101
Las vigas son uno de los elementos estructurales mas comnmente empleados en ingeniera.
Dos de las primeras labores que debi afrontar el hombre primitivo fueron las de cubrir espacios(para guarecerse) y salvar distancias (para cruzar una quebrada o un ro).
Seguramente lo primero que emple fueron troncos de rboles para cubrir ramadas y vadearquebradas.
a) Geomtricamente es un elemento estructural que tiene una de sus tres dimensiones muchomas larga que las otras dos.
102
b) Puede estar en voladizo o soportada por dos o mas apoyos y las fuerzas actanperpendicularmente a su eje longitudinal.
Para entenderlo comparmoslas con otros conocidos elementos estructurales: arcos y cerchas
103
Los arcos producen empujes horizontales en los apoyos.
Para contrarrestar este empuje producido sobre los muros, en las catedrales gticas se emplearonlos contrafuertes y los arbotantes.
Otra posibilidad para cubrir el espacio entre dos muros es utilizar dos barras articuladas segn semuestra:
Como se observa, esta conformacin tambin produce empujes horizontales sobre los muros.Para evitarlo en la Edad Media se empez a utilizar una barra adicional en la base (tensor) que impideque las barras se abran y generen empujes horizontales.
Esta estructura simple es considerada la precursora de las cerchas.
104
Recordemos que en el curso de mecnica se vi que una cercha trabajaba de la siguiente forma:
Las barras de la cuerda superior de la cercha quedan a TENSIN y las de la cuerda inferior aCOMPRESIN mientras que las diagonales quedan unas a TENSIN y otras a COMPRESIN.
La aleta superior de la viga en voladizo queda a TENSIN y la aleta inferior a COMPRESINmientras que el alma absorbe las fuerzas internas de TENSIN y COMPRESIN que se generan.
105
Las aletas haran el trabajo equivalente al de las cuerdas inferior y superior: una a tensin y la otraa compresin.
El alma de la viga remplazara las diagonales absorbiendo los efectos de corte.
En resumen: una viga bajo el efecto de fuerzas transversales queda sometida a dos efectosprincipales: FLEXIN y CORTE:
En las vigas la flexin est asociada a momentos flectores y a esfuerzos de tensin en la partesuperior de la viga y de compresin en la parte inferior.
El corte est asociado a esfuerzos cortantes
Estos esfuerzos normales y cortantes deben ser calculados.
106
El primero en estudiar sistemticamente los esfuerzos producidos en las vigas fue Galileo quienen su libro "Discursos y demostraciones matemticas sobre dos nuevas ciencias" publicado en1638 trat el tema de los esfuerzos en una viga en voladizo.
Antes de deducir las expresiones para los esfuerzos establezcamos unas hiptesis iniciales:
El material de la viga es homogneo (el material es el mismo en todos los puntos)
Es continuo (no consideramos poros ni espacios vacos)
Es isotrpico (propiedades iguales en todas direcciones)
Se comporta linealmente y cumple la Ley de Hooke: ( E )
Las secciones de la viga permanecen planas despus de la flexin
Los esfuerzos normales en las vigas son producidos por los momentos flectores.
Por tanto, para calcularlos utilicemos una viga en voladizo sometida slo a momento flector(flexin pura).
107
Para el anlisis separemos como cuerpo libre un tramo de viga de longitud dz :
108
Si las fibras superiores estn a tensin y las inferiores a compresin, debe haber una fibra intermediaque al estar en el punto de transicin entre los dos estados de esfuerzos no quede sometida a ningnesfuerzo: LA FIBRA NEUTRA.
Comportamiento de las fibras
Esfuerzo normal en la fibra 1: 1E Ley de Hooke
yd
ydL1
11
Ey
La ecuacin nos dice varias cosas:
El esfuerzo es directamente proporcional al mdulo de elasticidad E
Mientras mas alejada est la fibra de la fibra neutra, mayor ser el esfuerzo (depende de ladistancia y
El esfuerzo es inversamente proporcional a la curvatura
La ecuacin adems nos muestra que el esfuerzo vara linealmente a travs de la seccintransversal.
