7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
1/31
1. TEMA 5. MTODO MATRICIAL
1.1 Ejercicios resueltos1 . En la cubierta de la figura, determiar el valor de los momentos en
los extremos de las barras, as como el momento mximo en ellas.
(E=2.11011 N/m2, I=68000 cm4, A=56 cm2)
4.5 m
2.5
1m
3 kN/m
1m
2kN/
2EI, A
EI, A
EI, A
En primer lugar, definimos los nudos y los grados de libertad de la estructura.
7
8
9
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
10
11
12
Las caractersticas necesarias para calcular las matrices de rigidez se resumen en la tabla siguiente.
BARRA L (m) I (cm4) A(cm2) ANGULO
AB 2.5 136000 56 90
BC 2 136000 56 90
BD 4.61 68000 56 12.5288
CD 4.61 - 56 -12.5588
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
2/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 2
Calculamos las matrices de rigidez de los distintos elementos,
Elemento AB,
AB
470.4 0 0 -470.4 0 0
0 219.3408 274.1760 0 -219.3408 274.176
0 274.1760k =
456.9600 0 -274.1760 228.48
-470.4 0 0 470.4 0 0
0 -219.3408 -274.1760 0 219.3408 -274.176
0 274.1760 228.4800 0 -274.1760 456.96
que en coordenadas globales es,
AB
219.3408 0 -274.176 -219.3408 0 -274.176
0 470.4 0 0 -470.4 0
-274.1760 0 456.96 274.1760K =
0 228.48
-219.3408 0 274.176 219.3408 0 274.176
0 -470.4 0 0 470.4 0
-274.1760 0 228.48 274.1760 0 456.96
A
B
12
3
45
6
Sistema local de los elementos AB y BC
3B
C
12
45
6
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
3/31
El mtodo matricial
A. Carnicero 3
Elemento BC,
BC
588 0 0 -588 0 0
0 428.4 428.4 0 -428.4 428.4
0 428.4 571.2 0 -428.4 285.6k
-588 0 0 58=
8 0 0
0 -428.4 -428.4 0 428.4 -428.4
0 428.4 285.6 0 -428.4 571.2
que en coordenadas globales es,
BC
428.4 0 -428.4 -428.4 0 -428.4
0 588 0 0 -588 0
-428.4 0 571.2 428.4 0 285.6K
-428.4 0 428.4 428.4 0=
428.4
0 -588 0 0 588 0
-428.4 0 285.6 428.4 0 571.2
Elemento BD,
BD
255.1102 0 0 -255.1102 0 0
0 17.4933 40.3200 0 -17.4933 40.32
0 40.32 123.k =
9107 0 -40.3200 61.9553
-255.1102 0 0 255.1102 0 0
0 -17.4933 -40.32 0 17.4933 -40.32
0 40.32 61.9553 0 -40.3200 123.9107
que empleanto la matriz de rotacin
B
1
2
3
Sistema local de los elementos BD y CD
45
6
D C 1
2
3
4
56
D
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
4/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 4
BD
0.9762 0.2169 0 0 0 0
-0.2169 0.9762 0 0 0 0
0 0 1 0 0R =
0
0 0 0 0.9762 0.2169 00 0 0 -0.2169 0.9762 0
0 0 0 0 0 1
permite obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales,
BD
243.9283 50.3189 -8.7466 -243.9283 -50.3189 -8.7466
50.3189 28.6752 39.3599 -50.3189 -28.6752 39.3599
-8.7466 39.3599 123.9107 8.7466 -39.3599 61.9553K
-243.9283 -
=50.3189 8.7466 243.9283 50.3189 8.7466
-50.3189 -28.6752 -39.3599 50.3189 28.6752 -39.3599
-8.7466 39.3599 61.9553 8.7466 -39.3599 123.9107
Elemento CD.
