proposición 3: Dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:
Ley de idempotencia:
Ley de dominación:
Ley de absorción:
Ley De Morgan
RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a, b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:
CONJUNTO A U B A C A - B A = B A B
PROPOSICION a v b a ^ b ¬ a a ^ ¬ b a b a b
La operación de unión de dos conjuntos es equivalente a la disyunción de proposiciones ,la operación de intersección de dos conjuntos es equivalente a la conjunción de proposiciones, la operación de complemento de un conjunto es
45 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
equivalente a la negación de una proposición , la operación de diferencia entre dos conjuntos es equivalente a la negación del condicional de proposiciones, la noción de igualdad de conjuntos es equivalente al bicondicional de proposiciones y la noción de subconjuntos es equivalente a la condicional de proposiciones
Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa a modo de ejemplo:
A ( A B ) = A a ( b c ) a
A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) a ( b c ) ( a b ) ( a c )
( A B )C = A
C B
C ¬ ( a b ) ¬ a ¬ b
Ejemplo: Probar que (A – B) ∩ (A – C) = A – (B ∪ C)
Demostración
x ∈ (A – B) ∩ (A – C)
⇔ x ∈ (A – B) ∧ x ∈ (A – C) (def. de intersec.)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) (def. de resta) ⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ B) ∧ ~(x ∈ C) (Lóg. Prop.)
⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ B ∨ x ∈ C) (Morgan)
⇔ x ∈ A ∧ ~(x ∈ (B ∪ C)) (def. de unión)
⇔ x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C) (def. de ∉) ⇔ x ∈ A – (B ∪ C) (def. de resta)
Por lo tanto (A – B) ∩ (A – C) = A – (B ∪ C)
BIBLIOGRAFIA
1,. Salazar Jorge, Rodríguez Eduardo, Rojas Jiménez J y otros. (1972) MATEMATICA.(Segundo Año de Ciclo Básico). Ediciones CO – BO, Caracas. 2.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Teoría de Conjuntos 3.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal 4.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Algebra de Conjuntos 5.- Wikipedia Enciclopedia Libre. es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_ 6.-Teoria de Conjuntos. wmatem.eis.uva.es/~matpag/.../Conjuntos/marco_conjuntos.htm.-
46 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
GUÍA DE EJERCICIOS DE TEORIA DE CONJUNTOS.
1. Dados los siguientes conjuntos por extensión expresarlos por comprensión
1.1 .- A = { amarillo, azul y rojo } 1.2 .- B = { gallina, pavo, codorniz, paloma} 1.3 .- C = { vaca, conejo, cordero, cerdo } 1.4 .- D= { 3,4,5,6,7,} 1.5 .- E = {-6,-5,-4,-3,-2} 1.6 .- F = { 1,3,5,7,9,11,….}
2. Dados los siguientes conjuntos por comprensión expresarlos por extensión
2.1 .- A = { X Є N/ X ≤ 5} 2.2 .- B = { X Є Z / -4 < X ≤ 2 } 2.3 .- C = { X Є N / X > 3 } 2.4 .- D= { Colores primarios que combinados forman el color verde} 2.5 .- E = { Valores de verdad que puede adoptar una proposición} 2.6 .- F = {Las cinco primeras letras del abecedario}
3.-Dados los siguientes conjuntos: A = {a, b, s , d, m} B = {d,m,1,2,3} C = {m,1,2,a} D = {2,4,6,s,d} E = {1,a,2,m,7,8,,h} F = {2,4,6} G = {b,s,3,7} H = {a,m,1,6,8} Efectúa las operaciones señaladas e indica su cardinal
3.1 .- A U B, C U D, E U F , G U H
3.2 .- La intersección de los conjuntos: A ∩ B , C ∩ B , E ∩ F , G ∩ H 3.3 .- A – B , B – C , C – D , D – E , E – F , F – H , 3.4 .- C F D , C C
E 3.5 .- El producto cartesiano de los conjuntos : A x F, B x G , D x F , G x H 3.6 .-Construye una partición de los conjuntos: A , E y H
3.7 .- ( B U H ) - F , ( A U B ) - (F U G ) , ( B ∩ C) U (A ∩ B),
3.8 .- (A – B) ∩ (A – C) , A – (B ∪ C), (E ∩
4.- Utilizando las propiedades de la lógica proposicional y de la Teoría de Conjuntos realice las siguientes demostraciones
47 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
A ( A B ) = A
( A B )C = A
C B
C
