CLCULO 15 de enero de 2015 E1 (2 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .
Nota E1
La prueba onstituida por los ejeriios E1 y E2 es omn a todos los alumnos de la asignatura,
on independenia del resultado de la prueba de otubre de 2014.
EJERCICIO E1 - TEST (2 PUNTOS)
El test onsta de 8 preguntas. Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta.
Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.
V F
X
1. La funin f(x) = x3 x alanza dos extremos relativos en R.
X
2. La funin f(x) =
1
x2si x 6= 0
0 si x = 0
tiene un mnimo absoluto en x = 0.
X
3. Si {an} y {b
n} son suesiones de trminos positivos entones la suesin
{an
bn
}est aotada
inferiormente.
X
4. La serie
an
onverge si y slo si la suesin {a
n} onverge a 0.
X
5. Si
anes una serie onvergente de trminos positivos, entones
a2nes onvergente.
X
6. La serie
n=0
(1)n
n+ 1es onvergente.
X
7. Sea {fn(x)} una suesin de funiones ontinuas que onverge puntualmente a f(x). Si la
onvergenia no es uniforme, entones f(x) no es ontinua.
X
8. El radio de onvergenia de la serie de potenias
n=1
xn
n2es .
CLCULO 15 de enero de 2015 E2 (3 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nota E2
EJERCICIO E2 (3 PUNTOS)
(a) (1 punto) Desarrolle en serie de potenias en torno a x0 = 0 la funin
f(x) =2x
1 + x2
e indique el onjunto de valores de x en los que la serie onverge a f(x).
(b) (1 punto) Calule
F (x) =
x
0
2t
1 + t2dt
integrando la expresin, e indique ul es mximo dominio de deniin posible para F (x) en R.
() (0,7 puntos) Desarrolle F (x) en serie de potenias en torno a x0 = 0.
(d) (0,3 puntos) Determine para qu valores de x la serie obtenida en () onverge a la funin F (x).
Soluin.
(a) La serie de potenias pedida orresponde a la serie de Taylor en torno al origen (serie de MLaurin).
Podemos onstruir la serie a partir de la suma de la serie geomtria,
y (1, 1),1
1 y=
n=0
yn,
mediante el ambio de variable y = x2.Dado que y (1, 1) x (1, 1), tenemos:
x (1, 1),1
1 + x2=
n=0
(x2)n =
n=0
(1)nx2n = 1 x2 + x4 x6 + . . .
y de aqu tenemos que:
x (1, 1),2x
1 + x2= 2x
n=0
(1)nx2n = 2n=0
(1)nx2n+1 = 2(x x3 + x5 x7 + . . .)
sta es la serie pedida.
La serie onverge a la funin para x (1, 1) y orresponde a que su radio de onvergenia es 1. Podratambin haerlo en los extremos de ese intervalo. Lo estudiamos:
Para x = 1, la serie resulta ser:
2n=0
(1)n(1)2n+1 = 2n=0
(1)n+1.
Como el trmino general no tiende a ero, la serie no es sumable (no es onvergente).
Para x = 1, la serie resulta ser:
2n=0
(1)n,
que tampoo onverge, por el mismo argumento que en el aso anterior.
Se onluye, por tanto, que la serie onverge a la funin niamente para x (1, 1).
Alternativamente, puede razonarse que, por tratarse de una serie geomtria (on trmino iniial 2x yrazn x2), ser onvergente si y slo si su razn (x2) se enuentra en el intervalo (1, 1), por lo que laserie onverge a la funin si y slo si x (1, 1).
(b) Haiendo el ambio de variable s = t2 en la integral tenemos:
F (x) =
x
0
2t
1 + t2dt =
x2
0
1
1 + sds =
[ln(1 + s)
]x2
0
= ln(1 + x2).
Esta funin est denida en todo R porque el polinomio 1 + x2 toma valores superiores o iguales a 1 ypara esos valores el logaritmo neperiano est bien denido.
() Dado que F es una primitiva de f podemos obtener su serie de potenias integrando la serie obtenidapara f en el apartado (a), dentro de su intervalo de onvergenia.
Por las propiedades de las series de potenias, tenemos que:
x (1, 1),
x
0
2t
1 + t2dt =
x
0
(2n=0
(1)nt2n+1
)dt
= 2
n=0
(x
0
(1)nt2n+1 dt
)= 2
n=0
(1)n[t2n+2
2n + 2
]x
0
= 2
n=0
(1)nx2n+2
2n + 2
=
n=0
(1)nx2n+2
n + 1=
m=1
(1)m+1x2m
m= x2
x4
2+
x6
3
x8
4+ . . .
Este mismo resultado puede obtenerse tambin sustituyendo x por x2 en el desarrollo de ln(1 + x).
(d) La integrain trmino a trmino de una serie de potenias onserva el radio de onvergenia; del
resultado obtenido en el apartado (a) se onluye que este radio de onvergenia es 1. Comprobamos si hay
onvergenia en los extremos del intervalo:
Para x = 1, la serie resulta ser:
m=1
(1)m+1(1)2m
m=
m=1
(1)m+1
m.