Este elemento solo puede trabajar a traccin o compresin (est articulado en los extremos y no tiene cargas
transversales o momentos aplicados) por lo que su matriz en coordenadas locales es,
CD
255.1102 -255.1102k
-255.1102 255.1102
=
que en coordenadas globales es
CD
243.1050 -54.0233 -243.105 54.0233
-54.0233 12.0052 54.0233 -12.0052K
-243.1050 54.0233 243.1050 -54.0233
54.0233 -12.0052 -54.0233 12.0052
=
matriz a la que se llego por medio de
CD
0.9762 0
-0.2169 0R
0 0.9762
0 -0.2169
=
Luego las matrices de rigidez de los distintos elementos ya estn calculadas. Las ensamblamos ahora para obtener la
matriz de rigidez global de la estructura,
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
5/31
El mtodo matricial
A. Carnicero 5
219.3408
0-274.1760
-219.34080
-274.17600
00
00
0
0
470.40
0-470.4
00
00
00
-274.1760
0456.9600
274.17600
228.48000
00
00
0
-219.3408
0274.1760
891.669150.3189
-162.9706-428.4
0-428.4
-243.9283-50.3189
-8.7466
0
-470.40
50.31087.1
39.40
-5880
-50.3-28.7
39.4
-274.2
0228.5
-16339.4
1152.1428.4
0285.6
8.7-39.4
62
0
00
-428.40
428.4671.5050
-54.0233428.4
-243.105054.0233
0
0
00
0-588
0-54.0233
600.00520
54.0233-12.0052
0
0
00
-428.40
285.6428.4
0571.2
00
0
0
00
-243.9283-50.3189
8.7466-243.1050
54.02330
487.0333-3.7045
8.7466
0
00
-50.3189-28.6752
-39.359954.0233
-12.00520
-3.704540.6804
-39.3599
0
00
-8.746639.3599
61.95530
00
8.7466-39.3599
123.9107
Vector desplazamiento
El vector de desplazamiento es
( )t
4 5 6 7 8 9 10 11 12U 0,0,0,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U =
Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver tendr 9 ecuaciones.
Vector de cargas
El vector de cargas de los elementos AB y BC, se puede escribir directamente en coordenadas globales como
t2 2ql ql ql ql
F ,0, , ,0,2 12 2 12
=
que sustituyendo para cada una de las barras
( )
( )
t3 3 3 3 3
AB
t3 4 3 4
BC
F 2.510 ,0,1.041610 , 2.510 ,0, 1.041610 10
F 210 ,0,6.666610 , 210 ,0, 6.666610
=
=
El vector de carga del elemento BD, es ms cmodo escribirlo en coordenadas locales y pasarlo despues a globales.
( )t
3 3 3 3
BDf 0,6.914610 ,5.312510 ,0,6.914610 , 5.312510 =
El vector de cargas se calcula como
( )t
t -3 -3 -3 -3 -3 -3
BD BD BDF R f -1.510 ,6.7510 ,5.312510 , 1.510 ,6.7510 ,-5.312510= =
Ensamblando estos vectores se obtiene el vector de esfuerzos de empotramiento
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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Teora de Estructuras I
A. Carnicero 6
3 3
3
3 3 -3
-3
3 4 -3
emp 3
4
-3
-3
-3
2.510 2.510
0 0
1.041610 1
2.510 210 -1.510
6.7510
1.041610 6.666610 5.312510F
210
0
6.666610
-1.510
6.7510
-5.312510
+ + = =
3
3
-3
-3
3
4
-3
-3
-3
.041610
610
6.7510
4.937510
210
0
6.666610
-1.510
6.7510
-5.312510
Restando este vector al de las cargas aplicadas en los nudos, se tiene el vector de cargas a introducir en el
sistema ecuaciones.
31
2
33
3
-3
-3
n emp 3
4
-3
-3
-3
R 2.510
R 0
R 1.041610
0 610
0 6.75100 4.937510
F F F0 210
0 0
0 6.666610
0 -1.510
0 6.7510
0 -5.312510
= =
Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver para calcular los desplazamientoses
3
0.8917 0.0503 -0.1630 -0.4284 0 -0.4284 -0.2439 -0.0503 -0.0087
0.0503 1.0871 0.0394 0 -0.5880 0 -0.0503 -0.0287 0.0394
-0.1630
10
0.0394 1.1521 0.4284 0 0.2856 0.0087 -0.0394 0.0620
-0.4284 0 0.4284 0.6715 -0.0540 0.4284 -0.2431 0.0540 0
0 -0.5880 0 -0.0540 0.6000 0 0.0540 -0.0120 0
-0.4284 0 0.2856 0.4284 0 0.5712 0 0 0
-0.2439 -0.0503 0.0087 -0.2431 0.0540 0 0.4870 -0.0037 0.0087
-0.0503 -0.0287 -0.0394 0.0540 -0.0120 0 -0.0037 0.0407 -0.0394
-0.0087 0.0394 0.0620 0
34
-35
-36
37
8
49
-310
-311
12
U 610
U -6.7510
U 4.937510
U 210
U 0
U 6.666610
U 1.510
U -6.7510
0 0 0.0087 -0.0394 0.1239 U 5.312
=
-3
510
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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El mtodo matricial
A. Carnicero 7
Resolviendo el sistema de ecuaciones se calculan los desplazamientos desconocidos.
U4= 5.543910-4
U5= -2.869910-5
U6= -4.088610-4
U7= 1.464110-3
U8= -3.185410-5
U9= -4.76610-4
U10= 1.011210-3
U11= -2.22410-3
U12= -4.823710-4
Conocidos los desplazamientos, calcular esfuerzos en las distintas barras es sencillo.