5.-Ejercicios de aplicación de cardinal de conjuntos Se hace una encuesta a 600 varones respecto del uso de tres marcas de camisas: Arrow, Van Heusen y McGregor. Se obtuvo la siguiente información : a)180 varones usan Arrow pero no Van Heusen. b)200 usan McGregor y Van Heusen. c)160 usan Van Heusen pero nunca usan Arrow. d)100 usan Arrow y Van Heusen pero nunca han usado McGregor. e)290 nunca han usado McGregor. f)50 sólo usan Van Heusen. g)200 han usado sólo una (cualquiera) de estas tres marcas. a) Distribuya la información en un Diagrama de Venn adecuado a la situación. b) Determine : i) ¿Cuántos encuestados no usan de estas camisas? ii) ¿Cuántos encuestados usan McGregor y Arrow? iii) ¿Cuántos encuestados usan solamente McGregor y Arrow? Respuestas: i) son 60 los encuestados que no usan de estas camisas. ii) son 130 los encuestados que usan McGregor y Arrow iii)son 40 los encuestados que usan solamente McGregor y Arrow Ejercicios de aplicación de cardinal de conjuntos
-En una encuesta realizada a 200 personas para saber del consumo de los refrescos A , B y C , se encontró que : a) 60 personas sólo consumen el refresco A , b) 22 personas consumen dos de los tres refrescos, c) 8 personas consumen los tres refrescos d) los que consumen B o C pero no A son 72 e) los que consumen B y C pero no A son 12 , f) la cardinal de la intersección de A y B es igual a la cardinal de la intersección de A y C , g) 50 personas consumen el refresco C, .i. Distribuya la información en un Diagrama de Venn adecuado a la situación ii)¿Cuántas personas consumen el refresco A ? iii)¿ Cuantas personas consumen uno de los tres refrescos? iv) ¿Qué porcentaje de personas no consume ningún refresco? Respuestas: ii) 78 personas consumen A iii) 150 personas consumen uno de los tres refrescos y iv) 50 personas no consumen ningún refresco lo que equivale al 25%.
48 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Para plantear una ecuación debemos comprender las condiciones del problema, cuantas
variables están presentes en el mismo y como se relacionan entre sí.
En una primera etapa decodificamos la información y trasladamos el lenguaje coloquial a
lenguaje matemático, utilizando para ello los recursos que hemos aprendido de la lógica
proposicional, de la teoría de conjunto, así como de nuestras propias estrategias de
solución de problemas.
Cuando pasamos la información a un lenguaje matemático estamos en presencia de una
expresión algebraica que se transformará debido a nuestra destreza y creatividad en una
ecuación cuando las igualamos con algún valor dado en las condiciones del problema.
Con el fin de facilitar el planteamiento de ecuaciones se establecen las siguientes
relaciones entre el lenguaje coloquial y el lenguaje matemático
LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMÁTICO
(EXPRESIÓN ALGEBRAICA)
Un número cualquiera X
El doble de un número 2.X
El triple de un número, el cuádruple, etc 3.X , 4.X , 5.X , etc
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMATICO
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES
UNIDAD III
49 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
La mitad de un número
La tercera parte, la cuarta , etc
Dos números naturales consecutivos X y ( X + 1 )
La suma de dos números naturales consecutivos X + ( X + 1 )
Un numero par 2. X
Un número impar 2 . X + 1
La suma de dos números pares consecutivos 2 . X + ( 2 . X + 2 )
La suma de dos números impares consecutivos ( 2.X + 1 ) + ( 2 . X + 3 )
Dos números naturales cualesquiera no consecutivos X y Y
Ejemplo 1
El doble de un número menos su cuarta parte es 14 . Encontrar el número
Planteamiento y Solución
= 14
8 . X – X = 56 (Se Eliminan denominadores)
7 . X = 56
X =
X = 8
Demostración
= 14
= 14
X = 8
50 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
16 - 2 = 14
14 = 14
Ejemplo 2
La suma de dos números impares consecutivos es 108 . Encuentra los números
Planteamiento y Solución
( 2.X +1) + (2.X +3) = 108
2.X + 2.X = 108 - 1 - 3
4.X = 104
X =
Pero 26 no es un número impar, de aquí que los números solicitados serán
2.X + 1 = 2 . (26) + 1 = 52 + 1 = 53
2 . X + 3 = 2 . ( 26) + 3 = 52 + 3 = 55
Los números impares consecutivos son 53 y 55
Demostración
( 2.X + 1 ) + ( 2.X + 3) = 108
[2.(26) + 1 ] + [ 2. (26) + 3 ] = 108
53 + 55 = 108
14 = 14
X = 26
108 = 108
51 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 3
Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace diez años tenía el doble de la edad de
ella. Cuantos años tiene el ?
