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MATE 131-1441
MATE 131-1441
Pre-cálculo: Ejercicios examen núm. 4
José. A Millán Higuera
Pre-cálculo I, Sección 11mo (11-2)
Profesor Leonardo Torres Pagan
7 de noviembre de 2010
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Índice
Ejercicios:
Si f(x): 2(x-3)(x+4)3 ........................................................................................... pág. 5
Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4) ................................................................................... pág. 5
Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3 ................................................................................. pág. 6
Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5) .................................................................................. pág. 7
Si f(x): (x-2)2(x+1)3 .......................................................................................... pág. 8
Contestaciones:
Si f(x): 2(x-3)(x+4)3 ......................................................................................... pág. 10
Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4) ................................................................................. pág. 12
Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3 ............................................................................... pág. 15
Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5) ................................................................................ pág. 18
Si f(x): (x-2)2(x+1)3 ........................................................................................ pág. 21
Bibliografía:
Bibliografía ..................................................................................................... pág. 24
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Ejercicios seleccionados
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Si f(x): 2(x-3)(x+4)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
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Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4)
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
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Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
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Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5)
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
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Si f(x): (x-2)2(x+1)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa
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Contestaciones
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Si f(x): 2(x-3)(x+4)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función
y = 2(0-3)(0+4)3
y = 2(-3)(4)3
y = -384
Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)
y = (x-3); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)
y = (x+4)3; Multiplicidad 3 (atraviesa eje de X)
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Paso #3: Determinar los ceros reales de la función
y = (x-3) 1# paso: Igualar la Y a cero
0 = x-3 2# paso: Remover los paréntesis
3 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x+4)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)
0 = x + 4 2# paso: Remover los paréntesis
-4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X
Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X
3 = x; Multiplicidad 1: Lo atraviesa
-4 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa
**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X
Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa
Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.
-x ≤ -4
Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -4 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde (-∞, -4] la grafica es positiva.
-4 ≤ x ≤ 3
Usando la grafica, podemos ver que desde -4 hasta 3 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-4, 3] la grafica es negativa
3 ≤ x
Usando la grafica, podemos ver que desde 3 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [3, ∞ ] la grafica es positiva
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Si f(x): -x2(x-11)3(x+√4)
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función
y = -02(0-11)3(0+√4)
y = 0(-11)3(2)
y = 0 (2)
y = (0)
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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)
y = -x2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)
y = (x-11)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)
y = (x+√4); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)
Paso #3: Determinar los ceros reales de la función
y = -x2 1# paso: Igualar la Y a cero
0 = -x2 2# paso: como (-x 2 ) es cero, por ende, x = 0
0 = x 3# paso: resolver
y = (x-11)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)
y = x - 11 2# paso: Remover los paréntesis
11 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x+√4) 1# paso: Igualar la Y a cero y simplificar la raíz cuadrada √4
0 = x + 2 2# paso: Remover los paréntesis
-2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X
Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X
0 = x; Multiplicidad 2: lo toca
11 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa
-2 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa
**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X
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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa
Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.
-x ≤ -2
Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -2 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -2] la grafica es negativa
-2 ≤ x ≤ 0
Usando la grafica, podemos ver que desde -2 hasta 0 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-2, 0] la grafica es positiva
0 ≤ x ≤ 11
Usando la grafica, podemos ver que desde 0 hasta 11 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [0, 11] la grafica es positiva
** en otras palabras, también podemos decir que desde [-2, 11] la grafica es positiva
11 ≤ x
Usando la grafica, podemos ver que desde 11 hasta ∞ la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [11, ∞ ] la grafica es negativa.
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Si f(x): (x+1)2(x2+3)(x-4)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función
y = (0+1)2(02+3)(0-4)3
y = (1)2(3)(-4)3
y = 3(-64)
y = -192
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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)
y = (x+1)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)
y = (x2+3); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X) (núm. imaginario)
y = (x-4)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)
Paso #3: Determinar los ceros reales de la función
y = (x+1)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)
0 = x+1 2# paso: Remover los paréntesis
-1 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x2+3) 1# paso: Igualar la Y a cero
0 = x2+3 2# paso: Remover los paréntesis
-3 = x2 3# paso: Pasar el número real a la izquierda
±√-3 = x 4# paso: Como la raíz cuadrada es nég; el intercepto es imaginario
y = (x-4)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)
0 = x -4 2# paso: Remover los paréntesis
4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X
Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X
-1 = x; Multiplicidad 2: lo toca
4 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa
**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X
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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa
Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.