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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Teora de Estructuras I
A. Carnicero 8
2. Obtener los desplazamientos desconocidos y dibujar los esfuerzos en
las barras AB y EF.
400200 200
300
300
10kN
20kN/m
A
B
D
C
E
F
G H
I
J
A=20 cm2
RESTO DE ELEMENTOSA=164 cm
2
I=147361 cm4
Dado que la estructura es simtrica modelamos slo la mitad e imponemos condiciones de simetra en los puntos que
se encuentren sobre el eje de simetra (U7=U16=U18=0).
5k N
A
B
D
C
E
F
1
2
3
4
5
6
10
11
1213
14
16
17
18
7
Las matrices de rigides de los elementos BA y DB (con los nudos inicial y final en ese orden, expresando las fuerzas en
MN y las longitudes en m) son:
BA DB
1148 0 0 -1148 0 0
0 137.5 206.3 0 -137.5 206.3
0 206.3 412.6 0 -206.3k k= =
206.3
-1148 0 0 1148 0 0
0 -137.5 -206.3 0 137.5 -206.3
0 206.3 206.3 0 -206.3 412.6
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
9/31
El mtodo matricial
A. Carnicero 9
Siendo su expresin en coordenadas globales (matriz de rotacin con =-90):
BA DB
137.5 0.000 206.3 -137.5 0.0000 206.3
0.000 1148 0.0000 0.0000 -1148 0.0000
206.3 0.000 412.6 -206.3 0.0000 206.3K K
-137.5 0.000 -206.3= =
137.5 0.0000 -206.3
0.000 -1148 0.0000 0.0000 1148 0.0000
206.3 0.000 206.3 -206.3 0.0000 412.6
La matriz de rigidez de un elemento de 2 metros de longitud con las caractersticas resistentes de los estudiados es:
1722 0 0 -1722 0 0
0 464.2 464.2 0 -464.2 464.2
0 464.2 618.9 0 -464.2 309.5k
-1722=
0 0 1722 0 0
0 -464.2 -464.2 0 464.2 -464.2
0 464.2 309.5 0 -464.2 618.9
Cuya expresin es la misma para coordenadas locales y globales.
La matriz de rigidez del elemento BC (no trabaja a flexin) es
BC
105 -105k
-105 105 =
Dado que el grado de libertad 15 no existe es necesario eliminarlo de las matrices de rigidez de los elementos DE y EF.
Para obtener la matriz de rigidez liberada, aplicamos:
I tI
l al al a aal aa
ll ll
l
F K KF K K 0 U
K KU
0 0 0
=
Elemento DE (eliminando el grado de libertad 6)
l l
DE DE
1722 0 0 -1722 0
0 116 232.1 0 -116
k K 0 232.1 464.2 0 -232.1
-1722 0
= =0 1722 0
0 -116 -232.1 0 116
Elemento EF (eliminando el grado de libertad 3)
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
10/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 10
l l
EF EF
1722 0 -1722 0 0
0 116 0 -116 232.1
k K -1722 0 1722 0 0
0 -116 0 116 -232.1
= =
0 232.1 0 -232.1 464.2
Ensamblando los elementos obtenemos la matriz de rigidez global de la estructura
137.5369
0.0000-206.3054-137.5369
0.0000-206.3054
0
00000
0000
00
0.0000
114800.00000.0000
-114800.0000
0
00000
0000
00
-206.3054
0.0000412.6108206.3054
0.0000206.3054
0
00000
0000
00
-137.5369
0.0000206.3054380.0739
0.00000
-105.0000
00
-137.53690.0000
-206.3054
0000
00
0.0000
-114800.00000.0000
2296000
00
0.0000-114800.0000
0000
00
-206.3054
0.0000206.3054
0
0825.2216
0
00
206.30540.0000
206.3054
0000
00
0
00
-105
00
105
00000
0000
00
0
00
-137.5
0.0000206.3
0
00
1859.50.0000206.3
-1722000
00
0
00
0.0000
-114800.0000
0
00
0.000012640232
0-11600
00
0
00
-206.3054
0.0000206.3054
0
00
206.3054232.0936876.7979
0-232.093600
00
0
000
000
00
-172200
344400
-1722
00
0
000
000
000
-116.0468-232.0936
0232.046800
-116.0000232.1000
0
000
000
00000
-172200
1722
00
0
000
000
00000
0-116.000000
116.0000-232.1000
0
000
000
00000
0232.100000
-232.1000464.2000
Imponiendo las CC, la matriz de rigidez Kccqueda
380.07390.0000
0-137.5369
0.0000
-206.3054000
0.000022960
00.0000
-11480
0.0000000
00
825.2216206.3054
0.0000
206.3054000
-137.50.0000206.31859.5
0.0000
206.3-1722
00
0.0000-114800.00000.0000
12640
2320
-1160
-206.30540.0000
206.3054206.3054
232.0936
876.79790
-232.09360
000
-17220
0
034440
00
0000
-116.0468
-232.09360
232.0468-116
0000
0
00
-116.000116.000
Vector de desplazamientos
El vector de desplazamientos es (el grado de libertad 15 se ha eliminado)
( )t
4 5 6 10 11 12 13 14 17 U 0,0,0,U ,U ,U ,0,U ,U ,U ,U ,U ,0,U ,0=
Vector de cargas
El vector de cargas debido a cargas en las barras puede escribirse fcilmente en coordenadas globales como,
( )t
BA DBF F 0.0300 0.0000 0.015 0.0300 0.0000 -0.015= =
Que est asociado a los grados de libertad 4, 5, 6, 1, 2 y 3 en el caso de BA y a 10, 11, 12, 4, 5 y 6, en el caso de DB.