Planteamiento y Solución
En este problema están presentes dos variables
X= edad del hombre actualmente Y = edad de la esposa actualmente
X = Y + 7
( X – 10) = 2. (Y -10)
Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que resolvemos con
cualquiera de los métodos analíticos conocidos : Reducción, Igualación, Sustitución y
Cramer
Aplicando el método de Reducción tenemos
X - Y = 7 X - Y = 7
X – 10 = 2.Y - 20 X - 2.Y = -20 + 10
X - Y = 7 (-2) X – Y = 7
X - 2.Y = - 10 (1) X - 2.Y = -10
-2.X + 2.Y = -14
X – 2.Y = -10
-X = -24
X = 24
52 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Sustituyendo X = 24 en la ecuación X = Y + 7 tenemos
X = Y + 7
X – 7 = Y
Y = X – 7 Y = ( 24 ) – 7
El hombre tiene 24 años y su esposa tiene 17
Demostración
X = Y + 7 (24) = (17) + 7
( X – 10) = 2. (Y -10) [ (24) - 10] = 2.[ (17) – 10 ]
24 = 24
14 = 2. ( 7 )
A través de estos ejemplos se ilustró el planteamiento de ecuaciones lineales ( Una sola
variable) y de sistemas de ecuaciones lineales ( Dos Variables). Pero también podemos
plantear Inecuaciones en ellas las expresiones algebraicas se relacionan con un intervalo
de números reales y para ello utilizamos las relaciones de orden ; esto es, las relaciones ≥ ,
≤ , > y <
Ejemplo 4
El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está dado por la
ecuación de costos C (x) = 3100 + 25.X y cada unidad se vende en 37 Bs. El fabricante
quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para obtener una utilidad de al
menos 2000Bs
Y = 17
24 = 24
14 = 14
53 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Planteamiento y Solución
Debemos conocer ciertas fórmulas básicas relacionadas con el tema
Utilidad = Ingreso – Costos entonces U (x) = I (x) – C(x)
Ingreso = Precio x Número de artículos vendidos entonces I(x) = P. X
En este caso I(X) = 37. X
De donde U(X) = 37.X – ( 3100 + 25.X) ≥ 2000
37.X - 25.X ≥ 2000 + 3100
12.X ≥ 5100
X ≥
El fabricante deberá producir y vender 425 artículos para
obtener una utilidad de al menos 2000 Bs
Demostración
El Ingreso será I(X) = 37. X I(x) = 37.( 425 ) = 15725 Bs
Los Ingresos son de 15725 Bs
Los Costos de producción son C (x) = 3100 + 25.X = 3100 + 25 (425) = 13.725 Bs
La Utilidad será, Utilidad = Ingreso – Costos = 15725 Bs – 13.725Bs = 2000 Bs
X ≥ 425
54 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
RAZÓN: Denominamos así a la relación que guardan entre si dos cantidades al comparar
una con la otra. Una razón geométrica es una fracción, pues es el resultado de dividir el
numerador entre el denominador
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Denominamos así a la igualdad de dos razones
Geométricas .Cuando decimos razón nos referimos a dos cantidades y cuando decimos
proporción nos referimos a cuatro cantidades
Si partimos de una razón en la cual ampliamos o simplificamos sus términos para obtener
otra razón equivalente, podemos formar una proporción
Ejemplo
Si partimos de la razón