Se trata de una serie de potenias alternada que, apliando el riterio de Leibniz, resulta ser onvergente.
De heho, es la serie armnia alternada.
Para x = 1, la serie resulta ser la misma que en el aso anterior y es tambin onvergente.
Por las propiedades de las series de potenias, se onluye que la serie onverge a la funin F parax [1, 1].
CLCULO 15 de enero de 2015 E3 (2 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nota E3
El presentarse a la prueba onstituida por los ejeriios E3 y E4 supone la renunia
automtia a la aliain obtenida en la prueba de otubre de 2014.
EJERCICIO E3 - TEST (2 PUNTOS)
Este test onsta de 8 preguntas. Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta.
Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.
V F
X
1. El onjunto {x Q / x2 2} est aotado y tiene mximo y mnimo.
X
2. Si x es raional e y es irraional, entones neesariamente x+ y2 es irraional.
X
3. Todo nmero omplejo z veria Re(z) < |z|.
X
4. Las raes uartas de un nmero real negativo estn situadas en las bisetries de los uadrantes
del plano omplejo.
X
5. lmx+
x2 sen
(1
x
)= +.
X
6. Si f y g son funiones ontinuas en R, entones la funin x+ f 2(x) + g(x) es ontinua en R.
X
7. Si f es derivable en 0 y g es ontinua en f(0), entones g f es ontinua en 0.
X
8. Una funin derivable f : (, 0) (0,) R es estritamente reiente si y slo si
f (x) > 0 x R {0}.
CLCULO 15 de enero de 2015 E4 (3 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nota E4
EJERCICIO E4 (3 PUNTOS)
Considere la funin
f(x) =
2
(x+ 1
3
)3si x 2
x ln(x 1) si x > 2.
(a) (1 punto) Determine el valor de que hae a f derivable en R.
En los dos apartados siguientes tome el valor = 1.
(b) (1 punto) Indique razonadamente si f es estritamente montona en R.
() (1 punto) Calule (f1)(f(3)).
Soluin.
(a) La funin es ontinua en R {2} por ser polinomial en x < 2 y una suma de funiones ontinuas enx > 2. El heho de que el valor f(2) = 2 oinida on los lmites laterales lm
x2 f(x) y lmx2+ f(x)hae a f ontinua en x = 2 y por tanto en todo R, para ualquier .
Anlogamente, f es derivable en R {2} por oinidir on un polinomio en x < 2 y ser suma defuniones derivables en x > 2. La derivabilidad en x = 2 se puede determinar de varias formas; la deniinde derivada ondue a los lmites laterales
lmx2
f(x) f(2)
x 2= lm
x2
2
(x+ 1
3
)3+ 2
x 2= 2
lmx2+
f(x) f(2)
x 2= lm
x2+
x ln(x 1) + 2
x 2= 1 lm
x2+
ln(x 1)
x 2= 1 .
En ambos asos el ltimo lmite puede resolverse apliando la regla de L'Hpital para obtener los valores
2 y , respetivamente.La derivabilidad de f en x = 2 requiere, entones,
2 = 1 ,
de donde = 1.
Tambin se puede razonar de la forma siguiente: es posible derivar los dos trozos que denen la funin
f , pues la prolongain de ada uno de ellos a un entorno de x = 2 es derivable y por tanto los lmiteslaterales en la derivada de f en x = 2 han de oinidir on las derivadas de ada uno de los trozos evaluadasen diho punto:
d
dx
(2
(x+ 1
3
)3)= 2
(x+ 1
3
)2d
dx(x ln(x 1)) = 1
1
x 1.
Igualando ambas expresiones en x = 2 obtenemos 2 = 1 , y, omo anteriormente, = 1.
(b) En x 2 la funin es un monomio bio, estritamente dereiente (por el oeiente negativo). Estosignia que
f(x0) > f(x1) si x0 < x1 2. (1)
La funin es ontinua en x = 2, siendo de heho derivable si = 1, on f (2) = 2. Por otra parte, dela expresin de la derivada en la regin x > 2 se dedue que sta es negativa tambin para x > 2; obsrveseque
11
x 1=
x
x 1
siendo el numerador negativo y el denominador positivo si x > 2. De manera que f (x) < 0 para todo x 2,
on lo ual
f(x1) > f(x2) si 2 x1 < x2. (2)
De las relaiones indiadas en (1) y (2) se dedue que f es estritamente dereiente en R.
() Por ser f estritamente dereiente, la inversa est bien denida; por ser f derivable, la inversa lo seren f(3) si y slo si f (3) 6= 0; efetivamente
f (3) =d
dx
( x ln(x 1)
)x=3
= 1 1
x 1
x=3
=3
26= 0
por lo que
(f1)(f(3)) =1
f (3)=2
3.
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