Ensamblndolos, tenemos que el vector de cargas debido a cargas en el elemento es:
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
11/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
11
e m p
0 . 0 3 0 0
0 . 0 0 0 0
- 0 . 0 1 5 0
0 . 0 6 0 0
0 . 0 0 0 0
0
0
0
0F
0 . 0 3 0 0
0 . 0 0 0 0
0 . 0 1 5 0
0
0
0
0
0
0
=
Por lo tanto el vector de cargas se obtiene incluyendo las cargas en los nudos
n e m p
R 1 - 0 . 0 3 0 0R 2 + 0 . 0 0 0 0
R 3 + 0 . 0 1 5
- 0 . 0 6 0 0
0 . 0 0 0 0
0
R 7 + 0
F F F - 0 . 0 3 0 0
0 . 0 0 0 0
- 0 . 0 1 5 0
0
0
R 1 6 + 0- 0 . 0 0 5 0
R 1 8 + 0
= =
El vector de cargas con las condiciones de contorno ya impuestas es, que ser el que utilizaremos para resolver el
sistema de ecuaciones es:
( )t
ccF -0.0600 0 0 -0.0300 0 -0.0150 0 0 -0.0050=
Resolviendo el sistema de ecuaciones
1
cc ccU K F=
se obtiene los valores de los desplazamientos desconocidos. stos son:
U4 = -0.29047110-3
U5= -0.00435510-3
U6= 0.06425010-3
U10= -.03810110-3
U11= -0.0087110-3
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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Teora de Estructuras I
A. Carnicero 12
U12= -0.2189010-3
U13= -0.0190510-3
U14= -0.4895910-3
U17=-0.5326810-3
Clculo de esfuerzos
Conocidos los desplazamientos se pueden calcular los esfuerzos en las barras.
Por ejemplo en la barra BA
El vector desplazamientos es
UBA=(-0.2904710-3,-0.004355410-3,0.0642510-3, 0,0,0)t
Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son:
FBA=KBA UBA son:
( )t
BAF -0.02669 -0.005 -0.03341 0.02669 0.005 -0.04667=
A este vector hay que sumarle el vector de esfuerzos de empotramiento perfecto del elemento. Y obtenemos los
esfuerzos en los estremos del elemento:
( )t
BAEsfuerzos 0.0033047 -0.005 -0.018415 0.056695 0.005 -0.061670=
Ojo, porque este vector de esfuerzos est calculado en coordenadas globales y asociado a los extremos B y A
(en ese orden).
0.005 MN
AXIL
0.06167 MN/m
FLECTORES
0.018415 MN/m
2ql0.0255MN / m
8=
0.05669 MN
CORTANTE
0.0033 MN
Clculamos ahora los esfuerzos en los estremos del elemento EF (coordenadas locales y globales coinciden).
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
13/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
13
El vector desplazamientos es
UEF=( -0.0190510-3, -0.489596910-3,0, -0.53268310-3,0)t
Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son:
FEF=KEF UEF son:
( )t
EFF -0.032805 0.005 0.032805 -0.005 0.01=
Que dado que no hay esfuerzos en las barras, nos permiten obtener directamente los esfuerzos en los estremos de la
barra.
0.0328 MN
AXIL
0.01 MN/m
FLECTORES
0.005 MN
CORTANTE
Los grficos siguientes muestran los resultados obtenidos al calcular la estructura mediante un programa de clculo por
elementos finitos comercial.