109
cuando )max(yy
cuando 0y
cuando )max(yy
Esta distribucin de esfuerzos fue establecida por primera vez por Parent (1666-1716) y Coulomb(1736-1806).
Previamente Galileo (1564-1642)) haba planteado que la distribucin de esfuerzos era de lasiguiente forma:
Y mas tarde, J. Bernoulli (1654-1705) haba propuesto la siguiente distribucin:
compresinmax
tensionmax
0Ey
110
Se ve pues, como transcurrieron mas de 100 aos para llegar a conocer la distribucin correctade los esfuerzos normales a travs de la seccin transversal de una viga.
La ecuacin Ey es til para conocer la variacin del esfuerzo y para entender su relacin
con E y con pero desde el punto de vista prctico no presta ninguna utilidad para calcular el esfuerzopuesto que no conocemos de antemano el radio de curvatura de la viga.
Por tanto, debemos encontrar una expresin que sea til desde el punto de vista prctico:
dAdF
dAdF
111
0xM 0dAyM
0dAEyyM
02
dAEyM
02
dAEyM
02dAyEM
Pero: xIdAy2 (Momento de inercia del rea)
Por tanto: 0EIM
EIM1
Curvatura
Pero tenamos que: Ey por tanto 1Ey
EIM
Ey
Finalmente:
IMy
Frmula de la flexin
112
Ubicacin de EJE NEUTRO:
0zF 00 ydAEdAEydA
0ydAE
0E Puesto que al estar flectada la viga
Por tanto, necesariamente 0ydA
Esto significa que el centro de gravedad de la seccin est sobre el eje neutro, ya que:
AyydA 0 y 0y
En conclusin
Esfuerzo normal producido por flexin I
My
Ubicacin de eje neutro: coincide con el centro de gravedad de la seccin.
113
Ubicacin del eje neutro:
Como se demostr, coincide con el centro de gravedad de la seccin transversal de la viga.
SMM
IMC
cIcompresinmximotensinmax
cIS : Mdulo de la seccin
114
Para vigas con secciones asimtricas:
I
Mc
I
cMmaxmax COMPRESIONTENSION maxmax
1
11 S
MI
Mc
2
22 S
MI
Mc
IMc1
1
IMc2
2
115
MPamcm
cmN
cmcmcmN
IcM
COMPRESIONTENSION 26.911093.925
48609500000
2
24
24max
maxmax
2200 cm/KgENSIONadmisibleT
280 cm/KgOMPRESIONadmisibleC
116
2200 cm/KgENSIONadmisibleTNSIONactuanteTEmax
280 cm/KgOMPRESIONadmisibleCMPRESIONactuanteCOmax
IcM
NSIONactuanteTE1max
max IcM
MPRESIONactuanteCO2max
max
8
2
maxLM
117
112508
3008
22
maxcmLM
322 67353450176673578 cm...AdII B
2200 cm/KgENSIONadmisibleTNSIONactuanteTEmax
280 cm/KgOMPRESIONadmisibleCMPRESIONactuanteCOmax
2AdIIB
21
2211AA
yAyAy
cm.c 5101 55510162 ..c
cm.c 5101 55510162 ..c
510522116
51352255116.
..y
118
200673534
51011250.
.11 985 cm/Kg.
80673534
5511250.
.22 574 cm/Kg.
m/Kgcm/Kg.admisible 4575742
IMc
5.192705.730075.340035
0
B
B
A
RR
M
119
41.25.7225.177
35.722
5.1773
5.722
5.7225.19275.7300400
0
b
bb
R
F
A
y
cmAAA
yAyAyAy 88.5424224
742742224
321
332211
4333
42
56163143
346
3143
96.188188.51085616
cmI
cmI
cmKgmKgM 8706161.870)max(
120
2)max(
2)max( /64.37596.1881
12.887061/01.27296.1881
88.587061 cmKgcmKg CT
2)max(
2)max( /91.29296.1881
88.593750/50.40496.1881
12.893750 cmKgcmKg CT
121
Al actuar una fuerza transversal sobre una viga, produce efectos de corte verticales, debidos a lafuerza cortante V que se genera a lo largo de la viga.
