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MATE 131-1441

MATE 131-1441

Pre-cálculo: Ejercicios examen núm. 4

José. A Millán Higuera

Pre-cálculo I, Sección 11mo (11-2)

Profesor Leonardo Torres Pagan

7 de noviembre de 2010

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Índice

Ejercicios:

Si f(x): 2(x-3)(x+4)3 ........................................................................................... pág. 5

Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4) ................................................................................... pág. 5

Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3 ................................................................................. pág. 6

Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5) .................................................................................. pág. 7

Si f(x): (x-2)2(x+1)3 .......................................................................................... pág. 8

Contestaciones:

Si f(x): 2(x-3)(x+4)3 ......................................................................................... pág. 10

Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4) ................................................................................. pág. 12

Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3 ............................................................................... pág. 15

Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5) ................................................................................ pág. 18

Si f(x): (x-2)2(x+1)3 ........................................................................................ pág. 21

Bibliografía:

Bibliografía ..................................................................................................... pág. 24

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Ejercicios seleccionados

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Si f(x): 2(x-3)(x+4)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

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Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4)

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

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Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

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Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5)

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

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Si f(x): (x-2)2(x+1)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa

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Contestaciones

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Si f(x): 2(x-3)(x+4)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función

y = 2(0-3)(0+4)3

y = 2(-3)(4)3

y = -384

Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)

y = (x-3); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)

y = (x+4)3; Multiplicidad 3 (atraviesa eje de X)

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Paso #3: Determinar los ceros reales de la función

y = (x-3) 1# paso: Igualar la Y a cero

0 = x-3 2# paso: Remover los paréntesis

3 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x+4)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)

0 = x + 4 2# paso: Remover los paréntesis

-4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X

Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X

3 = x; Multiplicidad 1: Lo atraviesa

-4 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa

**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X

Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa

Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.

-x ≤ -4

Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -4 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde (-∞, -4] la grafica es positiva.

-4 ≤ x ≤ 3

Usando la grafica, podemos ver que desde -4 hasta 3 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-4, 3] la grafica es negativa

3 ≤ x

Usando la grafica, podemos ver que desde 3 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [3, ∞ ] la grafica es positiva

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Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4)

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función

y = -02(0-11)3(0+√4)

y = 0(-11)3(2)

y = 0 (2)

y = (0)

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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)

y = -x2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)

y = (x-11)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)

y = (x+√4); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)

Paso #3: Determinar los ceros reales de la función

y = -x2 1# paso: Igualar la Y a cero

0 = -x2 2# paso: como (-x 2 ) es cero, por ende, x = 0

0 = x 3# paso: resolver

y = (x-11)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)

y = x - 11 2# paso: Remover los paréntesis

11 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x+√4) 1# paso: Igualar la Y a cero y simplificar la raíz cuadrada √4

0 = x + 2 2# paso: Remover los paréntesis

-2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X

Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X

0 = x; Multiplicidad 2: lo toca

11 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa

-2 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa

**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X

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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa

Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.

-x ≤ -2

Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -2 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -2] la grafica es negativa

-2 ≤ x ≤ 0

Usando la grafica, podemos ver que desde -2 hasta 0 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-2, 0] la grafica es positiva

0 ≤ x ≤ 11

Usando la grafica, podemos ver que desde 0 hasta 11 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [0, 11] la grafica es positiva

** en otras palabras, también podemos decir que desde [-2, 11] la grafica es positiva

11 ≤ x

Usando la grafica, podemos ver que desde 11 hasta ∞ la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [11, ∞ ] la grafica es negativa.

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Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función

y = (0+1)2(02+3)(0-4)3

y = (1)2(3)(-4)3

y = 3(-64)

y = -192

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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)

y = (x+1)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)

y = (x2+3); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X) (núm. imaginario)

y = (x-4)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)

Paso #3: Determinar los ceros reales de la función

y = (x+1)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)

0 = x+1 2# paso: Remover los paréntesis

-1 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x2+3) 1# paso: Igualar la Y a cero

0 = x2+3 2# paso: Remover los paréntesis

-3 = x2 3# paso: Pasar el número real a la izquierda

±√-3 = x 4# paso: Como la raíz cuadrada es nég; el intercepto es imaginario

y = (x-4)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)

0 = x -4 2# paso: Remover los paréntesis

4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X

Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X

-1 = x; Multiplicidad 2: lo toca

4 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa

**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X

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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa

Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.

-x ≤ -1

Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -1 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -1] la grafica es negativa.

-1 ≤ x ≤ 4

Usando la grafica, podemos ver que desde -1 hasta 4 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-1, 4] la grafica es positiva.

4 ≤ x

Usando la grafica, podemos ver que desde 4 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [4, ∞ ] la grafica es positiva.

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Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5)

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.

Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función

y = (0+2)2(0-4)(0+5)

y = (2)2(-4)(5)

y = 4(-4)(5)

y = -80

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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)

y =(x+2)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)

y = (x-4); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)

y = (x+5); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)

Paso #3: Determinar los ceros reales de la función

y = (x+2)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)

0 = x+2 2# paso: Remover los paréntesis

-2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x-4) 1# paso: Igualar la Y a cero

0 = x-4 2# paso: Remover los paréntesis

4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x+5) 1# paso: Igualar la Y a cero

0 = x +5 2# paso: Remover los paréntesis

-5 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X

Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X

-2 = x; Multiplicidad 2: lo toca

4 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa

-5 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa

**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X

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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa

Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.

-x ≤ -5

Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -5 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde (-∞, -5] la grafica es positiva.

-5 ≤ x ≤ -2

Usando la grafica, podemos ver que desde -5 hasta -2 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-5, -2] la grafica es negativa.

-2 ≤ x ≤ 4

Usando la grafica, podemos ver que desde -2 hasta 4 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-2, 4] la grafica es negativa.

** en otras palabras, también podemos decir que desde [-5, 4] la grafica es negativa

4 ≤ x

Usando la grafica, podemos ver que desde 4 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [4, ∞ ] la grafica es positiva.

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Si f(x): (x-2)2(x+1)3

Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa

Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función

y = (0-2)2(0+1)3

y = (-2)2(1)3

y = 4(1)

y = 4

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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)

y =(x-2)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)

y = (x+1)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)

Paso #3: Determinar los ceros reales de la función

y = (x-2)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)

0 = x-2 2# paso: Remover los paréntesis

2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

y = (x+1)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)

0 = x+1 2# paso: Remover los paréntesis

-1 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X

Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X

Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X

2 = x; Multiplicidad 2: lo toca

-1 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa

**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X

Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa

Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.

-x ≤ -1

Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -1 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -1] la grafica es negativa.

-1 ≤ x ≤ 2

Usando la grafica, podemos ver que desde -1 hasta 2 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-1, 2] la grafica es positiva

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2 ≤ x

Usando la grafica, podemos ver que desde 2 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [2, ∞ ] la grafica es positiva.

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Bibliografía

Burger, E. B., Chard, D. J., Hall, E. J., Kennedy, P. A., Leinward, S. J., Renfro, F. L., et al.

(2007). Polynomial Function. Holt algebra 2 (pp. 403-484). Orlando, FL: Holt,

Rinehart and Winston.

Johansen, I. (2007, August 28). Graph. Graph. Retrieved November 8, 2010, from

http://www.padowan.dk/graph/