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
14/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 14
3. Sobre la estructura de la figura, y pensando en el mtodo matricial
400 cm
A D
B C
20 kN/m
20kN/m
10 kN
500cm
E=2.11011 N/m2
A=14 cm2
I=65400 cm4
Dibujar y numerar los grados de libertad considerados
1
2
3A D
B C4
5
67
8
9
10
11
12
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
15/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
15
Escribir la matriz de rigidez en coordenadas locales del elemento BD (en
ese orden). En un dibujo indicar dichas coordenadas, las coordenadas
globales asociadas y el ngulo de giro. Escribir la matriz de rotacin
que permite el paso a coordenadas globales.
La matriz de rigidez en coordenadas locales ser una matriz de 2x2 de la forma
BD
1 1 1 1AEk 45.91 MN / m
1 1 1 1l
= =
La matriz de rotacin que permite el paso a coordenadas globales ser de la forma
cos sen 0 0R
0 0 cos sen
=
Determinar el vector de esfuerzos
El vector de esfuerzos vendra dado por
nudos empF F F=
El vector de fuerzas en los nudos es
( )t
3
nudos 1 2 10 11F R ,R ,0,0,0,1010 ,0,0,R ,R ,0=
Para ensamblar el vector de esfuerzos de empotramiento se puede trabajar directamente en coordenadas globales que
puede resultar ms rpido que pasar de locales a globales (por ser el ngulo de giro 90 grados). As
( )
( )
t
BC
tAB
F 0,0.04,0.0267,0,0.04, 0.0267
F 0.05,0,0.0416 , 0.05,0, 0.0417
=
=
Ensamblando el vector de esfuerzos de empotramiento se tiene que ste vale
( )t
empF 0.05,0,0.0416 , 0.05,0.04, 0.0417 0.0267,0,0.04, 0.0267= +
Por lo que el vector de cargas queda
( )t
1 2 10 11F R 0.05,R , 0.0416,0.05, 0.04,0.015,0, 0.04,0.0267,R ,R ,0= +
B
5
4
D
10
11
= -51.34 1
2
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
16/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 16
Escribir el vector de desplazamientos
( )t
3 4 5 6 7 8 9 12U 0,0,u ,u ,u ,u ,u ,u ,u ,0,0,u=
Una vez planteado el problema supongamos se tiene que los
desplazamientos de los grados de libertad asociados al nudo B son
(0.9310-3, 0.23410-3, -0.00310-3)t y los del nudo C (1.2310-3,
0.72510-3, 0.01210-3)t. Dibujar el diagrama de momentos flectores,
cortantes y axiles en la barra BC, siendo su matriz de rigidez en
coordenadas globales.
73.5 0 0 -73.5 0 0
0 25.7513 51.5025 0 -25.7513 51.5025
0 51.5025 137.34 0 -51.5025k=
68.67
-73.5 0 0 73.5 0 0
0 -25.7513 -51.5025 0 25.7513 -51.5025
0 51.5025 68.6700 0 -51.5025 137.34
Para la determinacin de dicha matriz se ha trabajado con las longitudes en m y las fuerzas en MN. Los esfuerzos en
los extremos de la barra vienen dados por
BC
BC BC empf k u f= +
Dado que la viga a estudiar est en posicin horizontal es lo mismo trabajar en coordenadas locales que globales. La
matriz kBC est dada y el vector de desplazamientos elementales tambin. Por lo tanto
3
BC
BC BC emp
0.022 0 0.022
0.0122 0.04 0.0278
0.0249 0.0267 1.810f k u f
0.022 0 0.022
0.0122 0.04 0.0522
0.0238 0.0267 0.0505
= + = + =
Donde los esfuerzos estn en MN. Los diagramas de esfuerzos se obtienen superponiendo los valores anteriores a los
isostticos.
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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El mtodo matricial
A. Carnicero
17
4. Determinar los desplazamientos y las reacciones en la viga de la
figura
2
20 kN/mI=96000 cm
4
E=2.11011 N/m2
3
Los grados de libertad consideramos para la resolucin del problema son:
1
2
A
3
4
5
B
6
7
C
donde se han eliminado los grados de libertad horizontal al ser los desplazamientos en esa direccin nulos.