y la multiplicamos arriba y abajo por 3 obtendremos
siendo
ambas razones equivalentes
8 = 24 Se escribe 8 : 4 : : 24 : 12
4 12 Se lee “ 8 es a 4 como 24 es a 12 “
Ambas fracciones son equivalentes
VARIABLES DEPENDIENTES: Son aquellas cantidades que por estar una en función de
la otra al variar una de ellas también se modifica la otra
CANTIDADES VARIABLES DEPENDIENTES EN FORMA PROPORCIONAL: Es cuando
dos variables mantienen una relación constante de variación y ellas pueden ser
directamente proporcionales o inversamente proporcionales
DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la
otra aumenta o disminuye en la misma proporción
Ejemplo 1
Un metro de tela lo vendemos a 10 Bs, si vendemos 2 metros de la misma tela entonces
cuesta 20 Bs. La relación es de MAS a MAS en forma directamente proporcional pues a
más metros de tela vendidos más ganancia en bolívares
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA Y REGLA DE TRES
COMPUESTA DIRECTA, INVERSA Y MIXTA
55 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 2
Si vendemos 20 metros de tela a Bs 10 cada metro, la ganancia será de Bs 200 Si
disminuimos los metros de tela vendidos disminuirá la ganancia en la venta En este caso
decimos que la variación va de MENOS a MENOS en forma directamente proporcional
INVERSAMENTE PROPORCIONALES: Es cuando al aumentar una variable la otra
disminuye y viceversa.
Ejemplo 1
Si un móvil a 50 Km/h necesita 4 horas para recorrer la distancia que existe entre dos
puntos. Si aumentamos su velocidad a 100 Km/h entonces disminuirá la cantidad de tiempo
que necesita para recorrer la misma distancia. La relación es de MAS a MENOS en forma
inversamente proporcional. pues a más velocidad menos tiempo
Ejemplo 2
Si un móvil a 100 Km/h necesita 2 horas para recorrer la distancia que existe entre dos
puntos. Si disminuimos su velocidad a 50 Km/h entonces aumentará la cantidad de tiempo
que necesita para recorrer la misma distancia. La relación es de MENOS a MAS en
forma inversamente proporcional. pues a menos velocidad más tiempo.
REGLA DE TRES SIMPLE: Tiene por objeto dado tres términos de una proporción,
encontrar el cuarto. Es decir, nos proporcionan tres cantidades conocidas para determinar
una cuarta desconocida .Ella puede ser: Directa o Inversa
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Cuando le corresponden cantidades directamente
proporcionales (Relaciones de MAS a MAS o de MENOS a MENOS)
Ejemplo.
Si la venta de 40 máquinas ascendió a 52.000 Bs. Cuánto ascenderá la venta de 30
máquinas.
Solución
Se trata de una relación de MENOS a MENOS
40 máquinas 52.000 Bs 40 = 52.000
30 máquinas X 30 X
X = (52.000). 30 = 39.000 Bs
40
56 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Cuando le corresponde cantidades inversamente
proporcionales (Relaciones de MAS a MENOS ó de MENOS a MAS)
Ejemplo
20 obreros necesitan de 60 días para hacer un trabajo. Cuántos días emplearán 5 obreros
para realizar el mismo trabajo.