-x ≤ -1
Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -1 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -1] la grafica es negativa.
-1 ≤ x ≤ 4
Usando la grafica, podemos ver que desde -1 hasta 4 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-1, 4] la grafica es positiva.
4 ≤ x
Usando la grafica, podemos ver que desde 4 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [4, ∞ ] la grafica es positiva.
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Si f(x): (x+2)2(x-4)(x+5)
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa.
Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función
y = (0+2)2(0-4)(0+5)
y = (2)2(-4)(5)
y = 4(-4)(5)
y = -80
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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)
y =(x+2)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)
y = (x-4); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)
y = (x+5); Multiplicidad 1 (atraviesa el eje de X)
Paso #3: Determinar los ceros reales de la función
y = (x+2)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)
0 = x+2 2# paso: Remover los paréntesis
-2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x-4) 1# paso: Igualar la Y a cero
0 = x-4 2# paso: Remover los paréntesis
4 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x+5) 1# paso: Igualar la Y a cero
0 = x +5 2# paso: Remover los paréntesis
-5 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X
Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X
-2 = x; Multiplicidad 2: lo toca
4 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa
-5 = x; Multiplicidad 1: lo atraviesa
**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X
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Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa
Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.
-x ≤ -5
Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -5 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde (-∞, -5] la grafica es positiva.
-5 ≤ x ≤ -2
Usando la grafica, podemos ver que desde -5 hasta -2 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-5, -2] la grafica es negativa.
-2 ≤ x ≤ 4
Usando la grafica, podemos ver que desde -2 hasta 4 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde [-2, 4] la grafica es negativa.
** en otras palabras, también podemos decir que desde [-5, 4] la grafica es negativa
4 ≤ x
Usando la grafica, podemos ver que desde 4 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [4, ∞ ] la grafica es positiva.
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Si f(x): (x-2)2(x+1)3
Dado un polinomio como producto de factores lineales o cuadráticas irreducibles, determinar: los ceros reales y su multiplicidad, los interceptos en X y Y, puntos donde toca o cruza el eje de X, intervalos donde es positiva y negativa
Paso #1: Determinar el intercepto de Y de la función
y = (0-2)2(0+1)3
y = (-2)2(1)3
y = 4(1)
y = 4
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Paso #2: Determinar la multiplicidad de los ceros reales (interceptos X)
y =(x-2)2; Multiplicidad 2 (toca el eje de X)
y = (x+1)3; Multiplicidad 3 (atraviesa el eje de X)
Paso #3: Determinar los ceros reales de la función
y = (x-2)2 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (2)
0 = x-2 2# paso: Remover los paréntesis
2 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
y = (x+1)3 1# paso: Igualar la Y a cero y ignorara el exponente del paréntesis (3)
0 = x+1 2# paso: Remover los paréntesis
-1 = x 3# paso: Pasar el número real a la izquierda, para conseguir el valor de X
Paso #4: puntos donde toca o cruza el eje de X
Usando la información sobre la multiplicidad de los interceptos de x, podemos determinar si toca o cruza el eje de X
2 = x; Multiplicidad 2: lo toca
-1 = x; Multiplicidad 3: lo atraviesa
**NOTA: Cuando la multiplicidad del intercepto de X sea par, la línea toca el eje de X, cuando es impar, la línea atraviesa el eje de X
Paso #5: determinar los intervalos donde la grafica es positiva o negativa
Usando los interceptos de X como referencia, podemos determinar donde la grafica es negativa o positiva.
-x ≤ -1
Usando la grafica, podemos ver que desde -∞ hasta -1 la grafica es negativa, por ende, podemos decir que desde (-∞, -1] la grafica es negativa.
-1 ≤ x ≤ 2
Usando la grafica, podemos ver que desde -1 hasta 2 la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [-1, 2] la grafica es positiva
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2 ≤ x
Usando la grafica, podemos ver que desde 2 hasta ∞ la grafica es positiva, por ende, podemos decir que desde [2, ∞ ] la grafica es positiva.
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Bibliografía
Burger, E. B., Chard, D. J., Hall, E. J., Kennedy, P. A., Leinward, S. J., Renfro, F. L., et al.
(2007). Polynomial Function. Holt algebra 2 (pp. 403-484). Orlando, FL: Holt,
Rinehart and Winston.
Johansen, I. (2007, August 28). Graph. Graph. Retrieved November 8, 2010, from
http://www.padowan.dk/graph/
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