La matriz de rigidez del elemento AB es (coinciden coordenadas globales y locales) en MPa-
AB AB
302.4 302.4 -302.4 302.4
302.4 403.2 -302.4 201.6k K
-302.4 -302.4 302.4 -302.4
302.4 201.6 -302.4 403.2
= =
y La matriz de rigidez de elemento BC
BC BC
89.6 134.4 -89.6 134.4
134.4 268.8 -134.4 134.4k K
-89.6 -134.4 89.6 -134.4
134.4 134.4 -134.4 268.8
= =
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
18/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 18
Considerando los grados de libertad de la figura, se tiene que la matriz de rigidez global ser
302.4 302.4 -302.4 302.4 0 0 0302.4 403.2 -302.4 201.6 0 0 0
-302.4 -302.4 392.0 -302.4 134.4 -89.6 134.4
K 302.= 4 201.6 -302.4 403.2 0 0 00 0 134.4 0 268.8 -134.4 134.4
0 0 -89.6 0 -134.4 89.6 -134.4
0 0 134.4 0 134.4 -134.4 268.8
Conocida la matriz de rigidez, escribimos el vactor de desplzamientos
( )3 4 50,0, , , ,0,0t
U U U U =
Para determinar el vector de cargas, calculamos el valor de los esfuerzos de empotramiento de los dos elementos
considerados
1 1 2 2
emp emp emp emp
0.0200 0.0300
0.0067 0.0150f F f F
0.0200 0.0300
-0.0067 -0.0150
= = = =
Por lo que el vector de cargas quedar
1
2
6
7
0.02
0.0067
0 0.02 0.03
0 0.0067
0 0.015
0.030.015
R
R
F
RR
+ =
De esa forma, el sistema de ecuaciones a resolver es
3
4
5
0.05
0.0067
0.015
392 -302.4 134.4 U
-302.4 403.2 0 U
134.4 0 268.8 U
=
Cuya resolucin nos permite determinar los desplazamientos desconocidos
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
19/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
19
-3
3
-3
4
-3
5
U =-0.382610
U =-0.270410
U =0.135510
Una vez determinados todos los desplazamientos se pueden calcular las reacciones resolviendo el sistema
1
3
2
4
6
5
7
F -302.4 302.4 0 0.0339U
F -302.4 201.6 0 0.0612U
F -89.6 0 -134.4 0.0161U
F 134.4 0 134.4 -0.0332
= =
Y dado que conocemos el vector de esfuerzos de empotramiento, las reacciones sern
1
2
6
7
R = 53.9 kN
R =67.8 kNm
R =46.1 kN
R =-48.2 kNm
5. Clcular los desplazamientos desconocidos de la estructura.
5 m
10 kN
E= 2.11011 N/m2
I= 36000 cm4
A=94 cm25m
2 m
2m
20kN/m
A
B C
D
Determinamos los grados de libertad que existen en la estructura. Se ha dibujado el grado de libertad 6, que deber ser
eliminado de las matrices de rigidez de los distintos elementos.
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
20/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 20
A
B C
D
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
La matriz de rigidez del elemento AB en coordenadas locales y del elemento BC, donde coinciden locales y globales es,
AB BC BC
394.8 0 0 -394.8 0 0
0 7.2576 18.144 0 -7.2576 18.144
0 18.144 60.48 0 -18.144 30.24k k K
-394.8 0= = =
0 394.8 0 0
0 -7.2576 -18.144 0 7.2576 -18.144
0 18.144 30.24 0 -18.144 60.48
y teniendo en cuenta una rotacin de 90 grados, la matriz del elemento AB en coordenadas globales es
AB
7.2576 0 -18.144 -7.2576 0 -18.144
0 394.8 0 0 -394.8 0
-18.144 0 60.48 18.144 0 30.24K
=
-7.2576 0 18.144 7.2576 0 18.144
0 -394.8 0 0 394.8 0
-18.144 0 30.24 18.144 0 60.48
Estas matrices estn calculadas como si los extremos estubieran empotrados por lo que habr que liberar el grado de
libertad 6 (global) de ellas.
Por ltimo la matriz de rigidez del elemento DB en coordenadas locales es
DB
697.9144 -697.9144k
-697.9144 697.9144
=
Con un ngulo de rotacin de 45 grados, es decir, una matriz de rigidez global
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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El mtodo matricial
A. Carnicero
21
DB
348.9572 -348.9572 -348.9572 348.9572
-348.9572 348.9572 348.9572 -348.9572K
-348.9572 348.9572 348.9572 -348.9572
348.9572 -348.9572 -348.9572 348.9572
=
Emsamblando las matrices, obtenemos la matriz de rigides de la estructura (a falta de eliminar el grado de libertad 6):
7.2576 0 -18.1440
0 394.8 0
-18.144 0 60.48
-7.2576 0 18.144
0 -394.8 0
K -18.144 0 30.24
0 0 0
0 0 00 0 0
0 0 0
0 0 0
=