Solución
Se trata de una relación de MENOS a MAS
20 obreros 60 días 5 = 60
5 obreros X
20 X
Dada la razón
su inversa será
X = (60). 20 = 240 Días
5
REGLA DE TRES COMPUESTA: Está formada por dos o más reglas de tres simples y
puede ser: Directa, Inversa y Mixta
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA: Está formada por dos o más reglas de tres
simples directas
Ejemplo
Si 30 obreros trabajando en 10 horas diarias durante 20 días han producido 60 unidades
de un determinado artículo .Cuántas unidades producirán 40 obreros trabajando 8 horas
diarias durante 30 días
Solución
Hay tres Reglas de Tres Simple Directas
30 obreros 10 Horas 20 Días 60 unidades
40 obreros 8 Horas 30 Días X
Estas son
1) 30 Obreros 60 Unidades
40 Obreros X
Hay una relación de MAS a MAS donde surge la razón 30
40
57 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
2) 10 Horas 60 Unidades
8 Horas X
Hay una relación de MENOS a MENOS donde surge la razón 10
8
3) 20 Días 60 Unidades
30 Días X
Hay una relación de MAS a MAS donde surge la razón 20
30
La respuesta definitiva será 30 . 10 . 20 = 60
40 8 30 X
6000 = 60 X = ( 60).(9600) = 96 Unidades
9600 X 6000
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA: Está formada por dos o más reglas de tres
simples inversas
Ejemplo
Si 15 obreros en 6 horas diarias realizaron una obra en 40 días .Cuántos días tardarán en
realizar la misma obra 20 obreros trabajando 4 horas diarias
Solución
Hay dos Reglas de Tres Simples Inversa
15 Obreros 6 Horas 40 Días
20 Obreros 4 Horas X
Estas son
1) 15 Obreros 40 Días
20 Obreros X
Hay una relación de MAS a MENOS y surge la razón 20 (Inversa de la razón
)
15
58 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
2) 6 Horas 40 Días
4 Horas X
Hay una relación de MENOS a MAS y surge la razón 4 (Inversa de la razón
)
6
La respuesta definitiva será 20 . 4 = 40 80 = 40
15 6 X 90 X
X = (40).(90) = 45 días
80
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA: Es aquella que está formada por dos o más
reglas de tres simples directa o inversa
Ejemplo
Para construir 2 Kilómetros de carretera emplearon 6 máquinas trabajando 12 horas
diarias durante 36 días. Cuántos días se necesitarán para construir 6 Kilómetros de
carretera de la misma característica anterior, si empleamos 9 máquinas, trabajando 9
horas diarias
Solución
2 Km 6 máquinas 12 Hrs 36 Días
6 Km 9 máquinas 9 Hrs X
Hay una Regla de Tres Simple Directa y dos Reglas de Tres Simples Inversas:
1) 2 Km 36 Días
6 Km X
Se tiene una relación de MAS a MAS y surge la razón
2) 6 máquinas 36 Días
9 máquinas X
Se tiene una relación MAS a MENOS y surge la razón
(Inversa de la razón
)
3) 12 Hrs 36 Días
9 Hrs X
59 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Se tiene la relación MENOS a MAS y surge la razón
(Inversa de la razón
)
La respuesta definitiva será 2 . 9 . 9 = 36
6 6 12 X
162 = 36 X = ( 36).( 432) = 96 Días
432 X 162
Para resolver problemas con porcentaje consideramos que la cantidad referenciada en el
ejercicio corresponde al 100% del total y planteamos así una regla de tres simple directa
ya que las magnitudes son directamente proporcionales. Sin embargo, se expondrá un
procedimiento alterno
Ejemplo 1
Un par de zapatos cuestan 1350 Bs , pero se vendieron con un descuento del 20%.Cuánto
se pagó por ellos
Planteamiento y Solución
1350 Bs 100%
X 20%
El descuento es de 270 Bs .de aquí que, el precio de los zapatos es
1350 Bs – 270 Bs = 1080 Bs
Sin embargo , este problema se podría analizar así :
“ Si el par de zapatos cuesta un 100% y se le aplica un descuento de 20%, entonces el
nuevo precio es de ( 100% - 20% = 80 % ) “
Calculemos el 80% de 1350 Bs = 1350 Bs . ( 0,80 ) = 1080 Bs
Nota se multiplica por 0,80 porque 80% =
= 0,80
El precio de los zapatos es de 1080 Bs
PORCENTAJES
60 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
Ejemplo 2
Qué porcentaje de 350 manzanas es 70 manzanas
Planteamiento y solución
350 manzanas 100%
= 20%
70 manzanas X
Respuesta: 70 manzanas es el 20% del total de manzanas
Ejemplo 3
Una señora al morir deja Bs 10.000.000 con estas instrucciones: a) el 45% para una hija,
b) el 40% del resto para el nieto c) lo demás para su parroquia. Cuánto le corresponde a
cada uno
Planteamiento y Solución
45% de 10.000.000 Bs = 10.000.000. (0.45) = 4.500.000Bs ( Para la hija)
Si el total de la herencia es el 100% y le dio 45% a su hija le queda entonces
100% - 45% = 55% de la herencia.