Adems de los efectos de corte verticales tambin se presentan efectos en planos horizontales.Imaginemos la viga formada por una serie de capas horizontales.
Se puede observar el deslizamiento causado por la flexin.
122
Tal como se vi en captulos anteriores la existencia de esfuerzos cortantes verticales exige lapresencia de esfuerzos cortantes horizontales con el fin de garantizar el equilibrio.
Por tanto, un elemento ubicado en el interior de la viga estar sometido a los esfuerzos cortantesque se observan a continuacin.
Si consideramos el elemento mostrado como cuerpo libre no podremos obtener una ecuacunpara debido a que se cancelar en cualquiera de las ecuaciones de equilibrio que establezcamos, ya
sea MFF xyz 00,0
123
Por tanto, tomamos como cuerpo libre un elemento de viga situado de tal manera que su carasuperior coincida con la parte superior de la viga.
124
dAdAbdzF 1z 00 2
bdz
dAdA 12
Ibdz
ydAMM
bdz
dAI
yMdAI
yM12
12
Pero:
dMMM 12 12 My M estn separados una distancia dz
QAyydA Momento esttico del rea. Recordar que:A
ydAy Vdz
dM
La derivada del momento flector es igual a la fuerza cortante.
Por lo tanto:
IbVQ
Variacin del esfuerzo cortante a travs de una seccin transversal rectangular de bxh:
125
En general:
IbVQ
En una viga sometida a una fuerza cortante V tenemos:
V=V AyQ22
1 hyy yhbA2 22
24222
ybyybQ
hhh
12
3bhII b=b
Por tanto: 3
24
12
24
2
3
26
2 bhyV
b
yVb h
bh
h
Si2hy 0
63
224
2
bh
V hh
Si2h
y 06
3
224
2
bh
V hh
El esfuerzo cortante en los diferentes planos de la viga tendr diferenres valores y su variacinser como se ve en las siguientes figuras.
Si y=0 AV
bhV
bhVh
23
33
46
3
2
3
242
6
bh
yV h
126
La curva de variacin de la ecuacin ser:
3
242
6
bh
yV h
es parablica y con los valores encontrados ser la siguiente:
Como se ve, el esfuerzo cortante mximo se presenta a nivel del plano neutro de la viga.
Ib
VQ
127
A
Vmaxmax 2
3
21601610 cmA
0AM KgRR
B
B
18000330005
120018003000
0
A
y
R
F
KgV 900max
A
Vmaxmax 2
322max 44.8160
90023
cmKg
cmKg
128
00yAyQa
01516480900
a
2/46.5151648
150900
1502155
cmKg
AyQ
d
d
Ib
VQ
433
1648512216012
86212
1215900 cmIKgV
129
2/31.2731648
150900
1502155
cmKg
AyQ
c
c
2max
2211
/67.3131648
174900
174305122
cmKg
AyAyAyQ
e
c
130
2max /14 cmKgadmisibleACTUANTE
ACTUANTEmax
131
AV
ACTUANTEmax
max 23
PVmax
21401410 cmcmcmA
2max 14023
cmP
ACTUANTE
22 /141402
3 cmKgcmP
KgPP admisible 67.1306
132
pernocadaresponderdebecuallaporvigaladereaF GAactuanteVIRNOactuantePE
IbVQ
GAactuanteVI
KNV 3
KN.FF ERNOadmisiblePRNOactuantePE 50
133
25224232224
3/1007.1/10/101007.1/1007.1
833.5592915953 mNmcmcmNcmKN
cmcmcmKN
GAactuanteVI
134
0.04emx
F GAactuanteVIRNOactuantePE
maxRNOactuantePE e.m/N.NF 0401007150025
cmcmme 126.11116.0max
Como se dej dicho al principio del curso, existen materiales que son muy resistentes a compresiny muy poco a tensin como el concreto. Dado que en una viga, como se ha visto hay zonas que quedansometidas a esfuerzos de compresin y otras a esfuerzos de tensin, aquellos materiales que como elconcreto son dbiles a tensin debern ser reforzados por materiales que resistan este tipo de esfuerzo,tales como el acero. Este es el principio del concreto reforzado. Se obtiene de esta forma una viga queresistir adecuadamente tanto esfuerzos de tensin (de los cuales se encargar el acero) y de compresin(de los cuales lo har el concreto).