-7.2576 0 -18.144
0 -394.8 0
18.144 0 30.2
751.0148 -348.9572
-348.9572 751.0148
18.144 18.144
-394.8 0
0 -7.2576 0 18.1440
-348.9572 48.9572
348.9572 -348.9572
0 0 0
0 0 0
4 0 0 0
18.144 -394.8 0
18.144 0 -7.2576
120.96 0 -18.144
0 394.8 0
-18.144 0 7.2576 30.24 0 -18.1440
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 -348.9572 348.9572
18.144 348.9572 -348.9572
30.24 0
0 0
-18.144 060.48 0
0 348.9572
0 -348.9572
0
0
00
-348.9572
348.9572
Para simplificar los clculos a realizar, liberamos el grado de libertad 6 sobre el sistema con las condiciones
de contorno impuestas es decir
cc
751.0148 -348.9572 18.144
K -348.9572 751.0148 18.144
18.144 18.144 120.96
=
Donde hay que liberar la rotacin (trmino 3,3). La matriz liberada es
l
cc
748.2932 -351.6788K
-351.6788 748.2932
=
El sistema de ecuaciones a resolver es
4
5
l
4lccl
5
F UK
F U =
Por lo que hay que determinar el vector de cargas. Calculamos en primer lugar el trmino de esfuerzos de
empotramiento perfecto debido a las cargas en las barras. Estos vectores pueden escribirse fcilmente en coordenadas
locales,
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
22/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 22
t2 2
emp
AB
t
emp
BC
ql ql ql ql F ,0, , ,0,
2 12 2 12
pl pl pl pl
F 0, , ,0, ,2 8 2 8
=
=
Sustituyendo
( )
( )
temp
AB
temp
BC
F 0.05,0,0.041666 , 0.05,0, 0.041666
F 0,0.005,0.00625,0,0.005, 0.00625
=
=
Luego el vector de cargas (sin liberar el grado de libertad 6) es
1
2
3
emp
n
7
8
9
10
11
R 0.05R 0
R 0.041666
0 0.05
0 0 0.005
F F F 0 0.041666 0.00625
R 0
R 0.005
R 0.00625
R 0
R 0
+ = = +
Los trminos que nos interesan para resolver el sistema de eciaciones son los 4,5 y 6. es decir
(0.05,-0.005,0.03541666)t. De donde hay que elininar el ltimo trmino, recordando que
I tI
l al al a aal aa
ll ll
l
F K KF K K 0 U
K KU
0 0 0
=
tendremos que los trminos liberados se obtendrn como
4
5
l
l
F 0.05 18.144 0.04468750.035416666
F 0.005 18.144 0.0103125120.96
= =
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que nos permite determinar el desplazamiento es
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
23/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
23
4
5
U0.0446875 748.2932 -351.6788
U0.0103125 -351.6788 748.2932
=
Resolviendo el sistema
U4= 6.83410-5 m
U5= 1.83310-5 m
6. Dibujar los diagramas de esfuerzos de la viga de la figura
4 m 4 m3 m1 m
20 kN/m
Los elementos de la estructura tiene las siguientes caractersticas: A=12.6 cm2, I=86000 cm4 y e=2.11011 N/m2.
Determiar los diagramas de momentos flectores en la viga horizontal.
Los grados de libertad considerados son:
8
9
1
2
34
5
67
10
11
12
1314
15
16
21
22
19
20
17
18
23
24
A B C D E
Las matrices de rigidez de las barras son,
AB AB
66.15 0 0 -66.15 0 0
0 33.8625 67.725 0 -33.8625 67.725
0 67.725 180.6 0 -67.725 90.3k K
-66.15 0= = DE DEk K
0 66.15 0 0
0 -33.8625 -67.725 0 33.8625 -67.725
0 67.725 90.3 0 -67.725 180.6
= =
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
24/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 24
3
BC BC
0.2646 0 0 -0.2646 0 0
0 2.1672 1.0836 0 -2.1672 1.0836
0 1.0836 0.7224 0 -1.0836 0.3612k K 10
-0.26
= =46 0 0 0.2646 0 0
0 -2.1672 -1.0836 0 2.1672 -1.0836
0 1.0836 0.3612 0 -1.0836 0.7224
CD CD
88.2 0 0 -88.2 0 0
0 80.2667 120.4 0 -80.2667 120.4
0 120.4 240.8 0 -120.4 120.4k K
-88.2 0 0 88.2= =
0 0
0 -80.2667 -120.4 0 80.2667 -120.4
0 120.4 120.4 0 -120.4 240.8
La matriz de rigidez en coordenadas elementales o globales de los cables es siempre la misma y valen
88.2 -88.2k
-88.2 88.2
=
0 0 0 0
0 88.2 0 -88.2K
0 0 0 0
0 -88.2 0 88.2
=
Se puede pasar a ensamblar la matriz de rigidez de la estructura. Para disminuir el tamao de la matriz de
rigidez se van a imponer ya las condiciones de contorno por lo que los trminos asociados a los grados 17 a
24 no van a ser emsamblados. Por lo tanto los cables slo van a aportar un trmino de valor 88.2 MN/m a los
trminos k2,2,k5,5,k12,12 y k15,15.