Pero de ese 55% tomo el 40% ; esto es , el 40% de 55 = 55. (0,40) = 22%
Luego 22% de 10.000.000 Bs = 10.000.000 .(0,22) = 2.200.000 Bs ( para el nieto)
Hasta ahora a repartido 45% para la hija + 22% para el nieto = 67% de la
herencia
Quiere decir que a la parroquia le queda como herencia 100% - 67% = 33%
En definitiva el 33% de 10.000.000 Bs = 10.000.000 . (0,33) = 3.300.000 Bs
(A la Parroquia le corresponden 3.300.000 Bs)
Ejemplo 4
María tiene cierta cantidad de dinero. Si gasta el 30% y gana el 28% de lo que le queda,
perdería 1.560 bolívares. La cantidad de dinero de María es:
Planteamiento y Solución
Consideremos que la cantidad de dinero que posee María es 100%,
Gasta 30% entonces le queda 100% - 30% = 70%
Gana 28% de lo que le queda = 28% de 70% = (0,28). 70 = 19,6 %
61 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
La cantidad de dinero de María =( 70% de lo que tenía) + (19,6% que ganó)
= 89,6%
Ella está perdiendo de su dinero entonces: 100% - 89,6% = 10,4 %
Según el problema su perdida es de 1560Bs .De aquí que 10,4% .X = 1560Bs ,
donde X es la cantidad de dinero que deseamos conocer de María
Pero 10,4% =
= 0,104
10,4% .X = 1560Bs 0,104.X = 1560Bs X =
= 15.000 Bs
María tiene 15.000 Bs
Demostración
Gasto 30% de 15.000Bs = 15.000.(0,3) = 4500 Bs
Le queda 15.000 Bs – 4500 Bs = 10.500 Bs
Gana el 28% de lo que le queda = 28% de 10.500Bs = 10.500.(0,28) = 2940Bs
El dinero de María = 10.500Bs +2940 Bs = 13440 Bs
La pérdida de María será de 15.000Bs – 13440 Bs = 1560Bs tal como lo plantea el
ejercicio propuesto
Planteamiento y Solución de Ecuaciones de Primer Grado en R y Sistemas de
Ecuaciones con dos Incógnitas en R
1. La suma de tres números impares consecutivos es 27. Hallar los números R:7,9,11
2. La suma de tres números pares consecutivos es 246. Hallar los números R:
80,82,84
3. Un número más su doble es igual a 54. Cuál es el número R : 18
4. La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los números
R:15,17,19
5. El opuesto de un número más tres veces el mismo número es igual a 50. Cuál es el
número R :25
EJERCICIOS PROPUESTOS
62 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
6. La suma de dos números consecutivos es 19. Determina cada uno de ellos R :9,10
7. Determina una fracción tal que al restarle 4/5 a su duplo da
R : 83/120
8. Los
de una fracción menos
es igual a los
de la fracción. Hallar dicha fracción
R : 90/161
9. Dados dos números pares consecutivos, el menor es igual a
del mayor. Hallar los
números R : 14 , 16
10. En un salón de clases hay 48 alumnos. Si el número de hembras es el triple que el
de varones. Cuántos varones y cuántas hembras hay ? R : V=12 H = 36
11. El promedio de dos números es 30. Si uno de ellos es el doble del otro. Calcular los
números
R : Y = 20 X = 40
12. La edad de Juan más el doble de la edad de Pedro es 80. Si Juan es 10 años menor