Supongamos una viga de un material que tiene un mdulo de elasticidad E1 la cual va a serreforzada con un material que tiene un mdulo de elasticidad mayor E2.
135
Se trata de que la adhesin entre los dos materiales sea tal, que al producirse la flexin no seproduzca deslizamiento entre la viga y la platina de refuerzo (que trabajen monolticamente).
Variacin de esfuerzos y deformaciones en una viga de 2 materiales:
136
En el punto de contacto B no debe haber deslizamiento entre los dos materiales puesto que justoeste es el fundamento del comportamiento estructural de la viga: que los dos materiales funcionen alunsono, vale decir que la viga trabaje monolticamente.
Por tanto en ese punto de contacto B dos fibras de la viga que dan sometidas a FUERZASIGUALES (pero a ESFUERZOS DIFERENTES).
20 FFF 1x
Por tanto: 2211 AA
137
SiendoA1 y A2 las secciones equivalentes de los dos materiales a fin de que se cumpla el equilibriode fuerzas.
La relacin entre los esfuerzos la obtenemos del hecho de que las deformaciones unitarias de losdos materiales son iguales en el punto de contacto.
21 BB
Como E EntoncesE
Por lo tanto: 22
1
2
2
1
1EE
EE 1
22122
1 AAEE
Y por ltimo 221
21 nAAE
EA
Quiere decir esta ltima expresin que el material 2 puede ser reemplazado por el 1 siempre ycuando su rea se aumente n veces siendo n la relacin entre los mdulos de elasticidad de los dosmateriales. Al aplicarse este concepto se llega al mtodo conocido como el de LA SECCINTRANSFORMADA dado que toda la seccin queda convertida o transformada en una seccin ficticiade uno de los dos materiales. En sta se procede a calcular los esfuerzos tal como se ha hecho en elcaso de secciones homogneas, debiendo tener en cuenta al finalizar el anlisis que el esfuerzoencontrado en la parte que ha sido transformada debe ser multiplicado nuevamente por n con el fin deobtener el esfuerzo que se va a producir en el material real.
12 EE
138
GPaEGPaE maderaacero 10200
KNRKNRRR
FM
AB
AB
yA
2.18.18.13335
00
mKNM 6.328.132.1max
139
2010200
GPaGPa
EEnmadera
acero
Iecc ,, 21
221
2211 67.4200400
12200400 cIAA
yAyAy
33.1767.4221c
140
422 67.2292267.260027200 cmAdII D
433
2720032010
32200 cmID
KPa.mcm
cmN.
cm.cm.cmN
IcMmax
real,madera)max( 627211016272
672292233171003600
2
24
241
KPa.mcm
cmN.
cm.cm.cmN
IcM max
ficticio,madera)max( 4733103473
67229226741003600
2
24
242
KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(
141
05.020010
GPaGPa
EEn
acero
madera
142
221
2211 67.41020
1210120 cAA
yAyAy
33.1767.4221c
13.114667.2301360 22AdII D
13603
205.03
210 33DI
143
KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(
KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.114633.171003670 4
,)max(
KPaParealaceroT 7.149531037.149313.114667.41003670 4
,)max(
KParealmaderaC 6.2774,)max(
KParealaceroT 7.14953,)max(
144
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