66.15 0 0
0 122.06 67.725
0 67.725 180.6
-66.15 0
0 -33.862
0 67.725
0 0
0 0K
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
=
-66.15 0
0 -33.86
0
0 330.75
-67.725 0
90.3 0
0 -264.6
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
2
-67.725
0
2289.3
1015.9
0
-2167.2
1083.6
0
0
0
0
0
0
0
67.725
90.3
0
1015.9
903
0
-1083.6
361.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-264.6
0
0
352.8
0
0
0
-88.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2167.2
-1083.6
0
2247.5
-1083.6
120.4
0
-80.267
120.4
0
0
0
0
0
0
1083.6
361.2
0
-1083.6
722.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
120.4
0
240.8
0
-120.4
120.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-88.2
0
0
0
154.35
0
0
-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-80.267
0
-120.4
0
202.33
-52.675
66.15
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
120.4 0
0 0
120.4 0
0 -66.15
-52.675 0
421.4 0
0 0 66.15
-33.862 -67.725 0
67.725 90.3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-33.862
-67.725
0
122.06
0 -67.725
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
67.725
90.3
0
-67.725
180.6
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
25/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
25
Los obtencin de los valores de los vectores de esfuerzos de empotramiento no presenta ninguna dificultad:
emp emp
AB DE
0
0.04
0.026667F F
0
0.04
-0.026667
= =
emp
BC
0
0.01
0.0016667F
00.01
-0.0016667
=
emp
CD
0
0.03
0.015F
0
0.03
0.015
=
y dado que no hay cargas en los nudos, el vector de cargas ensamblado esempF F= :
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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Teora de Estructuras I
A. Carnicero 26
0
-0.04
-0.027
0-0.05
0.025
0
-0.04F
0.0017
-0.015
0
-0.07-0.0117
0
-0.04
0.027
=
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos las desplazamientos desconocidos
u1=0
u2= -0.00036484
u3=-0.00034119
u4=0
u5= -0.0010103
u6= -9.703e-005
u7= 0
u8= -0.0011605
u9= -0.00017442
u10=1.2425e-005
u11= 0
u12= -0.00096655
u13= 4.447e-005
u14= 0
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
27/31
El mtodo matricial
A. Carnicero
27
u15= -0.00037942
u16=0.00034559
Sin embargo la solucin anterior no ha sido obtenido inviertiendo la matriz de rigidez escrita anteriormente
ya que se puede comprobar que sta es singular. La singularidad proviene de la no existencia de condiciones
de contorno en direccin X. Para resolver el problema se ha impuesto que U1=0 y entonces ya es posible
resolver el sistema de ecuaciones.
Conocidos los desplazamientos se calculan los diagramas de esfuerzos en las barras.
Tramo AB
emp
AB AB AB AB
00.032178
0esf k u f
0
0.047822
-0.031286
= + =
Tramo BC
emp
BC BC BC BC
00.041286
0.031286esf k u f
0
-0.021286
0
= + =
Tramo CD
emp
CD CD CD CD
00.021286
0esf k u f
0
0.038714
-0.026142
= + =
Tramo DE
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
28/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 28
emp
DE DE DE DE
0
0.046535
0.026142esf k u f
00.033465
0
= + =
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
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El mtodo matricial
A. Carnicero
29
1.2 Ejercicios propuestos7. Empleando el mtodo matricial, calcular el diagrama de momentos
flectores de la viga de la figura
40
50 kN
30 kN/m
A=210 cm2
I=116474 cm4
E=2.11011 N/m2
Resultado
3309500 N/m
4345250 N/m
8. Dibujar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
30/31
Teora de Estructuras I
A. Carnicero 30
800
600
300
40kN/m
40kN/m
20 kN/m20 kN/m
20 kN/m
DATOS
E=2.1 1011
N/m2
Pilares
A=149 cm2
I=25170 cm4
Cubierta
A=33 cm2
I=1510 cm4
Resto
A=24 cm2
I=864 cm4
Resultado.
Valores de los esfuerzos en los extremos de las barras (lado derecho de la estructura)
( )
( )
( )
t
1
t
2
t
3
0.0517,0.3,1.0569, 0.0517, 0.06,0.0232
0.0415,0.0454, 0.0231,0.0415,0.0546,0
f 0.0504,0.04 ,0.0504,0.04
=
=
=
No se especifican los grados de libertad por considerar que es obvia su definicin. Resulta de gran inters plantearse
cmo quedaran los diagramas de la parte no calculada.
1.3 Otros ejercicios9. Determinar empleando el mtodo matricial los esfuerzos en la celosa
sabiendo que la rigidez es AE. Aplicar todas las simplificaciones
posibles en el proceso de clculo (ensamblanje, vectores de cargas,
etc.)
30
30
30
45
L
P
7/22/2019 Ejercicios Calculo de Estructuras Metodo Matricial
31/31
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