que Pedro. Calcular la edad de ambos R : Pedro =30 Juan =20
13. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero entre 12 y el segundo entre
10 la suma de estos cocientes es 19. Cuáles son los números R: 60 y 140
14. En una boutique hay 50 carteras distribuidas en dos estantes. Si se pasan 5 carteras
del estante de abajo al de arriba. La cantidad de carteras del estante de arriba
sería el cuádruple de la del estante de abajo. Cuántas carteras hay en cada estante
R: arriba 35 abajo 15
15. Martín le dijo a Andrea “Pensé en un número de dos cifras y lo único que te diré es
que la suma de sus dígitos es 13 y que el número que ocupa el lugar de las decenas
es cinco unidades menor que la cifra que ocupa el lugar de las unidades”. Qué
número pensó Martín R : 49
16. En un colegio hay 80 personas entre profesoras y profesores. A una reunión asistió
2/3 de las profesoras y 1/5 de los profesores siendo en total 37 personas. Cuántos
profesoras y profesores tiene el colegio R: Profesoras 45 y Profesores 35
EJERCICIOS DE INECUACIONES
1. El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está
dado por la ecuación de costos C (x) = 2800 + 13.X y cada unidad se vende en 45
Bs. El fabricante quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para
obtener una utilidad de al menos 5000Bs R.- 244 Artículos
63 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
2. El doble de un número menos su tercera parte es mayor o igual a 35. Qué conjunto
de números reales cumplen esta condición, Exprésalo además como un intervalo
R.- X ≥ 21 ; esto es, X ϵ [ 21,∞)
3. Un número impar más su doble es mayor o igual a 33. A partir de cuales números
impares es válida la anterior condición R.- A partir del número impar 11
4. La suma de dos números pares consecutivos es mayor o igual que 50 .A partir de
cuales números pares es válida la anterior condición R)A partir del número par 24
5. El costo total en bolívares de producción de x unidades de cierto artículo, está
dado por la ecuación de costos C (x) = 1500 + 12.X. El fabricante sólo posee
5000Bs para cubrir los costos de producción. Cuántos artículos deberá producir
como máximo para que los costos no superen el capital que posee R) 291
artículos
6. El triple de un número más su doble no supera 175 . . Qué conjunto de números
reales cumplen esta condición, Exprésalo además como un intervalo
R.- X < 35 ; esto es, X ϵ ( - ∞, 35 )
7. Un ascensor de carga pesa 375,3 Kg y se desean subir siete cajas iguales en él,
pero el peso máximo permitido es de 1000 Kg. Cuánto debe pesar cada caja ?
R) Cada caja debe pesar menos de 89,24 Kgr
Regla De Tres Simple Directa E Inversa Y Regla De Tres Compuesta Directa, Inversa Y
Mixta
1. Para cercar un terreno se necesitan 250 postes, colocados a una distancia de 4
metros uno del otro .Si colocamos los postes a una distancia de 2,5 metros.
¿Cuántos postes se necesitarán? R : 400
2. Un departamento produce 640 piezas trabajando a una capacidad del 80 % .
¿Cuántas piezas producirá si trabaja a una capacidad del 70%? R: 560
3. Una fábrica trabajando al 100% de su capacidad, tiene materia prima para 72
días. Si se desea que la materia prima alcance para 90 días ¿A qué capacidad
debería de trabajar? R : 80%
4. El costo de la construcción de un muro de 12 metros de largo, por 3 metros de
alto, por 0,5 de ancho ascendió a Bs 12.000 ¿Cuánto nos costará construir otro
de 7 metros de largo, por 3,5 de alto por 0,60 de ancho? R: Bs 9.800
5. Si un móvil a una velocidad de 120 Km/ h necesita 4 h y 20 min para recorrer la
distancia comprendida entre dos puntos ¿Cuánto tiempo necesitará si disminuye
la velocidad a 100 Km/ h ? R: 5 Horas y 12 minutos
64 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
6. Si 20 obreros trabajando 8 horas diarias en 20 días han producido 300 unidades
de un determinado artículo. ¿Cuántas unidades producirán 15 obreros
trabajando 10 horas diarias durante 30 días? R: 421,88 artículos
7. Si 30 obreros trabajando 6 horas diarias, terminaron una obra en 40 días.
¿Cuántos días tardaran en realizar la misma obra 40 obreros trabajando 4 horas
diarias? R: 45 Días
8. Hemos comprado un lote de cajas de jabón por Bs 7.000 . Si hubiéramos
comprado 120 cajas más, su costo hubiera ascendido a Bs 9.000. Determina el
número de cajas compradas R : 420 Cajas
9. Con 40 sacos de 50 Kgrs cada uno de un determinado producto, se han
alimentado a 30 animales durante 20 días. Suministrando la misma ración
¿Cuántos animales podré alimentar durante 32 días con 50 sacos de 96 Kgrs
cada uno? R : 45 animales
10. Para fabricar un toldo de 4 metros de ancho por 25 metros de largo se precisan
40 Kgr de hilo. Si se modifica el ancho a 5 metros y se utilizan los mismos 40
Kgrs de hilo. ¿Qué longitud tendrá el toldo? R: 20 m de Longitud
11. Un cuartel con 300 soldados, tiene provisiones para 40 días dando a cada
soldado 3 raciones diarias. Si llegan 100 soldados más y las provisiones deben
alcanzar para 50 días. ¿Cuántas raciones diarias se podrán dar a cada soldado?
R: 1,8 raciones diarias 12. Doce náufragos disponen de agua para 15 días .Al finalizar el séptimo murieron
4 náufragos. ¿Para cuántos días tendrán agua los sobrevivientes? R: 12 Días
13. Un departamento produce 150 piezas con 15 obreros trabajando 8 horas diarias.
Suponiendo que la producción aumenta o disminuye en forma proporcional al
número de obreros-hora trabajada. ¿Cuántas piezas se producirán si se despiden
a 4 obreros y se aumenta la jornada de trabajo a 10 horas diarias? R: 137,5
piezas
Ejercicios de Porcentajes
1. Si a una cantidad le quito el 40% y a lo quitado lo aumento en un 50%, se obtiene
la quinta parte de 180. ¿De qué cantidad se trata? R.- 45
2. Se ha vendido una mercancía por 7.500 bolívares. Si se hubiera vendido por
500 bolívares más, se habría ganado 2.000 bolívares. De hacerlo así, qué
porcentaje representa al precio de compra : R:_ 75%
3. En un depósito hay 900 kg. de granos, de los cuales 35% son caraotas y el resto son
lentejas. Si se desea que las caraotas sean el 60% del total, entonces, los
kilogramos de lentejas que hay que sacar son: R.- 375 Kgrs
65 Área Cuantitativa ENAHP-IUT Elaborado Por: Prof. Aracelis M Núñez R.
4. Un vendedor recarga el precio de sus artículos en un 30% de su valor, pero antes
les hace una rebaja del 10%. El máximo descuento que puede ofrecer para venderlo
en el precio inicial es de: R.- 17% Rebaja
5. Dos cursos presentaron el mismo examen de matemática. En el primer curso de 20
estudiantes aprobó el 90%. En el segundo aprobó el 75%.Entre los dos cursos
aprobaron el 81%. ¿Cuántos estudiantes había en el segundo curso? R.- 30
alumnos 6. 99 muchachas y un muchacho están en un salón. ¿Cuántas muchachas deben salir
del salón para que el porcentaje de muchachas llegue a ser un 98%?
R.-50 Muchachas
7. Un empleado recibe un aumento salarial escalonado .Primero recibe 25% y al mes
siguiente 25% adicional .A los seis meses recibe un 15% y el siguiente mes 10% . A
cuánto asciende el aumento salarial del empleado? R .- 97,66%.
BIBLIOGRAFIA .
1. Jorge Salazar. (1987) Matemática. Séptimo Grado. Editorial Romor. Caracas
2. Arya , Lardner. (2002). Matemática aplicada a la Administración y a la
Economía. (IV Edición). Pearson Educación. México.
3. A Redondo (1989).Curso Práctico de Cálculo Mercantil para Auxiliares de
Contabilidad. Centro Contable Venezolano.IV Edición. Caracas-Venezuela
4. Guía de Razonamiento Matemático para Olimpiadas Matemáticas.
Compilado por Prof Neptalí Lugo. ENAHP. Caracas- Venezuela